抽象代数-西南财经大学教师教学发展中心
抽象代数基础 教学大纲
抽象代数基础一、课程说明课程编号：130215Z10课程名称：抽象代数基础/Fundamental of Abstract Algebra课程类别：专业教育课程学时/学分：48/3先修课程：高等代数适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学教材、教学参考书：1. 张禾瑞编,《近世代数基础》，高等教育出版社, 2010年;2. 丘维声编，《抽象代数基础》，高等教育出版社，2003年；3. 聂灵沼，丁石孙编，《代数学引论》，高等教育出版社，2000年。
二、课程设置的目的意义《抽象代数》是数学专业的专业选修课之一，它为现代数学、现代物理学、计算机科学、现代通信以及密码学等提供了语言、重要结论和研究方法。
该课程主要讲授群、环、域的基本理论和初步知识，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力、为后继课程学习奠定基础。
该课程的目的在于使学生初步掌握基本的抽象代数知识和抽象、严格的代数方法，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般等辨证关系。
锻炼学生认识问题和研究问题的能力，提高学生的数学素质。
三、课程的基本要求知识：掌握群的定义,群的同态,变换群,置换群,循环群,子群,子群的陪集,不变子群、商群等; 掌握环的定义, 整环, 子环, 环同态, 剩余类环, 理想, 唯一分解整环, 主理想环, 欧式环,多项式环与因子分解等; 掌握域的定义, 域扩张, 分裂域、有限域的结构等。
进一步融合高等代数和抽象代数课程的内容，使之成为一个有机整体。
能力：通过对抽象代数基础知识的学习和基本技巧的训练，培养学生的理解能力和抽象思维能力；重视理论和具体实例之间的相互联系，培养运用抽象代数的方法分析问题和解决问题的能力。
素质：使学生初步掌握抽象代数基础理论知识，提高数学素养，为进一步学习现代数学与计算机科学等奠定基础素质；同时启发学生的科学思维方式，培养从事代数学、密码与编码等相关方向研究的科研素质。
四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求无六、考核方式及成绩评定教学过程中采取课前导学、讲授、分析、随堂提问的方式进行，注重过程考核，考核方式包括：笔试、作业、随堂小测、课程考勤等。
抽象代数——精选推荐
抽象代数⼀、课程⽬的与教学基本要求本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上，进⼀步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。
要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。
对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。
⼆、课程内容第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。
1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建⽴抽象概念，掌握群同态定理及其应⽤；了解有限阿贝尔群的结构。
1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)3、⼦群(Subgroups)4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲）11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例⼦。
抽象代数第二章
阿贝尔
加罗华
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(2)Hamilton四元数的发现 (2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法， 长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发 现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i 现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进 a,b) c,d)=(a c,b± a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd) 行代数运算，二元数具有直观的几何意义； 行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一 一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。 一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论 产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索， 产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索， 力图寻求三元数的努力失败了。 力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家 W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数 W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四 年成功地发现了四元数。 元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算， 元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但 与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。 与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这 点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高 了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点， 了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点， 它是近世代数的另一个重要理论来源。 它是近世代数的另一个重要理论来源。
3、Abstract Algebra(抽象代数 文字版)-36页
8
CHAPTER 1. 代数
置换中剩下的内容，包括置换的共轭，置换的型，置换群的性质，交错群的不可解性等，你 在抽象代数的课程中都会学到，本文旨在为对代数有兴趣的人开个头，因为我觉得过早的介绍 一些比较深入的知识不太好。关于置换的内容上面讲的东西已经完全够用了，这也算是代数的 一个开头，希望以上的讲解能对你理解代数起到一点帮助。
123 123
123
·
=
132 321
231
由于我们的变量写在右边，相乘的操作既是从左边的第一行开始，顺着表去找到最终的
像，如要计算 1 的像，我们就看第二个置换把 1 映到 3，第一个置换把 3 映到 2，故最终
我们在右边的 1 下面写 2，其他的也是类似的操作。
当 Sn 的元素个数增加时把置换全部写出显然不现实，我们知道 n 元置换应有 n! 个。但 关键的是这种记号并不能满足我们的需要（记号读起来并不方便，而且并不能直白的反
Theorem 1.1.1
设 A = {a1, a2, · · · , an} 是置换 σ 的一个轨道，则 σ 在 A 上的作用可以用一个轮换来表示： σ|A = (a1a2 · · · an)
其中集合 {a1, a2, · · · , an} = {a1, a2, · · · , an}。
我们先证明一个引理：
Definition 1.1.4
我们先来定义一个置换的轨道。我们可以看到一个置换在作用的过程中有可能保持某一
个点不动，也有可能让几个点之间一直循环，来看一个例子：
123456
σ=
231465
这个置换保持元素 4 不动，并且通过不断作用 σ, 我们只会让 {1, 2, 3}, {5, 6} 这两个子集
如何在教学中让学生觉得《抽象代数》不再“抽象”
［ 金项 目］中国民航大学理学科研基金 （ｏ Ｏ ｙ ０ ） 基 ２ ｌ ｋ ｓ６ ；中国民航大学教育教学研究课题 （ １０ ５ ７ ０４０２）
１ ０
大 学 数 学
第 ２ ７卷
３ 一 些 概 念 的讲 法
３ １ 关 系及 等价 关 系的 定义 ． 刘绍 学著 的《 近世 代数 基 础 》 一书 中对 “ 系” 关 的定 义是 这样 给 出 的．
设 Ａ 是 一个 集 合 ， 是 一个 只有 两 个元 素 的集 合 ， Ｄ一｛ ， ） Ｄ 设 对 错 ． 定 义 ３ １ １ 一个 Ａ×Ａ 到 Ｄ 的映射 Ｒ 叫做 Ａ 的元 素 间 的一个 关 系 ， ． ． 若 Ｒ（ ，） ｎ ６ 一对 ， 说 ａ与 ｂ符 合关 系 Ｒ， 则 记成 ａ ， Ｒｂ 若 Ｒ（ ，） ａ ６ 一错 ， 则说 ａ与 ｂ不 符合 关 系 Ｒ． 可先 从 现实 生活 中举 一个 容 易理 解 的例 子 ， 后 再举 和理论 有 关 的例 子 就 不觉 得 “ 象” 例 如 ， 之 抽 了． 设 Ａ 为 中国 民航 大 学理 学 院信 息与 计算 科学 专 业 的全体 同学 的集 合 ， 规定 ａ ｂ＝ Ｒ Ｃ ａ与 ｂ来 自一 个省 ， ＊ 则 从 该 专业 中任 意抽 出两 个 同学 ， 们 如果来 自一个 省 ， 他 则他 们俩 就 有这 种关 系 ， 如果 不是 来 自一个 省 ， 则
第 ２ ７卷 第 ２期
２１ ０ １年 ４月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ Ａ ＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７， ． Ｉ２ № ２
Ａｐ ．２ １ ｒ ０１
如 何 在 教 学 中让 学 生 觉 得 《 象 代 数 》 再 “ 象 ＂ 抽 不 抽
西南财经大学纳高代大纲
光华园/光华园学习网/study09/经济管理类线性代数教学大纲一、课程基本情况课程名称经济管理类线性代数学分4授课对象普通经济管理类各专业讲课学时60学时教材杜之韩，刘丽，吴曦，《线性代数》（第三版），西南财经大学出版社。
教学参考书[1] 同济大学数学系，《线性代数》，高等教育出版社。
[2] 赵树塬：《线性代数》，中国人民大学出版社。
[3] 陈殿友，术洪亮，《线性代数》，清华大学出版社[4] 陆全，徐仲，《线性代数导教、导学、导考》，西北工业大学出版社。
二、课程性质、教学目的及任务经济管理类线性代数是普通经济管理类专业本科生的最主要的专业基础课程。
随着现代科学技术，尤其是计算机科学的发展，经济管理类线性代数这门课程的作用与地位显得格外重要。
通过教学，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生正确运用代数知识来解决经济管理中的一些实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。
三、课程基本要求掌握经济管理类线性代数的基础理论与基本方法，包括行列式、矩阵的运算与初等变换、矩阵的秩、向量空间、向量组的极大线性无关组与向量组的秩、线性方程组、线性空间、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、二次型。
了解代数知识在经济管理中的应用：投入产出数学模型、线性规划数学模型、商品空间、有限维未定权益空间、完全市场与不完全市场、层次分析与综合评判数学模型等。
四、课程教学主要内容第一章行列式【内容提要】§1.1 行列式定义排列， n级排列，逆序与逆序数，奇、偶排列，对换的定义与对换的性质，行列式定义。
§1.2 行列式的性质§1.3 行列式按行（列）展开定理元素的余子式与代数余子式，行列式按一行（列）展开定理。
行列式的K阶子式及其余子式、代数余子式，拉普拉斯（Laplace）展开定理。
§1.4 克莱姆法则【要求与说明】1．了解排列、对换等概念2．掌握n阶行列式的定义、性质与行列式按一行（列）展开定理。
抽象代数教学大纲 (2)
(Abstract Algebra)
课程代码
218.009.1
编写时间
2006年
课程名称
抽象代数
英文名称
Abstract Algebra
学分数
3
周学时
4
任课教师*
杨劲根、姚慕生、
朱胜林、吴泉水
开课院系**
数学学院
预修课程
高等代数，数学分析
课程性质：
本课程是综合性大学数学系各专业本科生基础课程。
七、Galois理论初步（6学时）
基本定理3学时
可解扩张和高次方程3学时
作业和考核方式：
作业：每堂课后布置习题，每周收作业一次。
考试：以期末考试为主，也可安排期中考试或小测验。
*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。
作者
教材名称
出版社
出版年月
教材
杨劲根
近世代数讲义
自编
参考资料
姚慕生
抽象代数学
复旦出版社
2003.12
冯克勤、李尚志、查建国、章璞
近世代数引论
中国科技大学出版社
2002.3
Michael Artin
Algebra
Prentice Hall
1991
教学内容安排：
一、群的基本知识（16学时）
定义和例子2学时
5）群的内容不宜繁多，可考虑只包含Sylow定理，有限生成的Abel群的结构定理和合成群列的Jordan-Holder定理；
6）有限域的几条主要定理；
7）圆规直尺作图的不可能性和所需的关于域扩张的基础知识；
《抽象代数》教学大纲
《抽象代数》教学大纲一、课程基本信息课程编码：061112B中文名称：抽象代数英文名称：AbstractA1gebra课程类别：专业基础课程总学时：48（理论40,实践8）总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：高等代数二、课程的性质、目标和任务抽象代数（或近世代数）是数学与应用数学专业学生的一门专业课，是高等代数的继续和提高，本课程主要研究各种代数系统一-群、环、域等的结构。
通过本课程的学习，使学生获得一定的抽象代数基础知识，受到代数方法的初步训练，提高辩证思维和逻辑推理能力，并为进一步学习专业知识打下基础。
三、课程教学基本要求1、授课：以课堂讲授为主，采取板书配以多媒体的方式。
2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。
3、作业：每次课后配以一定量的书面作业，按学院统一要求每周批改一次。
4、辅导：每周进行答疑辅导。
四、课程教学内容及要求第一章基本概念（6学时）【教学目标与要求】1、理解代数运算，同态与同构等概念。
2、掌握等价关系，集合的分类等概念。
【教学重点与难点】1、教学重点：代数运算、同态与同构。
2、教学难点：等价关系与集合分类的内在联系。
【教学内容】1.1集合1.2映射与变换1.3代数运算14运算律1.5同态与同构1.6等价关系与集合的分类第二章群（16学时）【教学目标与要求】1、掌握群和半群的定义，熟知群和半群的一些典型实例；理解元素阶的定义和性质。
2、理解并掌握循环群的概念和表示。
3、了解变换群，理解置换群。
4、理解陪集、指数的概念和Iagrange定理。
【教学重点与难点】1、教学重点：群的概念，子群、循环群、置换群、陪集的概念和基本性质。
2、教学难点：变换群。
【教学内容】2.1群的定义和初步性质2.2群中元素的阶2.3子群2.4循环群2.5变换群2.6置换群3.7陪集、指数和1agrange定理第三章正规子群和群的同态与同构（14学时）【教学目标与要求】1、掌握正规子群和商群的定义和性质。
让“抽象代数”生动起来——多举例子,善用例子
统就是带有运算 的集 合 ， 群、 环、 域 就 是 三 种 带 有 运 算 的 集 合， 它 们 是 把 集 合 中 运 算 共 同 点 抽 象 出来 做 成 不 同 的 代 数 体系 ， 从 这点上 看 ， “ 近世 代数 ” 是 研 究 本 质 规 律 的 一 门 学
科． “ 近世代数 ” 又名 “ 抽象 代数 ” ， 以 其 抽 象 性 让 学 生 望 而 生畏． 近 年来 ， 国 内众 多 学 者 和 教 育 工 作 者 在 该 学 科 教 学 方 面 的 研 究 在 不 断 探 索 和完 善 中． 当代 数 学 家 冯 克 勤 这 样 说 ：
生 自己 判 断 ， 这样反复判断 中 ， 学 生 在 自然 记 忆 群 的 定 义 的
个 寝 室 的并 集 ， 而这些寝室之间没有交集．
生对概念 、 理 论 有 比较 直 观 而 又 清 晰 的认 识 和 理 解 ． １ ． 多 举 例 子
另外 ， 集 合 的一 种 等 价 关 系 会 做 出 一 种 集 合 的分 类 ， 一 种 集 合 的分 类 方 法 会 决 定 一 个 等 价 关 系 ， 在 实际教学 中 ， 学
生会觉得这个 结论似 懂非 懂 ， 用 刚 才 的 例 子 也 能 轻 松 解 决 这 个问题 ， 只 需 要 把 关 系 定 义 为 Ａ与 曰 有 关 系 当 且 仅 当住
让 学 生变 抽 象 为具 体 的 技 巧． 主要 途 径 有 多 举 例 子 ， 举 身 边 的例 子 ， 举 学科前沿 的例 子， 用 例子 解释 定义 和定 理 ， 把 定
设 Ａ是 绵 阳 师 范 学 院 毕 业 的所 有 大 学 生 组 成 的集 合 ， Ｂ
是 学 校 设 立 过 的所 有 专 业 的集 合 ， 其 中对 应 法 则 是 ： Ａ 中元
《抽象代数》课程思政教学大纲
《抽象代数》课程思政教学大纲一、课程信息课程名称：抽象代数Abstract Algebra课程代码：06S1114B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：64学时课程学分：4学分修读学期：第5学期先修课程：高等代数1、高等代数2二、课程目标抽象代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。
它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。
它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系。
抽象代数主要讲授群、环、域的基本概念、基本理论、基本性质等。
群方面介绍变换群、置换群、循环群、正规子群、商群、群同态、n元交错群等；环方面介绍模n剩余类环、多项式环、理想、商环、同态及同构等。
域方面介绍域的基本定理、基本性质。
先修课程为高等代数等课程。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.深刻理解群(半群、子群)、环(子环、理想)、域等基本概念；熟练掌握一些群(循环群、置换群、变换群、一般线性群等)，环(整环、除环、模n剩余类环、多项式环等)，域(有理分式域等)的概念以及相关概念(运算与运算律、等价关系与集合的分类、群的同态与同构、环的同态与同构、正规子群与商群、理想与商环、环的特征、单位群等)。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】2.准确计算群、环、域中零元及单位元、元素的逆、元素的阶，环中的可逆元和零因子；正确写出子群的陪集，商群、商环中的元素表达式；精确确定循环群的生成元及子群、模n剩余类环的子环和理想、代数元的极小多项式等。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】3.熟练应用群的同构对阶数较小的群进行同构分类；熟练应用群(环、域)的有关结果(凯莱定理、同态基本定理、同构定理等)证明群(环、域)中的有关结论。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】4.了解抽象代数发展的历史脉络以及它与一些著名的初等代数、古典数论等问题之间的联系，熟练掌握抽象代数独特的处理问题的思想方法，能够把这种思想方法运用到中学数学教学之中；具备团队合作精神和一定的创新能力。
抽象代数-01百科集锦
近世代数近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
1理论构成抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。
抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。
经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。
而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。
泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。
抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。
后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。
他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。
“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。
直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。
1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。
1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。
20世纪初给出了群的抽象公理系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。
例如，找出给定阶的有限群的全体。
抽象代数
第一章古典代数以研究代数方程求解为中心，其历史源远流长。
19世纪初，年轻数学家伽罗华（Galois）应用群的概念对高次代数方程是否可用根式求解问题进行了透彻研究并给出了明确回答，他成为抽象代数新思想的启蒙者。
随后，这种把代数变成集合论的、公理化的科学的改造不断强化，产生了很多新的方法、新的观点、新的结果。
到了20世纪20年代，数学最古老的分支之一的代数学完成了一次根本性的革命，完成了初等代数到近世代数的“飞跃”，即从研究数的运算到研究抽象代数系统的结构之“飞跃”。
他的标志是范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版。
时至今日抽象代数已经成为很多数学分支中最常用的工具，空前普及。
以至近年来，人们不再把这门学问冠以“近世”“抽象”等高贵头衔，而朴素地称它为“一般代数学”“基础代数学”甚至“代数学”。
本书仍称为《抽象代数》只是想把它与仅仅讨论以数为对象的那种经典代数加以区别。
抽象代数是数学中最适合于自学的学科之一，本课程只假定读者学过中学代数并知道一点矩阵运算规则，此外不要求任何高等数学内容作为准备知识。
学好本课程的关键在于对“公理化方法”实质和一些重要抽象概念的理解。
切忌把抽象代数单纯作为“知识”来学，平均使用力量，每个定义都能背下来，但没有一个能“悟出真谛”。
学习抽象代数的一个重要目的就是要提高“抽象思维”能力。
本书共7章，本人将着重介绍二、三、四、五、六章，第一张过于基础，都是些普通的概念，第七章的内容已在《Galois Theory》中详细介绍。
大致内容包括：群，环，域，三个方面，三、四章主要介绍群的定义，及几类特殊群；第四章介绍了群同态——仅仅是保运算的一种n对1的对应关系，n取决于ker中元素个数。
同样第四章完成的是环的这方面的介绍。
第五章主要是对域的一些定义性的介绍，以及如何构造域，当然也对多项式环做了一点介绍，主要是为第六章研究多项式分解做一点铺垫。
学完抽象代数印象最深的就是代数系统的定义方式，仅仅是满足几条公理的体系，以至于学拓扑感觉很代数，很亲切！再一个就是同态的那种对应关系，看似复杂的定理形式实际的内涵确实如此的简单，明了！第一章集合映射和关系这一章是抽象代数的基础，也差不多是所有现代数学分支的基础。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案一、引言1.1 课程背景抽象代数是数学的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。
抽象代数基础课程旨在帮助学生掌握代数基本概念、理论和方法，为后续高级代数课程打下坚实基础。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：理解并运用代数基本概念，如群、环、域等；熟练掌握代数运算和结构性质；运用抽象代数的方法解决实际问题。
二、基本概念2.1 集合与映射集合的基本运算映射的定义和性质2.2 群与环群的定义和性质环的定义和性质2.3 域与域扩张域的定义和性质域扩张的定义和性质三、代数运算3.1 群的运算群的乘法运算群的单位元和逆元3.2 环的运算环的加法运算环的乘法运算3.3 域的运算域的加法运算域的乘法运算四、代数结构4.1 群的结构群的子群和同态群的直积和半直积4.2 环的结构环的子环和同态环的理想和商环4.3 域的结构域的子域和同态域的分裂和扩张五、应用实例5.1 线性代数的应用线性方程组的解矩阵的运算和性质5.2 数理逻辑的应用命题逻辑和谓词逻辑代数逻辑和自动机理论5.3 编码理论的应用线性码和非线性码编码译码算法和性能分析六、线性代数基础6.1 向量空间向量的定义和性质向量空间的基本概念6.2 线性映射线性映射的定义和性质线性映射的图像和核6.3 矩阵矩阵的定义和运算矩阵的行列式和特征值七、群论深入7.1 群的作用群的群作用和群代表群的分类和计数7.2 群表示论群表示的基本概念群表示的构造和性质7.3 群扩张和分类群扩张的性质和分类群的饱和性和分类定理八、环与域的高级主题8.1 非交换环和域非交换环和域的性质非交换环和域的分类8.2 域的扩张和伽罗瓦理论域扩张的伽罗瓦理论伽罗瓦扩张和伽罗瓦群8.3 环和域的代数几何环和域的代数几何基础环和域的代数曲线和曲面九、抽象代数在计算机科学中的应用9.1 密码学密码体制和加密算法公钥密码学和椭圆曲线密码学9.2 计算复杂性计算复杂性的基本概念算法的复杂性和时间复杂度9.3 程序正确性验证程序正确性验证的方法代数方法在程序验证中的应用10.1 抽象代数的主要成就抽象代数的历史和发展抽象代数的重要成就和贡献10.2 抽象代数的未来趋势抽象代数的研究热点抽象代数在数学和应用领域的未来趋势拓展阅读和学习资源推荐重点和难点解析一、集合与映射集合的基本运算：理解集合的并、交、补集等基本运算至关重要。
探讨抽象代数中“群的定义”的教学过程
探讨抽象代数中“群的定义”的教学过程作者：王新甜来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第06期【摘要】本文根据笔者在抽象代数课程中的教学体会，对群的定义这一节的教学方法进行一些探讨，尝试从学生熟悉的群的例子出发，引导学生归纳总结出群的定义，再列举一些简单常见的例子让学生进行验证以加深理解，最后再进一步扩充实例揭示概念的本质。
【关键词】抽象代数;群的定义;数学教学【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）34-0014-021 引言抽象代数又名近世代数，是研究群、环、域等代数系统的学科。
抽象代数是大学数学专业的一门专业必修课，也是代数数论、代数拓扑等课程的一门基础课程。
另外，抽象代数在现代物理学、现代化学、编码密码学和通信领域有着重要的应用[1]。
该课程一方面由于概念多、理论性强、内容抽象，所以学生往往感到抽象难懂;另一方面，教师在教学中也存在直接用“定义、定理、证明”的模式进行教学，影响了教学效果。
近年来，国内众多学者和教育工作者都对这门课的教学提出了自己的设想[2]。
群是Galois在解决五次或五次以上一般方程的根式解的问题时引入的[3]。
群在抽象代数中具有重要地位，许多代數结构，如环和域都可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理得到的，并且群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。
因此，对群的概念的学习和理解是非常重要的。
本文根据笔者在抽象代数课程中的教学体会，对群的定义这一节的教学过程提出一些见解。
2 “群的定义”教学过程群的概念相对高等代数课程中的内容，要抽象得多。
学生在第一次学习时一般难以接受和理解这样抽象、公理化的定义[4]。
因此，笔者尝试从学生熟悉的群的例子出发，引导学生归纳总结出群的定义，再例举一些简单常见的例子让学生进行验证以加深理解，最后再进一步扩充实例揭示概念的本质。
笔者首先从熟悉的整数集出发，引导学生归纳总结出整数集关于加法运算有下面三个性质，这三个性质分别对应群的定义中的三个条件。
abstract algebra的中文译本
一、介绍随着数学领域的不断发展，抽象代数（abstract algebra）作为数学中的一个重要分支，在近代数学研究中占据着重要的地位。
随着抽象代数在数学教育中的普及，对于其在世界范围内的研究和发展逐渐引起了人们的关注。
在很多国家和地区，抽象代数已成为数学专业的重要课程，并且得到了广泛的应用。
然而，由于抽象代数概念和理论的特殊性，其中文翻译问题也日益受到关注。
如何准确、恰当地将抽象代数的概念翻译成中文，是当前亟待解决的问题。
本文旨在梳理抽象代数的相关知识，并探讨其中文译本的翻译问题，以期对中文读者更好地理解和掌握抽象代数的相关概念和理论。
二、抽象代数概述抽象代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数系统及其结构性质。
抽象代数着眼于研究代数结构中的一般性质，其研究范围包括代数系统的代数结构、裙论、环论、域论等内容。
抽象代数的理论体系在数学和其他学科中有着广泛的应用，如在密码学、编码理论、代数拓扑、代数几何等领域均有重要应用。
三、抽象代数的基本概念抽象代数的基本概念包括裙、环、域等。
其中，裙是抽象代数中的一个基本概念，它是一个集合，配备有一种特定的代数结构，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
环是另一个基本概念，它是一个集合，配备有两种二元运算，并满足加法和乘法的封闭性、结合律、分配律等性质。
域是环的一种特殊情况，它是一个具有两种运算，并满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律以及可逆性等性质。
四、抽象代数的中文译本问题抽象代数的中文译本问题一直备受关注。
由于抽象代数的理论体系较为复杂，其中的许多概念在中文语境下并无直接对应词汇。
在翻译抽象代数相关的文献时，必须准确、恰当地选择合适的词汇，以确保相关概念得到准确传达。
五、抽象代数相关概念的中文翻译问题1. 裙（group）的中文翻译问题裙是抽象代数中的一个基本概念，它的中文翻译一直备受争议。
在我国大陆地区，裙通常被翻译为“裙”，而在台湾地区则有一些学者将其翻译为“裙体”。
抽象代数-教师教学发展中心-西南财经大学
网页：202.113.29.5/cxds/
“数学文化”
网页：202.113.29.5/sxwh/
“大学文科数学”
网页：202.113.29.5/artsmath/
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主讲并参与的一门课程被评为 “国家精品课程”
• 《高等代数》
网页：/jpkc/gdds/
目。经各地推荐，专家评审，现确定北京大学的“基础数学教学团队”等100个教学团队为2007年国家级教学团队(名单见附件)。现
就项目建设有关事项通知如下： 一、各地、各高等学校要按照《教育部关于进一步深化本科教学改革 全面提高教学质量的若
干意见》（教高〔2007〕2号）和《教育部关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》（教高〔2006〕16号）的要求，做
好教学团队的建设工作。通过国家级教学团队的建设，改革教学内容和方法，开发教学资源，促进教学研讨和经验交流，推进教
学工作的传、帮、带和老中青相结合，提高中青年教师的教学水平；探索教学团队在组织架构、运行机制、监督约束机制等方面
的运行模式，为兄弟院校培训教师提供可推广、借鉴的示范性经验。鼓励高校和地方教育行政部门建设校级、省级教学团队。
各省、自治区、直辖市教育厅（教委），新疆生产建设兵团教育局；有关高等学校：
根据《教育部 财政部关于实施高等学校本科教学质量与教学改革工程的意见》（教高〔2007〕1号）精神，为提高我国高等学
校教师素质和教学能力，确保高等教育教学质量的不断提高，在高等学校本科教学质量与教学改革工程中设立了教学团队建设项
“有无限个房间”的旅馆
2) 客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人 1 2 3 4 --- K ---
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1．把教学当作一门艺术，就要 拥有渊博的知识，真正吃透并讲出 课程的精髓。
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“一桶水和一杯水” “一眼泉”
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深刻地讲出一节课、一门课的精髓
（“大道至简” “要言不烦” ）
• 高等代数： 熟悉线性空间与线性变换 • 抽象代数：掌握建立、研究和应用代数体系的方法 • 数学文化： 理解数学的思想、精神，提高数学素养 • 大学文科数学： 学会必要的数学知识，懂得数学方
好教学团队的建设工作。通过国家级教学团队的建设，改革教学内容和方法，开发教学资源，促进教学研讨和经验交流，推进教
学工作的传、帮、带和老中青相结合，提高中青年教师的教学水平；探索教学团队在组织架构、运行机制、监督约束机制等方面
的运行模式，为兄弟院校培训教师提供可推广、借鉴的示范性经验。鼓励高校和地方教育行政部门建设校级、省级教学团队。
南开大学
顾沛
2012年3月9日
西南财经大学
近年来中央对高校提高教学质量的重视 教育部提高本科教学质量的文件 教育改革的话题 近年来“教学改革”越来越受到关注
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教学改革的重要性
改到深处是教学 改到真处是教学 改到难处是教学 改到痛处是教学
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温总理近年多次深刻地谈到教学
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作为带头人的一个教学团队被评为 首批“国家级教学团队”
• 南开大学 “科学素质教育系列公共课教学团队”
（包括“数学文化”、“天文学概论”等13门校公共课）
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教育部 财政部关于立项建设 2007年国家级教学团队的通知
教育部 财政部关于立项建设2007年国家级教学团队的通知
教高函[2007]23号
为了学生的一切
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一、搞好教学的三个层次
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第一: 把教学仅当作一种职业，在 自己的岗位上勤勤恳恳，任 劳任怨，认真备课、上课、 批改作业、答疑辅导。
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第二: 把教学也当作一项事业，全身 心投入，孜孜以求，探索规律， 努力奉献，追求成功。
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第三: 把教学还当作一门艺术，贯通 古今，博采众长，精心设计，不 断创新，在课堂的舞台上信手拈 来，左右逢源，寓教于理，寓教 于情，寓教于乐，让学生在欣赏 和享受中吸取广泛的营养。
队提出的“今后建设计划”进行论证，编制今后三年的建设任务书（任务书模板可在国家级教学团队主页上下载）。任务书一式两
份，其中一份留学校教务处以备督促检查，另一份于2008年1月31日前寄到教育部高等教育司教学条件处，作为项目检查验收的
依据。同时向教学条件处邮箱（gaojs_jxtj@）提交任务书的电子版，该任务书将发布在国家级教学团队主页上供各教
二、 中央财政将安排专项资金，资助国家级教学团队在学校先行建设的基础上，进一步开展教学研究、编撰出版教材、培养
中青年教师、接受教师进修等工作。各国家级教学团队应按照教育部、财政部的《高等学校本科教学质量与教学改革工程专项资
金管理暂行办法》（教财[2007]376号），合理安排项目经费，专款专用。 三、 请各有关高等学校组织专家对国家级教学团
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2．把教学当作一门艺术，就要 研究教学规律，应用教学规律，不 断提高教学效果。
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• 仅仅埋头教书，与边教学边钻研教学规律， 效果会很不一样，时间越长就越能看出差别 来。
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一个教师，如果既把教学当作职业 去恪守，又把教学当作事业去热爱，还 把教学当作艺术去追求，那么，境界高 了，教学效果也一定会更好。
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二、如何把教学当作一门艺术
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用自己讲授的课程举例
• 高等代数 • 抽象代数 • 数学文化 • 大学文科数学
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更多地以“数学文化”课举例
“抽象代数”
网页：202.113.29.5/cxds/
“数学文化”
网页：202.113.29.5/sxwh/
“大学文科数学”
网页：202.113.29.5/artsmath/
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主讲并参与的一门课程被评为 “国家精品课程”
• 《高等代数》
网页：/jpkc/gdds/
• 反对“灌输式”，提倡“启发式” • 一直信奉这样一句话：“教是为了不教”
（学是为了会学）
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谈谈教师，谈谈教学，谈谈教学艺术
• 我和我的同事们，这些年在本科教学方面 做了一些工作，取得了一些成绩。
• 下面是有关的几个奖状
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主讲并主持的三门课程先后被评为 “国家精品课程”
式的理性思维。
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重点讲透，难点讲通，关键讲清
——对于一堂课而言，这是“讲出课 程精髓”的另一种表述。
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吃透教材,把握课程的精髓
了解教材 理解教材 掌握教材 熟悉教材 吃透教材
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围绕“精髓”讲课，学生才能掌握本质
一节课
一门课
备课、上课， 都时时不忘“精髓”。
学团队学习交流。
附件：2007年国家级教学团队名单
教育部 财政部 二OO七年十二月十七日
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“数学文化”课程 组
2007年 全国五一劳动奖状
17/1开课”上线 （教育部门户网站 首页）
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报告提纲
一、搞好教学的三个层次 二、如何把教学当作一门艺术 三、一切为了学生，为了一切学生，
各省、自治区、直辖市教育厅（教委），新疆生产建设兵团教育局；有关高等学校：
根据《教育部 财政部关于实施高等学校本科教学质量与教学改革工程的意见》（教高〔2007〕1号）精神，为提高我国高等学
校教师素质和教学能力，确保高等教育教学质量的不断提高，在高等学校本科教学质量与教学改革工程中设立了教学团队建设项
目。经各地推荐，专家评审，现确定北京大学的“基础数学教学团队”等100个教学团队为2007年国家级教学团队(名单见附件)。现
就项目建设有关事项通知如下： 一、各地、各高等学校要按照《教育部关于进一步深化本科教学改革 全面提高教学质量的若
干意见》（教高〔2007〕2号）和《教育部关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》（教高〔2006〕16号）的要求，做