【高数】5- (1)
大一基础高数第五章知识点
大一基础高数第五章知识点大一基础高数是大多数理工科学生的必修课程，其中第五章是一个相对重要的章节，涵盖了一些基本而又关键的知识点。
本文将就这些知识点展开讨论。
一、向量及其运算在高数中，向量是一个非常重要的概念。
它可以表示空间中的一条有方向的线段，既有大小也有方向。
向量的运算有加法和数乘两种，它们都有着直观的几何意义。
1. 向量的加法向量的加法可以用形如A+B=C的式子表示，其中A、B和C 都是向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘。
它的结果是将向量的长度缩放或者反向。
二、空间直角坐标系空间直角坐标系是研究三维空间中向量运算的重要工具。
在空间直角坐标系中，我们可以用三个坐标轴来表示一个点的位置。
1. 空间直角坐标空间直角坐标即向量的坐标表示形式，形如(a,b,c)，其中a、b 和c分别代表点在x、y、z轴上的坐标。
2. 向量的表示与坐标向量可以用两点表示，也可以用坐标表示。
在空间直角坐标系中，给定两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则这两个点之间的向量可以表示为AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
三、空间中的直线和平面直线和平面是三维空间中常见的几何对象，它们在物理、工程等学科中具有广泛的应用。
1. 直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程或者一般方程表示。
其中参数方程最为常用，形如：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0, y0, z0)是直线上的一个已知点，a、b和c是方向向量的分量。
2. 平面的方程平面可以用点法式方程、一般方程或者截距式方程表示。
点法式方程最为常用，形如：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中(x0, y0, z0)是平面上的一个已知点，ABC是平面的法向量。
四、空间曲线及其方程除了直线和平面外，空间中还存在各种形状的曲线。
高数第一部分5_一元微积分证明题
( ) f '( x) = 4 + 4 ln3 x − 4 = 4 ln3 x − 1 + x x xx
⎧< 0,
f
'(
x
)
⎪ ⎨
=
0,
⎪⎩> 0,
0< x<1 x =1 1< x
由于 lim f ( x)= lim f ( x)=+∞，因此f ( x)无最大值
x→0
x → +∞
f ( x)的最小值为f (1) = 4 − k
定理：若函数f ( x)在[a, b]上连续，在
(a, b)内可导，则存在ξ ∈ (a, b)，使得
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a);
(II)证明：若函数f ( x)在x = 0处连续，
在(0,δ )(δ > 0)内可导，且 lim f '( x) = A， x → 0+
f ( x)的图形为U型，故其在(0, +∞)零点有三种情形： (1) f ( x)的最小值大于零，即k < 4 ⇒ 无零点 (2) f ( x)的最小值小于零，即k > 4 ⇒ 2零点 (3) f ( x)的最小值等于零，即k = 4 ⇒ 1零点
⎧(1) k < 4时无交点 ⇒ ⎨⎪(2) k > 4时两个交点
2
π
−
0 > k > m ⇒ 2零点
k = m ⇒ 1零点
π2
4
⎞ − 1 ⎟⎟⎠ 或k
>
0
⇒
无零点
(03年数二，12分) 讨论曲线y = 4 ln x + k 与y = 4 x + ln4 x的交点个数.
大一高数第五章知识点笔记
大一高数第五章知识点笔记在大一高数课程中，第五章是一个非常重要且充满挑战的章节。
本章主要讲解了一元函数的微分学和积分学，涵盖了导数和积分的基本概念、性质和应用。
在这篇文章中，我将为大家总结并梳理第五章的知识点，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一章节的内容。
一、导数的定义和性质导数是微分学的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在第五章中，我们学习了导数的定义和性质，并学会了如何计算函数的导数。
导数的定义如下：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，当极限$$\lim_{{\Delta x}\to{0}}\frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}$$存在时，称此极限为函数$f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
导数具有以下性质：1. 可加性：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2. 可乘性：$(cf)'(x)=cf'(x)$，其中c为常数3. 乘法法则：$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4. 商法法则：$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ （其中$g(x)\neq0$）二、常用函数的导数公式在计算具体函数的导数时，我们需要掌握一些常用函数的导数公式。
以下是一些常见函数的导数：1. 常数函数：$f(x)=C$，导数为$f'(x)=0$，其中C为常数。
2. 幂函数：$f(x)=x^n$，导数为$f'(x)=nx^{n-1}$，其中n为正整数。
3. 指数函数：$f(x)=e^x$，导数为$f'(x)=e^x$。
4. 对数函数：$f(x)=\log_a{x}$，导数为$f'(x)=\frac{1}{x\ln{a}}$，其中$a>0$，且$a\neq1$。
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
高数笔记大一第五章知识点
高数笔记大一第五章知识点高数笔记：大一第五章知识点第五章是大一学生学习高等数学的重要阶段，主要包括一元函数微分学和函数的积分学。
这一章节的内容对于进一步学习数学和应用数学都具有重要的意义。
本文将对第五章的一些关键知识点进行总结和解析，希望对大家在学习高等数学时有所帮助。
一、一元函数微分学1. 导数和微分在第五章，我们学习了一元函数的导数和微分。
导数是函数变化率的极限，表示函数在某一点的切线斜率。
微分是在导数的基础上定义的一个新概念，它表示函数在某一点的微小变化量。
2. 常用函数的导数公式在学习求导的过程中，掌握一些常用函数的导数公式是非常重要的。
例如，幂函数的导数公式、指数函数的导数公式、对数函数的导数公式等。
掌握这些公式可以简化求导的过程，提高计算效率。
3. 高阶导数和导数的几何意义我们不仅可以对函数进行一阶导数，还可以进行二阶导数、三阶导数等。
高阶导数的几何意义是函数曲线的曲率。
通过求解高阶导数，我们可以进一步了解函数曲线的变化规律和形态特征。
4. 隐函数求导在实际问题中，有些函数可能无法显式地表示为关于自变量的函数形式，我们称之为隐函数。
通过隐函数求导的方法，可以求出隐函数的导数和微分。
这在物理、工程、经济等领域的问题中具有广泛的应用价值。
二、函数的积分学1. 定积分的定义和性质定积分是反应函数在一定区间上的积累效果的数值。
定积分的定义是通过将区间等分，求出分割点上函数值与区间长度乘积的极限得到。
定积分具有线性性、积分中值定理、换元积分法等重要性质。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是函数积分学中的核心公式，它将积分与导数联系在一起。
通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以通过求函数的原函数来计算定积分。
3. 不定积分和定积分的关系在第五章，我们学习了不定积分和定积分之间的关系。
不定积分是定积分的逆运算，通过不定积分我们可以求出函数的原函数。
而定积分则是通过对函数在特定区间上的积累效果进行求解。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
高数习题课5-1
使得
f ( x) > 0
x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ )[⊂ (a , b )]
- 11 -
习题课（一） 习题课（
由闭区间连续函数的性质得： 当 由闭区间连续函数的性质得： x ∈ [ x0 − , x0 + ] 时， 2 2 恒有 f ( x ) ≥ m > 0, 因此
∫0
1
1 1 2 1 1 f ( x )dx ≤ ∫ [ f ( ) + f ′( )( x − )]dx = f ( ) 0 3 3 3 3
2 1
- 10 -
例6 1
b
上连续，证明： 设f ( x ) 及 g ( x )在[ a , b ]上连续，证明： f 若在 [a , b]上， ( x ) ≥ 0, 且 f ( x )不 恒等于 0, 则
原式
sin 3ξ n2 = lim ⋅ n→ ∞ n( n + 1) ξ n2 sin 3ξ = lim lim =3 n→ ∞ n( n + 1) ξ → 0 ξ
-8-
习题课（一） 习题课（
上可导， 且 例4 设 f ( x ) 在 [0,1] 上可导， f (1) − 2 ∫ xf ( x )dx = 0 证明： 证明：在区间 (0,1) 至少存在一点 ξ , 使得 f (ξ ) f ′(ξ ) = −
第 五 章 定 级 分
dx , 求 g ′′(1) 1 设 g( x ) = ∫ 0 1 + x3 1 2x 2 ′( x ) = ( x )′ = 解 g 2 3 6 1+ (x ) 1+ x
(1 + x 6 ) − x ⋅ 6 x 5 1 − 5 x5 g′′( x ) = 2 =2 6 2 (1 + x 6 )2 (1 + x )
高一数学第五章书本知识点
高一数学第五章书本知识点高一阶段的数学学习内容丰富多样，其中第五章是一个非常重要的章节，涵盖了很多数学的基础知识和常用方法。
在这一章里，我们将学习线性方程组、矩阵及其运算、行列式等内容。
接下来，我将从这些方面详细介绍和讨论。
一、线性方程组线性方程组是数学学习过程中的基础概念，也是很多实际问题的数学模型。
通过线性方程组的学习，我们能够理解和解决各种线性问题。
在这一部分，我们将学习线性方程组的定义、解法和相关性质。
首先，线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。
一个线性方程通常具有以下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1、a2…an是已知系数，x1、x2…xn是未知数，b是已知常数。
解线性方程组的常见方法有：直接代入法、消元法、矩阵法等。
通过这些方法，我们可以求解出未知数的具体值，从而解决问题。
二、矩阵及其运算矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
矩阵的学习可以帮助我们更好地理解和处理数据。
在这一部分，我们将学习矩阵的定义、基本运算和性质。
矩阵由m行n列的数构成，通常表示为一个矩形数组。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法等。
通过运算得到的结果可以进行进一步的分析和应用。
特别要注意的是矩阵乘法。
矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
此外，对于矩阵的乘法，必须满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数，否则乘法无法进行。
三、行列式行列式是高一数学中的另一个重要内容，也是线性代数的基础知识之一。
了解行列式的性质和计算方法，对于理解矩阵和解决线性方程组都有很大帮助。
行列式的定义和计算方法稍显复杂，但通过学习可以掌握。
行列式的性质包括：行列式的值与行列式的互换、倍数行及倍数列有关，行列式的某一行或某一列的元素加上另一行或另一列相应的元素，行列式的值不变等等。
通过行列式的计算，我们可以求解线性方程组的唯一解、无解和有无穷多解的情况。
总结：高一数学第五章的内容涵盖了线性方程组、矩阵及其运算、行列式等重要知识点。
高等数学第五章课后习题答案
班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。
（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。
高一高数第五章知识点
高一高数第五章知识点第一节：函数的概念和性质函数是数学中的一种重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在高中数学中，我们主要研究实函数，即定义域和值域都是实数集的函数。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。
其中，定义域指的是函数能够接受的自变量的取值范围；值域是函数在定义域上所有可能取到的值的集合；奇偶性描述了函数在自变量取正值和负值时的对称性；单调性则表示函数在定义域上的增减趋势。
第二节：函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的性质。
对于一元函数来说，我们可以通过画出函数的图像来描述它的奇偶性、单调性、极值点等。
而对于二元函数，我们需要使用等值线或者三维坐标系来表示函数的图像。
第三节：函数的运算与初等函数函数之间可以进行加、减、乘、除等运算，这些运算可以帮助我们理解函数之间的关系。
例如，两个函数的和、差、乘积、商仍然是函数，并且有一些性质与原函数相关联。
初等函数是一类常见的函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
初等函数在数学和物理等领域中有广泛的应用。
第四节：反函数与复合函数反函数指的是由原函数反过来确定的函数。
原函数和其反函数互为反函数关系，即将自变量和因变量对调，可以得到反函数。
复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，即一个函数的输出作为另一个函数的输入。
通过复合函数，我们可以将复杂的函数关系拆分为简单的函数关系，更便于分析和计算。
第五节：数列和数学归纳法数列是按照一定规律排列的数的集合。
数列可以是等差数列、等比数列等，通过数列的性质，我们可以研究数列的增减规律和数列的和。
数学归纳法是一种证明方法，通过证明当某个命题成立时，该命题在下一个情况也成立，从而推论该命题在所有情况下都成立。
数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，尤其是在证明数列性质方面。
第六节：概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率和数据的收集、整理与分析。
高一数学第五章总结知识点
高一数学第五章总结知识点第一节直线方程的研究1. 直线的基本概念直线是平面几何中的一种基本图形，由无数个相邻的点组成，它没有宽度和厚度。
2. 直线的表示方法(1) 点斜式：$y-y_1=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为直线上的一点，$k$ 为直线的斜率。
(2) 斜截式：$y=kx+b$，其中 $k$ 为直线的斜率，$b$ 为直线和 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴上的截距。
(3) 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，其中 $a$，$b$ 分别为直线与 $x$ 轴和 $y$ 轴的截距。
3. 相关性质(1) 相互垂直的两条直线的斜率互为相反数。
(2) 相互平行的两条直线具有相同的斜率。
(3) 两条非垂直的直线的交点为 $(x_0, y_0)$，则两条直线的斜率之积等于 $-1$，即 $k_1 \cdot k_2 = -1$。
(4) 若一个方程可以化为 $Ax+By+C=0$ 的形式，那么该方程表示一条直线，斜率为 $-\frac{A}{B}$。
第二节平面直角坐标系与图形的性质1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由横轴 $x$ 轴和纵轴 $y$ 轴组成，原点为坐标轴的交点，任意点的坐标表示为 $(x, y)$。
2. 图形的性质(1) 图形的对称性：包括原点对称、关于 $x$ 轴对称和关于$y$ 轴对称等。
(2) 图形的平移：平移图形时，每个点的坐标都按照平移向量的规律进行平移。
(3) 平行和垂直关系影响：平行于 $x$ 轴的线与 $y$ 轴相交得到的点的纵坐标为 $0$；平行于 $y$ 轴的线与 $x$ 轴相交得到的点的横坐标为 $0$。
第三节二次函数的性质及其图像1. 二次函数的概念二次函数是一个以 $x$ 的平方项为最高次的多项式函数，一般形式为 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为常数，且 $a \neq 0$。
2. 二次函数的图像和性质(1) 抛物线的开口方向由二次项的系数 $a$ 的正负决定。
高中数学必修一第五章知识点
高中数学必修一第五章知识点
摘要：
1.三角函数概念及性质
2.三角函数的图像与性质
3.三角函数的求解方法
4.三角函数在实际问题中的应用
5.解三角形的方法及应用
正文：
一、三角函数概念及性质
三角函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、化学等学科中有广泛的应用。
三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们通常用角度制或弧度制表示。
在半径为r的圆中，弧长l所对的圆心角为θ，则有l=rθ。
二、三角函数的图像与性质
三角函数的图像可以是正弦曲线、余弦曲线等，它们具有周期性、奇偶性等性质。
通过图像可以直观地了解三角函数的变化规律，为求解实际问题提供依据。
三、三角函数的求解方法
求解三角函数的关键在于找到合适的关系式和公式。
常见的方法有和差化积、倍角公式、半角公式等。
这些方法可以帮助我们快速计算三角函数的值，为解题提供便利。
四、三角函数在实际问题中的应用
三角函数在实际问题中有广泛的应用，如在物理中的振动、波动、力学问题；在化学中的分子结构；在数学中的解三角形等。
通过运用三角函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。
五、解三角形的方法及应用
解三角形是高中数学的重要内容，主要包括正弦定理、余弦定理等。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度等问题。
在实际应用中，解三角形的方法被广泛应用于测量、建筑、航海等领域。
总之，高中数学必修一第五章知识点是基础且重要的内容，通过掌握三角函数的概念、性质、求解方法和实际应用，我们可以更好地应对后续的学习和实际问题。
高等数学教材第五版目录
高等数学教材第五版目录第一章：极限与连续1.1 定义与性质1.2 重要极限1.3 极限运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分与微分近似第三章：不定积分3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 基本积分公式与常见积分法3.3 分部积分与换元积分法3.4 有理函数的积分第四章：定积分4.1 定积分的定义与几何意义4.2 定积分的性质与定积分计算 4.3 定积分的应用4.4 反常积分第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的极值与条件极值 5.4 隐函数与参数方程第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法第七章：向量代数与空间解析几何 7.1 向量的基本运算7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面第八章：无穷级数8.1 数项级数8.2 正项级数的审敛法8.3 幂级数与傅里叶级数第九章：常微分方程9.1 方程的解与解的存在唯一性9.2 一阶线性常微分方程9.3 二阶线性常微分方程9.4 常系数齐次线性常微分方程第十章：数学实验与建模10.1 数学实验的基本思想与方法10.2 常见数学实验10.3 数学建模的基本步骤这是高等数学教材第五版的目录，并按照适当的格式进行呈现。
每一章节的内容简要描述了主要内容，方便读者了解教材的内容结构和重点。
在整个目录中，标题与内容紧密相连，清晰明了。
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解
高等数学一第5章课后习题详解课后习题全解习题5-1★★1.利用定积分的定义计算由抛物线21y x =+，直线x a =，x b =()b a >及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义 思路：根据求定积分的三步骤做 解:将[],a b 分成n 等分,取(1,2,)i i n ξ=为第i 个小区间1[(),()]i ia b a a b a n n-+-+-的右端点,则,i b a x n λ-=∆=,i b aa i nξ-=+ 显然, 0,n λ→⇔→∞于是根据定积分的几何意义,该图形面积lim ()nbi i ai A ydx y x λξ→===∆∑⎰ 21lim [()1]nn i b a b aa in n→∞=--=++∑ 22221()lim [12]n n i b a b a b a a ai i n n n→∞=---=+++∑222211()lim [(1)2]nnn i i b a b a b a n a a i in n n →∞==---=+++∑∑22232()(1)()1lim{()[1(1)(21)]}26n a b a n n b a b a a n n n n n →∞-+-=-+++++221()11()lim[1()(1)(1)(2)]6n b a b a a a b a n n n→∞-=-++-++++ 222()()[1]3b a b a a ab a -=-++-+33().3b a b a -=+- ★★2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义 思路：根据求定积分的三步骤做(1)baxdx ⎰()a b <.解:易见函数[](),f x x C a b =∈，从而可积，将[],a b 分成n 等分，则,i b ax nλ-=∆=于是0,n λ→⇔→∞；取(1,2,)i i n ξ=为第i 个小区间的右端点，则,0,1,2,,1,ib aa ii n nξ-=+=-所以110lim ()lim ()n n bi i an i i b a b axdx f x a in nλξ--→→∞==--=∆=+∑∑⎰1()lim{[(0121)]}n b ab a na n n n→∞-=-+++++-2(1)()lim[]2n b a n n b a a n →∞--=-+1()lim[(1)]2n b a b a a n→∞-=-+-221()()().22b a b a a b a -=-+=-(2)1ln exdx ⎰解:用分点(0,1,,)i ni x e i n ==划分区间[]1,e ：11,1,2,,i i nni i i x x x e e i n --∆=-=-=， 取i ξ是区间右端点，则 ,()ln()ln ,i i nnii i i i x e f e nξξξ=====作和，并取极限得：111ln lim ()lim ()i i nnenn i i n n i i i xdx f x e e nξ-→∞→∞===∆=-∑∑⎰111111lim{[()]}i i i nn n n nn i i i i e e e n n n --→∞==-=-+∑∑11111(1)lim lim (1)i nn n n i n e e e e n n e -→∞→∞=-=-=--∑111(1)lim ()1n n e e n e →∞=--- 记()1xx g x e =-，则当0x →时，()g x 是0型的，由洛必达法则， 有 001lim lim 11x xx x x e e →→==---从而，当n →+∞时，有111lim 11n nne →+∞=--，故1ln (1) 1.exdx e e =+-=⎰★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)121xdx =⎰.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:等式左边为直线2y x =与x 轴和1x =三条直线所围成的面积，该面积等于11212==等式右边. (2)sin 0xdx ππ-=⎰解: 等式左边为正弦曲线sin y x =与x 轴在x π=及x π=-之间所围成的面积，其左右两边面积互为相反数. 则sin ()0xdx A A ππ-=-+==⎰等式右边★★4.用定积分的几何意义求a⎰(0)b >的值.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积 解:=是以2a b +为圆心，2b a-为半径的上半圆，其面积为：2221()()2228b a b a S r πππ--===由定积分的几何意义知：2().8ab a π-=⎰★★★5.试将和式的极限112lim p p pp n n n +→∞+++(0)p >表示成定积分.知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分解: 112112limlim [()()()]p p p p pp p n n n n n n n nn +→∞→∞+++=+++11lim ()n pn i i n n→∞==∑设()p f x x =，则用定义求解1()f x dx ⎰为：①、等分[0,1]为n 个小区间：11[,], 1,2,, i i ii n x n nn-=∆=②、求和：取区间1[,]i i n n -上的右端点为i ξ，即i in ξ=，作和：111()n ni i i i i f x nn ξ==∆=⨯∑∑③、求极限：011111lim()lim ()lim ()nnn p pi i n n i i i i i f x nn n n λξ→→∞→∞===∆=⨯=∑∑∑∴1101121lim lim ()p p p n pp p n n i n i x dx n n n+→∞→∞=+++==∑⎰ ★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即1()()ii x i i x f x f x dx ξ-∆≈⎰，若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：111[()()]()2i i x i i i x f x f x x f x dx --+∆≈⎰。
高一数学第五章知识点总结
高一数学第五章知识点总结
高一数学第五章主要涉及以下几个知识点：
1. 一次函数：了解一次函数的定义、性质和表示方法，掌握求解一次方程和一次不等式的方法。
能够根据实际问题建立一次函数模型，并运用一次函数解决实际问题。
2. 一次函数图像：掌握一次函数图像的性质，包括直线的斜率和截距的意义，能够根据斜率和截距画出一次函数的图像，理解线性函数的特点。
3. 二次函数：了解二次函数的定义、性质和表示方法，掌握求解二次方程和二次不等式的方法。
能够根据实际问题建立二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题。
4. 二次函数图像：掌握二次函数图像的性质，包括顶点、开口方向、对称轴和最值等概念。
能够根据二次函数的特点画出二次函数的图像，理解二次函数的变化规律。
5. 指数函数：了解指数函数的定义、性质和表示方法，掌握指数函数的运算法则，能够求解指数方程和指数不等式。
能够根据实际问题建立指数函数模型，并运用指数函数解决实际问题。
6. 对数函数：了解对数函数的定义、性质和表示方法，掌握对数函数的运算法则，能够求解对数方程和对数不等式。
能够根据实际问题建立对数函数模型，并运用对数函数解决实际问题。
7. 复合函数：了解复合函数的概念和性质，能够求解复合函数的值和复合函数的反函数。
能够根据实际问题建立复合函数模型，并
运用复合函数解决实际问题。
8. 综合应用：能够综合运用以上知识点解决实际问题，如求解函数的零点、最值等问题，以及利用函数建立模型解决实际问题。
以上是高一数学第五章的主要知识点总结，希望对你有帮助！。
大一高等数学第五章知识点
大一高等数学第五章知识点第五章：定积分定积分是微积分中的重要概念，也是几何中面积计算的工具之一。
本章主要介绍定积分的定义、性质以及计算方法等相关知识点。
1. 定积分的定义定积分是对被积函数在一定区间上的积分运算。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将该区间分成若干小区间，其中每个小区间的长度趋于0。
若存在数I，使得当区间的长度趋于0时，每个小区间上的函数值乘以小区间的长度的和趋于I，则称I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
2. 定积分的性质（1）可加性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，且c位于区间[a,b]内，则有定积分的可加性质，即∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。
（2）积分中值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在一点ξ位于[a,b]内，使得定积分等于函数在[a,b]上的某一点的函数值乘以区间长度，即∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
（3）定积分的性质：定积分的结果与积分区间有关，与被积函数在积分区间以外的取值无关。
3. 定积分的计算方法（1）基本积分表：根据被积函数的特点和常用积分公式，可以利用基本积分表来计算定积分。
（2）换元法：通过变量代换的方法，将被积函数进行化简，然后计算定积分。
（3）分部积分法：对于乘积形式的被积函数，可以利用分部积分法将其转化为更易计算的形式，然后求解定积分。
（4）定积分的几何意义：定积分可以用于计算函数图像与x 轴所围成的面积，利用横纵坐标的变化可以计算出面积值。
4. 定积分的应用定积分在几何、物理、经济等领域中具有广泛应用。
例如，可以利用定积分计算曲线与x轴所围成的面积，求解物体的质量、重心等物理问题，计算经济中的总收益、总成本等。
总结：大一高等数学第五章主要介绍了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。
掌握定积分的概念和计算方法对于进一步学习微积分以及相关领域的应用具有重要意义。
高数讲义第五节 曲面及其方程(一)
o
y
或 x2 y2 a2z2 , a tan
例6 将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a y
2 2
0
z c
2 2
1
分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
一、1、z2 2 x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4 x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x2 a2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
x2 y2 R2 移动而形成的 该曲面称为圆柱面
x
zHale Waihona Puke M( x, y, z)L 准线
o
y
M( x, y,0)
母线
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
高等数学5-1
（2）当a b 时，
b
f ( x)dx
a
f ( x)dx .
a
b
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b
[ f ( x) g( x)]dx
b
b
f ( x)dx g( x)dx .
a
a
a
证
b
[ f ( x) g( x)]dx
a
n
lim
0
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 3
估计积分
π 0
3
1 sin3
dx x
的值.
解
1 f ( x) 3 sin3 x ,
x [0, π],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1, 3
π 1dx
04
π 0
3
1 sin3
dx x
π1 dx,
03
ππ 1
π
4
0
3 sin3
性质6 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则 m(b a) b f ( x)dx M (b a). a
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a).
ba a
即
b
a
f ( x)dx
f ( )(b a).
积分中值公式的几何解释：
(a b)
ห้องสมุดไป่ตู้
y
在区间[a, b]上至少存在一
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解
பைடு நூலகம்
dy Q = sec 2 x + sin x , dx dx ∴ y = ∫ sec 2 x + sin x dx
(
)
= tan x − cos x + C ,
Q y ( 0 ) = 5,
∴ C = 6,
所求曲线方程为 y = tan x − cos x + 6.
五、 小结
F 原函数的概念： 原函数的概念： ′( x) = f ( x)
_____________________ ___________ 6. ∫ x xdx = ______________________； dx = _______________________； _______________________ __________； 7. ∫ 2 x x _________________ _______； 8. ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx = _________________； 9. 10.
第一节
不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题
一、原函数与不定积分的概念
定义： 定义： 如果在区间 I 内 ，可导函数 F ( x ) 的 定义
导函数为 f ( x ) ， ∀ x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 即
例1 求 x d x .
6 x x 5 5 解 Q = x , ∴ ∫ x dx = + C. 6 6
6
∫
5
′
1 例2 求 ∫ dx . 2 1+ x 解 Q (arctan x )′ =
1 , 2 1+ x
1 ∴ ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x
例3 某商品的边际成本为 100 − 2 x , 求总成 本函数 解
是常数， （ k 是常数， k ≠ 0 )
3 2 − )dx . 例5 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1− x 3 2 − )dx 解 ∫( 2 1+ x 1− x2 1 1 = 3∫ dx − 2 ∫ dx 2 2 1+ x 1− x
= 3 arctan x − 2 arcsin x + C
1+ x + x dx . 例6 求积分 ∫ 2 x (1 + x )
关于原函数的说明： 关于原函数的说明：
（1）若 F ′( x ) = f ( x ) ，则对于任意常数 C ， ）
F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数 的原函数. 的原函数， （2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数， ） 为任意常数） 则 F ( x ) − G ( x ) = C （ C为任意常数） 证 Q [F ( x ) − G ( x )]′ = F ′( x ) − G ′( x ) = f ( x) − f ( x) = 0 ∴ F ( x ) − G ( x ) = C （ C为任意常数） 为任意常数）
定理 原函数存在定理： 原函数存在定理： 内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续 ， 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) . 简言之：连续函数一定有原函数. 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： 原函数是否唯一？ 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 若不唯一它们之间有什么联系？ ′ 例 (sin x ) = cos x (sin x + C )′ = cos x 为任意常数） （ C为任意常数）
C ( x ).
C ( x ) = ∫ (100 − 2 x )dx
= 100 x − x + c
2
其中 c 为任意常数
二、不定积分的几何意义
积分曲线. 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族, 显然，求不定积分得到一积分曲线族 在同一 积分曲线族 横坐标
x = x0 处,任一曲线的切线有相同的斜率 任一曲线的切线有相同的斜率 任一曲线的切线有相同的斜率.
y
0
x0
x
三、 基本积分表
′ µ+1 x x µ µ 实例 = x ⇒ ∫ x dx = + C. µ +1 µ + 1 (µ ≠ −1)
µ+1
能否根据求导公式得出积分公式？ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式
基 本 (2) 积 分 (3) 表
(1)
是常数); ∫ kdx = kx + C ( k是常数 xµ µ ∫ x dx = µ +1 + C (µ ≠ −1);
+1
dx ∫ x = ln x + C ; dx = ln x + C , 说明： 说明： x > 0, ⇒ ∫ x 1 1 x < 0, [ln( − x )]′ = ( − x )′ = , x −x dx ⇒∫ = ln( − x ) + C , ∴ dx = ln | x | +C , ∫x x
不定积分的概念： 不定积分的概念： f ( x)dx = F( x) + C ∫ 基本积分表（1）～（ ） ）～（13） 基本积分表（ ）～（ 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
思考题
1, x > 0 符号函数 f ( x ) = sgn x = 0, x = 0 − 1, x < 0
x
x
x
x
x 2 x dx . 例4 求积分 ∫
解
x 2 x dx = ∫ x dx ∫
5 2
x 2 7 = + C = x2 + C. 5 7 +1 2
xµ+1 ( +C 根据积分公式2)∫ xµdx = µ +1
5 +1 2
四、 不定积分的性质
(1)
证
′ = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx f ( x ) ± g ( x ). = ∴ 等式成立 等式成立.
或 dF ( x ) = f ( x )dx ， 那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数. 原函数. ( primitive function ) (sin x )′ = cos x sin x 是 cos x 的原函数 例 的原函数. ′ 1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ ) 内的原函数 内的原函数. x
2
解
∫
1+ 2x 1+ x2 + x2 dx = ∫ 2 dx 2 2 2 x (1 + x ) x (1+ x )
2
1 1 = ∫ 2 dx + ∫ dx 2 x 1+ x 1 = − + arctan x + C . x
1 dx . 例8 求积分 ∫ 1 + cos 2 x
解
1 1 dx = ∫ dx ∫ 1 + cos 2 x 2 1+ 2cos x −1 1 1 1 = ∫ dx= tan x + C . 2 2 cos x 2
故假设错误
内不存在原函数. 所以 f ( x ) 在 ( −∞ , + ∞ ) 内不存在原函数 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 每一个含有第一类间断点的函数都 第一类间断点 没有原函数. 没有原函数
填空题： 一、 填空题： 1. 一个已知的连续函数，有______个原函数，其中 个原函数， 一个已知的连续函数， ______个原函数 任意两个的差是一个______ ______； 任意两个的差是一个______； 2. f ( x ) 的________称为 f ( x ) 的不定积分； ________称为 的不定积分； 3. 把 f ( x ) 的一个原函数 F ( x ) 的图形叫做函数 f ( x ) ________， 的________，它的方程是 y = F ( x ) ，这样不定积 在几何上就表示________ ________， ∫ f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是
x 3. ∫ cos dx 4. 2 1 5. ∫ (1 − 2 ) x x dx x x 2 + sin 2 x sec 2 xdx 6. ∫ x2 +1
F . 说明 ( x) + c是f ( x)的全部原函数
定义 不定积分(indefinite integral)的定义： 的定义：
在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分， 不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .
被 ∫积 f (被 x )dx = F ( x原 ) + C任 积 积 分 号 积 函 数 表 达 式 分 变 量 函 数 意 常 数
( x + 1)( x 3 − 1)dx = _____________； _____________； ________ ∫
∫
(1 − x )2 x
dx = ____________________ . ____________________
求下列不定积分： 二、 求下列不定积分：