2011年高考数学试题分类考点34 空间直角坐标系、空间向量及其运算

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《师说》系列一轮复习(理科数学)空间直角坐标系与空间向量的运算(人教b版)

分析把一个向量用其它向量表示出来的能力，必须具备，注意运算律．
证明
→ AC1
＝A→C＋C→C1
＝A→C＋A→A1
①
A→C1＝A→D1＋D→1C1＝A→D1＋A→B ②
①＋②得
→ 2AC1
＝A→C＋A→D1＋A→A1
＋A→B＝A→C＋A→D1＋A→B1
即A→C1＝12(A→C＋A→B1＋A→D1)
考点串串讲
1．空间直角坐标系 (1)在平面上画空间直角坐标系 O－xyz 时，一般使∠xOy＝ 135°，∠yOz＝90°. (2)一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直线，那么就可以利用这三条直线分别作为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． (3)在建立空间直角坐标系时，应注意点 O 的任意性，原点 O 的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值． (4)有了空间直角坐标系，我们就可以建立空间中的任意一点 P 与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系了． (5)空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的 y 坐标、z 坐标等于 0，所以可记为(x,0,0)，同理，在 y 轴、z 轴上的点的坐标可分别记为(0， y,0)，(0,0，z)．
3．几个重要的定理 (1)由于任意两个向量都是共面向量，所以原有的平面向量有关定理在空间依然成立(如共线向量定理等)． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与它们共面的充要条件是存在实数对(x，y)使得 p＝xa＋yb.它的两个推论是：① 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得M→P＝xM→A＋yM→B；或②对于空间任一点 O，有O→P＝O→M＋xM→A＋ → yMB. 若 x＋y＋z＝1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C 四点共面．故

2011年湖北高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则20111i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( )A.i -B.1-C.iD.1 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数式，根据四则运算化简求解. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】因为()221i 1i i 1i 1i ++==--，所以201120114502331i i i i i 1i ⨯++⎛⎫====- ⎪-⎝⎭，故选A.2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则U P =ð ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出全集和一个子集，根据反函数和对数函数性质化简，再利用集合的基本运算求解. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由已知()+∞=,0U ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð,故选A.3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，x ∈R ，若()1f x …，则x 的取值范围为 ( ) A.ππππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟B.π2π2ππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟C.π5πππ,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 D.π5π2π2π,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟【测量目标】两角和与差的正弦，三角函数的定义域和周期性.【考查方式】给出三角函数的解析式，利用两角和与差的正弦化简，再根据三角函数的值域求解定义域.【难易程度】中等【参考答案】Bcos 1x x -…得π1sin 62x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，（步骤1）则ππ5π2π2π666k x k +-+剟，解得π2π2ππ3k x k ++剟，k ∈Z ，所以选B.（步骤2）4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 ( )A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3n … 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质. 【考查方式】给出含未知系数的抛物线函数，根据抛物线的对称性，得到过焦点的两条直线的斜率，从而判断求解. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，（步骤1）这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n ，2=n ，所以选C.(步骤2)第4题图5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP ( )A. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.0 【测量目标】随机变量的正态分布，离散型随机变量的概率.【考查方式】给出限制条件下的随机变量的概率，根据正态分布对称性计算其他限制条件下随机变量的概率.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，（步骤1）并且()()4220<<=<<ξξP P 则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.（步骤2）第5题图6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （） A. 2 B.415 C. 417 D. 2a 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】给出两个函数间的关系式和一个函数值，求在相同自变量下另一函数值. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，（步骤1）所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.（步骤2） 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为 ( )第7题图A. 960.0B. 864.0C. 720.0D. 576.0 【测量目标】对立事件的概率，乘法原理.【考查方式】分别给出3个事件的概率，利用对立事件的概率公式得到两个事件概率，再根据乘法原理得出结果. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P - ()()110.810.810.040.96=--⨯-=-=，（步骤1）系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B.（步骤2）8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1x y +…，则z 的取值范围为 ( ) A. []2,2- B. []3,2- C. []2,3- D. []3,3-【测量目标】平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，二元线性规划求目标函数的最值，判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出两个相互垂直的向量坐标和不等式方程，画出可行域，再利用向量的数量积运算得出目标函数，根据图象求解. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ，则y x z 32+=，y x ,满足不等式1x y +…，（步骤1）则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3. 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3. 所以选D .（步骤2）第8题图9.若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补 ( )A . 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【测量目标】充分、必要条件，合情推理.【考查方式】给出关于实数的新定义，根据合情推理求解. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a ab a ϕ；（步骤1）反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ0a b =+…两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.（步骤2）10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M ( ) A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克【测量目标】导数的运算，导数在实际问题中的应用，导数的几何意义.【考查方式】给出含未知系数的函数，利用导数的运算求出含未知系数导函数，再利用导数的几何意义得到导函数，再计算求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】因为()3001ln 2230tM t M -'=-⨯，则()30300130ln 2210ln 230M M -'=-⨯=-，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据二项式展开式的通项公式求解特定项的系数. 【难易程度】容易【参考答案】17【试题解析】二项式展开式的通项公式为18118C r r r r T x -+⎛= ⎝1182181C 3rr r r x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为22181C 173⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故填17. 12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）【测量目标】对立事件的概率,随机事件与概率.【考查方式】给出问题情境，求出所求事件的对立事件的概率，根据对立事件的概率公式，得到所求事件的概率. 【难易程度】容易【参考答案】14528 【试题解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()227230C 2713C 1529P B ⨯==⨯，（步骤1）所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528.（步骤2）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升. 【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】给出实际问题，转化为数列求项的问题，从而联立方程求解，并根据通项公式得出结果.【难易程度】容易【参考答案】6667 【试题解析】：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，（步骤1）则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667.（步骤2） 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面为β，45xOx '∠=.（Ⅰ）已知平面β内有一点()P '，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C '的方程是(22220x y ''+-=，则曲线C '在平面α内的射影C 的方程是 .第14题图1【测量目标】曲线与方程，二面角.【考查方式】(1)给出一点的坐标和二面角，根据二面角的定义求解射影点的坐标;(2)给出曲线在一个平面内的方程，根据射影定理求解曲线在另一个平面内的方程. 【难易程度】中等【参考答案】()2,2,()1122=+-y x【试题解析】（Ⅰ）设点P '在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()P '纵坐标相同，所以2=y ，（步骤1）过点P '作P H Oy '⊥，垂足为H ，连结PH ，则45P HP '∠=，P 的横坐标cos 45x PH P H '== cos 4522x '=== ，所以点P '在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得cos 452x x x ''==⨯，y y '=，所以x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩代入曲线C '的方程 (22220x y ''+-=，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .（步骤3）第14图215.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4n …时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：第15题图由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有种.（结果用数值表示）【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前四项的图象，根据合情推理归纳出后面项的性质求解. 【难易程度】中等【参考答案】43,21【试题解析】设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断5345813a a a =+=+=，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；（步骤1）由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）设ABC △的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC △的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.【测量目标】正弦、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦.【考查方式】给出三角形的两边长，和第三边所对角的余弦值.(1)根据余弦定理求出第三边长，从而求出三角形的周长；（2）利用同角的三角函数的基本公式求出两个角的正、余弦值，利用两角差的余弦求解.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC △的周长为5221=++=++c b a .（步骤1）（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A .（步骤2） ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ,（步骤3） ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. （步骤4） 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x 剟时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x剟时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）【测量目标】求函数的解析式，分段函数，均值不等式求最值，函数的单调性,利用函数单调性求最值.【考查方式】给出实际问题，（1）利用待定系数法求出函数的解析式；（2）运用均值不等式和函数的单调性求出分段函数不同段的最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意：当020x <…时，()60=x v ；当20200x剟时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()60,020,1200,20200.3x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟（步骤1）（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()60,020,1200,20200.3x x x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟当020x <…时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20200x剟时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦…，（步骤2）当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值100003≈3333，（步骤3）即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，求θtan 的最小值.第18题图1【测量目标】异面直线垂直的判定，二面角,线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的数量积运算，空间向量的夹角问题. 【考查方式】（法一）（Ⅰ）通过面面垂直到线面垂直，在利用射影定理和三垂线定理求证异面直线的垂直；（Ⅱ）找出二面角的平面角，通过解三角形求解二面角.(法二)建立空间直角坐标系，（Ⅰ）利用空间向量的数量积运算求证；(1)先找出两个平面的两个法向量，再利用法向量的数量积运算求出二面角的大小. 【难易程度】较难【试题解析】．解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF . (Ⅰ)如图，连结NF 、1AC ,由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1AC , 又底面ABC 侧面1AC AC =,且EN ABC ⊂底面, 所以1,EN AC NF ⊥面侧为EF 在侧面1AC 内的射影.（步骤1）在Rt CNE △中，cos60=1CN CE = . 则由114CF CN CC CA ==，得1NF AC ∥,又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥. 由三垂线定理知1.EF AC ⊥（步骤2）(Ⅱ)如图，连结,AF 过N 作NM AF ⊥于M ,连结ME .由（Ⅰ）知EN ⊥侧面1AC ,根据三垂线定理得EM AF ⊥, 所以EMN C AF E ∠--是二面角的平面角，即,EMN θ∠=（步骤3）设,FAC α∠=则045α<….在Rt CNE △中，sin60NE EC = 在Rt AMN △中，sin =3sin MN AN αα= ，故tan =.3sin NE MN θα=又045α< …，0sin 2α∴<…故当sin 2α=即当45α= 时，tan θ达到最小值，tan θ==此时F 与1C 重合.（步骤4）解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(,1).CA EF =-=则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF =-=-+=故1EF AC ⊥.（步骤5）（Ⅱ）设,(04),CF λλ=<…平面AEF 的一个法向量为(,,),x y z m =则由（Ⅰ）得(0,4,).F λ(0,4,),AE AF λ== 于是由,AE AF ⊥⊥m m 可得00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m即3040y y z λ+=+=⎪⎩，取,,4).λ=-m 又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，（步骤6）于是由θ为锐角可得cos θθ===m nm n所以tan θ=由1104,tan 4λθλ<=得，即剠?. 故当4,λ=即点F 与点1C 重合时，tan θ（步骤7）第18题图2 第18题图3 第19题图419.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1(0)a a a =≠，n n rS a =+1(n *∈N ，,1)r r ∈≠-R . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k *∈N ，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m …，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.【测量目标】根据数列的前n 项和写数列的通项公式，等差数列的性质.【考查方式】给出首项、数列前n 和与通项公式的关系式，（1）由此得到数列的递推公式，再分类讨论求出函数的通项公式；（2）利用等差数列的性质求证.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由已知1n n a rS +=,可得21,n n a rS ++=两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1),n n a r a ++=+又21a ra ra ==，所以当0r =时，数列{}n a 为：,0,0a …，，…；当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0(),n a n *≠∈N于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N 23,,,n a a a ∴…，…成等比数列，22(1).n n n a r r a -∴=+，…综上，数列{}n a 的通项公式为2,1,(1),2n n a n a r r a n -=⎧=⎨+⎩…（步骤1）（Ⅱ）对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列，证明如下：当0r =时，由（Ⅰ）知，,10,2,n a n a n =⎧=⎨⎩… ∴对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列；（步骤2）当0,1r r ≠≠-时，21211,,k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在,k *∈N 使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则122,k k k S S S +++=12222k k k k S a a S ++∴++=，即212.k k a a ++=-（步骤3）由（Ⅰ）知，23,,,n a a a …，…的公比12,r +=-于是对于任意的,m *∈N 且12,2,m m m a a +=-…从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列.综上，对于任意的,m *∈N 且2,m …12,,m m m a a a ++成等差数列.（步骤4）20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0),A a -，2(,0)(0)A a a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =.若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】圆锥曲线中的探索性问题，直线的斜率，曲线与方程，空间向量的数量积运算.【考查方式】（Ⅰ）给出两点的坐标，两直线斜率公式得出曲线的方程，再根据m 的取值范围分类讨论C 的形状；（Ⅱ）给定m 的值求出1C 曲线方程和2C 的交点坐标，联立1C 和三角形面积方程，从而再利用空间向量的数量积运算求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设动点为M ，其坐标为(,),x y当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a===-+-即222(),mx y ma x a -=≠± 又1(,0)A a -、2(,0)A a 的坐标满足222mx y ma -=，故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=（步骤1）当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a +=C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线.（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,),m ∈-+∞ 1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2S m a =的充要条件是22200020,0,12.2x y a y m a ⎧+=≠⎪⎨=⎪⎩ ①②由①得00,y a <…由②得0y =当0,a <0,m <或0m <…时，存在点N ，使2;S m a =,a >即1m -<<或m >时不存在满足条件的点N .（步骤3）当110,22m ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ 时，由100(,),NF x y =-- 200(,),NF x y =-可得22221200(1)NF NF x m a y ma =-++=-令112212,,,NF r NF r F NF θ==∠=则由21212cos ,NF NF rr ma θ==- 可得212,cos ma r r θ=- 从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2S m a =，可得221tan ,2ma m a θ-=即2tan m mθ=-.（步骤4）综上可得：当m ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2;F NF =当m ⎛∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ,使得2,S m a =且12tan 2;F NF =-当11(1,()22m ∈-+∞ 时，在1C 上，不存在满足条件的点N .（步骤5） 21.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设11,(1,2,,)a b k n =…均为正数，证明：（1）若112212+n n n a b a b a b b b b +++++………，则12121n b b b n a a a ……；（2）若121n b b b ++=…+，则1222212121++n b b b n n b b b b b b n +……剟.【测量目标】利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题.【考查方式】（Ⅰ）给出函数，利用导数的运算求出导函数，再利用导函数的单调性得到最值点求解最值；（Ⅱ）利用不等式的基本性质求证.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,).+∞令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01x <<时，()0,f x '>()f x 在(0,1)内是增函数；当1x >时，()0,()f x f x '<在(1,)+∞内是减函数；故函数()f x 在1x =处取得最大值(1)0.f =（步骤1）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知(0,)x ∈+∞时，有()(1)0,f x f =…即ln 1.x x -…0,k k a b > 从而有ln 1,k k a a -…得ln (1,2,).k k k k k b a a b b k n -=…，…求和得111ln .k n n n b kk k k k k k a a b b ===-∑∑∑…（步骤2） 111,ln 0,k n n n b k k k kk k k a b b a ===∴∑∑∑ 剟即1212ln()0,k b b b k a a a ……12121n b b b n a a a ∴…….（步骤3）（2）①先证12121.n b b b n b b b n…… 令1(1,2,),k k a k n nb ==…，则11111,n n n k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是由（1）得1212111nb b b n nb nb nb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……1，即1212+121,n n b b b b b b n n n b b b ++=……… 12121.n b b b n b b b n ∴……（步骤4）②再证122221112+.n b b b n n b b b b b b ++………记21.nk k S b ==∑令21111(1,2,,),1,n n n k k k k k k k k k b a k n a b b b S S ========∑∑∑… 于是由（1）的12121,n bb b n b b b S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…… 即121212+222121212,.n n nb b b b bb b b b n n n b b b S S b b b b b b ++=∴++…………+剟综上①②，（2）得证.（步骤5）。

高考数学复习、高中数学空间直角坐标系与空间向量附答案解析

(5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )
2. (选修 2－1P104 练习 2 改编)已知平面 α，β 的法向量分别为 n1＝(2，3，5)，n2＝(－3， 1，－4)，则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α，β 相交但不垂直
D.以上均不对
3. (选修 2－1P118A6 改编)已知 a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是________.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2
直线 l 的方向向量为 n，平面 α的法向量为 m
l1∥l2 ln1＝λn2 n1⊥n2⇔ n⊥m⇔
n∥m⇔n＝λm
平面 α，β 的法向量分别为 n，m
α∥β α⊥β
n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
→
→
→
6.如图所示，在四面体 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中
→ 点，则OE＝________(用 a，b，c 表示).
考点一空间向量的线性运算
→
→
【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB

2011高考数学真题考点分类新编：考点35立体几何中的向量方法(新课标地区)

考点35立体几何中的向量方法一、解答题1.（2011·福建卷理科·Ｔ20）(本小题满分14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，︒∠45CDA.=（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为︒30，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.【思路点拨】(1)证面面PAB中的直线AB PAD⊥面，也可⊥面，从而可推得面PAB PAD以建立坐标系证明两面的法向量垂直；（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系-A xyz，然后用空间向量法进行求解探究.【精讲精析】（I）因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA AB解法1：⊥，又,A B A D P A A D A⊥=，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz-（如图）.在平面ABCD内，作//⊥.CE AB交AD于点E，则CE AD在Rt CDE ∆中，cos451DE CD =⋅︒=.设AB AP t ==，则(,0,0),(0,0,)B t P t . 由AB+AD ＝4得AD ＝4t -，所以(0,3,0),1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---（，(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--（i ）设平面PCD 的法向量为=(,,),x y z n 由,,CD PD ⊥⊥n n 得0(4)0.x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩取x t =，得平面PCD 的一个法向量(,,4)t t t =-n .cos60||,|||PBPB ⋅︒=⋅n n |即21,2= 解得45t =或4t =（舍去，因为40AD t =->），所以AB ＝4.5（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G （如下图），使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等，设G （0,m,0）(其中04m t ≤≤-)，则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)GC t m GD t m GP m t =--=--=-由||||GC GD =得2221(3)(4),t m t m +--=--即3t m =-.① 由||||GD GP =得222(4).m t m t --=+②C由①②消去t ，化简得23+40.m m -=③由于方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，C ，D 的距离都相等. 解法2：（I ）同解法1. （Ⅱ）（i ）同解法1 .（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等. 由GC ＝GD ，得45,GCD GDC ∠=∠=︒从而90,CGD ∠=︒即CG AD ⊥，所以cos451GD CD =⋅︒=.设AB λ=，则4AD λ=-，AG ＝AD-GD＝3λ-.在Rt ABG ∆中，1,GB ==>这与GB ＝GD 矛盾.所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等. 2. （2011·江苏高考·Ｔ22）（本小题满分10分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。

2011年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)答案与解析

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P的子集共有22=4故选：B【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2011•新课标）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】常规题型．【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．【解答】解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选：B．【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性．4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）（2011•新课标）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；输出结果此时执行输出720，故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．【解答】解：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0 f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项C符合；故选C．【点评】e=2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）（2011•新课标）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【考点】对数函数的图像与性质；函数的周期性．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k=1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n=×=，S n=又∵==S n∴S n=（II）∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则BD=，PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得DE=，即棱锥D﹣PBC的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

高考数学复习空间直角坐标系空间向量及其运算理含解析

高考数学复习核心素养提升练四十四空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解析】选D.在空间直角坐标系中,标出已知点,可知正视图为④和俯视图为②.2.已知点A(-3,1,5)与点B(0,2,3),则A,B之间的距离为( )A. B.2 C. D.【解析】选C.因为A(-3,1,5),B(0,2,3),所以|AB|===. 3.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为( )A. B. C.4 D.8【解析】选 B.设向量a和b的夹角是θ,则由空间向量的数量积公式和题意得cos θ===,所以sin θ==,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为S=2××|a|×|b|×=.4.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于( )A.(b+c-a)B.(a+b-c)C.(a-b+c)D.(c-a-b)【解析】选D.因为=-=-=.5.有4个命题:①若p=x a+y b,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=x a+y b;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由共面向量基本定理可知①③正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=x a+y b 就不成立,④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.6.(2018·长沙模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( )A. B. C. D.【解析】选D.由题意设c=t a+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以所以7.在空间四边形ABCD中,·+·+·的值为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=·(-)+·(-)+·(-)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.【一题多解】选A.如图,在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,则正四面体的对棱互相垂直.所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知向量a =(0,-1,1),b =(4,1,0),|λa +b |=且λ>0,则λ=________.【解析】a =(0,-1,1),b =(4,1,0), 所以λa +b =(4,1-λ,λ),所以16+(λ-1)2+λ2=29(λ>0),所以λ=3. 答案:39.已知O(0,0,0),A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x,-8,8),若OC ⊥AB,则x=________;若O,A,B,C 四点共面,则x=________.【解析】由题意得,=(x,-8,8),=(3,2,-4), 所以OC ⊥AB ⇒·=3x-16-32=0,所以x=16;若O,A,B,C 四点共面,所以存在唯一的实数λ,μ使得,=λ+μ,所以(x,-8,8)=λ(-2,2,-2)+μ(1,4,-6),所以答案:16 810.已知点P 为棱长等于2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部一动点,且||=2,则·的值达到最小时,与夹角大小为________.【解析】由题意得,取C 1D 1中点M, 则·==-=-1,因为|PA uuu r|=2,所以P 在以A 为球心2为半径的球面上,所以||min =AM-2=3-2=1,因为PM=C 1D 1,所以PD 1⊥PC 1,所以与的夹角为90°.答案:90°(20分钟40分)1.(5分)已知空间直角坐标系中O为原点,A(0,0,3),B(0,4,0),C(5,0,0),则经过O,A,B,C四点的球的体积为( )A.50πB.πC.πD.π【解析】选B.根据四个点的坐标可知,这四个点构成直角四面体,补形为长方体后,对角线长为=5,四面体的外接球就是长方体的外接球,直径为5,所以所求的球的体积为=.2.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB,则PA的长为( )A.2B.2C.2D.4【解析】如图,连接BD交AC于点O,因为BC=CD,∠ACB=∠ACD,所以AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,所以以,,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则OC=CD c os =1,OD=CDsin =,因为AC=4,所以AO=3,所以A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),设P(0,-3,z),z>0,因为F为PC的中点,所以F(0,-1,),又因为=,=(,3,-z),AF⊥PB.所以·=6-=0,所以z=2,所以PA的长为2.3.(5分)如图所示的一块长方体木料中,已知AB=BC=4,AA1=1,设E为底面ABCD的中心,且=λ,(0≤λ≤),则该长方体中经过点A1,E,F的截面面积的最小值为__________.【解析】以AA1为z轴,AB为y轴,AD为x轴,建立空间直角坐标系,连接FE并延长交BC于K,则K(4-4λ,4,0),A1(0,0,1),F(4λ,0,0),则=(4-8λ,4,0),=(-4λ,0,1),S=sin∠A1FK,则S2= -=-=32(10λ2-2λ+1),0≤λ≤,所以最小值为,所以面积的最小值为.答案:4.(12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,E是CC1的中点,设=a,=b,=c.(1)用a,b,c表示.(2)求AE的长.【解析】(1)=++=a+b+c.(2)||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+a·c+b·c=25+9+4+0+(20+12)·cos 60°=54.所以||=3,即AE的长为3.5.(13分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点.(1)求证:AD1⊥平面A1DC.(2)若MN⊥平面A1DC,求证:M是AB的中点.【解析】(1)以D为原点,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=,=,=,所以·=0,·=0,所以⊥,⊥,又因为A1D∩DC=D,所以AD1⊥平面A1DC.(2)因为M在AB上,所以设=m=m,所以=+=,即M,因为N是A1C的中点,所以N,所以=,因为MN⊥平面A1DC,AD1⊥平面A1DC,所以AD1∥MN,所以1-2m=0,所以m=,所以M是AB的中点.。

空间向量及其运算的坐标表示

平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理：如果e1 , e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .

2011年高考试题分类考点35 立体几何中的向量方法

考点35 立体几何中的向量方法解答题1.（2011·福建卷理科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD 中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，︒=∠45CDA .（I ）求证：平面PAB⊥平面PAD ；（II ）设AB=AP.（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由.【思路点拨】(1)证平面PAB 中的直线AB PAD ⊥面，从而可推得面PAB PAD ⊥面，也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系-A xyz ，然后用空间向量法进行求解探究. 【精讲精析】解法1：（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，又,A B A D P A A D A ⊥= ，所以AB ⊥平面PAD.又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD. (2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）. 在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于点E ，则CE AD ⊥.在 Rt CDE 中，cos451DE CD =⋅︒=.设AB AP t ==，则(,0,0),(0,0,)B t P t . 由AB+AD ＝4得AD ＝4t -，所以(0,3,0),1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---（，C(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--（i ）设平面PCD 的法向量为n =(x,y,z),由,,⊥⊥ n n CD PD 得0(4)0.x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩取x t =，得平面PCD 的一个法向量(,,4)=-n t t t .cos 60||,|||⋅︒=⋅n n PBPB |21,2= 解得45t =或4t =（舍去，因为40AD t =->），所以AB ＝4.5（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等，设G （0,m,0）(其中04m t ≤≤-)，则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)GC t m GD t m GP m t =--=--=-由||||GC GD =得2221(3)(4),t m t m +--=--即3t m =-.① 由||||GD GP =得222(4).m t m t --=+② 由①②消去t ，化简得23+40.m m -=③由于方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B,C ，D 的距离都相等. 解法2：（I ）同解法1. （Ⅱ）（i ）同解法1 .（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D的距离都相等.由GC ＝GD ，得45,GCD GDC ∠=∠=︒从而90,CGD ∠=︒即CG AD ⊥，所以cos451GD CD =⋅︒=.设AB λ=，则4AD λ=-， AG ＝AD-GD ＝3λ-.在Rt ABG ∆中，1,GB =这与GB ＝GD 矛盾.所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等. 2. （2011·江苏高考·Ｔ25）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。

空间直角坐标系空间向量及其运算

【名师说“法”】
空间共线向量定理、共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B
M→P＝xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝对空间任一点 O，O→P＝O→M＋
O→A＋tA→B
xM→A＋yM→B
三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面
[解析] 因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此 (－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即 x＝－5.
[答案] －5
5．已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则A→B
与C→A的夹角 θ 的大小是________．
[解析] 由题意知A→B＝(－2，－1,3)，C→A＝(－1,3，－2)，故
[答案] C
角度二利用数量积求长度 2．如图，在 60°的二面角 α、l、 β 的棱上有两点 A，B，点 C，D 分别在 α，β 内，且 AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则 CD 的长度为 ______________．
2
O→M)＝12(O→B＋O→C－O→A)＝12(b＋c－a)．
[答案]
12(b＋c－a)
3．如图所示，已知空间四边形 OABC，其
对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中
点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝
x
→ OA
＋
y
→ OB
＋
z
→ OC
，
则
x，y，z
的值分别为
平行于同一个__平__面____的向量
0
a＝b a的相反向量为－a
a∥b

高考数学复习：空间直角坐标系、空间向量及其运算

(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_不__共__面__, 那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 _p_=_x_a_+_y_b_+_z_c_.其中, _{_a_,_b_,_c_}_叫做空间的一个基底.
【常用结论】 1.零向量不可以作为基向量. 2.基底选定后,空间的所有向量都可由基底唯一表示. 3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.
【解析】①×.只有不共面的三个向量才能作为基底,所
以①错误.
②√.零向量与任一向量共线,共面,所以②正确.
③×.假设a,b,c共面,则c=xa+yb,所以矛盾,所以a,b,c不共面.所以③错误.
1 y, 1 x, 0 x y,
④×.若|a|=|b|,则a,b方向可能相同,也可能相反,或其他情况,④错误. ⑤×.|a|= 32 42 5⑤2 错5误2.,
表示空间向量的有向线段所在的直线互相_平__行__或__重__合__的向量
平行于_同__一__个__平__面__的向量
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ,使得_a_=_λ__b_. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b_不__共__线__,那么向量 p与向量a,b共面的充要条件是存在_唯__一__的有序实数对 (x,y),使_p_=_x_a_+_y_b_.
第五节空间直角坐标系、空间向量及其运算
(全国卷5年8考)
【知识梳理】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系:
以空间一点O为原点,给定正方向,单位长度,建立两两定垂直的数轴:x轴、义 y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标系_O_x_y_z_

空间直角坐标系及坐标运算

＝ (a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2 .
三基能力强化
1．在空间直角坐标系中，点 P(1， 2， 3)，
过 P 作平面 xOy 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐
标为( )
A．(0， 2，0)
B．(0， 2， 3)
C．(1,0， 3)
D．(1， 2，0)
答案：D
三基能力强化
2．(教材习题改编)若a＝(2x,1,3)， b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则( )
基础知识梳理
若a与b确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是怎样的？
【思考·提示】可能与α平行，也可能在α内．
基础知识梳理
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c} 叫做空间的一个基底．
课堂互动讲练
(2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋12c.
课堂互动讲练
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c，又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a，
＋
M→A1＋
A→1B1＋
→ B1C1
＝
b＋
c＋
b＋
c
＝2(b＋c)．
课堂互动讲练
考点二共线向量定理、共面向量定理的应用
应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面．
1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线

高考数学总复习基础知识名师讲义第八章第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算理

第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．知识梳理1．空间直角坐标系及有关概念．(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做________．x 轴，y 轴，z 轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做________．(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x 轴和y 轴放置在水平面上，那么z 轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y 轴正方向，此时大拇指的指向即为________正向，也称这样的坐标系为右手系．(3)空间一点M 的坐标为有序实数组(x ，y ，z )，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的________，y 叫做点M 的________，z 叫做点M 的________．答案：1.（1）原点坐标轴坐标平面（2）x 轴 z 轴（3）横坐标纵坐标竖坐标2．空间两点间的距离公式．设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝________________.答案：(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)+(z 1-z 2)23．空间向量的概念及运算．空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循______________________，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．答案：三角形法则和平行四边形法则相同4．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理． (1)共线向量定理．对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使____________________．推论如图所示，点P 在直线l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ，（*）其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则（*）可化为OP →＝________________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式为：p ＝________________________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线的向量．推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝______.(3)空间向量基本定理．如果向量e 1，e 2，e 3是不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝________________，把e 1，e 2，e 3叫做空间的一个基底．答案：（1）a =λb OA →+t OB → （2）xa+yb OM →+x MA →+y MB →15．空间向量的数量积及运算律． (1)数量积及相关概念．①两向量的夹角．已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________叫做向量a 与b 的夹角，记作________，其范围是______________，若a ，b ＝π2，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积．已知空间两个非零向量a ，b ，则____________________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即______________________．(2)空间向量数量积的运算律． ①结合律：(λa )·b ＝____________________；②交换律：a ·b ＝__________________；③分配律：a ·(b ＋c )＝____________________.答案：（1）∠AOB <a,b> 0≤<a,b>≤π 互相垂直 |a||b|cos<a,b> a ·b a ·b=|a||b| cos<a,b>（2）λ（a ·b ） b ·a a ·b=a ·c6．空间向量的坐标表示及应用． (1)数量积的坐标运算．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ·b ＝__________________. (2)共线与垂直的坐标表示．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧，，.②a ⊥b ⇔______________＝0⇔____________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a ·a ＝__________________，cos a ，b ＝a ·b|a ||b |＝__________________________.若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝____________________.答案：（1）a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 (2) a 1=λb 1 a 2=λb 2 a 3=λb 3 a ·b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 =0 a 12+a 22+a 32232221232221332211b a b a b a b b b a a a ++++++ (a 1-a 2) 2+(b 1-b 2)2+(c 1-c 2)2基础自测1．已知AB →＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：因为32＝x 4＝y 5，所以x ＝6，y ＝152，选D 项．答案：D2．如图所示，已知四面体ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)化简的结果为( )A.BF →B.EH →C.HG →D.FG →解析：12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)＝12(AC →＋CE →＋ED →)＝12(AE →＋ED →)＝12×2HG →＝HG →，故选C.答案：C3．设点B 是点A (1，－1,1)关于原点的对称点，则点B 到原点的距离为________．解析：点B 与点A 关于原点对称，则点B 与点A 到原点的距离相等．又因点A 到原点的距离为3，所以点B 到原点的距离为 3.答案： 34．在空间直角坐标系中，点A (1，1,1)与点B (2,2，－1)之间的距离为________．解析：由空间两点间距离公式可得|AB |＝(1－2)2＋(1－2)2＋(1＋1)2＝ 6. 答案： 61．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.解析：c －a ＝(0,0,1－x )，(c －a )·(2b )＝2(0,0,1－x )·(1,2,1)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.答案：22．(2012·上海卷)如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解析：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD .从而CD ⊥PD . 因为PD ＝22＋222＝23，CD ＝2，所以△PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则B 2，0，0，C (2，22，0)，E (1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0,22，0)．设AE →与BC →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.1．(2013·舟山月考)平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5，故选A. 答案：A2．(2013·江西模拟)已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.答案：60°。

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考点34 空间直角坐标系、空间向量及其运算解答题1.（2011·辽宁高考理科·Ｔ18）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ（II ）求二面角Q-BP-C 的余弦值．【思路点拨】建立空间坐标系，利用坐标向量来解题（I ）⎭⎬⎫⊥⊥DC PQ DQ PQ DCQ 面⊥⇒PQ DCQ PQC 面面⊥⇒；（II ）先求法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值，最后确定二面角Q-BP-C 的余弦值．【精讲精析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，OP,DC 为x ，y,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz D -.(Ⅰ)依题意有)0,1,1(Q ，)1,0,0(C ，)0,2,0(P ，则)0,1,1(=DQ ，)1,0,0(=DC ，)0,1,1(-=PQ ，所以0=⋅DQ PQ ，0=⋅DC PQ ，即 PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .且DQ DC D =I 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .（II ）依题意有)1,0,1(B ，CB =)0,0,1(，BP =)1,2,1(--.圆学子梦想铸金字品牌设),,(z y x =是平面PBC 的法向量，则n CB 0,n BP 0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即⎩⎨⎧=-+-=.02,0z y x x 同理，因此可取 ).2,1,0(--=n设是平面PBQ 的法向量，则m BP 0,m PQ 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 可取),1,1,1(=所以.515cos -=n m 且由图形可知二面角Q BP C --为钝角故二面角C BP Q --的余弦值为.515-2.（2011·江西高考理科·Ｔ21）（1）如图，对于任意给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面1234,,,αααα，使得(1,2,3,4),i i A i α∈=且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1234,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足： (1,2,3,4),i i A i α∈= 求该正四面体1234A A A A 的体积【思路点拨】（1）首先142313A P P A A M,取A 的三等分点，，的中点24222333A A N,A P M A P N αα的中点过三点，，作平面，过三点，，作平面，则23//αα平面平面，14142A ααα再过点A ，分别作平面，与平面平行,即得四个平面符合要求.（2）以第（1）问中的四面体作为正四面体，通过坐标系求出面33A P N n r 的法向量，再根据点到面的距离公式求出正四面体的棱长，进而求得体积.【精讲精析】14231324222333223332231414212341412341A P P A A M,A A N,A P M A P N A P //NP A P //MP //A A ααααααααααααααα（）如图所示，取A 的三等分点，，的中点的中点过三点，，作平面，过三点，，作平面，因为，，所以平面平面，再过点A ，分别作平面，与平面平行，那么四个平面，，，依次相互平行，由线段A 被平行平面，，，截得的线段相等知，其中每相邻两个平面1234.αααα间的距离相等，故，，，为所求平面123423441341234(2)1A A A A A O A O y 0A O 6a a 3a a 3a 3a A (0,0(((0,22∆-z A A x 当（）中的四面体为正四面体时，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a,以A 的中心为坐标原点，以直线为轴，直线为轴，由点向直线作垂线，设垂线所在直线为轴,建立如图所示坐标系，则，23142433343333P P A N A A 23a 6a a 3a a 53a 6a P (0),N(,,0),P N (,,),9941243693a 3a 13a NA (N (A P N n (x,y,z),44n P N 09x 53y 46z n NA 0--=--==-=⎧⋅-+⎪⎨⋅⎪⎩u u u r u u u u r u u u u r r r u u u r r u u u u r ==令，为A 的三等分点，为的中点，有，所以设平面的法向量为有，即1234433221234230,n 1363x 3y 0A A P N a 3a )1(3)0(6)441,1(3)(6)a 10,10A A A 113a 6a 255V Sh 3343123⎧=⎪=⎨=⎪⎩αααα⨯+⨯-+⨯-=+-+-===⨯⨯==r ---所以（，，），因为，，，相邻平面之间的距离为1，所以点到平面的距离为（解得由此可得边长为的正四面体A 满足条件，所以所求正四面体的体积为3.（2011.天津高考理科.T17）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，H是正方形11AA B B的中心，122AA=，1⊥C H平面11AA B B，且15.C H=（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B--的正弦值；（Ⅲ）设N为棱11B C的中点，点M在平面11AA B B内，且⊥MN平面11A B C，求线段BM的长．【精讲精析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C（I）易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B=--=-u u u r u u u u r，于是1111112cos,3||||322⋅===⋅⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u u ru u u r u u u u rAC A BAC A BAC A B所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23（II）易知111(0,22,0),(2,2,5)AA AC==--u u u r u u u u r，设平面AA1C1的法向量(,,)=u rm x y z，则111⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u ru r u u u rm A Cm AA即2250,220.⎧--+=⎪⎨=⎪⎩x z不妨令5,x可得(5,0,2)=u rm，同样地，设平面A1B1C1的法向量(,,)=rn x y z，则11110,0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u u rn A Cn A B即2250,220.⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩x zx不妨令5y=可得(0,5,2).=r n 于是2cos ,,7||||77⋅===⋅⋅u r r u r r u r r m n m n m n 从而35sin ,.7=u r r m n 所以二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为35. （III ）由N 为棱B 1C 1的中点，得2325(,,).N 设M （a ，b ，0），则2325(,,MN a b =--u u u u r )，由⊥MN 平面A 1B 1C 1，得11110,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g MN A B MN AC 即2()(22)0,2325()(2)()(2)50.222⎧--=⎪⎪⎨⎪--+--+⋅=⎪⎩g g g a a b 解得2,2.4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故22(,,0).24M 因此22(,,0)24BM =u u u u r ，所以线段BM 的长为10||.4BM =u u u u r 方法二：（I ）由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，1122,5,AA C H ==可得1111 3.AC B C ==因此22211111111111112cos .2AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅ 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2. （II ）连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1，又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1C 1，所以11AC A ∆≌111∆B C A ，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接B 1R ，于是111B R AC ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A 1C 1—B 1的平面角. 在11Rt A RB ∆中，11111sin 3B R A B RA B =⋅∠== 连接AB 1，在1ARB ∆中， 2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R+-==∠=⋅27=-，从而1sin 7ARB ∠= 所以二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为7 （III ）因为MN ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.MN A B ⊥，取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点，所以ND//C 1H且1122ND C H ==.又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以ND ⊥平面AA 1B 1B ，故11.ND A B ⊥又,MN ND N =I所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ，则111,//.ME A B ME AA ⊥故由1111111,4B E B D DE AA B A B A ===得1DE B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得12BF B E ==连接NE.在Rt ENM ∆中，2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故所以24ND DM DE ==可得4FM =连接BM ，在Rt BFM ∆中，BM == 关闭Word 文档返回原板块。