数学探究1-根号2的由来ppt
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人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
《平方根》PPT课件
5-2. 已知 2.06 ≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1)0.020 6；解：∵ 2.06≈1.435，∴(1) 0.020 6≈0.143 5； (2)206； (2) 206≈14.35； (3)20 600. (3) 20 600≈143.5.
知识点 3 平方根
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数 的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键， 再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这 个数的算术平方根(或其近似值).
特别解读 ●求一个正数(非平方数) 的算术平方根的近似值，通常有
三种方法： 一是用计算器； 二是查平方根表； 三是估算. ●计算器上显示的数值许多都是近似值.
(1) 1600; (2)－ 2 14；
25
(3) －22；
(4) 0.0036.
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，
二次根式的概念(教学课件)八年级数学下册(人教版)
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
பைடு நூலகம்
32;
(2) 6;
(6)
xy x, y异号 ;
2;
(3)
分析： 是否含二次根号
否
(7)
是
(4)
a 2 1;
-m m≤0 ； (5)
(8)
3
被开方数是
不是非负数
否
不是二次根式
5;
是
(9)
1
;
5
2 3 .
二次根式
判断下列式子，哪些是二次根式？
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽
各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x•2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x= 3
答：矩形的长、宽分别为3 3cm、2 3cm.
1
12．先化简，再求值：(
+
−
2
)
2 +
÷
−2
2.使分式
B．①③
C．①②③
+3
有意义的x的取值范围是（
A． ≥ −3
B． ≥ −3且 ≠ 0
D．①②③⑤
B ）
C． ≠ 0
D． > 0
3.使得 x 3 有意义的x值有（ B ）
2
A.0个
B.1个
C.无数个
D.以上都不对
x 1
x 3 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
实数 (平方根)ppt课件
16
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm ． 根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300， 2x2＝300， x2＝50，
x 50 .
因此长方形纸片的长为3 50 cm ． 因为50＞49，所以 50 ＞7．
由上可知3 50 ＞21，即长方形纸片的长应该大于
21 cm ．
因为 400 ＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm.
23
再见！
24
所以大正方形的边长是 2 dm.
小正方形的对角线 的长是多少呢？
7
8
9
探究
2 有多大呢？
因为12＝1，22＝4， 所以1＜ 2 ＜2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25， 所以1.4＜ 2 ＜1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41＜ 2 ＜1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414＜ 2 ＜1.415； ……
即
（2）因为
7
2
49 ，所以
49 7 ； 8 64
49 的算术平方根是
.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方
根是 0.01，即 0.0001 ＝0.01．
从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平 方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
5
探究
计算器
12
例 2 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 ；
（2） 2（精确到0.001）．
解：（1）依次按键 显示：56． ∴ 3136 ＝56．
3 136 ＝ ，
（2）依次按键 2 ＝ ， 显示：1.414 213 562． ∴ 2 ≈1.414．
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm ． 根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300， 2x2＝300， x2＝50，
x 50 .
因此长方形纸片的长为3 50 cm ． 因为50＞49，所以 50 ＞7．
由上可知3 50 ＞21，即长方形纸片的长应该大于
21 cm ．
因为 400 ＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm.
23
再见！
24
所以大正方形的边长是 2 dm.
小正方形的对角线 的长是多少呢？
7
8
9
探究
2 有多大呢？
因为12＝1，22＝4， 所以1＜ 2 ＜2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25， 所以1.4＜ 2 ＜1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41＜ 2 ＜1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414＜ 2 ＜1.415； ……
即
（2）因为
7
2
49 ，所以
49 7 ； 8 64
49 的算术平方根是
.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方
根是 0.01，即 0.0001 ＝0.01．
从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平 方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
5
探究
计算器
12
例 2 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 ；
（2） 2（精确到0.001）．
解：（1）依次按键 显示：56． ∴ 3136 ＝56．
3 136 ＝ ，
（2）依次按键 2 ＝ ， 显示：1.414 213 562． ∴ 2 ≈1.414．
2018年春七年级沪科版数学下册趣味数学—根号的由来
根号的由来早在1480年，德国人便开始用一个点来表示方根，如 3表示3的平方根， 3表示3的4次方根， 3表示3的立方根，到了16世纪初，平方根用小点带上一条小尾巴来表示，就像一个小蝌蚪，因而很难标准。
1525年，德国数学家鲁道夫的代数书中用√8表示8的平方根，显然用“小钩子”要比“小蝌蚪”好多了，不过后来又发现了新问题。
传说，两个工程人员为式中“√2100g +”引起了矛盾，差一点要上法庭打官司。
究其原因，是因为小钩子“√”的意义不明确，不知道它能管后面几个字母及数字。
，并把立方根写在原书第一版中写道：“如果我想求22a b +的平方根，如果想求3310100a <<33a b abc ++。
”笛卡尔的根号与鲁道夫的根号最大区别在于：笛卡尔考虑到，当被开方数有几项时，鲁道夫的根号会引起混淆，因次，他在上方用直线把这几项括起来，前面再放上记号“√”，也就是现在使用的根号了。
现代的立方根号出现的很晚，一直到18世纪才在一些书中看到，在1732年以后才渐渐通行。
之后，一般的n 次方根符号也就相继出现了。
逐步逼近法估算在数学计算中，“逐步逼近法”是常用的计算方法。
的近似值，但是若是生活在荒岛上，又的近似值，更重要的是，这种方法可以运用到其他问题中。
由于34<<，所以可设3x =+（x 是一个正的纯小数）。
两边平方，得21396x x =++.由于x 是一个小量，所以2x 是一个比x 更小的高次小量。
可以忽略掉，故1396x ≈+。
即23x ≈233≈ 再作第二次逼近：233y =+，两边平方，得21212212122139393y y y =++≈+ 所以233y ≈-221193 3.60633333≈-=≈如果继续逼近下去，就可以得到更精确的近似值。
近似求解立方根当立方根是一位整数时，很容易求出这个立方根，但当立方根是两位或两位以上的整数时，也能容易地求出吗？例如140608的立方根，怎样求容易？下面就介绍它的巧妙求法。
数学探究1根号2的由来
• 二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相
同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算
毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于 斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛 大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫 勾股定理。
可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天， 他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少 呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 （当然，当时不会这样表示 的），并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑， 根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法 解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考 了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一 种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取 了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
西伯斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实 面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的， 知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问 题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出 去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒， 无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。
3.解：∵X^2+√(X-2Y)-4X=-4 ∴√(X-2Y)=-4+4X-X^2=-（X^2-4X+4）=-（X-2)^2 ∵-（X-2)^2≤0 ，√(X-2Y)≥0 ∴√(X-2Y)=-（X-2)^2=0 ∴X-2Y=0，X-2=0
就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相
同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算
毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于 斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛 大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫 勾股定理。
可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天， 他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少 呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 （当然，当时不会这样表示 的），并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑， 根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法 解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考 了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一 种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取 了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
西伯斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实 面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的， 知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问 题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出 去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒， 无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。
3.解：∵X^2+√(X-2Y)-4X=-4 ∴√(X-2Y)=-4+4X-X^2=-（X^2-4X+4）=-（X-2)^2 ∵-（X-2)^2≤0 ，√(X-2Y)≥0 ∴√(X-2Y)=-（X-2)^2=0 ∴X-2Y=0，X-2=0
根号2有多大(课件)
按照前面的方法, 即
2
=1.41421……
确切地说 2 这个数的精确值是无法求得的，我们 可以计算出它的小数位数，并且这些数是没有规律的， 是无限的，我们把它叫做无限不循环小数,我们以后把这 样的数叫做无理数。 实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小 数。例如 3 ， 5 ， 7 ，…， 由于这些数的精确值无法得 到，所以我们只能引入符号“ ”来表示一个非负数的算术 平方根。其实圆周率也是一个这样的数，所以我们用π来表 示它，3．14是它的近似值，现在用世界上运算速度最快的超 级计算机已求得小数点后面的第2061亿位了。
先请同学们独立思考，然后再讨论交流。
2
1
=
分析: 1)
我们不知道 2 的具体值，那么它的大小 在什么范围内呢？ 2
2
1
2
4
通过画图我们发现，面积为1的正方形的边长是1，面积 为4的正方形的边长为2 ，而面积为2的正方形边长为 2,即 比1大比2小,所以它的边长 2应该在1和2之间．
2)
1< 2 <2．也即2是1点几的数，它到底应等于多少呢？ 只要确定十分位的数就好了 ,可怎么确定十分位数的大小呢？ 通过上面的计算,我们知道 1.4< 2 <1.5,所以我们确定十分 位上是4,那么百分位数又是多 少呢? 所以百分位上的数是1
学习了算术平方根的概念，我们用逼近法探求 和用计算器求它的算术平方根．
2 有多大
求一个正数或零的算术平方根有两种情况： 1.当这个数是完全平方数时，可以直接用平方的方法算 出它的平方根，例如：9的算术平方根是3，0．01的算术平 方根是0．1； 2.当这个数a不能表示成另一个数的平方时，我们暂时 还不能求出它的算术平方根的具体数值，但可以用符号 a 来表示，例如上节课我们已经用拼图的方法知道了面积为2 的正方形的边长是 2 ，这就是说数2的算术平方根是 2 。 那 么 2 究竟是多少呢?
数学探究1 根号2的由来ppt
2千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯， 他对数学的研 千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯， 千多年前 究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他成立“ 究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他成立“毕达哥拉 斯学派” 其中有这样一个观点： 斯学派”。其中有这样一个观点： 宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外， “宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没 有什么了” 有什么了”。 毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中， 毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于 斜边的平方” 证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛 斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了 牛 大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理” 百牛定理” 大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫 勾股定理。 勾股定理。 可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天， 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。一天， 他研究了这样的问题： 边长为1的正方形 的正方形， 他研究了这样的问题：“边长为 的正方形，其对角线的长是多少 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 当然， 呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号 （当然，当时不会这样表示 ），并发现根号 即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑， 并发现根号2 的），并发现根号 即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑， 根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在， 根据老师的观点，根号 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法 解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。 解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考 了很久，都无法解释这种“ 现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号 是一 种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后， 种新数，否则整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取 了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。 了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
14.1 平方根 - 第1课时课件(共20张PPT)
-3
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
《二次根式》PPT课件(第2课时)
需要注意的几点：
1.在 a b a （
b a 0, b 0) 中被开方数一定是积的形式，
不能出现
a2 b2 a2 b2 的错误．
2.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要
保证它们都是非负数．
★ 练一练
A .
(1) x 2 1 x 1 x 1成立的条件是______
4x
9x • x
7 2 2 7 2；
22 • x 2 x
；
2
(3 x)
3x
2 x ( x) 2 x x .
2
2
课堂小结
a b a b a 0，b 0
二次根式
的 性 质
a
a
a 0，b＞0
b
b
二次根式
最简二次根式
二次根式的被开方式
中都不含分母，并且
也都不含能开得尽方
的因式
2
2
与其他的二次根式不同
2
被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，
我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
简记为：
不含分母
不含小数
不含平方
★ 练一练
1、下列根式是最简二次根式的是( C )
1
A. 3
B.
0.3
C. 3
D.
20
2
2.在二次根式 ，12，30， x 2 , 40 x 2 , x 2 y 2中，
15.1 二次根式
第2课时
- .
学习目标
数学探究1根号2的由来ppt
02
CHAPTER
根号2的发现
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派，他们通过观察和思考，发现了勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的发现为数学的发展奠定了基础，也为根号2的发现提供了重要的启示。
毕达哥拉斯学派与勾股定理
01
根号2的存在性是通过几何和代数的方法进行证明的。在几何上，可以构造一个边长为1的正方形，然后通过勾股定理证明其斜边的长度为根号2。
二次方程
代数方程中的应用
在计算机科学中，根号2用于表示浮点数的一半，即0.5。在二进制浮点数表示法中，根号2用于表示1/2的指数幂。
浮点数表示
根号2在二进制编码中具有特殊意义，例如在格雷码（Gray code）中，根号2用于生成相邻数字之间只有一个二进制位不同的编码。
二进制编码
计算机科学中的应用
05
古希腊数学家对根号2的研究
古希腊数学家阿基米德是最早对根号2进行研究的学者之一，他通过几何方法证明了根号2既不是整数也不是分数。
根号2的性质
根号2具有一些独特的性质，例如它是一个无限不循环小数，无法表示为分数，也无法用整数通过四则运算得到。这些性质使得根号2成为数学中一个非常特殊和重要的数。
根号2的背景知识
逼近精度
提高根号2的近似值的精度，如通过计算机算法实现高精度计算。
数学分析
研究根号2的性质和行为，如证明其连续性、可积性等。
现代数学对根号2的研究进展
开创性意义
根号2的发现标志着人类对无理数认识的开始，对数学的发展具有开创性的意义。
推动数学进步
根号2的研究推动了数学理论的发展，如无理数、连续性、可积性等概念的形成。
02
CHAPTER
根号2的发现
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派，他们通过观察和思考，发现了勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的发现为数学的发展奠定了基础，也为根号2的发现提供了重要的启示。
毕达哥拉斯学派与勾股定理
01
根号2的存在性是通过几何和代数的方法进行证明的。在几何上，可以构造一个边长为1的正方形，然后通过勾股定理证明其斜边的长度为根号2。
二次方程
代数方程中的应用
在计算机科学中，根号2用于表示浮点数的一半，即0.5。在二进制浮点数表示法中，根号2用于表示1/2的指数幂。
浮点数表示
根号2在二进制编码中具有特殊意义，例如在格雷码（Gray code）中，根号2用于生成相邻数字之间只有一个二进制位不同的编码。
二进制编码
计算机科学中的应用
05
古希腊数学家对根号2的研究
古希腊数学家阿基米德是最早对根号2进行研究的学者之一，他通过几何方法证明了根号2既不是整数也不是分数。
根号2的性质
根号2具有一些独特的性质，例如它是一个无限不循环小数，无法表示为分数，也无法用整数通过四则运算得到。这些性质使得根号2成为数学中一个非常特殊和重要的数。
根号2的背景知识
逼近精度
提高根号2的近似值的精度，如通过计算机算法实现高精度计算。
数学分析
研究根号2的性质和行为，如证明其连续性、可积性等。
现代数学对根号2的研究进展
开创性意义
根号2的发现标志着人类对无理数认识的开始，对数学的发展具有开创性的意义。
推动数学进步
根号2的研究推动了数学理论的发展，如无理数、连续性、可积性等概念的形成。
02
《根号2有多大》课件
03
根号2的无理数性质
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数的 比的实数。
无理数在实数范围内既不是有限 小数，也不是无限循环小数。
无理数是无限不循环小数，不能 表示为两个整数的比。
根号2的无理数证明
利用反证法，假设根号2是有理数，则可以表示为两个整数的比。 通过数学推导，发现这与根号2的定义相矛盾。
主题重要性
强调根号2在数学中的重要地位，它 是无理数的一种，对于理解有理数和 无理数的区别以及数学的发展具有重 要意义。
说明根号2在实际生活中的应用，例如 建筑、物理、计算机等领域，让学生 认识到数学与实际生活的紧密联系。
学习目标
理解根号2的概念， 掌握其大小。
通过探究根号2的性 质和特点，培养数学 思维能力和创新精神 。
使用科学计算器输入“sqrt(2)” 即可得到根号2的近似值。
不同型号和品牌的计算器可能会 有不同的操作步骤和界面，但基
本原理相同。
使用计算器计算根号2可以快速 得到近似值，适合于日常计算和
估算。
手算根号2的方法
通过查表法找到根号2的近似值
在数学用表中查找与根号2相近的数，如1.4和1.5之间的数值，从而找到根号2 的近似值。
根号2的几何意义
正方形的对角线
根号2表示一个面积为1的正方形 的对角线长度，可以通过勾股定
理计算得出。
矩形的对角线
根号2可用于计算矩形对角线的长 度，当矩形的一边长度为a时，其 对角线的长度为√2a。
平行四边形的斜边
当一个平行四边形相邻两边长度分 别为a和b时，其斜边的长度为 √(a^2+b^2)，这也是根号2的一个 重要应用。
角形的研究中。
代数方程
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解题思路:根据"两个互相否定的思想不能同真"可知:(2)、(4)不能同 真，必有一假。假设(2)说真话，则(4)为假话，即张明修过桌凳。 又根据题目条件:只有1人说的是真话:可推:(1)和(3)都是假话。由(1) 说的可推:桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与 题中"四个人中只有一个人说的是真话"相矛盾。因此，开头假设不 成立，所以，(2)李平说的为假话。由此可推(4)张明说了真话，则 许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。
毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平 方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高 兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或 “百牛定理”，我国叫勾股定理。
可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。 一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是 多少呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 （当然，当时 不会这样表示的），并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。他 既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对 角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师， 并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现 象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则整个学派的理 论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令 封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
学派的一个叫希帕索斯的学生，在研究1和2 的比例中项
时（若1:x=x:2,那么x就叫1和2的比例中项），怎么也想不
出这个比例中项的值，后来，，他画一边长为1的正方形 ，
设对角线为x，则x的平方为2，那么x必定是确定的书。但
它是整数还是分数呢？显然，2是1的平方和2的平方之间
的数，因而不是整数。那么会不会是分数呢？毕达格拉斯
2.解：由已知，X^2-Y^2=1得 1+Y^2=X^2 , X^2-1=Y^2 ∴原式=X*√（X^2)-Y*√（Y^2) ∵X＞0，Y＞0 ∴原式=X^2-Y^2=1
3.解：∵X^2+√(X-2Y)-4X=-4 ∴√(X-2Y)=-4+4X-X^2=-（X^2-4X+4）=-（X-2)^2 ∵-（X-2)^2≤0 ，√(X-2Y)≥0 ∴√(X-2Y)=-（X-2)^2=0 ∴X-2Y=0，X-2=0
A．全班所有人的射击成绩都不是优秀 B．班里所有人的射击成绩都是优秀 C．班长的射击成绩是优秀 D．体育委员的射击成绩不是优秀
例题一:星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修 好了。传达室人员告诉他:这是班里四个住校学生中的一个做的好 事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找 来了解。 (1)许兵说:桌凳不是我修的。 (2)李平说:桌凳是张明修的。 (3)刘成说:桌凳是李平修的。 (4)张明说:我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问:桌凳是谁修的?
1、军训最后一天,一班学生进行实弹射击.几位教官谈论一班的射击 成绩. 王教官说：“这次军训时间太短,这个班没有人射击成绩会是优秀.” 李教官说：不会吧，有几个人以前训练过,他们的射击成绩会是优秀.” 赵教官说：“我看班长或是体育委员能打出优秀成绩.” 结果发现三位教官中只有一人说对了. 由此可以推出以下哪一项肯定为真?( )
寻找 2
主讲人：马翠青 2018.3.26
2 的自白
作者：高笑
毕达哥拉斯声名高贵， 只承认整数分数的地位. 用不着和权势者分辨， 戴着无理的帽子也全不理会. 实数没有我就不完备， 我自代表着优秀的一类. 默默地填补着有理数间的空白， 让事实宣布高贵者的愚昧！
根号2的由来
•
第一个被发现的无理数是根号2，当时，毕达格拉斯
X=2,Y=1 ∴3X+2Y=8
4.解：原式=(√5+1)^2000*[(√5+1)^2-2(√5+1)-4] =(√5+1)^2000*(6+2√5-2√5-2-4) =(√5+1)^2000*0 =0
二次根式的解题技巧
• 二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，证明了这个数不是由隶属，它就是无理数根
号2。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学是一次
致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，
将此事保密，不准外传，并将希帕索斯本人也扔到大海中
淹死了。大事，人们很快发现了根号3、根号5等更多的无
理数，无理数的存在也被更多的人所知。
2千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯， 他对 数学的研究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他 成立“毕达哥拉斯学派”。其中有这样一个观点： “宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外， 就再没有什么了”。
西伯斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实 面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的， 知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问 题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出 去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒， 无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。
就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相
同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图 II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 二次根式计算不难，主要是要靠仔细，平时要多加练习哦。掌握了解题方法， 再加上灵活运用，再难的题也会快速解出来！
谢谢收看
亲爱的各位同学们：
经过本课的学习希望各位对二次根式有更深 一层的了解，也希望大家下次再做二次根式的题 目时仔细认真，完成的更好。
开动每位的头脑，二次根式不是难题！！
• 证明：X^2表示X的平方。 1.解：∵（X+Y-1)^2 ≥0且√2X-Y+4≥0 又∵（X+Y-1)^2=-√2X-Y+4 ∴只有（X+Y-1)^2=√2X-Y+4=0时成立 ∴X+Y-1=0,2X-Y+4=0 解得X=-1 ， Y=2 ∴Y^X=1/2,∴它的负倒数=-2
西伯斯听到风声后，连夜成船逃走了。 然而，他没想到，就在他所坐的海船后面追来了几 艘小船，他还正憧憬着美好的未来，当他还未醒悟过来 的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前， 他手脚被绑后，被投入到了浩瀚无边的大海之中。他 为 根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！
毕达哥拉斯：著名数学家
• 假设根号2为有理数，则可表示为两个最简整 数比的形式： 根号2=P/q 则两边平方得：2= p2/q2 因为 2q2必为偶数 所以 p必为偶数，设为p=2m，（m属于Z） 则 p2=4m2=2q2，q2=2m2 所以，p必为4的倍数，q必为2的倍数！ 则p，q必有公因数2，p/q不为最简整数比！ 与假设相矛盾 所以，假设错误，根号2为无理数！
毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平 方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高 兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或 “百牛定理”，我国叫勾股定理。
可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯勤奋好学，善于观察分析和思考。 一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是 多少呢？” 他根据毕达戈拉斯定理，计算是根号2 （当然，当时 不会这样表示的），并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。他 既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对 角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师， 并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现 象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则整个学派的理 论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令 封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
学派的一个叫希帕索斯的学生，在研究1和2 的比例中项
时（若1:x=x:2,那么x就叫1和2的比例中项），怎么也想不
出这个比例中项的值，后来，，他画一边长为1的正方形 ，
设对角线为x，则x的平方为2，那么x必定是确定的书。但
它是整数还是分数呢？显然，2是1的平方和2的平方之间
的数，因而不是整数。那么会不会是分数呢？毕达格拉斯
2.解：由已知，X^2-Y^2=1得 1+Y^2=X^2 , X^2-1=Y^2 ∴原式=X*√（X^2)-Y*√（Y^2) ∵X＞0，Y＞0 ∴原式=X^2-Y^2=1
3.解：∵X^2+√(X-2Y)-4X=-4 ∴√(X-2Y)=-4+4X-X^2=-（X^2-4X+4）=-（X-2)^2 ∵-（X-2)^2≤0 ，√(X-2Y)≥0 ∴√(X-2Y)=-（X-2)^2=0 ∴X-2Y=0，X-2=0
A．全班所有人的射击成绩都不是优秀 B．班里所有人的射击成绩都是优秀 C．班长的射击成绩是优秀 D．体育委员的射击成绩不是优秀
例题一:星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修 好了。传达室人员告诉他:这是班里四个住校学生中的一个做的好 事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找 来了解。 (1)许兵说:桌凳不是我修的。 (2)李平说:桌凳是张明修的。 (3)刘成说:桌凳是李平修的。 (4)张明说:我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问:桌凳是谁修的?
1、军训最后一天,一班学生进行实弹射击.几位教官谈论一班的射击 成绩. 王教官说：“这次军训时间太短,这个班没有人射击成绩会是优秀.” 李教官说：不会吧，有几个人以前训练过,他们的射击成绩会是优秀.” 赵教官说：“我看班长或是体育委员能打出优秀成绩.” 结果发现三位教官中只有一人说对了. 由此可以推出以下哪一项肯定为真?( )
寻找 2
主讲人：马翠青 2018.3.26
2 的自白
作者：高笑
毕达哥拉斯声名高贵， 只承认整数分数的地位. 用不着和权势者分辨， 戴着无理的帽子也全不理会. 实数没有我就不完备， 我自代表着优秀的一类. 默默地填补着有理数间的空白， 让事实宣布高贵者的愚昧！
根号2的由来
•
第一个被发现的无理数是根号2，当时，毕达格拉斯
X=2,Y=1 ∴3X+2Y=8
4.解：原式=(√5+1)^2000*[(√5+1)^2-2(√5+1)-4] =(√5+1)^2000*(6+2√5-2√5-2-4) =(√5+1)^2000*0 =0
二次根式的解题技巧
• 二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，证明了这个数不是由隶属，它就是无理数根
号2。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学是一次
致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，
将此事保密，不准外传，并将希帕索斯本人也扔到大海中
淹死了。大事，人们很快发现了根号3、根号5等更多的无
理数，无理数的存在也被更多的人所知。
2千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯， 他对 数学的研究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他 成立“毕达哥拉斯学派”。其中有这样一个观点： “宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外， 就再没有什么了”。
西伯斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实 面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的， 知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问 题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出 去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒， 无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。
就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相
同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图 II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 二次根式计算不难，主要是要靠仔细，平时要多加练习哦。掌握了解题方法， 再加上灵活运用，再难的题也会快速解出来！
谢谢收看
亲爱的各位同学们：
经过本课的学习希望各位对二次根式有更深 一层的了解，也希望大家下次再做二次根式的题 目时仔细认真，完成的更好。
开动每位的头脑，二次根式不是难题！！
• 证明：X^2表示X的平方。 1.解：∵（X+Y-1)^2 ≥0且√2X-Y+4≥0 又∵（X+Y-1)^2=-√2X-Y+4 ∴只有（X+Y-1)^2=√2X-Y+4=0时成立 ∴X+Y-1=0,2X-Y+4=0 解得X=-1 ， Y=2 ∴Y^X=1/2,∴它的负倒数=-2
西伯斯听到风声后，连夜成船逃走了。 然而，他没想到，就在他所坐的海船后面追来了几 艘小船，他还正憧憬着美好的未来，当他还未醒悟过来 的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前， 他手脚被绑后，被投入到了浩瀚无边的大海之中。他 为 根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！
毕达哥拉斯：著名数学家
• 假设根号2为有理数，则可表示为两个最简整 数比的形式： 根号2=P/q 则两边平方得：2= p2/q2 因为 2q2必为偶数 所以 p必为偶数，设为p=2m，（m属于Z） 则 p2=4m2=2q2，q2=2m2 所以，p必为4的倍数，q必为2的倍数！ 则p，q必有公因数2，p/q不为最简整数比！ 与假设相矛盾 所以，假设错误，根号2为无理数！