江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷(图片版)
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.（5分）已知集合A={1.2.8}，B={-1.1.6.8}，则A∩B={1.8}。
2.（5分）若复数z满足i•z=1+2i（其中i是虚数单位），则z的实部为-2.3.（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为74.4.4.（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为20.5.（5分）函数f(x)=√(3-x)的定义域为(-∞。
3]。
6.（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为3/10.7.（5分）已知函数y=sin(2x+φ)（-π/4≤x≤π/4），则φ的值为π/6.8.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为1，则其离心率的值为c/a。
9.（5分）函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间（-2，2]上，f(x)=|x|，则f(f(15))的值为1.10.（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为8.11.（5分）若函数f(x)=2x³-ax²+1（a∈R）在（-∞，+∞）内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为4.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。
若D的横坐标为4/3，则C的坐标为(7/3，14/3)。
13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为3.14.（5分）已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}。
2018年江苏省无锡市初中毕业升学考试数学考试试题(副卷)(解析版)
2018年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．32．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．93．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形4．下列计算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．a6÷a2＝a35．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．6．如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠AEB的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．70°7．若3a﹣2b＝2，则代数式2b﹣3a+1的值等于（）A．﹣1B．﹣3C．3D．58．蚊香长度y（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的函数表达式为y＝105﹣10t．则蚊香燃烧的速度是（）A ．10厘米/小时B ．105厘米/小时C ．10.5厘米/小时D ．不能确定 9．若关于x 的不等式3x +m ≥0有且仅有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．6≤m ≤9 B ．6＜m ＜9 C ．6＜m ≤9 D ．6≤m ＜9 10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连结CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．4B ．C ．3D ．二、填空题（每小题2分，本大题共16分）11．在函数y ＝中，自变量x 的取值范围是 ．12．因式分解：x 3﹣4x ＝ ．13．我国某铁路年输送货物的能力是11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为 ． 14．数据﹣3，﹣1，0，2，4的极差是 ．15．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 ．16．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x ，由题意可列得方程： ．17．已知点A 、B 都在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，其横坐标分别是m 、n （m ＜n ）．过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是C 、D ；过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是E 、F ，AC 与BF 交于点P ．当点P 在线段DE 上、且m （n ﹣2）＝3时，m 的值等于 ．18．如图，点A 的坐标是（a ，0）（a ＜0），点C 是以OA 为直径的⊙B 上一动点，点A 关于点C 的对称点为P ．当点C 在⊙B 上运动时，所有这样的点P 组成的图形与直线y ＝﹣x ﹣1有且只有一个公共点，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）计算：（1）tan60°+（3﹣）﹣；（2）（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）．20．（8分）解方程（组）：（1）＝﹣3；（2）21．（6分）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．22．（6分）某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访次；（3）若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有人．23．（8分）某校4月份八年级的生物实验考查，有A、B、C、D四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A考查的概率是；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB 上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sin B＝，求AD的长．25．（8分）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件，厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？26．（10分）如图，∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C．点D在∠AOB内，且满足∠APD＝∠OPC，DP+PC＝10．（1）当PC＝6时，求点D到OB的距离；（2）在射线OA上是否存在一定点M，使得MD＝MC？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M（不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM的长；若不存在，说明理由．27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．28．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．参考答案一、选择题1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．3【分析】利用绝对值的定义求解即可．解：﹣3的绝对值是3．故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．2．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．解：9的算术平方根是3，故选：A．【点评】本题考查算术平方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．3．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．4．下列计算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．a6÷a2＝a3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．解：A、3a2﹣a2＝2a2，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，正确；C、a2•a3＝a5，故此选项错误；D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，2，1．解：该几何体的俯视图为故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．6．如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠AEB的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．70°【分析】利用正方形的性质得出∠BAC＝45°，再利用等腰三角形的性质得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AE＝AB，∴∠BEA＝∠ABE＝＝67.5°．故选：C．【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，正确得出∠BAE度数是解题关键．7．若3a﹣2b＝2，则代数式2b﹣3a+1的值等于（）A．﹣1B．﹣3C．3D．5【分析】直接利用已知将原式变形，整体代入求出答案．解：当3a﹣2b＝2时，原式＝﹣（3a﹣2b）+1＝﹣2+1＝﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确应用已知求出是解题关键．8．蚊香长度y（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的函数表达式为y＝105﹣10t．则蚊香燃烧的速度是（）A．10厘米/小时B．105厘米/小时C．10.5厘米/小时D．不能确定【分析】函数中表达式由自变量和因变量两个因素组成，这个是一次函数，图象为一条直线，可以任选符合条件的两点求出蚊香燃烧的速度．解：设时间t1时蚊香长度为y1，时间t2时蚊香长度为y2∴y1＝105﹣10t1，y2＝105﹣10t2则：速度＝（y1﹣y2）÷（t1﹣t2）＝[（105﹣10t1）﹣（105﹣10t2）]÷（t1﹣t2）＝﹣10∴蚊香燃烧的速度是10厘米/小时故选：A．【点评】本题考查了函数的解析式和图象的结合，另外图象是由点来组成．9．若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9B．6＜m＜9C．6＜m≤9D．6≤m＜9【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的值．解：∵3x+m≥0，∴x≥﹣，∵不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，∴﹣3＜﹣≤﹣2．∴6≤m＜9，故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（）A．4B．C．3D．【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE＝x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设AE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴HF＝x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF面积＝＝，∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．故选：B．【点评】本题通过构造K形图，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥1．【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．解：根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．因式分解：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．13．我国某铁路年输送货物的能力是11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为 1.1×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为1.1×107．故答案为：1.1×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．数据﹣3，﹣1，0，2，4的极差是7．【分析】根据极差的定义即可求得．解：由题意可知，极差为4﹣（﹣3）＝7．故答案为：7．【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．15．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是12π．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．16．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．【分析】设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，依题意，得：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．故答案为：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．已知点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其横坐标分别是m、n（m＜n）．过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是C、D；过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是E、F，AC与BF交于点P．当点P在线段DE上、且m（n﹣2）＝3时，m的值等于．【分析】如图，A（m，），B（n，），则P（m，），通过证明△ADP∽△CEP得到＝，即＝，从而得到n＝2m，所以m（2m﹣2）＝3，然后解关于m的方程即可．解：如图，A（m，），B（n，），则P（m，），∵点P在线段DE上，AD∥CE，∴△ADP∽△CEP，∴＝，即＝，∴m2＝（n﹣m）2，而n＞m＞0，∴m＝n﹣m，即n＝2m，把n＝2m代入m（n﹣2）＝2得m（2m﹣2）＝3，整理得2m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝，m2＝（舍去），即m的值为．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．18．如图，点A的坐标是（a，0）（a＜0），点C是以OA为直径的⊙B上一动点，点A关于点C的对称点为P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，则a的值等于﹣．【分析】如图，连接BC，OD，设直线y＝﹣x﹣1交x轴于点E（﹣3，0），交y轴于点F（0，﹣1），首先证明OD＝2BC＝﹣a，推出点D的运动轨迹是以O为圆心﹣a为半径的圆，当⊙O与直线y＝﹣x﹣1相切时，点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．想办法求出OG即可．解：如图，连接BC，OD，设直线y＝﹣x﹣1交x轴于点E（﹣3，0），交y轴于点F （0，﹣1），∵AC＝CD，AB＝OB，∴OD＝2BC＝﹣a，∴点D的运动轨迹是以O为圆心﹣a为半径的圆，当⊙O与直线y＝﹣x﹣1相切时，点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．在Rt△EOF中，∵OG⊥EF，EF＝＝，•OE•OF＝•EF•OG，∴OG＝，∴a＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，轨迹等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）tan60°+（3﹣）﹣；（2）（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）先算特殊角的三角函数值、去括号，再合并同类项即可求解；（2）先算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项即可求解．解：（1）tan60°+（3﹣）﹣＝+3﹣﹣＝2；（2）（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝4x2﹣4x+1﹣x2+1＝3x2﹣4x+2．【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．20．（8分）解方程（组）：（1）＝﹣3；（2）【分析】（1）两边都乘以x﹣2，化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得；（2）利用加减消元法求解可得．解：（1）两边都乘以x﹣2，得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），解得：x＝2，检验：x＝2时，x﹣2＝0，∴x＝2是分式方程的增根，则原分式方程无解．（2），②×2﹣①，得：5y＝40，解得y＝8，将y＝8代入②，得：x+32＝42，解得：x＝10，则方程组的解为．【点评】本题主要考查解分式方程和二元一次方程组，解题的关键是掌握解分式方程的步骤和解二元一次方程组的两种消元方法．21．（6分）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．【分析】直接利用正五边形的性质得出AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，进而得出△ABC ≌△AED（SAS），即可得出答案．证明：∵正五边形ABCDE中，∴AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及等腰三角形的性质，正确把握正多边形的性质是解题关键．22．（6分）某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访 3.24次；（3）若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有9120人．【分析】（1）由3次的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它次数的人数求得4次的人数即可得；（2）根据加权平均数的公式计算可得；（3）用总人数乘以样本中3次、4次及5次人数和占被调查人数的比例即可得．解：（1）∵被调查的总人数为54÷36%＝150（人），则家访4次的人数为150×28%＝42（人），补全图形如下：（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访＝3.24（次），故答案为：3.24；（3）近两周家访不少于3次的教师约有12000×＝9120（人），故答案为：9120．【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（8分）某校4月份八年级的生物实验考查，有A、B、C、D四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A考查的概率是；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同一实验A的情况数，即可求出所求概率．解：（1）小丽参加实验A考查的概率是，故答案为：；（2）列表如下：所有等可能的情况有16种，其中小明、小丽都参加实验A考查的只有1种情况，所以小明、小丽都参加实验A考查的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB 上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sin B＝，求AD的长．【分析】（1）由题意可得∠CAD＝∠DAO＝∠ODA，可得DO∥AC，即可证OD⊥BC，则BC与圆O相切；（2）利用三角函数可求AB＝10，BC＝8，由sin B＝＝＝，可求AO＝DO＝，即可求BD，CD的长，由勾股定理可求AD的长．解：（1）BC与圆O相切，理由如下：如图，连接OD∵OA＝OD∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠DAO∴∠CAD＝∠ODA∴DO∥AC∵AC⊥CD∴OD⊥BC，且D在圆O上，∴BC与圆O相切（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，sin B＝，∴AB＝10，BC＝8在Rt△BDO中，sin B＝＝＝，∴30＝8DO∴DO＝＝AO∴BO＝AB﹣AO＝∴BD＝＝5∴CD＝BC﹣BD＝3在Rt△ACD中，AD＝＝＝3【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．25．（8分）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件，厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？【分析】设A商场售出该商品x件，分采购量小于400件、等于400件以及大于400件三种情况考虑：①当A商城的采购量小于400件时，利用总利润＝单件利润×销售数量结合总利润达到9600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；②当A商城的采购量等于400件时，由利润＝销售收入﹣进货成本+返利+退货钱数结合总利润达到9600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论；③当A商城的采购量大于400件时，结合②可得出销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．综上，此题得解．解：设A商场售出该商品x件．①当A商城的采购量小于400件时，有（100﹣75）x≥9600，解得：x≥384，∴商城对这种商品的销量至少要384件；②当A商城的采购量等于400件时，有100x﹣400×75+65（400﹣x）+400×5≥9600，解得：x≥331，∵x为正整数，∴x≥332，∴商城对这种商品的销量至少要332件；③当A商城的采购量大于400件时，销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．答：当A商场对这种商品的销量至少要332件时，他们的获利能达到9600元．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分采购量小于400件、等于400件以及大于400件三种情况列出一元一次不等式是解题的关键．26．（10分）如图，∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C．点D在∠AOB内，且满足∠APD＝∠OPC，DP+PC＝10．（1）当PC＝6时，求点D到OB的距离；（2）在射线OA上是否存在一定点M，使得MD＝MC？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M（不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM的长；若不存在，说明理由．【分析】（1）作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD＝4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE＝PD＝2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH 即可；（2）如图2，延长CP到D′，使PD′＝PD，则CD′＝PC+PD＝10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利用∠D′P A＝∠DP A＝30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′＝MD，而MD′＝MC，所以点M满足MD＝MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN＝5，根据含30度的直角三角形三边的关系求出ON、OM即可．解：（1）作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC＝10，PC＝6，∴PD＝4，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝∠APD＝30°，∴∠DPE＝30°，∴DE＝PD＝2，易得四边形PCHE为矩形，∴EH＝PC＝6，∴DH＝DE+EH＝2+6＝8，即点D到OB的距离为8；（2）存在．如图2，延长CP到D′，使PD′＝PD，则CD′＝PC+PD＝10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN＝×10＝5，在Rt△OMN中，ON＝MN＝，∴OM＝2ON＝．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直角三角形三边的关系．27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．【分析】（1）如图，作CH⊥AB于H．证明△PCH是等腰直角三角形即可解决问题．（2）证明AB＝2n，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）如图，作CH⊥AB于H．由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，∵PQ⊥P A，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠QPC＝135°，∴∠BPC+∠QPB＝135°，∵∠QPB＝90°，∴∠BPC＝45°，∵CH⊥AB，∴CH＝PH，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，BH＝＝，∴PB＝PH+BH＝+＝．（2）如图2中，连接BQ．由翻折不变性可知：P A＝PQ，∠QPC＝∠APC，∵四边形BCPQ是平行四边形，∴PQ＝BC＝P A＝n，PQ∥BC，∴∠QPC+∠PCB＝180°，∵∠BPC+∠APC＝180°，∴∠PCB＝∠BPC，∴PB＝BC＝n，∴AP＝PB＝n，AB＝2n，在Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，∴m2＝3n2，∵m＞0．n＞0，∴m＝n．【点评】本题考查解直角三角形，翻折变换，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．【分析】（1）由题意得：OA＝m＝3，将x＝3代入y＝x，可得：y＝9，即可求解；（2）由CD：DA＝BP：P A＝1：2，PD：BC＝P A：PB＝2：3，求出：OC＝m，CD＝m，AD＝m，利用OA＝m+m+m＝6，即可求解．解：（1）由题意得：OA＝m＝3，将x＝3代入y＝x，可得：y＝9，故：点B的坐标（3，9），∴BP＝6；（2）过点B作BC⊥OA于点C，过点P作PD⊥OA，由题意得：∠BOC＝60°，∵PD∥BC，∴CD：DA＝BP：P A＝1：2，PD：BC＝P A：PB＝2：3，∵PD＝m，OD＝m，∴BC＝m，在Rt△OBC中，OC＝m，∴CD＝m，AD＝m，∴OA＝m+m+m＝6，解得：m＝，∴点B（，），P（3，），故抛物线表达式为：y＝a（x﹣）2+，将点P坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2+．【点评】本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、抛物线的基本性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度．。
高三数学-2018年江苏省无锡市高三数学综合试卷 精品
2018年无锡市高三数学综合试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（改）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=18-a 6，则S 10等于 （ ）A ．180B ．90C ．198D ．1082．（改）下列各图形中，是函数图象的是 （ ）3．（新）若以集合S ={a ，b ，c }（a ，b ，c ∈R ）中的三个不同元素为边长可构成一个三角形，那么这个三角形一定不可能．．．是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．（改）已知椭圆22212a a x y -=的焦距为4，则a 的值为 （ ）ABCD5．（改）函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+--++的图象的一条对称轴的方程是 （ ） A ．π12x =B ．π6x =C ．π12x =- D ．π24x =-6．（改）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310等于 （ ） A ．恰有2只是好的概率 B ．恰有1只是坏的概率 C ．至多2只是坏的概率 D ．4只全是好的概率 7．（新）甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是（ ） A ．甲是图①，乙是图② B ．甲是图①，乙是图④ C ．甲是图③，乙是图② D ．甲是图③，乙是图④ 8．（改）已知f (x ) = －2x +1，对任意正数ε，x 1、x 2∈R ，使|f (x 1)－f (x 2)|＜ε的一个充分不必要条件是 （ ）A ．| x 1－ x 2|＜εB ．| x 1－ x 2|＜ε2C ．| x 1－ x 2|＜ε4D ．| x 1－ x 2|＞ ε49．（改）已知复数z k (k =1，2，3，…，2018)满足|z k |=1，命题甲为：∑=20031k kz=0，命题乙：复平面内以z k (k =1，2，3，…，2018)的对应点为顶点的2018边形是正多边形，那么命题甲是命题乙的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分不必要条件 10．（改）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BB 1的中点，G 为BC 上一点，若C 1F ⊥FG ，则∠D 1FG 为 （ ） A ．60º B ． 120º C ．150º D ．90º11．（改）131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(-2，0)B ．(-∞，-2)∪(0，+∞)C ．(-4，2)D ．(-∞，-4)∪(2，+∞)12．（新）设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．与n 有关的数第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．（改）正整数2160的正约数共有 个．第7题图14．（改）为了了解学生的体能情况，现抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图．已知图中从左到右三个小组的频率分别为0.1，0.2，0.4，第一小组的频数为5，Array那么第四小组的频数等于．15．（新）当方程m(x2+y2-4x+2y+5) =(3x+4y+33)2所表示的点的轨迹为双曲线时，则实数m的取值范围为．16．（改）设正实数x、y、z满足(x+y)(x+z)=2，则xyx(x+y+z)的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（改）（本题满分12分）有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x(m)的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池（不计损耗）．（Ⅰ）求容积V关于自变量x的函数，并指出其定义域；（Ⅱ）指出函数V（x）的单调区间；（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？18．（新）（本题满分12分）已知向量a = e1-e2，b = 4e1+3e2，其中e1= (1，0)，e2= (0，1)．（Ⅰ）试计算a·b；|a+b|的值；（Ⅱ）n个向量a1、a2、…、a n称为“线性相关”，如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、k n，使得k1a1+ k2a2+…+ k n a n=0成立，否则，则为“不线性相关”．依此定义，三个向量a1= (-1，1)，a2= (2，1)，a3= (3，2) 是否为“线性相关”的？请说明你的判断根据；（Ⅲ）平面上任意三个互不共线的向量a1、a2、a3，一定是线性相关的吗？为什么？19．（改）（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD = 2 ，∠A 1AB =∠A 1AD =∠BAD ．（Ⅰ）设∠BAD =α，A 1A 与面ABCD 所成的角为β，求证：2coscos cos ααβ=；（Ⅱ）设A 1A 到面B 1D 1DB 的距离为1，求二面角A 1-AD -B 的余弦．ABCDA 1B 1C 1D 120．（新）（本题满分12分）已知递减的等比数列{a n }，各项均正，且满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++．2712111111，31215432154321a a a a a a a a a a 试求数列{a n }的通项公式 ． 21．（改）（本题满分12分）椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OQ OP ⊥．求椭圆离心率e 的取值范围．22．（新）（本小题满分14分）设集合S ={|，||<1}x x x ∈R 且．在S 中定义运算“*”，使得*1a ba b ab+=+． （Ⅰ）证明：如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ； （Ⅱ）证明：对于S 中的任何元素a 、b 、c ，都有(a *b )*c = a *(b *c )成立；（Ⅲ）试问：是否存在单位元e ，使得a *e = e *a = a ？又是否存在不变元i ，使得a *i = i *a = i ．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B （点拨：a 5+a 6=a 1+a 10=18，S 10=11010()2a a +=90） 2．D （点拨：函数首先必须是映射，一个x 只能对应一个y ）3．D （点拨：集合中的元素具有互异性，a 、b 、c 两两互不相等）4．C （点拨：显然a <0，而对于C 、D 中的答案，只须选其中一个代入验证即可） 5．A （点拨：可先将y 化为πsin(4)6x +，其对称轴经过函数的最值点）6．A （点拨：恰有2只是好的概率为2273410C C C =310）7．B （点拨：先走一半的路程，甲所用时间较少，乙所用时间较多） 8．C （点拨：B 是充要的，A 是必要的，D 既非充分又非必要）9．B （点拨：顺次连结封闭多边形的各边所得的向量和为零向量，故由命题乙可推得甲，反之，则不然）10．D （点拨：C 1F 为D 1F 在平面BCC 1B 1内的射影，利用三垂线定理可得D 1F ⊥FG ）11．C （点拨：将133(1)n n n a +++的分子分母同除以3k，可得1()3k a +→0，从而|13a +|<1） 12．A （点拨：F n=213)n +，F n +I n =12)310(++n ）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．40 14．15 15．0＜m ＜2516．1三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a ，则a ＝6－2x ，且蓄水池容积为2()(62)V x x x =-．由＞062＞0x x ⎧⎨-⎩，得()V x 定义域为（0，3）． （Ⅱ）322()42436，'()124836V x x x x V x x x =-+=-+．令'()V x ≥0，并注意到(0,3)x ∈知：()V x 的单调递增区间为（0，1]；令'()V x ≤0，并注意到(0,3)x ∈知，()V x 的单调递减区间为[1，3]．（Ⅲ）令2'()1248360V x x x =-+=，得x ＝1（3(0,3)x =∉，舍去）．此时，a = 4（m ）．由()V x 单调性知，3max [()](1)16(m )V x V ==．故当底面边长为4m 时，蓄水池容积最大，最大容积为16m 3． 18．（Ⅰ）a = (3，0) – (0，2) = (3，-2)，b = (4，0) +(0，1) =(4，1)．a ·b = (3，-2) ·(4，1)=10； |a +b |=|(7，1)|= 50 = 52． （Ⅱ）是“线性相关”的．令k 1(-1，1)+k 2(2，1)+k 3(3，2) = (0，0)，于是 k 1+2k 2+3k 3=0，且k 1+k 2+2k 3=0．显然由以上两条件构成的方程组有不全为零的实数解（如k 1= -1，k 2= -5，k 3=3），故它们为线性相关的． （Ⅲ）平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关． 由平面向量的基本定理知，平面上任意两个不共线的向量a 1、a 2均可作为向量的一组基底，并且对于平面内的任一其它向量a 3，有且仅有唯一的一对实数λ1、λ2，使a 3 = λ1a 1+λ2a 2．分别取k 1=λ1，k 2=λ2，k 3= -1，即有λ1a 1+λ2a 2- a 3 =0，也就是平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关． 19．（Ⅰ）如图，因∠A 1AB =∠A 1AD ，A 1A =A 1A ，AB =AD ，故△A 1AB ≌△A 1AD ．于是，A 1B =A 1D ．故BD ⊥A 1O ．因AB =AD ，故四边形ABCD 为菱形，从而BD ⊥AC ． 又A 1O ∩AC =O ，故BD ⊥面A 1C 1CA ．于是，面ABCD ⊥面A 1C 1CA ． （★） 作HE ⊥AD 于E ，连A 1E ，由三垂线定理得，A 1E ⊥AD ．故，2coscos cos 11ααβ=⋅==EA AE AE AH H A AH ． （Ⅱ）由（★）得，面B 1D 1DB ⊥面A 1C 1CA ．作A 1F ⊥OO 1于F ，则A 1F ⊥面B 1D 1DB ．故A 1F =1．在Rt △A 1O 1D 1中，A 1O 1=A 1D 1•2cos α=2cos2α．于是，O 1F =αcos 21211=-F A O A ．故，2c o s2c o s c o s c o s 2c o sc o s 11ααβαα=∠==F O A ，从而，ααcos cos 22=．又αcos ≠0，于是αcos = 12 ，α=60º．由（Ⅰ）知，∠A 1EH 是二面角A 1-AD -B 的平面角，于是AB CDA 1B 1C 1D 1O 1EFOH3160tan 30tan cos 11=⋅⋅==∠AE AE E A EH EH A ． 20．设数列的公式为q ，则原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++． ②27121)1(1① ，3121)1(23454321q q q q a q q q q a将以上两式相除得 a 1a 5 = 9，即23a =9． 因a n ＞0，故a 3 = 3．注意到231qa a =，q a a 32=，q a a 34=，235q a a =，于是a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 = 3121又可化为 3121)1()1(33223=++++q q a a q qa ，变形得 313031211)1(332=+=+++a a q q q q ．解得3101=+q q （另一解为负，不合，舍去）， 从而 q =31（q =3，不合，舍去）．此时，27231==q a a ，nn na --=⋅=413)31(27． 21．不妨设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）．（1）当PQ ⊥x 轴时，F (–c ，0)，则ab FP 2||=且|FP | = |FQ |．又OQ OP ⊥，故|OF |= |FP |，即a b c 2=，也就是ac = a 2 – c 2．将两边同除以a 2，得 e 2+e –1= 0，解得215-=e ．（2）当PQ 不垂直x 轴时，设PQ ：)(c x k y +=并将代入椭圆方程得02)(22222222222=-+++b a c a k cx a k x a k b设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OQ OP ⊥，∴02121=+y y x x ．即 0))((21221=+++c x c x k x x ，亦即 0)()1(22212212=++++c k x x c k x x k ．于是 02)1(22222222222222222=++-⋅++-⋅+c k ak b c a k c k a k b b a c a k k ． 解得 222222222ba cbc a b a k -+= ． 显然 k ≠0，故k 2＞0，∴222222b a c b b a -+＞0，将222c a b -=代入上式，得1324+-e e ＜0，解得215-＜e ＜1． 综合上述情况得e 的范围是215-≤e ＜1．22．（Ⅰ）∵a ∈S ，b ∈S ，∴|a |＜1，|b |＜1．∴22(1)()(1)(1) ab a b ab a b ab a b +-+=++++--22(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b =++--=--＞0．∴2()1a b ab ++＜1，即|1a b ab ++|＜1，也就是1a bab++∈S ，从而a *b ∈S ． （Ⅱ）(a *b )*c =1*1111a bca b a b c abc ab c a b ab ab ac bc c ab +++++++==+++++++ ，a *(b *c ) =1*1111b ca b c a b c abc bc a b c bc ab ac bca bc+++++++==+++++++ ， 故(a *b )*c = a *(b *c )． （Ⅲ）若a *e = e *a = a ，则11a e e aa ae ea++==++，变形得(1)e a a ea +=+，从而，2a ea =，该式不能对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故不存在满足条件的单位元e ．若a *i = i *a = i ，则11a i i ai ai ia++==++，变形得(1)i a i ia +=+，从而，2a i a =，当1i =±时，等式对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故存在满足条件的不变元1i =±．。
江苏省无锡新吴区2018-2019学年第一学期初一数学期末试卷(解析版)
江苏省无锡新吴区2018-2019学年第一学期初一数学期末试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？()A. B. C. D.【答案】B【解析】解：圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形．故选：B．根据圆锥的侧面展开图的特点作答．此题考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形．2.下列运算正确的是()A. 3a2+a=4a3B. −3(a−b)=−3a+bC. 5a−4a=1D. a2b−2a2b=−a2b【答案】D【解析】解：A、3a2和a不能合并，故本选项错误；B、结果是−3a+3b，故本选项错误；C、结果是a，故本选项错误；D、结果是−a2b，故本选项正确；故选：D．根据同类项，合并同类项，去括号法则判断即可．本题考查了同类项，合并同类项，去括号法则的应用，能熟记法则是解此题的关键．3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为()A. 44×108B. 4.4×109C. 4.4×108D. 4.4×1010【答案】B【解析】解：4400000000=4.4×109，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.一元一次方程3x+6=2x−8移项后正确的是()A. 3x−2x=6−8B. 3x−2x=−8+6C. 3x−2x=8−6D. 3x−2x=−6−8【答案】D【解析】解：一元一次方程3x+6=2x−8移项得3x−2x=−8−6，故选：D．根据解方程移项要变号，可得答案．本题考查了解一元一次方程，移项变号是解题关键．5.在−(−8),(−1)2007,−32,−|−1|,−|0|,−225,π3中，负有理数共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】解：−(−8),(−1)2007,−32,−|−1|,−|0|,−225,π3中(−1)2007=−1、−32=−9、−|−1|=−1、−225=−45是负数，故选：A．负数的奇次幂为负，偶次幂为正，看准底数进行计算可得到答案．此题主要考查了整数指数幂，乘方，绝对值，关键是准确掌握各计算公式与法则．6.下列说法中正确的是()A. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B. 若AC=BC，则点C是线段AB的中点C. 两点之间的所有连线中，垂线段最短D. 相等的角是对顶角【答案】C【解析】解：A.应为过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故本说法错误；B.若AC=BC，且A、B、C三点共线，则点C是线段AB的中点，故本说法错误；C.两点之间的所有连线中，垂线段最短，故本说法正确；D.相等的角不一定是对顶角，故本说法错误；故选：C．分别对各个选项进行仔细地分析可得出答案．本题主要考查平行线公理及推论，解题的关键是掌握平行线公理及推论，线段中点的定义与性质，对顶角的定义和性质．7.如图，小亮用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是()A. 主视图B. 主视图和左视图C. 主视图和俯视图D. 左视图和俯视图【答案】D【解析】解：从左面看第一层都是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，①②的左视图相同；从上面看第一列都是一个小正方形，第二列都是一个小正方形，第三列都是三个小正方形，故①②的俯视图相同，故选：D．根据三视图的意义，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．8.如图，某商品实施促销“第二件半价”，若购买2件该商品，则相当于这2件商品共打了()折．A. 5B. 5.5C. 7D. 7.5【答案】D【解析】解：设一件商品原价为a元，买2件商品共打了x折，根据题意可得：a+0.5a=2a⋅x，10解得：x=7.5，即相当于这2件商品共打了7.5折．故选：D．根据题意设一件商品原价为a元，买2件商品共打了x折，利用价格得出等式求出答案．此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．9.已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长是()A. 5cmB. 9cmC. 5cm或9cmD. 3cm或5cm【答案】C【解析】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=13AB=13×6=2，AP=23AB=23×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=12PB=12×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5cm或9cm．故选：C．根据中点的定义可得PQ=QB，根据AP=2PB，求出PB=13AB，然后求出PQ的长度，即可求出AQ 的长度．本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意分类思想的运用．10.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需()根火柴．A. 156B. 157C. 158D. 159【答案】B【解析】方法一：解：根据题意可知：第1个图案需7根火柴，7=1×(1+3)+3，第2个图案需13根火柴，13=2×(2+3)+3，第3个图案需21根火柴，21=3×(3+3)+3，…，第n个图案需n(n+3)+3根火柴，则第11个图案需：11×(11+3)+3=157(根)；故选B．方法二：n=1，s=7；n=2，s=13；n=3，s=21，设s=an2+bn+c，∴{a+b+c=74a+2b+c=13 9a+3b+c=21，∴{a=1 b=3 c=3，∴s=n2+3n+3，把n=11代入，s=157．方法三：6，8，10，12，14，16，18，20，22，24．根据第1个图案需7根火柴，7=1×(1+3)+3，第2个图案需13根火柴，13=2×(2+3)+3，第3个图案需21根火柴，21=3×(3+3)+3，得出规律第n个图案需n(n+3)+3根火柴，再把11代入即可求出答案．此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.代数式3x m y与−4x3y的和是一个单项式，则m=______．【答案】3【解析】解：根据题意知3x m y与−4x3y是同类项，则m=3，故答案为：3．根据题意得到两代数式为同类项，利用同类项定义求出m即可．此题考查了合并同类项，以及单项式，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．12.已知∠α=76∘36′，则∠α的补角为______．【答案】103∘24′【解析】解：∵∠a=76∘36′，∴∠a的补角=180∘−76∘36′=103∘24′．故答案为：103∘24′．根据互补两角之和为180∘求解即可．本题考查了补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180∘．13.若a2−3b=4，则3b−a2+2018=______．【答案】2014【解析】解：当a2−3b=4时，原式=−(a2−3b)+2018=−4+2018=2014，故答案为：2014．将a2−3b=4代入原式=−(a2−3b)+2018计算可得．本题主要考查代数式的求值，求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14.已知关于x的方程(k−1)x|k|−1=0是一元一次方程，则k的值为______．【答案】−1【解析】解：由题意得：|k|=1，且k−1≠0，解得：k=−1，故答案为：−1．根据一元一次方程定义可得：|k|=1，且k−1≠0，再解即可．此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．15.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是______．【答案】36【解析】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和3，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、3，则这个长方体的体积为4×3×3=36．故答案为：36．根据所给的三视图判断出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可．此题考查了三视图判断几何体，注意：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．16. 已知∠AOB =24∘，自∠AOB 的顶点O 引射线OC ，若∠AOC ：∠BOC =7：5，则∠AOC 的度数是______． 【答案】14∘或84∘【解析】解：①当射线OC 在∠AOB 内部时，∠AOC =24×77+5=14∘； ②当射线OC 在∠AOB 外部时，设∠AOC =7x ，则∠AOB =2x =24∘，解得x =12∘ 所以∠AOC =7×12∘=84∘． 故答案为14∘或84∘．分两种情况：①射线OC 在∠AOB 内部；②射线OC 在∠AOB 外部.根据角之间的比值求解即可． 本题主要考查角的倍分关系，分情况讨论问题是解题的关键．17. 任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0．7⋅为例进行说明：设0．7⋅=x ，由0．7⋅=0.7777…可知，10x =7.7777…，所以10x −x =7，解方程，得x =79，于是.得0．7⋅=79.将0．36⋅⋅写成分数的形式是______．【答案】411【解析】解：设0．36⋅⋅=x ，则36．36⋅⋅=100x ， ∴100x −x =36， 解得：x =411． 故答案为：411．设0．36⋅⋅=x ，则36．36⋅⋅=100x ，二者做差后可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．18. 下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1−图4四个算图所示的规律，可知图5所表示的等式为______．【答案】21×13=273【解析】由图形可知：图1中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为11，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即11×11=121；图2中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即21×11=231；图3中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为12，它们为两个因数，即21×12=252；图4中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为31，右下方的两组交点个数逆时针排列为21，它们为两个因数，即31×12=372；图5中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为13，它们为两个因数，即21×13=273；故答案为：21×13=273．根据图形计算正整数乘法的方法进行计算．此题考查了图形的变化规律，关键在于认真正确的对每个图形进行分析归纳规律，得出规律解决问题．三、计算题（本大题共2小题，共7.0分）19.计算：(1)(−2)−(−3)−|−4|(2)−22+3×(−1)2016−9÷(−3)【答案】解：(1)原式=−2+3−4=−3；(2)原式=−4+3×1+3=−4+3+3=2．【解析】(1)将减法转化为加法，计算绝对值，再计算加法可得；(2)根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．20.解方程：(1)5x+3x=2+6(2)x+12−2−3x6=1【答案】解：(1)8x=8，x=1；(2)3(x+1)−(2−3x)=6，3x+3−2+3x=6，3x+3x=6−3+2，6x=5，x=56．【解析】(1)合并同类项、系数化为1即可得；(2)依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得．本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．四、解答题（本大题共7小题，共50.0分）21.先化简，后求值：(3a2−4ab)−2(a2+2ab)，其中a，b满足|a+1|+(2−b)2=0．【答案】解：原式=3a2−4ab−2a2−4ab=a2−8ab，∵|a+1|+(2−b)2=0．∴a+1=0，2−b=0，即a=−1，b=2，当a=−1，b=2时，原式=(−1)2−8×(−1)×2=17．【解析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.利用网格画图：(1)过点C画AB的平行线；(2)过点C画AB的垂线，垂足为E；(3)连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，______线段最短，理由：______；(4)点C到直线AB的距离是线段的长度．【答案】CE 垂线段最短【解析】解：(1)直线CD即为所求；(2)直线CE即为所求；(3)在线段CA、CB、CE中，线段CE最短，理由：垂线段最短；故答案为CE，垂线段最短；(4)∵S△ABC=12⋅AB⋅CE，∴18−12×1×5−12×1×3−12×2×6=12×2√10×CE，∴CE=4√105．，(1)取点D作直线CD即可；(2)取点F作直线CF交AB与E即可；(3)根据垂线段最短即可解决问题；(4)根据三角形的面积的两种求法，构建方程即可解决问题；本题考查作图−应用与设计，垂线段最短、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件．(1)这个零件的表面积是______；(2)请在边长为1的网格图里画出这个零件的主视图和俯视图．【答案】24【解析】解：(1)2×2×6=24故这个零件的表面积是24．(2)如图所示：(1)几何体的表面积与原来相同，根据正方体的表面积公式计算即可求解；(2)根据几何体画出从正面、上面看所得到的图形即可．此题主要考查了三视图，以及求几何体的表面积，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．24.如图，线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：3的两段，若AC=10，求AB的长．【答案】解：设MC=x，∵MC：CB=1：3∴BC=3x，MB=4x．∵M为AB的中点．∴AM=MB=4x.∴AC=AM+MC=4x+x=10，即x=2．所以AB=2AM=8x=16.故AB的长为16．【解析】本题需先设MC=x，根据已知条件C点将线段MB分成MC：CB=1：3的两段，求出MB=4x，利用M为AB的中点，列方程求出x的长，即可求出AB的长．本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，求出线段的长是本题的关键．25.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，(1)图中∠AOF的余角是______(把符合条件的角都填出来)；(2)如果∠AOC=160∘，那么根据______可得∠BOD=______度；(3)如果∠1=32∘，求∠2和∠3的度数．【答案】∠BOC、∠AOD对顶角相等160【解析】解：(1)∵OF⊥OC，∴∠COF=∠DOF=90∘，∴∠AOF+∠BOC=90∘，∠AOF+∠AOD=90∘，∴∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD；故答案为：∠BOC、∠AOD；(2)∵∠AOC=160∘，∴∠BOD=∠AOC=160∘；故答案为：对顶角相等； 160；(3)∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1=64∘，∴∠2=∠AOD=64∘，∠3=90∘−64∘=26∘．(1)由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果；(2)由对顶角相等即可得出结果；(3)由角平分线的定义求出∠AOD，由对顶角相等得出∠2的度数，再由角的互余关系即可求出∠3的度数．本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握对顶角相等得性质和角平分线的定义是解决问题的关键．26.如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节粗细不同的空心套管连接而成，闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿的长度即为第1节套管的长度(如图1所示)，使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)，图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图，已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管都比前一节套管少4cm，完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．(1)请直接写出第5节套管的长度；(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．【答案】解：(1)第5节套管的长度为：50−4×(5−1)=34(cm)．答：第5节套管的长度为34cm．(2)第10节套管的长度为：50−4×(10−1)=14(cm)，设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，依题意，得：(50+46+42+⋯+14)−(10−1)x=311，即：320−9x=311，解得：x=1．答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．【解析】(1)利用第5节套管的长度=第1节套管的长度−4×(节数−1)，即可求出结论；(2)利用第10节套管的长度=第1节套管的长度−4×(节数−1)，可求出第10节套管的长度，设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，观察图形可知，10节套管共重合9个x的长度，根据鱼竿完全拉伸的长度=10节套管的长度和−9个x的长度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了规律型：图形的变化类以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．27.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示−10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.问：(1)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(2)P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；第12页，共13页(3)求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】解：(1)点P运动至点C时，所需时间t=10÷2+10÷1+8÷2=19(秒)，(2)由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM=x．则10÷2+x÷1=8÷1+(10−x)÷2，．解得x=163．故相遇点M所对应的数是163(3)P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8−t=10−2t，解得：t=2．②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8−t=(t−5)×1，解得：t=6.5．③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2(t−8)=(t−5)×1，解得：t=11．④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2(t−15)=t−13+10，解得：t=17．综上所述：t的值为2、6.5、11或17．【解析】(1)根据路程除以速度等于时间，可得答案；(2)根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；(3)根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
2018-2019学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷
2018-2019学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷副标题题号 一 二 总分 得分一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1. 设集合A ={x |x ＞0}，B ={x |-2＜x ＜1}，则A ∩B =______．2. 设复数z 满足 （1+i ）z =1-3i （其中i 是虚数单位），则z 的实部为______．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3：4：5，现用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n =______．4. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______．5. 执行如图的伪代码，则输出x 的值为______．6. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +1≥02x −y ≤0x ≥0，则z =x +y 的取值范围是______．7. 在四边形ABCD 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a ⃗ -b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a ⃗ -3b ⃗ ，其中，a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是______． 8. 以双曲线x 25-y 24=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是______．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于______． 10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3=7，且a 1-1，a 2-1，a 4-1成等比数列，则a 10等于______ 11. 已知θ是第四象限角，且cosθ=45，那么sin(θ+π4)cos(2θ−6π)的值为______．12. 已知直线y =a （x +2）（a ＞0）与函数y =|cos x |的图象恰有四个公共点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 4+1tanx 4=______．13. 已知点P 在圆M ：（x -a ）2+（y -a +2）2=1上，A ，B 为圆C ：x 2+（y -4）2=4上两动点，且AB =2√3，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______． 14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ，则1tanA +1tanB +1tanC 的最小值为______．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m⃗⃗⃗ =（a ，sin C -sin B ），n ⃗ =（b +c ，sin A +sin B ），且m ⃗⃗⃗ ∥n ⃗ （1）求角C 的大小（2）若c =3，求△ABC 的周长的取值范围．16. 在四棱锥P -ABCD 中，锐角三角形PAD 所在平面垂直于平面PAB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC ． （1）求证：BC ∥平面PAD ； （2）平面PAD ⊥平面ABCD ．17. 十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收人为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户（x ∈Z ，1≤x ≤9）从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收人每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 （3-14x ）万元（参考数据：1.13=1.331，1.153≈1.521，1.23=1.728）．（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收人不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至2018年底，该村每户年均纯收人能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且过点（√3，12），点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点 D ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求△PCD 面积的最大值．19. 已知函数f （x ）=e x -a2x 2-ax （a ＞0）．（1）当a =1时，求证：对于任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立； （2）若函数y =f （x ）恰好在x =x 1和x =x 2两处取得极值，求证：x 1+x 22＜ln a ．20. 设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0，q =1），前n 项和为Sn ，且2a 1a 3=a 4，数列{b n }的前n 项和Tn 满足2T n =n （b n -1），n ∈N *，b 2=1． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）是否存在常数t ，使得{S n +12t }为等比数列？说明理由； （3）设c n =1bn +4，对于任意给定的正整数k （k ≥2），是否存在正整数l ，m （k ＜l＜m ），使得c k ，c 1，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m （用k 表示），若不存在，说明理由．21. 设旋转变换矩阵A =[0−110]，若[ab12]•A =[34c d ]，求ad -bc 的值．22. 自极点O 作射线与直线ρcosθ=3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM •OP =12，若Q 为曲线{x =−1+√22ty =2+√22t（t 为参数）上一点，求PQ 的最小值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M （x ，y ）（x ＞0）到点F （2，0）的距离减去M 到直线x =-1的距离等于1． （1）求曲线C 的方程；（2）若直线y =k （x +2）与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补． 24. 已知数列{a n }满足a 1=23，1an−1=2−a n−1an−1−1（n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n ＜n +12-ln （n+32）．答案和解析1.【答案】{x|0＜x＜1}【解析】解：∵A={x|x＞0}，B={x|-2＜x＜1}；∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】-1【解析】解：由（1+i）z=1-3i，得z=，∴z的实部为-1．故答案为：-1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】36【解析】解：∵学生人数比例为3：4：5，A高校恰好抽出了9名志愿者，∴n=9÷=36，故答案为：36．学生人数比例为3：4：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了9名志愿者，即可求出一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．4.【答案】13【解析】解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，基本事件总数n=3×3=9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m=3种，∴田忌的马获胜的概率p===．故答案为：．基本事件总数n=3×3=9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m=3种，由此能求出田忌的马获胜的概率．本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】25【解析】解：模拟程序的运行过程，如下；x=0，执行循环体，x=1，x=1不满足条件x＞20，执行循环体，x=2，x=4不满足条件x＞20，执行循环体，x=5，x=25满足条件x＞20，终止循环，程序运行后输出x=25．故答案为：25．分析程序的功能，计算x的值，根据循环条件得出程序运行后输出的x值．本题考查了程序语言的应用问题，考查了对应思想的应用，属于基础题．6.【答案】[0，3]【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z与原点（0，0）时，z有最小值0；当直线y=-x+z过A（1，2）时，z有最大值3．∴z=x+y的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.【答案】梯形【解析】解：∵，，，∴=++=-8=2故AD与BC平行，且长度不等故四边形ABCD是以AD和BC为底边的梯形故答案为：梯形由已知四边形ABCD中，，，，且不共线，我们可以求出向量，结合向量平行的性质，我们易判断向量与的关系，进而判断出四边形ABCD的形状．本题考查的知识点是平面向量共线的性质，其中根据=2，判断线段AD与BC的平行关系及长度关系是解答本题的关键．8.【答案】y2=12x【解析】解：双曲线-=1的右焦点为（3，0），∴抛物线的焦点为（3，0），∴抛物线标准方程为y2=12x，故答案为：y2=12x．由双曲线的性质，确定抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线标准方程．本题考查双曲线、抛物线的性质，考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．9.【答案】3π【解析】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，高为．则其侧面积S=2πr2=6π，解得r=．∴圆锥的高为3．其体积V=×π×3×3=3π，故答案为：3π．由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，由侧面面积求得r，再由圆锥体积公式求解．本题考查柱、锥、台体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．10.【答案】21【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，则a1=a3-2d=7-2d，a2=a3-d=7-d，a4=a3+d=7+d，由于a1-1，a2-1，a4-1成等比数列，则，即（6-d）2=（6-2d）（6+d），化简得d2-2d=0，由于d≠0，解得d=2，因此，a10=a3+7d=7+7×2=21．故答案为：21．由已知条件得出，并列出有关公差的方程，求出公差的值，利用等差数列的性质可求出a10的值．本题考查等比数列的性质，解决本题的关键在于将题中条件进行转化，考查计算能力，属于中等题．11.【答案】5√214【解析】解：∵θ是第四象限角，且cosθ=，∴sinθ=-=-，∴===•=•=，故答案为：．利用同角三角函数的基本关系求得sinθ的值，再利用诱导公式、两角和的三角公式求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的三角公式的应用，属于基础题．12.【答案】-2【解析】解：分别作出直线y=a（x+2）（a＞0）与函数y=|cosx|的图象，可得当直线y=a（x+2）与y=|cosx|的图象相切，它们恰有四个公共点，且D为切点，可得y=-cosx的导数为y′=sinx，即a=sinx4，a（x4+2）=-cosx4，即sinx4（x4+2）=-cosx4，则x4+2=-=-，则x4+=-2．故答案为：-2．分别作出直线与函数y=|cosx|的图象，可得当直线y=a（x+2）与y=|cosx|的图象相切，它们恰有四个公共点，D为切点，运用导数的几何意义和同角的商数关系，即可得到所求值．本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查导数的几何意义、同角的商数关系，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】19-12√2【解析】解：如图，圆M：（x-a）2+（y-a+2）2=1的圆心M在直线y=x-2上，圆心C到AB的距离为1，点C到直线y=x-2的距离d=，∴AB的中点E到圆心M的最短距离为3-1，∴PE的最小值为3-2．可得•==（PE2-=PE2-3∴•的最小值是19-12．故答案为：19-12．由向量数量积可得•=PE2-=PE2-3，只需求得PE的最小值即可得•的最小值．本题考查了向量的数量积运算，考查了转化思想，属于难题．14.【答案】√132【解析】解：2sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理得2a2+b2=2c2，结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得3b=4ccosA，再由正弦定理得3sinB=4sinCcosA，则3（sinAcosC+cosAsinC）=4sinCcosA，即3tanA=tanC．tanB=-tan（A+C）=．∴++==．当且仅当时取等号．∴++的最小值为．故答案为：．由已知条件结合正弦定理和余弦定理即可求出3tanA=tanC，再利用两角和的正切三角函数公式求出tanB，然后利用基本不等式即可求出答案．本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了基本不等式的应用，是中档题．15.【答案】解：（1）由向量m⃗⃗⃗ =（a，sin C-sin B），n⃗=（b+c，sin A+sin B），且m⃗⃗⃗ ∥n⃗，得：a（sin A+sin B）=（b+c）（sin C-sin B）由正弦定理，得：a（a+b）=（b+c）（c-b）化为：a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得：cos C=-12，所以，C=2π3，（2）因为C=2π3，所以，B=π3-A，由B＞0，得：0＜A＜π3，由正弦定理，得：asinA =bsinB=csinC=2√3，△ABC的周长为：a+b+c=2√3（sin A+sin B）+3=2√3[sin A+sin（π3-A）]+3，=2√3sin（A+π3）+3，由0＜A＜π3，得：π3＜A+π3＜2π3，√32＜sin（A+π3）≤1，所以，周长C=2√3sin（A+π3）+3∈（6，2√3+3]．【解析】（1）由向量平行的性质，正弦定理可得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理得：cosC=-，即可得解C的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c=2sin（A+）+3，由0＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】证明：（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC，所以，BC∥AD，BC在平面PAD外，所以，BC∥平面PAD，（2）作DE⊥PA于E，因为平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB=AB，所以，DE⊥平面PAB，所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD=D，所以，AB⊥平面PAD，AB在平面ABCD内，所以，平面PAD⊥平面ABCD．【解析】（1）证明BC∥AD，然后证明BC∥平面PAD．（2）作DE⊥PA于E，说明DE⊥平面PAB，推出DE⊥AB，结合AD⊥AB，证明AB⊥平面PAD，然后证明平面PAD⊥平面ABCD．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17.【答案】解：（1）设至2020年底，种植户平均收人=(100−5x)(1+x20)3100−5x≥16，设其解为x≥x0=20（√163-1），由题意所给数据知11.5＜1+x 020＜12，解得3＜x 0＜4， 又x ∈Z ，1≤x ≤9， 则x ≥4，即至少抽取20户，答：至少抽出20户从事包装、销售工作，（2）设至2018年底，每户平局收入为f （x ）万元， 则f （x ）=5x(3−14)x+(100−5x)(1+x 20)100，假设能达到1.35万元，则f （x ）≥1.35，x ∈Z ，1≤x ≤9， 则−310x 2+3x+2020≥1.35，即3x 2-30x +70≤0，x ∈Z ，1≤x ≤9， 解得x ∈{4，5，6}， 答：当抽出从事包装、销售的户数不少于20户且不超过30户时，能达到，否则，不能． 【解析】（1设至2020年底，种植户平均收人=≥16，解不等式得x ，即可求出答案；（2）设至2018年底，每户平局收入为f （x ）万元，≥1.35，解不等式得x ，即可求出答案本题主要考查函数在实际生活中的应用、也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．18.【答案】解：（1）由已知得c a =√32，⇒ba =12，点（√3，12）代入x 2a 2+y 2b 2=1可得3a 2+14b 2=1．代入点（√3，12）解得b 2=1， ∴椭圆C 的标准方程：x 24+y 2=1．（2）可得A （-2，0），B （0，1）．设P （m ，n ），m ＞0，n ＞0，且.m 24+n 2=1PA ：y =nm+2(x +2)，PB ：n−1mx +1，可得C （0，2nm+2），D （m1−n ，0）． 由{y =n−1m x +1y =2n m+2可得x =m(2n−m−2)(n−1)(m+2)． S△PCD=12⋅m(2n−m−2)(n−1)(m+2)⋅(−n)=nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2)=n(4−4n 2)+2mn(1−n)2(n−1)(m+2)=-n(2n+m+2)m+2=12(m −2n −2)．设P 处的切线为：x -2y +t =0，t ＜0．{x 2+4y 2−4=0x=2y−t⇒8y 2-4ty +t 2-4=0，△=-16t 2+128=0⇒t =-2√2． 此时，方程组的解{x =√2y =−√22即点P （√2，-√22）时，S △PCD 取得最大值，最大值为√2-1．【解析】（1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得a 和b的值．（2）设P （m ，n ），m ＞0，n ＞0，且.可得 S ===-=．设P 处的切线为：x-2y+t=0，t ＜0．由⇒8y 2-4ty+t 2-4=0，△=-16t 2+128=0⇒t=-2时．S △PCD 取得最大值，本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】证明：（1）当a =1时，f （x ）=e x -12x 2-x ，则f ′（x ）=e x -x -1，∴f ″（x ）=e x -1＞0，（x ＞0）， ∴f ′（x ）=e x -x -1单调递增， ∴f ′（x ）＞f ′（0）=0， ∴f （x ）单调递增，∴f （x ）＞f （0）=1＞0，故对于任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立；（2）∵函数y =f （x ）恰好在x =x 1和x =x 2两处取得极值 ∴x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个实数根，不妨设x 1＜x 2， ∵f ′（x ）=e x -ax -a ，f ″（x ）=e x -a ，当a ≤0时，f ″（x ）＞0恒成立，∴f ′（x ）单调递增，至多有一个实数解，不符合题意， 当a ＞0时，f ″（x ）＜0的解集为（-∞，ln a ），f ″（x ）＞0的解集为（ln a ，+∞）， ∴f ′（x ）在（-∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增， ∴f ′（x ）min =f ′（ln a ）=-a lna ，由题意，应有f ′（ln a ）=-a lna ＜0，解得a ＞1， 此时f ′（-1）=1e ＞0，∴存在x 1∈（-1，ln a ）使得f ′（x 1）=0， 当f （2a -1）=e 2a -1-2a 2， 设s =2a -1＞1， ∴h （s ）=e s -12（s +1）2， ∴h ′（s ）e s -s -1，由（1）可知h （s ）＞h （1）=e -2＞0， ∴存在x 2∈（ln a ，2a -1）使得f ′（x 2）=0， ∴a ＞1满足题意，∵f ′（x 1）=f ′（x 2）=0， ∴e x 1−ax 1-a =e x 2−ax 2-a =0， ∴a =e x 2−e x 1x 2−x 1， ∴f ″（x 1+x 22）=ex 1+x 22-a =ex 1+x 22-e x 2−e x 1x 2−x 1=e x 1（ex 2−x 12-e x 2−x 1−1x 2−x 1），设x 2−x 12=t ＞0，∴ex 2−x 12-e x 2−x 1−1x 2−x 1=e t -e2t −12t=(2t−et )e t +12t，设g （t ）=（2t -e t ）e t +1， ∴g ′（t ）=2（t +1-e t ）e t ，由（1）可知，g ′（t ）=2（t +1-e t ）e t ＜0恒成立， ∴g （t ）单调递减， ∴g （t ）＜g （t ）=0， 即f ″（x 1+x 22）＜0，∴x 1+x 22＜ln a ．【解析】（1）先求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，（2）根据题意可得x 1，x 2是方程f′（x ）=0的两个实数根，不妨设x 1＜x 2，可以判断a ＞1，分别根据函数零点存在定理可得f′（x 1）=f′（x 2）=0，可得-a=-a=0，即可得到a=，则f″（）=（-），设=t ＞0，再根据函数g （t ）=（2t-e t ）e t +1，求导，借助于（1）的结论即可证明本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、等价转化方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.【答案】解：（1）等比数列{a n }的公比为q （q ＞0，q =1），∵2a 1a 3=a 4，∴2a 12q 2=a 1q 3，可得a 1=q2．∴a n =q2×q n -1=q n2． 数列{b n }的前n 项和Tn 满足2T n =n （b n -1），n ∈N *，b 2=1． ∴n ≥2时，2b n =2（T n -T n -1）=n （b n -1）-（n -1）（b n -1-1）， 化为：（n -2）b n =（n -1）b n -1+1，当n ≥3时，两边同除以（n -2）（n -1），可得：b nn−1-b n−1n−2=1n−2-1n−1， 利用累加求和可得：b nn−1=b 2+1-1n−1，化为：b n =2n -3（n ≥3）， 当n =1时，2b 1=b 1-1，解得b 1=-1， 经过验证n =1，2时也满足． ∴b n =2n -3．（2）由（1）可知：a n =q n2，q ＞0，q ≠1．∴S n =q2(1−q n )1−q =q n+12(q−1)-q2(q−1)．①若t =q−1q时，则S n +12t =q n+12(q−1)，∴S n+1+12t S n +12t=q ．即数列{S n +12t }是公比为q 的等比数列． ②若t ≠q−1q时，则S n +12t =q n+12(q−1)-q2(q−1)+12t ．设q2(q−1)=A ，12t -q2(q−1)=B ．（其中A ，B ≠0）． 则S n+1+12t S n +12t=Aq n+1+B Aq n +B=q +B(1−q)Aq n +B 不为常数．综上：存在t =q−1q时，使得数列{S n +12t }是公比为q 的等比数列．（3）由（1）可知：b n =2n -3． c n =1bn+4=12n+1，假设对于任意给定的正整数k （k ≥2），存在正整数l ，m （k ＜l ＜m ），使得c k ，c 1，c m成等差数列．则12k+1+12m+1=22l+1，整理得：2m +1=(2l+1)(2k+1)4k−2l+1，取l =2k ，则2m +1=（4k +1）（2k +1），解得m =4k 2+3k ． 即存在l =2k ，m =4k 2+3k ．符合题意． 【解析】（1）等比数列{a n }的公比为q （q ＞0，q̸=1），根据2a 1a 3=a 4，利用通项公式可得=，可得a 1．可得通项公式a n ．数列{b n }的前n 项和Tn 满足2T n =n（b n -1），n ∈N *，b 2=1．利用n≥2时，2b n =2（T n -T n-1），化为：（n-2）b n =（n-1）b n-1+1，当n≥3时，两边同除以（n-2）（n-1），可得：-=-，利用累加求和即可得出b n ． （2）由（1）可知：a n =，q ＞0，q≠1．可得S n =-．分类讨论：t=时，计算=q 即可得出结论．②若t≠时，则S n +=-+．设=A ，-=B ．（其中A ，B≠0）．==q+不为常数，即可判断出结论．（3）由（1）可知：b n =2n-3．c n ==，假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l ，m （k ＜l ＜m ），使得c k ，c 1，c m 成等差数列．则+=，整理得：2m+1=，取l=2k ，即可得出结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、累加求和方法、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.【答案】解：由题意，可知：[a b 12]•[0−110]=[34c d ]．即：[b −a 2−1]=[34cd ]． ∴{a =−4b =3c =2d =−1， ∴ad -bc =（-4）×（-1）-3×2=-2． 【解析】本题可先将矩阵A 代入，然后计算等于号左边的两个矩阵相乘，然后根据矩阵相等得到a 、b 、c 、d 的值，即可得到结果．本题主要考查矩阵的乘法运算及两个矩阵相等的概念．本题属基础题．22.【答案】解：设点P 的极坐标为（ρ，θ），设点M 的极坐标为（ρ1，θ），由于OM •OP =12，所以，ρ1•ρ=12，则ρ1=12ρ，由于点M 在直线ρcosθ=3上，所以，12cosθρ=3，化简得ρ=4cosθ，在该极坐标方程两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ，化为普通方程得x 2+y 2=4x ，即（x -2）2+y 2=4，所以，点P 在圆（x -2）2+y 2=4上，在曲线{x =−1+√22ty =2+√22t （t 为参数）的参数方程中消去参数t 得x -y +3=0，圆心到该直线的距离为√12+(−1)2=5√22，因此，PQ 的最小值为5√22−2．【解析】先求出点P 的轨迹的极坐标方程，并化为普通方程，可知点P 在圆上，求出圆心到直线的距离，在该距离的基础上减去圆的半径，可得出PQ 的最小值． 本题考查简单曲线的极坐标方程，解决本题的关键在于求出动点的轨迹方程，属于中等题．23.【答案】解：（1）线C 上的动点M （x ，y ）（x ＞0）到点F （2，0）的距离减去M到直线x =-1的距离等于1，所以动点M 到直线x =-2的距离与它到点F （2，0）的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y 2=8x ， 证明（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{y 2=8x y=k(x+2)，化为k 2x 2+（4k 2-8）x +4k 2=0，（k ≠0）． 由于△＞0， ∴x 1+x 2=8−4k 2k 2，x 1x 2=4．∴直线FA 与直线FB 的斜率之和=y 1x1−2y 2x 2−2=k(x 1+2)(x 2−2)+k(x 2+2)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)，分子=k （2x 1x 2-8）=0，∴直线FA 与直线FB 的斜率之和为0， ∴直线FA 与直线FB 的倾斜角互补． 【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P 的轨迹；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．直线与抛物线方程联立化为k 2x 2+（4k 2-8）x+4k 2=0，（k≠0）．由于△＞0，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线FA 与直线FB 的斜率之和0，即可证明本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.【答案】解：（1）∵1a n −1=2−an−1a n−1−1，（n ≥2）． ∴1an−1=1−a n−1+1a n−1−1=-1+1an−1−1，∴1an−1-1an−1−1=-1，∵a 1=23，∴a 1-1=-13， ∴数列{1a n −1}是以-3为首项，以-1为公差的等差数列，∴1an −1=-3-（n -1）=-2-n ，可得a n =1-1n+2．（2）由（1）可得：S n =n -13−14-……-1n+2． 下面利用数学归纳法证明：S n ＜n +12-ln （n+32）．①n =1时，左边=S 1=23，∵5ln e -6ln2=ln e 526＞0， ∵56＞ln2．右边=1+12-ln2=23+56-ln2＞23=左边． 此时不等式成立．②假设n =k ∈N *时成立，即S k ＜k +12-lnk+32．则n =k +1时，S k +1=S k +1-1k+3＜k +1+12-1k+3-ln k+32，下面证明：k +1+12-1k+3-ln k+32＜k +1+12-lnk+42，即证明：1k+3+lnk+32＞lnk+42，即证明：1k+3＞ln(1+1k+3)， 令1k+3=x ∈(0，14]．令f （x ）=x -ln （1+x ），x ∈(0，14]． f ′（x ）=1-11+x =x1+x ＞0，∴函数f （x ）在x ∈(0，14]内单调递增． ∴f （x ）＞f （0）=0．∴x ＞ln （1+x ），即1k+3＞ln(1+1k+3)成立， 因此n =k +1时不等式也成立．综上可得：不等式对于∀n ∈N *都成立． 【解析】（1）由=，（n≥2）．化简可得-=-1，利用等差数列的通项公式可得a n与S n．（2）由（1）可得S n，下面利用数学归纳法证明：S n＜n+-ln （）．①n=1时，左边=S1=，根据5lne-6ln2=＞0，可得ln2．可得n=1时不等式成立．②假设n=k∈N*时成立，即S k＜k+-ln．则n=k+1时，S k+1=S k +1-＜k+1+--ln，下面证明：+ln＞ln，即证明：＞，令=x ∈．令f（x）=x-ln（1+x），x ∈．利用导数研究函数的单调性即可证明结论．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数学归纳法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第21页，共21页。
2018年江苏省高考数学试卷及答案(解析版)
2018年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+
=x y 的最小正周期为 ．
【答案】π
【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．
2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．
【答案】5
【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5． 3．双曲线19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 4
3±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 4
31692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．
【答案】3
【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4．
6
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=
x ． 方差为：25
)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．
【答案】63
20 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯．。
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(有答案)
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |−|=|AM −|,则·=___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF.(1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22a x +22by =1(a>0,b>0)的离心率为22,F 1，F 2分别为左,右焦点,A,B 分别为左,右顶点,原点O 到直线BD 的距离为36,设点P 在第一象限,且PB ⊥x 轴,连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程(2)若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,求直线PA 的方程; (3)求过点B,C,P 的圆方程(结果用t 表示)19.已知数列{a n |满足(1−11a )(1−21a )…-(1−n a 1)=n a 1,n ∈N*,S n 是数列{a n }的前n 项的和 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若p a ,30,S q 成等差数列,p a ,18, S q 成等比数列,求正整数P,q 的值;(3)是否存在k ∈N*,使得161++k k a a 为数列{a n }中的项?若存在,求出所有满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=xe (3x −2),g(x)=a(x −2),其中a,x ∈R (1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x ∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围 (3)若存在唯一的整数0x ,使得f(0x )<g(0x ),求a 的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。
无锡市2018年秋学期高三期末考试试卷.doc
NBMACD 无锡市2018年秋学期高三期末考试试卷物理说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟第Ⅰ卷（选择题，共31分）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意． 1．超级电容的容量比通常的电容器大得多，其主要优点是高功率脉冲应用和瞬时功率保持，具有广泛的应用前景。
如图所示，某超级电容标有“2.7V ，100F”，将该电容接在 1.5V 干电池的两端，则电路稳定后该电容器的负极板上所带电量为A ．-150CB ．-75C C ．-270CD ．-135C2．避雷针上方有雷雨云时避雷针附近的电场线分布如图所示，图中中央的竖直黑线AB 代表了避雷针，CD 为水平地面。
MN 是电场线中两个点，下列说法中正确的有A ．M 点的场强比N 点的场强大B ．试探电荷从M 点沿直线移动到N 点，电场力做功最少C ．M 点的电势比N 点的电势高D ．CD 的电势为零，但其表面附近的电场线有些位置和地面不垂直3．矩形线框与理想电流表、理想变压器、灯泡连接电路如图（1）所示。
灯泡标有“36 V 、40W”的字弹性挡板样且阻值可以视作不变，变压器原、副线圈的匝数之比为2∶1。
线框产生的电动势随时间变化的规律如图（2）所示。
则下列说法正确的是A362s in(πt)VB 次C D ．理想变压器输入功率为20 W4．有人根据条形磁铁的磁场分布情况制作了一个用塑料制成的模具，模具的侧边界刚好与该条形磁铁的磁感线重合，如图所示。
另取一个柔软的弹性导体线圈套在模具上方某位置，线圈贴着模具上下移动的过程中，下列说法中正确的是（地磁场很弱，可以忽略）A ．线圈切割磁感线，线圈中出现感应电流B ．线圈紧密套在模具上移动过程中不出现感应电流C ．由于线圈所在处的磁场是不均匀的，故而不能判断线圈中是否有电流产生D ．若线圈平面放置不水平，则移动过程中会产生感应电流 5．如图所示，水平传送带匀速运动，在传送带的右侧固定一弹性挡杆。
江苏省无锡市高三上学期期末数学试卷(有答案)
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |AB −NB |=|AM −AN |,则AM ·AN =___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF. (1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD, 是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22ax+22by=1(a>0,b>0)的离心率为22,F1，F2分别为左,右焦点,A,B分别为左,右顶点,原点O到直线BD的距离为36,设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连接PA交椭圆于点C.(1)求椭圆E的方程(2)若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;(3)求过点B,C,P的圆方程(结果用t表示)19.已知数列{a n|满足(1−11a)(1−21a)…-(1−na1)=na1,n∈N*,S n是数列{a n}的前n项的和(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若pa,30,Sq成等差数列,pa,18, Sq成等比数列,求正整数P,q的值;(3)是否存在k∈N*,使得161++kkaa为数列{a n}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=x e(3x−2),g(x)=a(x−2),其中a,x∈R(1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围(3)若存在唯一的整数x,使得f(x)<g(x),求a的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司汽车车牌尾号 车辆限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9星期五(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。
江苏省无锡市高级中学2018年高一数学理上学期期末试卷含解析
江苏省无锡市高级中学2018年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)参考答案：C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2. 求值sin164°sin224°+sin254°sin314°=( )A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式化简已知函数，再由两角和的余弦公式可得．解答：解：∵sin164°=sin（180°﹣16°）=sin16°，sin224°=sin（180°+44°）=﹣sin44°sin254°=sin（270°﹣16°）=﹣cos16°sin314°=sin（270°+44°）=﹣cos44°，∴sin164°sin224°+sin254°sin314°=﹣sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos（16°+44°）=cos60°=故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式的应用，属基础题．3. 图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．4. （5分）已知二次函数f（x）=x2+2x+a，若﹣3＜a＜0，f（m）＜0，则f（m+3）的值为（）A．正数B．负数C．0 D．符号与a有关参考答案：D考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：分类讨论当a=0时，f（x）=x2+2x，f（m+3）＞0，f（m+3）＞0，f（m+3）有正有负，判断即可．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+2x+a，∴①当a=0时，f（x）=x2+2x，∵f（m）＜0，∴﹣2＜m＜0，m+3＞1，∴f（m+3）＞0，②当a=﹣3时，f（x）=x2+2x﹣3，∵f（m）＜0，∴﹣3＜m＜1，即0＜m+3＜4，∴f（m+3）有正有负，故选：D点评：本题考查了函数的性质，分类讨论求解问题属于中档题，结合图象求解．5. 下列各组函数中和相同的是A. B.C、 D.参考答案：B6. 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）A．B．C．D．参考答案：A∵函数是增函数，令，必有，为增函数．∴a＞1，∴，∵当x=0时，，∴．又∵=，∴，∴．故选A．7. 在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件A、(1)(3)B、(2)(4)C、(3)(4)D、(1)(3)(4)参考答案：D8. 设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数有，则的值为A.1B.2C.4D.5参考答案：D9. 函数的值域是( )A.[0,1]B.[-1,1]C.[0, ]D.[ ,1]参考答案：A10. 函数在R上的部分图象如图所示，则的值为（）．A. 5B.C.D.参考答案：C【分析】由图象的最值和周期可求得A和，代入(2,5)可求得，从而得到函数解析式，代入可求得结果.【详解】由图象可得：，代入(2,5)可得：本题正确选项：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为▲ .参考答案：设正方形的边长为，由已知可得.12. 满足条件{1，3}∪M＝{1，3，5}的一个可能的集合M是▲。