2011年高考数学二轮考点专题(五) 立体几何突破检测
2011高考数学立体几何大题汇总
2011高考数学立体几何大题汇总(1)(本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
(1)解：（Ⅰ ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A ,()03,0B ，,()1,3,0C -,()0,0,1P 。
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则即3030x y z -=-=（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，3SD SE SF DE⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。
连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。
…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。
37SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为217 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有217 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则2121sin arcsin 77d EBαα=== …………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。
设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。
2011届高考数学专题练习 立体几何 含答案u新人教A版
2011届高考数学专题练习 立体几何试卷一、填空题 (共 小题，每小题 分)1. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则1AD 与EF 所成角的大小为 ．2. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a=________.3. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。
4. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.二、选择题 (共 小题，每小题 分)5. 若直线a b ⊥，且直线//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 ．A ．b α⊂B ．//b αC ．b α⊂或//b αD ．b 与α相交或b α⊂或//b α6. 在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，顶点1B 到对角线1BD和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d 的取值范围为223( C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d 的取值范围为23(2)3 D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d 的取值范围为23()+∞7. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
则该集合体的俯视图可以是8. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是A. 1////m l βα且B. 12////m l l 且nC. ////m n ββ且D. 2////m n l β且9. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于 A.21 B.22 C.23 D.3310. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥（B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等11. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48122+（B ）48242+ （C ）36122+（D ）36242+三、解答题 (共 小题，每小题 分)12. 如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，E 、F分别是AB ，PC 的中点，45PDA ∠=．（1）求证：//EF 面PAD ；（2）求证：面PCE ⊥面PCD ．13. 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；A 1B 1C 1D 1 （Ⅱ）二面角F ADE --的平面角的正切值．14. 如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．15. 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，CD AD ⊥，且DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点，1==CD AD ,22=DB（Ⅰ）证明BDE PA 平面// （Ⅱ）证明PBD AC 平面⊥（Ⅲ）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值16. 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。
2011年高考数学试题 立体几何
四、立体几何一、选择题1.（重庆理9）高为的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为A ．B ．C ．1D 【答案】C2.（浙江理4）下列命题中错误的是A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D3.（四川理3）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【答案】B【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4.（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π【答案】A5.（浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D6.（山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A7.（全国新课标理6）。
在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为【答案】D8.（全国大纲理6）已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．3B ．C ．D ．1【答案】C9.（全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π 【答案】D10.（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9122π+ B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+【答案】B11.（江西理8）已知1a ，2a ，3a 是三个相互平行的平面．平面1a ，2a 之间的距离为1d ，平面2a ，3a 之间的距离为2d ．直线l 与1a ，2a ，3a 分别相交于1p ，2p ，3p ，那么“12PP=23P P ”是“12d d =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C12.（广东理7）如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．【答案】B13.（北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．C ．10D ．【答案】C14.（安徽理6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）48 （B ） （C ）（D ）80【答案】C15.（辽宁理8）。
高考数学二轮专题训练—立体几何(五)
立体几何（五）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β； ③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b . 其中正确命题是A. ③ B ④ C. ①③ D. ②④ 2、直线a ∥平面α的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线b ，b ∥α，a ∥b B ．存在一个平面β，,β∈a α∥β C ．存在一个平面β，a ∥β，α∥β D ．存在一条直线b ，b ⊂α，a ∥b3、已知直线m 、l ,平面α、β，且m ⊥α, l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ,则α∥β；④若m ∥l ,则α⊥β.其中正确命题的个数是 A.1 B.2C.3D.44、设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是（ ）A.当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥βB.当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥b C ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥D ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c5、设m ，n 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，且,m n α⊂。
则“αβ∥”是“m n ββ且∥∥”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6、已知直线m ，n 和平面α，则m//n 的必要非充分条件是（ ） A m//α且n//α B m ⊥α且 n ⊥αC m//α且α⊂nD m ，n 与α成等角7、在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意一条直线m//平面β，则平面α//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线⊥n 直线m ，则直线⊥n 平面α；④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。
2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——10.立体几何
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编10．立体几何一、选择题 （2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π （2017·10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 （2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 （2015·9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．1727B ．59C ．1027D ．13（2014·11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90º，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．110B ．25CD（2013·4）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，2016，62015，62014，6l β⊄，则（ ）A .α // β且l // αB .αβ⊥且l β⊥C .α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l（2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6B. 9C. 12D. 18（2012·11）已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A.62B.63C. 32D. 22 （2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A. B. C. D.二、填空题（2016·14）α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.) （2011·15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,A B B C ==，则棱锥O -ABCD 的体积为 . 三、解答题（2017·19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=，B. C. D.E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值（2016·19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D ´EF 的位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.（2015·19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（2014·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ； （Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60º，AP =1，ADE -ACD 的体积.（2013·18）如图，直三棱柱111ABC A BC -中，D ，E 分别是AB ，1AD1B1CACEBOBACFDH E D '（2012·19）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . （Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.（2011·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD . （Ⅰ）证明：P A ⊥BD ；（Ⅱ）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值.C BADC 1 A 1 B 12011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编10．立体几何（逐题解析版）一、选择题（2017·4）B 【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为V Sh =，3r =，4h =，∴ 136V π=；上面阴影的体积2V 是上面部分体积3V 的一半，即2312V V =，3V 与1V 的比为高的比（同底），即3132V V =，213274V V π==，故总体积02163V V V π=+=.方法2：354V Sh π==，其余同上，故总体积02163V V V π=+=.（2017·10）B 【解析】解法一：在边1BB ﹑11B C ﹑11A B ﹑AB 上分别取中点E ﹑F ﹑G ﹑H ，并相互连接.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线1AB 和1BC 所成的夹角为FEG ∠或其补角，通过几何关系求得EF =FG =FH =，利用余弦定理可求得异面直线1AB 和1BC .解法二：补形通过补形之后可知：1BC D ∠或其补角为异面直线1AB 和1BC 所成的角，通过几何关系可知：1BC =，1C D =BD =1AB 和1BC 所成的夹角余. 解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，()0,2,1A ，()10,0,0B ，()0,0,1B，11,02C ⎫-⎪⎪⎝⎭，∴ 131,12BC ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭，()10,2,1B A =，∴1111cos 5B A BC B A BC θ⋅===⋅ （2016·6）C 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =， 2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π4π16π8π28π2S r ch cl =++=++=表，故选C ．（2015·6）D 解析：由三视图得，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A -A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.（2015·9）C 解析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O A B C -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故R=6，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．（2014·6）C 解析：原来毛坯体积为π·32·6=54π (cm 2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm 2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=.（2014·11）C 解析：取BC 的中点P ，连结NP 、AP ， ∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴四边形NMBP 为平行四边形，∴BM //PN ，∴所求角的余弦值等于∠ANP 的余弦值，不妨令BC =CA =CC 1=2，则AN =APNP=，∴222222||||||cos 2||||AN NP AP ANP AN NP +-∠=⨯⋅=1ACB1A1C1BN MP【另解】如图建立坐标系，令AC =BC =C 1C =2，则A (0, 2, 2)，B (2, 0, 2)，M (1, 1, 0)，N (0, 1,0)， (1,1,2)(0,1,2),BM AN ∴=--=--，cos ||||6BM AN θBM AN ⋅===⋅（2013·4）D 解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l ⊄α，所以l ∥α. 同理可得l ∥β. 又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.（2013·7）A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为右图，则它在平面zOx 上的投影即正视图为右图，故选A.（2012·7）B 解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为113932V =⨯⨯=.（2012·11）A 解析：易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O -ABC是棱长为113O A B C V -=⨯2S ABC O ABC V V --==. （2011·6）D 解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选D.二、填空题（2016·14）【答案：②③④】（2011·15）设ABCD 所在的截面圆的圆心为M ，则AM =，OM 22=，1623O ABCD V -=⨯⨯=三、解答题（2017·19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D的余弦值【基本解法1】（1）证明：取PA 中点为F ，连接EF 、AF ，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，12BC AD =所以BC 12AD ， 因为E 是PD 的中点，所以EF12AD ，所以EF BC ， 所以四边形EFBC 为平行四边形，所以//EC BF ，因为BF ⊂平面PAB ，EC ⊄平面PAB ，所以直线//CE 平面PAB ，（2）取AD 中点为O ，连接OC OP 、，因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC ， 所以OC AD ⊥，以,,OC OD OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图设1BC =，则(0,0,3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,PC =， 设(,,)M x y z，则(,,3)PM x y z =-，(1,0,0)AB =，因为点M 在棱PC上，所以(01)PM PC λλ=≤≤，即(,,(1,0,x y z λ-=-，所以()M λ，所以()BM λ=-， 平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =， 因为直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒， 所以|||sin 45||cos ,|2||||(BM nBM n BM n λ⋅︒=<>===，解得12λ=-，所以(,1,2BM =-， 设平面MAB 的法向量为(,,)m x y z =，则0022AB m x BM m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 令1z =，则6(0,2m =，所以cos ,||||6m n m n <>==⋅， 所以求二面角M AB D --（2016·19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D ´EF 的位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.OBAFDHED '解析：⑴证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD=，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF DH '⊥．∵6AC =，∴3AO =； 又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur，，，()060AC =uuu r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u r uu u r u r uuu r得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅==u r u u r u r u u r ，∴sin θ． （2015·19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（2015·19）解析：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==因为EHGF 为正方形，所以E H E F =10BC ==，于是6MH ==，所以10AH =，以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-，设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则00n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即100680x y z =⎧⎨-+=⎩，所以可取(0,4,3)n =，又(10,4,8)AF =-，故||45|c o s,|15||||n AF n AF nAF ⋅<>==所以AF 与平面EHGF（2014·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60º，AP =1，ADE -ACD 的体积.解析：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OE ．∵底面ABCD 为矩形，∴点O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，∴//OE PB ，∵OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB //平面AEC .（Ⅱ）以A 为原点，直线AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则(,0)D ，(0,0,0)A，1(0,)22E，(C a，∴1(0,)22AE=，(AC a =，设(,,)n x y z =是平面AEC 的法向量，则310220n AEy z n AC ax⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，解得：y xz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令x =(3,,)n a =-，又∵(,0,0)AB a =是平面AED 的一个法向量，∴1|cos ,|cos602AB n <>===， 解得32a =，∴111||||||322E ACD V AD CD AP -=⨯⨯⨯⨯11313222=⨯⨯=.解析：（Ⅰ）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1 // 平面A 1CD .PBCDEA（Ⅱ）由AC ＝CB＝2AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA uu r 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . 设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD uuu r ＝(1,1,0)，CE uur＝(0,2,1)，1CA uuu r ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则10CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uuu r n n ，即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩可取n ＝(1, -1, -1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuruuu r，可取m ＝(2, 1, -2)． 从而cos 〈n ，m〉＝||||3=·n m n m ，故sin 〈n ，m〉＝3. 即二面角D －A 1C －E的正弦值为3. （2012·19）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . （Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ； （Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.14．解析：（Ⅰ） 证明：设112AC BC AA a ===，直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥Q ，1DC DC D =I ，1DC ∴⊥平面BDC . BC ⊂Q 平面BDC ，1DC BC ∴⊥.（Ⅱ）由 (Ⅰ)知，1DC a，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，B D a =，,90AD a DAB =∠=o，AB ∴=. 222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.<法一>取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ，已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C E C DE C D ∠===，130C DE ∴∠=. 即二面角11C BD A --的大小为30.C BADC 1A 1B 1C B ADC 1 A 1 B 1<法二>以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a D a a C a .(),,DB a a a =--uu u r，()1,0,DC a a =-uuu r,设平面1DBC 的法向量为1111(,,)n x y z =r ，则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩uuu r r uuur r ，不妨令11x =，得112,1y z ==，故可取1(1,2,1)n =r.同理,可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =r.设1n r 与2n r 的夹角为θ，则1212cos ||||2n n n n θ⋅===⋅r rr r, 30θ∴=. 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角11C BD A --的大小为30.（2011·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD . （Ⅰ）证明：P A ⊥BD ；（Ⅱ）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值.15．解析：（Ⅰ）因为602DAB AB AD ∠=︒=，，由余弦定理得B D A D=，从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD ，又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ，所以BD ⊥平面P AD ，故 P A ⊥BD .（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则(1,0,0)A，(0B，(C -，(0,0,1)P. (AB =-uu u r，1)PB =-，u u r (1,0,0)BC =-uu u r ，设平面P AB 的法向量为n =(x , y , z )，则00AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu rn n ，即00x z ⎧-=⎪-=，因此可取=n ，设平面PBC 的法向量为m ，则00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu ur m m，可取(0,1,=-m，cos ,<>==m n A-PB-C的余弦值为.。
高考数学第二轮复习 立体几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体考纲指要：立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。
考点扫描：1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。
2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。
3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。
4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。
考题先知：例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。
请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。
解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。
证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距离，利用体积的“割补法”知：PDF O PEFO PDE O DEF P V V V V ----++==r S r S r S PDF PEF PDE ⋅+⋅+⋅313131BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++==r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅3131313131，从而21表表S S V V ABC DEF DEF P =--。
例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6==AC AB ，13-=BC ，以∠BAC 为例。
高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)
高三数学立体几何高考题1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）182.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π47.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）89（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1311．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
2011年高考数学立体几何配套试卷及答案
2011年最新高考+最新模拟——立体几何1.【2010·浙江理数】设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m // 【答案】B【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.2.【2010·全国卷2理数】与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个 【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）【答案】C【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.4.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.2B.1C.23D.13【答案】B【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为122121=⨯⨯⨯. 5.【2010·辽宁文数】已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于（ ）A.4πB.3πC.2πD.π 【答案】A【解析】由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=6.【2010·辽宁理数】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ） A.（B.（1,D.（0,【答案】A 【解析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a 可以取最大值，可知228a <+=，即有(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a>0; 综上分析可知a ∈（2217.【2010·全国卷2文数】与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点（ ）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个 【答案】D【解析】本题考查了空间想象能力.∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点.8.【2010·全国卷2文数】已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）34【答案】D【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴AE =AS=3，∴SE=AF=32，∴3sin 4ABF ∠=. 9.【2010·江西理数】过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力.第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.10.【2010·安徽文数】一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ） A.372 B.360 C.292 D.280 【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和. 把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.2(10810282)2(6882)360S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.ABC SEF11.【2010·重庆文数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ） A.只有1个 B.恰有3个 C.恰有4个 D.有无穷多个 【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段1OO 、EF 、FG 、GH 、HE 的中点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离都相等，所以排除A 、B 、C ，选D.亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离相等.12.【2010·浙江文数】若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.3523cm 3 B.3203cm 3C.2243cm 3 D.1603cm3 【答案】B【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题. 13.【2010·山东文数】在空间，下列命题正确的是（ ） A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D14.【2010·北京文数】如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上.点Q 是CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若EF=1，DP=x ，1A E=y(x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ 的体积（ ） A.与x ，y 都有关； B.与x ，y 都无关；C.与x 有关，与y 无关；D.与y 有关，与x 无关； 【答案】C15.【2010·北京文数】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：（ ）【答案】C16.【2010·北京理数】如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积（ ） Ａ.与ｘ，ｙ，ｚ都有关 Ｂ.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 Ｃ.与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 Ｄ.与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 【答案】D17.【2010·四川理数】半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（ ）A.17arccos 25RB.18arccos 25RC.13R πD.415R π 【答案】A【解析】由已知，AB ＝2R,BC ＝R,故tan ∠BAC ＝12，cos ∠BAC OM ，则△OAM为等腰三角形，AM ＝2AOcos ∠BAC，同理AN R ，且MN ∥CD ，而AC ＝R ，故MN ：CD ＝AN:AC ⇒ MN ＝45R ，连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R ，于是cos ∠MON ＝22217225OM ON MN OM ON +-= ，所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R .18.【2010·广东理数】如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是【答案】D19.【2010·广东文数】20.【2010·福建文数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A B ．2C ．D ．6【答案】D【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为24=3216⨯⨯=，选D ． 21.【2010·全国卷1文数】已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）【答案】B【解析】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =. 22.【2010·全国卷1文数】正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦A BC DA 1B 1C1D 1O值为（）A.3B.3C.23D.3【答案】D【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.方法一：因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO SDD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯= ,21122ACD S AD CD a ∆== . 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos 3θ=. 方法二：设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC1D所成角，1111cos 1/O O O OD OD ∠===. 23.【2010·全国卷1文数】直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=.24.【2010·湖北文数】用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .A. ①②B. ②③C. ①④D.③④25.【2010·山东理数】在空间，下列命题正确的是（ ） A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题.由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案. 26.【2010·福建理数】所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ，EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ， 故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D.【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.27.【2010·湖北省武汉市四月调研】若a 、b 是异面直线，α、β是两个不同平面，,,a b l αβαβ⊂⊂= ，则（ ）A ．l 与a 、b 分别相交B ．l 与a 、b 都不相交C ．l 至多与a 、b 中一条相交D ．l 至少与a 、b 中的一条相交【答案】B【解析】假设l 与a 、b 均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b 与a 、b 是异面直线矛盾.故l 至少与a 、b 中的一条相交选D.28．【2010·北京西城一模】如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行【答案】B【解析】若,M N 两点重合，由,AM MB CM MD ==知AC BD ∥，从而AC ∥平面β，故有AC l ∥，故B 正确．29．【2010·宁波市二模】已知βα,表示两个互相垂直的平面，b a ,表示一对异面直线，则b a ⊥的一个充分条件是（ ）A.βα⊥b a ,//B.βα//,//b aC.βα//,b a ⊥D.βα⊥⊥b a ,【答案】D【解析】依题意，a⊥α ,则a 平行β或在β内，由于b⊥β，则b a ⊥，选择D. 30．【2010·上海市浦东新区4月二模】“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由直线与平面平行的定义知，选C.31．【2010··北京崇文一模】已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥ 【答案】Bl【解析】A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．32.【2010·甘肃省部分普通高中第二次联合考试】已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β，则m⊥l ； ②若α⊥β，则m∥l ; ③若m⊥l ，则α∥β； ④若m∥l ，则α⊥β其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】对于①∵βα⊂⊥l m ,，若α∥β，∴m⊥β，所以m⊥l ，①正确；对于②，若α⊥β，则m∥β或m 在β内，m 与l 可以平行可以异面还可以相交，所以②错；对于③∵βα⊂⊥l m ,，若m⊥l ，则α与β可以相交，③错；对于④若m∥l ，则l⊥α ，∴α⊥β，④正确，选择B.33.【2010·湖北六市四月联考】给出互不相同的直线m 、n 、l 和平面α、β，下列四个命题：①若m α⊂，l A α= ，A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，//l α，//m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥； ③若l α⊂，m α⊂，l m A = ，//l β，//n β，则//αβ； ④若//l α，//m β，//αβ，则//l m 其中真命题有（ ） A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质，存在直线l α'⊂，m α'⊂，使得//l l '，//m m '，∵m 、l 是异面直线，∴l '与m '是相交直线，又n l ⊥，n m ⊥，∴n l '⊥，n m '⊥，故n α⊥，②是真命题；由线面平行的性质和判定，知③是真命题；满足条件//l α，//m β，//αβ的直线m 、l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.34.【2010•河南省郑州市第二次质检】已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C【解析】依题意,α与β换成直线后是真命题，γ与β换成直线后是真命题，γ与α换成直线后是假命题，选择C.35．【2010•宁波二模】已知βα,表示两个互相垂直的平面，b a ,表示一对异面直线，则b a ⊥的一个充分条件是（ ）A.βα⊥b a ,//B.βα//,//b aC.βα//,b a ⊥D.βα⊥⊥b a , 【答案】D【解析】依题意，a⊥α ,则a 平行β或在β内，由于b⊥β，则b a ⊥，选择D. 36．【2010•绵阳三诊】已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m α⊂，则：“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若m β⊥，因m 是一条直线且m α⊂，由面面垂直的判定定理，知αβ⊥，反之，若m 是一条直线且m α⊂，当αβ⊥时，m 与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m β⊂，故“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件，选B.37．【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若.//,,,//b a b a 则βαβα⊂⊂B ．若αα与a a ,⊥所成角等于b 与β所成角，则a//b.C ．若.//,//,,ββααb b a a 则⊥⊥D ．若.,,,b a b a ⊥⊥⊥⊥则βαβα 【答案】D【解析】对于选项A ：直线a ，b 可能平行或异面；对于选项B ：只有当平面α与β平行时，才有a//b ，故B 不对；对于选项C ，有可能直线b 在平面β内，故C 错；故选D. 38．【2010·山东德州五月质检】在空间中，给出下面四个命题：(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行 于该平面；(3)两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线. 其中正确的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4) 【答案】D【解析】对于(2)可能该直线与平面相交；对于(3)可能两相交直线的射影为一条直线或一点与过该点的一条直线,故选D.39．【2010·江西省重点中学第二次联考】已知一个确定的二面角l αβ--，a 和b 是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a 和b 所成的角也确定的是（ ）A ．a ∥α且b ∥β B ．a ∥α且b ⊥β C ．a α⊆且b β⊥ D ．a α⊥且b β⊥ 【答案】D【解析】因为二面角的大小是确定的，所以当a α⊥且b β⊥时，a 和b 所成的角与二面角的大小相等或互补，故而a 和b 所成的角也确定,选D. 40．【2010·崇文一模】已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥【答案】D【解析】A 中，垂直于同一平面的平面可能平行或者相交；B 中，平行于同一直线的平面可能平行或者相交；C 中，平行于同一平面的直线可能是任意关系；D 中，垂直于同一平面的直线平行,正确．41．【2010·上海市长宁区二次模】已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据是平面与平面垂直的判定定理知：由m⊥β⇒α⊥β，反之不成立.故选B.42．【2010·河北省衡水中学一模】正四棱锥P —ABCD 的底面积为3E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( )A ．6π B ．3π C ．4πD ．2π【答案】B 【解析】由V=22=13×3×h，所以h=22，从而侧棱长PA=2，取AC 中点O ，连OE ，则OE∥PA，且OE=22，于是∠OEB 为异面直线PA 与BE 所成的角或其补角.在直角三角形BOE 中，BO=62，所以tan∠OEB=3，所以∠OEB=3π. 43．【2010·湖北省襄樊五中5月调研测试】如图，正三棱锥A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并且AE EB =CFFD =λ（0＜λ<＋∞)，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β的值是（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．与λ的值有关【答案】C【解析】利用特殊化思想，当λ=1，即E 、F 分别为AB 、CD 中点时，取BC 中点M ，则EM∥AC,FM∥BD,又AC⊥BD，所以三角形EMF 为直角三角形，所以α＋β=π2.44．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】二面角3a l πβ--为，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在平面,αβ内，A C⊥l ，BD⊥l ，且AC=AB=1，BD=2，则CD 的长等于 （ ）A ．2BC ．D 【答案】A【解析】过B 作BE∥AC，且BE=1，则∠DBE=60°，从而DE=12+22-2×1×2×cos60°=3，在三角形CDE 中，CD=12+3=2.45．【2010·泸州二诊】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =.若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到平面1C AB 的距离为（ ）A.34 B.121 【答案】A【解析】取AB 中点D ，连结CD ，1C D ，则1CDC ∠是二面角1C AB C --的平面角.∵1AB =，∴CD =，∴在1Rt DCC ∆中，13tan 602CC CD =⋅==，C 1111cos CDC D CDC ==∠C 到平面1C AB 的距离为h ，则由11CC AB C ABC V V --=得，1111311323222⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得34h =，选A.46．【2010·湖 北 省年普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C1中，AB ＝1，AC ＝2，BC D ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】A 【解析】取AC 中点F ，连DF ，BF ，则易知BF∥DE，过F 作FH⊥BC 于H ，则FH⊥平面BCC 1B 1，则角∠FBH 为所求，在直角三角形FHB 中，FH=12,BF=12AC=1，所以∠FBH=30°.47．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】如图，在正三棱柱ABC －A1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上一动点，已知△BCM 面积的最大值是M―BC―A 的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于（ ）A.B.D. 【答案】A【解析】当点M 与点A1重合时，△BCM 的面积为最大值，此时二面角M―BC―A 也为最大. 由已知可得，ABC S ∆=33cos =π，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为3，从而正三棱柱的高AA 1＝33tan3=π.所以正三棱柱的体积V = A.48．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（八）】 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，M,N 分别为AB,DC 中点，则直线MC 与1D N 所成角的余弦值为（ ） A.12 B.15 C. 15- D. 13- 【答案】B【解析】连NA ，D 1A ，则∠D 1NA 为所求，在三角形D 1NA 中由余弦定理可求得cos∠D 1NA=15.49．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（四）】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是,332π那么这个三棱柱的体积是（）A.D.【答案】DM A B CDA 1D 1C 1B 1N【解析】因为球的体积为323π，柱体的高为2r=4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r=2，所以底面边长a=43,所以V 柱=34×(43)2×4=50.【2010·内蒙古赤峰市四月统一考试】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A.63 B.43 C.22 D.23【答案】A【解析】设底面边长AB=1，则侧棱长SA=2，过顶点S 作底面的垂线，垂足O 为底面中心，连结AO ，则∠SAO 为所求，因为AO=33,所以cos∠SAO=AO SA =36. 51．【2010·上海市奉贤区4月调研】已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为2π3,则线段AB 的长度为（ ）A.1B. 3C.2D. 2 3 【答案】C【解析】由l=αR=α×2=2π3得，α=π3，从而知∠AOB=π3，即△AOB 为正三角形，所以AB=OA=R=2.52．【2010·石家庄市教学质量检测（二）】如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（ ） A.122 B.242 C.123 D.243【答案】B【解析】EF∥AC，所以AC⊥DE，又AC⊥BD，所以AC⊥平面ABD ，所以侧面三角形为等腰直角三角形，AB=AC=AD=22，V=16×(22)3=224. 53.【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==， 球心O 到平面ABC的距离是2，则B C 、两点的球面距离是（ ）A ．3π B ．π C ．43π D ．2π【答案】B【解析】取AC 中点H ，连OH ，则OH 垂直于平面ABC ，又OA=3，所以AC=2AH=CH=2×322=32,又90,ABC BA BC ︒∠==，BC=3，从而三角形OBC 为正三角形，∠BOC=60°，所以球面距离为l=π3×3=π.54．【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试 】如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱,32=SA 则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（ ） A ．12π B ．32π C ．36π D ．48π【答案】C【解析】因为MN⊥AM，所以SB⊥AM，又SB⊥AC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以SA=SB=SC=23，所以2R=3×(23)=6，所以S=π(2R)2=36π.55．【河南省郑州市2010年高中毕业班第二次质量预测】过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（ ） A ．116B ．316 C ．112D ．18【答案】B【解析】易求得截面圆半径为球半径的32倍，所以S 1S 2=π(32R)24πR 2=316. 56．【2010·唐山三模】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为( )A.5πB.17πC.20πD.68π 【答案】C【解析】截面圆的半径为2，所以球半径R=12+22=5，所以S=20π.57．【2010·成都市第37中学五月考前模拟】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ） A.32 B.33C.34D.23【答案】A【解析】过A 、B 两点分别作AM 、BN 垂直于EF ，垂足分别为M 、N ，连结DM 、CN ，可证得DM⊥EF、EFABCDCN⊥EF ，多面体ABCDEF 分为三部分，多面体的体积V 为+=-BNC AMD ABCDEF V V BNC F AMD E V V --+，∵21=NF ，1=BF ，∴23=BN ，作NH 垂直于点H ，则H 为BC 的中点，则22=NH ，∴4221=⋅⋅=∆NH BC S BNC ，∴24231=⋅⋅=∆-NF S V BNC BNC F ，242==--BNC F AMD E V V ，42=⋅=∆-MN S V BNC BNC AMD ，∴32=ABCDEF V ，故选A ． 58.【2010·内蒙古赤峰市一模】四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD=2，3=AB .在外接球球面上A 、B 两点间的球面距离是（ ） A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 【答案】C【解析】由题意知半径R=1，所以∠AOB=32π，从而球面距离为l=32π×1=32π. 59．【2010·江西赣州十一县（市）第二学期期中联考】棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AB 、11A D 的中点，则经过E 、F 的球截面的面积最小值是（ ） A ．38π B ．2π C ．58π D ．78π【答案】C【解析】当截面圆的圆心在直线EF 上时，其面积最小.因为EF=62，可求得球心O 到直线EF 的距离为24，所以截面圆的半径r=R 2－(24)2=(32)2－(24)2=58，所以S=58π. 60.【2010·上海文数】已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 . 【答案】96EFABC DM NH【解析】考查棱锥体积公式9683631=⨯⨯=V . 61.【2010·湖南文数】图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h= cm.【答案】462.【2010·浙江理数】若某几何体的三视图（单位：cm ）如上图（右）所示，则此几何体的体积是___________3cm . 【答案】144【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题. 63.【2010·辽宁理数】如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___ ___.【答案】【解析】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2=64.【2010·江西理数】如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 .【答案】 321S S S <<【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得321S S S <<.65.【2010·北京文数】如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点p （x ，y ）的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴 所围区域的面积为 . 【答案】4 1π+ 【解析】“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动.66.【2010`四川理数】如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .【答案】4【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D ，连结AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°，又由已知，∠ABD ＝30°，连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，设AD ＝2，则ACCD ＝1，AB＝sin 30AD ＝4，∴sin ∠ABC＝4AC AB =. 67.【2010·天津文数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题. 正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半.由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯α∙AB∙βC Dα∙AB ∙β视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为1+=2⨯⨯（12）213. 68.【2010·天津理数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 【答案】103【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题.利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉13哦.由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为144133⨯⨯=，所以该几何体的体积V=2+43= 103. 69.【2010·湖北文数】圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__ __cm. 【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.70.【2010·湖南理数】图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．71.【2010·福建理数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．【答案】【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，所以其表面积为72．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S —ABC 是正四面体，M 为AB 之中点，则SM 与BC 所成的角为 .【答案】arccos 36【解析】设正四面体边长为1，取AC 中点N ，则MN∥BC，∠SMN 为异面直线SM 与BC 所成的角或其补角，且MN=12，SM=SN=32，由余弦定理可得cos∠SMN=36. 73．【2010·石家庄市质量检测（二）】如图，在底面边长为2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若二面角C 1-AB-C 的大小为600，则点C 到平面ABC 1的距离为 ． 【答案】32【解析】过点C 作CD⊥AB 交AB 于D ，连结C 1D ，则由三垂线定理知∠CDC 1为二面角的平面角，则∠CDC 1=60°.过点C 作CH⊥C 1D ，交C 1D 于H ，则CH⊥平面ABC 1，故CH 为所求，在三角形CC 1D 中，CD=3,从而CC 1=3，从而CH=32.74．【2010·云南曲靖一中高考冲刺卷六】正四面体ABCD 外接球的体积为，则点A 到平面BCD 的距离为__________________. 【答案】433【解析】V=，所以R=3，过A 作AH⊥平面BCD ，则垂足为底面中心，则AH 为所求.。
2011年数学高考分类汇编解答题(理)03——立体几何
03 立体几何1. （2011天津卷理）17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111A B C A B C -中，H 是正方形11A A B B的中心，1A A =1C H ⊥平面11A A B B，且1C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A A C B --的正弦值； （Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11A A B B内，且M N ⊥平面11A B C ，求线段B M 的长．【解析】17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(0,0),(0,0,0),A B C - 11(2,0),,22,2,5)A B C （I ）解：易得11((0,0)A C A B ==-， 于是111111c o s ,3||||A C AB AC A B A C A B ⋅===⋅所以异面直线AC 与A 1B 13（II ）解：易知111(0,0),(A A A C == 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m x y z =，则11100m A C m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-+=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得0,m =，同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x y z =，则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得(0,n =于是22c o s ,,||||7m n m n m n ⋅===⋅从而s in ,7m n =所以二面角A —A 1C 1—B的正弦值为7（III ）解：由N 为棱B 1C 1的中点，得222N 设M （a ，b ，0），则2(,,)222M N a b =--由M N ⊥平面A 1B 1C 1，得11110,0.MN A B M NA C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()(0,2()(()(0.222a a b ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅-+-⋅+⋅=⎪⎩解得24a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故0).24M因此2(,0)24B M =，所以线段BM 的长为10||4B M =方法二：（I ）解：由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角.因为1C H⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，11AA C H ==可得1111 3.A C B C == 因此2221111111111111co s 23A C AB BC C A B A C A B +-∠==⋅2011年数学各地高考分类汇编解答题（理） 0303 立体几何（理） 第3页（30） 天津蓟县擂鼓台中学 张友清所以异面直线AC 与A 1B 13（II ）解：连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1， 又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1=C 1，所以11A C A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11A R A C ⊥于点R ，连接B 1R ，于是111B R A C ⊥，故1A R B ∠为二面角A —A 1C 1—B 1的平面角.在11R t A R B ∆中，11111sin 3B R A B R A B =⋅∠==连接AB 1，在1A R B ∆中，2221111114,,co s 2A R B R A B A B A R B R A R B A R B R+-==∠=⋅27=-，从而1s in 7A RB ∠=所以二面角A —A 1C 1—B 17（III ）解：因为M N ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.M N A B ⊥ 取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点， 所以ND//C 1H且1122N D C H ==.又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以N D ⊥平面AA 1B 1B ，故11.N D A B ⊥ 又,M NN D N =所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ， 则111,//.M E A B M E A A ⊥故 由1111111,4B E B D D E A A B A B A ===得12D E B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得12B F B E ==连接NE.在R t E N M ∆中，2,.N D M E N DD E D M ⊥=⋅故所以24N D D M D E==可得4F M =连接BM ，在R t B F M ∆中，4B M ==2. （2011北京理）16．（本小题共14分） 如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面A B C D ，底面A B C D 是菱形，2,60A B B A D =∠=.(Ⅰ)求证：B D ⊥平面;P A C （Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长.【解析】（16）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，则2011年数学各地高考分类汇编解答题（理） 0303 立体几何（理） 第5页（30） 天津蓟县擂鼓台中学 张友清4632226cos =⨯=θ.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t>0）， 则),3,1(t BP --=设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m BP m BC所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x 令,3=y 则.6,3tz x ==所以)6,3,3(tm =同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(tn -=因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t 所以PA=63. （2011辽宁卷理）18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12P D ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．【解析】18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz. （I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).D Q D C P Q ===- 所以0,0.P Q D Q P Q D C ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).CB B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n C B x x y z n B P ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m B P m P Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取(1,1,1).c o s ,5m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C的余弦值为5-………………12分4. （全国大纲卷理）19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S A B C D -中， A B C D ⊥,B C C D ⊥，侧面S A B 为等边三角形，2,1A B B C C D S D ====．（Ⅰ）证明：S D S A B ⊥平面;（Ⅱ）求A B 与平面S B C 所成角的大小．【解析】19．解法一：（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则,S E A B S E ⊥=又SD=1，故222E D S E S D =+， 所以D S E ∠为直角。
2011年高考新课标数学文二轮复习作业：专题5单元卷 立体几何
综合测评(五) 立体几何(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几何体各自的三视图中，至少有两个视图相同的是( )A ．①②③B ．①④C ．②④D ．①②④2．(2010年山东枣庄第八中学质检)等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球>S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球<S 正方体D ．不能确定3．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.944．如图，△ABC 为正三角形，AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC 且3AA ′＝32BB ′＝CC ′＝AB ，则多面体ABC －A ′B ′C ′的正视图(也称主视图)是( )6．如图，已知△ABC 的平面直观图A ′B ′C ′是边长为2的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C. 6 D ．2 67．(2010年辽宁抚顺一中模拟)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3∶2B ．2∶1C ．4∶3D ．5∶3A ．4πB ．3πC ．2πD ．π9．设a 、b 、c 是空间三条直线，α、β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不．成立的是( )A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥βB ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βC ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c11．如图，三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2CM ，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系(x ∈(0,3])的是( )12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则点E 、F 满足的条件一定是( )A ．CE ＝D 1F ＝12B ．CE ＋DF ＝1C ．BE ＋D 1F ＝1D ．E 、F 为棱BC 、DD 1上的任意位置二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.15.已知a、b是两条异面直线，a⊥b.点P∉a且P∉b.下列命题中：①在上述已知条件下，平面α一定满足：P∈α且a∥α且b∥α；②在上述已知条件下，存在平面α，使P∉α，a⊂α且b⊥α；③在上述已知条件下，直线c一定满足：P∈c，a∥c且b∥c；④在上述已知条件下，存在直线c，使P∉α，a⊥c且b⊥c.正确的命题有________(把所有正确的序号都填上)．16．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一几何体的三视图如下：(1)画出它的直观图，并求其体积；(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．18．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A－PBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，AP ⊥PC，D为AB的中点，且△PDB为正三角形．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)求三棱锥D－PBC的体积．19．(本小题满分12分)如图1所示，在边长为12的正方形AA1A′1A′中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA′1分别交BB1、CC1于点P、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A′1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1.(1)求证：AB⊥PQ；(2)在底边AC上有一点M，AM∶MC＝3∶4，求证：BM∥平面APQ.20.(本小题满分12分)四棱柱ABCD—A1B1C1D1的三视图如下．(1)求出该四棱柱的表面积；(2)求证：D1C⊥AC1.21．(本小题满分12分)一个空间几何体G －ABCD 的三视图如图所示，其中A i 、B i 、C i 、D i 、G i (i ＝1,2,3)分别是A 、B 、C 、D 、G 五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影．在正(主)视图中，四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，且A 1B 1＝2a ；在侧(左)视图中，A 2D 2⊥A 2G 2；在俯视图中，A 3G 3＝B 3G 3.(1)根据三视图作出空间几何体G －ABCD 的直观图，并标明A 、B 、C 、D 、G 五点的位置； (2)在空间几何体G －ABCD 中，过点B 作平面AGC 的垂线，若垂足H 在直线CG 上，求证：平面AGD ⊥平面BGC ；(3)在(2)的条件下，求三棱锥D －ACG 的体积及其外接球的表面积．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CG →＝13CB →.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求三棱锥C －DEG 的体积；(3)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求AM 的长；否则，说明理由．综合测评(五)1．【解析】选D.易知①正方体的三个视图均相同；②圆锥的正视图和侧视图均为等腰三角形；③三棱台的正视图和侧视图为两个不同梯形，俯视图是一三角形内套着一个三角形；④正四棱椎的正视图和侧视图均为一等腰三角形，故有①②④符合条件．2．【解析】选C.设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则43πR 3＝a 3.又S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2＝6·3169π2R 2＝436π2R 2>4πR 2＝S 球．3．【解析】选B.设原棱锥的高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h2，∴V ′V ＝92，故选B.4．【解析】选D.由AA ′∥BB ′∥CC ′及CC ′⊥平面ABC ，知BB ′⊥平面ABC .又CC ′＝32BB ′，且△ABC 为正三角形，故正视图应为D 中的图形． 5．【解析】选D.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ⊥β⇒m ⊂α或m ∥α； ⎭⎪⎬⎪⎫α∩β＝n m ∥n ⇒m ⊂α或m ∥α； ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ∥α⇒m ⊂α或m ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂β⇒m ∥α(面面平行的性质)． 6．【解析】选D.由斜二测作图的规则知，原△ABC 的边AB ＝2，AB 边上的高h ＝2O ′C ′＝2 6.∴S △ABC ＝12·AB ·h ＝12·2·26＝2 6.7．【解析】选C.底面半径r ＝23π2πl ＝13l .故圆锥中S 侧＝13πl 2，S 表＝13πl 2＋π(13l )2＝49πl 2，所以表面积与侧面积的比为4∶3. 8．【解析】选A.如图所示，A 、B 、C 三点在一小圆面上， ∵AB ⊥BC ，AC 为斜边， ∴小圆的圆心为AC 的中点D . ∵SA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝3，AD ＝32.∵S ，A ，B ，C 都在球面上，取SC 的中点O ，则OD ∥SA .∵SA ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ， ∴O 为球心，SO 为半径．∵SC ＝ 1＋(3)2＝2，∴SO ＝1， ∴球O 的表面积为4π. 9．【解析】选B.B 中只有当b 垂直于两个面的交线时，有b ⊥β，故选B. 10．【解析】选A.所得的垃圾铲如图所示，取CD 的中点O ，连结OE 、OP ，则OE ＝2，OC ＝1，PC＝PD ＝2，∴OP ＝22－12＝3，又PE ＝1，则∠OPE ＝90°，∴S △OPE ＝12PE ·OP ＝32，∴V P －CDE ＝13S △OPE ·OC ＋13S △OPE ·OD ＝13S △OPE ·CD ＝33. 11．【解析】选A.∵CM ＝x ，∴NO ＝8－2x ，∴V N －AMC ＝13×S △AMC ·NO ＝12(4x －x 2)．故图象是开口向下的抛物线． 12．【解析】选B.在面BB 1C 1C 内作BF ′∥AF 交CC 1于F ′， ∵B 1E ⊥面ABF ，∴B 1E ⊥AF ， ∴B 1E ⊥BF ′，DF ＝CF ′. 在正方形BB 1C 1C 中， 由B 1E ⊥BF ′，得CE ＝C 1F ′＝1－CF ′，∴CE ＋CF ′＝1，即CE ＋DF ＝1.13．【解析】该几何体为底面是直角梯形的四棱柱，V ＝(1＋2)×22×1＝3. 【答案】3 14．【解析】由直三棱柱及D 是A 1C 1的中点，得B 1D ⊥平面AC 1，而CF ⊂平面AC 1，∴B 1D ⊥CF ，故若CF ⊥平面B 1DF ，则必有CF ⊥DF .设AF ＝x (0<x <3a )，则CF 2＝x 2＋4a 2，DF 2＝a 2＋(3a －x )2，又CD 2＝a 2＋9a 2＝10a 2， ∴10a 2＝x 2＋4a 2＋a 2＋(3a －x )2，解得x ＝a 或2a . 【答案】a 或2a 15．【解析】构造正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设AB 所在的直线为a ，CC 1所在的直线为b ，当点P ∈CD 时，不存在平面α，使P ∈α，a ∥α且b ∥α，①错；同理可得③也错；而②④正确．【答案】②④ 16．【解析】由P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面P AB⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面P AD ，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确． 【答案】①④ 17．【解】(1)该几何体的直观图如图， 其中PC ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，△ABC 斜边AC 上的高为125cm ，PC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，∴V P －ABC ＝13×12×5×125×6＝12(cm 3)．(2)互相垂直的面有：面P AC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面ABC ， 面PBC ⊥面P AB . 18．【解】(1)证明：∵△PDB 为正三角形，D 为AB 的中点，∴PD ＝BD ＝AD ＝12AB ，∴∠APB ＝90°，即AP ⊥PB . 又知AP ⊥PC ，且PB ∩PC ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC .又AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，(2)由(1)，PC ＝PB 2－BC 2 ＝102－42＝221，∴S △PBC ＝12BC ·PC＝12×4×221＝421. 又AP ⊥平面PBC ，且AP ＝AB 2－PB 2＝202－102＝103，∴V A －PBC ＝13AP ·S △PBC ＝13×103×421＝407，由D 为AB 的中点知V D －PBC ＝12V A －PBC ＝12×407＝207.19．【证明】(1)因为AB ＝3，BC ＝4，AA ′＝12，所以折叠后的AC ＝A ′C (折叠前)＝5，从而AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC . 又因为AB ⊥BB 1，而BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面BC 1，又PQ ⊂平面BC 1， 所以AB ⊥PQ .第 - 10 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门(2)过M 作MN ∥CQ 交AQ 于N ，连结PN ，BM ， 因为AM ∶MC ＝3∶4，∴AM ∶AC ＝MN ∶CQ ＝3∶7. 由题意知MN ＝PB ＝3. ∵PB ∥CQ ，∴MN ∥PB .∴四边形PBMN 为平行四边形．∴BM ∥PN ，∵BM ⊄平面APQ ，PN ⊂平面APQ ，∴BM ∥平面APQ . 20．【解】(1)由三视图可知，SAA 1D 1D ＝SAA 1B 1B ＝1×2＝2，SA 1B 1C 1D 1＝S ABCD ＝12(1＋2)×1＝32，SD 1DCC 1＝2×2＝4， SB 1BCC 1＝2×2＝22，则该四棱柱的表面积S ＝11＋22.(2)证明：由三视图得，该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形． 在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，连结C 1D ，AC 1∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形．∴DC 1⊥D 1C . 又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， ∴AD ⊂平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，∴AD ⊥DC 1.∵AD ，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ， ∴D 1C ⊥平面ADC 1，又AC 1⊂平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1. 21．【解】(1)空间几何体的直观图如图所示，由题意可知，平面ABCD ⊥平面ABG ，四边形ABCD 为正方形，且AG ＝BG ，AB ＝2a . (2)证明：因为过B 作平面AGC 的垂线，垂足H 在直线CG 上，所以BH ⊥平面AGC . 因为AG ⊂平面AGC ，所以BH ⊥AG .又因为BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面AGB ，所以BC ⊥AG . 又因为BC ∩BH ＝B ，所以AG ⊥平面BGC .又因为AG ⊂面AGD ，故平面AGD ⊥平面BGC .(3)由(2)知，AG ⊥GB ，AG ⊥CG ，所以△ABG 为等腰直角三角形．过点G 作GE ⊥AB 于点E ，则GE 为G 点到平面ABCD 的距离，且GE ＝12AB ＝a ，AG ＝BG ＝2a . 所以V D －ACG ＝V G －ADC ＝13×12AD ×DC ×GE ＝23a 3. 取AC 的中点M ，因为△AGC 和△ACD 均为直角三角形，所以MD ＝MG ＝MA ＝MC ＝12AC ＝2a . 所以M 是四棱锥D －ACG 的外接球的球心，半径为2a ，所以S 球＝4π×(2a )2＝8πa 2.22．【解】(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC .又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD .又∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .又∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G －DEC 的高．∵E 是PC 的中点，∴S △EDC ＝12S △PDC ＝12×(12×2×2)＝1. ∴V C －DEG ＝V G －DEC ＝13GC ·S △DEC ＝13×23×1＝29.(3)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，则P A ∥平面MEG .证明如下：∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，∴EO ∥P A .又∵EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，∴P A ∥平面MEG .在正方形ABCD 中，∵O 是AC 的中点，∴△OCG ≌△OAM ，∴AM ＝CG ＝23，∴所求AM 的长为23.。
2011年高考文科数学立体几何的综合测试题及参考答案
易证得 Rt�ADC ≌ Rt�B1C1D �故 AD � B1D �
又 O 为 AB1的中点�故 OD � AB1 �∴ AB1 � 平面 A1BD
13��1�证明�∵ AD � 平面 ABE � AD // BC �
∴ BC � 平面 ABE �则 AE � BC
�
�
又 BF �平面 ACE �则 AE � BF
�2�在�1�的条件下�求异面直线 DE 与 CF 所成的角�
E
D
C
B
A
F
E·
D·
C · ·B
·
A
F·
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立体几何的综合答案
1、A � 2、A � 3、D� 4、C � 5、C� 8�② ④ ⑤ � 9、① ② ③ � 10、C �
6� 4 cm3 3
7�1.5 �
11��1�证明�连接 D1C 交 DC1 于 F �连结 EF �
D1 A1
D A
C1 B1
C E B
12�如图�三棱柱 ABC � A1B1C1 的所有棱长都相等�且 A1A � 底面 ABC � D为 C1C 的中点� AB1与 A1B 相交于点 O �连结 OD �
�1� 求证� OD// 平面 ABC ��2�求证� AB1 � 平面 A1BD 。
13 � 如 图 所 示 � 四 边 形 A B C D为 矩 形 � AD � 平 面 ABE � F 为 CE 上 的 点 � AE � EB � BC � 2� F 为CE 上的点�且 BF �平面 ACE
2011 年高考文科数学立体几何的综合测试题及参考答案
1� m 、 n 是不同的直线�� 、 � 、� 是不同的平面�有以下四个命题�
2011年立体几何大题和答案理科
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何1．（2013辽宁）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值2．（2013重庆）如图,四棱锥P A-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.3．（2013浙江）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.1．（2013上海）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积. 2．（2013江苏）如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.3．（2013上海）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.ABCDPQM（第20题图）ABCSGFEC 11A4．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A∠=︒,6BC =,,D E 分别是,A C A B上的点,CD BE ==,O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.5．（2013天津）如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC ,AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长. 6．（2013新课标1）如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠B A A 1=60°.(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.7．（2013陕西）如图, 四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小. 8．（2013江西）如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，B 1A 1C 1ACB. C O BDEA CDOBE'A 图1图21A3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值. 9．（2013四川）如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.10．（2013江苏）如图,在直三棱柱111A B C A B C-中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 (1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.11．（2013大纲）如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.12．（2013山东）如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,A Q B Q A P B P 的中点, 2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值.13．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.14．（2013福建）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1C1AA ABCD ⊥底面,//AB DC ,11AA =,3AB k =,4AD k =,5BC k =,6DC k =(0)k >.(1)求证:11;CD ADD A ⊥平面(2)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67,求k 的值; (3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为()f k ,写出()f k 的表达式(直接写16．（2013北京）如图,在三棱柱-111中,11是边长为4的正方形,平面⊥平面1C 1C ,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求1BDBC 的值.一、选择题17 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A18 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβABCD1A 1C 1B E是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D19 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C20 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A21 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A22 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<< B．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C23 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1BC．2D．2【答案】C24 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143 C ．163D ．6【答案】B25 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ）正视图俯视图侧视图第5题图A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D26．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形.若P 为底面111A B C的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B27．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240【答案】C28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A．2B．C ．132D．【答案】C29．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A30．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A31．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是公理．．的是 （ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 32．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A 33．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题34．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π+,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.35．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 36．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π37．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】 38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2439．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .A BCADEF BC 1B【答案】2440．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S【答案】①②③⑤41．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-42．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π43．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π三、解答题44．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】D 1 C 1 B 1A 1D C AB45．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.法二:1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;ABCDPQM（第20题图）方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P OQ H P Q O H ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D--的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中,2133HG α=∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 6033CG CHGHG ∠==== tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,11tan 6BC CC BC C =⋅∠==从而2ABC S BC ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==.3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SABABCSGFEB 1A 1C 1ACBAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中,11AC DC AD ==,故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面第19题图EF ABC∴平面⊆平面又EF BEF∴EF l∴平面l PAC(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而AH '== 所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则C D OBE'AH.CO BDEA CDOBE'A图1图200n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--.7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.【答案】8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形,∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA,∴AB⊥1AC ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面AB C⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC),1BB =1AA1A C),设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,可取n∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n ||∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=⇒C A B A C B ，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OB A n 设平面OCB 1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅OC n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221|||||,cos |cos 212111=⋅=⋅=><=n n n n θ.1A所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3π 10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D ,(4)3(0,0,)2P ,故133333(0),(,),(2222BC CP CD ==--=-，，， 设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z =,则111102330222y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ,解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12(1,)3n =. 设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z =,则22232330222y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩,解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2n=.从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124cos 416n n n n θ⋅===. 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.1C【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A()II 解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF .由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN .所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥.所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==.又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12AP AM ==, 在1Rt AA P 中, 1A P =;在1Rt A AM 中, 1AM =从而,11AA AP AE A P ∙==11AA AM AF A M ∙==所以sin AE AF θ==.所以cos θ===. 故二面角1A A M N --的余弦值为5解法二: 设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,A E A D ,1AA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以131,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =. 设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩取11x =,则1y =,所以()11,n =.设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则 212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()())2222221,,,10,22,,0,x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩从而222210,20.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-.设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则1212cos n n n n θ∙===∙. 故二面角1A A M N --的余弦值为5 12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点(1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值(2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以{}1,,AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=A ,)4,1,1(1--=A∴10103182018,cos 11==>=<C A ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103 (2))0,2,0(= 是平面1ABA 的的一个法向量设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =,∵)0,1,1(=,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=m 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ∴32324,cos cos =⨯-==><=θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为35 13．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形.(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点, 2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC ,又EF ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ平面PCD GH =, 所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .(Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,所以=90ABQ ∠,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥,又BP BQ B =,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ⊂平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥,所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC ,在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC =在t R △PBC 中,由勾股定理得,PC =,又H 为△PBQ 的重心,所以13HC PC == 同理FH =,在△FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529FHC +-∠==-⨯,即二面角D GH E --的余弦值为45-. 解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直,以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =--,(0,2,1)FQ =-,(1,1,2)DP =--,(0,1,2)CP =-,设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =, 由0m EQ ⋅=,0m FQ ⋅=,得111112020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =,得(0,1,2)m =.设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =由0n DP ⋅=,0n CP ⋅=, 得222222020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取21z =,得(0,2,1)n =.所以4cos ,5m n m n m n ⋅==因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为45-. 15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解: (Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
2011年高考试题分类汇编(立体几何)
2011年高考试题分类汇编（立体几何）考点1 公理体系1.（2011·四川卷·文理科）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A.12l l ⊥，23l l ⊥⇒1l ∥3lB.12l l ⊥，2l ∥3l ⇒1l ⊥3lC.1l ∥2l ∥3l ⇒1l ，2l ，3l 共面D.1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 2.（2011·浙江卷·理科）下列命题中错误的是A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l ⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3.（2011·浙江卷·文科）若直线l 不平行于平面α，且l αØ，则 A.α内存在直线与异面 B.α内不存在与l 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l 平行 D.α内的直线与l 都相交4.（2011·江西卷·理科）已知1α，2α，3α是三个相互平行的平面，平面1α，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ，直线l 与1α，2α，3α分别相交于321,,p p p .那么“3221p p p p =”是“21d d =”的 A.充分不需要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点2 多面体 考点3 旋转体1.（2011·大纲全国卷·文理科）已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A.7πB.9πC.11πD.13π考点4 组合体1.（2011S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点,,,,S A B C D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为C.2.（2011·四川卷·文理科）半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .3.（2011·课标全国卷·理科）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =,BC =O ABCD -的体积为 .4.（2011·课标全国卷·文科）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .考点5 解答题考法1 线线所成的角1.（2011·大纲全国卷·文科）已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .2.（2011·陕西卷·理科）如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=,AD 是BC 上的高，沿AD 把ABD ∆折起，使90BDC ∠=.（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（Ⅱ）设E 为BC 的中点，求DB AE 与夹角的余弦值.AC BDEDCBA考法2 线面所成的角1.（2011·大纲全国卷·文理科）如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2，CD =SD =1.（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.2.（2011·天津卷·文科）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四 边形，45ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．考法3 二面角1.（2011·课标全国卷·理科）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值.2.（2011·四川卷·理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，11AB AC AA ===，D 是棱1CC 上的一点，P 是AD 的延长线与11AC 的延长线的交点且1PB ∥平面1BDA . （Ⅰ）求证：CD ∥1C D ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面1B DP 的距离.SDCBAABCD PA 1B 1C 1ABCDPABCDPMO3.（2011·四川卷·文科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，11AB AC AA ===，延长11AC 至点P ，使111C P AC =，连接AP 交棱1CC 于点D . （Ⅰ）求证：1PB ∥平面1BDA ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的平面角的余弦值.4.（2011·天津卷·理科）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B ， 且1C H =（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．5.（2011·江苏卷·理科）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=，E ，F 分别是AP ，AD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ； （Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD .ABCHC 1A 1B 1ABCDPA 1B 1C 1ABCDPE F6.（2011·陕西卷·文科）如图，在ABC ∆中，45,90ABC BAC ∠=∠=,AD 是BC 上的高，沿AD 把D AB ∆折起，使90BDC ∠= .（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ； （Ⅱ）若1BD =,求三棱锥D ABC -的表面积. 考法4 距离1.（2011·大纲全国卷·文理科）已知直二面角βα--l , 点A α∈,AC l ⊥，C 为垂足，B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，若2AB =，1AC BD ==，则D 到平面ABC 的距离等于1 2.（2011·课标全国卷·文科）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD .(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.ABCDPEDCBAA BCD。
2011年高考数学二轮考点专题(五) 立体几何突破检测
专题达标检测五一、选择题1．若a 、b 表示互不重合的直线，α、β表示不重合的平面，则a ∥α的一个充分条件是( ) A ．α∥β，a ∥β B ．α⊥β，a ⊥βC ．a ∥b ，b ∥αD ．α∩β＝b ，a ⊄α，a ∥b解析：A ，B ，C 选项中，直线a 都有可能在平面α内，不能满足充分性，故选D. 答案：D2．(2010·全国Ⅰ)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23 D.63解析：∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角即为BB 1与平面ACD 1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点D 到面ACD 1的距离为33，所以sin θ＝33， 得cos θ＝63，故选D. 答案：D3．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么 ( ) A ．P A ＝PB >PC B ．P A ＝PB <PC C ．P A ＝PB ＝PC D ．P A ≠PB ≠PC解析：∵M 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴MA ＝MB ＝M C.又∵PM ⊥平面ABC ，∴MA 、 MB 、MC 分别是P A 、PB 、PC 在平面ABC 上的射影，∴P A ＝PB ＝P C.应选C. 答案：C4．如图，啤酒瓶的高为h ，瓶内酒面高度为a ，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a ′(a ′ ＋b ＝h )，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为 ( ) A ．1＋ba 且a ＋b >hB ．1＋ba 且a ＋b <hC ．1＋ab 且a ＋b >hD ．1＋ab且a ＋b <h解析：设啤酒瓶的底面积为S ，啤酒瓶的容积为V 瓶， 瓶内酒的体积为V 酒， 则V 酒＝Sa ，V 瓶－V 酒＝Sb ， 即得V 瓶＝V 酒＋Sb ＝S (a ＋b )， ∴V 瓶V 酒＝S (a ＋b )Sa ＝1＋b a .又∵Sa ′>Sa ，即a ′>a ， ∴h ＝a ′＋b >a ＋b ， ∴V 瓶V 酒＝1＋ba 且a ＋b <h .答案：B5．在正三棱锥S －ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正棱锥S －ABC 外接球的表面积是 ( ) A ．12π B ．32πC．36π D．48π解析：由于MN⊥AM，MN∥BS，则BS⊥AM，又根据正三棱锥的性质知BS⊥AC，则BS⊥平面SAC，于是有∠ASB＝∠BSC＝∠CSA ＝90°，SA、SB、SC为三棱锥S—ABC外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为R，则4R2＝3SA2＝36，球表面积为4πR2＝36π.答案：C6．(2010·北京)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积() A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解析：连结EQ、FQ、A1D，作PN⊥A1D，垂足为N.∵A1B1∥DC且EF＝1，∴S△EFQ是定值．∵A1B1⊥面ADD1A1且PN⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面A1B1C D.∵PD＝z，∠A1DA＝45°，∴PN＝22z，∴V PEFQ＝13S△EFQ·PN与x，y无关，与z有关，故选D.答案：D二、填空题7．(2010·湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图， 则h ＝____________cm .解析：直观图如图，则三棱锥中AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB ⊥AC ， ∴体积V ＝13×12AB ·AC ·h ＝20，∴h ＝4. 答案：48．如图所示，在正方体，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为 A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的取值集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫π29．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多 面体的体积V ＝________.解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是 1，正四棱锥的体积是26，故该凸多面体的体积为1＋26. 答案：1＋2610．(2010·四川)如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的 正弦值是________．解析：过A 作AC ⊥平面β于C ，C 为垂足，连结CB ，过C 作CD ⊥l 于D ，连结 AD ，则AD ⊥l ，∴∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，即∠ADC ＝60°.∵AC ⊥β，∴∠ABC 为直线AB 与平面β所成角．设AB ＝1，则AD ＝12，AC ＝12×32＝34， ∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝341＝34.答案：34三、解答题11．(2010·江苏无锡)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BC ⊥BC 1，AB ＝BC 1，E 、F 、G 分别为线段AC 1、A 1C 1、BB 1 的中点，求证：(1)平面ABC ⊥平面ABC 1； (2)EF ∥平面BCC 1B 1； (3)GF ⊥平面AB 1C 1.证明：(1)∵BC ⊥AB ，BC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴BC ⊥平面ABC 1. ∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1. (2)∵AE ＝EC 1，A 1F ＝FC 1，∴EF ∥AA 1. ∵BB 1∥AA 1，∴EF ∥BB 1.∵EF ⊄平面BCC 1B 1，∴EF ∥平面BCC 1B 1.(3)连结EB，则四边形EFGB为平行四边形．∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1.∵BC⊥面ABC1，∴B1C1⊥面ABC1，∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面AB1C1.12．已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；(3)求平面AFC1与平面ABCD所成的锐二面角的大小．(1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABC D.(2)证明：(如上图)连结BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥B D.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥B D.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1∴平面AFC1⊥平面ACC1A1(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥AC1，∵BD∥NA，∴AC1⊥N A.又因BD⊥AC可知NA⊥AC，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成锐二面角的平面角． 在Rt △C 1AC 中，tan ∠C 1AC ＝C 1C CA ＝13，故∠C 1AC ＝30°.∴平面AFC 1与平面ABCD 所成锐二面角的大小为30°.13．(2010·湖北，18)如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ， ∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1)设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ， 并计算ABAQ的值；(2)求二面角O －AC －B 的平面角的余弦值．解：解法一：(1)在平面OAB 内作ON ⊥OA 交AB 于N ，连结N C.又OA ⊥OC ，∴OA ⊥平面ON C. ∵NC ⊂平面ONC ，∴OA ⊥N C. 取Q 为AN 的中点，则PQ ∥NC ， ∴PQ ⊥O A.在等腰△AOB 中，∠AOB ＝120°， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°. 在Rt △AON 中，∠OAN ＝30°， ∴ON ＝12AN ＝AQ .在△ONB 中，∠NOB ＝120°－90°＝30°＝∠NBO ，∴NB ＝ON ＝AQ ，∴ABAQ＝3.(2)连结PN ，PO .由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知OC ⊥平面OA B. 又ON ⊂平面OAB ，∴OC ⊥ON . 又由ON ⊥OA 知ON ⊥平面AO C. ∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影． 在等腰Rt △COA 中，P 为AC 的中点， ∴AC ⊥OP .根据三垂线定理，知AC ⊥NP .∴∠OPN 为二面角O －AC －B 的平面角．在等腰Rt △COA 中，OC ＝OA ＝1， ∴OP ＝22. 在Rt △AON 中，ON ＝OA tan 30°＝33， ∴在Rt △PON 中，PN ＝OP 2＋ON 2＝306， ∴cos ∠OPN ＝PO PN ＝22306＝155.解法二：(1)取O 为坐标原点，分别以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz (如图所示)则A (1,0,0)，C (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，0.∵P 为AC 中点， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，12. 设AQ →＝λAB →(λ∈(0,1))， ∵AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，∴OQ →＝OA →＋AQ →＝(1,0,0)＋λ⎝⎛⎭⎫－32，32，0＝⎝⎛⎭⎫1－32λ，32λ，0，∴PQ →＝OQ →－OP →＝⎝⎛⎭⎫12－32λ，32λ，－12.∵PQ ⊥OA ，∴PQ →·OA →＝0，即12－32λ＝0，λ＝13.所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫12，36，0使得PQ ⊥OA 且ABAQ＝3.（2）记平面ABC 的法向量为n =（n 1，n 2，n 3），则由n ⊥AB →，n ⊥AB →，且CA →＝(1,0， －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1－n 3＝0，－32n 1＋32n 2＝0，故可取n ＝(1，3，1)． 又平面OAC 的法向量为e ＝(0,1,0)． ∴cos 〈n ，e 〉＝(1，3，1)·(0，1，0)5·1＝35.二面角O －AC －B 的平面角是锐角，记为θ，则cos θ＝155.。
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1 3 则 A(1,0,0)，C(0,0,1)，B－ ， ，0. 2 2 ∵P 为 AC 中点， 1 1 ，0， . ∴P 2 2 → → 设AQ＝λAB(λ∈(0,1))， 3 3 → ∵AB＝－ ， ，0， 2 2 3 3 → → → ∴OQ＝OA＋AQ＝(1,0,0)＋λ－ ， ，0 2 2 3 3 ＝1－ λ， λ，0， 2 2 1 3 3 1 → → → ∴PQ＝OQ－OP＝ － λ， λ，－ . 2 2 2 2 1 3 1 1 3 → → ∵PQ⊥OA，∴PQ· OA＝0，即 － λ＝0，λ＝ .所以存在点 Q ， ，0使得 PQ⊥ 2 2 3 2 6 AB OA 且 ＝3. AQ → → → （2）记平面 ABC 的法向量为 n=（n1，n2，n3） ，则由 n⊥AB，n⊥AB，且CA＝(1,0， n －n ＝0， 1 3 － 1)，得 3 故可取 n＝(1， 3，1)． 3 － n1＋ n2＝0， 2 2 又平面 OAC 的法向量为 e＝(0,1,0)． 1， 3，1· 0，1，0 3 ∴cos〈n，e〉＝ ＝ . 5· 1 5 二面角 O－AC－B 的平面角是锐角，记为 θ，则 cos θ＝ 15 . 5
11．(2010· 江苏无锡)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC， BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G 分别为线段 AC1、A1C1、BB1 的中点，求证： (1)平面 ABC⊥平面 ABC1； (2)EF∥平面 BCC1B1； (3)GF⊥平面 AB1C1. 证明：(1)∵BC⊥AB，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴ BC⊥平面 ABC1. ∵BC⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ABC1. (2)∵AE＝EC1，A1F＝FC1，∴EF∥AA1. ∵BB1∥AA1，∴EF∥BB1. ∵EF⊄平面 BCC1B1，∴EF∥平面 BCC1B1. (3)连结 EB，则四边形 EFGB 为平行四边形． ∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1. ∵BC⊥面 ABC1，∴B1C1⊥面 ABC1， ∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1. ∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面 AB1C1. 12．已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形， 且∠DAB＝60° ，AD＝AA1，F 为棱 BB1 的中点，点 M 为线段 AC1 的中点． (1)求证： 直线 MF∥平面 ABCD； (2)求证：平面 AFC1⊥平面 ACC1A1； (3)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成的锐二面角的大小．
解析：连结 EQ、FQ、A1D，作 PN⊥A1D，垂足为 N. ∵A1B1∥DC 且 EF＝1，∴S△EFQ 是定值． ∵A1B1⊥面 ADD1A1 且 PN⊂面 ADD1A1， ∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面 A1B1CD. ∵PD＝z，∠A1DA＝45° ， ∴PN＝ 2 1 z，∴VPEFQ＝ S△EFQ· PN 与 x，y 无关，与 z 有关，故选 D. 2 3
又∵Sa′>Sa，即 a′>a， ∴h＝a′＋b>a＋b， ∴ V瓶 b ＝1＋ 且 a＋b<h. a V酒
答案：B
5．在正三棱锥 S－ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 MN⊥AM，若侧棱 SA ＝2 3，则正棱锥 S－ABC 外接球的表面积是 A．12π C．36π B．32π D．48π ( )
6．(2010· 北京)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，动点 E，F 在棱 A1B1 上，动 点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF＝ 大于零)， 则四面体 PEFQ 的体积 A．与 x，y，z 都有关 B．与 x 有关，与 y，z 无关 C．与 y 有关，与 x，z 无关 D．与 z 有关，与 x，y 无关 ( )
答案：D 二、填空题 7．(2010· 湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图， 则 h＝____________cm.
解析：直观图如图，则三棱锥中 AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC， 1 1 ∴体积 V＝ × AB· AC· h＝20， 3 2 ∴h＝4. 答案：4 8．如图所示，在正 方体，ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1，CC1 的中点，P 为 AD 上一动点，记 α 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角，则 α 的取值集合为________．
4．如图，啤酒瓶的高为 h，瓶内酒面高度为 a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为 a′(a′ ＋b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为 b A．1＋ 且 a＋b>h a b B．1＋ 且 a＋b<h a a C ．1＋ 且 a＋b>h b a D．1＋ 且 a＋b<h b 解析：设啤酒瓶的底面积为 S，啤酒瓶的容积为 V 瓶， 瓶内酒的体积为 V 酒， 则 V 酒＝Sa，V 瓶－V 酒＝Sb， 即得 V 瓶＝V 酒＋Sb＝S(a＋b)， ∴ V瓶 Sa＋b b ＝ ＝1＋ . Sa a V酒 ( )
(2)连结 PN，PO. 由 OC⊥OA，OC⊥OB 知 OC⊥平面 OAB. 又 ON⊂平面 OAB，∴OC⊥ON. 又由 ON⊥OA 知 ON⊥平面 AOC. ∴OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影． 在等腰 Rt△COA 中，P 为 AC 的中点， ∴AC⊥OP. 根据三垂线定理，知 AC⊥NP. ∴∠OPN 为二面角 O－AC－B 的平面角．在等腰 Rt△COA 中，OC＝OA＝1， ∴OP＝ 2 . 2 3 ， 3 30 ， 6
解析：∵BB1∥DD1，∴DD1 与平面 ACD1 所成的角即为 BB1 与平面 ACD1 所成的角， 设其大小为 θ，设正方体的棱长为 1，则点 D 到面 ACD1 的距离为 得 cos θ＝ 答案：D 6 ，故选 D. 3 3 3 ，所以 sin θ＝ ， 3 3
3． 如图， 已知△ABC 为直角三角形， 其中∠ACB＝90° ， M 为 AB 的中点， PM 垂直于△ABC 所在平面，那么 A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC 解析： ∵M 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点， ∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面 ABC， ∴MA、 MB、MC 分别是 PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影，∴PA＝PB＝PC.应选 C. 答案：C ( )
专题达标检测五
一、选择题 1． 若 a、 b 表示互不重合的直线， α、 β 表示不重合的平面， 则 a∥α 的一个充分条件是( A．α∥β，a∥β C．a∥b，b∥α B．α⊥β，a⊥β D． α∩β＝b，a⊄α，a∥b )
解析：A，B，C 选项中，直线 a 都有可能在平面 α 内，不能满足充分性，故选 D. 答案：D 2．(2010· 全国Ⅰ)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成角的 余弦值为( A. 2 3 B. 3 3 2 C. 3 D. 6 3 )
解析：由于 MN⊥AM，MN∥BS，则 BS⊥AM， 又根据正三棱锥的性质知 BS⊥AC，则 BS⊥平面 SAC，于是有∠ASB＝∠BSC＝∠CSA ＝90° ，SA、SB、SC 为三棱锥 S—ABC 外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为 R， 则 4R2＝3SA2＝36，球表面积为 4πR2＝36π. 答案：C
又 OA⊥OC，∴OA⊥平面 ONC. ∵NC⊂平面 ONC，∴OA⊥NC. 取 Q 为 AN 的中点，则 PQ∥NC， ∴PQ⊥OA.
在等腰△AOB 中，∠AOB＝120° ， ∴∠OAB＝∠OBA＝30° . 在 Rt△AON 中，∠OAN＝30° ， 1 ∴ON＝ AN＝AQ. 2 AB 在△ONB 中，∠NOB＝120° －90° ＝30° ＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴ ＝3. AQ
在 Rt△AON 中，ON＝OAtan 30° ＝
∴在 Rt△PON 中，PN＝ OP2＋ON2＝ 2 2 PO 15 ∴cos ∠OPN＝ ＝ ＝ . PN 5 30 6
解法二：(1)取 O 为坐标原点，分别以 OA，OC 所在的直线为 x 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系 O－xyz(如图所示)
1 1 3 ∵AC⊥β，∴∠ABC 为直线 AB 与平面 β 所成角．设 AB＝1，则 AD＝ ，AC＝ × 2 2 2 ＝ 3 ， 4
3 AC 4 3 ∴sin ∠ABC＝ ＝ ＝ . AB 1 4 答案： 三、解答题 3 4
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嵇吀夻
13．(2010· 湖北，18)如图，在四面体 ABOC 中，OC⊥OA，OC⊥OB， ∠AOB＝120° ，且 OA＝OB＝OC＝1. (1)设 P 为 AC 的中点．证明：在 AB 上存在一点 Q，使 PQ⊥OA， AB 并计算 的值； AQ (2)求二面角 O－AC－B 的平面角的余弦值． 解：解法一：(1)在平面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N，连结 NC.
(1)证明：延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N，连结 AN.因为 F 是 BB1 的中点，所以 F 为 C1N 的中点，B 为 CN 的中点．又 M 是线段 AC1 的中点，故 MF∥AN. 又∵MF⊄平面 ABCD， AN⊂平面 ABCD， ∴MF∥平面 ABCD. ( 2)证明：(如上图)连结 BD，由直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面 ABCD， 又∵BD⊂平面 ABCD，
∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面 ACC1A1， ∴BD⊥平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中，DA∥BN 且 DA＝BN， 所以四边形 DANB 为平行四边形． 故 NA∥BD，∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA⊂平面 AFC1 ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1 (3)解：由(2)知 BD⊥平面 ACC1A1， 又 AC1⊂平面 ACC1A1， ∴BD⊥AC1，∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又因 BD⊥AC 可知 NA⊥AC， ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角． C1C 1 在 Rt△C1AC 中，tan∠C1AC＝ ＝ ，故∠C1AC＝30° . CA 3 ∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 30° .