专题15曲线中的定点定值最值问题

2b 2 2
4 0， ① m2 1 2m b m 2 b m2 2 y mx , ) b 代入直线方程 解得： . 2 m2 2 m2 2 2m 2
6 6 或m . 3 3
将 AB 中点 M ( ②
由①②得 m
(II)令 t
1 6 6 ( ,0) (0, ) ，然而 AB t 2 1 m 2 2
c 2 ,b 1 2 2 2 【解析说明】 ：第一问由题意知 a 2 ，由 a b c ，易得 a，
b，c 的值，进而得椭圆标准方程。第二问是圆锥曲线的定值的证明 问题， 解决这类问题一般是将问题涉及的几何式转化为代数式， 证明 该式的值与参数无关。因此用参数 k 表示出直线 AP 与 AQ 的斜率之 和是关键， 当然直线与椭圆的问题在这里少不了联立方程组以及韦达 定理的应用。 【参考答案】 ：(I)由题意知
(I)求实数 m 的取值范围； (II)求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点） ．
【选题说明】 ：圆锥曲线中某个参数的范围和面积型的最值问题也是 常见问题.解决某个参数的范围常用方法利用隐含 (比如判别式大于 零列出对应的不等式)或已知的不等式建立不等式,从而求出参数的 范围;对于面积型最值问题一般是选择合适方法找到面积的表达式 , 转化为某个参数的函数关系,再求其值域., 【解析说明】 ：第一问(1)联立直线
c 2 ,b 1， a 2
综合 a 2 b2 c2 ，解得 a 2 ， 所以，椭圆的方程为
x2 y2 1 . 2
(II)由题设知，直线 PQ 的方程为 y k ( x 1) 1(k 2) ，代入 得
(1 2k 2 ) x2 4k (k 1) x 2k (k 2) 0 ，
6 3， 11
x2 y 2 1． 4 3
所以 a 2 4 ， b2 3 ．故椭圆 C 的方程为
（Ⅱ）由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y k ( x 4) ．
y k ( x 4), 由 x2 y 2 1. 3 4
得 (4k 2 3) x2 32k 2 x 64k 2 12 0 ．
为半径的圆与直线 x y 6 0 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P(4, 0) ， A ， B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆
C 于另一点 E ，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M ， N 两点，求 OM ON 的取值 范围．
①
设点 B( x1 , y1 ) ， E( x2 , y2 ) ，则 A( x1 , y1 ) ． 直线 AE 的方程为 y y2 令 y 0 ，得 x x2
y2 y1 ( x x2 ) ． x2 x1
y2 ( x2 x1 ) ． y2 y1
将 y1 k ( x1 4) ， y2 k ( x2 4) 代入， 整理，得 x
专题 15
一、专题梳理：
曲线中的定点
、定值、
最值与范围问题
曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考常考问题，主要以 解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考 生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求。 二、课前自测： 1.已知 P 是椭圆
x2 y 2 1在第一象限内的点，A（2，0） ，B（0，1） ， 4
1 1 x x 2k (2 k ) 2k (2 k ) 1 2 x1 x2 x1 x2
2k 2 k 4k (k 1) 2k (2k 1) 2 . 2k (k 2)
例 2：已知椭圆 C :
x2 y 2 1 2 1 (a b 0) 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴 2 2 a b
3 3 2 2 5 此时 OM ON ． 4 5 所以 OM ON 的取值范围是 [4, ] ． 4
解得 M (1, ) ， N (1, ) ．
例 3：已知椭圆
1 x2 y 2 1 上两个不同的点 A, B 关于直线 y mx 对称． 2 2
x2 y2 1 1 1 2 2b 2 x b2 1 0 . 由 消去 y ，得 ( 2 ) x 2 m m y 1 x b m
因为直线 y
1 x b． m
1 x2 x b 与椭圆 y 2 1 有两个不同的交点，所以 m 2
O 为原点，求四边形 OAPB 的面积的最大值
( ) 分析：设 P（ 2 cos , sin ） ，0

2
,点 P 到直线 AB：x+2y=2 的距
)2| 2 2 2 5
离d
| 2cos 2sin 2 | 5

| 2 2 sin( 5

4
∴所求面积的最大值为 2 2．P 是双曲线 - =1 的右支上一点， M、 N 分别是圆（������ + ������)������ ＋������ ������ ＝4
t2 1 2 . 2 t 1
2t 4 2t 2 t2 1 2
3 2 ,且 O 到直线
AB 的距离 d
设△ AOB 的面积为 S (t ) ，所以
S (t )
1 1 1 2 AB d 2(t 2 ) 2 2 2 2 2 2
2
当且仅当 t
1 2 时，等号成立．故△ AOB 的面积的最大值为 ． 2 2
专题 15 曲线中的定点 、定值、
课后自测
最值与范围问题
班级_________姓名_______ 1．已知椭圆
6 x2 y 2 2 1(a b 0) 的离心率为 ，短轴的一个端点到右 2 a b 3
在解析几何里一般采用代数 （即坐标） 的形式表达， 即找到 OM ON 的 代数表达式，转化为函数的最值问题解决即可。 【参考答案】 ： 解： （Ⅰ） 由题意知 e ， 所以 e2 即 a 2 b 2 ．又因为 b
4 3

c a
1 2
c2 a 2 b2 1 ． a2 a2 4
线 y mx AB 方程 y
1 x b 与椭圆方程,还是联立直 m
1 方程与椭圆方程也要搞清楚, (2)利用中心对称找到代数关系:斜 2 mx 1 2 上,找到 m,b 关系，利用判别式
率互为负倒数及中点在直线 y
建立含 m 的不等式，进而求解。第二问找到面积的表达式，转化为二 次函数最值问题。 【参考答案】 ：解析：(I)由题意得 m 0 ，可设直线 AB 的方程为 y
(I)求椭圆 E 的方程； (II)经过点 (1,1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q（均 异于点 A ） ，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.
【选题说明】 ： 定值问题通常是通过设合适参数或取特殊值来确定 “定 值”是多少，以确定解决问题的目标，而本题目标及参数已确定，运 用推理，必定参数统统消掉，与参数无关，问题得证。
4 A． 3 7 B． 5 8 C． 5
D． 3
4 ． 已 知 抛 物 线 ������ ������ =4x, 过 点 P(4,0) 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于
������ ������ A(������ ������ ,������������ ),B(������ ������ ,������������ )两点，则������������ +������������ 的最小值是

【选题说明】 ：第二问是一个定点问题，而题目有没给出这个定点， 通常是根据特殊情况找到这个定点， 明确解决问题的目标， 然后进行 推理探究。第三问取值范围问题，解决这类问题的常用方法有两种： （1）几何法：若题目的条件和结论明显体现结合特征，则考虑利用 图形性质解决。 （2 ） 代数法： 若题目的条件和结论体现一种函数关系，
． 将 y1 k ( x1 4) ， y2 k ( x2 4) 代 入 得 到
x
2 x1 x2 4( x1 x2 ) x1 x2 8 ，利用韦达定理整理即可消参数，得到定点。
OM ON 的取值范围．对于向量的数量积有两种表达形式， 第三问求
2 x1 x2 4( x1 x2 ) ． x1 x2 8
②
由①得 x1 x2
32k 2 64k 2 12 x x ， 代入② 1 2 4k 2 3 4k 2 3
整理，得 x 1 ． 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1, 0) ． （Ⅲ） 当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时， 设直线 MN 的方程为 y m( x 1) ， 且
������ ������������ ������ ������ ������ ������
和（������ − ������)������＋������ ������ ＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ B A. 6 B.7 C.8
） D.9
3．抛物线 y=-������ ������ 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A )
x2 y2 1 ， 2
由已知 0 ，设 P x1 y1 , Q x2 y2 ， x1x2 0 则 x1 x2
4k (k 1) 2k ( k 2) , x1 x2 ， 2 1 2k 1 2k 2
从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和
k AP k AQ y1 1 y2 1 kx1 2 k kx2 2 k x1 x2 x1 x1