【中考复习】(四川版)2017中考数学总复习 第五章 四边形 第22节 矩形、菱形、正方形试题
中考数学总复习 第五章 四边形 第22节 矩形、菱形、正方形
1．对于无图题，要画出符合题意的图形，避免因考虑不周，而造
成漏解情况．
【例 4】矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD 于点 E，若 OE∶ED＝1∶3，AE＝ 3，则 BD＝_4__或__85__5__．
第22节 矩形、菱形、正方形
矩形的性质和判定
1．定义：有一个角是直角的____平__行__四__边__形____叫做矩形． 2．矩形的性质：
(1)四个角都是_直__角____； (2)对角线_相__等____且互相平分； (3)既是_轴___对称图形，又是__中__心___对称图形． 3．矩形的判定：
(3)__四__条边__相__等___的四边形是菱形． 7．菱形面积的计算： (1)可以作为平行四边形来计算面积：S＝__底__×__高____． (2)利用菱形的对角线的长度计算：S＝两条对角线乘积的__一__半____．
正方形的性质与判定 8．正方形的性质： (1)四条边都____相__等_； (2)四个角都是____直__角_； (3)对角线_____相_等_，互相____垂__直__平__分_，并且每条对角线___平__分__一组 对角； (4)既是____轴__对称图形，又是____中__心_对称图形． 9．正方形的判定： (1)有一组____邻__边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是___直__角_的菱形是正方形．
得AD＝DC，从而得出结论；
(3)连接DF，可证四边形ABDF是平行四边形，求出菱形对角线DF的长，从而
求出面积．
正方形的性质与判定 【例3】(2014·贵港)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一 点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE. (1)求证：DF＝AE； (2)当AB＝2时，求BE2的值．
中考数学总复习第五章四边形第22讲平行四边形课件
例 3： （2016. 梅州）如图，平行四边形 ABCD 中，BD⊥AD，∠A=45 °，E、 F 分别 是 AB、CD 上的点，且 BE=DF， 连接 EF 交 BD 于 O． （1）求证：BO=DO； （2）若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G ，当 FG=1 时，求 AE 的长．
第22讲 平行四边形
例题 精讲西）如图所示，在▱ABCD中 ，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于 点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数 为 ．
名师点拨：∵四边形ABCD是平行四边形 ， ∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又 ∵∠C=40°， ∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90° ， ∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：
名师点拨： （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE =∠ODF． 在△OBE 与△ODF 中，
OBE ODF ∵ ． BOE DOF ∴△OBE≌△ODF（AAS） BE DF
∴BO=DO． （2）解：∵EF⊥AB，AB ∥DC， ∴∠GEA=∠GFD=90°． ∵∠A=45°， ∴∠G=∠A=45°． ∴AE=GE ∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠GDO=90°． ∴∠GOD=∠G=45 °． ∴DG=DO ∴OF=FG= 1 由（1）可知，OE= OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3 ∴AE=3
例 2： （2016•随州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，M、N 分别是 AB、AC 的中 点，延长 BC 至点 D，使 CD= BD，连接 DM、DN、MN．若 AB=6，则 DN= ．
名师点拨：连接 CM，∵M、N 分别是 AB、AC 的中点， ∴NM= CB，MN∥BC，又 CD= BD， ∴MN=CD，又 MN∥BC， ∴四边形 DCMN 是平行四边形，∴DN=CM， ∵∠ACB=90°，M 是 AB 的中点，∴CM= AB=3， ∴DN=3，故答案为：3．
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第22课时 矩形、菱形
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考点演练 4. （2019怀化）如图5-22-6，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分 别为垂足．
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（1）求证：△ABE≌△CDF； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°. ∠B=∠D，
构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60 cm，
菱形的边长AB=20 cm，则∠DAB的度数是（ C ）
A. 90°
B. 100°
C. 120°
D. 150°
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2. （2020荆门）已知，如图5-22-9，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的
中点，若EF=5，则菱形ABCD的周长为 A. 20
∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD.
又∵AB=BC，∴AD=BC.
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．
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考点演练 4. （2019新疆）如图5-22-14，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF． 求证：
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续表
矩形和菱形的证明方法 （1）矩形的证明方法（三种） 方 ①先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任意 法 一个角为直角. 规 律 ②先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角 线相等. ③证明四边形ABCD的三个角是直角.
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续表 （2）菱形的说明方法（三种）
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2017中考数学(四川版课件 检测)第五章四边形(4份打包)
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矩形的性质与判定 【例1】 (2015 江 西 ) 如 图 ， 纸 片 ▱ABCD 中 ， AD ＝ 5 ， S▱ABCD ＝ 15. 过 点 A 作 ) C B．菱形 D．正方形 本题考查矩形的判定．根据矩形的判定有一个直角的平行四边
垂直平分 (3)菱形的两条对角线互相①____________ ，并且每一条对角线平分一组对角； (4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形； (5)菱形面积有两种计算方法：一是底×高；二是两条对角线长的乘积的一半．
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3．判定
(1)定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)四条边相等的四边形是菱形． 【注意】(1)(2) 条判定是建立在平行四边形的基础上，一组邻边相等的四边形
和对角线互相垂直的四边形都不一定是菱形．
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2
2．性质 (1)矩形的对边平行且相等； (2)矩形的对角相等，邻角互补，且四个角均为直角；
(3)矩形的对角线互相平分且相等．
【注意】a.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形； b.由矩形的性质可得直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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20、矩形与菱形
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省中考数学总复习 第五单元 四边形 第22课时 平行四边形数学课件
;
(2)平行四边形的对边①
(4)平行四边形的对角线互相③ 平分
;
(5)平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点
总结
若一条直线过平行四边形的对角线的交点,则这条直线被一组对边截成的线段以对角线
的交点为对称中心成中心对称,且这条直线等分平行四边形的面积
第二页，共二十五页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)二
第十七页，共二十五页。
高频考向探究
明考向
1.[2015·河北 22 题] 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规
作出了如图 22-12 所示的四边形 ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图 22-12,在
四边形 ABCD 中,CB=AD,AB= CD
中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边
.
形的顶点,所以
(suǒyǐ)带②③两块碎玻璃,就可
以确定平行四边形的大小.
图 22-5
第八页，共二十五页。
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探究一 平行四边形的性质6年1次单独(dāndú)考,1次涉及
例 1 [2018·宁波] 如图 22-6,在
ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相
1
∵EF 为△ PCB 的中位线,∴EF∥BC,EF= BC,∴△ PEF∽△PBC,且相似比为 1∶2,
2
∴S△ PEF∶S△ PBC=1∶4,∵S△ PEF=2,∴S△ PBC=S△ CQP+S△ QPB=S△ PDC+S△ ABP=S1+S2=8.故选 C.
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5.[2018·淮安] 如图 22-10,在
第22章四边形知识点总结
第22章 四边形的性质和判定一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
※ 平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等，邻角互补③平行四边形的对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； ※ 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形面积公式：S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)二、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．※ 矩形的性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)四个角都是直角；(3) 对角线相等；(4)是轴对称图形，它有两条对称轴． A A※ 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形．矩形面积公式：S=ab(a 为一边长，b 为另一边长) 三、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※ 菱形的性质：（1）具有平行四边形所有的性质； （2）四边相等；（3）对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形又是轴对称图形。
※ 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线垂直的平行四边形是菱形；菱形面积公式：① S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)② ②Ｓ＝1/2bc (对角线乘积的一半)(b 、c 为对角线的长)A四、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形※正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的性质：（1）四条边相等；（2）四个角是直角，（3）对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形又是轴对称图形。
(四川版)2017届中考数学：第22节-矩形、菱形、正方形ppt课件
(2)在 Rt△ABE 中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝ 10， 1 1 ED＝ CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝2AD· BA＝2DE· AH， 1 1 ∴2×3×3＝2×5×AH，解得 AH＝1.8， AH 1.8 9 在 Rt△AHE 中，EH＝ AE2－AH2＝2.6，∴tan∠AED＝ EH ＝2.6＝13
7．(导学号
14952110)(2015· 宜宾)如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是
等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD 于点 E，F，连接 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H.给出下列结论：
S△BPD 3－1 FP 3 ①△ABE≌△DCF；②PH＝5；③DP2＝PH· PB；④ ＝ 4 . S正方形ABCD 其中正确的是 ①③④ ．(写出所有正确结论的序号)
EP·PF·tan∠CAB.∵tan∠CPF＝tan∠CAB，∴S矩形DEPH＝S矩形PGBF
【例2】(2016·达州)如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB. (1)实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB， 连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
3．(导学号 14952109)(2016·南充)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB 与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处 ，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75°
4．(2016·南充)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是____ 2 cm.
【例3】(2016·株洲)已知正方形ABCD中，BC＝3，点E，F分别是CB
中考总复习：四边形综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：四边形综合复习—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形 =21ab=ch （a 、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）. S 平行四边形 =ah(a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）.考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a 、b 是梯形的上、下底，h 是梯形的高).考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、多边形及其镶嵌1. 一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是_________度，他求的是_________边形的内角和. 【思路点拨】一个多边形的内角和能被180°整除，本题内角和1125°除以180°后有余数，则少的内角应和这个余数互补.【答案】135；九.【解析】设这个多边形边数为n，少算的内角度数为x，由题意得：(n-2)·180°=1125°+ x°，∴n=，∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.【总结升华】多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式】（2015•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C.【解析】∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C．2．（2015•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形D．正五边形和正十边形【思路点拨】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B．【总结升华】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．类型二、特殊的四边形【高清课堂：四边形综合复习例1】3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF 相交于点H.(1)判断四边形EHFG的形状；(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？【思路点拨】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平行四边形EHFG是菱形；【答案与解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AB=CD，∵E是AB中点，F是CD中点，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．同理可得DE∥BF，∴四边形FGEH是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°，∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE=CF，在△EBC与△FCB中，∵BE CFABC DCB BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCB，∴CE=BF，∠ECB=∠FBC，BH=CH，EH=FH，平行四边形EHFG是菱形.【总结升华】本题属于综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判定，注意找准条件，有一定的难度．举一反三：【变式】已知：如图所示，四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝CB ，P 是BD 上一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：PA ＝EF ．【答案】连结PC ．因为PE ⊥BC ，PF ⊥DC ，AB CDE F P所以∠PEC ＝∠PFC ＝∠ECF ＝90°，所以四边形PECF 是矩形，所以PC ＝EF ．在△ABP 和△CBP 中，AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，所以△ABP ≌△CBP ，所以AP ＝CP ．所以AP ＝EF ．4. （2016•松阳县二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 上一点，将△BCE 沿BE 翻折后点C 恰好落在AD 边上的点F 处，将线段EF 绕点F 旋转，使点E 落在BE 上的点G 处，连接CG ．（1）证明：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG 的面积；（3）试探究当线段AB 与BC 满足什么数量关系时，BG=CG ，请写出你的探究过程．【思路点拨】（1）由折叠得EF=CE ，∠FEG=∠CEG ，利用SAS ，证得△EFG ≌△CEG ，再由线段旋转得到FG=EF ，得出四边形EFGC 四边相等，进而确定四边形是菱形．（2）由折叠得到BF=10，从而得出AF 、DF 。
中考数学 考点系统复习 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形
∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4， ∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，
在 Rt△BGF 中，BF＝4，BG＝2， 根据勾股定理得，FG＝ 42－22＝2 3，
在 Rt△AGF 中，AG＝6， AF＝ AG2＋FG2＝ 62＋（2 3）2＝4 3. ∴AF 的长为 4 3.
15．(2020·德州)如图，在▱ABCD 中，对角线 BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
的面积是 1，则 AB 的长为
( C)
A．1
B. 2
C．2
D．2 2
18．(2021·阜新)如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 的对应点 E 落在 CD
边上，GH 为折痕，已知 AB＝6，BC＝10.当折痕 GH 最长时，线段 BH 的长
为 6. ． 8
19．(2021·呼和浩特)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE∥DF，且分 别交对角线 AC 于点 E，F. (1)求证： △ABE≌△CDF； (2)当四边形 ABCD 分别是矩形和菱形 时，请分别说出四边形 BEDF 的形状．(无 需说明理由)
坐标是 O(0，0)，点 B 的坐标是(0，1)，且 BC＝ 5，则点 A 的坐标是 ((22，，0)． 0)
11.(2021·中山区模拟)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且 DE＝DA，EF⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为 44－－22 2 .
12.(2020·遂宁)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别是线段 BC， AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF. (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形 ADCF 为矩形．
∵AB＝AC，∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∴四边形 ADCF 为矩形．
中考数学 教材知识梳理 第5单元 四边形 第22课时 矩形、菱形、正方形
平分且___相__等___
OB
(4)对角线平分一组对角
∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝ ∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝
∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有4条
对称轴
(二) 中考考点梳理
3．判定
文字描述
字母表示(参考上图)
(1)一组邻边相等且有一 若四边形ABCD是平行四边形，且
2．性质
文字描述 (1)菱形的四条边都
__相__等____
(2)菱形的对角相等
字母表示(参考上图) AB＝BC＝CD＝DA
∠DAB＝∠DCB，∠ADC ＝_∠__A__B_C__
(二) 中考考点梳理
续表：
文字描述
字母表示(参考上图)
(3)菱形的两条对角线互 相_垂__直__平__分__，且每条 对角线平分一组对角
④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件，
使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，
其中错误的是( B )
A．选①②
B．选②③
C．选①③
D．选②④
(三) 中考题型突破
2．(2016河北二模)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝ 2 2 ，E，F分别为边AB，CD上的点，若四边形 AECF为正方形，则∠D的度数为( B ) A．30° B．45° C．60° D．75°
(三) 中考题型突破
5．(2016荆门模拟)已知：如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF， DF∥BE，AC平分∠BAD. 求证：四边形ABCD为菱形．
(三) 中考题型突破
证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵DF∥BE，∴∠BEF＝∠DFE，
中考数学 课堂讲本第22课时 矩形
判
⑤_相__等__
定
平行四边形＋一两个条角⑦是对⑥角线直角相等
知识点3矩形中的等边三角形(拓展)
如图，在矩形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，其中△AOB 是等边三角形，则有 1．角：∠3＝2∠2＝2∠1＝4∠4＝120°. 2．边：OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝CD＝a，AD＝BC＝ 3a. 3．面积：S 矩形 ABCD＝4×S△AOB＝ 3a2.
请根据该图完成这个推论的证明过程． 求证：S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
证明：由四边形ABCD是矩形，AC为对角线， EG∥AD∥BC，MN∥AB∥CD， 易得S△ABC＝S△ADC，S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FGC， ∴S△ABC－S△AEF－S△FMC＝S△ADC－S△ANF－S△FGC， 即S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
∴EG＝CG＝12EC＝ 7，
∴FG＝EG－EF＝
7－2
3
7＝
7 3.
3
中考聚焦
01
02
03
04
1．【2020·泉州模拟·4分】如图，平行四边形ABCD的对角 线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需要再添加 的条件是( )
A．AO＝OC B B．AC＝BD C．AC⊥BD D．BD平如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，AB＝10，AC＝8，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E， DF⊥BC于F，则EF的长为________． 4.8
【点拨】 ∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6.∵S△ABC＝12AC·BC＝ 12AB·CD，∴CD＝4.8.∵DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°.∴四边形 CEDF 是矩形， ∴EF＝CD＝4.8.
中考数学复习讲义课件 中考考点解读 第五单元 四边形 第22讲 矩形、菱形、正方形
[分析] (1)先证明四边形ABEF是平行四边形，再 根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE， AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱 形．
[解答] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝BE.同理AB＝AF. ∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形． 又AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形．
[解答] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥BE. 又DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形． 又DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形．
(2)解：∵四边形BFDE是矩形， ∴DF∥AB，DE＝BF＝4，DF＝BE.∴∠DFA＝ ∠FAB. 又AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DFA＝∠DAF，∴DA＝ DF. 在又RDt△E⊥ADAE B中，，AD＝ AE2＋DE2＝ 32＋42＝5， ∴∠DEA＝90°.
∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF.
方法指 导
提升数学核心素 养
1．(2020·湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于 世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或 一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如
图2中的平行四边形或矩形，D则这两个图形中，中国七巧板
和日本七巧板能拼成的个数分别是() A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
2．(2020·常山)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐 述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的 东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2， ∠DAB＝120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使 得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点 C的坐标是__________．
中考数学复习方案 第五单元 四边形 第22课时 矩形数学课件
cm,AD=40 cm,则FG的长为
cm.
34
图22-2
第八页，共四十三页。
5.如图22-3,矩形(jǔxíng)ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则矩形的对角线AC
的长是
[答案] 3 2
中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩 [解析]∵AD=EF=DE=3,∠D=90°,
形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB
的长为
.
∴AE2=AD2+DE2=18,
∴AB=AE= 18=3 2.
图22-8
第二十三页，共四十三页。
3.[2019·江西13(2)题]如图22-9,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交(xiāngjiāo)于点
考向一
例1
矩形( jǔxíng)的性质及判定
如图 22-6,在▱ ABCD 中,∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E,∠CDB 的平分
线 DF 交 BC 于点 F,连接 BD,EF 交于点 O.
(1)若∠DEB=90°,求证:四边形 DFBE 是矩形;
(2)若 AB=BD,求证:四边形 DFBE 是矩形;
第二十五页，共四十三页。
4.[2019·
北京(běi jīnɡ)朝阳二模]如图22-10,在▱ABCD中,∠ABD=90°,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(2)连接DE交BC于点F,连接AF,若CE=2,∠DAB=30°,求AF的长.
图22-10
第二十六页，共四十三页。
(2)如图,取 BE 中点 G,连接 FG.
中考数学突破复习 第五章 四边形 第22讲 矩形、菱形数学课件
第22讲 矩形、菱形
12/9/2022/9/2021
课后作业
1．(2018 孝感)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点
O，AC＝10，BD＝24，则菱形 ABCD 的周长为( A )
A．52
B．48
C．40
D．20
(1)求证：四边形 ACDF 是平行四边形； (2)当 CF 平分∠BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明 理由．
12/9/2021
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE， ∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE， 又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA， 又∵CD∥AF， ∴四边形 ACDF 是平行四边形．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF， ∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB， ∴△AFD≌△BFE，∴AD＝EB， ∵AD∥EB，∴四边形 AEBD 是平行四边形， ∵BD＝AD，∴四边形 AEBD 是菱形．
12/9/2021
(2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB＝ 10，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCB， ∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3， ∵四边形 AEBD 是菱形，∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF， ∴tan∠ABE＝EBFF＝3， ∵BF＝ 210，∴EF＝3 210，∴DE＝3 10， ∴S 1菱2/形9/2A02E1BD＝12AB·DE＝12× 10×3 10＝15.
12/9/2021
又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，∴四边形 ACDB 是菱形， ∵∠ACD 与△FCE 中的∠FCE 重合，它的对角∠ABD 顶点 在 EF 上， ∴四边形 ACDB 为△FEC 的亲密菱形．
中考数学总复习 第五章 四边形 第22讲(课堂本)数学课件
12/10/2021
第八页，共三十八页。
(3)判别方法：一组 邻边 相等的平行四边形是菱形，对角线 _互___相__(h_ù_xi_ān_g)的垂平直行四边形是菱形，四条边 的四边形是 都相等(xiāngděng) 菱形．
(4)设菱形对角线长分别为 l1，l2，则 S 菱形＝21l1l2.
12/10/2021
12/10/2021
第二十页，共三十八页。
(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.又∵O 为 BC 的中 点，∴BO＝CO.
∠OEB＝∠ODC， 在△BOE 和△COD 中，∠BOE＝∠COD，
BO＝CO， ∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，∴四边形 BECD 是平 行四边形． 12/10/2021
证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD. 由折叠的性质可得 BC＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，AE＝CD.
AD＝CE 在△ADE 和△CED 中，AE＝CD ，∴△ADE≌△CED(SSS)．
DE＝ED (2)由(1)得△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝ ∠EDF，∴EF＝DF，∴△DEF 是等腰三角形．
12/10/2021
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☞考点分析：1.可能以填空题 的形式考查矩形或菱形的性 质，4 分；2.矩形或菱形常与 三角形、图形变换等结合考查 性质和判定，以解答题为主， 7 分．约占总分值的 6%.
12/10/2021
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01。2
内容(nèiróng)总结
12/10/2021
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【拔高教育】2017年中考数学第一部分考点研究复习第五章四边形四边形的证明与计算巩固集训含解析
四边形的证明与计算巩固集训1. (2016永州)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.(1)求证：BE＝CD；(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．第1题图2．(2017原创)如图①，▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，连接AF，CE，分别交BE、FD于点G、H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图②)中补全他的证明思路，并说明理由．第2题图3. (2016南京校级一模)如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝8，AB＝CB＝6，点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点．(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若DA⊥AB，求四边形EFGH的面积．第3题图4. (2016南京校级二模)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E.(1)求证：△BDC≌△BEC；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求OE的长．第4题图5. (2017原创)如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB的延长线于点F.连接CF、BD、BE.(1)求证：∠AFD＝∠EBC；(2)若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．第5题图6. (2016南通一模)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求AE，BF之间的距离．第6题图7. (2016滨州)如图，BD是∠ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝210，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．第7题图8. (2016济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．第8题图答案1. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD；(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4，∵BF⊥AE，∴AF ＝EF ＝2，∴BF ＝AB 2－AF 2＝42－22＝23，∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠ECF ，∠DAF ＝∠E ，在△ADF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF ∠DAF＝∠E AF ＝EF，∴△ADF ≌△ECF (AAS )，∴S △ADF ＝S △ECF ，∴S ▱ABCD ＝S △ABE ＝12AE ·BF ＝12×4×23＝4 3. 2. (1)证明：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，AD ＝BC ， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ＝12∠ABC ， ∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC ， ∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠ABE ＝∠EBC ＝∠ADF ＝∠CDF .∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC .∴∠AEB ＝∠ADF ，∴EB ∥DF .∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形；(2)解：补全思路：GF ∥EH ，AE ∥CF .理由如下：∵四边形EBFD 是平行四边形，∴BE ∥DF ，DE ＝BF ，∴AE ＝CF ，又∵AE ∥CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴GF ∥EH ，又∵GE ∥FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形．3. (1)证明：连接AC 、BD ，交于点O ，如解图，第3题解图∵点E 、F 、G 、H 分别是DA 、AB 、BC 、CD 的中点， ∴EF ∥BD ∥GH ，EH ∥AC ∥FG ，EF ＝GH ＝12BD ，EH ＝FG ＝12AC ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AD ＝CD ，AB ＝CB ，∴点D 、B 都在线段AC 的垂直平分线上， ∴DB 垂直平分AC ，∴DB ⊥AC ，OA ＝OC ，∵EF ∥DB ，∴EF ⊥AC ，∵FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 是矩形；(2)解：∵DA ⊥AB ，AD ＝8，AB ＝6，∴DB ＝10，∴EF ＝12BD ＝5. ∵S △BAD ＝12BA ·AD ＝12BD ·AO ，∴AO ＝AB·AD BD ＝4810＝245， ∴AC ＝2AO ＝485， ∴FG ＝12AC ＝245， ∴S 矩形EFGH ＝FG ·EF ＝245×5＝24. 4. (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥DC ，∠BCD ＝∠BCE ＝90°， ∵AC ∥BE ，∴四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ，∴DC ＝EC ，在△BCD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BC ∠BCD＝∠BCE DC ＝EC，∴△BCD ≌△BCE (SAS )；(2)解：如解图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，第4题解图由(1)知：四边形ABEC 为平行四边形， ∴AC ＝BE ＝BD ＝10，∵△BCD ≌△BCE ，∴CD ＝CE ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝OB ，∠BCD ＝90°，∵OF ⊥CD ，∴OF ∥BC ，∴CF ＝DF ＝12CD ＝3， ∴EF ＝EC ＋CF ＝6＋3＝9，在Rt △BCE 中，由勾股定理可得BC ＝BE 2－CE 2＝8，∵OB ＝OD ，∴OF 为△BCD 的中位线，∴OF ＝12BC ＝4. 在Rt △OEF 中，由勾股定理可得OE ＝OF 2＋EF 2＝42＋92＝97.5. (1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ＝BC ，∠DCE ＝∠BCE ，在△DCE 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ∠DCE＝∠BCE CE ＝CE，∴△DCE ≌△BCE (SAS )，∴∠EBC ＝∠EDC ，又∵AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠EDC ，∴∠AFD ＝∠EBC ；(2)解：如解图，设DF 交BC 于点P ，AC 交BD 于点O ，第5题解图∵E 为△BCD 的重心，∴P 为BC 的中点，∴BP ＝CP ，在△CPD 和△BPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CDP＝∠BFP ∠CPD＝∠BPF PC ＝PB，∴△CDP ≌△BFP (AAS )，∴DP ＝FP ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∴FC ∥BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ACF ＝∠AOB ＝90°.6. (1)证明：∵AE ∥BF ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∠DAC ＝∠BCA ，∵AC 、BD 分别是∠BAD 、∠ABC 的平分线，∴∠DAC ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠CBD ，∴∠BAC ＝∠ACB ，∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝BC ，AB ＝AD ，∴AD ＝BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ＝AB ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则AM 的长就是AE ，BF 之间的距离，设AC 交BD 于点O ，第6题解图∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ＝12×6＝3，∵AB ＝5，∴在Rt △AOB 中，由勾股定理得：BO ＝4，∴BD ＝2BO ＝8，∴菱形ABCD 的面积为12·AC ·BD ＝12×6×8＝24， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝AB ＝5，∴5×AM ＝24，∴AM ＝245， 即AE ，BF 之间的距离是245. 7. 解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由如下：∵EG 垂直平分BD ，∴EB ＝ED ，GB ＝GD ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDF ＝∠GBF ，在△EFD 和△GFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF＝∠GBF DF ＝BF∠EFD＝∠GFB， ∴△EFD ≌△GFB (ASA )，∴ED ＝GB ，∴BE ＝ED ＝DG ＝GB ，∴四边形EBGD 是菱形；(2)如解图，作EM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，连接EC 交BD 于点H ，连接GH ，此时HG ＋HC 的值最小，在Rt △EBM 中，∠EBM ＝30°，EB ＝ED ＝210，第7题解图∴EM ＝12BE ＝10， ∵DE ∥BC ，EM ⊥BC ，DN ⊥BC ，∴EM ∥DN ，∴四边形EMND 为平行四边形，EM ＝DN ＝10，MN ＝DE ＝210，在Rt △DNC 中，∠DCN ＝45°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝45°，∴DN ＝NC ＝10，∴MC ＝310，在Rt △EMC 中，EC ＝EM 2＋MC 2＝（10）2＋（310）2＝10. 又∵BD 垂直平分EG ，∴EH ＝HG .∴HG ＋HC ＝EH ＋HC ＝EC ＝10，∴HG ＋HC 的最小值为10. 8. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴CA ＝ 2 BC ，∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线， ∴E 是AF 的中点，∵E 、O 分别是AF 、AC 的中点，∴EO ∥BC ，且EO ＝12CF ， ∴△EOM ∽△CBM ，∴EO CB ＝EM CM， ∵CF ＝CA ＝2CB ， ∴EO CB ＝12×2CB CB ＝22， ∵EO ＝2，∴BC ＝2，∴正方形ABCD 的边长为2；(2)EM ＝12CN . 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线， ∴CE ⊥AF ，∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN ，在△ABF 和△CBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠BCN AB ＝CB∠ABF＝∠CBN， ∴△ABF ≌△CBN (ASA )，∴AF ＝CN ，∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ， ∴∠BAF ＝∠OCM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠COM ＝∠ABF ＝90°，∴△COM ∽△ABF ，∴CM AF ＝OC BA ， ∴CM CN ＝OC AB ＝22，即CM ＝22CN . 由(1)知，EO CB ＝EM CM ＝22， ∴EM ＝22CM ＝22×22CN ＝12CN .。
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第22节 矩形、菱形、正方形
一、选择题
1．(2017·广元预测)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A ．对角线相等
B ．对角线互相平分
C ．对角线互相垂直
D ．邻边互相垂直
2．(2016·益阳)下列判断错误的是( D )
A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B ．四个内角都相等的四边形是矩形
C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
3．(2016·舟山)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D ) A. 5 B.136 C ．1 D.56
,第3题图)
,第4题图) 4．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.
245 B.125 C ．5 D ．4 5．(2016·郴州)如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( C )
A ．7
B ．8
C ．7 2
D ．7 3
,第5题图) ,第6题图)
6．(导学号 14952387)(2016·威海)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( D )
A.95
B.125
C.165
D.185
7．(导学号 14952388)(2016·苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )
A ．(3，1)
B ．(3，43
) C ．(3，53
) D ．(3，2) 8．(导学号 14952389)(2015·陕西)在▱ABCD 中，AB ＝10，BC ＝14，E ，F 分别为边BC ，AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为( D )
A ．7
B ．4或10
C ．5或9
D ．6或8
二、填空题
9．(2016·扬州)如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为__24__．
,第9题图) ,第10题图)
10．(2016·黄冈)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝
3a.将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝．
11．(导学号 14952390)(2016·宿迁)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，点P 是直线AD
上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，则AB 的长为．
,第11题图) ,第12题图)
12．(导学号 14952391)(2017·眉山预测)正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC 于点E ，把△ADE 沿AD 翻折，得到△ADE′，点F 是DE 的中点，连接AF ，
BF ，E ′F.若AE ＝ 2.则四边形ABFE′的面积是2
． 三、解答题
13．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形；
(2)若AC ＝8，BD ＝6，求△ADE 的周长．
解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°，∵DE ⊥BD ，即∠EDB ＝90°，∴∠AOB ＝∠EDB ，∴DE ∥AC ，∴四边形ACDE 是平行四边形 (2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，∴AD ＝CD ＝5，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8，∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18
14．(导学号 14952392)(2017·雅安预测)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.
(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；
(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．
(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CA ＝2BC 2＝2BC.∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的角平
分线，∴E 是AF 的中点．∵E ，O 分别是AF ，AC 的中点，∴EO ∥BC ，且EO ＝12
CF ，∵EO ＝2，∴CA ＝CF ＝22，∴BC ＝2，∴正方形ABCD 的边长为2
(2)EM ＝12
CN 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE ⊥AF ，∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°，∵∠ANE
＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN ，在△ABF 和△CBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BCN ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°，AB ＝CB ，
∴△ABF ≌△
CBN (AAS )，∴AF ＝CN ，∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ，∴∠BAF ＝∠OCM ，∵四边形ABCD
是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABF ＝∠COM ＝90°，∴△ABF ∽△COM ，∴CM AF ＝OC AB ，∴CM CN ＝OC CD ＝22
，即CM ＝22CN.由(1)知EO CB ＝EM CM ＝22，∴EM ＝22CM ＝22×22CN ＝12CN
15．(导学号 14952393)(2017·泸州预测)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM.
(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；
(2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积；
(3)当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．
解：(1)由折叠性质得：△ANM≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴DM ＝AD ·tan ∠DAM ＝3×tan30°＝3×33
＝3 (2)延长MN 交AB 延长线于点Q ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠M AQ ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM ，∴∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ ，设NQ ＝x ，则AQ
＝MQ ＝1＋x ，∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：AQ 2＝AN 2＋
NQ 2，∴(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5，∵AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45
×12AN·NQ ＝45×12×3×4＝245
(3)过点A 作AH⊥BF 于点H ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠HBA ＝∠BFC ，∵∠AHB ＝∠BCF ＝90°，∴△ABH
∽△BFC ，∴BH AH ＝CF BC
，∵AH ≤AN ＝3，AB ＝4，∴当点N ，H 重合(即AH ＝AN )时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M ，F 重合，B ，N ，M 三点共线，如图所示：
由折叠性质得：AD ＝AH ，∵AD ＝BC ，∴AH ＝BC ，在△ABH 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HBA ＝∠CFB ，∠AHB ＝∠BCF ，
AH ＝BC ，
∴△ABH ≌△BFC (AAS )，∴CF ＝BH ，由勾股定理得BH ＝AB 2－AH 2＝42－32＝7，∴CF ＝7，∴DF 的最大值＝DC －CF ＝4－7。