数学建模-淋雨模型教学文案
淋雨量数学模型-参考模板
论文题目：雨中行走淋雨量分析雨中行走淋雨量分析摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
利用MATLAB软件对各个问题进行了求解。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
人以最大速度奔跑1000m，用MATLAB求解可得淋雨量近似为0.00243m。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函v时，淋雨量最少。
并计算出当雨与人体的夹数关系。
分析表明当跑步速度为max角θ=0时，淋雨量近似为0.00123m；当θ=30°时，淋雨量近似为0.00163m。
针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s时淋雨量最少，α=30°时的总淋雨量近似为0.2405556E-033m。
针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。
针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。
分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、 问题重述生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
数学建模实验雨中漫步1学习
数学实验作业雨中漫步系部：数学系专业：s10数学教育学号：103103011013姓名: 张鹏飞实验目的:1.生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻,我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少2. 运用matlab软件实验内容: 给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型, 分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水而上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积, 可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的而积和淋雨时间的乘积。
1,设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
2,雨迎而吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶而积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。
分析表明当行走速度为％•、时，淋雨量最少。
3,雨从背而吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
实验准备：mat lab软件绘图，从网上查找各种资料旷一长方体的长单位：米b■—长方体的宽单位：米6-一长方体的厚度单位：米Q—-淋雨量单位：升卩-一人行走的速度单位：米每秒D路程单位：米/- 一降雨强度单位：厘米每小时P- 一雨滴的密度单位：“---雨滴下落的速度单位：米每秒0-一雨迎面吹来时与人体的夹角a与从后面吹来与人体的夹角实验步骤：在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
数学建模_淋雨模型
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v s i n u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v 875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ 由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
数学建模教案_初等模型
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是
pwDh (v r sin ) / v
淋雨总量为 C pwD[ dr cos h(v r sin )] / v
p m q N
p
N q
表示某单位的人数
表示总人数
表示总席位数
20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4 席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 分配方案 席位数 10
103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
90
4
0 .8 C 6.95 10 ( 1 . 5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。
假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 11 .3 10 4 m 3 1.13升
情形2
60
C 6.95 10 4 [1.5 (0.4 3 3) / v ]
一般地，
单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A
数学建模_淋雨模型
数学建模_淋雨模型
淋雨模型是一种经典的数学建模方法，它被广泛应用于城市防汛预警、水利工程设计
以及自然灾害预测等领域。
本文将介绍淋雨模型的原理、应用及其局限性。
1.原理
淋雨模型基于雨滴的落点和间隔时间服从泊松分布的假设，描述雨水的分布情况。
泊
松分布是一种用于描述事件随机分布的概率分布。
在淋雨模型中，每一滴雨都是一个事件，落在地面上所需的时间间隔服从泊松分布，且每个点落雨的概率是相等的。
2.应用
淋雨模型在城市防汛预警中的应用是比较典型的。
城市防汛工程需要根据历史降雨数
据和城市地形结合使用淋雨模型进行预测，以确定发生洪灾的可能性和预警级别，提高城
市的抗洪能力。
此外，淋雨模型还可以应用于水利工程的设计和规划中。
例如，对于大型水电站工程，需要根据周边降雨情况预测水位变化，选择合适的水位高度和水流量，以确保安全运行。
3.局限性
淋雨模型基于一些简化的假设，例如，假设雨点的大小、形状、速度和方向都是相同的，且雨滴的散布范围是均匀的。
这些假设在某些情况下可能是不合理的，导致模型的精
度有所降低。
此外，淋雨模型并不能准确地预测特殊的天气变化，如大风暴、暴雪等极端天气。
因此，在应用淋雨模型时需要注意其局限性，并将其结合其他的模型方法以提高预测精度。
总之，淋雨模型是一种简单、实用的数学模型，在城市防汛预警、水利工程设计和规
划等领域有着广泛的应用，但其局限性也需要被充分考虑。
在实际应用中，我们需要结合
具体的情况选择合适的模型，提高预测精度和决策效果。
数学建模淋雨问题论文正稿
淋雨问题论文摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人在雨中奔跑时淋雨的多少与奔跑速度、降雨的方向以及雨线的方向与跑步的方向是否在同一平面等因素的关系，得出结论：若雨迎面落下，则以最大速度跑完全程淋雨量最少；如果雨从背面吹来，分两种情况: (雨从背面吹来时与人体夹角为α)当tan 2/15α<时，跑得越快越好;当tan 2/15α>时，跑步速度，则以降雨速度的水平分量奔跑时淋雨量最少。
若雨线方向与跑步方向不在同一平面，则可将雨速方向分解为与人跑速度同向的速度和与人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型二、三的情况，垂直速度可看成模型一的情况。
关键词淋雨量，雨速大小与方向，跑步速度。
正文1.问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。
将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m （颈部以下），宽b=0.5m ，厚c=0.2m 。
设跑步距离d=1000m ，跑步最大速度5/m v m s =,雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面，且与人体的夹角为x ，如图1，建立总淋雨量与速度v 以及参数a 、b 、c 、d 、u 、w 、θ之间关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0θ=，30θ=时的总淋雨量（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，且与人体的夹角为α,如图2，建立总淋雨量与速度v 以及参数a 、d 、c 、d 、u 、w 、α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算30α=时的总淋雨量。
(4)以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）进行作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面，模型会有什么变化。
数学建模_淋雨模型
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
数学模型课程设计淋雨模型
攀枝花学院学生课程设计(论文) 题目:淋雨问题姓名:杨腾佼学号: 2所在院(系):数学与计算机学院专业:信息与计算科学指导教师:马亮亮2014年12 月19 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书注:任务书由指导教师填写。
课程设计(论文)指导教师成绩评定表摘要本文在给定得降雨条件下,分别建立相应得数学模型,分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素得关系。
其中本文中所涉及到得降雨量就是指从天空中降落到地面上得雨水,未经蒸发。
渗透、流失而在水面上集聚得水层深度,它可以直观地表示降雨量得多少。
淋雨量,就是指人在雨中行走时全身所接收到得雨得体积,它可以表示为单位时间单位面积上淋雨得多少与接收雨得面积与淋雨时间得乘积本模型就是研究人得淋雨量与人在雨中奔跑得速度得关系。
由于人在雨中行走得过程比较复杂,难于研究,于就是我们只能将人体简化为一个长方体建立模型,便于我们后续进行讨论,然后建立模型,最终得到结果。
本题中采用了优化模型,通过将人分为几个平面,分别求得各个平面所接受得淋雨量,然后求其加与得方法求解。
在问题(1)中:因为已经假设降雨淋遍全身,且人以最大得速度跑步。
所以根据已知条件,直接列出方程进行求解。
在问题(2)中:我们利用最优化原理,建立出一个动态规划模型。
雨迎面吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面,人淋雨面积为前方与头顶面积之与。
因各个方向上降雨速度分量不同,故分别计算头顶与前方得淋雨量后相加即为总得淋雨量。
关键词:淋雨量优化模型动态规划模型目录摘要 (1)一、问题得重述 (1)二、问题分析 (2)三、模型假设 (4)四、符号说明 (5)五、模型得建立 (6)六、结果分析 (9)七、模型得评价 (10)参考文献 (11)一、问题得重述生活中得我们经常会遇到下雨而没有带雨具得时刻,我们在那时会有很多选择,其中之一就就是淋雨,往往好多人会在雨中快走或奔跑而减少多少,反而有时候淋雨量倒有所增加,淋雨量与速度等有关参数得关系如何,就是否人走得越快雨淋得越少,让我们假设一数学模型模拟计算真实情况在人行进在雨中时,淋雨量与人行进速度之间就是怎样得关系。
数学建模淋雨模型
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ωm：=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ.，且0°<θ<90°，建立a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θu⋅且方向与v相反，sin故人相对于雨的水平速度为：()v⋅θsinu+则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v s i n u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /c o s b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
数学建模-淋雨模型
建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：201105024211人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函v时，淋雨量最少。
数关系。
分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。
1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。
数学建模-淋雨模型
建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：1人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的v时，淋雨量最少。
函数关系。
分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。
1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。
数学建模淋雨量模型完整版
数学建模淋雨量模型 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】重庆大学本科学生论文数学模型的淋雨量模型学生：谭昕宇、杨龙顺学号：指导教师：黄光辉专业：通信工程专业重庆大学通信工程学院二O一七年十月摘要本文针对淋雨量最小问题，采用matlab仿真等方法，得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。
针对问题一，可以得到淋雨量最小是针对问题二，通过matlab仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大，淋雨量最小。
且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。
针对问题三，通过matlab仿真可以知道背面淋雨时，跑步方向和雨线夹角不太小时，当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小，此时只有顶面淋雨。
在本文的最后，对模型的优缺点进行分析，并提出一些改进。
关键字：淋雨量最小，跑步速度，雨线与跑步方向夹角， matlab目录一、问题描述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。
讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。
二、问题分析这是一个简单优化问题，根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析，使得人淋雨量最小。
淋雨面积与雨的方向有关，淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关，所以在不同情况下有不同的最优解。
三、模型假设1.人体简化成一个长方体，高a=(颈部以下)，宽b=,厚c=；2.雨速u是常数(4m/s)，在跑步过程中降雨量w是常数(2cm/h)；3.在整个过程中人跑步速度v是常数，且有最大速度Vmax=5m/s;4.雨线的方向是确定的;5.跑步距离一定d=1000m.根据题意，按以下步骤进行讨论：不考虑雨的方向，设雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
淋雨面积s=2ab+2ac+ab=,跑完时间t=d/v=200 s,降雨量w=2cm/h=1/s,淋雨量 Q=swt= m3。
雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算θ=0，θ=30。
数学模型课程设计淋雨模型
. . . . .攀枝花学院学生课程设计（论文）题目：淋雨问题：杨腾佼学号： 5所在院(系)：数学与计算机学院专业：信息与计算科学指导教师：马亮亮2014年12 月19 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书注：任务书由指导教师填写。
课程设计（论文）指导教师成绩评定表摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中本文中所涉及到的降雨量是指从天空中降落到地面上的雨水，未经蒸发。
渗透、流失而在水面上集聚的水层深度，它可以直观地表示降雨量的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积，它可以表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积本模型是研究人的淋雨量与人在雨中奔跑的速度的关系。
由于人在雨中行走的过程比较复杂，难于研究，于是我们只能将人体简化为一个长方体建立模型，便于我们后续进行讨论，然后建立模型，最终得到结果。
本题中采用了优化模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。
在问题（1）中：因为已经假设降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。
所以根据已知条件，直接列出方程进行求解。
在问题（2）中：我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。
雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
关键词：淋雨量优化模型动态规划模型目录摘要 (1)一、问题的重述 (1)二、问题分析 (2)三、模型假设 (4)四、符号说明 (5)五、模型的建立 (6)六、结果分析 (9)七、模型的评价 (10)参考文献 (11)一、问题的重述生活中的我们经常会遇到下雨而没有带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走的越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况在人行进在雨中时，淋雨量和人行进速度之间是怎样的关系。
淋雨模型
淋雨模型内容摘要通过建立数学模型,对一些现实生活中习以为常的问题进行了定量分析,往往可以使我们更好地把握事物的规律和本质.人们通常认为在雨中的行走速度越快淋的雨就会越少,然而本文利用函数的单调性和极限所建立的淋雨模型讨论行走速度快慢对淋雨量的影响后发现,在不同的情形中,行走速度与淋雨量之间并不都是单调递减的关系,有时也可能是单调递增的关系.本模型建立了在雨中奔跑时淋雨最少与奔跑速度，雨量，降雨方向，路程远近，人的体型的关系，从而得出在雨中如何奔跑才会淋雨最少的方法。
关键词：淋雨量，降雨的速度，雨的密度，降雨的方向，路程的远近，奔跑的速度，人的体型AbstractBy establishing the mathematical model, used to some real life problems has carried on the quantitative analysis, often can make us better grasp the rule and the essence of things. The faster the people generally think of walking in the rain drench the rain less, however, in this paper, the monotonicity of functions and limits established in the rain walking model discussed speed affects the quantity of the rain, in different situation, get wet in the rain walking speed and the quantity are not monotone decreasing relationship, sometimes can also be monotone increasing relation. The model established the least when running in the rain in the rain and the running speed, rainfall, rainfall direction, journey far and near, the person's body, and concluded how to run the least will get wet in the rain in the rain.Keywords:rain, rain speed, the density of the rain, the direction of the rain, walk, running speed, people's body目录1.问题重述-------------------------------------------------------------42.问题分析-------------------------------------------------------------43.模型假设-------------------------------------------------------------44.模型建立-------------------------------------------------------------45.模型求解-------------------------------------------------------------66.模型结果分析---------------------------------------------------------67.模型的改进-----------------------------------------------------------71.问题重述问题：要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。
淋雨量数学模型
论文题目：雨中止走淋雨量分解之阳早格格创做雨中止走淋雨量分解纲要本文正在给定的降雨条件下，分别修坐相映的数教模型，分解人体正在雨中疾驰时淋雨几与疾驰速度、降雨目标等果素的闭系.其华文中所波及到的降雨量是指从天空降降到大天上的雨火，已经挥收、渗透、流逝而正在火里上积散的火层深度，它不妨直瞅天表示降雨的几.淋雨量，是指人正在雨中止走时齐身所交支到得雨的体积，可表示为单位时间单位里积上淋雨的几与交支雨的里积战淋雨时间的乘积.利用MATLAB硬件对付各个问题举止了供解.针对付问题二，雨迎里吹去，雨线目标与跑步目标正在共一仄里，人淋雨里积为前圆战头顶里积之战.果各个目标上降雨速度分量分歧，故分别预计头顶战前圆的淋雨量后相加即为总的淋雨量.据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数闭系.少.并预计出当雨与人体的夹角θθ=30°针对付问题三，雨从反里吹去，雨线与跑步目标正在共一仄里内，人淋雨量与人战雨相对付速度有闭.列出函数闭系式分解并供解，可知当人速度α=30°针对付问题四，列出淋雨量W战跑步速度v之间的函数闭系式，利用MATLAB绘出α分别为0°，10°，….90°的直线图.针对付问题五，雨线与人跑步目标不正在共一仄里内，则思量人的淋雨里积为前后安排以及头顶.分别列式表示，总的淋雨量即为三者之战.闭键词汇淋雨量；降雨的大小；降雨的目标（风）；路途的近近；止走的速度；一、问题沉述死计中咱们时常会逢到下雨却不遮雨工具的时刻，咱们正在那时会有很多采用，其中之一便是淋雨，往往很多人会正在雨中快走或者疾驰以使自己身体淋雨量最小化，但是往往很多人会感觉到淋雨量本去不会果为快走或者疾驰而缩小几，反而偶尔间淋雨量倒有所减少，淋雨量战速度等有闭参数的闭系怎么样，让咱们假设一数教模型模拟预计真正在情况.当咱们正在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时间身体的动做的大小战表露正在雨中的里积大小做用着淋雨的几，而且止走速度也共样做用着淋雨量，将人体简化成一个少圆体，下a米，宽b米，薄c，跑步距离d=1000m m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2㎝/hν.1.当咱们不思量雨的目标时，假设降雨会淋遍齐身，那时如果咱们最大速度疾驰会淋几雨？2.雨从迎里吹去，雨线目标与跑步目标正在共一仄里内，且与人体的夹角为θ，修坐总淋雨量与速度ν及参数a b c d u ω θ之间的闭系.问速度ν多大，总淋雨量最少. 预计θ=0°，θ=30°时的总淋雨量.3.雨从反里吹去，设雨线目标与跑步目标正在共一仄里内，且与人体的夹角为α，修坐总淋雨量与速度ν及参数a b c d u w α之间的闭系.问速度ν多大，总淋雨量最少.预计α=30°时的总淋雨量.4.以总淋雨量为纵轴，速度ν为横轴对付第3问做图（思量α的做用），并阐明截止的本质意思.5.若雨线目标与跑步目标不正在共一仄里内，模型会有什么变更？二、问题分解2.1 问题一分解若不思量雨的目标，雨以降雨量w匀称天淋遍齐身.将人体简化收展圆体，供出人交受雨的总里积，人以最大速度跑步，并预计淋雨时间、单位时间、单位里积上的降雨量，供出人跑真足程的总淋雨量W.2.2 问题二分解雨迎里吹去，雨线目标与跑步目标正在共一仄里内且与人体夹角为θ，如图1所示.根据本质情况预计人体淋雨可分为头顶战前后安排几个目标上.雨迎里吹去时，由于雨相对付于人的速度有变更，果此人单位时间内交支雨量变更，且与相对付速度成正比.据此，推算出前后侧上单位时间交受雨量.共理，头顶部位交雨量与雨速笔直于头顶仄里的分速度成正比.分别预计出头顶侧与前后侧单位时间交雨量，并分别乘以各自里积以即时间d/t,即得到头顶及二侧淋雨的总量.W与v之间闭系，并能供出θ=0战θ=30°时的总淋雨量.图12.3 问题三分解雨从反里吹去，雨线与跑步目标正在共一仄里内且与人体夹角为α，如图2所示.安排目标上淋雨量为0.头顶上单位时间内交支雨的量1w与雨速笔直目标上的分量成正比，1W为头顶里积bc与时间的d/v以及1w之积.当sin<时，前圆不v uθ受雨，前后目标上单位时间内淋雨量2w与人前进目标上人相对付于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此推算出2W；而当<时，后圆不受雨，由于人速已经下于雨速，那时前v uθsin里会背前碰上雨滴，即2w 与sin v u θ-成正比.2W 为人体前里积ab 战跑步时间d/v 顶淋雨量以及2w 之积.由此可预计出总的淋雨量.据此可得W 与v 之间闭系，并能供出α=30°时的总淋雨量.图22.4 问题四分解以总淋雨量W 为纵轴、速度ν为横，针对付问题三的供解，利用MATLAB 做出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的直线图并加以分解.2.5 问题五分解图3 俯视图如图三，为人体模型的俯视图.需要分三部分预计，正csin ββbcos βab果为笔直于安排里人的分速度为0，安排二里ac仍按（2）、（3）问的算法干.公式.二、模型假设1.人正在疾驰历程中，ν大小与目标恒定，即沿直线匀速前进.2.对付问题1人体各个目标匀称交受雨量，即单位时间、单位里积上交受雨量恒定.3.对付问题2、3雨线与跑步目标正在共一仄里内，而且雨线与人体夹角稳定.正在此历程中安排二次果与雨速仄止而不沾雨.4.假设雨的稀度相共，雨滴大小、形状相共，雨速匀称稳定5.假设单位时间内交支雨的量与雨速成正比.6.将人体理念化为一个少、宽、下、已知的少圆体模型，且人体止走历程中的震荡引起的缺面可忽略不计.三、标记证明a人体下度 b人体宽度 c人体薄度 d跑步距离 u雨速 w降雨量 θ雨迎里吹去时与人体的夹角 β 俯视图中雨速与人速的夹角跑步最大速度W 总淋雨量头顶里积人前或者后表面积雨面相对付人头顶速度的笔直分量雨面相对付人前后里速度的笔直分量头顶单位时间交支雨量前后里单位时间交支雨量头顶交支雨量人体前后里交支雨量人体安排里交支雨量 五、模型修坐与供解不思量雨的目标，果为降雨量w 匀称天淋遍齐身，所以正在将人体简化收展圆体的情况下，忽略次要果素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位里积上的降雨量等有闭条件，列出总淋雨量W 的供解公式如下： 利用MATLAB 编程供解（睹附录一），可得：max v.列式供解如下：头顶：假设降雨量w与与面稀度（匀称不计）淋雨量与人相对付速度有闭，所以：正里：而利用MATLAB编程供解（睹附录二），可得：当v=5m/s时，淋雨量W最小；当θ=0°时，W当θ=30°时，W根据题意，根据题意，将降降正在人体上的雨滴分成散.头顶：正里：的前里人的后里用lingo 编程（睹附录三）供解可得：当v =2m/s 时，总淋雨量最少;雨线目标与人体夹角为30°图4根据问题三的论断，列出总的淋雨量W 战人速度v 之间的闭系式，利用MATLAB 绘出α与分歧值时的函数图像如下：分解图像可知，当v=2时，总淋雨量最少.应用（3）中的论断可归纳为共理，可得安排侧交支雨量三者相加得六、 模型评介通过对付本题的分解供解，可知讲人正在雨中疾驰的淋雨量不但是与跑步速度有闭，还与雨线与人跑步目标的夹角，雨速以及人跑步速度等果素有闭.本文忽略了降雨稀度不匀称，风背不宁静等次要果素，以便更佳的对付问题举止分解战钻研.但是正在本质问题中的节造性果素近近超出那些，果此此文的分解要领仍存留一定的限造性，有待矫正战普及.参照文件[1] 薛定宇，陈阳泉.下等应用数教问题的MATLAB供解.北京：浑华大教出版社，2008年10月.[2] 陈杰.MATLAB宝典.北京：电子工业出版社，2007年.附录附录1：问题一供解步调clear;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;Vm=5;W=(2*a*b+2*a*c+b*c)*w*d/VmW=附录2：问题二供解步调附录2.1：分解当v=vm时总淋雨量最小步调clear;syms t v;a=1.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u;h=diff(minss,'v') %导数h =-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2%h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2恒小于整，本函数为减函数附录2.2：当θ=0时总淋雨量步调clear;t=0;v=5;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u附录2.3：当θ=30°时总淋雨量clear;t=pi/6;v=5;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u minss =附录3：问题三中α=30°时总淋雨量步调一：min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(2-v)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v;v>=0;v<=2;运止截止Local optimal solution found at iteration: 8Variable Value Reduced CostRow Slack or Surplus Dual Price步调二：min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(v-2)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v;v>=2;v<=5;运止截止：Local optimal solution found at iteration: 8Variable Value Reduced CostRow Slack or Surplus Dual Price附录4：问题四的步调t=sin(t0);v1=0:0.1:t(1);v11=t(1):0.1:5;y1=(5.556e-4.*cos(t(1))+41.67e-4.*sin(t(1)))./v1-4.167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1))-41.67e-4.*sin(t(1)))./v11+4.167e-3/4;plot(v1,y1,'r');hold onplot(v11,y11,'r');xlabel('vÖá');ylabel('WÖá');v2=0:0.1:t(2);v22=t(2):0.1:5;y2=(5.556e-4.*cos(t(2))+41.67e-4.*sin(t(2)))./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2))-41.67e-4.*sin(t(2)))./v22+4.167e-3/4;plot(v2,y2,'g-.');hold onplot(v22,y22,'g-.');v3=0:0.1:t(3);v33=t(3):0.1:5;y3=(5.556e-4.*cos(t(3))+41.67e-4.*sin(t(3)))./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3))-41.67e-4.*sin(t(3)))./v33+4.167e-3/4;plot(v3,y3,'k:');hold onplot(v33,y33,'k:');v4=0:0.1:t(4);v44=t(4):0.1:5;y4=(5.556e-4.*cos(t(4))+41.67e-4.*sin(t(4)))./v4-4.167e-3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4))-41.67e-4.*sin(t(4)))./v44+4.167e-3/4;plot(v4,y4,'b');hold onplot(v44,y44,'b');v5=0:0.1:t(5);v55=t(5):0.1:5;y5=(5.556e-4.*cos(t(5))+41.67e-4.*sin(t(5)))./v5-4.167e-3/4; y55=(5.556e-4.*cos(t(5))-41.67e-4.*sin(t(5)))./v55+4.167e-3/4;plot(v5,y5,'c');hold onplot(v55,y55,'c');v6=0:0.1:t(6);v66=t(6):0.1:5;y6=(5.556e-4.*cos(t(6))+41.67e-4.*sin(t(6)))./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6))-41.67e-4.*sin(t(6)))./v66+4.167e-3/4;plot(v6,y6,'y');hold onplot(v66,y66,'y');v7=0:0.1:t(7);v77=t(7):0.1:5;y7=(5.556e-4.*cos(t(7))+41.67e-4.*sin(t(7)))./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7))-41.67e-4.*sin(t(7)))./v77+4.167e-3/4;plot(v7,y7,'m');hold onplot(v77,y77,'m');v8=0:0.1:t(8);v88=t(8):0.1:5;y8=(5.556e-4.*cos(t(8))+41.67e-4.*sin(t(8)))./v8-4.167e-3/4; y88=(5.556e-4.*cos(t(8))-41.67e-4.*sin(t(8)))./v88+4.167e-3/4;plot(v8,y8,'k');hold onplot(v88,y88,'k');v9=0:0.1:t(9);v99=t(9):0.1:5;y9=(5.556e-4.*cos(t(9))+41.67e-4.*sin(t(9)))./v9-4.167e-3/4; y99=(5.556e-4.*cos(t(9))-41.67e-4.*sin(t(9)))./v99+4.167e-3/4;plot(v9,y9,'m-.');hold onplot(v99,y99,'m-.');v10=0:0.1:t(10);v1010=t(10):0.1:5;y10=(5.556e-4.*cos(t(10))+41.67e-4.*sin(t(10)))./v10-4.167e-3/4;y1010=(5.556e-4.*cos(t(10))-41.67e-4.*sin(t(10)))./v1010+4.167e-3/4;plot(v10,y10,'k');hold onplot(v1010,y1010,'k');legend('y1','y11','y2','y22','y3','y33','y4','y44','y5','y55','y6','y66',' y7','y77','y8','y88','y9','y99','y10','y1010');t0=0:pi/10:pi/2;。
研究性学习——淋雨问题
当d cosα − r sin α > 0, v尽可能大，C才可能小。 当d cosα − r sin α < 0, v尽可能小，C才可能小。
C 而v > r sin α， 所以v → r sin α， 才可能小。
研究性学习
结论
若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 •关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 •雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。
w
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r
θ
v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h
研究性学习
•顶部的淋雨量 顶部的淋雨量
C1 = ( D / v) wd ( pr sin θ )
D / v表示在雨中行走的时间, wd表示顶部面积， r sin θ表示雨滴垂直下落的速 度。
•前表面淋雨量 前表面淋雨量
C2 = ( D / v) wh[ p (r cosθ + v)]
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研究性学习人前进的方向若记雨滴下落速度为雨滴的密度为雨滴下落的反方向表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占的空间的比例数也称为降雨强度系数
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数学建模案例
——淋雨问题 淋雨问题
全国教育科学“十一五”规划 全国教育科学“十一五”规划2009年度课题 年度课题 中学数学建模问题研究》 《中学数学建模问题研究》专题活动 案例开发子课题组主持人： 案例开发子课题组主持人：杨振新
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问题探究
一个雨天，你找不着雨伞急忙从家中到学校去， 一个雨天，你找不着雨伞急忙从家中到学校去， 一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的问题： 一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的问题： 你是否应该在雨中尽可能快地走， 你是否应该在雨中尽可能快地走，以减少雨淋的时 间？试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减 少淋雨的程度。 少淋雨的程度。
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数学建模-淋雨模型淋雨量模型摘要步入雨季，降雨天气逐渐开始在人们的日常生活中频繁出现起来，与此同时，突如其来的雨水也常常带给无准备的人们淋成落汤鸡的窘境。
面对骤雨，大多数人在通常情况下会选择快速奔跑以希求淋雨最少。
然而这样真的能淋雨最少吗？以此日常情景为背景提出了四个问题，本文运用几何知识、物理知识等方法成功解决了这四个问题，得到了在不同的降雨条件下人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。
并针对不同降雨条件给出了淋雨量最少的方法。
针对问题一，条件给出：不考虑雨的方向，降雨淋遍全身；确定淋雨量为人体表面积与单位面积降雨量及淋雨时间之积针对问题二，根据已知条件（雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ），对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。
并对函数求导分析最小淋雨量对应速度。
针对问题三，在雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α的条件下，对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。
并对函数分析最小淋雨量对应速度。
以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对函数用Excel作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
针对问题四，综合考虑前三种情况的共同作用，并基于前三种模型进行修正。
最后，对所建立的模型和求解方法的方法的优缺点给出了客观的评价，并指出误差所在。
关键字：淋雨量雨速大小雨速方向跑步速度路程远近一、问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、定义与符号说明淋雨量V 降雨量ω人体淋雨面积S 淋浴时间t 跑步距离 d 跑步速度v 人高 a 人宽 b 人厚 c五、模型求解（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
对函数V（v）求导，得：()2v 1800sin5.7cosV⋅⋅+ -='θθ显然：V'<0，所以V为v的减函数，V随v增大而减小。
因此，速度v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。
（Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得：V＝0.0011527778（m³）≈1.153（L）（Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得：V＝0.0014025(m³)≈1.403（L）（三）、模型Ⅲ建立及求解：若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）设雨从背部吹来时与人体夹角为α，且0°＜α﹤90°,建立a，b，c，d，u，α，ω之间的关系为：（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量 V1 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：()/v cos d c b v /cos b V 1αωαω⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=d c（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅≤-⋅ααααsin u v sin v sin u v v sin ，，u u 从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅≤-⋅⋅ααωααωsin u v u /sin u v sin u v u /v sin ，，u可得人背部淋雨量为： ()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅=ααωααωsin u v u /sin u v a V sin u v u /v sin a V 33，，d b u d b而总淋雨量：V=V1＋ V3从而有：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=ααωαωααωαωsin u v u /)sin u v (d b a v /cos c b V sin u v u /)v sin (d b a v /cos c b V ，，d u d ③化简③式得：()()⎩⎨⎧⋅>+⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅+⋅⋅⋅⋅=αααωαααωsin u v /a v /sin cos b V sin u v /a v /sin cos b V ，，u a c d u a c d && ④代入相关数据化简得：()[]()[]⎩⎨⎧⋅>+-=⋅≤-+=ααααααsin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V sin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V ，， ⑤由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（α）两者有关。
（Ⅰ）、 当αsin u v ⋅≤时，且0°＜α﹤90°，可得：c cos α＋a sin α>0对⑤式求导，易知V '<0；所以，总淋雨量（V ）随着速度（v ）的增加而减少，因此，αsin u v ⋅= 总淋雨量最小。
（Ⅱ）、当v >u sin α时，且0°＜α﹤90°，对⑤式求导，解得：2v 180cos 2.0sin 5.1V ）（⋅-='αα(ⅰ)、当1.5sin α－0.2 cos α<0时，即 ：tan α<2/15,即V`<0；从而推出，总淋雨量（V ）随着速度（v ）的增加而减少，所以，速度v=vm ，总淋雨量最小。
（ⅱ）、当1.5sin α－0.2 cos α>0时，即 ：tan α>2/15,即V`>0；从而推出， 总淋雨量（V ）随着速度（v ）的增加而增加，所以，当速度（v ）取最小， 即v=u sin α 总淋雨量最小。
当α＝30°，tan α>2/15 ，由模型⑶分析的，当v=u sin α=4×1/2=2（m/s ） 总淋雨量最小，且V=0.0002405（m ³）=0.2405(L)四：根据问题3中所求的降雨量然后对式子分别求导可以画出如下的图结果的实际意义：从背面吹来时，只要满足：tan α>c/a 则v= u sin α时V 最小，相当于人的前面背面都不会淋雨，只有顶部淋雨. 五：模型五简历及求解tan α>c/atan α<c/au sin αu sin αVVO O vv当雨线方向与跑步方向不在同一平面是，它又分为雨从前斜方后后斜方飘来 （1）雨从前斜方飘来，设它与前面形成的夹角为α，与顶部形成的夹角为β，与侧面形成的夹角为γ。
方法与二三模型的方法相同。
前面的淋雨量V1=ab(u+u sin α) ωd/v;顶部的淋雨量为V2=bcu sin βωd/v;侧面的淋雨量为V3=acu sin γωd/v 。
总的淋雨量就为V=V1+V2+V3.(2)雨从后斜方飘来时，它与后面形成的夹角为α，与顶部形成的夹角为β，与侧面形成的夹角为γ。