初二数学辅助线常用做法及例题含答案)

D

C

B A

常见的辅助线的作法

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可

以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或

40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二

条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知 AB-BE <2AD

E

D F C

B A

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG

故：EF

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

E

D C

B

A

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则

∠1 = ∠2 = 1

2

∠BAC

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90o

∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB = 90o

∴∠2 = ∠DBC

∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF

2

1

E

D

B

A

F

E

D C

B

A