初二数学辅助线常用做法及例题含答案)

D
C
B A
常见的辅助线的作法
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线
合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
3.角平分线在三种添辅助线
4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可
以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或
40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二
条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”法构造全等三角形．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂
线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连
线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等
例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4
E
D F C
B A
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,
显然BG＝FC，
在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知
EG＝EF
在△BEG中，由三角形性质知
EG<BG+BE
故：EF<BE+FC
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
E
D C
B
A
解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,
显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD
由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC
在△ADB与△ADG中，
BD＝AC=DG，AD＝AD，
∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG
故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE
有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线
例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则
∠1 = ∠2 = 1
2
∠BAC
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90o
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = 2∠DBC
（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）
（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF
2
1
E
D
B
A
F
E
D C
B
A
证明：连结AD.
∵D 为BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△ABC 中，
AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ，
求证：EF ⊥BC
证明：延长BE 到N ，使AN = AB,
连结CN,则AB = AN
= AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o
∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o
∴∠BCA ＋∠ACN = 90o
即∠BCN = 90o
∴NC ⊥BC
∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD =
CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF
证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，
∠NDE = ∠E ，
∵AB = AC ，
∴∠B = ∠ACB
∴∠B =∠DNB
N F
E C
B
A 2
1
N
F
E
D C B
A
∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF
∴DF = EF
（证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B （过程略）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，
D 在BA 延长线上，且AD = A
E ，连结DE 求证：DE ⊥BC
证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，
则
∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC
∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE
又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE ⊥FE
又∵EF ∥BC
∴DE ⊥BC
（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N ，（过程略）
（证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）
2
1
M
F
E
D
C
B
A
N M F E D C
B
A。