2021新高考 数学通关秘籍 专题23 几类函数的对称中心及应用
怎么求函数的对称中心
怎么求函数的对称中心求函数的对称中心是一种确定函数图像的方法，它有助于我们分析函数的性质和特点。
对称中心是指函数图像关于其中一直线对称的点或轴，可以是x轴、y轴、原点、其中一条直线等。
在下面的文章中，我将详细介绍如何求函数的对称中心，包括求函数的对称轴、对称点以及应用实例等。
一、函数的对称轴函数的对称轴是指函数图像关于该轴对称，对称轴可以是x轴或y轴。
要确定函数的对称轴，我们需要根据函数的定义和特点进行分析。
1.判断函数对称轴是否为x轴首先，我们可以观察函数的定义域和值域。
如果函数在定义域内的任意一点x对应的函数值f（x）和对应的f（-x）相等，即f（x）=f（-x），那么函数的对称轴可能是x轴。
例如，当函数为偶函数时，它的对称轴通常是x轴。
2.判断函数对称轴是否为y轴在一些情况下，函数的对称轴可能是y轴。
如果函数在定义域内的任意一点x对应的函数值f（x）和对应的f（-x）相等，即f（x）=f（-x），那么函数的对称轴可能是y轴。
例如，当函数为奇函数时，它的对称轴通常是y轴。
二、函数的对称点函数的对称点是指函数图像上关于对称轴对称的点。
对称点的求解需要根据函数的定义进行计算。
1.关于x轴对称的点如果函数的对称轴是x轴，那么它的对称点可以通过令y等于函数式中的负值来求解。
例如，对于函数f（x），它的对称点可以表达为f（x）=-f（x）。
2.关于y轴对称的点如果函数的对称轴是y轴，那么它的对称点可以通过将x值置为相反数来求解。
例如，对于函数f（x），它的对称点可以表达为f（x）=f（-x）。
三、函数对称中心的应用实例下面以一个应用实例来说明如何求函数的对称中心。
例1：求函数f（x）=x^2的对称中心。
解：首先，我们观察函数的定义式，它是一个关于x的二次函数。
根据二次函数的性质，我们知道二次函数的图像通常是关于对称轴对称的。
所以，我们需要确定对称轴的位置。
由于函数为关于x的二次函数，我们可以判断其对称轴可能是y轴。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。
函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。
本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。
对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。
2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。
常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。
常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。
3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。
常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。
常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。
如何求三角函数的对称中心及对称轴
如何求三角函数的对称中心及对称轴
1、三角函数的对称中心和对称轴
三角函数的对称中心是指该函数的图形关于其中一点对称，我们称该点为三角函数的对称中心；三角函数的对称轴则指该函数的图形关于其中一直线对称，我们称该直线为它的对称轴。
2、三角函数的对称特性
三角函数的对称特性是指，根据相应的变换规律，其他三角函数的图像与y=sinx及y=cosx的图像有相同的对称性质，具体来说，它们具有以下几种对称特性：
1） y=tanx的图形的对称中心是原点（0,0），它的对称轴是y轴。
2） y=cotx的图形的对称中心是原点（0,0），它的对称轴是x轴。
3） y=secx的图形的对称中心是（π/2,1）,它的对称轴是y轴。
4） y=cscx的图形的对称中心是（π/2,1）,它的对称轴是x轴。
二、求三角函数的对称中心及对称轴的方法
y=sinx,y=cosx的对称中心及对称轴都是原点（0,0）及x轴，可由下图得知：
y=tanx,y=cotx的对称中心及对称轴都是原点（0,0）及y轴、x轴，可由下图得知：。
三次函数的对称中心求法
三次函数的对称中心求法三次函数的对称中心求法，这个话题听起来有点复杂，但其实就像一杯刚煮好的茶，慢慢品味就能感受到其中的韵味。
想想，三次函数就像那曲折的山路，有上有下，曲曲折折，正是这种复杂性让它更有趣。
在数学的世界里，三次函数可以用公式来表示，通常是这样的：y = ax^3 + bx^2 + cx + d。
这里面的a、b、c、d就像是做菜的调料，少了哪个都不行。
好啦，咱们今天的重点是对称中心，这可不是随便找个地方坐下来喝茶就行的。
对称中心，其实就是在这个函数的图像上，某个点的左右两侧的部分是镜像对称的。
就好比你跟朋友站在一个镜子前，左右两边都是一样的！在三次函数里，想要找到这个对称中心，得先弄明白它的性质。
要是这个函数的最高次项的系数是正的，图像就像个小山丘一样；反之，如果是负的，就像个大水槽，左右两边的形状是完全对称的。
我们来聊聊怎么求这个对称中心。
找出这个三次函数的导数，记得，导数就像你打开窗户，能看到更清晰的风景。
把导数设为零，找到它的极值点，这些点就像你爬山时遇到的休息站。
然后，把这些极值代入原函数中，得到的结果就是这些点的y坐标。
真正的对称中心其实就是这些极值点的平均值，就像一碗汤里的盐，调好味道才是关键！不过，实际操作的时候，可能会遇到一些小问题。
极值点可能会有多个，这时候可得好好分析一下了。
比如，如果图像有两个极值点，就要仔细想想这两个点之间的关系，找到它们的中点，这样才能把对称中心找到。
如果图像上只有一个极值点，那对称中心就很简单，直接就是这个点了。
就像你不费吹灰之力就能找到自己最爱的餐厅，简单明了！再来谈谈，这个对称中心有什么用呢？嘿，别小看它，找到对称中心，能帮助我们更好地理解函数的性质，特别是在做题的时候。
比如，某些题目要求你计算函数在某个区间内的面积，找到了对称中心，能让计算变得轻松多了。
好比你做一个拼图，找到了中心点，整个拼图的拼接就会变得容易。
在实际学习中，光靠公式和方法是远远不够的。
高考数学培优---几类函数的对称中心及应用
高考数学培优---几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(0x ，0()f x )，其中0()0f x ''=，即00()620f x ax b ''=+=，03b x a=-. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程02b x a=-，分母中23→. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）()(0)cx d f x ac ax b -=≠-的对称中心为(,)b c a a . 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.3. 指数复合型函数()x n f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2m a n m. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.【典型题示例】例1 已知函数2()231x f x x =-+，则满足不等式()(32)2f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【解析】231x y =+的对称中心是(0,1)，其定义域为R 且单减 令2()()12131x g x f x x =-=--+，则()g x 为R 上的单调递减的奇函数 由()(32)2f a f a ++>得(32)11()f a f a +->-，即(32)()g a g a +>-因为()g x 为奇函数，故()()g a g a -=-，所以(32)()g a g a +>-又()g x 在R 上单减，所以32a a +<-，解之得12a <-所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.例2设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()f x ''＝0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++＝ ．【解析】令()24=0f x x ''=-得2x =，(2)1f = 3218()2133f x x x x =-++对称中心为()2,1， 所以()(4)2f x f x +-=对于任意x R ∈恒成立因为27n a n =-，所以182736454a a a a a a a a +=+=+=+=所以18273645()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=+=所以128()()()8f a f a f a +++=．【巩固训练】1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）A 、0B 、7C 、14D 、212. 函数y=24x y x -+=-的对称中心是 ． 3. 已知函数2()1ax a f x x +-=+（其中a R ∈）图象关于点P (－1，3)成中心对称，则不等式()1f x x >-的解集是 ．4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.5. 已知函数1()21x f x a =+-的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值为_____. 6. 已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 . 7.已知4()42xx f x =+，则12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ． 8.已知函数()x f =ax x -+-2，若对*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ． 3()(3)1f x x x =-+-{}n a 127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=127a a a ++⋅⋅⋅+=xOy k kx y 22-+=x x y +-=3)2(2C B A ,,P2|PC PA |=+||PB。
对称问题直线中的几类对称问题高考数学专题讲座讲义
偶函数图像关于y轴对称
周期函数图像关于其周期对称
函数图像的平移、旋转和伸缩 变换
感谢观看
汇报人：XX
函数图像：考察 对称性在判断函 数图像中的应用
几何图形：考察 对称性在判断几 何图形中的应用
概率统计：考察 对称性在概率统 计问题中的应用
04
对称问题的解题思路和技巧
解题思路
识别对称：确定问题中的对称性， 明确对称轴或对称中心。
利用性质：利用对称性质，如对 称点的距离相等或对称轴上的点 具有相同的坐标。
性质：对称直线的斜率互为相反数，且与对称轴的交点坐标相同。
应用：在几何、代数、解析几何等领域中都有广泛应用，是解决对称问题的重要方法之一。
举例：在解析几何中，直线关于线对称的应用可以解决一些与直线相关的对称问题，例如求两 条直线的中点坐标、求两条直线的交点等。
直线关于面对称
定义：直线关于某平面对称，是指该直线上的任意一点关于该平面对 称的点仍在直线上。
对称性在数学中 的重要性：对称 性是数学中一个 重要的概念，它 不仅在代数中有 广泛的应用，还 在几何、分析等 领域中有重要的 应用。
对称性问题在数 学中的发展：随 着对称性在数学 中的不断发展， 对称性问题已经 成为数学研究的 一个重要方向， 对于推动数学的 发展具有重要意 义。
函数图像中的对称问题
对称问题涉及到对称性、对 称变换、对称群等概念。
对称问题可以通过对称操作、 对称元素、对称轴等来描述
和分类。
对称问题的常见类型
点对称：点关于点对称，如几何图形中的中心对称 线对称：线关于线对称，如平行线、垂直线等 面对称：面关于面对称，如平面几何中的轴对称 旋转对称：图形绕某点旋转一定角度后与自身重合，如正多边形和圆
高考数学函数专题、函数的奇偶性、周期性与对称性(2021年整理)
(完整word)高考数学函数专题、函数的奇偶性、周期性与对称性(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word)高考数学函数专题、函数的奇偶性、周期性与对称性(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数专题（三)、函数的奇偶性、周期性与对称性1。
判断函数奇偶性的第一步是判断函数定义域是否关于原点对称。
2.几个初等函数的奇偶性：(1）函数b ax y +=为奇函数时,b=0；为偶函数时,a=0.（2）函数c bx ax y ++=2为奇函数时,a=c=0；为偶函数时，b=0. （3)幂函数αx y =为奇函数时，α为奇数；为偶函数时，α为偶数。
（4）奇函数在原点有定义时一定经过原点。
（5）定义域关于原点对称的常函数是偶函数。
（6）既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数。
3。
一个定义在R 上的函数如果有两个对称轴或对称中心,则该函数一定是周期函数；函数如果满足奇偶性、周期性、对称性三个性质中的两个,则函数一定也满足剩余的那个性质。
例1.函数201220111120112012)(-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++=x x x x x x x f ,且Z a a f a a f ∈-=+-),1()23(2,则满足条件的所有整数a 的和是__________例2.已知函数1222)(31+++=+x x x x f的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 等于___________变式训练：1.(2006浦东新区一模）若曲线)0(≠+=p xp x y 上存在两个不同的点关于直线x y =对称,则实数p 的取值范围为_____________2.（2014崇明县一模）已知圆221x y +=及以下三个函数：①3()f x x =；②()cos f x x x =;③()tan f x x =；其中图像能等分圆的面积的函数个数为（ ）A. 3 B 。
函数对称的知识点总结
函数对称的知识点总结函数对称是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和分析等各个领域都有着重要的应用。
函数对称可以由函数的图像、函数表达式和函数的性质来描述。
在本文中，我们将探讨函数对称的各种类型和性质，并且将介绍函数对称在各种数学问题中的应用。
一、基本概念1.1 函数的对称性在数学中，函数的对称性是指函数图像相对于某个直线或者点的对称性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1.2 函数的图像和对称性根据函数的图像可以很直观地判断函数的对称性。
例如，当函数的图像关于y轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=f(-x)；当函数的图像关于x轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=-f(-x)；当函数的图像关于原点对称时，函数的表达式一般可以表示为f(-x)=-f(x)。
1.3 函数的性质和对称性函数的对称性也可以由函数的性质来判断。
例如，奇函数具有关于原点对称的性质，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。
二、函数的对称类型2.1 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
奇函数的图像关于原点对称。
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数、和函数等。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
常见的偶函数包括幂函数、指数函数、对数函数等。
2.3 周期函数周期函数是指函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
周期函数的图像在某个区间上有重复的规律。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数等。
2.4 对称关于y轴的函数函数关于y轴对称的性质是指f(x)=f(-x)。
常见的对称关于y轴的函数包括二次函数、幂函数、指数函数等。
2.5 对称关于x轴的函数函数关于x轴对称的性质是指f(x)=-f(-x)。
常见的对称关于x轴的函数包括一次函数、双曲函数、指数函数等。
三角函数的中心对称性和对称轴
三角函数的中心对称性和对称轴在数学中，三角函数是一类基础而重要的函数。
它们是以角度为自变量的函数，其中最常见的三个是正弦函数、余弦函数和正切函数。
在这些函数中，有一种重要的性质，那就是中心对称性和对称轴。
在本文中，我们将探讨这一性质的含义和应用。
一、中心对称性中心对称是数学中常见的一种对称形式。
当一个图形相对于某一点做中心对称时，它的每一个点都与这个点关于中心对称轴相对应。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数都具有中心对称性。
对于正弦函数，我们知道它是以单位圆上一点作为自变量的函数。
在这个单位圆上，如果将其与原点做中心对称，那么它的图形就不会改变。
具体来说，如果将原来自变量为角度为θ的正弦函数变为自变量为角度为（-θ）的正弦函数，那么这两个函数的值是相等的。
即sin(θ)=sin（-θ）。
因此，正弦函数具有中心对称性。
同样地，余弦函数的图像也具有中心对称性。
我们可以将单位圆旋转90度，然后再与原点做中心对称。
这样，原来自变量为角度为θ的余弦函数就变成自变量为角度为（π-θ）的余弦函数了。
但在这个角度范围内，余弦函数的值也是相等的。
即cos(θ)=cos （π-θ）。
二、对称轴对称轴是中心对称性的具体体现。
对于正弦函数和余弦函数，它们的对称轴相对于单位圆上的点(0,0)都是x轴。
这个对称轴不仅仅是一条分割线，还有很多实际应用。
例如，我们可以通过对称轴来简化计算。
对于一个角度为θ的正弦函数，我们可以将它变为一个角度为（180°-θ）的余弦函数（因为sinθ=cos（90°-θ）），这样就可以直接使用余弦函数的计算公式来计算。
同样地，对于一个角度为θ的余弦函数，我们也可以转化为一个角度为（180°-θ）的正弦函数（因为co sθ=sin （90°-θ））。
这样，就可以根据实际情况选择使用哪个函数来计算，以达到简化计算的目的。
此外，对称轴还可以帮助我们理解函数的图像和特性。
怎么求函数的对称中心
怎么求函数的对称中心1. 前言函数的对称中心是指函数图像关于某个点对称，即该点是函数图像的中心点。
求函数的对称中心是函数图像研究的一个重要内容，对于理解函数的性态和变化规律有着重要意义。
本文将详细介绍如何求函数的对称中心，包括二次函数、三次函数和一般函数的求解方法。
2. 二次函数的对称中心2.1 二次函数的定义二次函数是指函数y=ax2+bx+c，其中a≠0。
2.2 求解方法对于二次函数，求其对称中心的方法如下：1.首先，需要确定二次函数的标准形式，即将二次函数化为顶点形式。
标准形式为y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为对称中心的坐标。
2.通过平移变换将一般形式的二次函数转化为顶点形式。
假设原始的二次函数为y=ax2+bx+c，则可以通过平移变换，令x=x−b2a来化简函数表达式。
3.化简后的函数表达式为y=a(x−b2a )2+c−b24a。
4.从化简后的函数表达式中读取顶点坐标，得到对称中心的坐标。
3. 三次函数的对称中心3.1 三次函数的定义三次函数是指函数y=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0。
3.2 求解方法对于三次函数，求其对称中心的方法如下：1.首先，需要确定三次函数的标准形式，即将三次函数化为顶点形式。
标准形式为y=a(x−ℎ)3+k，其中(ℎ,k)为对称中心的坐标。
2.类比二次函数求对称中心的方法，从三次函数的表达式中读取顶点坐标，得到对称中心的坐标。
4. 一般函数的对称中心4.1 一般函数的定义一般函数指的是不限于二次函数和三次函数的其他函数，可以是任意复杂的函数表达式。
4.2 求解方法对于一般函数，求其对称中心的方法相对较为复杂。
一般情况下，无法通过简单的变换将一般函数化为顶点形式来求解对称中心。
在实际操作中，可以通过作图方法来估算一般函数的对称中心。
具体步骤如下： 1. 根据函数表达式绘制函数的图像。
2. 观察图像，寻找可能的对称中心位置。
3. 对称中心的位置应该使得图像在该点关于纵轴对称。
高中类反比例函数对称中心
高中类反比例函数对称中心在数学课上，反比例函数经常被老师们所提及，而反比例函数的对称中心也是一个重要概念。
在本文中，我们将聚焦于高中类反比例函数的对称中心，以及它们所代表的概念。
高中类反比例函数是指在高中类数学中，表示函数的方程的形式。
它的公式形式如下：y=k/x，其中k为常数。
反比例函数对称中心为(0, k/2)，即平行于y轴的反比例函数的对称中心x=0，y=k/2。
反比例函数的对称中心的学习有助于我们分析和理解反比例函数的特征及其重要性，这也是学习反比例函数的基础。
另外，它也可以帮助我们更好地掌握反比例函数的应用，从而更好地解决数学问题。
首先，要理解反比例函数的对称中心，就要从函数的定义开始。
反比例函数可以定义为，当横坐标x发生变化时，纵坐标y经过变化可以使函数保持对称，从而满足反比例函数的条件。
由于反比例函数函数的形式为y=k/x，可以很容易地看出，当x=0时，y=-∞，x取任意值时，函数都会使y取得极大值，因此反比例函数的对称中心x=0，y=k/2。
另外，反比例函数的对称中心可以用于表征函数的曲线以及它的对称性。
反比例函数的曲线有如此的特点：一方面，当x变大时y变小，当x变小时y变大；另一方面，当x>0时，曲线在反比例函数的对称中心经历右急转弯，当x<0时，曲线则经历左急转弯，这是反比例函数的两个特点。
此外，反比例函数的对称中心也可以用来解决实际问题。
比如，某出租公司根据不同里程数来决定不同里程数的费用。
在这种情况下，可以用反比例函数来实现里程费用的计算，其中反比例函数的对称中心可以表示出里程每增加一个单位，费用减少的程度或里程减少一个单位，费用增加的程度。
另外，反比例函数的对称中心也可以用来计算用水量和费用的关系，从而更好地节约用水费用。
例如，反比例函数的对称中心可以表示出水的使用量如果增加一个单位，费用上涨的幅度，或者水的使用量减少一个单位，费用减少的幅度。
总之，反比例函数的对称中心是重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解和分析反比例函数，从而更好地掌握反比例函数，便于更好地解决实际问题。
2021年高考数学高分套路 函数的周期性、对称性(解析版)
1
f(4)．因为 f(2＋2)＝
，所以 f(4)＝－ ＝－
＝－2－ 3.故 f(2 020)＝－2－ 3.
－f2
f2 2－ 3
（3） ∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即 f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为 6 的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一 周期性
x1－x，0≤x≤1， 【例 1】（1）若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝
sin πx，1<x≤2，
29
41
则 f 4 ＋f 6 ＝________.
1
（2）已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)＝2－ 3，且对任意的 x 都有 f(x＋2)＝
函数的周期性与对称性
【套路秘籍】---千里之行始于足下
一．对称性 （一）对称轴 1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中 的轴对称，该直线称为函数的对称轴。 2.常见函数的对称轴 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线 均为它的对称轴 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线 均为它的对称轴 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 x=-b/(2a) ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与 y=-x 均为它的对称轴 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是 y 轴；而其他的幂函数不具备对称性 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2 是它的对称轴 ⑨正弦型函数：正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出 x，就是 它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2 中解出 x，就是它的对称轴；需要注意 的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中 x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心 ⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有 的同学会误以为对称中心只是（kπ,0） ⑿对号函数：对号函数 y=x+a/x(其中 a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。 ⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性 得因题而异。 ⒁绝对值函数：这里主要说的是 y=f(│x│)和 y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于 y 轴对称; 后者是把 x 轴下方的图像对称到 x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如 y=│lnx │就没有对称性，而 y=│sinx│却仍然是轴对称
高考数学热点问题专题练习——函数的对称性与周期性知识归纳及典型例题分析
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
怎么求函数的对称中心
怎么求函数的对称中心
对称是代数中一个非常重要的概念，对称中心就是指函数的对称轴，
并且表示该函数可以以对称轴为轴进行旋转对称。
在数学中，函数的对称
性是一种基本的调查要素之一，它在很多场合的分析和计算中都是非常关
键的。
下面我们将详细介绍如何求函数的对称中心。
一.确定函数的对称类型
首先，我们需要明确函数的对称类型，以确定函数的对称中心。
通常
情况下，函数的对称类型有三种，即：偶函数、奇函数以及周期函数。
其中，偶函数就是满足f(-某)=f(某)的函数；奇函数就是满足f(-某)=-
f(某)的函数；而周期函数则是周期性相等的函数，即f(某)=f(某+T)，
其中T为正数。
二.确定对称中心的坐标
接着，我们需要找到函数的对称轴，以确定函数的对称中心。
对于偶
函数，其对称轴一般为y轴，因此其对称中心的坐标为(0,0)；对于奇函数，其对称轴一般为原点，因此其对称中心的坐标也为(0,0)；而周期函
数则有多个对称轴，其对称中心的坐标一般为相邻对称轴的中点。
最后，我们需要在函数图像中确定函数的对称中心。
对于偶函数和奇
函数，它们的对称中心即为图像上的对称点，该点为图像的对称轴上的点。
对于周期函数，其对称中心即为图像上任意一点到最近的对称轴的距离等
于该点到对称轴的距离。
总之，求函数的对称中心是一件比较复杂的工作，需要采用多种方法
和技巧。
通常情况下，我们可以通过分析函数的对称类型来确定其对称轴
和对称中心。
在实际计算中，我们还需要注意各种函数的特点，灵活使用相关的公式和方法，以达到准确求解的目的。
函数的对称轴和对称中心
函数的对称轴和对称中心1. 概述函数是数学中一个重要的概念，描述了输入和输出之间的关系。
在函数的图像中，对称轴和对称中心是两个重要的概念。
本文将深入探讨函数的对称轴和对称中心的定义、性质和应用。
2. 对称轴对称轴是函数图像中的一条直线，具有以下性质：2.1 定义对称轴是指在函数图像中，对于任意一点 (x, y)，如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (2a - x, y) 也在函数图像上。
其中 a 是对称轴上的任意一点。
2.2 性质•对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
对称轴将函数图像分为左右两半，左半部分和右半部分关于对称轴对称。
•对称轴满足关于对称轴的反射对称性。
即，如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (2a - x, y) 也在函数图像上。
2.3 实例以函数 y = x^2 为例，它描述了一个抛物线的图像。
对称轴为 y 轴，因为对于任意一点 (x, y)，点 (-x, y) 也在函数图像上。
3. 对称中心对称中心是函数图像中的一个点，具有以下性质：3.1 定义对称中心是指在函数图像中，对于任意一点 (x, y)，如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上。
3.2 性质•对称中心是函数图像的中心对称点。
对称中心将函数图像分为上下两部分，上半部分和下半部分关于对称中心对称。
•对称中心满足关于对称中心的中心对称性。
即，如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上。
3.3 实例以函数 y = sin(x) 为例，它描述了一个正弦曲线的图像。
对称中心为原点 (0, 0)，因为对于任意一点 (x, y)，点 (-x, -y) 也在函数图像上。
4. 应用对称轴和对称中心在函数图像的分析和应用中具有重要作用。
4.1 函数图像的对称性•对称轴的存在使得函数图像具有一定的对称性。
根据对称轴的定义，函数图像关于对称轴对称。
这意味着我们可以通过观察对称轴上的图像来得到关于图像其他部分的信息。
高中数学函数对称中心及应用
高中数学函数对称中心及应用
编者按：函数性质是函数的重点内容，高一函数的新课中对函数的理解很重要，应用更重要。
进入高三复习能与多个知识点交汇、综合，所以对这部分的题型总结非常重要。
而函数对称中心是函数性质的一种，也是考查得较多的性质。
高考题目多为填选，比较综合，难度较大。
总结：该类问题主要需要两点1、识别函数的对称中心；2、找准自变量的关系。
知道一个点，从而可以得到另一个点。
总结：函数中利用对称中心时，不要忽略两点1、函数在对称中心出有定义时，过对称中心；2、函数的定点
总结：该类题目找对称中心时，不能光看函数，还需要观察所求函数值之和题目中横坐标的关系来确定对称中心，如例4中函数的对称中心有许多，通过所求确定选取（1，-2）
总结：解决此类问题的关键在于确定相交的两个函数的相同对称中心，从而找到交点横坐标之间、纵坐标之间的和。
总结：函数的对称中心确定后，通过函数值的关系也可以来确定自变量之间的关系。
关于函数对称点的两个结论及应用举例
对称，由定理1得函数f（x）的图象关于点
( ) 仔 ，仔 中心对称. 2
因 为 f （倩1） +f （倩2） + … +f （倩5） =5仔 =
( ) 5f
仔 2
，由定理2得倩3=
仔 2
.
所 以 咱 f （ 倩3） ]
( ) ( ) 2-倩1倩5=仔2-
仔-仔 24
仔 + 仔 = 13仔2 . 2 4 16
襛 结论的应用举例
题目1 已知实数倩，b 满足倩3-3倩2+ 5倩=1，b3-3b2+5b=5，求倩+b的值.
解:设f（x）=x3-3x2+5x， 则f 忆（x）=3x2-6x+5. 因为函数f 忆（x）的图象关于直线x=1
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试题研究 >知识延伸
蓡 蓘 ) 姨_ 5 是上凸函数， 在 姨_ 5 ，+肄 是
（1，3）对称.
所以f（倩）+f（2-倩）=6_（1），
因为f（倩）+f（b）=6_（2），
（1）-（2）得f（2-倩）=f（b）.
因为f 忆（x）=3x2-6x+5=3（x-1）2+2>0，
所以f（x）在（-肄，+肄）上为增函数，
由f（2-倩）=f（b）可得2-倩=b，
所以倩+b=2.
题目2 已知f（x）=2x-cosx，喳倩n札是公
题目2 已知f（x）=2x-cosx，喳倩n札是公
差为
仔 8
的 等 差 数 列 ， f （ 倩1 ） + f （ 倩2） + 噎 +
f（倩5）=5仔，则[f（倩3）]2-倩1倩5等于（ ）
高中数学课程：函数必修知识点函数图像的轴对称和中心对称
高中数学课程：函数必修知识点函数图像的轴对称和中心对称在高中函数阶段的学习中，对于某函数图象的轴对称或函数图像关于某点的对称问题，是必须掌握的重点知识。
也是高考当中常见的题型。
同学们在解决此类问题时往往理不清头绪，摸不清思路。
在轴对称或中心对称问题中模棱两可，含糊不清。
现就这一类知识点作出解析，让同学从此不再为此类问题烦恼丢分。
1.轴对称若函数f(x)图象关于直线x=a对称，则有函数f(x)必须满足f(x)=f(2a-x)。
证明:假设点A(x，y)在函数f(x)图象上，那么点A关于x=a对称点B(2a-x，y)也应该在函数f(x)图象上。
由A点B点两点同在函数f(x)图象上，则有:f(x)=y ， f(2a-x)=y故函数f(x)图象关于直线x=a对称则必须满足f(x)=f(2a-x)。
2.中心对称若函数f(x)图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)必须满足f(x)+f(2a-x)=2b。
证明:假设点A(x，y)在函数f(x)图象上，那么A点关于点(x，y)对称点B(2a-x，2b-y)也应该在函数f(x)的图象上。
由A点B点同在函数f(x)上，则有:y=f(x) ，2b-y=f(2a-x)故由上式整理后可得f(x)+f(2a-x)=2b。
题目练习:1.f(x+2)-f(2-x)=02.f(2+x)=f(1-x)3.f(-x)=f(x-4)4.f(2x+2)=f(2-2x)5.f(-x)=－f(x-4)6.f(4-x)+f(6+x)=10.答案:1.关于x=2对称. 2.关于x=3/2对称.3.关于x=-2对称 .4.关于x=1对称.5.关于点(-2，0)为中心对称.6.关于点(5，5)为中心对称.。
函数对称中心的求法解析
函数对称中心的求法解析题目 函数32()367f x x x x =-+-的图象是中心对称图象，其对称中心为________.一、利用概念求对称中心分析 依照中心对称图形的概念，在函数()f x 图象上的任意一点(,)A x y 关于对称中心(,)a b 的对称点(,)A x y '''也在函数()f x 的图象上.∴22x x a y y b '+=⎧⎨'+=⎩，即22x a x y b y '=-⎧⎨'=-⎩. ∴(2,2)A a x b y '--， 代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7b y f a x a x a x a x -=-=---+--, 化简得：32232(36)(12126)(2781212)y x a x a a x b a a a =+-+-+++-+-， 与32()367f x x x x =-+-是同一函数，那么对应系数相等， 故23236312126627812127a a a b a a a -=-⎧⎪-+=⎨⎪+-+-=-⎩，∴1a =，3b =-，即函数()f x 的对称中心为(1,3)-.点评 利用中心对称的概念求解是全然方式，考察全然概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心分析 在函数()f x 的图象上取点(1,3)-、(2,1)，它们关于对称中心(,)a b 的对称点别离为(21,23)a b -+、(22,21)a b --也在函数()f x 的图象上.∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7b a a a b a a a ⎧+=---+--⎪⎨-=---+--⎪⎩，相减那么26(253)0a a -+=，∴13a b =⎧⎨=-⎩或321a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.又假设对称中心为3(,1)2，那么(0,7)-关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f =≠，∴3(,1)2不是对称中心，故对称中心为(1,3)-. 点评 那个地址巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是不是也知足一样的点，因此还要继续查验，排除增解.三、巧构奇函数求对称中心分析 把函数()y f x =变形为33(1)3(1)y x x +=-+-，设函数3()y g x x x ==+，∵()y g x =为奇函数，∴其对称中心为(0,0)O ，又将函数3y x x =+的图象按向量(1,3)a =-平移恰好取得33(1)3(1)y x x +=-+-，∴()y f x =的对称中心是由()y g x =的对称中心(0,0)O 按向量(1,3)a =-平移取得的，即为(1,3)-．∴()y f x =的对称中心为(1,3)-．点评 那个地址巧妙地构造奇函数，将原函数看做是由奇函数平移取得的，利用奇函数关于原点对称的性质，如此原函数的对称中心确实是由奇函数的对称中心按向量平移取得的.【2021春考】31．〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值7分，第3小题总分值6分。
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专题23 几类函数的对称中心及应用
【方法点拨】
1.三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(0x ，0()f x )，其中0()0f x ''=，即00()620f x ax b ''=+=，03b
x a
=-
. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程02b
x a =-
，分母中23→. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）()(0)cx d f x ac ax b -=
≠-的对称中心为(,)b c
a a
. 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次
项系数分别作为分母、分子的值）. 3. 指数复合型函数()x n f x a m =
+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2m
a
n m
. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是
绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.
【典型题示例】
例1 已知函数2
()231
x
f x x =-+，则满足不等式()(32)2f a f a ++>的实数a 的取值范围是 . 【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【解析】2
31
x y =
+的对称中心是(0,1)，其定义域为R 且单减 令2
()()12131
x g x f x x =-=--+，则()g x 为R 上的单调递减的奇函数
由()(32)2f a f a ++>得(32)11()f a f a +->- 即(32)()g a g a +>-
因为()g x 为奇函数，故()()g a g a -=- 所以(32)()g a g a +>-
又()g x 在R 上单减，所以32a a +<-，解之得12
a <- 所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
. 例2 （2021·江苏镇江中学·开学初）设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导
数，若方程()f x ''＝0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218
()2133
f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++＝ ．
【解析】令()24=0f x x ''=-得2x =，(2)1f =
3218
()2133
f x x x x =-++对称中心为()2,1，
所以()(4)2f x f x +-=对于任意x R ∈恒成立
因为27n a n =-，所以182736454a a a a a a a a +=+=+=+=
所以18273645()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=+= 所以128()()()8
f a f a f a ++
+=．
例3 已知函数()x f =a
x x -+-2，若对*
∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．
【答案】65<<a
【巩固训练】
1. 函数y=
4
2
-+-x x 的对称中心是 ． 2. 已知函数2()1
ax a
f x x +-=+（其中a R ∈）图象关于点P (－1，3)成中心对称，则不等式
()1f x x >-的解集是 ．
3. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，
，则（ ）
A 、0
B 、7
C 、14
D 、21
4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于
三点，若点使，则的值为_____. 5. 已知函数1
()21
x f x a =
+-的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值为_____. 3
()(3)1f x x x =-+-{}n a 127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=127a a a ++⋅⋅⋅+=xOy k kx y 22-+=x x y +-=3
)2(2C B A ,,P 2|PC PA |=+||PB
6. 已知函数
31
()2
31
x
x
f x x
-
=+
+
，则满足不等式()(32)0
f a f a
++>的实数a的取值范围
是.
【答案或提示】
1.【答案】（4，-1）
2.【答案】{}
103x x x <-<<或 【解析】函数2()1
ax a
f x x +-=
+的对称中心为(－1，a )，与P(－1，3)比较得a ＝3.此时
31()1x f x x -=+，不等式()1f x x >-，即3131
1(1)011x x x x x x -->-⇔-->++ (3)0(1)(3001
x x x x x x -⇔<⇔+-<+，由序轴标根法即得解集为{}103x x x <-<<或.
3.【答案】D
【提示】根据函数值之和求自变量之和127a a a ++⋅⋅⋅+，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.
函数可以视为由3
(3)y x =-与1y x =-构成，它们的对称中心
不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如3
()2(3)(3)f x x x -=-+-，引入函数
3()(3)2F x f x x x =+-=+，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识
不难得出的图象关于点(3,2)中心对称. 4.【答案】1
【分析】过定点（2,2）， 对于三次函数，令
()12(2)0f x x ''=-= 得2x =，又(2)2f =，所以也关于点（2,2）对称，
所以2PA PC PB +=，1PB =. 5.【答案】－1 6.【答案】12⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】313122
()2212313131
x x x
x x f x x x x -+-=+=+=-++++的对称中心是(0,0)，其定义域为R 且单增（下略）.
127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=3
()(3)1f x x x =-+-3
()(3)1f x x x =-+-3
()(3)1f x x x =-+-k kx y 22-+=x x y +-=3
)2(2x x y +-=3)2(2。