烟台市莱州一中2015届高三期末考试数学(理)试题及答案(word版本)

2014—2015年度第一学期高三期末检测
数 学（理）
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.使用答题纸，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔.要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.
1.已知集合{}11M x x =-<，集合{}
2
23N x x x =-<，则R M C N ⋂=
A. {}
02x x <<
B. {}
2x x -1<<
C. {}
1023x x x -<≤≤<或 D. ∅
2.若函数()(
)3
,5,2,5x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨
+<⎪⎩则()2f 的值为 A.2
B.3
C.4
D.5
3.将函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
12
π
个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为 A. 5sin 12y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B. cos y x =
C. cos y x =-
D. sin y x =- 4.如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.无两边相等的三角形 5.已知ABC ∆的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若
230aGA cGC +=u u r u u u r u u u r
，则sin :sin :sin A B C =
A.1:1:1
B.
2
C.
2:1 D. 3:2
6.某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是 A. 4
310-⨯
B. 5
310-⨯
C. 6
310-⨯
D. 7
310-⨯
7.在()7
1ax +的展开式中，3
x 项的系数是2
x 项系数和5
x 项系数的等比中项，则实数a 的
值为 A.
259
B.
45
C.
253
D.
53
8.已知函数()()2log x a f x a g x x -==，（其中01a a >≠且），若()()440f g ⋅-<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的大致图象是
9.已知双曲线22
221x y a b
-=的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线22y px =的焦点为双
曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为 A. 24y x =
B. 2y =
C. 2y =
D. 28y x =
10.定义域是R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当(]0,2x ∈时，
()(]
(]
2
2,0,1log ,
1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨
-∈⎪⎩，若(]4,2x ∈--时，()1
42t f x t
≤
-有解，则实数t 的取值范围是
A. [)()2,00,1-⋃
B. [)[)2,01,-⋃+∞
C. []2,1-
D. (](],20,1-∞-⋃
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
11.抛物线2
2y x x ==在处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲边图形的面积为 12.已知函数()()2
cos
10,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=++>>0,0<<
⎪⎝
⎭
的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+=
13.设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值
为10，则
23
a b
+的最小值为 14.已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆()()2
2
:321C x y -+-=相交于P 、Q 两点，
则AP AQ ⋅uu u r uuu r
的值为
15.给出下列结论： ①函数()3
ln f x x x
=-
在区间(),3e 上有且只有一个零点； ②已知l 是直线，αβ、是两个不同的平面.若,l l αβαβ⊥⊂⊥，则； ③已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面.若,,//m m n n αα⊥⊥则； ④在ABC ∆中，已知20,28,40a b A ===，在求边c 的长时有两解.
其中所有正确结论的序号是：
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数()(
)()sin sin 212cos 2
x x x f x x ππ⎡⎤+⎣⎦=
--. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，求()f x 的最大值，并求此时对应的x 的值. 17.（本小题满分12分）
2015年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：()()()2
3
123ln 1,,x
f x x f x x f x x
=+==
，()()()456cos ,sin 3f x x x f x x f x x ===-，.
（1）现在取两张卡片，记事件A 为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A 的概率； （2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则
继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望.
18.（本小题满分12分）
如图所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE,DE=2AF ，BE 与平面ABCD
（1）求证：AC//平面EFB ；
（II ）求二面角F BE A --的大小. 19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，12,a a a t ==（常数0t >），n S 是其前n 项和，且()
12
n n n a a S -=
. （I ）试确定数列{}n a 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （II ）令()*21
1212
,223n n n n n n S S b n b b b n n N S S ++++=
+<++⋅⋅⋅+<+∈证明：. 20.（本小题满分13分）
设()()()()ln ,f x x g x f x af x '==+.
（1）求函数()f x 的图象在点(),1e 处的切线方程； （2）求()g x 的单调区间；
（3）当1a =时，求实数m 的取值范围，使得()()1
g m g x m
-<对任意0x >恒成立. 21.（本小题满分14分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，点A 为椭圆上一点
，
121260F AF F AF S ∆∠==，且（1）求椭圆C 的方程；
（2）设动直线:l kx m +与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q.问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由
.。