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第五章-微分方程
第五章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念微分方程的定义：①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解：用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。
例1 课本294页 例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 的任一x ，恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性相关，否则称为线性无关.显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是)()(21x y x y 在区间),(b a 恒为常数. 如果)()(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性无关.独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中,1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.例2 课本297页 例4第二节 可分离变量的微分方程 一、定义形如)()(d d y g x f xy= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.二、求解方法可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ⎰⎰=x x f y y g d )(d )(.[例1]求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解先合并dx 与dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解.)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.[例2] 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222yyx x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程定义 ：形如)()(d d x Q y x P xy=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法 ：一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P xy的通解⎰=-x x P c C y d )(e . 第二步：设⎰=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .第三步: 将)(x C 代入⎰=-xx P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是)()(d d x Q y x P xy=+的标准形式,则将⎰=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有)(e )(d )(x Q x C xx P =⎰'-,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解公式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). [例1] 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .[例2] 求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u uln ln ln 1-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy xy 分离变量，得xy x y2d d =，x x yyd 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y xx P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如0=+'+''qy y p y的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步 写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，第二步 求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.[例3] 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.解 原方程对应的特征方程为 0122=+-ar r ，244222,1-±=a a r =12-±a a ，（1）当1>a ，即 1>a 或1-<a 时，特征方程有两个不相等的实根121-+=a a r ，122--=a a r ，故原方程的通解为xa a xa a C C y )1(2)1(122e e ---++=.（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21， 故原方程的通解为 axx C C y e )(21+=.（3）当1<a ，即 11<<-a 时，特征方程有两个共轭复根 22,11i a a r -±=，故原方程的通解为)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步 先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;第三步 写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表注:①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.②在设微分方程 xm x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.[例4] 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解 对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.[例5] 求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
微分方程(13)
第9章 微分方程与差分方程第1节 微分方程的大体概念咱们已经明白，利用函数关系能够对客观事物的规律性进行研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即便通过度析、处置和适当的简化后，咱们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式确实是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的进程就叫解微分方程.本章要紧介绍微分方程的一些大体概念和几种经常使用的微分方程的解法.实际问题中的数据大多数是按等时刻距离周期统计的.因此，有关变量的取值是离散转变的，处置他们之间的关系和转变规律确实是本章最后的内容——差分方程.含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中显现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增加，琴弦的振动，电磁波的传播等，都能够归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.例 质量为m 的物体只受重力作用由静止开始自由垂直降落.依照牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开始下落的时刻0t =，那么物体下落的距离x 与时刻t 的函数关系()xx t =知足22d xg dt=， 其中g 为重力加速度常数.这确实是一个2阶微分方程。
例 产品的月产量为x 时的边际本钱1()82c x x '=+，确实是一个1阶微分方程.在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
n 阶微分方程的一样形式是()(,,,,,)0n F x y y y y '''=，其中x 为自变量，()y y x =是未知函数，上式中，()n y 必需显现，而其余变量（包括低阶导数）能够不显现.若是能从式中解出最高阶导数取得微分方程的如下形式()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''=以后咱们只讨论姓如式的微分方程，并假设式右端的函数f在所讨论的范围内持续.专门地，式（）中的f若是能写成如下形式()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= 那么称式为n 阶线性微分方程.其中1(),,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的已知函数.把不能表示成形如式的微分方程称为非线性微分方程.例 试指出以下方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dyx x y x dx++= (3)32235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(4)33ln d y dy x xy x dx dx ++= 解 方程(1)是一阶线性微分方程.因为dydx和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有3dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭.方程(4)是3阶线性微分方程.因为33,,d y dyy dx dx都是一次式. 若是一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，那么称那个函数为该微分方程的解. 例如，(a)212x gt =,(b)21212x gt c t c =++都是例中的微分方程的解，其中12,c c 为任意常数.通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有彼此独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解（一样解）.那个地址所说的彼此独立的任意常数，是指它们取不同的值时就取得不同的解.从而不能通过归并而使得通解中的任意常数的个数减少.上面的解中，(a)和(c)别离是方程和的特解，(b)和(d)别离是方程和的通解.在实际问题中通常都要求寻觅知足某些附加条件的解.现在，这种附加条件就能够够用来确信通解中的任意常数.这种附加条件称为初始条件，也称为定解条件.一样地，一阶微分方程(,)y f x y '=的初始条件为0x x y y ==其中00,x y 都是已知常数.二阶微分方程(,,)y f x y y '''=的初始条件为00,x x x x y y y y ==''==带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例 验证函数3()cos y xc x =+（c 为任意常数）是方程2tan 3cos 0dyy x x x dx+-= 的通解，并求出知足初始条件00x y==的特解.解 要验证一个函数是不是是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是不是恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是不是与方程的阶数相同.对3()cos y xc x =+，求一阶导数233cos ()sin dyx x x c x dx=-+ 把y 和dy dx代入方程左端，得22332tan 3cos 3cos ()sin ()cos tan 3cos 0dyy x x x x x x c x x c x x x x dx+-=-+++-= 因为方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故3()cos y x c x =+是题设方程的通解.把初始条件00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中，得0c =.从而所求特解为3cos y x x =.习题9-11、 指出以下微分方程的阶数（1）220xy yy x '''-+=（2）235()sin 0y y x x ''-+=（3）22(3)(45)0xdx x y dy +++=二、指出以下各题中的函数是不是为所给微分方程的解. （1）22,5xy y y x '== （2）2122220,yy y y c x c x x x'''-+==+ （3）12121212()0,xx y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+3、验证1y cx c=+（c 为任意常数）是方程2()10x y yy ''-+=的通解，并求知足初始条件02x y==的特解.4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试成立曲线所知足的微分方程，并求出通解.习题9-1答案一、（1）2阶 （2）2阶 （3）1阶 二、（1）是 （2）是 （3）是 3、特解为122yx =+ 4、微分方程为3dy x dx =，通解为414y x c =+第2节 一阶微分方程微分方程没有统一的解法，必需依照微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节咱们将介绍可分离变量的微分方程和一些能够化为这种方程的微分方程，如齐次方程等.一、可分离变量的微分方程. 在一阶微分方程(,)dyF x y dx=中，若是右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =，x 与y 分离，x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式，即()()dyf xg y dx= 其中()f x ，()g y 都是持续函数.依照这种方程的特点，咱们能够通过积分的方式来求解.设()0g y ≠.用()g y 除方程的两头，用dx 乘以方程的两头，使得未知函数y 的某已知函数及其微分与自变量x 的某已知函数及其微分置于等号的两边（又一次分离了x 与y ）得1()()dy f x dx g y =再对上述等式两边积分，即得1()()dy f x dx g y =⎰⎰积分出来以后就说明y 是x 的一个（隐）函数（关系），确实是方程的解. 若是0()0g y =，那么易验证0yy =也是方程的解.上述求解可分离变量的微分方程的方式，称为分离变量法. 例 求微分方程2xydx dy x dy xdx +=+的通解.解 先归并,dx dy 的各项得2(1)(1)x y dx x dy -=-设210,10y x-≠-≠,分离变量得211dy xdx y x =-- 两头积分 211dy xdx y x =--⎰⎰ 得 2111ln |1|ln |1|ln ||22y x c -=-+于是 221(1)(1)y c x -=±-记1cc =±，那么取得题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-例 求微分方程x dye y dx=的通解. 解 分离变量后两边积分xdy e dx y =⎰⎰得1ln ||ln ||x y e c =+ 从而 1xe y c e=±记1cc =±，那么取得题设方程的通解为 xe y ce=例 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.解 设曲线的方程为()yy x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为Y yy X x-'=-由假设，切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点别离是0X=时，2Y y =和0Y =时，2X x =.将这两个端点代入切线方程都取得曲线所知足的微分方程dy ydxx =-分离变量后积分，取得通解为xyc =将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.二、齐次方程 若是一阶微分方程(,)dyf x y dx= 中的函数(,)f x y 能够写成y x 的函数，即(,)y f x y x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是 dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭这称为齐次方程.齐次方程能够通过引进新的未知函数的方式化成为可分离变量的微分方程.令y u x =，u 是x 的一个新的未知函数.那么 ,dy du y ux x u dx dx==+， 原齐次方程变成()duxu u dxϕ+= 分离变量后积分得 ln ||()du dxx c u ux ϕ==+-⎰⎰记()u Φ为1()u uϕ-的一个原函数，那么得通解为 ()ln ||u x c Φ=+再以y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解 ln ||y x c x ⎛⎫Φ=+ ⎪⎝⎭例 求微分方程22()()0xy x dx y xy dy ---= 的通解.解 原方程变形为2221ydy xy x x dx y xy y yx x--==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 确实是一个齐次方程 令y ux =，那么 ,dy du y ux x u dx dx==+ 代入齐次方程得21du u x u dx u u-+=- 分离变量，0,0u x ≠≠时，得211u du dx u x=- 两边积分211u du dx u x =-⎰⎰得211ln |1|ln ||ln ||2u x c --=+ 以y x 代替u 就取得原方程的通解 11ln |1|ln ||ln ||2yx c x--=+记211c c =±得 21y c x x-= 从而2x xy c -=.注.此题也能够直接分离变量法求解.()()x x y dx y y x dy -=-0y x -≠时， ydy xdx =-积分得 22111222y x c =-+ 即22yx c +=为原方程的通解.如此此题取得两个通解形式2x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并非必然要包括所有解！三、一阶线性微分方程 方程()()dyp x y Q x dx+= 叫做一阶线性微分方程，它关于未知函数y 及其导数y '都是一次的.若是()0Q x ≡，那么方程称为齐次的，不然就称为非齐次的.关于齐次一阶线性微分方程()0dyp x y dx+= 通过度离变量积分，可得它的通解()p x dxy Ce -⎰=而关于非齐次一阶线性微分方程，咱们能够利用它相应的齐次一阶线性微分方程的通解，并利用所谓常数变易法来求非齐次方程的通解，这种方式是把齐次方程的通解中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ，即作变换()p x dxy ue -⎰=假设是非齐次方程的解，代入中进而求出()u x ，再代入就取得非齐次方程的解.为此，将对x 求导，注意u 是x 的函数，得()()()p x dxp x dx dy du e up x edx dx--⎰⎰=- 将和代入，得()()p x dxdu e Q x dx-⎰= 分离变量后积分得()()p x dx u Q x e dx C ⎰=+⎰将代入就取得的通解()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰易见，一阶非齐次线性方程的通解是对应的一阶齐次线性方程的通解与其本身的一个特解(中取0C=的解)之和.尔后还可看到，那个结论对高阶非齐次线性方程也成立.例 求方程1cos xy y x x'+=的通解. 解 题设方程是一阶非齐次线性方程，这时1cos (),()xp x Q x x x==. 于是，按公式，所求通解为111ln ln ln cos cos 1cos 1sin dx dx dx x x x x x x x y Ce e e dxx x Ce e e dx x C xdx x xC x x x ----⎰⎰⎰=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例 求方程38dy y dx+=的通解. 解 这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式，而采纳常数变易法来求解.先求解相应的齐次方程的通解.由 30dy y dx+= 分离变量后积分得相应齐次方程的通解 31x y c e -= ， 其中1c 为任意常数.利用常数变易法，将1c 变易为()u x ，即设原非齐次方程的通解为3x y ue -= 求导得 333x x dy du e ue dx dx--=- 代入原非齐次方程得38x du e dx -= 分离变量后积分得 338()83x x u x e dx e C ==+⎰ 从而取得原非齐次方程的通解为383x y Ce -=+ 习题9－2 一、求以下微分方程的通解（1）22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=（2）3x y dy dx+=二、求以下微分方程的通解（1）0xy y '--= （2）2222()()0y x xy y dx x x xy y dy -++++=3、求以下微分方程的通解（1）x y y e -'+=（2）sin xy y x '+= 4、求以下微分方程的初值问题：（1）0cos (1)sin 0,|4x x ydx eydy y π-=++== （2）20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-=+=五、已知某产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两部份组成.可变本钱y 是产量x 的函数，且y 关于x 的转变率等于222xy x y +，当10x =时，1y =；固定本钱为100.求总本钱函数()c c x =.习题9－2答案一、（1）22(1)(1)x y C --=； （2）33x y C -+=二、（1）2y Cx +=； （2）arctan y x xy Ce⎛⎫- ⎪⎝⎭= 3、（1）()x y x C e-=+； （2）1(cos )y C x x =-4、（1）(1)sec x e y += （2）(1)x y x e =+五、99()1001)2C x =+- 第3节 可降阶的二阶微分方程 本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解.一、()y f x ''=型这种简形的方程，其解法确实是多次积分.在()y f x ''=两头积分，得 1()y f x dx C '=+⎰再次积分，得 1212[()]()y f x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰注：关于n 阶微分方程()()n yf x =，显然也能够持续积分n 次，就取得含有n 个任意常数的通解.例 求方程2sin x y e x ''=+的通解.解 持续积分两次，得 212121cos 21sin 4x x y e x C y e x C x C '=-+=+++ 这确实是所求通解.二、(,)y f x y '''=型这种类型的特点是不显含y ，求解方式是：令()y p x '=，那么()y p x '''=，那么原二阶方程化成了一阶方程 (,)p f x p '=利用上一节的方式求出它的通解1(,)p x C ϕ=，再依照1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰，就是原二阶微分方程的通解. 注：由于一阶微分方程(,)p f x p '=，咱们并非都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.例 求方程1x y y xe x'''=+的通解.解 令p y '=，原方程化成1x p p xe x'-= 的一阶线性微分方程.从而 111()()()111dx dx dx x x x x x xp c e e xe e dx c x x e dx c x xe -----⎰⎰⎰=+=+=+⎰⎰即1x p y c x xe '==+因此，原方程的通解为12212()1(1)2x x y c x xe dx c c x x e c =++=+-+⎰ 三、(,)y f y y '''=型这种类型的特点是不明显地含x .这时咱们把x 看成自变量y 的函数，令p y '=，从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法那么，把对x 的导数y ''化为对y 的导数，即 dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''==⋅=⋅ 于是，(,)y f y y '''=就变成了 (,)dp p f y p dy= 如此就取得一个关于,y p 的一阶微分方程.设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解，那么分离变量再积分就取得原方程的通解为21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.注.一阶微分方程1(,)dp p y c dyϕ=不必然会求解，因此本类型(,)y f y y '''=也不必然能求出解来. 例 求方程y yy '''=的通解. 解 令p y '=，将x 看做是y 的函数. 这时dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''==⋅= 代入原方程就取得一个一阶方程 dp p y dy= 分离变量再积分得2112p y c =+ 再解一阶微分方程2112y p y c '==+ 分离变量再积分得221112dy x c c y ⎛⎫+=⎛⎫++ ⎝⎰ 就是原方程的通解.习题9－31、 求以下方程的通解（1）cos y x x ''=- （2）y x y '''=+（3）(1)y y y '''=+二、求以下微分方程初始问题的特解.（1）300,|0,|0x x x y ey y =='''=== （2）111,|0,|2x x y y y y x==''''=== （3）200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===习题9－3答案一、（1）3121cos 6y x x c x c =+++ （2）12x x y c exe c =-+ （3）2x c +=二、（1）3111939x ye x =-- （2）21y x =-（3）1x y e =+。
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。
常微分方程
常微分方程一、填空题1．微分方程0)(43='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程．2．初值问题00d (,)d ()yf x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是 00(,)d x x y y f s y s =+⎰ ．3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言）4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x yy是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言）5．微分方程03)(22=+'+''x y y y 是 恰当导数方程 ．（就方程可积类型而言）6．微分方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是 ,2,1,0,±±==k k y π ． 7．微分方程21d d y xy-=的常数解是 1±=y ．8．微分方程xx y y x 122e -=-'的通解为 )(e1C x y x+=-．9．微分方程2)(21y y x y '+'=的通解是 221C Cx y += ．. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1） 22d d x y xy += （1）一阶，非线性；（2）0d d d d 2d d 223344=+-x y x y x y （2）四阶，线性； （3）t x x xx =++ （3) 三阶，非线性 2．用分离变量法求解下列方程：（1）yx y -='e解 通积分为C x y +=e e（2）0d cot d tan =-y x x y 解 当tan cot 0y x ⋅≠时，分离变量，两端取积分得ln ||tan cot dy dxc y x =+⎰⎰即ln(sin )ln(cos )ln ||y x c =-+通积分为 sin cos .y x C ⋅=另外，,2y k x k πππ==+是常数解，0,1,2,.k =±±（3）⎩⎨⎧-==+-+1)1(0)d ()d (2222y y yx x x xy y解 当0,0x y ≠≠时, 方程可变为 y yy x x x d 1d 122+=+， 通积分为 11ln ||ln ||x y C x y -=-++ 或 11x y xCe y-=,上式代入初值条件1,1x y ==-.得2C e -=-. 于是初值问题解为 112x yx e e y--=-3．解下列齐次线性微分方程 （1）0d d )2(22=+-y x x xy y 解 显然0=x 是方程的解.当0≠x 时, 原方程可化为 222d d x xy y x y +-=. 令xy u =, 则原方程可化为 u u xu x u 2d d 2+-=+, 即 x u u x u +-=2d d 易于看出, 0=u 1=u 是上面方程的解, 从而x y = 0=y 是原方程的解. 当02≠-u u 时, 分离变量得, x xuu u d d 2=+-. 两端积分得ln ln 1u Cx u =-(C 0≠) 将u 换成xy, 便得到原方程的解 ()Cy x x y =-, (C 0≠). 故原方程的通解为()Cy x x y =-（C 为任意常数）及 0=y .（2）y x x y y x tan=-'解 显然0=y 是方程的解. 当0≠y 时, 原方程可化为x y x y x y +=tan d d . 令xyu =, 则原方程可化为 u u x u x u +=+tan d d , 即 .tan d d xu x u =易于看出, 0=u 是上式的解, 从而0=y 是原方程的解. 当0≠u 时, 分离变量得,xxu u d tan d =. 两端积分得 1ln sin ln u C x =(C 01≠).将u 换成xy, 便得到原方程的解 sin y Cx x = (C 0≠). 故原方程的通解为 sin y Cx x =.4．解下列一阶线性微分方程：（1）422x y y x =-' 解 先解齐次方程 y xyx2d d =. 其通解为 2y Cx =. 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 2()y C x x =. 代入原方程, 化简后可得.2)(x x C ='.积分得到 2()C x x C =+. 代回后即得原方程通解为 24y Cx x =+.（2）x x y y sec tan =+'解 先解齐次方程x y xytan d d -=. 其通解为 cos y C x =. 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 ()cos y C x x =. 代入原方程, 化简后可得 '21()cos C x x=. 积分得到 ()tan C x x C =+. 代回后即得原方程通解为 sin cos y x C x =+. 5．解下列伯努利方程 （1）024=++'xy xy y解 显然0=y 是方程解. 当0≠y 时, 两端同除4y , 得02d d 134=++x yxx y y . 令31y z =, 代入有 ,02d 3d =++-x xz x z 它的解为23e 21z x C +-= 于是原方程的解为233e 211x C y+-=，及.0=y （2）)sin (cos d d 2x x y y x y-=+解 显然0=y 是方程解. 当0≠y 时, 两端同除2y , 得0)sin (cos 1d d 12=--+x x yx y y . 令y z 1=, 代入有 0)sin (cos d d =-+-x x z xz它的解为 x C z x sin e -=， 于是原方程的解x C yx sin e 1-=， 及 .0=y 6．解下列全微分方程：（1）0d )e 2(d e =+--y x y x yy解 因为xNy M y ∂∂=-=∂∂-e , 所以这方程是全微分方程, (,)M x y 及 (,)N x y 在整个xOy 平面都连续可微, 不妨选取00,x =00y =. 故方程的通积分为C y y x yxy =-⎰⎰d 2de ,即 C y x y=--2e.（2）0d 2cos d )2sin 1(2=--y x y x x y 解 因为2sin 2M Ny x y x∂∂==∂∂, 所以这方程是全微分方程, (,)M x y 及 (,)N x y 在整个xOy 平面都连续可微, 不妨选取00,x =00y =. 故方程的通积分为C y y x y yx=-+⎰⎰2d d )(1,即 22cos 2x y x C -=.7．求下列方程的积分因子和积分： （1）0d d )(22=-++y xy x x y x解 因为1M Ny x N x∂∂-∂∂=, 与y 无关, 故原方程存在只含x 的积分因子. 由公式（1. 58）得积分因子⎰=xx x d 1e)(μ，即(),x x μ=于是方程0d d )(22=-++y xy x x y x 为全微分方程.取 000,0x y = =. 于是方程的通积分为0d )(022=++⎰xx x y x x . 即 4322346x x x y C ++=（2）0d d )(344=-+y xy x y x解 因为 5M Ny x N x∂∂-∂∂=-, 与y 无关, 故原方程存在只含x 的积分因子. 解方程 由公式（1. 58）得积分因子⎰=-xx x d 5e)(μ，即51(),x x μ=于是方程 0d d )(143445=-+y xy x y x x 为全微分方程. 取 01,x = 00y =. 于是通积分为1031445d d )(1C y y x y x xy x=-+⎰⎰. 即4444ln ||y x x Cx =+.8．求解下列一阶隐式微分方程（1）x y y y y 22sin )2(='-'解 将方程改写为 2222(1cos )y y y y x ''-+=-即22222cos y yy y y x ''-+=或222(')cos y y y x -=解'cos y y y x =±得通积分为：ln sin Cy x x =±, 又0y =是常数解.（2）)1e (222-='-'x y y y y 解 0y = 显然是方程的解. 当0y ≠时, 方程可变为1e )(2)(2-='-'x y y y y , 令y u y'=, 则上面的式子可变为1e 22-=-x u u . 解出u 得, x u e 1±=. 即x yy e 1±='. 对上式两端积分得到方程的通解为 C x y x +±=e 2ln 9．求解下列方程（1）1)()(22+'''=''-'''y y y x解 令 p y ='', 则p y '='''. 代入原式得1)(22+'=-'p p p x . 解出p 得 12+'±'=p p x p .这是克莱洛方程，通解为1p xC =±即1y xC ''=解之得31236C y x C x C =±+ （123,,C C C 为任意常数）. （2）01)(2=+'-''y y y解 化简得 ()10yy ''+=， 即 1yy x C '=-+求积分得 22211()222C y x C =--++. 2212()y x C C +-=或.三、证明题1．设函数)(x p ，)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim >=+∞→a x p x ，b x f ≤)( （a , b 为常数）．求证：方程 )()(x f y x p y =+' 的一切解在),0[∞+上有界． 证明 设y =y (x )是方程任一解，且满足y (x 0)=y 0, 则⎰⎰⋅⎰+⎰=--xx dtt p dss p dss p ds es f eey x y sx xx xx 0000)()()(0)()(由于0)(lim >=∞→a x p x ，所以对任意ε＞0,存在1x ＞x 0,使得x ＞1x 时 有εε+<<-<a x p a )(0令εε+=-=a a a a 21,，则⎰⎰+⎰≤-x x dta dsa ds e s f ey x y sxxx 1211)()(0于是得到120)(20)1()(12M ab y e a by x y x x a =+≤-+≤-- 又在[x 0，x 1]上y (x )有界设为M 2，现取 ),m ax (21M M M =， 则 [)+∞∈≤,,)(0x x M x y2．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．证明 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为00ed e )(e)()(0x x x x x s x x s s f y x y ---⎰+=取极限00e d e )(lime lim)(lim )(0x x x x x s x x x x x s s f y x y --+∞→-+∞→+∞→⎰+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞==∞<+⎰⎰∞---+∞→∞-000000d e )(,0e e )(lim d e )(,00)()()(x x s x x x x x x x s s s f x f s s f 若若 四、应用题1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为c 30, 而物体在15分钟内由100c 冷却到 70c , 求物体冷却到40c 所需的时间. 解 设物体在时刻t 的温度为()T T t =，由题意()T t 满足初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=100)0()30(d d T T k t T其中k 为常数．解得 ktt T -+=e30)(设物体冷却到40℃所需时间为1t ，于是由(15)70T =得40e703070e 703015=+=+--ktk解得 1t ≈52分钟.2．重为100kg 的物体，在与水平面成30︒的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求5 s 后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．解 取初始下滑点为原点，Ox 轴正向垂直向下，设 t 时刻速度为 ()v v t =, 距离为()x x t =, 由题意()v t 满足初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(30sin d d 0v g tv 解得 ()2gv t t = 再由(0)0,dx x v dt ==解得 2()4g x t t = 于是得到5秒后， 62.5x m ≈，25/v m s ≈ , 25/dva m s dt=≈． 一、填空题1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y)(d d x x=，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间 不能 与x 轴相交．2．方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n + 1 维空间中的一条积分曲线．3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0．4．线性齐次微分方程组n x x xR Y R Y A Y∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n + 1 个．5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于零 ．6．函数组⎩⎨⎧==x y xy cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-= ．7．二阶方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ⎪⎩⎪⎨⎧--='='yx xy y y y 2111 ．8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交．12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是 e ,exxx -- ．13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ． 14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间． 15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．二、计算题1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)()(d d d d x g y x f ty y tx，（2）)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---===0312212211)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x yy x y2．求解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y ty x y tx54d d 45d d解 方程组的系数阵为54A ⎡=⎢⎣45⎤⎥⎦特征方程为： det(A -λE)=54λ-45λ-=(1)(9)0λλ--=，其特征根为 121,9λλ==. 当11λ=时,11t y a e z b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中a , b 满足(A -λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44⎡⎢⎣44⎤⎥⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 0, 则有a + b = 0． 取a = 1, b =-1, 则得一特解1111t y e z ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦同理,当29λ=时，29211t y e z ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以方程组的解为9129()()t t t t y t e e C C z t e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x ty y x txαββαd d d d解 方程组的系数阵为 A αβ⎡=⎢-⎣βα⎤⎥⎦. 特征方程为: det(A -λE)= αλβ-- βαλ-=22()0λαβ-+= 特征根为 λαβ=±i .当1i λαβ=+时,11i x a e y b αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中a , b 满足(A -λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=i ββ-⎡⎢-⎣ i ββ⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0, 故有00ai b a bi -+=⎧⎨--=⎩即 b ai =.取1,a b i ==，于是方程组对应于*1*11i x e i y αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=cos sin sin cos t t i t e t i t αββββ+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦ 故特征根i λαβ=±所对应的实解为11x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=cos sin t t e t αββ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,22x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=sin cos t t e t αββ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以方程组的解为()()x t y t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=cos sin t t e t αββ⎡⎢-⎣ sin cos t t ββ⎤⎥⎦12C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．求解下列方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=x y y y x x 23解 方程组的系数阵为 12A ⎡=⎢-⎣ 13⎤⎥⎦. 特征方程为: det(A -λE)=12λ-- 13λ- =2450λλ-+= 特征根为 122,2λλ=+=-i i 当12i λ=+时,1(2)1i t x a e y b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 其中a , b 满足(11i -⎡⎢-⎣ 11i ⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 0, 即(1)0(1)0i a b a i b --+=⎧⎨-+-=⎩第一个方程(1)x i -有2(1)0a i b -++= 令1a =，则1b i =+于是由 2()1(cos sin )()1t x t e t i t y t i ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦解得通解 ()()x t y t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2cos cos sin t t e t t ⎡⎢-⎣ sin cos sin t t t ⎤⎥+⎦12C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+-=z y x zz y x y z y x x 222 解 系数阵为211121112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程为: det(A -λE)=211λ-121λ---112λ--=(1)(2)(3)0λλλ---=.特征根为 1231,2,3λλλ===.通解解为 23122233()0()0()tt tt ttt c x t e e y t e e c z t e e e c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4．求解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y ty y x tx3d d 3d d解 方程组的系数阵为 30A ⎡=⎢⎣ 13⎤⎥⎦，其特征方程为：det(A -λE)=30λ-13λ-=2(3)0λ-=.特征根为 123λλ==, 方程组有如下形式的解:31112()t x r r t e =+ 32122()ty r r t e =+代入原方程组有33331112121112212233321222221223()3()()3()3()t t t tt t tr r t e r e r r t e r r t er r t e r e r r t e⎧++=+++⎪⎨++=+⎪⎩消去3t e 得 122122220r r r tr =+⎧⎨=⎩令12211r r == 110r =, 则3t x te = 3ty e = 令12210r r == 111r =, 则3t x e = 0y =所以方程组的解为33123()()0t t t x t te e C C y t e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2e 2t x yy xt 解 首先求出相应齐次线性方程组的通解. 对应齐次方程的系数阵为01A ⎡=⎢⎣10⎤⎥⎦. 其特征方程为： det(A -λE)= 1λ- 1λ-=(1)(1)0λλ-+=. 特征根为 121,1λλ==- 当11λ=时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a y x t e 11，其中a , b 满足(A -λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11-⎡⎢⎣ 11⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0, 则有a -b = 0取a = b =1, 则得一特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11e 11t y x 同理,当21λ=-时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11e 22t y x所以对应齐次线性方程组的通解为12()()t t t t x t e e c c y t e e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.将1212()()()()()()t ttx t c t e c t e y t c t e c t e-⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入原方程组，得21222()12()2t t tc t t e c t e t e -'⎧=+⎪⎨'=-⎪⎩ 解得 212221()21()[2()]2---⎧=---⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩t t tt t t t c t t t e te e c t e e t te e .原方程组的特解为2122221()()2()()1[2()]2122.122-------⎡⎤---⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦t t t t t tt t t tt t t t t t t t t t t e te e c t x t e e e e y t c t e e e e e e t te e te t e te e t所以原方程组的通解为 21212()2.()122--⎡⎤-+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎣⎦t t tt tt tt te t e c x t e e y t c ee te e t 5．已知方程011)ln 1(2=-'+''-y x y x y x 的一个解x y ln 1=，求其通解． 解由通解公式*()11211p x dxy c y cy e dx y -=+⎰，11ln ,()(1ln )y x p x x x ==-，1()**(1ln )111221*111212211[](ln )ln 1[]()ln (ln )ln dx p x dx x x y c y cy e dx y c c e dx y x x xy c c dx y c c c x c x x x---⎰⎰=+=+-=+=+=+⎰⎰⎰（1）0209=+'+''y y y 解 特征方程为:29200λλ++=特征根为:124,5λλ=-=-。
常微分方程第三版答案doc
常微分方程第三版答案doc习题1.21．dyd某=2某y,并满足初始条件：某=0,y=1的特解。
解：dyy=2某d某两边积分有：ln|y|=某2+cy=e某2+ec=ce某2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=ce某2,某=0y=1时c=1特解为y=e某2.2.y2d某+(某+1)dy=0并求满足初始条件：某=0,y=1的特解。
解：y2d某=-(某+1)dydy1y2dy=-某1d某两边积分:-1y=-ln|某+1|+ln|c|y=1ln|c(某1)|另外y=0,某=-1也是原方程的解某=0,y=1时c=e特解：y= ln|c(某1)|dy1y23．d某=某y某3y解：原方程为：dyd某=1y21y某某31y21ydy=某某3d某两边积分：某(1+某2)(1+y2)=c某24.(1+某)yd某+(1-y)某dy=0解：原方程为：1y某1ydy=-某d某两边积分：ln|某y|+某-y=c另外某=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+某）dy+(某-y)d某=0解：原方程为：dyd某=-某y某y令ydy某=u则d某=u+某dud某代入有：-u11u21du=某d某ln(u2+1)某2=c-2arctgu即ln(y2+某2)=c-2arctgy某2.6.某dy22d某-y+某y=0解：原方程为：dyd某=y某+|某|某-(y2)则令y某=udydud某=u+某d某1du=gn某u2某d某arciny某=gn某ln|某|+c7.tgyd某-ctg某dy=0解:原方程为：dyd某tgy=ctg某两边积分：ln|iny|=-ln|co某|-ln|c|iny=1ccco某=co某另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为inyco某=c.y23某8dyed某+ydyey2解：原方程为：d某=3某ye2e3某-3ey2=c.9.某(ln某-lny)dy-yd某=0解：原方程为：dyyyd某=某ln某令y某=u,则dydud某=u+某d某u+某dud某=ulnuln(lnu-1)=-ln|c某|1+lny某=cy.10.dyd某=e某y解：原方程为：dy某d某=eeyey=ce某11dy2d某=(某+y)解：令某+y=u,则dydud某=d某-1du2d某-1=u11u2du=d某arctgu=某+carctg(某+y)=某+c12.dyd某=1(某y)2解：令某+y=u,则dyd某=dud某-1du1d某-1=u2u-arctgu=某+cy-arctg(某+y)=c.13.dy2某y1d某=某2y1解:原方程为：（某-2y+1）dy=(2某-y+1)d某某dy+yd某-(2y-1)dy-(2某+1)d某=0d某y-d(y2-y)-d某2+某=c某y-y2+y-某2-某=c14:dy某d某=y5某y2解：原方程为：（某-y-2）dy=(某-y+5)d某某dy+yd某-(y+2)dy-(某+5)d某=0d某y-d(12y2+2y)-d(122某+5某)=0y2+4y+某2+10某-2某y=c.15:dyd某=(某+1)2+(4y+1)2+8某y1解：原方程为：dyd某=（某+4y）2+3令某+4y=u则dy1dud某=4d某-141du14d某-4=u2+3dud某=4u2+13u=32tg(6某+c)-1tg(6某+c)=23(某+4y+1).16:证明方程某dyyd某=f(某y),经变换某y=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+某2y2)d某=某dy2）某dy2某2y2yd某=2-某2y2证明：令某y=u,则某dydud某+y=d某则dy1duud某=某d某-某2，有：某duud某=f(u)+1u(f(u)1)du=1某d某所以原方程可化为变量分离方程。
微分方程习题
微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dtdT (1) 其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt x d =22 其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dx x 例3（E03）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.;)1(2y x dxdy += ;042)2(2=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x dx dy dx dy x ;052)3(322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy dx dy dx y d x .1ln )cos()4(+=+''x y y 解 (1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的dx dy 和y 都是一次. (2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的dx dy 的平方项. (3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的dx dy 的三次方. (4) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数)cos(y ''和.ln y微分方程的解例4（E04）求曲线族122=+Cy x 满足的微分方程，其中C 为任意常数.解 求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式122=+Cy x 两端对x 求导,得.022='+y Cy x再从122=+Cy x 解出,122y x C -=代入上式得 ,012222='⋅-⋅+y y yx x 化简即得到所求的微分方程 .0)1(2='-+y x xy例5（E05）验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy 的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy ,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy 代入方程左边得 x x x y dxdy sin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程xy dx dy 2=的通解.解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx y dy 212||ln C x y += 从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解 设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222y y x x x x x -=-== 所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律. 解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dt dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT -=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=).从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的C 37按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为C 35，并且假定周围空气的温度保持C 20不变，试求出尸体温度T 随时间t 的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是C 30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解 根据物体冷却的数学模型，有⎪⎩⎪⎨⎧=>--=.37)0(,0),20(T k T k dt dT 其中0>k 是常数．分离变量并求解得kt Ce T -=-20，为求出k 值，根据两个小时后尸体温度为C 35这一条件，有2172035⋅-+=k e ，求得063.0≈k ，于是温度函数为t e T 063.01720-+=，将30=T 代入上式求解t ，有t e 063.01710-=，即得4.8≈t (小时)． 于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.解 设降落伞下落速度为),(t v 降落伞下落时，同时收到重力P 与阻力R 的作用.降落伞所受外力为 kv mg F -=根据牛顿第二定律: αm F =,得到)(t v 满足微分方程kv mg dtdv m -= (1) 初始条件 .00==t v 将方程(1)分离变量得mdt kv mg dv =- 两边积分得⎰⎰=-m dt kv mg dv1)ln(1C m t kv mg k +=--， 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-1C m t k e kv mg 或 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--k e C Ce k mg v kC t mk 1＝－代入初始条件得 kmg C -= 故所求特解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t m k e k m g v 1.下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为),(t h 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (2.8) 其中0>k 的是比例常数. 这个方程称为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy =-= (2.9)其中b k ,的称为生命系数. 这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得2=b ，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为62.0dtdV Q ⋅=＝孔口截面面积 重力加速度,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ①设在微小的时间间隔],,[t t t ∆+水面的高度由h 降至,h h ∆+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ②比较①和②得:,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程.,)200(262.03dh h h g dt ---=π,1000==t h ,101514262.05⨯⨯=∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-⨯=π例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?解 设鼓风机开动后t 时刻2CO 的含量为)%,(t x 在],[dt t t +内，2CO 的通入量,03.02000⋅⋅=dt 2CO 的通入量—2CO 的排出量,即)(200003.020*******t x dt dt dx ⋅-⋅=)03.0(61--=x dt dx ,03.061t Ce x -+= 由.0|0==t x 07.0=C ,00703.061t e x -+=,056.007.003.0|16≈+=-=e x t故6分钟后，车间内2CO 的百分比降低到%.056.0齐次方程例9（E05）求解微分方程 x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 解 题设方程为齐次方程,设,x y u =则,dx du x u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx du x u +=+分离变量得.1cot dx xudu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u +=,sin Cx u =将xy u =回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx x y = 利用初始条件,6/|1π==x y 得到.21=C 从而所求题设方程的特解为.21sin x x y =例10 求解微分方程.2222xyy dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得,ln ln ln 21)2ln(23)1ln(C x u u u +=---- 整理得 .)2(12/3Cx u u u =-- 所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-例11（E06）求解微分方程 .22dxdy xy dx dy x y =+ 解 原方程变形为=-=22x xy y dx dy ,12-⎪⎭⎫ ⎝⎛xy x y （齐次方程）令,xy u =则,ux y =,dx du x u dx dy +=故原方程变为,12-=+u u dx du x u 即.1-=u u dx du x 分离变量得⎪⎭⎫ ⎝⎛-u 11.x dx du =两边积分得||ln ||ln x C u u =+-或.||ln C u xu += 回代,xy u =便得所给方程的通解为 .||ln C x y y +=例12 求下列微分方程的通解:.0)ln (ln =--ydx dy y x x解 原方程变形为,0ln =+dx x y dy x y 令,xy u =则,dx du u dx dy += 代入原方程并整理 .)1(ln ln xdx du u u u -=+ 两边积分得 ,ln ln )1ln(ln ln C x u u +-=+-即).1(ln +=u C y变量回代得所求通解 C y =.1ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面.解 设旋转轴Ox 轴，光源在),0,0( ),(:x y y L =设),(y x M 为L 上任一点，MT 为切线，斜率为,y 'MN 为法线，斜率为,1y '- ,NMR OMN ∠=∠ ,t a n t a n N M R O M N ∠=∠∴由夹角正切公式得,11tan y x y x y y OMN '--'-=∠ ,1t a n y N M R '=∠ 得微分方程 ,02=-'+'y y x y y ,12+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-='y x y x y 令 ,x y u =方程化为 ,112uu dx du x u +±-=+ 分离变量得 ,1)1(22x dx u u udu-=+±+ 令 ,122t u =+得,)1(xdx t t tdt -=± 积分得 ,ln|1|ln x C t =± 即.112±=+x C u 平方化简得,2222x C x C u += 代回,xy u =得 .222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x C y 所求旋转轴为Ox 轴得旋转抛物面的方程为.2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+C x C z y 例14（E07）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.解 设水流速度为),|(|a a a = 鸭子游速为),|(|b b b = 则鸭子实际运动速度为.b a v +=取坐标系如图，设在时刻t 鸭子位于点),,(y x P 则鸭子运动速度},,{},{t t y x y x v v v == 故有.yx t t v v y x dy dx ==现在),0,(a a = 而,be b = 其中e 为与PO 同方向的单位向量. 由},,{y x -=故,},{22y x y x e +-= 于是},,{22y x y x bb +-==+=b a v .,2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-y x byy x bx a 由此得微分方程,22yx by y x a v v dy dx y x ++-== 即 ,12y x y x b a dy dx ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 初始条件为.0|==h y x 令,u yx =则,yu x =,u dy du y dy dx +=代入上面的方程,得 ,12+-=u ba dy du y 分离变量得 ,12dy bya u du-=+ 积分得),ln (ln C y b a arshu +-=即b a Cy sh u /)ln(-=],)()[(21//b a b a Cy Cy -=- 故].)()[(21])()[(2/1/1//b a b a b a b a Cy Cy CCy Cy y x +---=-=将初始条件代入上式得,/1h C =故所求迹线方程为2h x =,/1/1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a b a h y h y .0y h ≤≤可化为齐次方程的方程例15（E08）求31-++-=y x y x dx dy 的通解. 解 直线01=+-y x 和直线03=-+y x 的交点是),2,1(因此作变换.2,1+=+=Y y X x 代入题设方程,得=+-=Y X Y X dX dY ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-X Y X Y 11 令,X Y u =则,uX Y =,dX du X u dX dY +=代入上式,得,11uu dX du X u +-=+ 分离变量,得,ln ||ln 21112C X du uu u +=--+两边积分,得12ln ||ln |21|ln 21C X u u +=--- 即X Y u =回代得,222C Y XY X =-- 再将,1-=x X 2-=y Y 回代，并整理所求题设方程的通解.62222C y x y xy x =++--例16（E09）利用变量代换法求方程2)(y x dx dy +=的通解. 解 令,u y x =+则,1-=dx du dx dy 代入原方程得,12u dx du += 分离变量得,12dx u du =+两边积分得,arctan C x u +=回代得,)arctan(C x y x +=+ 故原方程的通解为.)tan(x C x y -+=例17 求微分方程)2(tan 212y x y +='的通解. 解 令,2y x u +=则,21dxdy dx du +=代入原方程得 u dx du 2tan 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒,tan 12u dx du +=即.sec 2u dxdu = 分离变量得dx udu =2sec 或.22cos 1dx du u =+ 两端积分得 ,2s i n 2121C x u u +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+即,)2(21)]2(2sin[41C x y x y x +=+++ 故所求通解为 ).42sin(412y x C x y +-+=例18 求下列微分方程的通解. .222222x xy x e y y x y x -++='+ 解 令,22y x u +=则,22dx dy y x dx du +=原方程化为.x u e dx du x u += 再令,x u v =则,dx dv x v dx du +=代入上式，并整理得,x dx dv e v =- 两边积分得 ,ln C x e v +=--变量还原得通解.ln 22C x e x y x +=-+一阶线性微分方程例1（E01）求方程x x y x y sin 1=+'的通解. 解 ,1)(x x P =,s i n )(x x x Q =于是所求通解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎰⎰⎰-C dx e x x e y dx x dx x 11sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎰-C dx e x x e x x ln ln sin ).cos (1C x x+-=例2（E02）求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解. 由012=+-y x dx dy ⇒12+=x dx y dy ⇒C x y ln )1ln(2ln ++=⇒.)1(2+=x C y 用常数变易法,把C 换成,u 即令,)1(2+=x u y 则有),1(2)1(2+++'=x u x u dxdy 代入所给非齐次方程得,)1(1/2+='x u 两端积分得,)1(322/3C x u ++= 回代即得所求方程的通解为.)1(32)1(2/32⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y例3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==e x y解 将方程标准化为,1ln 1x y x x y =+'于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰-C dx e x e y x x dx x x dx ln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e x e x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y例4 求解方程 ,)(dxd x dx d y dx dy ϕϕϕ=+ )(x ϕ是x 的已知函数. 解 原方程实际上是标准的线性方程，其中,)(dx d x P ϕ=,)()(dx d x x Q ϕϕ= 直接代入通解公式，得通解⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dx d x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-=例5（E03）求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解.解 当将y 看作x 的函数时，方程变为2321xy y dx dy -= 这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x 看作y 的函数，方程改写为1223=+x y dydxy 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为0223=+x y dy dx y 分离变量，并积分得,2⎰⎰-=y dy x dx 即211yC x = 其中1C 为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1)(2y y u x =代入原方程,得y y u 1)(='积分得 C y y u +=||ln )( 故原方程的通解为)||(ln 12C y yx +=，其中C 为任意常数.例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L 的汽油，其中包含100g 的添加剂. 为冬季准备，每升含2g 添加剂的石油以40L/min 的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min 的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？解 令y 是在时刻t 罐中的添加剂的总量. 易知100)0(=y . 在时刻t 罐中的溶液的总量 ()()t t t V 5800045408000-=-+= 因此，添加剂流出的速率为()()()()tt y t t y t V t y 58000454558000-=⋅-=⋅溶液流出的速率 添加剂流入的速率80402=⨯，得到微分方程 t ydt dy 580004580--= 即805800045=⋅-+y tdt dy 于是，所求通解为()()9580004558000451600101600080-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=---⎰t C t C dt e e y dt t dt t由100)0(=y 确定C ，得()()016000010160009=-+⨯-C ，8160010=C ， 故初值问题的解是()()9816001600101016000-+-=t t y ， 所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是()()58.1512160020160010201016000)20(98≈-+⨯-=y g. 注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.例7 如图(见系统演示)所示, 平行于y 轴的动直线被曲线)(x f y =与)0(3≥=x x y 截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线).(x f解230)()(y x dx x f x-=⎰,3y x -=两边求导得,32x y y =+'解此微分方程得⎰-=dx e y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰dx e x C dx 23,6632+-+=-x x Ce x由,00==x y 得,6-=C 故所求曲线为 ).222(32+-+-=-x x e y x例8 求y x y xdx dy 24=-的通解. 解 两端除以,y 得,412x y xdx dy y =- 令,y z =得,422x z x dx dz =-解得,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 故所求通解为.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y伯努利方程例9（E05）求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解. 解 以2y 除方程的两端,得,ln 112x a y xdx dy y =+--即 ,ln 1)(11x a y x dx y d =+--- 令,1-=y z 则上述方程变为 .ln 1x a z xdx dz -=-解此线性微分方程得 x z =.)(l n 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C 以1-y 代,z 得所求通解为 yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(ln 2x a C .1=例10（E06） 求方程1)()(23=-+-+x y x x y x dxdy的通解. 解 令,u x y =-则,1+=dx du dx dy 于是得到伯努利方程.23u x xu dxdu -=+ 令,121u u z ==-上式即变为一阶线性方程.3x xz dxdz=- 其通解为 22x e z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-C dx e x x 232.2222--=x Ce x 回代原变量，即得到题设方程的通解.211222--+=+=x Ce x zx y x例11（E07）求解微分方程.)(sin 12xy xy x dx dy -=解 令,xy z =则,dxdy x y dx dz += ∴x y dxdz+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y xy x )(sin 12,sin 12z = 利用分离变量法解得 ,42s i n2C x z z +=- 将xy z =代回，得所求通解为 .4)(2s i n2C x xy xy +=-)(x f y =''型例1（E01）求方程x e y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 解 对所给方程接连积分二次,得,sin 2112C x e y x +-=' (1),cos 41212C x C x e y x +++= (2)在(1)中代入条件,1)0(='y 得,211=C 在(2)中代入条件,0)0(=y 得,452-=C 从而所求题设方程的特解为.4521cos 412-++=x x e y x例2（E02）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.解 设),(x P y ='''代入题设方程,得),0(0≠=-'P P P x 解线性方程,得x C P 1=1(C 为任意常数)，即,1x C y ='''两端积分,得,21221C x C y +='',63231C x C x C y ++='再积分得到所求题设方程的通解为,224432241C x C x C x C y +++=其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.进一步通解可改写为.432241d x d x d x d y +++=其中)4,3,2,1(=i d i 为任意常数.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零,求这质点的运动规律.解 设在时刻t 质点的位置为),(t x x =由牛顿第二定律，得质点运动的微分方程)(22t F dtxd m = (1) 由题设, )(t F 随t 增大而均匀地减少,0)0(F F =⇒.)(0kt F t F -= 又0)(=T F ⇒)./1()(0T t F t F -=于是方程(1)可以写成 )1)((022T tt F m F dtx d -= (2)其初始条件为,00==t x .00==t dt dx在方程(2)式两端积分,得.211200C T t t m F dt T t m F dt dx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰代入初始条件,00==t dt dx得,01=C 于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F dt dx 220⇒,622320C T t t m F x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 将条件,00==t x 代入上式,得.02=C 于是所求质点的运动规律,62320⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤),(y x f y '=''型例4（E03）求方程02)1(222=-+dx dyx dxy d x 的通解. 解 这是一个不显含有未知函数y 的方程.令),(x p dx dy =则,22dx dp dxy d =于是题设方程降阶为,02)1(2=-+px dx dpx 即.122dx x x p dp +=两边积分,得 |,|ln )1ln(||ln 12C x p ++=即)1(21x C p +=或).1(21x C dxdy+= 再积分得原方程的通解.3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=例5 求微分方程初值问题.,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.解 题设方程属),(y x f y '=''型.设,p y ='代入方程并分离变量后,有.122dx x x p dp += 两端积分，得,)1ln(||ln 2C x p ++=即)1(21x C y p +='=).(1c e C ±= 由条件,30='=x y 得,31=C 所以).1(32x y +='两端再积分,得.323C x x y ++=又由条件,10==x y 得,12=C 于是所求的特解为 .133++=x x y例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.解法1 所给方程不显含,y 属),(y x f y '=''型,令,p y ='则,p y '=''代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2 因为,)(2'+'='+''y y x y y x 即,111xC y x y +=+'这是一阶线性微分方程，解得 ,221xC C xy ++=因为0→x 时，y 有界,得,02=C 故,21C x y +=由此得21='y 及,21)1(1C y += 又由已知条件),1(2)1(y y '=得,211=C 从而所求特解为.212+=x y例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.解 设绳索的最低点为.A 取y 轴通过点A 铅直向上，并取x 轴水平向右，且||OA 等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为).(x y y =考察绳索上点A 到另一点),(y x M 间的一段弧,AM 设其长为.s 假定绳索的线密度为，ρ则弧AM 的重量为.gs ρ由于绳索是柔软的，因而在点A 处的张力沿水平的切线方向，其大小设为;H 在点M 处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为,θ其大小为T (如图).因作用于弧段AM 的外力相互平衡，把作用于弧段AM 上的力沿铅直及水平两方向解得.cos ,sin H T gs T ==θρθ两式相除得 .1t a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==g H a s aρθ 由于⎰'+='=xdx y s y 02,1,tan θ代入上式即得 .1102⎰'+='x dx y ay 将上式两端对x 求导，便得)(x y y =满足得微分方程 .112y ay '+='' (1) 取原点O 到点A 的距离为定值,a 即,||a OA =则初始条件为.0,00='===x x y a y对方程(1)，设,p y ='则,dxdpy ='''代入并分离变量得： adxp dp =+21.1C a x p arsh +=由00='=x y 得01=C .a x p arsh =即a x sh y =' .2C axa c h y += 将条件a y x ==0代入上式，得 .02=C于是该绳索的曲线方程为 .2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x a c h y 这曲线叫做悬链线.),(y y f y '=''型例8（E04）求方程02='-''y y y 的通解. 解 设),(y p y ='则,dy dp py =''代入原方程得,02=-⋅p dy dpp y 即.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅p dy dp y p 由,0=-⋅p dy dp y 可得,1y C p =所以,1y C dxdy = 原方程通解为 .12x C e C y =例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解. 解 令,p y ='由,dydppy =''代入方程并化简得 ).1(2-=p dydpy上式为可分离变量的一阶微分方程，解得,12+='=Cy y p 再分离变量,得,12dx Cy dy=+由初始条件,1)0(=y2)0(='y 定出,1=C 从而得,12dx y dy=+再两边积分,得1arctan C x y +=或),tan(1C x y += 由1)0(=y 定出,41arctan 1π==C 从而所求特解为).4tan(π+=x y内容要点一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22x f y x Q dx dyx P dxy d =++， (5.1) 其中)(x P 、)(x Q 及)(x f 是自变量x 的已知函数，函数)(x f 称为方程(5.1)的自由项. 当0)(=x f 时, 方程(5.1)成为 0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d ， (5.2)这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个解, 则)()(2211x y C x y C y += (5.3)也是方程(5.2)的解，其中21,C C 是任意常数.定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(5.2)的通解，其中21,C C 是任意常数.定理3 设*y 是方程(5.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则*+=y Y y (5.4)就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.定理4 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则**+21y y 是方程 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.5)的特解.定理5 设21iy y +是方程)()()()(21x if x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.6)的解，其中)(),(),(),(21x f x f x Q x P 为实值函数，i 为纯虚数. 则1y 与2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法 对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1⎰=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式.1)(21211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰dx e y C C y y dx x P三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22x f y x Q dx dyx P dx y d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程0)()(22=++y x Q dx dyx P dx y d的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如2211*y u y u y += (5.11)的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.例题选讲例1 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ① 所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-'' (3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得 ,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-降阶法例2（E01）已知x xy sin 1=是方程0222=++y dx dy x dxy d 的一个解, 试求方程的通解. 解 作变换⎰=,1zdx y y 则有dxdy⎰+=,11zdx dx dy z y 22dx y d ⎰++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有,022111=⎪⎭⎫+ ⎝⎛+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得x z dx dzcot 2-=⇒.sin 21xC z = 故所求通解为y ⎰=zdx y 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤+=.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 21C x C x x+-=).cos sin (112x C x C x -= 其中21,C C 为任意常数..Cx dxdy=从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y += 为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*根据常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212120201⇒,211='u .2122x u -=' 积分并取其一个原函数得,211x u =.632x u -=于是，题设原方程的一个特解为*y 1221⋅+=u x u 6233x x -=.33x = 从而题设方程的通解为.33221x C x C y ++=常数变易法例3（E02）求方程x dx dyx dxy d =-122的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.由0122=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 122＝ dx x dx dy d dxdy 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ，||ln ||ln lnC xdxdy+= 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y +=为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212121201.21,21221x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6,21321x u x u -== 于是，题设原方程得一个特解为.3621333221x x x u x u y =-=⋅+⋅=*从而题设方程的通解为 .33221x C x C y ++=例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y xy x x y 的通解. 解 因为,01111=---+xx x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解 2y dx e e edx x xxx⎰--⎰=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'102121x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得,1x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x内容要点一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法0=+'+''qy y p y (6.1) 特征方程 ,02=++q pr r (6.2) 称特征方程的两个根,1r 2r 为特征根.)sin cos ()(,002121212121212121x C x C e y i r i r e x C C y r r e C e C y r r qy y p y q pr r x xr xr x r βββαβαα+=-=+=+==+==+'+''=++有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程 这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法. 二、 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n (6.6)其特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r (6.7)根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:xk k k k rxk k e x x D x D D x x C x C C i k e x C x C C r k αβββα]sin )(cos )[()(111011101110------+++++++±+++ 复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根注: n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解为.2211n n y C y C y C y +++=例题选讲二阶常系数齐次线性微分方程及其解法例1（E01）求方程032=-'-''y y y 的通解.解 所给微分方程的特征方程为,0322=--r r其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为.321x x e C e C y +=-例2（E02）求方程044=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为,0442=++r r 解得1r 2r =,2-=故所求通解为.)(221x e x C C y -+=例3（E03）求方程052=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为,0522=++r r 解得2,1r ,21i ±-=故所求通解为).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-n 阶常系数齐次线性微分方程的解法例4（E04）求方程052)4(=''+'''-y y y 的通解.解 特征方程为,052234=+-r r r 即,0)52(22=+-r r r特征根是1r 2r =0=和43，r ,21i ±-=因此所给微分方程的通解为).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=例5求方程0444=+w dxw d β的通解, 其中.0>β 解 特征方程为.044=+βr 由于44β+r βββ2422422r r r -++=222222)(ββr r -+=),2)(2(2222ββββ+++-=r r r r 特征方程为,0)2)(2(2222=+++-ββββr r r r 特征根为),1(22,1i r ±=β),1(24,3i r ±-=β因此所给方程的通解为 w ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x C x C e x 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x C x C e x βββ例6 求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y(2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -==通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++=(2) 特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r 特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x x x e C e C e C e C y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++例7（E05）已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解 由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1=由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±=所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r。
微分方程求解
求微分方程的解一、 问题背景实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用． 这里主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法．二、相关函数（命令）及简介1．dsolve('equ1','equ2',…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推．2．simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简． 例如： syms xsimplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) ans=13．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则．例如： syms x[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r = cos(2*x) how = combine4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y 0) 求微分方程的数值解． 说明：(1) 其中的 solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 之一．(2) odefun 是显式常微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy(3) 在积分区间 tspan =],[0f t t 上，从0t 到f t ，用初始条件0y 求解．(4) 要获得问题在其他指定时间点 ,210,,t t t 上的解，则令 tspan = ],,,[,210f t t t t （要求是单调的）．(5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver ．(6) 要特别的是：ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符号函数的作图命令．x,y 为关于参数t 的符号函数，[tmin,tmax] 为 t 的取值范围．6．inline()：建立一个内联函数．格式：inline('expr', 'var1', 'var2',…) ，注意括号里的表达式要加引号．例：Q = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)三、实验内容1. 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程22x xe xy dxdy-=+，并加以验证．求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1 y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2 diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：求微分方程0'=-+x e y xy 在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab 格式)，即xe e y x+=，解函数的图形如图 1：图1例3：求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++035y x dtdy e y x dtdx t在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t') simple(x); simple(y);ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto微分方程的特解(式子特别长)以及解函数的图形均略． 2. 用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例4：求解微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)0(2222y xx y dx dy 的数值解，求解范围为区间[0, 0.5]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); x'; y';plot(x,y,'o-') >> x' ans =0.0000 0.0400 0.0900 0.1400 0.1900 0.2400 0.2900 0.3400 0.3900 0.4400 0.4900 0.5000 >> y' ans =1.0000 0.9247 0.8434 0.7754 0.7199 0.6764 0.6440 0.6222 0.6105 0.6084 0.6154 0.6179 图形结果为图 2．图2例 5：求解描述振荡器的经典的 Ver der Pol 微分方程.7,0)0(',1)0(,0)1(222====+--μμy y y dt dy y dt y d分析：令,,121dt dx x y x ==则.)1(,1221221x x x dtdx x dt dx --==μ 先编写函数文件verderpol.m ：function xprime = verderpol(t,x) global mu;xprime = [x(2);mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; 再编写命令文件vdp1.m ： global mu; mu = 7; y0=[1;0][t,x] = ode45('verderpol',[0,40],y0); x1=x(:,1);x2=x(:,2); plot(t,x1)图形结果为图3．图33. 用 Euler 折线法求解前面讲到过，能够求解的微分方程也是十分有限的．下面介绍用 Euler 折线法求微分方程的数值解(近似解)的方法．Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),,(y x y y x f dxdy化成一个代数方程，即差分方程，主要步骤是用差商h x y h x y )()(-+替代微商dxdy,于是：⎪⎩⎪⎨⎧==-+)()),(,()()(00x y y x y x f h x y h x y k k k k 记)(,1k k k k x y y h x x =+=+，从而)(1h x y y k k +=+，则有1,,2,1,0).,(,),(1100-=⎪⎩⎪⎨⎧+=+==++n k y x hf y y h x x x y y k k k k k k 例 6：用 Euler 折线法求解微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)0(,22y y x y dx dy 的数值解(步长h 取0.4)，求解范围为区间[0,2]．解：本问题的差分方程为1,,2,1,0).2),( ),(,,4.0,1,021100-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+====++n k y x y y x f y x hf y y h x x h y x k k k k k k （其中： 相应的Matlab 程序见附录 1． 数据结果为：0 1.0000 0.4000 1.4000 0.8000 2.1233 1.2000 3.1145 1.6000 4.4593 2.0000 6.3074图形结果见图4：图4特别说明：本问题可进一步利用四阶 Runge-Kutta 法求解，读者可将两个结果在一个图中显示，并和精确值比较，看看哪个更“精确”？（相应的 Matlab 程序参见附录 2）．四、自己动手1. 求微分方程0sin 2')1(2=-+-x xy y x 的通解．2. 求微分方程x e y y y x sin 5'2''=+-的通解．3. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++00y x dtdy y x dtdx在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形． 4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异．5. 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0(,12'32y y x y y 的数值解(步长h 取0.1)，求解范围为区间[0,2]．6. 用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题⎩⎨⎧=-=1)0(,cos 'y x e y y x 的数值解(步长h 取0.1)，求解范围为区间[0,3]．四阶 Runge-Kutta 法的迭代公式为(Euler 折线法实为一阶 Runge-Kutta 法)：1,,2,1,0),()2,2()2,2(),()22(6,),(342312143211100-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+==++n k hL y h x f L L h y h x f L L h y h x f L y x f L L L L L hy y h x x x y y k k k k k k k k k k k k 相应的 Matlab 程序参见附录 2．试用该方法求解第5题中的初值问题． 7. 用 ode45 方法求上述第 6 题的常微分方程初值问题的数值解(近似解)，从而利用画图来比较两者间的差异．五、附录附录1：(fulu1.m)clearf=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];for i=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2))附录2：(fulu2.m)clearf=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0;b=3;h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];for i=1:n-1l1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2))。
第九章 偏微分方程差分方法
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
微分方程习题和答案
微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
04第四讲_微分方程word精品文档12页
第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法 方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程 特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？ 答 令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】 问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰， 求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】 解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三） 何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页 求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
自动控制原理第9章 习题及解析
第9章 习题参考答案9-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。
解 3x x x =-+由30x x -+=解得1230, 1, 1e e e x x x ===-。
作出系统的相轨迹图如下：平衡状态(0, 0)稳定，平衡状态(1, 0), (1, 0)-不稳定。
9-2 已知非线性系统的微分方程为(1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。
解 (1) 奇点(0, 0)。
特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(2) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±平衡点(0, 0)为中心点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(3) 奇点(0, 0)。
原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为x x x-+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866jλ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。
在奇点附近的概略相轨迹图：xx9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。
系统开始是静止的，输入信号r(t)＝4·1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，在e-e平面上画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
第九章 微分方程与差分方程简介
第九章 微分方程与差分方程简介基 本 要 求一、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
二、掌握变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程的求解方法。
三、会用降阶法解下列方程：),(),,(),(//////)(y y y y y y f x f x f n ===。
四、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
习 题 九1、试说出下列微分方程的阶数：(1)x yy y x =-'2'2)(； ………………………………一阶 (2) 02)(22=+-xydy dx y x ；…………………………一阶 (3)022'''''=++y x y xy ；………………………………三阶 (4)x y y y =++'2''')1(.…………………………………二阶 2、验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： (1)y xy x y 2,5'2==；解：由x y x y 105'2=⇒= ∴y x xy 2102'== ∴25x y =为y xy 2'=的解.(2) 02,sin '''=-+=xy y xy xxy . 解：∵2''sin cos )sin (x x x x x x y -==，32''sin 2cos 2sin xxx x x x y +--= ∴0sin 22'''≠-=-+x xy y xy ，即xxy sin =不是02'''=-+xy y xy 的解.3、求下列微分方程的通解：(1)0'2=+y y x ；解：x Ce y C x y x dx y dy 12ln 1ln =⇒+=⇒-=(2) xy dxdyx =+)1(2； 解：)1(ln )1ln(21ln 122222x C y C x y x xdx y dy +=⇒++=⇒+=(3) y yex x dx dy 12+=； 解：C x e ye dx x x dy ye yyy++=-⇒+=2322)1(311(4) 3'ln xy xy xy +=；解：C x y y C x y y dx x x dy y y +=+⇒+=+⇒=+24212423)(ln 22)(ln 2142ln )( 4、解下列初值问题：(1)0)1(,12=+=y y dx dy； 解：∵)tan(arctan 12C x y C x y dx y dy+=⇒+=⇒=+ 由10)1(-=⇒=C y ∴)1tan(-=x y (2)1)0(,==-y e dxdyy x ；解：∵C e e dx e dy e x y x y +=⇒=由11)0(-=⇒=e C y ∴1-+=e e e x y (3)1)0(,)1(212-=-+=y y x dx dy ；解：∵C x x y y dx x dy y ++=-⇒+=-222)12()1(2由31)0(=⇒-=C y ∴3222++=-x x y y (4)2)2(,132=++=y x x yx dx dy .解：∵13ln )1ln(213ln 13222+=+⇒++=+⇒+=+x C y C x y x xdx y dy 由52)2(=⇒=C y ∴)1(5)3(22x y +=+ 5、求下列齐次方程的通解： (1)xyx y -='；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为：xdx u du =-21 积分得：xC x C y Cx u C x u 2222121)21(ln ln 21ln 21-=⇒=-⇒+=--- (2) yx y x y -+='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx x du uu u u u u xu 1)111(1122'=+-+⇒-+=+ 积分得：Cx u e C x du u u u =+⇒+=+--212arctan 2)1(ln ln )1ln(21arctan即Cx xy exy =+-2122)1(arctan(3)xy xe y xy +='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xu d e e u dx du x u u u 1)(=--⇒+=+- 积分得：)ln ln(ln x C x y C x e u --=⇒-=--(4)x xy y x y xy -=sin sin' x x yy x y x y -=sin sin /；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xudu 1sin -=积分得：C x xyC x u +=⇒--=-ln cos ln cos(5) 1,02)3(022==--=x y xydx dy x y .解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为x dx du u u u uu =--++--)]25151(1035[2 积分得：C y x y C x u u u =-⇒+=+----3251225ln ln ln 1065ln 1035ln 216、求下列微分方程的通解：(1) x e y y =-3'；解：2)()(2333xx x x dx x dx eCe C dx e e C dx e e e y -=+=+⎰=⎰⎰-⎰-(2)22'x e y xy =+；解：方程整理为xe y x y x 22'=+∴)2(1)(1)(222222C e xC dx xe x C dx e x e ey x x dx x x dx x+=⎰+=⎰+⎰⎰=-(3)'xy xy e x =+；解：方程整理为xe y y x=-'∴)(ln )1()(C x e C dx xe C dx e x e ey x x dx x dx+=⎰+=+⎰⎰=-⎰ (4))2,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； 解：方程整理为1tan '=⋅-y y θ∴θθθθθθθθθθcos tan )cos (cos 1)(tan tan CC d C d e e y d d +=+=⎰+⎰⎰=⎰- (5))0('>=++-x e y xy xy x；解：方程整理为xe y x x y x-=++1'∴)1()()(ln )ln (11xC e C dx e x e eC dx e xe ey x x x x x x dx xx x dx xx +=+⎰=+⎰⎰=-+-+-⎰+-+-*(6)21y x dx dy +=. 解：方程整理为2'y x x =-∴y y y dydy Ce y y C dy e y e C dy e y e x +---=+=+⎰⎰=⎰⎰-22)()(2227、求下列微分方程的通解： (1)x x y sin ''+=；解：∵12'cos 2)sin (C x x dx x x y +-=+=⎰ ∴⎰++-=+-=21312sin 6)cos 2(C x C x x dx C x x y(2) '''''44y y xy +=； 解：令 (3)0'''=+y xy ；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx xP dP P xP 10'-=⇒=+ 积分得x C P C x P 11ln ln ln =⇒+-=，即211ln C x C y xC dx dy +=⇒= (4) 222x dxy d =； 解：∵132'3C x dx x y +==⎰ ∴2141312)3(C x C x dx C x y ++=+=⎰ (5)xy y xy ''''ln =；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x P x P P ln '=，令dxdu x u P x P u +=⇒=' ∴原方程为xdxu u du =-)1(ln ，积分有2111111)1(1ln ln ln 1ln ln 11C C x C e y e x P x C x P C x u x C x C +-=⇒=⇒=-⇒+=-++(6) '22''')(y y y yy =-； 解：令dy dP Py y P y =⇒=''')(，原方程化为y P ydy dP =-1∴)()1()(11111C y y C dy yy y C dy yeeP dyy dyy +=⎰+⋅⇒+⎰⎰⎰=-∴xC xC e C e C C y dx C dy C y y C y y y 11221111'1)11()(-=⇒=+-⇒+= (7)x x y y sin cot 2'''=+；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x x P P sin cot 2'=+，即)cos cos 31(csc )sin ()sin (1321321cot 2cot 2C x x x C xdx x csx C dx e x e P xdx xdx +-=+⎰⇒⎰+⎰⋅⎰=-∴2121222cot 3sin 3csc 2csc sin sin 1sin sin )sin 1(31C x C x x xdx C x d x xx d x y +--=+--=⎰⎰⎰ (8)'''''y y =；解：令''''''P y P y =⇒=，则原方程为dx pdP=，积分得x e C P 1= ∴21'C e C y x += ∴321C x C e C y x ++= (9)2,1,30'0''=====x x y y y y .解：令dydP P y y P y =⇒=''')(，原方程化为dy y PdP 3=，积分得12324C y P +=∵2,10'0====x x yy∴由上式得01=C ，即43'2y y =∴24124C x y +=，同理可得22=C ∴2241+=x y8、求下列函数的差分. (1)C y x =（C 为常数）； 解：0=-=∆C C y x (2)x x a y =；解：)1(1-=-=∆+a a a a y x x x x (3)ax y x sin =；解：2sin )21(cos 2sin )1(sin a x a ax x a y x +=-+=∆(4) 2x y x =；解：12)1(22+=-+=∆x x x y x 9、确定下列差分方程的阶. (1)23123=+-++x x x y y x y ； 解：∵3)3(=-+x x ∴其阶为3. (2) 242+--=-x x x y y y .解：∵6)4()2(=--+x x ∴其阶为6.第九章 单 元 测 验 题1、指出下列题的叙述是否正确：（1）方程y x y y xy 2'2)(=-是齐次的；…………………………………………错 （2）方程0)13()2(3'22=+++y x xy x 是线性的；………………………………正确 （3）方程1623'-+-=xy x y y 是可分离的.……………………………………正确 2、求下列微分方程的通解：(1))(cos 2'x yx y xy +=；解：∵)(cos 2'x y x y y += 令''xu y y x y u +=⇒=，原方程化为dx x udu 1sec 2=积分得)arctan(ln ln tan C x x y C x u +=⇒+= (2)xy x x y 1ln 1'=+； 解：xCx C dx x x x y C dx e x ey dx x x dxx x ln 2ln )ln (ln 1)1(ln 1ln 1+=⎰+=⇒+⎰⎰⎰=-*(3) 0)2(22=-+-dy x xy y dx y ； 解：原方程整理得1)21(2=-+x y y dy dx ∴)1()1()(121212)21()12(22y y ydyy y dyy y Ce y x C dy e ye y x C dy eex +=⇒⎰+=⇒⎰+⎰⎰=---2(4)0)1('''2=--xy y x ，且满足1,00'0====x x y y .解：：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx x xP dP 21-=，积分得 2121ln 1ln 21ln xC P C x P -=⇒+--= ∴2121arcsin 1C x C y dx x C dy +=⇒-=又∵1,00'0====x x y y ∴代入上式得0,121==C C ∴x y arcsin =3、求曲线方程)(x y y =，它满足方程y x dxdy34=，且在y 轴上的截距等于7. 解：由题得dx x ydy34=，积分有4x Ce y = 又∵曲线在y 轴上的截距等于7 ∴当0=x 时7=y ，代入上式得7=C∴曲线方程为47x e y =.4、求一条曲线，使该曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于2a ，并且该曲线过),(a a 点. 解：设该曲线方程为)(x f y =则曲线上任意一点),(00y x A 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-设此切线与y 轴交于点C ，过切点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，对梯形ABOC 有：000'0000'0,),()0)((y AB x OB x f x y x x f y OC ==-=-+=∴)](2[22)(0'0002x f x y x a OBAB OC S ABOC -=⇒+=由于点),(00y x A 的任意性，上式可以改写为2'2)2(a xy y x =-整理得22'22xa y x y -=-，积分得)32()2()2(3224222222C xa x C dx x a x C dx e x a ey dx x dxx +=+⎰-=+⎰⎰-⎰=-- 又∵曲线过),(a a 点 ∴a C 31= ∴ax x a y 33222+=。
(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
常微分方程答案
常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,1112 3yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y ydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dxdy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e eexy uu xy x u u x yxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分答案方程.doc
第一章初等积分法§1.1 微分方程和解习题简单，略。
§1.2 变量可分离方程(P14)1.求下列可分离变量方程的通解：(1)ydy = xclx : (2) y = y\n y : (3) y = e x~y : (4) tan ydx—colxdy = Q o解：(1)通解为/ =^2 + Co (2)通解为lny = C0L(3)通解为，=e'+C。
(4)通解为sinycosx = C。
2.求下列方程满足给定初始条件的解：(1))/ =)，(、—1),)，(0) = 1； (2)(疽―i)y +2勺，2 =(),贝())=1 ；(3) / = y(2) = 0; (4) (y2 + xy2)dx-(x2 + yr2)dy = 0,y(l) = -1«解:(1)y=1;(2) y(ln|x2 -1|+1) =1: (3) y, =0,y2 =(x-2)3; (4)-= -厂；。
- y3 .利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：⑴ y r = f(ax+by^c): (2)孚=二，(封);⑶牛="(易；ax x ax⑷ f(xy)y + g(xy)xy f = 0, /(w)丰 g("), /(w), g(")连续。
解：(1)令〃 = or + ” + c,则u f = a + by =a + hf\u)变量分离。
(2)令a = xy ,则/ = y +板=■ +『鼻f(u) = 〃 + '(")变量分离。
x x~ x(3)令〃 = 则_/= "/+ 2心=对*("), / = ~ 变量分离。
r x(4)令u = xy^ ,则 # = y + w，= y-虫少~ = )变量分离。
g(“) x g(u)4.求解方程xjl -y2dx + y\j\ - x2 dy = 0 o解:通解：Jl —b + Jl —y」=C(C>0)。
高等数学第章微分方程解答
习题7-2 可分离变量的微分方程 1求下列微分方程的通解： （1）2211y y x -='-； 解==两端积分得 arcsin arcsin y x C =+，（C 为任意常数） 即为原方程的通解。
（2）0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ；解 将原方程分离变量，得 22sec sec tan tan y xdy dx y x=-两端积分得ln tan ln tan ln y x C =-+ 或ln tan tan ln x y C = 故原方程的通解为tan tan x y C =（C 为任意常数）。
2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）e yy y x y x =='=2,ln sin π；解 将原方程分离变量，得ln sin dy dxy y x= 两端积分得()tan ln 2ln tan 2x d d y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰， 即ln ln ln tan ln 2x y C =+故原方程的通解为ln tan 2x y C =,代入初始条件,2x y e π==,得1C =.于是,所求之特解为tan 2x y e=.（2）.1,022==+=x y ydx xdy 解 将原方程分离变量，得2dy dx y x=-两端积分得2dy dxy x=-⎰⎰， 即ln 2ln ln y x C =-+ 故原方程的通解为2x y C =,代入初始条件2,1x y ==,得4C =.于是,所求之特解为24x y =.3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解 设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x 轴与y 轴上的截距分别为2x 与2y,于是切线的斜率2002y yy x x-'==--,分离变量得dy dx y x =-,积分得ln ln ln y x C =-+,即xy C =.代入初始条件23x y ==,得6C =,故曲线方程为6xy =. 习 题 7-3 齐次方程 1、求下列齐次方程的通解 （1）022=---'x y y y x解 (a) 当0x >时,可将方程改写成y y x '=+.令y u x =,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为u xu u '+=+.分离变量,得dxx=.两边积分得ln ln ln u x C +=+,即u Cx +=.将yu x=代入上式整理,得通解为2y Cx +=; (b) 当0x <时,方程两边同除以x -,则原方程可改写成0y y x'-+-=,即0yy y y x x ''--=--=(因为0x <时,x x -==也就是y y x '=+与x >0的情况一样)所以,对任意的0x ≠,方程的通解为2y Cx +=(C 为任意常数). （注:如果C =0,则由原方程知,0xy '=,即0x =或y A =,若0x =,则原方程变为0y +=,只有当0y <时成立;若y A =(A 为常数),则原方程变成0A +=,当A <0时方程有解.）（2）0cos 3)cos 3sin2(=-+dy xyx dx x y y x y x 解 原方程可改写成2tan 03y y dy x x dx +-=.令yu x=,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为2tan 3du u x u u dx +=+.分离变量,得32tan du dxu x=.两边积分得3ln sin ln ln 2u x C =+,即32sin u Cx =.将y u x =代入上式,得通解为32sin yCx x=(C 为任意常数).2. 求齐次方程1|,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 满足所给初始条件的特解解 原方程可写成21320x x dxy y dy ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令x u y =,即x yu =,有dx du u y dy dy =+,所以原方程成为21320du u u u y dy ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭. 分离变量,得221u dydu u y=-,积分得2ln 1ln ln u y C -=+,即21u Cy -= 代入xu y=并整理,得通解为223x y Cy -=. 由初始条件0,1x y ==,得1C =-.于是所求特解为322y y x =-. 习 题 7-4 一阶线性微分方程 1、求下列微分方程的通解 （1）x e y dxdy-=+ （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y .解 (1) 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为()().dx dx x xxx x y e e e dx C e ee dx C e x C -----⎡⎤⎰⎰=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2) 将原方程改写成222cos 11x xy y x x '+=--.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为 ()22222112222cos 1cos sin 11111x xdx dx x x x x x Cy e e dx C x dx C x x x x ---⎡⎤+⎰⎰⎡⎤=+=-+=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰.(C为任意常数)(3) 将原方程改写成11ln dx x dy y y y+=,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为ln ln ln ln ln ln 1111dy dyy yy y y y x e e dy C e e dy C y y --⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰2111ln 11ln ln ln 2y dy C y C y y y ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 即 ()212ln ln 2x y y C C C =+=.(C 为任意常数) (注: ln ln 1ln y e y-=,当ln 0y >时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当ln 0y <时,则ln ln ln ln 1111ln 1ln 1ln ln ln ln yy yy y ee dy C dy C dy C dy C y y y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰与上述结果一样) 2、求微分方程0|,sec tan 0==-=x y x x y dxdy满足所给初始条件的特解。
常微分方程的奇解的求法
2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。
一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。
在这里我们讨论不存在奇解的判别法。
如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。
我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。
关键词：奇解，判别式，包络线。
1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。
但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。
2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。
那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。
方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
1试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程
习题1.11.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：1）曲线上任意一点的切线与该点的向径夹角为零；2）曲线上任意一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长L ；3）曲线上任意一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点平分；4）曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的面积都等于常数a 2;5）曲线上任意一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方.2.有一质量为m 的质点挂在一个弹簧上，设空气阻力可以忽略不计，弹簧的弹性力服从胡克定律，试建立此质点运动的微分方程.3.有一质量为的物体在空气中铅直下落,它除了受到重力作用外还受空气阻力的影响，假设空气阻力与运动速度成正比，试建立此质点运动的微分方程.4.由牛顿冷却定律知物体在流动的空气中冷却的速度与物体的温度与空气温度之差成正比。
设开始的温度为T 0℃，将其放在温度为A ℃的空气中冷却，求在任意时刻t 时物体的温度所满足的微分方程.5.一个质量为m 的物体,在倾角为30º的斜面上由静止开始下滑，若不计摩擦力，设建立其运动的微分方程.6.一凹镜由平面曲线y=y(x)绕轴ox 旋转而成，假设由轴上一点p 发出的一切光镜此凹镜反射后都与旋转轴平行，求曲线y=y(x)所满足的微分方程.7.求下列曲线族消去其中任意常数（A,B,C ）所满足的微分方程:1）Y=AX 2;2）Y=Ce 2X ;3）Y=A+Be X ;4）C(Y+C)2=X 3;5）X 2/(1+C)+Y 2/(4+C)=1;6）cos 1(-=A ρθ),(θρ, 是极坐标)；7){),cos 1(),sin 1(t C Y t C X-=-= t 为参数 8.指出下面微分方程的阶数，并判断他们是否是线性方程：1） x 2y ’’+xy ’+2y=sinx;2） (1+y 2)y ’’+xy ’+y=e x;3）y ’’+sin(x+y)=sinx;4）y (m)+y ’’+y=0;5）y ’=f(x,y);6）F(x,y,x ’,y ’,y ’’,y ’’’)=0;7）Y ’’+p(x)y ’+q(x)y=g(x);8）Y ’+xy 2=0; 9.验证下列各函数是相应微分方程的解：1) y ’’-y=0,y=shx;2) y ’=y 2-(x 2+1)y+2x,y=x 2+1;3) (1-x 2)+xy=2x,y=2+c x -12，c 是任意常数；4) y ’’+y=secx,y=cosxln(cosx)+xsinx,0<x<2/π;5) y ’’-2xy=secx,y=e x^2⎰x0e -t^2dt+e x^2;6) y ’=f ’(x)y 2/g(x)-g ’(x)/f(x), y=-g(x)/f(x);7) y (4)+y=0, y=exp(2x/2)cos(2x/2).10.给定一阶微分方程dy/dx=2x ：1）求出它的通解；2）求通过点（1，4）的特解；3）求出与直线y=2*x+3相切的解；4）求出满足条件⎰=102)(dx x y 的解；5）画出2），3），4）中解的图形。
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第九章 微分方程
内容提要
一、 微分方程的概念
掌握微分方程的定义，微分方程的阶定义，微分方程的解、通解、特解、初始条件。
二、 一阶微分方程（★★）
1、 可分离变量的微分方程 方程形式 '()()y f x g y = 解法：先分离变量为
()()dy dx g y f x = 再两边积分11
()()
dy dx g y f x =⎰⎰，得结果
2、齐次方程 形式：
()dy y
f dx x
= 解法：设,y dy du u u x x dx dx ==+则，原方程变为：()du
x
f u u dx
=- 方程变为一个可分离变量的微分方程，用分离变量法得通解，再将通解中的u 用y
x
代换，即可得原方程的通解。
3、一阶线性微分方程 形式：'()()y P x y Q x +=
当()0Q x =时，称'()0y P x y +=为对应一阶线性齐次方程；当()0Q x ≠时，称'()()
y P x y Q x +=为一阶线性非齐次方程。
解法：（1）通解公式法： 通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰
（2）常数变易法：先求出对应一阶线性齐次方程'
()0y P x y +=的通解()P x dx y Ce -⎰=，再令对应非齐次方程的通解为()()P x dx
y C x e -⎰=，将通解代入所求方程中得
()'()()P x dx C x e Q x -⎰=，求出待定函数()()()P x dx C x Q x e dx C ⎰=+⎰，即可得原方程通解。
4、可降阶的高阶微分方程 a. 形如：()
()n y
f x = 解法：用n 次积分求解，通解中必含有n 个任意常数。
b. 形如：'''(,)y f x y = （不显含y ） 解法：令'
y p =，则'
'dp
y p dx
=
=，于是方程变为一阶方程'
(,)p f x p =，再按照一阶微分方程的解法求出通解，并将'
p y =代入通解中求出原方程的通解。
C. 形如：'''(,)y f y y = （不显含x ） 解法：令'
y p =，则''
dp dy dp
y p dy dx dy
=
=，于是方
程变为一阶方程(,)dp
p
f y p dy
=，按照一阶微分方程的解法求出通解，并将'p y =代入通解中按照一阶微分方程的解法求出原方程的通解。
三、二阶线性微分方程解的结构及解法
1、二阶线性微分方向的概念：
'''()()()y P x y Q x y f x ++= （1） 二阶线性非齐次微分方程 '''()()0y P x y Q x y ++= （2） 二阶线性齐次微分方程
2、 解的性质及结构
A 若12()()y x y x 与是方程（2）的两个解，则1122()()y C y x C y x =+也是方程（2）的解。
B 若12()()y x y x 与是方程（2）的两个线性无关的特解，则1122()()y
C y x C y x =+是方程（2）的通解。
3、 二阶常系数线性齐次微分方程
形式：'''0y py qy ++=，其中,p q 都是常数。
解法其通解形式： 第一步：先写出特征方程2
0r pr q ++= 第二步：求出特征方程的根12,r r
典型例题
一、填空题
（1）微分方程'''2
''5
()2()30y x y y --=是 阶微分方程 （2）函数x x
xe e --,是线性 （相关or 无关）
（3）微分方程
dx
dy
=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解为 （4）微分方程'''
x
y e -=通解为
（5）微分方程340y y y '''--=的通解为 （6）微分方程''6'90y y y -+=的通解为 （7）微分方程'''0y y y -+=的通解为
（8）已知曲线()y f x =经过点(1,2)，曲线上任意点(,)x y 处切线的斜率为2x ，则该曲线方程为 （9 微分方程y y '= 满足0
2x y
==的特解为
二、求下列微分方程的通解或者满足初始条件的特解
（1）
221dy
x y xy dx
=-+- （2）'20,|0x y x y e y -===
（3）(cos )cos 0y y x y dx x dy x x -+= （4）
2(1dy
x dx
=- （5）
32(1)1dy y x dx x -=++ （6）sin ,|1x dy y x y dx x x
π=+== （7）'''0xy y += （8）''',(0)1,(0)1x y xe y y ===-
（9）dy y dx y x
=- （10）1,0y
x
x dy y e y dx x ==+= （11）
00,111x x y
dx dy y y x
=-==+- （12）13,
0x dy x y y dx =+==
（13）430y y y '''-+= （14）'
00
560,0,3x x y y y y y =='''-+===
（15）440y y y '''-+= （16）460y y y '''-+=。