直线与圆锥曲线(面积问题)2

直线与圆锥曲线（面积问题）

1．如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，

已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标； （Ⅱ）过椭圆的焦点作

的平行线交椭圆于、两点，求

的面积.

2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭

，离心率e = （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，求OPQ ∆的面积的最大值。

3．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点()0,1C . （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为

2

3

，求直线l 的方程. 4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的

右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于

两点.当

的

面积最大时，求直线的方程.

5．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，其长轴为4，短轴为2.

（1）求椭圆C 的方程及离心率.

（2）直线l 经过定点()0,2，且与椭圆C 交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值.

6．如图,已知椭圆22

221(0x y a b a b

+=>>)的右顶点和上顶点分

别为,,A B AB 求椭圆的标准方程; (2)过点A 作斜率为(0k k >)的直线l 与椭圆交于另外一点C ,求ΔABC 面积的最大值,并求此时直线l 的方程.

7．已知O 为坐标原点， M 是椭圆2

212

x y +=上的点，设动点P 满足2OP OM = .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线():0l y x m m =+≠与曲线C 相交于A ，

B 两个不同点，求OAB ∆面积的最大值.

8．已知中心在原点O ，焦点在x 的椭圆过点⎭

． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ， Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．

9．已知椭圆G ： 22221x y a b +=的右焦点为F ，点P ⎛- ⎝⎭

在椭圆上，且PF 与y 轴交点恰为PF 中点.

（1）求椭圆G 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆G 于点,A C 和

,B D ．求四边形ABCD 的面积的最小值．

10．设椭圆方程22

221(0)x y a b a b

+=>>， 12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F 及椭圆

（I ）求椭圆方程；（II ）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，

设1l 与椭圆交于,A C 两点， 2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形A.BCD 面积的取值范围.

参考答案

1．（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆

方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；（Ⅱ）根据题意得到

的方程

，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面

积公式可得求出,.

试题解析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程

为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程为，从而可得焦

点坐标为

.

（Ⅱ）

将

与联立，消去，得

.

2．(1) 2

214

x y +=;(2)1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，不合题意，可设直线l ：y=kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公

式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值． 试题解析：

（Ⅰ）由点1,2P ⎛ ⎝⎭

在椭圆上得， 221314a b +=①

c e a =

=

又所以② 由①②得2

2

2

3,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2

214

x y += ()()1122:=2,,,,.II l x l y kx P x y Q x y ⊥-（）当轴时不合题意，故设

2

2214

x y kx y =-+=将代入得 ()224116120.k x kx +-+=

1=2OPQ S d PQ ∆⋅=

2

44

,0,.4444,20.1

OPQ t t t S t t t

t t k t OPQ ∆=>=

=+++

≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为 3．（1）2

212

x y += （2）10,10x y x y -+=++= 【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得1b =

得2

2a =（2）设直线l 点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式求底边AB 长，再根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式列方程，解出直线斜率，注意验证斜率不存在时是否满足题意

试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为： 22

221x y a b

+= (0)a b >>，

由已知：

22

2

1

{

b c a a b c ===+得： 22a =， 21b =，