配套K12江苏省2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案
推荐学习K12(江苏专用)2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.
2.2.2 椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质．(重点) 2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点) 3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的简单几何性质[基础自测]1．判断正误：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( )【解析】 (1)×.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于2a .(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(3)√.离心率e ＝c a越小c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的离心率是________.【导学号：95902089】【解析】 由方程可知a 2＝25，a ＝5，c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，∴e ＝c a ＝35.【答案】 35[合 作 探 究·攻 重 难]已知椭圆x 2＋(m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路探究] 把椭圆方程标准化→利用离心率求m 的值→求a ，b ，c →求性质【自主解答】 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －mm ＋3＝m m ＋m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m m ＋m ＋3.由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0； 四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤将椭圆方程化为标准形式⇓ 焦点位置⇓ 求出a ，b ，c⇓写出椭圆的几何性质[跟踪训练]1．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.【导学号：95902090】【解】 把已知方程化成标准方程x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74， 两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).(1)已知椭圆x 2a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为________．[思路探究] 解决问题的关键是根据已知条件求出a 2和b 2.【自主解答】 (1)由e ＝c a ＝23得c 2a 2＝49，又c 2＝a 2－b 2，所以a 2－b 2a 2＝49得b 2a 2＝59. ①又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上得4a 2＋259b 2＝1， ②由①，②解得a 2＝9，b 2＝5.所以所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.【答案】 (1)x 29＋y 25＝1 (2)x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.[规律方法]1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a 2，b 2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．[跟踪训练]2．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________.【导学号：95902091】【解析】 直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆方程为x 25＋y 2＝1.【答案】x 25＋y 2＝1(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为________．(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，则椭圆的离心率为________．[思路探究] (1)求出点P 的坐标，利用点P 在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e 的方程，解方程可得离心率．(2)在焦点三角形PF 1F 2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a ，b 的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解．【自主解答】 (1)依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋4c 2b2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)，从而e ＝2－1.(2)方法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt△MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21，而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2∴3b ＝2a .∴b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.法二：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53. 【答案】 (1)2－1 (2)53[规律方法] 求椭圆离心率及范围的两种方法直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解.若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a求解.方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围.[跟踪训练]3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为__________.【导学号：95902092】【解析】 因为MF 2垂直于x 轴，∠MF 1F 2＝45°，所以△MF 1F 2是等腰直角三角形，以MF 1为斜边．设MF 1＝2m (m ＞0)，则MF 2＝F 1F 2＝m ，又因为F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(1＋2)m ，而2c ＝F 1F 2＝m ，所以e ＝c a ＝2c2a＝m＋2m＝2－1. 【答案】2－1[探究问题]1．已知直线y ＝kx ＋m 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y2b2＝1得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kma 2x ＋a 2(m 2－b 2)＝0，设该二次方程的判别式为Δ，若Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若Δ＝0，则直线与椭圆有一个交点；若Δ＜0，则直线与椭圆没有交点．2．如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x 的二次方程有什么关系？【提示】 探究1中得到的关于x 的二次方程(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kma 2x ＋a 2(m 2－b 2)＝0的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标．3．设直线与椭圆有两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，那么如何求线段AB 的长和M 的坐标？【提示】 方法一：解方程(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kma 2x ＋a 2(m 2－b 2)＝0，可得x 1，x 2，由y ＝kx ＋m 可得y 1，y 2，即得A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB 的长和M 的坐标．方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求”思路解决问题． 即 AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1＋m －kx 2－m 2＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，点M 的坐标可直接利用根与系数的关系求解．上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题．如图222所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，过右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当l 与x 轴垂直时，AB 长为433.图222(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在一点P ，使得OP →＝OA →＋OB →，求直线l 的斜率.【导学号：95902093】【自主解答】 (1)由题意可知2c ＝2，c ＝1，当l 与x 轴垂直时|AB |＝2b 2a ＝433，由a 2＝b 2＋c 2，得a ＝3，b ＝2，故椭圆的标准方程是：x 23＋y 22＝1.(2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程：y ＝k (x －1)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 23＋y22＝1，可得(3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2.因为OP →＝OA →＋OB →则⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝x 1＋x 2y 3＝y 1＋y 2，代入椭圆方程x 1＋x 223＋y 1＋y 222＝1，又x 213＋y 212＝1，x 223＋y 222＝1，化简得2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0，即(3k 2＋2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋3k 2＋3＝0 将x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2代入得3k 2－6－3k 2×6k 23k 2＋2＋3k 2＋3＝0，化简得k 2＝2，k ＝±2，故直线l 的斜率为± 2.[规律方法] 椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.[跟踪训练]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P 是该椭圆上的一个动点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值．【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意ca ＝32，且a ＝2，得c ＝3，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，由(1)知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24－3＝34x 2－2， ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________.【导学号：95902094】【解析】 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 【答案】x 24＋y 23＝12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 (±3，0)3．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为________.【导学号：95902095】【解析】 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1.∴1m ＝2，∴m ＝14. 【答案】 144．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．【解析】 设过左焦点F 1的正三角形的边交椭圆于A ，则AF 1＝c ，AF 2＝3c ，有2a ＝(1＋3)c ，∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】3－15．当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.【导学号：95902096】【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，9x 2＋16y 2＝144.消去y 得，9x 2＋16(x ＋m )2＝144， 化简整理得，25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－4×25(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400. (1)当Δ<0时，得m <－5或m >5，直线l 与椭圆无公共点. (2)当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆有且仅有一个公共点． (3)当Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆有两个公共点．。
(江苏版)高考数学二轮复习 专题六 第2讲 圆锥曲线 理
第2讲圆锥曲线一、填空题1. 抛物线x=14y2的焦点坐标为.2. 双曲线210x-22y=1的焦距为.3. (2013·南通二模)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点,且经过点(2,2),则该椭圆的离心率为.4. (2013·南通三模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为.5. 椭圆29x+22y=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则∠F1PF2的大小为.6. 若椭圆22xa+22yb=1的焦点在x轴上,过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是.7. (2013·苏、锡、常一模)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为.8. (2013·宿迁一模)已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0),A,C分别是双曲线虚轴的上、下端点,B,F分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为2,则BA与CF夹角的余弦值为.二、解答题9.已知椭圆C经过点A31,2⎛⎫⎪⎝⎭,两个焦点分别为(-1,0),(1,0).(1) 求椭圆C的方程;(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.10. (2012·南京二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为3,以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.(第10题)11. (2013·徐州、宿迁三模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率e=3,A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点,圆A2的半径为a,过点A1作圆A2的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆E于点Q.(1) 求直线OP 的方程;(2) 求1PQQA 的值;(3) 设a 为常数,过点O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆E 于点B,C,分别交圆A 2于点M,N,记OBC 和OMN 的面积分别为S 1,S 2,求S 1·S 2的最大值.(第11题)第2讲 圆锥曲线1. (1,0)2. 433. 224. 45. 120°6. 25x +24y =17. 3+18. 79. (1) 由题意,c=1,可设椭圆方程为221x b ++22y b =1(b>0). 因为点A 在椭圆上,所以211b ++294b =1,解得b 2=3,b 2=-34(舍去).所以椭圆方程为24x +23y =1.(2) 设直线AE的方程为y=k(x-1)+32,代入24x+23y=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+423-k2⎛⎫⎪⎝⎭-12=0.设E(x E,y E),F(x F,y F).因为点A31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上,所以xE=2234-k-12234k⎛⎫⎪⎝⎭+,yE=kx E+32-k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代替k,可得x F=2234k-12234k⎛⎫+⎪⎝⎭+,yF=-kx F+32+k.所以直线EF的斜率k EF=--F EF Ey yx x=-()2k-E FF Ek x xx x++=12.所以直线EF的斜率为定值,其值为1 2.10. (1) 由题意知22因为离心率e=ca=3,所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12.所以2所以椭圆C的方程为28x+22y=1.(2) 由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM 的方程为y=00-1y x x+1 ①, 直线QN 的方程为y=00-2-y x x+2 ②.方法一 联立①②解得x=002-3x y ,y=003-42-3y y ,即T 00003-4,2-32-3x y y y ⎛⎫⎪⎝⎭. 由28x +202y =1,可得20x =8-420y .因为200182-3x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2003-4122-3y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2200204(3-4)8(2-3)x y y +=2200208-44(3-4)8(2-3)y y y +=2002032-96728(2-3)y y y +=20208(2-3)8(2-3)y y =1,所以点T 坐标满足椭圆C 的方程,即点T 在椭圆C 上. 方法二 设T(x,y).联立①②解得x 0=2-3x y ,y 0=3-42-3y y .因为28x +202y=1,所以2182-3x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+213-422-3y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,整理得28x +2(3-4)2y =(2y-3)2, 所以28x +292y -12y+8=4y 2-12y+9, 即28x +22y =1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程,即点T 在椭圆C 上. 11. (1) 连接A 2P,则A 2P ⊥A 1P,且A 2P=a. 又A 1A 2=2a,所以∠A 1A 2P=60°.所以∠POA 2=60°,所以直线OP 的方程为y=3x.(2) 由(1)知,直线A 2P 的方程为y=-3(x-a),A 1P 的方程为y=33(x+a),联立解得x P =2a.因为e=3,即c a =3,所以c 2=34a 2,b 2=14a 2,故椭圆E 的方程为22x a +224y a =1.由22223a),341,y x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得x Q =-7a ,所以1PQ QA =--27--(-a)7a a a⎛⎫ ⎪⎝⎭=34.(3) 不妨设OM 的方程为y=kx(k>0),联立方程组2222,41,y kx x y a a =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得B 22,1414k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,所以OB=a 22114k k ++.用-1k 代替上面的k,得OC=a 2214k k ++.同理可得,OM=21k +,ON=21k +.所以S 1·S 2=14·OB ·OC ·OM ·ON=a 422(14)(4)k k ++. 22(14)(4)k k ++2211417k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭15,当且仅当k=1时等号成立,所以S 1·S 2的最大值为45a .。
【配套K12】[学习](全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综](https://img.taocdn.com/s3/m/527a442990c69ec3d5bb75f1.png)
第3讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2018·百校联盟联考)已知N 为圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝24上一动点，圆心C 1关于y 轴的对称点为C 2，点M ，P 分别是线段C 1N ，C 2N 上的点，且MP →·C 2N —→＝0，C 2N —→＝2C 2P —→. (1)求点M 的轨迹方程；(2)直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点，AB 的中点在直线y ＝12上，求△OAB (O 为坐标原点)面积的取值范围．解 连接MC 2，因为C 2N —→＝2C 2P —→，所以P 为C 2N 的中点，因为MP →·C 2N —→＝0， 所以MP →⊥C 2N —→，所以点M 在C 2N 的垂直平分线上， 所以|MN |＝|MC 2|，因为|MN |＋|MC 1|＝|MC 2|＋|MC 1|＝26>4， 所以点M 在以C 1，C 2为焦点的椭圆上， 因为a ＝6，c ＝2，所以b 2＝2， 所以点M 的轨迹方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y22＝1，得()3k 2＋1x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－63k 2＋1，Δ＝()6km 2－4()3k 2＋1()3m 2－6＝12()6k 2＋2－m 2>0，设AB 的中点为C ()x 0，y 0，则x 0＝－3km 3k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝－3k 2m 3k 2＋1＋m ＝m3k 2＋1，由题意知m 3k 2＋1＝12，所以2m ＝3k 2＋1，由Δ>0，得0<m <4，因为|AB |＝1＋k 2×12()6k 2＋2－m 23k 2＋1＝1＋k 2×23×6k 2＋2－m23k 2＋1， 原点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △OAB ＝12×|m |1＋k2×1＋k 2×23×6k 2＋2－m 23k 2＋1 ＝m ×3×4m －m 22m ＝32×4m －m 2()0<m <4，即0<S △OAB ≤3，所以当m ＝2时，S △OAB 取最大值 3. 故△OAB 面积的取值范围为(]0，3. 思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝－12m 2＋48>0， 即－2<m <2.所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝12－3m 22. 所以当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21(x 1＋2)2＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 (2018·合肥模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E ：x 216＋y 212＝1，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M .(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M 的离心率e ＝12，且长轴的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1，得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.令Δ＝64k 2b 2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，得b 2＝3＋4k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 216＋y 212＝1，化简得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－48＝0.Δ>0显然成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2＝－8k b ，x 1·x 2＝4b 2－483＋4k 2＝4b 2－48b2.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝121＋k 2|b |，而原点O 到直线l 的距离d ＝|b |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |·d ＝6.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2或x ＝－2， 则|AB |＝6，原点O 到直线l 的距离d ＝2，∴S △ABO ＝6.综上所述，△ABO 的面积为定值6.思维升华 (1)动直线过定点问题的两大类型及解法①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2)求解定值问题的两大途径①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．跟踪演练2 (2018·凯里市第一中学模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点与曲线Γ：12x 2－4y 2＝3的一个焦点相同，O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点P ，直线OP 交抛物线于点N . (1)求抛物线C 的方程；(2)求证：直线MN 过定点G ，并求出此定点的坐标． 解 (1)由曲线Γ：12x 2－4y 2＝3， 化为标准方程可得x 214－y 234＝1，所以曲线Γ：x 214－y 234＝1是焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2＝14，b 2＝34，故c 2＝a 2＋b 2＝1，Γ的焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0(p >0)，由题意知p2＝1，所以p ＝2，即抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 设P ()－1，m ，显然m ≠0.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，从而直线OP 的方程为y ＝－mx ，联立直线OP 与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－mx ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2，－4m.①当4m 2＝m 24，即m ＝±2时，直线MN 的方程为x ＝1； ②当4m 2≠m 24，即m ≠±2时，直线MN 的方程为y －m ＝4m m 2－4⎝⎛⎭⎪⎫x －m 24，整理得MN 的方程为y ＝4mm 2－4(x －1)， 此时直线恒过定点G (1,0)，因为(1,0)也在直线MN 的方程x ＝1上， 故直线MN 恒过定点G (1,0)． 热点三 探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 已知圆C 的圆心为原点，其半径与椭圆D ：x 24＋y 23＝1的左焦点和上顶点的连线线段长度相等．(1)求圆C 的标准方程；(2)过椭圆右焦点的动直线l 2(其斜率不为0)交圆C 于A ，B 两点，试探究在x 轴正半轴上是否存在定点E ，使得直线AE 与BE 的斜率之和为0？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知，椭圆D ：x 24＋y 23＝1的左焦点的坐标为(－1,0)，上顶点的坐标为()0，3，故圆的半径r ＝()－1－02＋()0－32＝2，所以圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝4. (2)假设存在符合条件的点E . 设E ()t ，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当直线l 2的斜率存在时， 设直线l 2的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得()k 2＋1x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，Δ>0显然成立． 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.由k AE ＋k BE ＝0，得k AE ＝－k BE ， 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即k ()x 1－1x 1－t ＋k ()x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0， 即2()k 2－4k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4.即E (4,0)．当直线l 2的斜率不存在时，直线l 2的方程为x ＝1，与圆C 的交点坐标分别为(1，3)，()1，－3，由E (4,0)知满足kAE＋k BE ＝0.所以当点E 的坐标为(4,0)时，k AE ＋k BE ＝0. 思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知长轴长为4的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，点F 是椭圆的右焦点． (1)求椭圆方程；(2)在x 轴上是否存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且A ，F ，E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵ 2a ＝4，∴ a ＝2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)存在定点D 满足条件．设D (t,0)，直线l 方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6mt ·y ＋3t 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt3m 2＋4，y 1y 2＝3t 2－123m 2＋4且Δ>0.由A ，F ，E 三点共线，可得(x 2－1)y 1＋(x 1－1)y 2＝0， 即2my 1y 2＋(t －1)(y 1＋y 2)＝0， ∴ 2m ·3t 2－123m 2＋4＋(t －1)·－6mt3m 2＋4＝0，解得t ＝4， 此时由Δ>0得m 2>4.∴存在定点D (4,0)满足条件，且m 满足m 2>4.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．答案 16解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知，直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4 ＝4(1＋k 2)k2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．2．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22,焦距为2.(1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1， 所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，消去y ，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0. 由题意知，Δ>0，且x 1＋x 2＝23k 12k 1＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝2·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21. 由题意可知，圆M 的半径r 为 r ＝23|AB |＝223·1＋k 21 1＋8k 212k 21＋1. 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1，因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21 1＋8k 211＋2k 1＝324·1＋2k 211＋4k 21 1＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t >1，1t∈(0,1)，因此|OC |r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝32·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.押题预测已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，当l ⊥x 轴时，|MQ |＝3，|PN |＝4，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k，x 1x 4＝1，且Δ＝16k 2＋16>0，所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4＝4(1＋k 2)k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k2.若|PN ||MQ |＝2， 则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2，解得k ＝±62.6 2的直线l，使得|PN||MQ|＝2.故存在斜率为k＝±A 组 专题通关1．(2018·安徽省“皖南八校”联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，椭圆C上一点M 到左、右两个焦点F 1，F 2的距离之和是4. (1)求椭圆的方程；(2)已知过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若F 1M —→＝F 1A —→＋F 1B —→，求四边形AMBF 1面积的最大值． 解 (1)依题意知，2a ＝4，a ＝2， 因为e ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，可得3(my ＋1)2＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 又因为F 1M —→＝F 1A —→＋F 1B —→， 所以四边形AMBF 1是平行四边形， 设平行四边形AMBF 1的面积为S ，则S ＝12ABF S ＝2×12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝24×m 2＋13m 2＋4.设t ＝m 2＋1，则m 2＝t 2－1(t ≥1)，所以S ＝24×t 3t 2＋1＝24×13t ＋1t，因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当t ＝1时取等号)，所以S ∈(0,6]，所以四边形AMBF 1面积的最大值为6.2．已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，点P 在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积的最大值为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若在x 轴上存在点G ，使得|GM |＝|GN |，求点G 的横坐标的取值范围．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝13，12×2c ×b ＝22，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8，c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E ()x 0，y 0，点G ()m ，0，使得|GM |＝|GN |， 则GE ⊥MN .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y28＝1，得()8＋9k 2x 2＋36kx －36＝0，由Δ>0，得k ∈R 且k ≠0. ∴x 1＋x 2＝－36k9k 2＋8，∴x 0＝－18k 9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8. ∵GE ⊥MN ，∴k GE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k， ∴m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k.当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9k ＝8k ，即k ＝223时，取等号，∴－212≤m <0； 当k <0时，9k ＋8k≤－12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9k ＝8k ，即k ＝－223时，取等号，∴0<m ≤212， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－212，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，212. 3．(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)． (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k ，得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝(x 1－1)2＋y 21 ＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|.4．(2018·龙岩质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32在椭圆上．不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝0(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；(2)试判断1|OA |2＋1|OB |2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解 (1)∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32， 又c 2＝a 2－b 2，∴34a 2＝a 2－b 2，∴a 2＝4b 2. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32在椭圆上， ∴1a 2＋34b 2＝1， 即14b 2＋34b2＝1，∴b 2＝1，则a 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线OA 的斜率存在且不为0时， 设其方程为y ＝kx ，∵A ，B 分别为椭圆上的两点，且OA →·OB →＝0， 即OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 把y ＝kx 代入椭圆C ：x 24＋y 2＝1，得x 21＝41＋4k 2，∴y 21＝4k 21＋4k2，同理x 22＝4k 24＋k 2，∴y 22＝44＋k2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 21＋y 21＋1x 22＋y 22＝141＋4k 2＋4k 21＋4k 2＋14k 24＋k 2＋44＋k 2＝54. 当直线OA ，OB 中的一条直线的斜率不存在时， 则另一条直线的斜率为0，此时1|OA |2＋1|OB |2＝1a 2＋1b 2＝14＋1＝54. 综上所述，1|OA |2＋1|OB |2为定值54.B 组 能力提高5．已知点M ()x 0，y 0在圆O ：x 2＋y 2＝4上运动，且存在一定点N ()6，0，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过A (0,1)且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点E ，F ，是否存在实数k ，使得OE →·OF →＝12？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由． 解 (1)设P (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋62，y ＝y2，即x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点M ()x 0，y 0在圆x 2＋y 2＝4上运动，∴x 20＋y 20＝4，即()2x －62＋()2y 2＝4，整理，得()x －32＋y 2＝1.∴点P 的轨迹C 的方程为()x －32＋y 2＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线l 的方程是y ＝kx ＋1， 代入圆()x －32＋y 2＝1.可得()1＋k 2x 2－2()3－k x ＋9＝0，由Δ＝－32k 2－24k >0，得－34<k <0，且x 1＋x 2＝2()3－k 1＋k 2，x 1x 2＝91＋k 2，∴y 1y 2＝()kx 1＋1()kx 2＋1 ＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝9k 21＋k 2＋2k ()3－k 1＋k 2＋1＝8k 2＋6k ＋11＋k2. ∴OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝8k 2＋6k ＋101＋k 2＝12. 解得k ＝12或1，都不满足Δ>0.∴不存在实数k ，使得OE →·OF →＝12.6．(2018·河北省武邑中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，354，且两个焦点F 1，F 2的坐标依次为(－1,0)和(1,0)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，直线OE 的斜率为k 1，直线OF 的斜率为k 2，若k 1·k 2＝－1，证明：直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．解 (1)由椭圆定义得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－02＝4，即a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝3，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线EF 的斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋b ，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线EF 的方程与椭圆方程联立，消去y 得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，当判别式Δ＝3＋4k 2－b 2>0时， 得x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k ，x 1x 2＝4b 2－123＋4k .由已知k 1·k 2＝－1，即y 1y 2x 1x 2＝－1， 因为点E ，F 在直线y ＝kx ＋b 上， 所以()kx 1＋b ()kx 2＋b ＝－x 1x 2， 整理得()k 2＋1x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即()k 2＋1×4b 2－123＋4k 2＋bk ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kb 3＋4k 2＋b 2＝0，化简得b 2＝12k 2＋127.原点O 到直线EF 的距离d ＝|b |1＋k2，精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 d 2＝b 21＋k 2＝12k 2＋127k 2＋7＝127， 所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为x 2＋y 2＝127.当直线EF 的斜率不存在时，此时，直线EF 的方程为x ＝±847，满足与定圆x 2＋y 2＝127相切． 故直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，定圆的标准方程为x 2＋y 2＝127.。
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线1
4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的 右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝ 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_y_＝__±__22_x_.
解析 答案
押题预测 1.已知 F1，F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F2 作双曲 线一条渐近线的垂线，垂足为点 A，交另一条渐近线于点 B，且A→F2＝13F→2B， 则该双曲线的离心率为
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计 算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
例 3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点. (1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直，|AB|＝12a，求椭圆的离心率；
解 由题意可知，直线AB的方程为x＝－c， ∴|AB|＝2ab2＝12a，
√A.
6 2
5 B. 2
C. 3
D.2
押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近
线是高考命题的热点.
押题依据 解析 答案
2.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，且点1，32在该椭圆上. (1)求椭圆 C 的方程； 押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中 的弦长、中点等知识应给予充分关注.
【配套K12】[学习](全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综](https://img.taocdn.com/s3/m/e0eb98007375a417876f8f0f.png)
第3讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 已知N 为圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝24上一动点，圆心C 1关于y 轴的对称点为C 2，点M ，P 分别是线段C 1N ，C 2N 上的点，且MP →·C 2N →＝0，C 2N →＝2C 2P →. (1)求点M 的轨迹方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与点M 的轨迹Γ只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l ′与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，求△PAB 面积的取值范围． 解 (1)连接MC 2，因为C 2N →＝2C 2P →， 所以P 为C 2N 的中点， 因为MP →·C 2N →＝0， 所以MP →⊥C 2N →，所以点M 在C 2N 的垂直平分线上， 所以|MN |＝|MC 2|，因为|MN |＋|MC 1|＝|MC 2|＋|MC 1|＝26>4， 所以点M 在以C 1，C 2为焦点的椭圆上， 因为a ＝6，c ＝2，所以b 2＝2， 所以点M 的轨迹方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y22＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆Γ相切于点P ， 所以Δ＝(6km )2－4(3k 2＋1) (3m 2－6) ＝12(6k 2＋2－m 2)＝0，即m 2＝6k 2＋2， 解得x ＝－3km 3k ＋1，y ＝m3k ＋1，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3km 3k 2＋1，m 3k 2＋1，因为点P 在第二象限，所以k >0，m >0， 所以m ＝6k 2＋2， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－32k 3k 2＋1，23k 2＋1， 设直线l ′与l 垂直交于点Q ，则|PQ |是点P 到直线l ′的距离， 且直线l ′的方程为y ＝－1kx ，所以|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ×－32k3k 2＋1＋23k 2＋11k 2＋1＝22k3k 4＋4k 2＋1＝223k 2＋1k2＋4≤224＋23＝223＋1＝6－2，当且仅当3k 2＝1k 2，即k 2＝33时，|PQ |有最大值6－2，所以S △PAB ＝12×42×|PQ |≤43－4，即△PAB 面积的取值范围为(]0，43－4. 思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·衡水金卷信息卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一条切线方程为y ＝2x ＋22，且离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，与y 轴交于点M ，且AM →＝3MB →，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意知，离心率e ＝32＝c a， ∴c ＝32a ，b ＝12a ，∴y 2a 2＋4x2a2＝1，将y ＝2x ＋22代入，得8x 2＋82x ＋8－a 2＝0， 由Δ＝128－32(8－a 2)＝0，得a 2＝4， 故椭圆C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据已知，得M (0，m )， 设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2＝4，得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，且Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4，由AM →＝3MB →，得－x 1＝3x 2，即x 1＝－3x 2， ∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0， ∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2＋4＝0， 即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0，当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1，∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即()4－m 2m 2m 2－1>0， ∴1<m 2<4，解得－2<m <－1或1<m <2，综上所述，实数m 的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)． 热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．思维升华 (1)动直线过定点问题的两大类型及解法①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2)求解定值问题的两大途径①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．跟踪演练2 (2018·荆州质检)已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点P (12,8)的两条直线l 1，l 2分别交抛物线Γ于点C ，D 和E ，F ，线段CD 和EF 的中点分别为M ，N .如果直线l 1与l 2的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点． (1)解 由题意可设直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0，Δ＝9p 2－4×p 24＝8p 2>0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3p ，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8， ∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)证明 设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β， 由题意知，α，β≠π2.直线l 1的斜率为k ，则k ＝tan α. ∵直线l 1与l 2的倾斜角互余，∴tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝cos αsin α＝1sin αcos α＝1tan α， ∴直线l 2的斜率为1k.∴直线CD 的方程为y －8＝k (x －12)， 即y ＝k (x －12)＋8.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －12)＋8，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y ＋32－48k ＝0， 设C (x C ，y C )，D (x D ，y D )， ∴y C ＋y D ＝4k，∴x C ＋x D ＝24＋4k 2－16k，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12＋2k2－8k ，2k .以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为(12＋2k 2－8k,2k )， ∴k MN ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－k 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ＝11k ＋k －4.∴直线MN 的方程为y －2k ＝11k＋k －4[x －(12＋2k 2－8k )]， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＋k －4y ＝x －10， 显然当x ＝10时，y ＝0， 故直线MN 经过定点(10，0). 热点三 探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 (2018·河南名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的上、下焦点分别为F 1，F 2，上焦点F 1到直线4x ＋3y ＋12＝0的距离为3，椭圆C 的离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆E ：y 2a 2＋3x 216b 2＝1，设过点M (0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于A ，B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由已知椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的焦点F 1(0，c )，由F 1到直线4x ＋3y ＋12＝0的距离为3， 得|3c ＋12|5＝3， 又椭圆C 的离心率e ＝12，所以c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，求得a 2＝4，b 2＝3. 椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)存在．理由如下：由(1)得椭圆E ：x 216＋y 24＝1，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1，消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kx －12＝0， Δ＝(8k )2＋4(4k 2＋1)×12＝256k 2＋48>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－124k 2＋1.假设存在点P (0，t )满足条件， 由于PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|， 所以PM 平分∠APB .所以直线PA 与直线PB 的倾斜角互补， 所以k PA ＋k PB ＝0. 即y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(y 1－t )＋x 1(y 2－t )＝0.(*) 将y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1代入(*)式， 整理得2kx 1x 2＋(1－t )(x 1＋x 2)＝0， 所以－2k ·124k 2＋1＋(1－t )×(－8k )4k 2＋1＝0， 整理得3k ＋k (1－t )＝0，即k (4－t )＝0， 因为k ≠0，所以t ＝4.所以存在点P (0,4)，使得PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|.思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知长轴长为4的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，点F 是椭圆的右焦点． (1)求椭圆方程；(2)在x 轴上是否存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且A ，F ，E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵ 2a ＝4，∴ a ＝2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在定点D 满足条件．设D (t,0)，直线l 方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6mt ·y ＋3t 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt 3m 2＋4，y 1y 2＝3t 2－123m 2＋4且Δ>0.由A ，F ，E 三点共线，可得(x 2－1)y 1＋(x 1－1)y 2＝0， 即2my 1y 2＋(t －1)(y 1＋y 2)＝0， ∴ 2m ·3t 2－123m 2＋4＋(t －1)·－6mt 3m 2＋4＝0，解得t ＝4， 此时由Δ>0得m 2>4.∴存在定点D (4,0)满足条件，且m 满足m 2>4.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．答案 16解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知，直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．2．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1， 所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，消去y ，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0. 由题意知，Δ>0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝2·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21. 由题意可知，圆M 的半径r 为 r ＝23|AB |＝223·1＋k 21 1＋8k 212k 21＋1. 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1， 因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21 1＋8k 211＋2k 21＝324·1＋2k 211＋4k 21 1＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t >1，1t∈(0,1)，因此|OC |r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝32·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.押题预测已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，当l ⊥x 轴时，|MQ |＝3，|PN |＝4，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k2，x 1x 4＝1，且Δ＝16k 2＋16>0，所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4 ＝4(1＋k 2)k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k2.若|PN ||MQ |＝2， 则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2，解得k ＝±62. 故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.A 组 专题通关1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y2＝4x 的焦点重合． (1)求椭圆的标准方程；(2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值．解 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1，又因为e ＝c a ＝1a ＝33，所以a ＝3，所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时， 直线BD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，并化简得(3k 2＋2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.Δ＝36k 4－4(3k 2＋2)(3k 2－6)＝48(k 2＋1)>0恒成立． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2，|BD |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝()1＋k 2·[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43()k 2＋13k 2＋2. 由题意知AC 的斜率为－1k，所以|AC |＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13×1k2＋2＝43()k 2＋12k 2＋3. |AC |＋|BD |＝43()k 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫13k 2＋2＋12k 2＋3＝203()k 2＋12()3k 2＋2()2k 2＋3≥203()k 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤()3k 2＋2＋()2k 2＋322＝203()k 2＋1225(k 2＋1)24＝1635. 当且仅当3k 2＋2＝2k 2＋3，即k ＝±1时，上式取等号， 故|AC |＋|BD |的最小值为1635.②当直线BD 的斜率不存在或等于零时， 可得|AC |＋|BD |＝1033>1635.综上，|AC |＋|BD |的最小值为1635.2．已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，点P 在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积的最大值为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若在x 轴上存在点G ，使得|GM |＝|GN |，求点G 的横坐标的取值范围．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝13，12×2c ×b ＝22，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8，c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)，点G (m ，0)，使得|GM |＝|GN |， 则GE ⊥MN .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y28＝1，得()8＋9k 2x 2＋36kx －36＝0，由Δ>0，得k ∈R 且k ≠0. ∴x 1＋x 2＝－36k9k 2＋8，∴x 0＝－18k 9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8. ∵GE ⊥MN ，∴k GE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k， ∴m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k.当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9k ＝8k ，即k ＝223时，取等号，∴－212≤m <0； 当k <0时，9k ＋8k≤－12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9k ＝8k ，即k ＝－223时，取等号，∴0<m ≤212， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－212，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，212. 3．(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)． (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k ， 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解 由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32， 于是|FA →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →|| ＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.4．(2018·辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是该椭圆的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点A ，B 是椭圆C 上与坐标原点O 不共线的两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k ，且k 1k 2＝k 2.试探究|OA |2＋|OB |2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．解 (1)由题意知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 根据椭圆定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 所以2a ＝ (3＋3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝4，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C ：x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB ：y ＝kx ＋m (km ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝(8km )2－16(m 2－1)(4k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，因为k 1k 2＝k 2，所以kx 1＋m x 1·kx 2＋m x 2＝k 2， 即km (x 1＋x 2)＋m 2＝0(m ≠0)，解得k 2＝14.|OA |2＋|OB |2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22 ＝54[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝5， 所以|OA |2＋|OB |2＝5.B 组 能力提高5．(2018·衡水模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为点D ，右焦点为F 2(1,0)，延长DF 2交椭圆C 于点E ，且满足|DF 2|＝3|F 2E |. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 2作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线HA ，HB 分别与直线x ＝3交于M ，N 两点，记直线F 2M ，F 2N 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1与k 2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)椭圆C 的上顶点为D (0，b )，右焦点F 2(1,0)，点E 的坐标为(x ，y )． ∵|DF 2|＝3|F 2E |，可得DF 2→＝3F 2E →， 又DF 2→＝(1，－b )，F 2E →＝(x －1，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－b3，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫432a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32b 2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， 即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H ()－2，0，M ()3，y M ，N ()3，y N .由题意可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)>0恒成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.根据H ，A ，M 三点共线，可得y M 3＋2＝y 1x 1＋2， ∴y M ＝y 1()3＋2x 1＋2.同理可得y N ＝y 2()3＋2x 2＋2，∴M ，N 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1()3＋2x 1＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2()3＋2x 2＋2， ∴k 1k 2＝y M －03－1·y N －03－1＝14y M y N ＝14·y 1()3＋2x 1＋2·y 2()3＋2x 2＋2＝y 1y 2(3＋2)24()my 1＋1＋2()my 2＋1＋2 ＝y 1y 2(3＋2)24[]m 2y 1y 2＋()1＋2m ()y 1＋y 2＋()1＋22 ＝－11－62m 2＋24⎣⎢⎡⎦⎥⎤－m 2m 2＋2＋－2()1＋2m 2m 2＋2＋3＋22＝－11－62m 2＋24×6＋42m 2＋2＝42－98. ∴k 1与k 2之积为定值，且该定值是42－98. 6．(2018·潍坊模拟)已知平面上动点P 到点F ()3，0的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1.①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程，并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设P (x ，y )，由题意，得()x －32＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32. 整理，得x 24＋y 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2， ∵直线与圆有两个不同交点C ，D ， ∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. 又∵m 24＋n 2＝1(m ≠0)， ∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4. ∵|m |≤2，∴0<m 2≤4，∴0<1－43m 2＋4≤34. ∴|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(]0，3， 即|CD |的取值范围为(]0，3.②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1；当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12. 根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1.下面证明：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得 (m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0， ∴Δ＝4m 2－16()1－n 2＝4()m 2＋4n 2－4＝0恒成立，从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B＝1()A ·B ≠0恒相切．。
【K12教育学习资料】[学习]江苏省2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案
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第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆的有关知识为B 级要求，双曲线、抛物线的有关知识为A 级要求．热点一 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x 的焦点相同，则双曲线的方程是________． 答案x 25－y 220＝1 解析 由题意得b a ＝2，c ＝5，再由c 2＝a 2＋b 2得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程是x 25－y 220＝1.(2)(2018·南通等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P ()－2，3，则双曲线C 的焦距为________． 答案 4 3解析 ∵双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，∴设双曲线C 的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，∵双曲线C 经过点P ()－2，3， ∴λ＝4－1＝3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 29＝1.∴双曲线C 的焦距为23＋9＝4 3.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求|PF 1－PF 2|＜F 1F 2.(2)注意数形结合，画出合理草图．跟踪演练1 (1)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线方程为________．答案 y 2＝3x解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线与x 轴的交点为G ，设BF ＝a ， 则由已知得BC ＝2a ，由抛物线定义，得BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵AE ＝AF ＝3，AC ＝3＋3a ， 由2AE ＝AC ，得3＋3a ＝6，从而得a ＝1，FC ＝3a ＝3. ∴p ＝FG ＝12FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x . 热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________． 答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝OB ＝2 2. 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tanπ4＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．跟踪演练2 (1)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．(2)(2018·江苏省盐城中学模拟)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，(*)将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入(*)式，解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a2c2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.热点三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析 设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件Δ≥0.涉及中点问题也可以用点差法．跟踪演练3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________． 答案 a 2解析 设P ()x ，y ，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y ，y ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y ，y ，于是PR →·PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y －x ，0· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y －x ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y －x ＝x 2－a 2b 2y 2＝1b 2()b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2b 2＝a 2.(2)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b ＝________. 答案22解析 由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立渐近线与椭圆方程消去y ，得x 2＝(b 2＋5)b25b 2＋20，又∵C 1将线段AB 三等分， ∴1＋22×2(b 2＋5)b 25b 2＋20＝2a 3，解得b 2＝12.∴b ＝22.1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 答案 2解析 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc |b 2＋a2＝b .∴b ＝32c ， ∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝c a＝2.2．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 答案 2 3解析 渐近线方程为y ＝±33x ，右准线方程为x ＝32， 得P ，Q 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.PQ ＝3，F 1F 2＝2c ＝4，所以四边形F 1PF 2Q 的面积等于12×4×3＝2 3.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且FM ＝4PM ，则双曲线C 的离心率为_________________． 答案5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝bax ，右焦点F ()c ，0，过F 与渐近线垂直的直线为y ＝－ab()x －c ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab ()x －c ，可解得x M ＝a 2c ，y M ＝ab c，在y ＝－a b ()x －c 中，令x ＝0，可得y P ＝ac b， ∵FM ＝4PM ，∴FM →＝4MP →，∴a 2c －c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 2c ，整理得5a 2＝c 2，则e 2＝5， ∴e ＝5，即双曲线C 的离心率为 5.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是_________________________________．答案63解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2， 又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b24＝0，(*)又因为b 2＝a 2－c 2.代入(*)式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 5．(2018·无锡期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 216＋y 212＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21PF 2的最小值为________． 答案 8解析 由已知c ＝16－12＝2，∴F 1()－2，0，F 2()2，0，e ＝24＝12 .又双曲线C 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，∴a2＋b 2＝c 2＝4，e c ＝2a ＝1e ＝2，∴a 2＝1，b 2＝3 ，则双曲线C: x 21－y 23＝1.P 在右支上，∴PF 1>PF 2，根据双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a ＝2，∴PF 1＝2＋PF 2 ，PF 21＝()2＋PF 22＝PF 22＋4PF 2＋4，∴PF 21PF 2＝PF 22＋4PF 2＋4PF 2＝PF 2＋4PF 2＋4≥2PF 2·4PF 2＋4＝8，当且仅当PF 2＝2时等号成立．故PF 21PF 2的最小值为8.A 组 专题通关1．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝____________________________________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2018·淮安等四市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________． 答案52解析 y ＝b a x ＝12x ，所以b a ＝12，得离心率e ＝c a ＝52.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是________． 答案 1解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2ax .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2a＝2，解得a ＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________． 答案 92解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，又因为过点P (1,3)，则p ＝92.即为焦点到准线的距离．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________． 答案 4解析 设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15， 即M (3，±15)． 由两点间距离公式得MF ＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________． 答案x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，又渐近线过点(2，3)， 所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7， 即a 2＋b 2＝7，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________． 答案 12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt△FOB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.8．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0, 2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围为________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 设直线l 的方程为 y －2＝k ()x －0， 即y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立可得 ()2k 2＋1x 2＋42kx ＋2＝0，直线与椭圆有两个不同的交点，则 Δ＝()42k 2－8()2k 2＋1>0，解得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析 圆的方程可化为x 2＋()y －32＝4，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，依题意有3aa 2＋b2>2，整理得3a ＞2c ，∴e <32，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 10．已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，若点M 为右准线上一点，点A 为椭圆C 的左顶点，连结AM交椭圆于点P ，则PM AP的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 设点P 的横坐标为x 0，则PM AP ＝12x 0＋4－1， ∵－4＜x 0≤4，∴PM AP ＝12x 0＋4－1≥12， ∴PM AP 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. B 组 能力提高11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________． 答案 2 5解析 由已知，得b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝－1，所以b a ＝63. 由点F (c,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c ⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋(－1)2＝2，可得c ＝5，则2c ＝2 5.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________________．答案 x 25－y 24＝1 解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0)，所以c ＝3，又双曲线的两条渐近线bx ±ay ＝0均和圆C 相切，所以3ba 2＋b 2＝2，即3b c＝2， 又因为c ＝3，所以b ＝2，即a 2＝5，所以该双曲线的方程为x 25－y 24＝1. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有________个．答案 2解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得MF 1＋MF 2＝2a ＝10，且F 1F 2＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长为MF 1＋MF 2＋F 1F 2＝10＋6＝16.设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ，由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32. 设M (x 0，y 0)，则12MF F S ＝12(MF 1＋MF 2＋F 1F 2)·r ＝12·F 1F 2·|y 0|， 即12×16×32＝12×6·|y 0|，解得|y 0|＝4. ∴y 0＝±4，∴M (0,4)或M (0，－4)．即满足条件的点M 有2个．14．(2018·江苏省盐城中学期末)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 1上存在点P ，由点P 向圆C 2所作的两条切线为PA, PB 且∠APB ＝60°，则椭圆C 1的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 因为∠APB ＝60°，所以∠POB ＝60°，在Rt △POB 中，由OB ＝b ，得PO ＝2b ，由点P 在椭圆上知， b <PO ＝2b ≤a ，所以4b 2＝4()a 2－c 2≤a 2，解得e ≥32，又知0<e <1，故椭圆C 1的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1. 15．(2018·全国大联考江苏卷)已知M ，N 是离心率为2的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，则|k 1|＋4|k 2|的最小值为________．答案 4 3解析 设M (p ，q )，N (－p ，－q )，P (s ，t )，则p 2a 2－q 2b 2＝1, s 2a 2－t 2b 2＝1，两式相减整理得，p 2a 2－s 2a 2＝q 2b 2－t 2b 2，∴q 2－t 2p 2－s 2＝b 2a 2，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2， ∴c a ＝2，c 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，由斜率公式可得k 1k 2＝q 2－t 2p 2－s 2＝3，∴k 1与k 2同号，∴|k 1|＋4|k 2|≥2 |k 1|·4|k 2|＝4|k 1|·|k 2|＝43，当且仅当|k 1|＝4|k 2|，即k 1＝4k 2时等号成立，∴|k 1|＋4|k 2|的最小值为4 3.16.如图，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝r 2都过点P (－1,0)，且椭圆C 1的离心率为22，过点P 作斜率为k 1，k 2的直线分别交椭圆C 1，圆C 2于点A ，B ，C ，D ，且k 1＝λk 2，若直线BC 恒过定点Q (1,0)，则λ＝________.答案 2解析 因为椭圆过点P (－1,0)，所以a ＝1， 又椭圆的离心率为22，所以c ＝22， 则b 2＝1－12＝12，故C 1：x 2＋2y 2＝1， 又由题意得圆C 2：x 2＋y 2＝1.由x 2＋y 2＝1与y ＝k 1(x ＋1)联立，消去y 得(k 21＋1)x 2＋2k 21x ＋k 21－1＝0，解得x ＝－1或x ＝1－k 21k 21＋1， 故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21k 21＋1，2k 1k 21＋1， 同理可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 222k 22＋1，2k 22k 22＋1. 因为B ，C ，Q 三点共线，所以2k 1k 21＋11－k 21k 21＋1－1＝2k 22k 22＋11－2k 222k 22＋1－1， 解得k 1＝2k 2，故λ＝2.。
专题五第2讲圆锥曲线的概念与性质和最值问题
(1)在解答题中作为考题的第一问，由已 知条件直接求圆锥曲线的方程． (2)在选择题或填空题中与圆锥曲线的几 何性质交汇命题.
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题五
解析几
解 题 规 范 流 程
x2 2 【例 1】 (1)(2013· 朝阳一模)以双曲线 3 －y ＝1 的 右 焦 点 为 焦 点， 顶 点在 原 点 的 抛 物线 的 标准 方 程 是 ________． (2)(2013· 烟台一模)若点 P 是以 A(－ 10， 0)、 B( 10， 0)为焦点，实轴长为 2 2的双曲线与圆 x2＋y2＝10 的一 个交点，则|PA|＋|PB|的值为 A．2 2 B．4 2 C．4 3 D．6 2
答案
5
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题五
解析几
解 题 规 范 流 程
考点三：圆锥曲线中的最值或范围问题
函数与方程的思想方法 题型 解答题 难度 [考情一点通] 中档或较难
考 点 核 心 突 破
以直线和圆锥曲线为背景，通过巧妙的设计 与整合，考查直线与圆锥曲线相交弦的最值 考查 、三角形或四边形面积的最值、某个量的取 内容 值范围等，最值问题常与函数、解不等式等 知识交汇，一般要应用函数的单调性、基本 不等式或条件中某个量自身的范围求解.
考 点 核 心 突 破
1 C.2或 2
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
江苏省2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考提能 五大技巧简化几何的综合问题学案
五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质例1 (1)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则PA ＋PO 的最小值是__________． 答案 213解析 如图，可求A ()－2，4，再求A ()－2，4关于抛物线的准线x ＝2的对称点A ′()6，4，因此PA ＋PO ＝PA ′＋PO ，当O ，P ，A ′三点共线时PA ＋PO 取到最小值．即()PA ＋PO min ＝A ′O ＝62＋42＝213.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案62解析 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧AF 1＋AF 2＝4，AF 2－AF 1＝2a ，AF 21＋AF 22＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 跟踪演练1 (1)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1,3)，B (3,0)，P 为椭圆上一点，则PA ＋PB 的最大值为______．答案 15解析 由椭圆方程可知点B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B ′，由椭圆的定义可知PB ＝2a －PB ′＝10－PB ′， 则PA ＋PB ＝10＋()PA －PB ′， 很明显，()PA －PB ′max ＝AB ′ ＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得PA ＋PB 的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则PF PA的最小值为______． 答案22解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知PF ＝x P ＋m ，又PA 2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫PF PA2＝(x p ＋m )2(x p ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)， 所以PF PA ≥22，所以PF PA 的最小值为22. 技巧二 设而不求，整体代换例2 (1)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是___________________________． 答案 6x －5y －28＝0解析 由4x 2＋5y 2＝80得x 220＋y 216＝1，∴椭圆上顶点为B (0,4)，右焦点F (2,0)为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C (3，－2)． 直线l 的斜率存在，设为k ， ∵点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋5y 21＝80，4x 22＋5y 22＝80，∴4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋5(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65. ∴直线l 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34解析 由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称， 设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)， 则x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1， 即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)，两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34×x 0－x 1y 0－y 1＝－34×1kPA 1. 因为直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1， 所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34跟踪演练2 (2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过其左焦点F (－c,0)的直线交椭圆M 于A ，B 两点，若弦AB 的中点为D (－4,2)，则椭圆M 的方程是________． 答案x 272＋y 236＝1 解析 设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式得x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝4.将A ，B 的坐标分别代入M 的方程中得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减，化简得y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a 2，又因为A ，B ，D ，F 四点共线，所以2－0c －4＝y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，所以a 2＝b 2(c －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2(c －4)，c 2a 2＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝72，b 2＝36，c ＝6，所以椭圆M 的方程为x 272＋y 236＝1.技巧三 根与系数的关系，化繁为简例3 已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形．(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →＝611OF 2→，求直线l 的方程．解 (1)因为椭圆C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b ＝c ， 因为S ＝a 2＝2，所以a ＝2，b ＝c ＝1，故椭圆Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，因为x 1,2＝－4km ±8(2k 2－m 2＋1)2(1＋2k 2) 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k2，Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，(*)y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2，y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2， 由PF 2→·QF 2→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝0，得3m 2－1＋4km ＝0，即k ＝1－3m24m，PQ 的中点为点C ⎝⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －m2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2km 2k 2＋1，令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－km 2k 2＋1，0， 由OA →＝611OF 2→，得－km 2k 2＋1＝611，将k ＝1－3m 24m 代入上式，得3m 4－m 29m 4＋2m 2＋1＝311， 即6m 4－17m 2－3＝0，解得m 2＝3，所以m ＝3，k ＝－233或m ＝－3，k ＝233，经检验满足(*)式，所以直线PQ 的方程为 2x ＋3y －3＝0或2x －3y －3＝0.跟踪演练3 (2018·连云港期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A, B 两点，若FA →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 答案 ±2 2解析 当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意． ∵抛物线C 的焦点F (1,0)， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝2(2＋k 2)±4(2＋k 2)2－4k42k 2， 则x 1＋x 2＝2()2＋k 2k2，x 1·x 2＝1， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k，①∵FA →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴FA →＝2BF →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2，②①②联立可得，x 2＝k 2－4k 2，y 2＝－4k，代入抛物线方程y 2＝4x 可得k 2＝8， 故 k ＝±2 2.技巧四 平几助力，事半功倍例4 (1)已知直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交抛物线x 2＝4y 于E ，F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27，则k ＝________. 答案 ±1解析 直线y ＝kx ＋1()k ≠0恒过定点()0，1， 则EF ＝y E ＋y F ＋p ， 圆心到x 轴的距离为d ＝y E ＋y F2，圆的半径为r ＝EF2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去x 得，y 2－2()1＋2k 2y ＋1＝0，则y E ＋y F ＝2()1＋2k 2， 所以根据垂径定理有⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＝⎝⎛⎭⎪⎫y E ＋y F 22＋()72，代入计算得k ＝±1.(2)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点Q 在圆C ：()x ＋32＋()y －32＝1上，点R 是点P在y 轴上的射影，则PQ ＋PR 的最小值是________． 答案 3解析 根据抛物线的定义，可知PR ＝PF －1，而PQ 的最小值是PC －1， 所以PQ ＋PR 的最小值就是PF ＋PC －2的最小值，当C ，P ，F 三点共线时，PF ＋FC 最小，最小值是CF ＝(－3－1)2＋(3－0)2＝5 ， 所以PQ ＋PR 的最小值是3.跟踪演练4 已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为___________． 答案 32解析 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4,0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM ＝AF ，所以AK ＝2AM ，所以∠MAK ＝45°，所以AM ＝MK ＝AF ，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以KF ＝AF ，所以△AFK 的面积为12KF 2＝32.技巧五 巧设参数，方便计算例5 (2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上位于第一象限的点，O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为________． 答案2解析 S 四边形OAMB ＝S △OAB ＋S △AMB ＝12()2＋AB ·d ＝12(2＋5d )，其中d 为点M 到直线AB 的距离，当M 到直线AB 距离最远时S四边形OAMB取得最大值，设M (2cos θ，sin θ)，直线AB ：x ＋2y－2＝0，所以d ＝||2cos θ＋2sin θ－25＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－25≤22－25，故S四边形OAMB的最大值为 2.跟踪演练5 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若AF ＝3，则△AOB 的面积为________． 答案322解析 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及BF ＝m ， ∵AF ＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝13，∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∵cos θ＝13，0＜θ＜π，∴sin θ＝223，∴△AOB 的面积为S ＝ 12×OF ×AB ×sin θ＝ 12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322.。
江苏高考数学理二轮专题复习课件6.2圆锥曲线
相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
[思路点拨] (1)由离心率的概念得a，c之间的 关系，转化为a，b之间的关系，从而求出其 渐近线方程．(2)注意到△ABF为等边三角形 和双曲线的对称性，用p表示点A(或B)的坐标， 代入双曲线方程，求p的值．
－8k 12 2 2 3 可得 2 ＝ 2，且k > ， 2 3 ＋ 4 k 3 ＋ 4 k
3 3 解得k＝－2或k＝2， 3 3 所以，直线m的斜率为－2或2.
考向二
圆锥曲线的几何性质
x2 y2 【例2】 (1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C： a2 － b2 ＝ 5 1(a>0，b>0)的离心率为 2 ，则C的渐近线方程为 ________.
【变式训练1】 (2013·陕西)已知动点M(x，y) 到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离 的2倍． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两 点．若A是PB的中点，求直线m的斜率． 解 (1)如图1，设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.
[思路点拨](1)第(1)问，注意到圆M与圆N的圆心 关于原点对称，暗示曲线C可能是椭圆或双曲 线．依据两圆的位置关系，建立关系式，利用 定义求曲线C的方程．(2)在第(2)问中，先求圆P 的方程，然后利用直线l与圆相切，求出直线l的 方程，进而求弦AB的长． 解 由圆M：(x＋1)2＋y2＝1，知圆心M(－1,0)， 半径r1＝1， 根据圆N的方程，知圆心N(1,0)，半径r2＝3.
[思考3]
若抛物线的方程为x2＝ay，则其焦点坐标和准线方程分
[配套K12]2019高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质学案 理
![[配套K12]2019高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质学案 理](https://img.taocdn.com/s3/m/94b03907336c1eb91b375d0c.png)
第二讲 圆锥曲线的方程与性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . [对点训练]1．(2018·江西九江模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752[解析] 由题意可得，a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6. ∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72，故选C.[答案] C2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 [解析] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.[答案] D3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152x[解析] 设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .[答案] B4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D.6＋3 2[解析] 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A 、F 0、P 三点共线时取得“＝”，故选B.[答案] B[快速审题] 看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .考点二 圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .[解析][答案] (1)A (2)D[解析][答案] 5－2 2[解析][答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，5＋12[解析][答案] C[解析]考点三抛物线中的最值问题[解析] (1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.当A、P、M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.[答案] (1)C (2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2018·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 [解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D2．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋4 2C ．213D ．4 3[解析] 由已知可得抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线方程为x ＝2.设点A 的坐标为(x 0，y 0)，根据抛物线的定义可得2－x 0＝4，所以x 0＝－2，y 0＝±4.O 关于准线的对称点为O ′(4,0)，则当点P 为AO ′与准线x ＝2的交点时，|PA |＋|PO |有最小值，且最小值为|AO ′|＝213.[答案] C1．(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵a 2＝3，b 2＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝2.又∵焦点在x 轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．[答案] B2．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ， 则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9，∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由题意易知直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，① 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．② 联立①②得y ＝35(a ＋c )，如图，过P 向x 轴引垂线，垂足为H ，则|PH |＝35(a ＋c )． 因为∠PF 2H ＝60°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PH |＝35(a ＋c )， 所以sin60°＝|PH ||PF 2|＝35(a ＋c )2c ＝32， 即a ＋c ＝5c ，即a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.故选D.[答案] D4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． [解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝2. [答案] 2 5．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．[解析] 解法一：如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ，∴n m ＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋(3k )2k＝2. 连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝ca＝23＋1＝2(3－1)(3＋1)(3－1)＝3－1. 解法二：双曲线N 的离心率同解法一．由题意可得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c ，代入椭圆M的方程，并结合a ，b ，c 的关系，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得ca＝3－1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a＝3＋1舍去.[答案] 3－1 2圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题[感悟体验]1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，则E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2[解析] 如图所示，设PF 1、PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M 、N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝ca＝33＝3，故选C.[答案] C2.(2018·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析] 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ， ∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝b a，∴⎩⎨⎧|PF 2||PF 1|＝ba，PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得{ |PF 1|＝2a ，PF 2|＝2b .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝c a＝ 5. [答案]5专题跟踪训练(二十五)一、选择题1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 [解析] 由题意3x 0＝x 0＋p 2，x 0＝p 4，则p 22＝2，∵p >0，∴p ＝2.故选D.[答案] D2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( ) A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1 [解析] 椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.故选C.[答案] C3．(2018·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1 [解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，选A.[答案] A4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为3，即e ＝c a＝3，则有c ＝3a ，进而b ＝c 2－a 2＝2a .又由该双曲线的焦点在y 轴上，则其渐近线方程为y ＝±a b x ＝±22x .故选B.[答案] B5．(2018·郑州一模)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4[解析] 双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线方程是y ＝±2x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±p .又△AOB 的面积为1，∴12·p2·2p ＝1.∵p >0，∴得p ＝ 2.故选B.[答案] B6．(2018·东北三校联考)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是( )A.52 B.72 C.153 D.173[解析] 设|F 1Q |＝t (t >0)，则|PF 1|＝2t ，由双曲线的定义有，|F 2Q |＝t ＋2a ，|PF 2|＝2t ＋2a ，又F 2Q ⊥PQ ，所以△F 1F 2Q ，△PQF 2都为直角三角形．由勾股定理有⎩⎪⎨⎪⎧|F 1Q |2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|QF 2|2＝|PF 2|2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋(t ＋2a )2＝4c 2，(3t )2＋(t ＋2a )2＝(2t ＋2a )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a3，c ＝173a .故离心率e ＝ca ＝173.故选D. [答案] D7．(2018·长沙一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.[答案] A8．(2018·陕西西安三模)已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2 D.233[解析] 将圆的一般方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准方程(x －2)2＋y 2＝1.由圆心(2,0)到直线b ax －y ＝0的距离为1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233.故选D.[答案] D9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点M ，N ，若M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32 C.33 D.23[解析] 由题意可知，M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则b 2a ＝233c ，则3b 2＝23ac ，即3c 2＋23ac －3a 2＝0.上式两边同除以a 2，整理得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3或e ＝33.由0<e <1，得e ＝33.故选C. [答案] C10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16 [解析] 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a＝3，故|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B.[答案] B11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32B ．3C ．2 3D ．4 [解析] 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可知其渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠MOx ＝30°，∴∠MON ＝60°，不妨设∠OMN ＝90°，则易知焦点F 到渐近线的距离为b ，即|MF |＝b ＝1，又知|OF |＝c ＝2，∴|OM |＝3，则在Rt △OMN 中，|MN |＝|OM |·tan∠MON＝3.故选B.[答案] B12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1，故选D. [答案] D 二、填空题13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．[解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝22＝ 2.[答案]214．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为________．[解析] 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49， 于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.[答案]x 249＋y 224＝1 15．(2018·西安四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P 、Q 两点，若P 恰为线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，教育配套资料K12教育配套资料K12 则此双曲线的渐近线方程为____________．[解析] 根据题意，P 是线段F 1Q 的中点，QF 1⊥QF 2，且O 是线段F 1F 2的中点，故OP ⊥F 1Q ，而两条渐近线关于y 轴对称，故∠POF 1＝∠QOF 2，又∠POF 1＝∠POQ ，所以∠QOF 2＝60°，渐近线的斜率为±3，故渐近线方程为y ＝±3x .[答案] y ＝±3x16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2， 由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0， c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63. [答案] 63。
【K12教育学习资料】[学习](江苏专用)2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2](https://img.taocdn.com/s3/m/aa45ce160722192e4536f681.png)
2.1 圆锥曲线学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义．(重点、难点) 2.通过用平面截圆锥面感受、了解双曲线、抛物线的定义．(难点)[自主预习·探新知]1．用平面截圆锥面得到的图形用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．2．圆锥曲线定义椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．3．三种圆锥曲线设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.1．判断正误：(1)到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(3)椭圆上的一点与椭圆的两焦点，一定构成一个三角形．( )(4)平面内到一定点与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )【解析】(1)×.当常数大于两定点间的距离时，动点的轨迹才是椭圆．(2)×.应该是差的绝对值，否则轨迹是双曲线的一支．(3)×.当椭圆上的点在F1F2的延长线上时，不能构成三角形．(4)×.定点不能在定直线上才是抛物线．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2．动点P(x，y)，到定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为6，则点P的轨迹为________.【导学号：95902065】【解析】 ∵AB ＝4，PA ＋PB ＝6＞4，∴点P 的轨迹为椭圆．【答案】 椭圆[合 作 探 究·攻 重 难](1)在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹为________．(2)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切，求动圆圆心的轨迹．[思路探究] 根据椭圆的定义判断．【自主解答】 (1)由正弦定理，得BC ＋AC AB ＝54，又AB ＝8，∴BC ＋AC ＝10＞AB ， 由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆．【答案】 (1)以点A 、B 为焦点的椭圆(除去与A 、B 所在同一直线的两个定点)．(2)如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r . 由题意得动圆M 内切于圆C 1，∴MC 1＝13－r .圆M 外切于圆C 2，∴MC 2＝3＋r .∴MC 1＋MC 2＝16>C 1C 2＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆．[规律方法] 已知平面内动点P 及两个定点F 1，F 2：(1)当PF 1＋PF 2>F 1F 2时，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆；(2)当PF 1＋PF 2＝F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2；(3)当PF 1＋PF 2<F 1F 2时，点P 的轨迹不存在.[跟踪训练]1．已知△ABC 中，A (0，－3)，B (0,3)，且△ABC 的周长为16，试确定顶点C 的轨迹.【导学号：95902066】【解】 由A (0，－3)，B (0,3)得AB ＝6，又△ABC 的周长为16，所以CA ＋CB ＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知点C 在以A ，B 为焦点的椭圆上，又因为A 、B 、C 为三角形的顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，所以点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(除去与A 、B 所在同一直线上的两个点).(1)已知点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，则点M 的轨迹为________． (2)若A 是定直线l 外的一定点，则过点A 且与l 相切的圆的圆心的轨迹是________．[思路探究] (1)把条件转化为M 到定点与定直线的距离相等；(2)利用圆心到A 的距离与到切线的距离相等．【自主解答】 (1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．(2)圆心与A 点的距离等于圆心到直线l 的距离，所以圆心的轨迹是抛物线．【答案】 (1)抛物线 (2)抛物线[规律方法]1．(1)要首先判断定点是否在定直线上；(2)要准确判断准线的位置．2．已知平面内定点F 及定直线l ，动点P 满足PF ＝d (d 为点P 到直线l 的距离)：(1)当定点F 不在定直线l 上时，动点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线；(2)当定点F 在定直线l 上时，动点P 的轨迹是以定点F 为垂足且与定直线l 垂直的一条直线．[跟踪训练]2．动点P (x ，y )满足|3x －4y ＋1|5＝x －2＋y －2，则点P 的轨迹为________.【导学号：95902067】【解析】 |3x －4y ＋1|5的几何意义是点P (x ，y )到定直线3x －4y ＋1＝0的距离，x －2＋y －2的几何意义是点P (x ，y )到定点(2,1)的距离，由|3x －4y ＋1|5＝x －2＋y －2可知动点P (x ，y )满足到定直线3x －4y ＋1＝0的距离与到定点(2,1)的距离相等，且定点不在定直线上，所以点P的轨迹为抛物线．【答案】抛物线[探究问题]1．双曲线的定义是什么？【提示】平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．2．如果把双曲线定义中的动点设为P，常数设为 2a，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？【提示】|PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)3．如果把定义中的“绝对值”去掉，变为动点P满足PF1－PF2＝2a(2a＜F1F2)，那么点P的轨迹是什么？【提示】动点P的轨迹是双曲线的一支(靠近焦点F2的一支)．4．如果把双曲线定义中的条件“2a＜F1F2”去掉，动点P的轨迹是什么？【提示】如果2a＝F1F2，则动点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；如果2a＞F1F2，则动点P的轨迹不存在．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹.【导学号：95902068】[思路探究] 根据动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，分别转化为两圆外切的条件，利用这两个条件寻找圆心M与两定点C1、C2距离之间的关系，并结合圆锥曲线的定义进行判断．【自主解答】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1－AC1|＝MA，|MC2－BC2|＝MB，因为MA＝MB，所以|MC1－AC1|＝|MC2－BC2|，即|MC2－MC1|＝|BC2－AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2，又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．[规律方法]1．本题以圆与圆的位置关系为载体融点的轨迹求法于其中，求解时可利用圆与圆的位置关系找出动点的等量关系(如本例中得到|MC1－AC1|＝MA，|MC2－BC2|＝MB)在此基础上对等量关系化简变形，得出相应动点的轨迹．2．在解与双曲线有关的轨迹问题时，要注意双曲线定义中的条件“距离的差的绝对值”，判断所求的轨迹是双曲线的一支还是两支．[跟踪训练]3．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹是________．【解析】设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相减得|MC1－MC2|＝4.又因为C1(－3,0)，C2(3,0)，并且C1C2＝6>4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支．【答案】以C1，C2为焦点的双曲线的右支[构建·体系][当堂达标·固双基]1．动点P到两定点A(－1,0)，B(1,0)的距离之和为4，则点P的轨迹为________．【解析】因为AB＝2，PA＋PB＝4，所以点P的轨迹为椭圆．【答案】椭圆2．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹为________.【导学号：95902069】【解析】动点P到定点F和到定直线x＝－2的距离相等，∴P点的轨迹为抛物线．【答案】抛物线3．平面内动点P到定点F1(－4,0)的距离比它到定点F2(4，0)的距离大6，则动点P的轨迹方程是________．【解析】由|PF1－PF2|＝6<8＝F1F2知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．【答案】以F1，F2为焦点的双曲线的右支4．已知F1，F2是定点，F1F2＝8，动点M满足MF1＋MF2＝8，则动点M的轨迹是________．【解析】∵MF1＋MF2＝8＝F1F2，∴点M的轨迹是线段F1F2.【答案】线段F1F25．已知：圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝25，动圆C与圆C1外切与圆C2内切，求动圆圆心C的轨迹.【导学号：95902070】【解】设圆C的半径为r，由动圆C与圆C1外切，与圆C2内切得CC1＝r＋1，CC2＝5－r，所以CC1＋CC2＝(r＋1)＋(5－r)＝6＞C1C2＝2，故C轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．。
高考数学二轮学习精品讲义学生版】第三部分_重点板块_专题五解析几何：第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义与标准方程[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D.2x ±y ＝01．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.4552．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝13．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．考点二 圆锥曲线的性质[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________．1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±22x D.y ＝±32x2．(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1―→·AF 2―→＝0，AF 2―→＝2F 2B ―→，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.743．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋24．已知F1，F2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．考点三直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系[例3]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p ＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH| |ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围．2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·济南模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点F 的坐标为(－5，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±43xB.y ＝±34xC ．y ＝±53xD.y ＝±35x2．已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.552＋2B.522＋1C.522－2D.522－13．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322C.22D.324．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.55．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D.36．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF ―→＝3FB ―→，则k ＝( )A.1B.2C.3D.2二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF ―→＝3FB ―→，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．三、解答题10．(2019·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为5 5.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知DF 1＝52. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2，1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1，0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．3.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．。
【配套K12】[学习](江苏专用)2018-2019学年高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 苏
2018-2019学年高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 苏](https://img.taocdn.com/s3/m/891441c76294dd88d0d26bf1.png)
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．) 1．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝__________.【导学号：95902166】【解析】 a 2＝1，b 2＝m ，∴c 2＝1＋m ，e ＝ca ＝1＋m1＝3，求得m ＝2. 【答案】 23．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________．【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.【答案】 (3,4)∪(4,5)4．以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________．【解析】 设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，则－p2＝3，p ＝－6，则抛物线方程为x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【导学号：95902167】【解析】 依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，即p ＝2.【答案】 26．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______．【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2中，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【答案】 2 120°7．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】y 24＋x 23＝1(y ≠±2) 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．【解析】 由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切得2ba 2＋b 2＝3，由c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 23＝19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1的右焦点，则双曲线的离心率为__________.【导学号：95902168】【解析】 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，则双曲线x 2a 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)，即有c ＝a 2＋3＝2，则a ＝1，故双曲线的离心率为e ＝ca＝2.【答案】 210．已知抛物线C ：x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________．【解析】 显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4tx －1，代入抛物线方程得2tx 2－4x ＋t ＝0.由题意Δ＝16－8t 2<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．【解析】 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 【答案】 612．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.【导学号：95902169】【解析】 x 2＋y 2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎪⎬⎪⎫PO ＝r ＋1PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1＜AO ＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． 【答案】 双曲线的一支13.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.【导学号：95902170】图1【解析】 将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．【答案】6314．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，则k ＝________.【解析】 过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝FA ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋，y 2＝8x ，⇒消去x 得y 2－8ky ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.【答案】223二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .【导学号：95902171】【解】 设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0)．(2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23，所以a ＝13，b 2＝89 ，所以双曲线C 2的方程为9x 2－98y 2＝1，离心率e ＝3.16．(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.17．(本小题满分14分)如图2所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.【导学号：95902172】图2【解】 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k2|x 1－x 2| ＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×32－4×5×85＝85.18．(本小题满分16分)如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .图3(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1. 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上， 所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.19．(本小题满分16分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【导学号：95902173】【解】 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .20．(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB ＝32F 1F 2. (1)求椭圆的离心率．(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程．【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝32F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )， 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c 3＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c2＝53c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，故有⎝⎛⎭⎪⎫c ＋2c 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－2c 32＝8＋59c 2.解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。
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第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆的有关知识为B 级要求，双曲线、抛物线的有关知识为A 级要求．热点一 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x 的焦点相同，则双曲线的方程是________． 答案x 25－y 220＝1 解析 由题意得b a ＝2，c ＝5，再由c 2＝a 2＋b 2得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程是x 25－y 220＝1.(2)(2018·南通等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P ()－2，3，则双曲线C 的焦距为________． 答案 4 3解析 ∵双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，∴设双曲线C 的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，∵双曲线C 经过点P ()－2，3， ∴λ＝4－1＝3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 29＝1.∴双曲线C 的焦距为23＋9＝4 3.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求|PF 1－PF 2|＜F 1F 2.(2)注意数形结合，画出合理草图．跟踪演练1 (1)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线方程为________．答案 y 2＝3x解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线与x 轴的交点为G ，设BF ＝a ， 则由已知得BC ＝2a ，由抛物线定义，得BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵AE ＝AF ＝3，AC ＝3＋3a ， 由2AE ＝AC ，得3＋3a ＝6，从而得a ＝1，FC ＝3a ＝3. ∴p ＝FG ＝12FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x . 热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________． 答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝OB ＝2 2. 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tanπ4＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．跟踪演练2 (1)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．(2)(2018·江苏省盐城中学模拟)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，(*)将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入(*)式，解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a2c2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.热点三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析 设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件Δ≥0.涉及中点问题也可以用点差法．跟踪演练3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________． 答案 a 2解析 设P ()x ，y ，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y ，y ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y ，y ，于是PR →·PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y －x ，0· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y －x ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y －x ＝x 2－a 2b 2y 2＝1b 2()b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2b 2＝a 2.(2)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b ＝________. 答案22解析 由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立渐近线与椭圆方程消去y ，得x 2＝(b 2＋5)b25b 2＋20，又∵C 1将线段AB 三等分， ∴1＋22×2(b 2＋5)b 25b 2＋20＝2a 3，解得b 2＝12.∴b ＝22.1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 答案 2解析 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc |b 2＋a2＝b .∴b ＝32c ， ∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝c a＝2.2．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 答案 2 3解析 渐近线方程为y ＝±33x ，右准线方程为x ＝32， 得P ，Q 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.PQ ＝3，F 1F 2＝2c ＝4，所以四边形F 1PF 2Q 的面积等于12×4×3＝2 3.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且FM ＝4PM ，则双曲线C 的离心率为_________________． 答案5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝bax ，右焦点F ()c ，0，过F 与渐近线垂直的直线为y ＝－ab()x －c ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab ()x －c ，可解得x M ＝a 2c ，y M ＝ab c，在y ＝－a b ()x －c 中，令x ＝0，可得y P ＝ac b， ∵FM ＝4PM ，∴FM →＝4MP →，∴a 2c －c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 2c ，整理得5a 2＝c 2，则e 2＝5， ∴e ＝5，即双曲线C 的离心率为 5.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是_________________________________．答案63解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2， 又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b24＝0，(*)又因为b 2＝a 2－c 2.代入(*)式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 5．(2018·无锡期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 216＋y 212＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21PF 2的最小值为________． 答案 8解析 由已知c ＝16－12＝2，∴F 1()－2，0，F 2()2，0，e ＝24＝12 .又双曲线C 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，∴a2＋b 2＝c 2＝4，e c ＝2a ＝1e ＝2，∴a 2＝1，b 2＝3 ，则双曲线C: x 21－y 23＝1.P 在右支上，∴PF 1>PF 2，根据双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a ＝2，∴PF 1＝2＋PF 2 ，PF 21＝()2＋PF 22＝PF 22＋4PF 2＋4，∴PF 21PF 2＝PF 22＋4PF 2＋4PF 2＝PF 2＋4PF 2＋4≥2PF 2·4PF 2＋4＝8，当且仅当PF 2＝2时等号成立．故PF 21PF 2的最小值为8.A 组 专题通关1．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝____________________________________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2018·淮安等四市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________． 答案52解析 y ＝b a x ＝12x ，所以b a ＝12，得离心率e ＝c a ＝52.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是________． 答案 1解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2ax .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2a＝2，解得a ＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________． 答案 92解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，又因为过点P (1,3)，则p ＝92.即为焦点到准线的距离．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________． 答案 4解析 设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15， 即M (3，±15)． 由两点间距离公式得MF ＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________． 答案x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，又渐近线过点(2，3)， 所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7， 即a 2＋b 2＝7，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________． 答案 12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt△FOB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.8．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0, 2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围为________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 设直线l 的方程为 y －2＝k ()x －0， 即y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立可得 ()2k 2＋1x 2＋42kx ＋2＝0，直线与椭圆有两个不同的交点，则 Δ＝()42k 2－8()2k 2＋1>0，解得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析 圆的方程可化为x 2＋()y －32＝4，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，依题意有3aa 2＋b2>2，整理得3a ＞2c ，∴e <32，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 10．已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，若点M 为右准线上一点，点A 为椭圆C 的左顶点，连结AM交椭圆于点P ，则PM AP的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 设点P 的横坐标为x 0，则PM AP ＝12x 0＋4－1， ∵－4＜x 0≤4，∴PM AP ＝12x 0＋4－1≥12， ∴PM AP 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. B 组 能力提高11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________． 答案 2 5解析 由已知，得b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝－1，所以b a ＝63. 由点F (c,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c ⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋(－1)2＝2，可得c ＝5，则2c ＝2 5.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________________．答案 x 25－y 24＝1 解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0)，所以c ＝3，又双曲线的两条渐近线bx ±ay ＝0均和圆C 相切，所以3ba 2＋b 2＝2，即3b c＝2， 又因为c ＝3，所以b ＝2，即a 2＝5，所以该双曲线的方程为x 25－y 24＝1. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有________个．答案 2解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得MF 1＋MF 2＝2a ＝10，且F 1F 2＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长为MF 1＋MF 2＋F 1F 2＝10＋6＝16.设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ，由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32. 设M (x 0，y 0)，则12MF F S ＝12(MF 1＋MF 2＋F 1F 2)·r ＝12·F 1F 2·|y 0|， 即12×16×32＝12×6·|y 0|，解得|y 0|＝4. ∴y 0＝±4，∴M (0,4)或M (0，－4)．即满足条件的点M 有2个．14．(2018·江苏省盐城中学期末)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 1上存在点P ，由点P 向圆C 2所作的两条切线为PA, PB 且∠APB ＝60°，则椭圆C 1的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 因为∠APB ＝60°，所以∠POB ＝60°，在Rt △POB 中，由OB ＝b ，得PO ＝2b ，由点P 在椭圆上知， b <PO ＝2b ≤a ，所以4b 2＝4()a 2－c 2≤a 2，解得e ≥32，又知0<e <1，故椭圆C 1的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1. 15．(2018·全国大联考江苏卷)已知M ，N 是离心率为2的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，则|k 1|＋4|k 2|的最小值为________．答案 4 3解析 设M (p ，q )，N (－p ，－q )，P (s ，t )，则p 2a 2－q 2b 2＝1, s 2a 2－t 2b 2＝1，两式相减整理得，p 2a 2－s 2a 2＝q 2b 2－t 2b 2，∴q 2－t 2p 2－s 2＝b 2a 2，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2， ∴c a ＝2，c 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，由斜率公式可得k 1k 2＝q 2－t 2p 2－s 2＝3，∴k 1与k 2同号，∴|k 1|＋4|k 2|≥2 |k 1|·4|k 2|＝4|k 1|·|k 2|＝43，当且仅当|k 1|＝4|k 2|，即k 1＝4k 2时等号成立，∴|k 1|＋4|k 2|的最小值为4 3.16.如图，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝r 2都过点P (－1,0)，且椭圆C 1的离心率为22，过点P 作斜率为k 1，k 2的直线分别交椭圆C 1，圆C 2于点A ，B ，C ，D ，且k 1＝λk 2，若直线BC 恒过定点Q (1,0)，则λ＝________.答案 2解析 因为椭圆过点P (－1,0)，所以a ＝1， 又椭圆的离心率为22，所以c ＝22， 则b 2＝1－12＝12，故C 1：x 2＋2y 2＝1， 又由题意得圆C 2：x 2＋y 2＝1.由x 2＋y 2＝1与y ＝k 1(x ＋1)联立，消去y 得(k 21＋1)x 2＋2k 21x ＋k 21－1＝0，解得x ＝－1或x ＝1－k 21k 21＋1， 故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21k 21＋1，2k 1k 21＋1， 同理可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 222k 22＋1，2k 22k 22＋1. 因为B ，C ，Q 三点共线，所以2k 1k 21＋11－k 21k 21＋1－1＝2k 22k 22＋11－2k 222k 22＋1－1， 解得k 1＝2k 2，故λ＝2.。