专题1 振动

A
P O x
点应与矢量A的 问：如何确定P点应与矢量 的 如何确定 点应与矢量 哪个位置相对应? 哪个位置相对应 试用旋转矢量法确定沿OX轴作谐振动的质点， 轴作谐振动的质点， 试用旋转矢量法确定沿 轴作谐振动的质点 当 (1)过平衡位置并向 轴正方向运动； 过平衡位置并向OX轴正方向运动 过平衡位置并向 轴正方向运动； (2)X=A/2，向OX轴负方向运动时； 轴负方向运动时； ， 轴负方向运动时 所相应的相位。 所相应的相位。
∆ ϕ ω 0 ∆ t ∆t = = 2π 2π T
3
3. 三种方法描述简谐运动 (1) 解析法 简谐运动3种定义： 简谐运动 种定义： 种定义 x(t)=Acos(ω t+ϕ)
关系 ---位移与时间 ---位移与时间 ---加速度与位移 ---加速度与位移
a( t ) = −ω x ( t )
2
O x
ω
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A = A cos ϕ
2π 2π π ω= = = T 4 2
= A cos(ωt + ϕ )
6.质量为m=0.01kg的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期 ，周期T=4s，当t=0时，位移为 ，求: ， 时 位移为+A， (2)t=T/8时，振动物体所受力的大小和方向； 时 振动物体所受力的大小和方向；
受迫 d 2 x dx 2 + 2β + ω 0 x = h cos ω t 2 振动 dt dt
ω = ω 0 共振
2 x = A0 e − βt cos( ω 0 − β 2 t + ϕ 0 ) + A cos(ωt + ϕ )
2
x(t)=A0cos(ω0 t+ϕ0) 2. 三个特征量 离开平衡位置的最大距离； 振幅A 离开平衡位置的最大距离； 振幅 0 决定于初始条件,如初始能量 速度等。 如初始能量、 决定于初始条件 如初始能量、速度等。 角频率ω 单位时间内的变化的相位； 角频率 0 单位时间内的变化的相位； 决定于系统的内在性质。 决定于系统的内在性质。 初相ϕ0 反映初始时刻振子的运动状态； 反映初始时刻振子的运动状态； 决定于初始时刻的选择。 决定于初始时刻的选择。 相位 是周期振动中振子所处的阶段(状态 状态)； 是周期振动中振子所处的阶段 状态 ； (ω0 t +ϕ0) 振动的时间周期性可以用相位来表示。 振动的时间周期性可以用相位来表示。
M = Jα
O Tθ R O’ ’ mg
− mg sin θ ⋅ R = mR 2
dθ dt 2
2
d 2θ g = − sin θ dt R
当θ 较小时, sin θ ≈ θ
d 2θ g + θ =0 2 dt R
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是简谐振动
(1) 方法 方法3
能量方程→动力学方程 能量方程 动力学方程
θ
2
mg
当θ 较小时 , sin θ ≈ θ
d 2θ g + θ =0 2 dt R
9
是简谐振动
转动定律→动力学方程 转动定律 动力学方程 (1) 方法 方法2 小球沿球形轨道运动， 小球沿球形轨道运动，其运动轨迹 为圆弧，可以把小球看作是绕轴O作 为圆弧，可以把小球看作是绕轴 作 定轴转动的刚体，所受合外力对轴O 定轴转动的刚体，所受合外力对轴 的力矩为-mgsinθ R，由转动定律 的力矩为 ，
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5. 根据 点的运动方向来确定。 根据P点的运动方向来确定 点的运动方向来确定。
ω
A
P
O
X
ω
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(1)过平衡位置并向 轴正方向运动； 过平衡位置并向OX轴正方向运动 过平衡位置并向 轴正方向运动； (2)X=A/2，向OX轴负方向运动时所相应的相位。 轴负方向运动时所相应的相位。 ， 轴负方向运动时所相应的相位
2
F = − kx d x k + x=0 ---力和运动 ---力和运动 2 dt m
ω=
k m
振动系统都有， 振动系统都有， 某种“弹性”要素---(k) 某种“弹性”要素 惯性”要素---(m) 和“惯性”要素
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(2) 图线法
x A o -A T t
x(t)=Acos(ω t+ϕ)
vm
A
t=t
1 2 dθ = mR 2 dt mgR g ω = 2 = mR R
2
2
1 E k = mυ 2 2
d 2θ g + θ =0 2 dt R
g ω= R
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(2) a .下落： 下落：
− mg = ma 2 d x a = 2 = −g dt b.碰撞： 碰撞： F∆ t = m ∆ υ
1 1 2 电能： 电能： E E = 2 C q 1 2 磁能： 磁能： E B = Li 2
动能： 动能：
1 E k = mυ 2 2
机械能：E = E k + E p 机械能：
1 2 = kA 2
电磁能：E = E E + E B 电磁能： ---简谐运动能量方程 ---简谐运动能量方程 简谐运动
ω ω
A
A2
ϕ 2ϕ
x2
ω
o
ϕ1 A1
x1 x
x
7
二、课堂讨论
2.试判断下列运动是否是简谐振动，并说明理由。 试判断下列运动是否是简谐振动，并说明理由。 试判断下列运动是否是简谐振动 （1）质量为 的小球在半径为 的光滑半球形 ）质量为m 的小球在半径为R的光滑半球形 碗底附近运动。 碗底附近运动。 （2）小球在地面上作完全弹性的上下跳动。 ）小球在地面上作完全弹性的上下跳动。
b为平衡时弹簧的伸长量 ⇒ mg = kb 为平衡时弹簧的伸长量
F合 = − kx
ω=
k m
匀加速和匀减速， 匀加速和匀减速， 仅影响平衡时弹簧的伸长量， 仅影响平衡时弹簧的伸长量， 不影响振动系统的弹性和惯性要素， 不影响振动系统的弹性和惯性要素， 故
ω=
k m
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4. 把一细棒拉过一甚小的角 ， 把一细棒拉过一甚小的角φ 然后放手任其摆动（复摆）， 然后放手任其摆动（复摆）， 此角是否初相位？为什么？ 此角是否初相位？为什么？ 复摆也做简谐运动， 复摆也做简谐运动， 有
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6.质量为m=0.01kg的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期 ，周期T=4s，当t=0时，位移为 ，求： ， 时 位移为+A， (1)t=T/8时，物体的位置； 时 物体的位置；
解： x
ϕ =0 π x = 0.24 cos( t ) 2 4 1 π 1 π t = = s , x = 0.24 cos( ⋅ )= 0.24 cos 4 8 2 2 2
振动
复习与小结 习题讨论
1
一、内容提要 1. 三个动力学方程 简谐 d 2 x k + x=0 2 运动 dt m 阻尼 d 2 x dt 2 振动
dx + 2β + ω 02 x = 0 dt
解
ω0 =
k x(t)=A0cos(ω0 t+ϕ0) m
β = γ /2m
2 x ( t ) = A0 e − βt cos( ω 0 − β 2 t + ϕ 0 )
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5. 简谐运动的合成 (1)同方向、同频率， 同方向、 同方向 同频率， 合振动振幅决定于分振动的振幅和相位差； 合振动振幅决定于分振动的振幅和相位差； (2)同方向、不同频率， 同方向、 同方向 不同频率， 分振动频率相差很小时产生拍现象； 分振动频率相差很小时产生拍现象； (3)相互垂直、不同频率，分振动频率为简单整 相互垂直、 相互垂直 不同频率， 数比时合运动轨迹为李萨如图形。 数比时合运动轨迹为李萨如图形。
O
O’ ’
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(1) 方法 方法1
牛顿定律→动力学方程 牛顿定律 动力学方程
O Tθ R O’ ’ mg
重力在切向上的分力为： 重力在切向上的分力为：
f t = − mg sin θ
取顺时针方向为θ正方向
d 2θ 小球的切向加速度为： 小球的切向加速度为：at = R 2 dt d 2θ 由牛顿第二定律得： 由牛顿第二定律得： mR 2 = − mg sin θ dt
φ
θ = A cos(ωt + δ )
θ =ϕ
依题意， t 依题意， = 0时， 时
dθ =0 dt
θ = ϕ = A cos δ ⇒δ =0 0 = −ωA sin δ 初相为零。 初相为零。
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φ是最大的角位移。 是最大的角位移。 是最大的角位移
5. 用旋转矢量描述谐振动时 ， 如 用旋转矢量描述谐振动时， 果给出的矢量端点在OX轴上的投 果给出的矢量端点在 轴上的投 影位置为P， 此时P点与矢量 点与矢量A的 影位置为 ， 此时 点与矢量 的 两个位置相对应(图 ， 两个位置相对应 图)，
解：
4 1 a = − ( ) 0.24 cos( t ) t = = s, 2 2 8 2 π 2 π 1 F = ma = 0.01 ⋅ [− ( ) 0.24 cos( ⋅ )] 2 2 2
2
π
x = 0.24 cos( t ) 2
π
π
方向沿x轴负方向 方向沿 轴负方向
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6.质量为m=0.01kg的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期 ，周期T=4s，当t=0时，位移为 ，求: ， 时 位移为+A， (3)由起始位置运动到 由起始位置运动到x=-A/2处所需的最短时间。 处所需的最短时间。 由起始位置运动到 处所需的最短时间
F = ma
2
y
x
c .弹起： 弹起：
− mg = ma
d x a = 2 = −g dt