以退为进 重树数学信心
以退为进,回头是岸——高中数学变式教学案例
点， Ａ 以 Ｂ为 直 径 的 圆 过 原 点 ， 直 线 方 程 ． 求
一
、
“ ” 历 程线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 当 然 要 细 分 直 线 和 椭 圆 两 部 分 ， 里 椭 圆是 已知 的 ， 而 未 决 的 是 直 线 方 程 ， 一 定 点 这 悬 过 的直 线 方 程 可 以 采 用 点 斜 式 ， 注 意 斜 率 不 存 在 这 种 特 殊 要 情 形 ． 让 学 生 讨 论 ， 会 提 取 已 有 的 知 识 ． 这 节 课 主 要 是 （ 学 ） 学 生 对 知 识 的应 用 ， 关 注 学 生 对 前 后 知 识 的 衔 接 ， 能 放 要 不 任 学 生 作 太 多无 效 的 自行 探 索 ， 在 发 挥 学 生 主 体 作 用 的 要 同时， 师进行必要 的有效 指导 和合 作参 与． 逃 避难 点 ， 教 不 关 键 是 帮助 学 生 化 解 难 点 ， 升 思 维 ． 让 学 生 试 着 从 一 般 提 （
是 一种 重要 的 思 想 方 法． 过 对 问题 不 同 角 度 、 同 层 次 、 通 不
生 一 ： 断 直 线 的斜 率 应 该 存 在 ， 以点 斜 式 设 直 线 方 判 可 程 ， 列 方 程 组 ， 而 用 ｏ ・ Ｂ＝ 联 进 ａ ｏ ＋ ０求 解 ． ＹＹ ＝ 生 二 ： 虑 到 原 点 在 这 里 就 是 圆 心 ， 以借 助 平 面几 何 考 可
华 罗 庚
学 生 掌 握得 不错 ， 根 据 具 体 的 问题 有 针 对 性 的选 择 方 法 ， 能 “ ” 退 的效 果 出来 了． ）
， １ 、２
这 句 话 是 华 罗 庚 先 生 解 决 数 学 问 题 的 心 得 ， 于 指 引 对 数 学 教 学 也 有 着 启 发 与 意 义 ， 教 师 理 解 教 学 有 帮 助 ． 过 对 通 执 教 《 线 与 椭 圆 的位 置 关 系 》 直 一课 ， 用 了一 题 多 变 、 题 采 一 多解 、 题 归 一 等 变 式 教 学 方 式 ， 与 学 生 的 互 动 探 索 中 ， 多 在
高中数学解题中的 以退为进 思想 学法指导 不分本 试题
谈谈高中数学解题中的 以退为进 思想王锡宁著名数学家华罗庚指出：“擅长‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个窍门。
〞又云：“先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。
〞这就是以退为进的思想。
这种思想也是我们解证数学问题时的唯物辨证思想的一种表达。
一、从抽象退到详细“抽象〞是透过事物现象，深化内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。
“详细〞是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联络起来，从而更详细的理解概念的一种认识方法，抽象与详细是对立的统一。
高度的抽象是数学的一个根本特点，要解决数学问题或者解数学题，有时问题较抽象，不易发现其内在的联络和规律，因此往往要从“抽象〞后退到“详细〞的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。
例1 x ，y 是实数，求证：29)5y ()2x (y x 2222≥-++++分析：要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。
因此不由|OA | 而|OB |=因此29)5y ()2x (y x 2222≥-++++例2 对于R a ∈，确定1a a 1a a 22+--++的所有可能值。
分析：仔细观察上述代数式的构造，容易联想起两点的间隔 之差。
事实上，1a a 1a a y 22+--++=2222)230()21a ()230()]21(a [-+---+--=这表示x 轴上的点P 〔a ，0〕到两定点A 〔2321，-〕和B 〔2321，〕的间隔 之差〔如图2〕。
图2由于线段AB 平行于y 轴，不管P 〔a ，0〕在x 轴什么位置，始终可构成△PAB ，由“三角形任意两边之差小于第三边〞，得1|AB ||PB PA |=<-即1a a 1a a y 22+--++=的值在〔－1，1〕内。
二、从一般退到特殊所谓“一般〞是指人们追求普遍性认识的一种方式。
而“特殊〞是指人们深化个别认识的一种方式。
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
“以退为进”策略在数学学习中的应用可以从以下几个方面展开：
1. 重新学习基础知识：数学是一门累进的学科，如果基础不牢固，后续学习将会受到很大的限制。
因此，在学习过程中，当遇到
困难时，可以放慢速度，重新学习和巩固基础知识，为后续的学习
打下基础。
2. 反复练习习题：数学需要反复练习才能真正掌握，通过不断
地练习，能够培养学生的数学思维能力。
3. 向老师寻求帮助：数学学习中遇到难题或问题时，及时向老
师寻求帮助是一个高效的策略，可以极大地提高学习效率。
4. 学会总结和归纳：数学涉及的概念和公式较多，学习中可以
采用总结和归纳的方法，将已学知识进行梳理和分类，使学习更有
条理。
5. 適時休息：適時休息可以讓學生保持学习的热情和精力，在
学习疲累的时候进行休息，使学习效率不会下降。
总之，“以退为进”策略在数学学习中的运用是很重要的，能
够帮助学生更好地掌握知识，提高学习效率，从而取得更好的成绩。
让“以退为进”成为高中数学有效教学的策略
、
“ 退” 立场 ， “ 进” 情感
师从课堂中“ 退” 出来 ， 并不是“ 退” 而不 管 ， 而是更好地 了解学情 ， “ 对症下药” ， 从而真正地讲清“ 一正 、 二定 、 三相等” 。 ３ ． 真诚的“ 退” ——赢得学生的尊重 俗话说 ： “ 金无足赤 ， 人无完人 。” 教师不可能字字珠 玉， 句句都
正确无误 ， 也不可能天文地理无所不知。 当你在教学中出现错误时 ， 当学生提出的问题你不知道答案时 ， 你应该真诚地“ 退” ： 知错认错 ，
不知则不知。勇于亮丑 ， 不狡辩 ， 不遮掩 ， 诚实诚距 离
从师生的个体来看 ， 教师作为成年人 ， 又是学习过系统教育理 论的人 ， 更容易做到也更容易做好换位思考 。教师站在学生的立场 上去思考问题 ， 我们可称为“ 退” 位思考 ， 而且这种“ 退” 是一种 主动
生
中 学课 辅导
让“ 以退 为进 ’ ’ 成为 高中数学有效教学的策略
＠ 陈 宣新
摘要 ： 著 名数 学 家华 罗庚 指 出： “ 善 于‘ 退’ ， 足 够地 ‘ 退’ ， ‘ 退’ 到最原 始而不失重要 的地方 ， 是 学好数 学的一个诀 窍。” 又 说： “ 先 足够地退 到我们 最容 易看 清楚的地 方 ， 认透了， 钻深了，
ｓ ｉ ｎ ２ ｏ ｔ ＋ ｓ ｉ ｎ ］ ｔ ３ 的 取值 范围 ［ 一 ÷， ｌ 】 。
二 二
构的活动。 也就是说 ， 既强调学生的认知主体作用 ， 又不忽视教师 的 指导作用。 教师是学生意义建构 的帮助者 、 促进者 ， 而不是知识的传
授者与灌输者 ； 学生是意义的主动建构者 ， 而不是外部刺激的被动
・ ． ・
种拉近心理距离的“ 退” ， 是一种走进学生心理的“ 退” 。这种主动的 “ 退” 是为了解除学生的防范心理 ， 打开心扉 ， 以期心心相通的 目的。
小学数学小论文 “以退为进”的智慧
小学数学小论文“以退为进”的智慧今天，按计划进行《三角形的内角和》的教学。
事先进行了较充分的准备，我带着三角形等各种教具、学具走进了教室。
“今天，我们在了解三角形特征的基础上，进一步研究三角形的内角和。
”一上课，我就直奔主题。
“不就是180°吗，没什么意思。
”还没等我按预设的方案展开，快嘴的王瀚文就插了一句嘴。
“哦，你知道的还不少嘛！”对这个“小快嘴”我还真是有些无奈。
“我也知道。
”“我也知道。
”……看到“小快嘴”得到了表扬，一个个“小快嘴”便争先恐后起来了。
看来我的精心预设是落空了，学生都知道，我该怎么办？一个闪念，我决定干脆就往后退，让这有的说：“对，“比180°少！180180°。
”理由就想蒙混过关？”我心中窃喜，嘴上却故意刁难！“不需要量每个角的大小，把三个角剪下来，拼一拼就行了。
”曹奕霄突发奇想。
“其实不要剪，只要折一折就能说明问题，也不会产生误差！”不知是谁在下面插了一句嘴。
立刻就有人应和：“对，书上就有！我看过书，我会折！”……不一会儿，剪角的，翻书的，折角的，互相讨论的……教室里热火朝天。
当下课铃声响起时，他们还意犹未尽。
而我这“悠闲”了一节课的老师，内心却充满喜悦！在数学学习上，学生的认知起点常常超越教材的逻辑起点，他们已有的认知经验、思维方式也时常出乎我们的意料。
面对这样的情况，教师该怎么办呢？首先，要充分尊重学生的“原认知”。
学生不是一张白纸，但这张纸上到底涂抹了什么“底色”，勾勒了哪些“线条”，在平时的教学中却往往容易让人忽视，或是被我们凭经验想当然的确定！教学不能无视学生已有的知识经验，简单强硬地从外部对学生实施知识的“填灌”，而应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验基础上生长新的知识经验。
信息加工理论认为，教学不是信息的简单传递，而需要学生对信息的主动加工、处理和转换。
教师应该充分尊重学生的“原认知”，重视学生对各种现象的朴素认识和理解，倾听他们的想法，思考他们这些想法的由来。
以退为进,有序夯实—例谈数学学困生的思维强化训练策略
角 度 去 思 考 探 索 数 学 课 堂 的 教 学 设 计 和 组 织 的基 本 步骤．
学困生在课堂上的主要表现是 ：不能理解和掌握 教学内容 ，无法以一种积极有效的途径把 已学的核心 知识联系在一起 ，建构成全新 的知识体系去记忆 ，或
这里有数学学 实相遇时 ，作为教师 ，又该如何去面对 ？如何引导学 不能在恰 当的时候表达 、展现新知识 ． 科 特点的成 因导致 ：一是数学 的抽象性让学生退怯 ， 困生 开 展数 学学 习 呢 ？
第１ ８
表３ ：例 ２ 的分数段分布
改卷量 Ｏ 分 １ 分 ２ 分 ３ 分 ４ 分
第ｌ ８ 题组 ７ ０ ６ ２ ６ ０ ５
６ ５
７ ６
９ ７
３ ９ ５
百分 比
８ ． ５ ７ ％ ０ ． ９ ２ ％ １ ． Ｏ ８ ％ １ － ３ ７ ％ ５ ． ５ ９ ％ ５ 分 ６ 分 ７ 分 ８ 分 ９ 分
表１ ：广州市近六年数学 中考成绩 ６ ｏ 分以下分数段统计
学 习数 学 的 目的不 易 被 学生 理 解 ，数 学 的应 用 性 在 现
分数段
０ ｌ～ ９
百分 比 ， ％
０ ． Ｏ ５ １ ． ０ ６
分数段
３ Ｏ～ ４ ９ ４ ０～ ４ ９
百分 比／ ％
４ ． １ Ｏ ４ ． １ ０
实生活 中较难显示 ；二是数学严密的系统性要求学生 有一定数学基础 ，否则难 以为继 ，导致学生学 习无力 而放弃 ；三是数学 应用 的广泛性要 求学 生灵活性 较 高 ，容易造成畏难情绪．以初 中数学 的两大难关具体 说 明：一是从数字到字母或文字的变化 ，使学生无法
１ ０～ １ ９
以退为进 探寻入口——高中数学解题策略研究
数学·解题研究以退为进 探寻入口——高中数学解题策略研究广西柳州铁一中学（545007） 邵延会［摘 要］“以退为进”是数学解题的一种策略。
通过“退”，往往可以发现问题的本质，快速找到解决问题的入口，进而达到“进”的目的。
［关键词］以退为进；高中数学；解题策略［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2024）08-0012-03华罗庚曾言：“善于‘退’，足够的‘退’，退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。
”这就是“以退为进”思想。
以退为进，是数学解题的一种策略。
通过“退”，可以发现问题的本质，快速找到解题突破口。
一、从一般退到特殊，从特殊处探寻解题入口特殊寓于一般之中。
对于一般性问题，我们可以尝试给它赋予特殊的情形。
在“特殊”处探寻解题入口，会使问题的解决变得直接与简单，从而取得事半功倍的解题效果。
［例1］已知n∈N∗，集合A n={|（x，y）||x-1n+|2y-2|n<1，x，y∈R}，记A=∩n=1∞A n，则集合A中的点组成图形的面积为。
解析：若（x，y）∈A1，则||x-1+||2y-2<1，从而||x-1∈[)0，1，||2y-2∈[)0，1，所以||x-1n+|2y-2|n≤||x-1+||2y-2<1（n∈N*），即得（x，y）∈A n，故有A=∩n=1∞A n=A1。
又A1中的点组成图形为如图1所示的菱形，其中C（2，1），D()1，32，E（0，1）B()1，12，该菱形的对角线的交点M（1，1），故菱形的面积为12×2×1=1，所以集合A中的点组成图形的面积为1。
点评：本题先由特殊情形可得||x-1∈[)0，1，||2y-2∈[)0，1，结合不等式的性质可得结论“若（x，y）∈A1，（x，y）∈A n”，从而可求得图形的面积。
可见，特殊化能凸显问题的本质。
二、从抽象退到具体，从具体处探寻解题入口抽象问题具体化，往往能让我们从具体问题中窥见解题途径，从而实现抽象问题具体化。
高考数学解题策略“以退为进”
高考数学解题策略“以退为进”“以退为进”整个主题框架——退到特殊环境、退到摸清纪律、退到看懂标题、退到性质定理、退到猜出终于、退到“同族”子题等。
退中有法，以退为进。
数学上的特殊环境包括：变量值的特殊化、函数剖析式的特殊化、图形形状的特殊化、位置干系的特殊化、极度化也是一种特殊化、甚至还包括定量标题特殊成定性标题……退到特殊环境，由此产生了“特殊值法、特殊函数法、特殊图形法、极度剖析法、估算法”等等。
都是大众熟悉的，用来办理选择、填空题是很有趣的。
以退为进，退出了一些选择题、填空题的解题技能，看似歪路左道，却减少时间，进步效率。
很多时候，只有在基础知识熟悉到一定程度上，解题阅历积累到一定程度上，胆识抵达一定程度，才有了这些“歪路左道”，要求本来挺高的。
这些要领正是表现了——退中有术（奇妙的办理要领）。
解数学题真的能培育学生的韧性和毅力。
很多时候，解题便是熬，谁能熬到最后，谁就熬出了成功，从这个层面上讲，解题还可以让我们修身养性。
我们不妨试想一下，当学生把我们教的知识点全都除掉的话，我们教给学生的工具还剩下什么？一定是思考和办理标题的计谋、要领还有意志，我觉得这便是能力，这应该是我们老师在传授历程中应该多多思虑的工具。
学生从“完全不明白”——“担心害怕”——“壮着胆量试试”——“慢慢明白”——“找到纪律”——“大胆猜测终于”——“用 点数学语言描述”。
我们让学生这样来体验一下完整的历程，可以锻炼他们动手办理标题的能力。
以退为进，先足够地退到我们最简略看明白的地方，认透了，钻深了，然后再上去。
知道怎么退，本来也就知道怎么进。
西席的高度影响了学生的高度，西席的态度决定了学生的态度。
标题1、11个女孩与n 个男孩去摘苹果，一共摘了2n +9n-2个苹果，假设每个小孩摘的苹果数相同，则____________多(填“男孩”或“女孩”)提示：可用多项式除法（2n +9n-2能被11+n 整除）或直接从1开始查验标题2设()()473102222n f n n N +=++++∈……则()f n = （ ）A 、()2817n -B 、()+12817n -C 、()+32817n -D 、()+42817n - 提示：n 取0、1即可标题3、()()22020cos cos 120cos 240______ααα++++=提示：特殊值即可（不放心就多试几个）标题4：定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且对()(),22x R f x xf x '∀∈+<恒成立，则不等式()()2211x f x f x -<-的解集为（ ）A 、{},1x x R x ∈≠±B 、 ()-11，C 、 ()()--1+∞⋃∞，1，D 、()()-1001⋃，， 提示：特殊偶函数：()0f x =标题5、()0203-sin 702cos 10=- A 、12 B 、2 C 、22 D 、3 提示：分子大于2，分母小于2，答案比1大标题6、如图G 为三角形OAB 的中线OM 上的一点，PQ 过G ，分别交OA 、OB 于点P 、Q ，OP m OA=，OQ n OB =。
数学教学中的“退、悟、进”
数学教学中的“退、悟、进”作者：杨莉来源：《教学与管理(理论版)》2007年第07期早在上世纪八十年代，我们曾总结出“以退为进，退中悟理，执理为进”的教学方法，简述为：“退—悟—进”。
新课程标准公布并实施后为探究法教学提供了更广阔的天地，如何有效地实现新课程标准，真正达到为基础教育服务的目的，我们对“探究法”的基本程序和方法，作了进一步的探索。
一、“退”法研究的基本程序：“退、悟、进”１．为进学退。
“为进”—一开始就提出新课题，激发学生的求知欲和好奇心，让学生明确学习目的，同时教师要退到学生的认知水平，和学生一起探索“退”路，就是分析矛盾，用比较、类比、特例、分解、简化等方法。
退未知为已知，退一般为特殊，退抽象为形象，退综合为单一。
这里的已知、特殊、形象、单一正是学生主动思维的条件，为达到“进”的目的而形成概念、导出规律，进而解决问题的基础。
经过“学退”逐步达到“会退”，学生的探究能力与日俱增，创造能力会充分发挥。
２．退中悟理。
“退”的目的在于“进”，能否由退转化为进，关键在于“悟理”，就是要尝试从直观的、特殊的事例中归纳抽象出一般的本质属性和普遍规律，从已知的简单现象中总结概括出新的概念和基本原理。
“悟理”就是要学习运用抽象、归纳、演绎、类比等逻辑方法，尝试找出已知的特殊事例中所包含的一般道理和解决问题的方法。
当然这时找到的道理和方法还是一种假说，有待于在“进”中论证和检验。
３．执理而进。
通过“悟理”，找到了一种道理或方法，就可以运用这个道理或方法去解决新课题，“进”的过程是从已知到未知的推理或求解的过程。
能否解决问题，需要实践去检验，如果“悟理”找到的道理和方法不能解决问题，就必须再从“退”中悟理。
二“退”的探究方法：析、例、形、分１．“析”。
退未知为已知。
这是“退”的基本方法。
因为学习新知识的过程就是从已知的知识“生长”出新知识的过程，就是逐步完善认知结构的过程。
传统教学主要是传授的过程，相当于教师是发信人，学生是收信人，教学过程类似于信息传输过程，也可以把教学过程看作是控制系统，教师是控制者，学生是被控制者。
在数学教学中以“退”为进提高学生数学才能
化， 让 他 们 的观 察力 变 得 敏锐 ， 记 忆 力 得 到强 化 ， 想 象力 丰富 。因
此， 培养学生阅读课本的兴趣 ， 就是要善于用好课 本， 充分挖掘教 教学 中若能巧妙地利用数形结合 ， 通过数形之 间的相互转化 ， 从 材 中有 利于调动学生学习兴趣 的因素 ， 促使他们乐于阅读课本 。
②针对 阅读 ， 查漏补缺。在预习 、 听课 、 作业 、 考试 中难免会 碰到一些 障碍或疑难问题 ，这就要求学生把发 现疑难 的地方用
读一读数学 书 ， 即使 老师布置 了阅读数 学书的作业 ， 也是蜻蜓式 记号标注 出来 ， 引起注意 ， 针对存在 的问题再次看 书 ， 有重点地 阅读 ， 草草而过 ， 读不 出要点 ， 读不 出字里行 间所蕴藏的 内容 ， 更 请教老师和同学 ， 查漏补缺 ， 为后继学 习扫除障碍 ， 打牢 基础 。 读不出问题 和 自己的独到见解 或创新 。 其实要想真正学好数学 ， 光靠机械的题海 战术是没用的 ， 我们应该 引导学生退归课本 ， 阅 ③全面阅读 ， 发散思维 。一段时间的学 习过后 ， 我们还需指 导学生全 面地再读课本 ， 这样有助于掌握知识 的来龙去脉 ， 将分
【 才・ 智】
【 学 习策 略 】
在数学教学 中以“ 退＂ 为进提高学生数学才能
江苏
摘
南京
●王 希 文
要： 载 重 汽 车上 坡 时 ， 司机 会 采 取 前 行 的 方 法 ， 而 不是 运 用加 挡 。之 所 以会 采取 适 当的 “ 退” ， 其 目的是 为 了更 好 地
“ 进” 。学习的道路也是如此 ， 不可能总是一帆风顺、 畅通 无阻， 如 果教 师一味地 强求速度 ， 追求结果 ， 不讲 究学 习的方式方 法， 往往会适得其反 ， 欲速则不达。因此 ， 教 师要善 于学会“ 退” ， 将一个个复杂的问题“ 退” 成简单 的问题 ， 找 出规律 ， 从而 以 “ 退” 为进 ， 提高学生的数 学才能。 关键词 ： 教师 ； 数 学教学； 以“ 退” 为进 ， 数学才能
以退为进 重树数学信心——大中专数学课教改心得
中的内容显然不行 ； 另一方面还有一部分学生从初二或初 三就对数学失去了信心和兴趣 ，甚至放弃了学习数学 ， 从
为复杂， 学生数学基础比较薄弱。 在 以往的教学 中， 我们虽 然也不断改进教学方法 ， 但由于严格按照学校的培养计划 制定教学计划、 安排教学进度 ， 学习内容多、 难、 进度快 ， 致
在 全 面实施 生 物课 程创 新 教育 的 大环境 下 ， 教师 要 与 时俱进 ， 创新 教学 模 式和 方法 。在教 学过 程 中要 营造 轻 松 活泼 的教 学氛 围 ，构建 具 有实 践性 和创 造 性 的课 堂环 境 ，
、
民出版社出版的 ２ ｌ 世纪高职高专规划教材 《 高等数学》 。 课本分三大块 内容 ， 第一部分是相 当于高中的知识 ， 第二
发学生思考 ， 引导学生 自主获取知识。同时教学中教师应 充分利用人文资源 ， 最大可能地调动学生对生命科学的兴 趣， 激发学生探究生命科学的愿望。 教师要 以自身为主导 ，
增加师生之间的互动 ， 充分发挥学生 的主体作用 ， 鼓励学 生主动参与 、 思考 、 探索 、 实践及创 造 ， 培养学生的创新 意
使相 当部分学生跟不上进度 ， 慢慢地失去了学习的兴趣和
心理上恐惧数学或讨厌数学。因此 ， 要想让学生顺利学 习
这门课程 ， 必须大胆进行教学改革 。 不仅从教学方法上 ， 还 需要重新调整教学 内容 ，进一步夯实初 中的数学基础 ， 为 学习新内容打好坚实的基础。 因此 ， 从暑假开始 ， 我们全体 数学教师就认真学习和研究学校关于大中专的培养计划 ， 通过多次讨论 ， 重新整合整个初 中的教学 内容 ， 修改制定 出了适合我们 自己的计划和进度 。 找补需要讲解的初 中落 下 的重点和难点 ， 真正做到查缺补漏 、 有的放矢 。没有课 本， 我们就 自己抄写 内容 、 整理 出有针对性的练习题 ， 再统 复印出来。经过几周的辛勤劳动 ， 终于为新学期的教学
降“奥”十八掌之以退为进
降“奥”十八掌之以退为进作者：电磁波来源：《数学大王·中高年级》2018年第12期阿木老叔：以退为进原指以谦让取得德行的进步，后指以退让的姿态作为进取的手段。
这里指采用退一步的方法，反其道行而之，往往更容易破解一些难题。
招式剖析名称：以退为进用途：主攻有一定规律，但本身含逆向思维的题目。
威力指数：★★★★★速记口诀：以退为进眼界开，纵观全局下手快！例1 小明从5，2，6，8，0这5张数字卡片中选4张，摆成四位数，从大到小第94个数是______。
眼观六路：从5张数字卡片选4张摆四位数，根据排列组合公式，一共有4×4×3×2=96（种）组合，也就是说可以摆成96个数。
大胆猜想：4人排队，如果我是从高到矮第3个，那么我就是从矮到高第2个。
所以，一共96个数，从大到小第94个数，96-94+1=3，也就是从小到大第3个数。
出招：转换思路，改成从小到大摆数。
2056，2058，2065，所以从大到小数第94个数是2065。
例2 阿木老叔每13天去公园一次，3月30日刚去过。
小米每15天去公园一次，4月1日刚去过。
那么他们即将可能在（）月（）日相遇。
眼观六路：两人在公园相遇，就是说他们在同一天去了公园。
已知日期，直接往下罗列日期，找到相同日期就好了。
阿木老叔：3月30日、4月12日、4月25日……小米：4月1日、4月16日、5月1日……大膽猜想：罗列法太费时间了，或许可以将日期倒推，先找到上次相遇的日期，再求出两人去公园的时间频率的公倍数，最后将两者相加得到第二次相遇的日期。
出招：因为3月30日和4月1日正好差2天，倒推一次，得到3月17日两人同时去了公园。
13×15=195（天），195天后两人会在同一天去公园，也就是3月17日后的第195天。
所以，他们即将可能相遇的日期是9月28日。
练练手用2，5，8，9这4张数字卡片摆四位数，从小到大排第23个数是______。
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用作者：陆同新来源：《读写算》2014年第14期美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。
”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃”。
这，就是“以退为进”的策略。
“以退为进”策略在数学学习中常常用到：一、退到思维起点，变“繁”为“简”，构建数学模型数学教学是思维活动的教学。
思维是智力的核心。
要使学生的思维得到有效的发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点。
常常需要从简单出发，轻松上路，在数学学习活动中建构模型，渐进数学的本质。
特级教师刘松在教学《数学广角---找次品》（人教版五下）时，将文本中的数据变大，使原题变为：“2187瓶木糖醇中有一瓶特别轻（次品），用天平秤称，至少几次才能保证找到它？”教学时，学生有说2185次的、一千多次的、729次的……教师引领学生从3瓶想起，分成三堆（1、1、1），需要1次能找到；接下来9瓶（分成3、3、3）需要2次；再到27瓶（分成9、9、9）需要3次；到81瓶（分成27、27、27）需要4次；到243瓶（分成81、81、81）需要5次；再到729瓶（分成243、243、243）需要6次；最后到2187瓶（分成729、729、729）需要7次。
即：2187→（729、729、729）→（243、243、243）→（81、81、81）（27、27、27）→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）学生面对庞大的数据2187时，显得束手无策，不得其门而入。
退到适合学生思维的起点，从最简单处想起。
用天平秤称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到“次品”。
经过这样的变“繁”为“简”，逐步推进，不仅解决了问题，还帮助学生地积累了数学活动经验，顺利地构建了数学模型。
二、退到旧知原点，变“快”为“慢”，感悟数学思想奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。
退进结合-数学教学中的航标
退进结合——数学教学中的航标华罗庚教授在数学归纳法中强调说：“要勇于退，足够地退，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。
”华教授的这句话在教学中时刻启迪着我，同时也把这种以退为进的思想贯穿在教学实践中，收到了良好的效果。
具体的做法简介如下，仅供参考。
一、退进结合在新知识教学中的应用事物是普遍联系的，而联系又是数学的一大特点，任何新知识的学习都是原有知识的迁移、引申，都是在原有知识基础之上建立、发展起来的。
没有旧知识做基石，新知识的大厦是建立不起来的。
至于此，在讲任何新知识的时候，都要为新知识的学习创造良好的环境，扫除其拦路虎，即在讲授新知识时先退一步，复习好新知识所要涉及到的各个知识点，为新知识的学习铺平道路，大开绿灯。
如：在讲解无理方程的解法时，我们知道无理方程和有理方程的根本区别在于无理方程中有根号，而有理方程没有根号，所以在研究无理方程的解法时，就应考虑到运用合理的方法把根号去掉，实现知识间有效的迁移。
怎样去掉根号，必然要用到()nn a= a, 根号去掉后，剩下的就是有理方程了，如果有理方程不会解，就必然影响到无理方程的解答，综上所述()nn a=a和有理方程的解法是无理方程的解法中必然用到的两个知识点，其在解无理方程中缺一不可，若有一个知识点不会，就会影响到无理方程的解答，所以在讲解无理方程之前应该先退一步，把上述两个知识点复习好。
如果上述两个知识点没有真正掌握，就是讲也是欲速则不达，效果也不会理想。
二、退进结合在解题教学中的应用解题是应用知识解决实际问题的过程，是学生能力得到发展和基本技能得以形成的过程。
拿来一道题之后首先要对题目进行分析，寻找解题的切入点，在这过程之中往往可以应用欲进则退原则。
例如：已知对任意满足（x+ 1）2 + y2 = 1的实数x、y，如果x+y+k ≧0恒成立，求k的取值范围。
此题是道综合性较强的题目，在寻找其解题切入点时可以采取欲进则退原则。
由于是求k的取值范围，退一步想，必须转化为有关于k的函数或有关于k的不等式来解决；而已知中有x+y+k≧0恒成立，所以选择转化为不等式；又因为x+y+k≧0恒成立，即k≧-(x+y)恒成立；退一步想，k≧[-(x+y)]max 就可以了；再退一步想，就是求-(x+y)的最大值了；若设w=-(x+y)，w是关于x、y的二元函数，解法受阻，只需消元化为一元函数，结合已知可以实施三角换元；令x=cosβ-1 , y= sinβ,则 w = cosβ-1+ sinβ,通过三角函数知识可以求得w 的最大值为2-1，所以k≧2-1,这样就获得了问题解决的方法。
高中数学复习注重基础以退为进
高中数学复习注重基础以退为进高中数学复习注重基础以退为进从新近出台的高考考试大纲上可以看出，今年的高考数学从考试范围、考查能力上，相较近年基本无变化。
数学一贯是考生反映复习最不得章法的一门学科。
昨日，阮老师在高考数学复习方面为考生出谋划策。
一、明晰高考数学命题趋势学生应在老师的指导下，学习考试大纲和近年的高考试卷，明晰高考数学命题走向。
高考对数学的能力考查包括逻辑思维能力、运算能力、空间想像能力和分析解决问题的能力，其中以逻辑思维能力为核心，以给考生留下了比较大的思维、选择空间。
比如，含参数问题的讨论在2002年高考数学(全国卷)中高达70分左右。
另外，纵观近几年的高考数学试卷，高考命题有着几点发展趋势：1.不回避以前考过的重要内容；2.高考命题的特点是逐渐减少运算量，加大思维量；3.降低试题的入口难度；4、考查知识的主干内容。
应用题是高考考查的重点，也是考生得分的难题，近年来该类试题的特点日趋鲜明：1.应用题的信息来源真实可靠；2.应用题的个数明显在增加；3.注重考查学生动脑、动手能力及应用的能力(如2002年文科22题)。
再则，应用题的命题原则是关注社会现象，关注学生的整体发展及探究的能力；考查实践动手能力；开放情景设置，实现多元化的评价标准；尊重学生的个性。
考生在复习时，可从生活中找到出题的“引子”，以便在高考中遇到类似题目不会感到陌生、棘手。
二、注重基础知识，以不变应万变在剩下的3个月时间里，学生要狠抓基础知识的复习，对课本上的例题、习题吃透，以不变应万变，直到高考前一天。
在剩下的3个月时间里，学生要狠抓基础知识的复习，对课本上的例题、习题吃透，以不变应万变，直到高考前一天。
虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但每回对试卷分析时不难发现，许多题目都能在课本上找到“根源”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。
高考是针对大众的考试，绝不会从天边拈来偏、怪题。
2024年高三数学学习方法总结范本（二篇）
2024年高三数学学习方法总结范本随着高中生活的深入，高三阶段对于学生来说无疑是一个关键的时间段。
高三数学学习方法的掌握对于高中数学成绩的提高和高考的顺利取得至关重要。
本文将以____字总结一些高三数学学习的方法，帮助学生更好地备考。
一、培养兴趣，树立信心培养数学学科的兴趣对于高三数学学习至关重要。
数学是一门需要逻辑思维和抽象思维的学科，如果没有足够的兴趣和热情，很容易对数学产生抗拒并影响学习效果。
因此，学习数学的第一步是培养兴趣。
可以从解题中找到乐趣，或者与同学一起探讨数学问题，通过互相交流学习，增加数学的趣味性。
同时，树立信心也非常重要，要相信自己可以掌握数学知识和解题技巧，相信自己能够在高考中取得优异的成绩。
二、掌握基础知识，夯实基础高三数学学习是建立在高一高二的数学基础之上的，因此，首要任务是夯实基础知识。
基础知识的掌握是学习数学的基石，只有基础扎实，才能在高级阶段更好地理解和运用进阶知识。
可以通过阅读教材、参考书籍和习题集，巩固相关知识点。
同时，要注意做好知识点的归纳总结，将重点知识点、公式和推导过程进行整理，以便日后快速复习和回顾。
三、注重思维方法，培养逻辑思维数学是一门需要逻辑思维的学科，因此在高三数学学习中要注重培养逻辑思维能力。
可以通过解题的方式锻炼逻辑思维能力，尤其是遇到较难的问题时，应首先理清题意，找出解题的思路和方法。
同时，可以利用高中数学竞赛题目进行训练，这些题目往往具有一定的难度和创造性，可以锻炼学生的逻辑思维和解题能力。
四、刻意练习，强化技巧运用高三数学学习中要注意进行刻意练习，针对各个知识点进行系统的练习，提高技巧的运用能力。
可以选取一些典型的、难度适宜的题目进行反复练习，熟练掌握题目的解题思路和步骤，并注意总结归纳解题技巧。
同时，也可以尝试做一些高考真题和模拟试卷，了解题目的出题方式和考查要点，熟悉高考题型和解题思路。
五、时间管理，合理安排学习计划高三是一个紧张而忙碌的阶段，时间管理对于高三数学学习至关重要。
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以退为进重树数学信心
作者：高兴花
来源：《教育教学论坛》2013年第29期
摘要：以学生的现有基础和心理能力为出发点，调整教学进度，整合教学内容，改进教学方式和方法，新的学期、新的起点、新的希望，帮同学们重树学习数学的信心，以退为进，抓基础、抓巩固、抓落实，为学生的后备学习打好基础。
关键词：兴趣；教学内容；教学手段；效果
近几年，随着教学体制的改革，我校不断扩大教学规模，招收了不同层次的学生。
特别对于大中专学生，情况较为复杂，学生数学基础比较薄弱。
在以往的教学中，我们虽然也不断改进教学方法，但由于严格按照学校的培养计划制定教学计划、安排教学进度，学习内容多、难、进度快，致使相当部分学生跟不上进度，慢慢地失去了学习的兴趣和信心，甚至放弃了数学的学习。
因此上课时出现了这样一种局面，学生学不下去，睡觉、看闲书、玩手机、说话，做与学习无关的事情，听课的学生极少。
为改变这一现状，我们全体数学教师一直不断探究解决方法。
从这一级开始，我们决定全面地进行教学改革，真正做到以学生为出发点，充分考虑学生现有基础，重新安排教学进度和教学内容，采用以退为进，抓基础、抓巩固、抓落实的教学策略，为学生的后备学习打好基础。
现将我们的做法总结一下。
一、重新调节教学内容和教学进度
根据我们学校的计划，大中专学生入校后学习吉林人民出版社出版的21世纪高职高专规划教材《高等数学》。
课本分三大块内容，第一部分是相当于高中的知识，第二部分是高等数学基础知识，第三块是与专业课有关的内容，共学习四个学期。
通过以往的学习情况来看，学生的基础比较薄弱，欠缺具备学习较深知识的条件，直接学习高中的内容显然不行；另一方面还有一部分学生从初二或初三就对数学失去了信心和兴趣，甚至放弃了学习数学，从心理上恐惧数学或讨厌数学。
因此，要想让学生顺利学习这门课程，必须大胆进行教学改革。
不仅从教学方法上，还需要重新调整教学内容，进一步夯实初中的数学基础，为学习新内容打好坚实的基础。
因此，从暑假开始，我们全体数学教师就认真学习和研究学校关于大中专的培养计划，通过多次讨论，重新整合整个初中的教学内容，修改制定出了适合我们自己的计划和进度。
找补需要讲解的初中落下的重点和难点，真正做到查缺补漏、有的放矢。
没有课本，我们就自己抄写内容、整理出有针对性的练习题，再统一复印出来。
经过几周的辛勤劳动，终于为新学期的教学做好了充分的准备。
二、做好问卷调查，进一步了解学生
俗话说：“兴趣是最好的老师”。
学生的数学基础差，并不全是数学能力问题，很多同学从心理上不喜欢数学，惧怕数学甚至讨厌数学。
数学曾经也是他们生活的一部分，陪伴他们度过
了幼儿园、小学、初中。
小学里曾经为考过满分自豪过，也曾经为没考到满分惋惜过，但从没怀疑过学不好数学。
由于种种原因，他们对数学这门课充满了较为复杂的感情，既爱又恨，可谓酸甜苦辣。
特别到了初中，数学让一些同学更加得苦恼，明明上课听懂了，却不会做题；明明平时会的题目考试却总是出错，因此开始怀疑“是不是我就不是学数学的料”，最后慢慢疏远了它，甚至惧怕数学，讨厌数学，甚至认为学数学没有什么用处。
为了更好地了解学生，进行有针对性的教学，开学之始，我们以“新的起点、新的希望”为题做了问卷调查。
试卷的内容既温馨又简单，学生不需要长篇大论，只需要通过答题细细回味自己从小学到初中的数学经历和或兴奋、或伤心、或迷茫的心情。
特别时有些同学在小学甚至初一时的数学是相当棒的。
曾几何时，面对数学试卷上的分数也是很自豪的。
在做完试卷后，同学有了很多感慨。
我们通过问卷这样的形式向学生发起了学习数学的号召：想想看，新的学期、新的起点、新的希望，作为数学老师，我想帮同学们重拾学习数学的信心和勇气，我想和同学们一起来修补和数学的这种关系，好吗？来吧，我们一起努力！请做好准备吧！
三、建立和谐宽松的学习氛围
大中专学生年龄小，活泼、好动，不愿意受约束，适于和谐宽松的学习氛围。
教师要在课堂上善于应用微笑教学、及时与学生进行语言沟通、心理沟通。
要注意培养学生积极的情感，对学生中出现的疲劳、厌倦、紧张、分心、烦躁等情绪及时予以疏通、排解，帮助学生保持平静、愉悦的心态。
不仅如此，教师还要对学生富有爱心，要发自内心地爱每一个学生，关注每一个学生，尤其是学困生的学习和进步，不抛弃、不放弃，使每个学生都能真切地感受到老师是爱自己的，是重视自己的。
教师对学生的关心、尊重及理解必能使学生产生对老师的热爱和信任之情，进而发展为对学习数学的兴趣，会以一种积极的心态、饱满的热情参与学习。
我们还经常深入到学生中间去，多和学生接触、谈心、交流思想，多了解学生的学习、生活等方面的情况，虚心听取学生的意见，在生活上多关心他们，在精神上多鼓励他们，在学习上多帮助他们，真正做他们的良师益友。
师生关系融洽了，学生对这门课的学习热情就会提高，就会创造一个适合于学生学习的情境，自然学习的兴趣就会大大增强。
四、采取合理的有针对性的教学手段
我们对问卷做了认真的统计，并对学生进行了分类，根据学生现有的基础和心理研究出有针对性的教学方法。
1.教学内容上，尽量选取与专业有关的应用多的相对简单的内容来讲，让学生能听得明白。
习题选用较简单的类型，让学生不用太费事就做出来。
用这种方式让学生体会数学也不是那么难，减少恐惧和厌恶心理，从心理和行动上先靠近数学。
2.在课堂上，多提问，多让学生到黑板上做题，多进行学生与学生互动、老师与学生的互动等，充分调动学生的积极性。
在学生答完题或做完题后运用鼓励性的表情与语言及时给予肯定，给他们信心和勇气，使他们从心理上和行动上接受数学。
3.在课堂上适当地安排竞赛和小测验，每堂课的最后，拿出10到20分钟的时间进行现场测验，并当场打分，表扬在最短的时间里做得又快又好的同学。
每当这时，学生的积极性就特别高，表现得异常兴奋，从而通过这种方式让学生从心理和行动上慢慢感知数学。
4.我还经常找一些简单、相对好讲的内容，让学生提前做好预习，鼓励学生来给大家讲解。
这时，同学们听得比教师讲时还要认真，并不断地提出问题，有时会为一个问题争的面红耳赤，总体上学生反应积极，效果不错，能让一部分同学喜欢上数学。
5.不管做练习、小测试还是做作业，我都采取面批的形式，把每个学生出现的问题及时订正与校正，做到查缺补漏。
对于复习的内容，既不是所有的学生都会，也不是所有的学生都不会，学生总是或多或少地在某一方面不懂或不会，这就需要老师多观察、多交流，该讲的内容重点讲，不该讲的不重复讲。
特别对于个别学生做到因人施教，对比较差的学生进行单独辅导。
总之，通过努力，一学期过去了，我们在实践中取得了较好的效果，相当一部分学生对数学又重新找回了信心和希望，也愿意学数学了。
有些同学说：“初中时，我从来没学过数学，这也不难学”。
还有的学生课下自豪地对我说：“老师，现在这些我都会，不信你考考我”。
听到这些话，我们倍感欣慰，之前的努力没有白费，为了学生学好数学，我们会更加努力！。