高二人教B版数学选修1-1同步练习2-3-1《抛物线及其标准方程》
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。
人教B版选修1-1高中数学2.3.1《抛物线及其标准方程》word课后知能检测
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程课后知能检测 新人教B 版选修1-1一、选择题1．(2013·济南高二检测)若动点P 与定点F (1,1)和直线3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【解析】 由于点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，故满足条件的动点P 的轨迹是一条直线．【答案】 D2．(2013·新乡高二检测)设动点C 到点M (0,3)的距离比点C 到直线y ＝0的距离大1，则动点C 的轨迹是( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆【解析】 由题意，点C 到M (0,3)的距离等于点C 到直线y ＝－1的距离，所以点C 的轨迹是抛物线．【答案】 A3．抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴的距离为( )A ．a －pB ．a ＋pC ．a －p2D ．a ＋2p【解析】 y 2＝4px 的准线方程为x ＝－p ， 设M 点坐标为(x 1，y 1)，则x 1＋p ＝a ， ∴x 1＝a －p . 【答案】 A4．(2013·东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝－8xD ．y 2＝8x【解析】 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x .【答案】 D5．(2013·洛阳高二检测)已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一动点，F 为焦点，定点P (3,1)，则|MP |＋|MF |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 如图所示，过点P 作PN 垂直于准线x ＝－1于点N ，交抛物线于点M ，∴|MN |＝|MF |，此时|MP |＋|MF |取得最小值，最小值为x p ＋p2＝3＋1＝4.【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________． 【解析】 由y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2. 【答案】 27．(2013·三明高二检测)以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．【解析】 由x 24－y 25＝1知a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9，双曲线右焦点为(3,0)， 依题意，抛物线的焦点F (3,0)，p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x . 【答案】 y 2＝12x8．(2012·陕西高考)如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2－3－2【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m.【答案】 2 6 三、解答题9．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程． (1)准线方程为y ＝－1； (2)焦点到准线的距离是4.【解】 (1)准线为y ＝－1，所以p2＝1，即p ＝2，所以抛物线标准方程为x 2＝4y .(2)p ＝4，所以抛物线标准方程有四种形式：y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y . 10．抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．【解】 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m ＞0时，点A 在第四象限，抛物线的方程可设为y 2＝2px (p ＞0)， 设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2pm ，p2＋m ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线的方程为y 2＝2x 或y 2＝18x ，当m ＜0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)， 设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－2pm ，p2－m ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线的方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 11．已知抛物线x 2＝4y ，点P 是此抛物线上一动点，点A 坐标为(12,6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴距离之和的最小值．【解】 将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36＞6，所以A 点在抛物线外部．抛物线焦点F (0,1)，准线l ：y ＝－1.过P 作PB ⊥l 于点B ，交x 轴于点C ，则|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PB |－1＝|PA |＋|PF |－1，由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |最小．∴|PA |＋|PF |的最小值为|FA |＝13.故|PA |＋|PC |的最小值为12.。
人教新课标版数学高二选修1-1练习2-3-1抛物线及其标准方程
2.3.1一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1a y ，其准线为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12 [答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能 [答案] B[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p 2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()A．2 3 B. 3C.12 3 D.14 3[答案] B[解析]p2＝c＝32，∴p＝ 3.10．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()[答案] D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程x21a2＋y21b2＝1，y2＝－ab x.因为a>b>0，因此1b>1a>0.所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.二、填空题12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．[答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78. 三、解答题16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB→＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)整理得x 2－2x －4＝0可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OC ⊥OD18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．(1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。
高中数学选修1-1优质学案1：2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程探究1：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．巩固1：动圆P 与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且与直线l ：x ＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程探究2：已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程： (1) y 2＝8x ；(2)2x 2＋5y ＝0；(3)y 2＝ax (a ＞0)．巩固2：1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为( )A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，1162．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．三、抛物线定义的应用探究3：(1)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆(2)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)巩固3：1．若抛物线y 2＝4x 上有一点P 到焦点F 的距离为5，且点P 在直线x ＋y －3＝0的上方，则P 的坐标为__________．2．抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线焦点的距离为__________．四、与抛物线有关的最值问题探究4：已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．巩固4：1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．当堂检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．以双曲线22=1169x y -的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝－20x D ．y 2＝20x3．已知动点M (x ，y )的坐标满足2|x -，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．5．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________． [答案] 【问题导学】探究1： 思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x 轴的负半轴上，也可能在y 轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝1 6；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝9 2．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y．(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．巩固1：1．解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA．设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1．∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1．又∵圆P与直线l：x＝1相切，∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1．∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，∴所求的轨迹方程为y 2＝－8x ．:探究2： 思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p ，再求焦点坐标和准线方程．解：(1)∵p ＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x ＝－2． (2)2x 2＋5y ＝0化为x 2＝－52y ，且抛物线开口向下，∴p ＝54．∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程是y ＝58． (3)由于a ＞0，∴p ＝a2，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4． 巩固2： 1．D [解析]原方程化为标准方程为x 2＝14y ，焦点在y 轴上，且p ＝18，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116． 2．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x ．当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14． 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2． :探究3： (1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹． A [解析]由题意知动圆圆心C 到点(0,3)距离与到定直线y ＝－1的距离相等， ∴C 的圆心轨迹是抛物线．(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM |转化为点M 到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．C [解析]由抛物线方程为x 2＝8y ，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2， 则|FM |等于点M 到准线y ＝－2的距离， ∴|FM |＝y 0＋2． 又圆与准线相交，∴|FM |＝y 0＋2＞4．∴y 0＞2．巩固3：1．(4,4) [解析]设P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴准线方程为x ＝－1． ∴|PF |＝x 0＋1＝5．∴x 0＝4．代入抛物线方程，得y20＝4x0＝16，∴y0＝±4．又∵P在直线x＋y－3＝0的上方，∴P的坐标为(4,4)．2．54[解析]把点A⎝⎛⎭⎫1，14代入抛物线方程得a＝4，即抛物线方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1．由抛物线定义，得|AF|＝1＋14＝54．:探究4：思路分析：根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标．解：∵(－2)2＜8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|．∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12．故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12．巩固4：1．A[解析]点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过Q点作x＝－1的垂线，与抛物线交于K，则K为所求，当y＝－1时，x＝14，∴P为⎝⎛⎭⎫14，－1．2．解：(1)当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72，即p ＞167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |． 当A ，M ，A ′共线时(如图中A ，M ′，A ″共线时)，(|MF |＋|MA |)min ＝5． 故p 2＝5－72＝32⇒p ＝3，满足3＞167， 所以抛物线方程为y 2＝6x ．(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p ·72，即0＜p ≤167时，连接AF 交抛物线于点M ， 此时(|MA |＋|MF |)最小， 即|AF |min ＝5，⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝25， 72－p 2＝±3⇒p ＝1或p ＝13(舍去)． 故抛物线方程为y 2＝2x ．综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x ． 当堂检测1．[答案]B [解析]由y 2＝4x 得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2．2．[答案]A [解析]由已知抛物线的焦点为(4,0)， 则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∴=42p，p ＝8． ∴所求方程为y 2＝16x ．3．[答案]C [解析]设F (2,0)，l ：x ＝－2，则M 到F 的距离为，M 到直线l ：x ＝－2的距离为|x ＋2|＝|x ＋2|，所以动点M 的轨迹是以F (2,0)为焦点，l ：x ＝－2为准线的抛物线．4．[答案]6 [解析]由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6．5．[答案]5[解析]由x2＝4y知其准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，点A与焦点的距离等于点A到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．。
2019-2020年人教B版选修1-1高中数学2.3.1《抛物线及其标准方程》word基础过关
2019-2020年人教B 版选修1-1高中数学2.3.1《抛物线及其标准方程》word 基础过关一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0) 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________． 6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 9．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.11．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax (a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．13.喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．答案1．B 2．D 3．C 4．B5．y 2＝16x6．y ＝37．解 由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2px (p >0)．把A (－2，－4)，代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4. 故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x .当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14；当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2.8．B 9．C10.811．解 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2， 所以△OAF 的面积为12·⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4， 解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .13．解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165， 所以OA 的长为5－165＝1.8 (m)． 所以管柱OA 的长为1.8 m.13．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8， 即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x .。
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-3-1抛物线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
p 则 3＋ ＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x， 2 又点 M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝± 6， 2 ∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 (2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是 x＝2.
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(选修1-1)
[说明] 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最 短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，
连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点
在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移， 转变为(1)的情形即可.
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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向上．设所求抛物线为 y2＝－2p1x(p1>0)或 x2＝2p2y(p2>0)， 2 9 把点(－3,2)代入，得 p1＝ ，p2＝ .∴所求抛物线方程为 y2 3 4 4 9 2 ＝－ x 或 x ＝ y. 3 2
[说明] 判断抛物线的开口方向，用待定系数法求 之．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析]
如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 人 教
B 版 数 学
准线方程x＝－1.
人教B版选修(1-1)2.3.1《抛物线及其标准方程》word同步测试
抛物线及其标准方程（一）、选择题1已知动点M （x, y）的坐标满足J（x_2）2+ y2 =|x + 2，则动点M的轨迹是（）A •椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上均不对2.准线方程为y =-的抛物线方程为（）3A 2A. x = 8 2 8 y B . x y3 32 8 C . yx3 D . y2口8x33.抛物线y2-8x的焦点到准线的距离是（)A . 1B . 2C . 4D . 82 -4.抛物线y =8x上一点P到y轴的距离等于4,则点P到抛物线焦点的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 122 25.若抛物线y2=2mx的焦点与椭圆- y1的左焦点重合，贝U m的值等于（）6 2A . - 2B . 2 C.—4 D . 4二、填空题2 26 .以双曲线—=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程4 5为________ 。
7.在抛物线y2 =8x上有一点P,它到焦点的距离是20,贝U P点坐标是______________________三、解答题&根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1 ）抛物线的焦点是双曲线16x2 -9y2 =144的左顶点；（2）抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线y = -3与抛物线交于点A, AF =5。
2 29已知抛物线的顶点在原点，对称轴在x轴上，焦点在曲线1 -亍1,求抛物线的方程。
210•正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y = 2px （p 0）上，求这个三角形的边长。
抛物线及其标准方程（二）一、选择题1.若点P 到直线X = -1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A •圆B •椭圆C.双曲线 D •抛物线2. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q (2, - 1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(1 1 A .-1)B .匚1)443.在抛物线y2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为 5,则p 的值为()1A . -B . 1C . 2D . 424.已知动点 M 的坐标满足方程5jx2+ y 2 =|3x+4y _12，则动点M 的轨迹是()A •椭圆B •双曲线C .抛物线D •以上都不对25•已知抛物线 y =2px (p>0)的焦点为 F ,点 R(X 1,yJ , F 2(x 2,y 2), P j (x 3,y 3)在抛物线上，且x 1, x 2, x 3成等差数列，则有()、填空题26. _______________________________________ 抛物线x - -8y 的准线方程是 焦点坐标是________________________________________________22 29.动圆P 与定圆A:(x 2) y =1外切，且与直线l :x=1相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为__________________ 。
人教新课标版数学高二选修1-1限时练 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 2．若抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的左焦点重合，则a 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．－8 D ．43．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 4．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于点A .若|AF |＝3，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±22)D ．(1，±2)6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)二、填空题7．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．8．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________． 9．已知抛物线y 2＝2x 上一点P (m,2)，则m ＝________，点P 到抛物线的焦点F 的距离为________．10．已知抛物线y 2＝4x 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是________．三、解答题11．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．12．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．参考答案1．B [由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116.] 2．C [由椭圆可知左焦点坐标为(－2,0)，∴抛物线开口向左且p 2＝2，∴p ＝4， 故方程为y 2＝－8x ，∴a ＝－8.]3．C [抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，它与圆相切，所以必有 3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2.] 4．D [a 2x 2＋b 2y 2＝1，可化为x 21a 2＋y 21b 2＝1， 因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，其表示焦点在y 轴上的椭圆；而ax ＋by 2＝0可化为y 2＝－a bx ，其表示开口向左的抛物线，故应选D.]5．C [∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，∴A 点的横坐标为2，代入抛物线方程中得纵坐标为±22，故选C.]6．B [抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p 2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.]7．y 2＝－4x解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)，则有－p 2＝－1，得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝－4x .8．y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1， ∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x . 9．2 52解析 将(m,2)代入抛物线中得4＝2m ，得m ＝2，由抛物线的定义可知点P 到抛物线的焦点F 的距离为2＋12＝52. 10．2解析 设AB 中点为M ，准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，过M 作准线的垂线MN ，作AC 垂直准线于C ，BD 垂直准线于D ，则：MN ＝AC ＋BD 2， 由抛物线的性质：AC ＝AF ，BD ＝BF ，所以MN ＝AF ＋BF 2， AF ＋BF ≥AB ，当AB 过F 点时，满足AF ＋BF ＝AB ，所以，MN ≥AB 2，又AB ＝6， 所以，MN ≥3，设M 到y 轴的距离为d ，显然有：d ＝MN －1，所以，d ≥2，即AB 中点M 到y 轴最短距离为2.11．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此知道双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1. 12.解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系(如图)．设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)，由题意知(4，－5)在抛物线上，故：16＝－2p ×(－5)，所以p ＝85， 则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)， 设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航，设B (2，y ′)，所以22＝－165y ′⇒y ′＝－54， 即水面与拱顶相距为0.75＋54＝2(米)， 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船不能通航．13．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即x 1＋x 2＝8－p . ∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |，即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线方程为y 2＝8x .。
2016学年高二人教版数学选修1-1练习：2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．抛物线的定义及标准方程．(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程(请同学们自己填写下面表格中的内容)：2.关于抛物线的定义．要注意点F 不在直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 3．关于抛物线的标准方程．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共性与区别在于：(1)p 的几何意义相同，焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数；(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向；(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.,►自测自评1．已知抛物线的焦点是(0，－14)，则抛物线的标准方程是(A)A ．x 2＝－yB ．x 2＝yC ．y 2＝xD ．y 2＝－x2．抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是(0，－4)．3．若动点P 到定点F (－4，0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线． 解析：由抛物线的定义：到定点F 的距离与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线．1．(2013·惠州一模)设抛物线的顶点为原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是(B) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 2．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其到准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为(D)A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：依题意设P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，∵y 0＝±4，S ΔMPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.3．若动点M (x ，y )到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则M 点的轨迹方程是________．解析：依题意，得点M (x ，y )到点F (4，0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．∵根据抛物线的定义，知p2＝4，∴p ＝8，故所求的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x4．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．解析：由抛物线定义，设焦点为F (－p2，0)．则准线为x ＝p2，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝10.即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9，6)，或M (－9，－6)．5．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解析：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2， 又(－3)2＝2pm . 所以，p ＝±1或p ＝±9.故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(B)A ．(1，0) B.⎝⎛⎭⎫0，116 C ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎫18，02．顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(3，－2)，则它的方程是(A)A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为(D)A ．－2B ．2C ．－4D ．44．到定点(3，5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是(D) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段 D ．直线解析：点(3，5)在直线2x ＋3y －21＝0上，所以到点(3，5)与定直线距离相等的点是过(3，5)且与直线垂直的直线．5．已知抛物线关于x 轴对称，它的定点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝(B)A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：利用抛物线的定义求解．由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则M 到焦点的距离为2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(B)A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xD ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x ，故选B.7．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________________． 解析：设抛物线上的点M (m 2，m )，∵抛物线的准线方程为x ＝－14，根据题意，得（m 2）2＋m 2＝⎪⎪⎪⎪m 2＋14. 解得m ＝±24.答案：⎝⎛⎭⎫18，±248．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________． 解析：将圆的方程化为标准方程 (x －3)2＋y 2＝16， ∴圆心为(3，0)，半径r ＝4.又抛物线的准线为x ＝－p2.所以，根据题意，得⎪⎪⎪⎪3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4. ∵p ＞0，∴解得p ＝2.9．已知动点P 到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则点P 的轨迹方程为______．解析：由题意可知点P 到(3，0)的距离与到x ＝－3的距离相等，故P 的轨迹是抛物线，p ＝6，∴方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x10．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42， 得x 0＝32，代入抛物线方程 得y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △PDF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.11．求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线上一点P (－5，25)到焦点F (x ，0)的距离为6；(2)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6. 解析：(1)由题意（－5－x ）2＋（25）2＝6，解得x ＝－1或当x ＝－9时，抛物线焦点为F (－9，0)，其标准方程y 2＝36x ，则(－5，25)不在抛物线上，故舍去．当x ＝－1时，抛物线焦点为F (－1，0)， 其标准方程为y 2＝－4x ；故所求抛物线的标准方程为y 2＝－4x .(2)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6，2m ＝±6，故抛物线方程为y 2＝±6x .12．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，得(a 2)2＝－2p (－a4)， p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay . 将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .由点E 到拱底AB 的距离为 a 4－|y |＝a 4－0.64a >3. 解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)．∵a 取正数，∴a 的最小整数值为13 m. ►体验高考1．(2014·安徽卷)抛物线y ＝14x 2的准线方程是(A )A ．y ＝ －1B ．y ＝ －2C ．x ＝ －1D ．x ＝ －2解析：选A.由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，焦点在y 轴的正半轴上．且2p ＝4，所以p ＝2.因此准线方程为y ＝ －p2＝ －1.2．(2014·辽宁卷)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为(C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：∵点A (－2，3)在抛物线C 的准线上，∴p2＝2，∴p ＝4.∵抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，根据斜率公式得k AF＝0－32＋2＝ －34.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝(C ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8解析：如图，F ⎝⎛⎭⎫14，0，过A 作AA ′⊥准线??∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14，∴x 0＝1.4．(2014·辽宁卷)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为(D )A.12B.23C.34D.43解析：抛物线y 2＝px 的准线为直线x ＝ －p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以 －p2＝ －2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.5．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是(D ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1解析：由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2，0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|1＋3＝1.故选D.。
人教版高中数学选修(1-1)-2.3同步练习：抛物线及其标准方程1
2.3.1 抛物线及其标准方程
1. 动点P 到点A(0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A.x y 42=x y 82=y x 42=y x 82=
2. 直线y=kx-2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k
的值是（ ） A.--1或以上都不是
3. 动圆M 经过点A(3，0)且与直线l:x=-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）
A.x y 122=x y 62=x y 32=x y 242=
4. 过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若
621=+y y ，则21P P 的值为（ ）
A.5
B.6
C.8
D.10
5. 过抛物线y = 2x2的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，设线段PF 与FQ 的长分别是m 、n ，则n m 11+的（ ）
A.4
B.8
C.41
D.81
6.抛物线26y x =的准线方程为 .
7. 设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为_______.
8. 2y kx =-交抛物线28y x =于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标是2,则
AB
_________.
9. 若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程.
10.（1）设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为35，求k值.
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.。
数学人教B版选修1-1自我小测 2-3-1抛物线及其标准方程
自我小测1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．42．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，±62 B.⎝⎛⎭⎫74，±72 C.⎝⎛⎫94，±32 D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．若A 是定直线l 外的一个定点，则过点A 且与l 相切的圆的圆心的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线4．设点P 是抛物线y 2＝16x 上的点，它到焦点的距离h ＝10，则它到y 轴的距离d 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．125．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x6．抛物线y 2＝12x 的准线方程是__________，焦点坐标是__________．7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．8．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为__________．9. 动圆P 与定圆A ：(x -2)2+y 2=1外切，且与直线l ：x =-1相切，求动圆圆心P 的轨迹．10．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为直线x－2y－4＝0与x轴的交点．(2)过抛物线y2＝2mx(m＞0)的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝6.参考答案1. 解析：该题考查圆锥曲线的知识．显然抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，从而可得p ＝4.故选D. 答案：D2. 解析：设P (x ，y )，因为点P 到焦点的距离为2，所以点P 到准线x ＝－14的距离也是2，即x ＋14＝2，所以x ＝74，所以y ＝±72.所以选B.答案：B3. 解析：设圆心为P ，由圆过点A 且与直线l 相切可知，动点P 到点A 的距离等于它到直线l 的距离．因此动圆的圆心轨迹为抛物线．答案：D4. 解析：设点P 到抛物线y 2＝16x 的准线的距离为l .由抛物线y 2＝16x 知p2＝4.由抛物线定义知l ＝h ，又l ＝d ＋p 2，故d ＝l －p 2＝h －p2＝10－4＝6.答案：B5. 解析：准线方程为l ：x ＝－6a ，M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a ＝5，a ＝13，抛物线方程为y 2＝8x ，故选A. 答案：A6. 解析：由y 2＝12x 知，p2＝3，所以准线方程为x ＝－3，焦点坐标为(3,0)．答案：x ＝－3 (3,0) 7. 答案：y 2＝8x8. 解析：因为抛物线方程为y 2=4x ， 则准线方程为x =-1.设P 点坐标为P(x 0，y 0)，由图可知， |PM|=x 0+1=5.所以x 0=4.把x 0=4代入y 2=4x ，解得y 0=±4，所以△MPF 的面积为12|PM |×|y 0|＝12×5×4＝10.答案：109. 解：设动圆圆心P(x ，y )，过点P 作PD ⊥l 于点D ，作直线l ′：x =-2，过点P 作PD ′⊥l ′于点D ′，连结PA.因为动圆与定圆A ：(x -2)2+y 2=1外切，且与直线l ：x =-1相切， 所以|PA|=1+|PD|，即点P 到点A 的距离比它到直线l ：x ＝－1的距离大1.所以点P 到点A 的距离与它到直线l ′：x ＝－2的距离相等，即|P A |＝|PD ′|.根据抛物线的定义，点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l ′：x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .10. 解：(1)令y ＝0得x ＝4， 故抛物线焦点为(4,0)，p2＝4，p ＝8，抛物线方程为y 2＝16x .(2)设抛物线的准线为l ，交x 轴于点K ，则l 的方程为x =-2m，作AA ′⊥l 于点A ′，BB ′⊥l 于点B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝m ， 同理|BF |＝|BB ′|＝|FK |＝m . 又|AB |＝6，则2m ＝6，所以m ＝3. 故抛物线方程为y 2＝6x .。
数学人教B版选修1-1课后训练2.3.1 抛物线及其标准方程含解析
课后训练1．抛物线y 2＝12x 的焦点坐标是（ )A ．（12,0）B ．（6,0）C ．（3,0)D ．(0,3)2．经过点（2，－3)且焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程是（ )A ．243y x = B ．292y x = C ．243y x =- D ．y 2＝4x3．抛物线243yx =的准线方程是（ ）A ．13x =B ．23x =C ．23x =-D ．13x =- 4．已知圆(x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切,则该圆的方程为( )A ．（x －1）2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．（x －1）2＋y 2＝1D ．x 2＋（y －1）2＝15．设点P 是抛物线y 2＝16x 上的点,它到焦点的距离h ＝10，则它到y 轴的距离d 等于（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．设定点1033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，点P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，点P 的坐标为（ )A ．（0,0)B ．C ．(2，2）D ．1182⎛⎫- ⎪⎝⎭，7．动点P 到点F （2,0）的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．8．抛物线x ＝2y 2的焦点坐标是__________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2,求该抛物线的准线方程．10．如图，已知AB 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点弦，F 是抛物线的焦点，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2)，求证：（1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝24p ；（2)｜AB ｜＝x 1＋x 2＋p ＝22sin pθ（θ为直线AB 的倾斜角）；(3)11||||AF BF +为定值．参考答案1。
高中数学(人教B版选修1-1)同步练测：2.3抛物线
2.3抛物线（人教实验B 版选修1-1）一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1.直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ^，则b （） A .2B .2-C .1D .1-2.过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于()()111222,,,P x y P x y 两点，若126y y +=，则12P P 的值为（） A.5B.6C.8D.103.圆心在抛物线22y x =（0y >）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（） A.221204x y x y +---=B.22210x y x y ++-+=C.22210x y x y +--+= D.221204x y x y +--+= 4.若抛物线y 2=2px （p >0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p 的值为（） A.2B.18C.2或18D.4或165.对于抛物线，我们称满足y 02<4x 0的点在抛物线的内部.若点在抛物线的内部，则直线与抛物线C （） A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点C.有一个公共点也可能有两个公共点D.没有公共点二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 6.已知圆C ：x 2+y 2+6x +8y +21=0，抛物线y 2=8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m +｜PC ｜的最小值为 . 7.抛物线y 2=x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为 .8.直线与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且经过抛物线的焦点F ，点A(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离为 .9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60cm ，灯深40cm ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处.三、解答题（本题共3小题，共51分）10.(本小题满分16分)正方形的一条边AB在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长.11.(本小题满分17分)如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′(图中EF为折痕，点F也可以落在边CD上)．过B′作B′T∥CD，交EF于点T，求点T的轨迹方程．12.(本小题满分18分)已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N作与MN垂直的直线交抛物线于P、Q 两点，若|MN|=4√2，求△MPQ的面积．2.3抛物线（人教实验B版选修1-1）答题纸得分：_________一、选择题二、填空题6. 7. 8. 9.三、解答题10.11.12.2.3抛物线（人教实验B 版选修1-1）答案一、选择题1.A 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线方程与抛物线方程联立，消去y 得x 2−2x −2b =0， 所以x 1x 2=−2b ，y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=b2.又OA OB ^，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2−2b =0， 解得b =2或b =0(舍去).2.C 解析：抛物线焦点为(0，1)，设过焦点(0，1)的直线方程为y =kx +1.联立抛物线与直线的方程，并消去x 得y 2−(2+4k 2)y +1=0.由根与系数的关系得y 1+y 2=2+4k 2=6，所以k 2=1，所以.3.D 解析：抛物线的焦点坐标为(12，0)，由圆在抛物线上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x =12，即圆心是(12，1)，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y +--+=． 4.C 解析：设该点坐标为(x ，y )，由题意知y =6，x +p2=10， ∴=2p (10-p2)，解得p =2或18.5.D 解析：由y 2=4x 与y 0y =2(x +x 0)联立，消去x ，得y 2−2y 0y +4x 0=0，所以Δ=4y 02−4×4x 0=4(y 02−4x 0)．因为y 02＜4x 0，所以Δ<0，直线和抛物线无公共点. 二、填空题6.√41解析：设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，当C 、P 、F 三点共线时，m +｜PC ｜取得最小值为 ｜CF ｜，即m +|PC |=√(−3−2)2+(−4)2＝√41.7.解析：2y x 的准线为x =-14，焦点为(14，0)，设，，由抛物线定知x 1+14=2，∴2-14=74.由y 12=74，得y 1=±.8.254解析：由y 2=8x 知2p =8，p =4，焦点坐标为（2，0）．由直线AB 过焦点F 及点A(8，8)，得直线AB 的方程为y =43(x −2).把点B(x B ，y B )代入上式得y B =43(x B −2)=43(y B28−2)，解得y B =−2(y B =8舍去)，所以x B =12.线段AB 的中点为(12+82，−2+82)=(174，3)，所以线段AB 的中点到准线的距离为174+2=254．9.解析：以灯轴所在直线为x 轴，顶点为原点O ，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px(p >0)，点(40，30)在抛物线y 2=2px 上，所以900=2p ×40，所以p =454，所以p 2=458.因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm 处. 三、解答题10.解：设直线CD 的方程为y =x +b ，由{y x b =+，2y x=消去x 得y 2−y +b =0.设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则y 1+y 2=1，y 1y 2=b ，所以211k +×21212()4y y y y +-=28b -.又AB 与CD 的距离d =42b -，由四边形ABCD 为正方形有28b -=42b -，解得b =−2或b =−6，所以正方形的边长为32或52.11.解：如图，连接BT ，以边AB 的中点O 为原点，AB 边所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B(0，−2)．因为|BT |=|B ′T|，B ′T ⊥AD ，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点B 为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分． 设T(x ，y)，由|AB |=4，得定点B 到定直线AD 的距离为4． 所以抛物线的方程为x 2=−8y ．在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0，4]内变化，而x =|AB ′|， 所以0≤x ≤4．故点T 的轨迹方程为x 2=−8y(0≤x ≤4)． 12.解：（1）设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，由点A 、B 在抛物线上，得y 12=8x 1，y 22=8x 2.① 由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0，得线段AB 的垂直平分线方程为1212012().2y y x x y x x y y +--=---令y =0，得x =22121212001212.22()y y y y y y x x x x x x +--?=+--②由①②得x =x 0+4，所以． （2）由2，得y 0=±4，x 0=2．由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，所以． 直线由{6y x =-，28y x=得(18,12),(2,4),P Q -所以△MPQ 的面积是64．。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-3-1抛物线及其标准方程
技能演练1.(2010·北京朝阳)抛物线x 2＝－8y 的准线方程是( ) A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2答案 B2．(2010·广东河源)抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B3．(2010·湖南高二期末)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4答案 D4．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．线段D ．直线 解析 点(3,5)在直线2x ＋3y －21＝0上，所以到点(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线．答案 D5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x答案 B6．已知动点P 到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则点P 的轨迹方程为________．解析 由题意可知点P 到(3,0)的距离与到x ＝－3的距离相等，故P 的轨迹是抛物线，p ＝6，∴方程为y 2＝12x .答案 y 2＝12x7．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点，若|AB |＝6，则M 到直线x ＝－1的距离为________．解析 如图所示，B (1,0)是抛物线y 2＝4x 的焦点，直线l ：x ＝－1是抛物线的准线，过A 作AA ′⊥l 于A ′，则|AA ′|＝AB ＝6.则M 到直线x ＝－1的距离为6＋22＝4.答案 48．若抛物线y 2＝8x 上一点A 到焦点的距离为6，则该点的横坐标为________．解析 设横坐标为x 0，抛物线的准线为x ＝－2， 则x 0＋2＝6，x 0＝4. 答案 49．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．解 由抛物线定义，设焦点为F (－p2，0)．则准线为x ＝p2，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝10.即 p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9,6)，或M (－9，－6)．10．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，得(a 2)2＝－2p (－a4)， p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay . 将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a . 由点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3. 解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13 m.感悟高考1.(2010·上海)动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程为________．解析 由定义知P 的轨迹是以F (2,0)为焦点的抛物线，p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案 y 2＝8x2．(2010·安徽)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________． 解析 抛物线y 2＝8x ，所以p ＝4，所以焦点为(2,0)． 答案 (2,0)。
高中数学(人教B版选修1-1)同步练测：2.3抛物线
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2.3 抛物线 （人教实验B 版选修1-1）一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1.直线y x b =+与抛物线22x y =交于 、 两点， 为坐标原点，且OA OB ^，则b （ ） A .2 B .2- C .1 D .1-2.过抛物线24x y =的焦点 作直线交抛物线于()()111222,,,P x y P x y 两点，若126y y +=，则12P P 的值为（ ）A .5B .6C .8D .10 3.圆心在抛物线22y x =（0y >）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A .221204x y x y +---=B .22210x y x y ++-+=C .22210x y x y +--+= D .221204x y x y +--+= 4.若抛物线 （p >0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p 的值为（ ） A.2 B.18C.2或18D.4或165.对于抛物线 ： ，我们称满足 的点 ， 在抛物线的内部.若点 ， 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 （ ） A .恰有一个公共点 B .恰有两个公共点C .有一个公共点也可能有两个公共点D .没有公共点二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 6.已知圆 ： ，抛物线 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m +｜PC ｜的最小值为 . 7.抛物线 x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为 .8.直线与抛物线28y x =交于 、 两点，且经过抛物线的焦点 ，点 ， ，则线段 的中点到准线的距离为 .9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 ，灯深40 ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处. 三、解答题（本题共3小题，共51分）10.(本小题满分16分)正方形的一条边 在直线上，顶点 、 在抛物线 上，求正方形的边长.11.(本小题满分17分)如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为(图中为折痕，点也可以落在边上)．过作∥，交于点，求点的轨迹方程．12.(本小题满分18分)已知抛物线上两个动点、及一个定点，，是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．（1）求点的坐标（用表示）；（2）过点作与垂直的直线交抛物线于、两点，若，求△的面积．2.3 抛物线（人教实验B版选修1-1）答题纸得分：_________一、选择题二、填空题6. 7. 8. 9.三、解答题10.11.12.2.3 抛物线 （人教实验B 版选修1-1）答案一、选择题1.A 解析：设 ， ， ， ，直线方程与抛物线方程联立，消去 得 ， 所以 ， .又OA OB ^，所以 ，即 ， 解得 或 舍去2.C 解析：抛物线 的焦点为 ， ，设过焦点 ， 的直线方程为 .联立抛物线与直线的方程，并消去 得 .由根与系数的关系得 ，所以 ，所以.3.D 解析：抛物线的焦点坐标为， ，由圆心在抛物线上，且与 轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是， ，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y +--+=． 4. C 解析：设该点坐标为(x ，y )，由题意知y =6，x + 2=10， ∴ =2p (10-)，解得p =2或18.5.D 解析：由 与 联立，消去 ，得 ，所以．因为 ＜ ，所以 ，直线和抛物线无公共点. 二、填空题6. 解析：设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，当C 、P 、F 三点共线时，m +｜PC ｜取得最小值为 ｜CF ｜，即 ＝ .7. 74， 72解析：2y x 的准线为x =- 14 ，焦点为( 14 ，0)，设1，1，由抛物线定义知114=2，∴ 1=2- 14 = 74 .由 = ，得 =±.8.解析：由 知 ， ，焦点坐标为（ ， ）． 由直线 过焦点 及点 ， ，得直线 的方程为.把点 ， 代入上式得，解得 舍去 ，所以.线段 的中点为，， ，所以线段 的中点到准线的距离为．9.解析：以灯轴所在直线为 轴，顶点为原点 ，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，点 ， 在抛物线 上，所以 ，所以，所以.因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm 处.三、解答题10.解：设直线 的方程为 ，由 y x b =+，2y x=消去 得 .设 ， ， ， ，则 ， ，所以 .又 与 的距离 或 ，所以正方形的边长为或.11.解：如图，连接BT ，以边 的中点 为原点， 边所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ， ．因为 ， ，根据抛物线的定义， 点的轨迹是以点 为焦点， 为准线的抛物线的一部分． 设 ， ，由 ，得定点 到定直线 的距离为4． 所以抛物线的方程为 ．在折叠中，线段 的长度 在区间 ， 内变化，而 ， 所以 ．故点 的轨迹方程为 ． 12.解：（1）设 ， 、 ， ，由点 、 在抛物线上，得 ，.① 由 、 、 成等差数列得 ，得线段 的垂直平分线方程为1212012().2y y x x y x x y y +--=---令 ，得 22121212001212.22()y y y y y y x x x x x x +--?=+--②由①②得 ，所以 ， ．（2）由 ， ， ， ， ， 得 ， ． 由抛物线的对称性，可设 在第一象限，所以 ， ， ， ． 直线 ： 由6y x =-，28y x=得(18,12),(2,4),P Q -所以△ 的面积是64．。
2018年秋人教B版数学选修1-1练习：2.3.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案: C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y.yC.y2=.y2=4x答案:B3.抛物线yA.x.xC.x=.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y.x2+(y-1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()A.3B.6C.9D.12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x.由抛物线定义知l=h,又l=d d=l-4=6.答案:B6.设定y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1C.(2,2) D解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y y2=2x联立求得x=2,y=2;x y=),此时,点P的坐标为(2,2).答案:C7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为. 答案:y2=8x8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案9. 已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;(2)焦点到直线x=-5的距离是8.解: (1)直线与x轴的交点为(4,0),则=4,∴p=8,∴方程为y2=16x.(2)焦点在x轴上,设为,∴+5=8,解得=3,则其焦点为(3,0),∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.★10.如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x(2)|AB|=x1+x2+pθ为直线AB的倾斜角);(3.分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点F,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0),由消去x,得ky2-2py-kp2=0.①由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=.又由y=k,得x=y+,故x1x2=y1y2+(y1+y2)+(-p2)+.当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,x1x2=.综上,y1y2=-p2,x1x2=.(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.②又y=k(k≠0),∴x=y+,∴x1+x2=(y1+y2)+p.由①知y1+y2=,∴x1+x2=+p,代入②得|AB|=+2p=2p=2p.当直线AB的斜率不存在,即θ=时,A,B,|AB|=2p=+p=.综上,|AB|=x1+x2+p=.(3)=,将x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得.故为定值.。
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选修1-2 2.3.1抛物线及其标准方程
一、选择题
1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．直线
C ．抛物线或直线
D ．不存在 [答案] C
[解析] 当F ∈l 上时，是直线，当F ∉l 上时，是抛物线．
2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝9
4x B ．x 2＝4
3y
C ．y 2＝－94x 或x 2＝－4
3y D ．y 2＝－92x 或x 2＝4
3y [答案] D
[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上， ∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝2
3.
3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8 [答案] B
[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1
a y ，其准线方程为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a
，∴a ＝－1
8.
4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A.1716
B.1516
C.78 D ．0 [答案] B
[解析] ∵抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－1
16，由抛物线的定义知y M ＋1
16＝1，
∴y M ＝1516.
5．抛物线y 2＝8px (p >0)，F 为焦点，则p 表示( ) A ．F 到准线的距离 B ．F 到准线距离的1
4
C ．F 到准线距离的1
8 D ．F 到y 轴的距离 [答案] B
[解析] 设y 2＝2mx (m >0)，则m 表示焦点到准线的距离，又2m ＝8p ，∴p ＝m
4. 6．抛物线y ＝1
4a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( ) A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a ) B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a
2)
C ．(0，a )
D ．(1
a ，0) [答案] C
[解析] a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.
7．(2010·福建理，2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A ．x 2＋y 2＋2x ＝0
B ．x 2＋y 2＋x ＝0
C ．x 2＋y 2－x ＝0
D ．x 2＋y 2－2x ＝0 [答案] D
[解析] ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)．
∴圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.
8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在 [答案] B
[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)，
由⎩⎨⎧
y ＝k (x －1)y 2＝4x
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±23
3. 因而这样的直线有且仅有两条．
9．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 [答案] A
[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18， ∴|PF |＝x 0＋p
2＝20.
10．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.4
3
B.7
5 C.8
5 D ．3 [答案] A
[解析] 设(x 0，y 0)为抛物线y ＝－x 2上任意一点， ∴y 0＝－x 20，
∴d ＝|4x 0＋3y 0－8|
5＝|－3⎝⎛⎭⎫x 0－232－20
3|
5， ∴d min ＝20
35＝4
3.
二、填空题
11．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. [答案] 2
[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋p
2＝4，∴p ＝2.
12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2
＝6，那么|AB |＝________.
[答案] 8
[解析] 由抛物线定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．
[答案] y 2＝8x
[解析] 由题意可设抛物线方程为y 2＝2ax ， ∵点P (2,4)在抛物线上，∴42＝4a ，∴a ＝4. 即所求抛物线的方程为y 2＝8x .
14．在抛物线y 2＝12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________． [答案] (6，±62)
[解析] 设抛物线的焦点F (3,0)，准线x ＝－3，抛物线上的点P ，满足|PF |＝9，设P (x 0，y 0)，
则|PF |＝x 0＋P
2＝x 0＋3＝9，∴x 0＝6，∴y 0＝±6 2. 三、解答题
15．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程： (1)y 2＝6x ； (2)2y 2＋5x ＝0； (3)x ＝ay 2(a ≠0)．
[解析] (1)∵2p ＝6，∴p ＝3.
又∵开口向右，∴焦点坐标是(3
2，0)， 准线方程为x ＝－3
2.
(2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－5
2x . ∴2p ＝52，p ＝5
4，开口向左．
∴焦点为(－58，0)，准线方程为x ＝58. (3)∵原抛物线方程为y 2＝1a x ，∴2p ＝1
|a |.
当a >0时，p 2＝14a ，抛物线开口向右，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－1
4a ； 当a <0时，p 2＝－14a ，抛物线开口向左，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－1
4a .故
当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－1
4a .
16．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程． [解析] ∵点(1，－2)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为：
y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p ′y (p ′>0)， 又点(1，－2)在抛物线上，
∴4＝2p ，p ＝2，或1＝4p ′，p ′＝1
4， 故所求抛物线方程为：y 2＝4x 或x 2＝－1
2y .
17．求证：以抛物线y 2＝2px 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
[证明] 如图，过A 、B 分别作AC 、BD 垂直于l ，垂足为C 、D ，取AB 中点M ，作MH ⊥l 于H .
由抛物线定义，知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |. ∴|AB |＝|AC |＋|BD |.
又ACDB 是梯形，MH 是其中位线，
∴|MH |＝12(|AC |＋|BD |)＝1
2|AB |.∴|MH |是圆M 的半径，从而命题得证．
18．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，求1|AF |＋1
|BF |的值．
[解析] 已知焦点F ⎝⎛⎭
⎫p
2，0，
设AB 方程为y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p
2，与y 2＝2px 联立，
得k 2x 2
－(k 2
p ＋2p )x ＋k 2p 2
4＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，且x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 2
4. ∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p
2 ＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋
p 24
＝k 2p ＋2p
k 2＋p p 24＋p 2·k 2p ＋2p k 2＋p 24
＝2
p
(为定值)．。