2020年西藏山南二中高考(理科)数学一模试卷(含解析)

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f （x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．已知等差数列{a n}中，a4+a6＝8，则a3+a4+a5+a6+a7＝（）A．10B．16C．20D．245．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动单位长度6．已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，设a＝f（﹣），b＝f（3），c＝f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜d C．b＜c＜a D．a＜b＜c7．若实数x，y满足条件，目标函数z＝2x﹣y，则z的最大值为（）A．B．1C．2D．08．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A．2B．3C．4D．19．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k（k∈N+）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时命题也成立．现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得（）A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝8时该命题不成立D．当n＝8时该命题成立10．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）A．1B．e C．e﹣1D．e﹣211．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（）A．﹣B．0C．﹣2D．﹣3二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是．14．已知向量，，若，则实数m＝．15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取人．16．已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为三．解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos B＝a cos C+c cos A．（1）求∠B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．19．“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）用X表示抽取的4人中B组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望．20．已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3；（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极小值及单调区间．21．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．参考答案一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】直接由并集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．解：化简可得z＝＝＝1+i，∴z的共轭复数＝1﹣i故选：B．3．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f （x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选：B．4．已知等差数列{a n}中，a4+a6＝8，则a3+a4+a5+a6+a7＝（）A．10B．16C．20D．24【分析】由等差数列的性质可得a3+a7＝a4+a6＝2a5＝8，计算即可得到所求和．解：等差数列{a n}中，a4+a6＝8，可得a3+a7＝a4+a6＝2a5＝8，可得a5＝4，则则a3+a4+a5+a6+a7＝8+8+4＝20．故选：C．5．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动单位长度【分析】由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝，∴要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点向右平移个单位．故选：D．6．已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，设a＝f（﹣），b＝f（3），c＝f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜d C．b＜c＜a D．a＜b＜c【分析】先根据函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，确定当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递增，再结合函数的单调性，即可得到结论．解：∵函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，∴当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递增，∵b＝f（3）＝f（﹣1），﹣1＜﹣＜0＜1∴f（﹣1）＜f（）＜f（0）∴f（3）＜f（）＜f（0）∴b＜a＜c故选：A．7．若实数x，y满足条件，目标函数z＝2x﹣y，则z的最大值为（）A．B．1C．2D．0【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝2x﹣y 过点（，1）时，z最大值即可．解：先根据实数x，y满足条件，画出可行域如图，做出基准线0＝2x﹣y，由图知，当直线z＝2x﹣y过点A（，1）时，z最大值为2．故选：C．8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A．2B．3C．4D．1【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题：在等比数列{a n}中，公比q＝2，前n 项和为S n，，求m，利用等比数列性质直接．解：根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{a n}中，公比q＝2，前n项和为S n，，∵S5＝＝5，解得，∴＝，解得m＝3．故选：B．9．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k（k∈N+）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时命题也成立．现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得（）A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝8时该命题不成立D．当n＝8时该命题成立【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n＝k成立，则它对n＝k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n＝k不成立时，则它对n＝k﹣1也不成立，由此类推，对n ＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P（n）对n＝7不成立，P（n）对n＝6也不成立，否则n＝6时，由由已知推得n＝7也成立．与当n＝7时该命题不成立矛盾故选：A．10．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）A．1B．e C．e﹣1D．e﹣2【分析】模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出y的值．解：模拟算法的运行过程，如下；输入x＝3，计算x＝3﹣2＝1，x≥0；执行循环，计算x＝1﹣2＝﹣1，x＜0；终止循环，计算y＝e﹣1，所以该程序运行后输出y＝e﹣1．故选：C．11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．解：点在双曲线上，可得，可得b＝3，又a＝，所以c＝10，双曲线的离心率为：e＝＝．故选：C．12．若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（）A．﹣B．0C．﹣2D．﹣3【分析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立⇔a≥，x∈（0，]．令f（x）＝，x∈（0，]．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立⇔a≥，x∈（0，]．令f（x）＝，x∈（0，]．＝＞0，∴函数f（x）在x∈（0，]上单调递增，∴当x＝时，函数f（x）取得最大值，＝．∴a的最小值为﹣．故选：A．二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是8．【分析】根据x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2，利用基本不等式求得它的最小值．解：x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，当且仅当＝时，等号成立，故x+2y的最小值为8，故答案为：8．14．已知向量，，若，则实数m＝﹣2．【分析】可求出，根据即可得出4m+2（2﹣m）＝0，解出m即可．解：；∵；∴4m+2（2﹣m）＝0；∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取300人．【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，求得结果．解：高三学生占的比例为＝，则应从高三年级学生中抽取的人数为720×＝300，故答案为：300．16．已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex﹣y＝0【分析】设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，n，进而得到所求切线方程．解：设切点为（m，n），函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得＝＝2e2m，解得m＝，n＝e，则切线方程为y＝2ex．故答案为：2ex﹣y＝0．三．解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos B＝a cos C+c cos A．（1）求∠B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin B cos B＝sin B，结合sin B≠0，可求cos B的值，进而可求B的值．（2）由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC 面积的最大值．解：（1）∵2b cos B＝a cos C+c cos A，∴可得：2sin B cos B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴cos B＝，∴由B∈（0，π），B＝．（2）∵b＝2，B＝，∴由余弦定理可得ac＝a2+c2﹣4，∴由基本不等式可得ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，可得：ac≤4，当且仅当a＝c时，“＝”成立，∴从而S△ABC＝ac sin B≤×4×＝．故△ABC面积的最大值为．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．（1）取PD中点G，连结GF、AG，由三角形中位线定理可得GF∥CD且，【分析】再由已知可得AE∥CD且，从而得到EFGA是平行四边形，则EF∥AG，然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD；（2）取AD中点O，连结PO，由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，且，求出F到面ABCD距离，然后利用等积法求得三棱锥B﹣EFC的体积；（3）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．进一步证得PM ⊥EC，可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P ﹣EC﹣D的正切值．【解答】（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF＝AE，∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD，∴EF∥面PAD；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，故；（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，∴∠MEB＝∠AOB，则∠MEB+∠MBE＝90°，即OM⊥EC．连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，在Rt△EBC中，，∴，∴，即二面角P﹣EC﹣D的正切值为．19．“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）用X表示抽取的4人中B组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n＝，事件A包含的基本事件个数m＝，由此能求出事件A发生的概率．（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数n＝，事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，则事件A包含的基本事件个数m＝，∴事件A发生的概率………（列式，结果1分）（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3………………（列式（1分），结果1分）………（列式（1分），结果1分）………（列式（1分），结果1分）………（列式（1分），结果1分）∴X的分布列为X0123P………（列式（1分），结果1分）（本题得数不约分不扣分）20．已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3；（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极小值及单调区间．【分析】（1）由题意得到关于实数a，b的方程组，求解方程组即可求得函数的解析式；（2）结合（1）中函数的解析式求解导函数，利用导函数与原函数的性质求解最值和单调区间即可．解：（1）f′（x）＝3ax2+2bx，当x＝1时，，据此解得a＝﹣6，b＝9，∴函数解析式为：y＝﹣6x3+9x2．（2）由（1）知f（x）＝﹣6x3+9x2，f′（x）＝﹣18x2+18x＝﹣18x（x﹣1），令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1或x＜0，∴当x＝0时函数取得极小值为0，函数的单调增区间为：（0，1），单调减区间为：（﹣∞，0）和（1，+∞）．21．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）判断P的轨迹是椭圆，然后求解求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且2a＝4，c＝1．所以b＝，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，可得，即，．△AOB面积可表示为＝令，则u≥1，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为．（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．【分析】（1）由代入法可得直线l的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得t的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t，可得2x﹣2y﹣1＝0；曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入C的方程（x﹣1）2+y2＝1，可得t2﹣t﹣＝0，△＝+3＞0，设t1，t2是点A，B对应的参数值，t1+t2＝，t1t2＝﹣，则|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后由f（x）＜a有实数解可知a＞f（x）min，从而求出a的范围；（2）将f（x）去绝对值写成分段函数的形式，根据f（x）≥x2﹣2x分别解不等可得不等式的解集．解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取等号，∴f（x）min＝3，∵不等式f（x）＜a有实数解，∴a＞f（x）min＝3，∴a的取值范围为（3，+∞）；（2）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，∵f（x）≥x2﹣2x，∴或或，∴或﹣1＜x＜2或x＝﹣1，∴∴不等式的解集为．。