§5.4 理想低通滤波器

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低通滤波器设计原理

低通滤波器设计原理低通滤波器是一种常用的信号处理技术，用于从信号中去除高频成分，使得信号中只保留低频成分。

其设计原理基于信号的频率特性和滤波器的特性。

一、低通滤波器的基本原理低通滤波器的基本原理是通过选择合适的频率截止点，使得该频率以下的信号通过滤波器，而高于该频率的信号被滤除或衰减。

这样可以实现去除高频噪声或不必要的信号，保留主要的低频信号。

二、滤波器的频率响应滤波器的频率响应是指滤波器对不同频率信号的响应程度。

低通滤波器的频率响应在截止频率以下保持较高的增益，而在截止频率以上逐渐衰减。

具体来说，低通滤波器的频率响应可以用一个截止频率和一个衰减因子来描述。

三、滤波器的类型根据滤波器的特性，低通滤波器可以分为两类：理想低通滤波器和实际低通滤波器。

理想低通滤波器是指在截止频率以下完全通过信号，而在截止频率以上完全抑制信号的滤波器。

实际低通滤波器是指在截止频率以下有一定的增益，而在截止频率以上有一定的衰减的滤波器。

四、滤波器的设计方法1. 传统方法：传统的低通滤波器设计方法包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器。

这些方法通常基于模拟滤波器设计原理，通过选择合适的滤波器阶数和截止频率来实现低通滤波器的设计。

2. FIR滤波器设计：FIR滤波器是一种常用的数字滤波器，其设计方法与传统方法有所不同。

FIR滤波器通过选择合适的滤波器系数来实现低通滤波器的设计。

常用的FIR滤波器设计方法包括窗函数法、最小均方误差法和频率采样法等。

五、滤波器的性能指标低通滤波器的性能指标包括截止频率、衰减因子、通带波动和群延迟等。

截止频率是指滤波器开始衰减的频率，通常用3dB衰减点来定义。

衰减因子是指滤波器在截止频率以上的衰减程度，通常以分贝（dB）为单位来表示。

通带波动是指滤波器在通带范围内的增益波动程度，通常以分贝为单位来表示。

群延迟是指滤波器对不同频率信号的传输延迟，通常以时间为单位来表示。

六、应用领域低通滤波器在各个领域都有广泛的应用。

理想低通滤波器的响应

第五章傅里叶变换应用于通信系统第三讲理想低通滤波器的响应1234理想低通滤波器的冲激响应我们曾经说过，冲激函数是一种很特别的函数。

用冲激函数来激励系统的输入端等价于同时用所有可能频率的相同幅度的正弦波来测试系统，所以输入一个冲激函数就能够确定系统在所有频率的频率响应。

对理想低通滤波器的传输函数进行傅里叶反变换，不难得到其冲激响应，如图5-3-2所示。

图5-3-2 理想低通滤波器的冲激响应分析：1.从响应波形我们可以看出，输出的波形完全不同于冲激信号的波形，产生了很大的失真。

这是因为，理想滤波器是一个限带系统，而冲激信号的频谱带宽是无穷大，自然会造成失真。

在输出波形中，上升和下降的时间（即波形的陡峭程度）与截止频率成反比，截止频率越高，波形越陡峭。

2.虽然带宽的限制造成了波形畸变，但是这个畸变是对称的，即输出波形关于延迟时间对称。

这是因为系统具有线性相移特性的缘故。

系统虽然有振幅畸变，但线性相移特性使得输出波形与输入波形为同一类型的对称形式。

网络的线性相移特性给出了对称的冲激响应和对称的阶跃响应，这在电视和雷达系统中是特别重要的。

3.系统违背了因果律。

输出电压不再是冲激函数，而是在脉冲建立的前后出现起伏的振荡现象，而且这种振荡一直延伸到处。

从响应波形可以看出，冲激响应对应于t的负值也存在，而输入却是在t=0时加入的。

这显然不符合常规，似乎是系统可以预测激励。

实际上，这里所讨论的只是一个理想化的低通滤波器，它的响应特性在物理上是不可实现的。

系统的物理可实现性——佩利-维纳准则虽然理想低通滤波器在实际中是不能实现的，但是我们希望找到一种区分可实现性与不可实现性的标准，这就是佩利-维纳（Paley-Wiener）准则。

物理可实现性在文献中有不同定义方法，这里采用最低限度的定义把物理可实现性系统和不可实现系统区分开来。

我们可以直观地看到，一个物理可实现系统在激励加入之前是不可能有响应输出的，这称为因果条件。

5-2 理想低通滤波器、系统的物理可实现性

信号与系统—signals and systems
§5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性
一、理想低通滤波器 1．理想低通滤波器的频率特性 ① 理想模型信号：冲激函数、阶跃函数系统：理想低通、高通、带通、带阻滤波器 ② 理想低通滤波器：矩形幅度、线性相位
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems

哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
例2．已知 h(t )
d sin(c t ) [ ] ，求 H ( j) dt t
sin(ct ) u ( c ) u( c ) 解： ct c
sin(c t ) u ( c ) u ( c ) t
H ( j )
1 c c H ( j ) 0 c
c
c
是否满足无失真条件？
( )
( ) t0
e jt0 c c H ( j ) other 0
t0
作用：使频率低于c的分量无失真的通过，高于c的分量完全衰减为0；
3.理想低通滤波器的阶跃响应
u(t )
e ① H ( j ) 0
j t0
c c
H ( j )
g (t ) ?
c
E ( j ) ( )
1 j
1 G( j ) H ( j ) E ( j ) [ ( ) ] e jt0 j 1 c 1 jt0 jt 1 g (t ) F [G( j )] c [ ( ) j ]e e d 2 1 1 c cos (t t0 ) 1 c sin (t t0 ) d c c d 2 2 j 2

§5.4 理想低通滤波器

第 4 页
H ( j ) [u( 0 ) u( 0 )] e π Sa(c t ) [u( c ) u( c )] c ωc Sa(c t ) [u( c ) u( c )] π c j t Sac t t 0 [u( c ) u( c )]e
1
3 页
h( t ) H (j )
c
c

c sinc ( t t 0 ) c Sa c t t 0 π c t t 0 π
X
f ( t ) F (j )
f (t t0 ) F (j )e
j t 0
当 c 时， h(t ) ( t t 0 )
系统为全通网络，可以无失真传输。 2.理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统原因：从h(t)看，t < 0时已有值。
X
二．佩利－维纳准则
物理可实现的网络
第 7 页
时域特性 h( t ) h( t )u( t ) 因果条件频率特性
§5.4 理想低通滤波器
•理想低通的频率特性 •理想低通的冲激响应
第 1 页
X
一．理想低通的频率特性
1
第 2 页
H (j )
c O

c
H j H ( j ) e c 1 H j c 0
j ( )
c
c O
π
j t 0
0
h( t )
c
π
Sac t t 0
X
第
波形

5 页
(t )
(1)
t
1.失真； 2.物理不可实现的非因果统

理想低通滤波器

2
1 4
G(
20
)
1 G(
4
20 ) 2
H ( )
G0 ( j)H ( j) G( j) g(t) c O c X
频谱图示
G( )
A
g(t) cos0t
1 2
[G(
0 )
G(
ห้องสมุดไป่ตู้
0 )]
第 16
页
G1 () g(t) cos 0t
F cos0t
A
2
( )
( )
O m
0
O
0
0
O
0
g0 (t)
t
c O
c
ht
c
π
Sac
t
t0
t
X
第
说明：
7
页
1.理想滤波器的峰值输出比输入δ(t)延迟了t0
2.比较输入输出，可见严重失真；
h(t ) c
π
t 1信号频带无限宽，
而理想低通的通频带(系统频带)有限的 0 ~ c
t0 π
当经t过理想低通时，以上c 的频率成分都衰
c
减为0，所以失真。
3.ωC愈高,过零点愈密集,h(t)愈接近于原信号δ(t)
Si(x) x sin y dy 0y
正弦积分函数
X
波形
第
10
f (x) sin x
页
x
Si( y) y sin x dx
0x
g (t )
1 2
1 π
Sic (t
t0 )
X
说明:
第 11
页
1.响应比激励滞后t0
2.输出的前沿是倾斜的,而不是陡直的.阶跃响应上升时间t1与频带宽度ωc成反比. ωc越大, t1越小,波形越陡直,失真越小.

理想低通滤波器及其响应

dω =
ω0 k Sa[ω 0 (t − t0 )] π
由此可见，冲激响应 h(t ) 的波形是抽样函数。若取 k = 1 ，则其波形如图4－13所示。峰值 π 与截止频率 ω 0 成正比，波形的主瓣持续时间为
2π / ω 0 ，即与 ω 0 成反比。
ω0
由图4－13可知，对于理想低通滤波器，其冲激响应 h(t ) 的波形不同于激励信号 δ (t ) 的波形，而产生了严重失真。这是因为理想低通滤波器是通频带有限系统，而冲激信号 δ (t ) 的频带宽度是无限宽的，经过理想低通滤波器的加工，它必然对信号波形产生影响。凡是高于 ω 0 的频率分量都衰减为零。同时可以看到，冲激响应主峰出现的时刻 t0 比激励信号 δ (t ) 延迟了一段时间 t0 ，它正是低通滤波器相频特性的斜率。如果截止频
四、理想低通滤理想低通滤波器的矩形脉冲波器的矩形脉冲响应脉冲响应
对于图4－17(a)所示的矩形脉冲 f (t ) ，有
f (t ) = U (t ) − U (t − τ )
因此理想低通滤波器对此信号激励产生的响应可直接利用线性时不变性写为
y (t ) =
1
π
{Si[ω 0 (t − t0 )] − Si[ω 0 (t − t0 − τ )]} (4－29)
h(t ) = 0
2频域准则
t<0
H ( jω ) 物理可实现的必要条件是
∫
而且， H ( j 1+ω 2
−∞
dω < ∞
(4－30)
∫
∞
−∞
H ( jω ) dω < ∞ (4－31)
2
式(4－30)也叫做佩利维纳(Paley-Wiener)准则。不满足此准则的幅度函数，其对应系统的冲激响应将是非因果的。由式(4－30)可以看出， H ( jω ) 可以在某些离散点上为零，但不能在一有限频带内为零，这是因为在 H ( jω ) = 0 的频带内， ln H ( jω ) = ∞ 。

§5.4 理想低通滤波器解析

信号与系统
§5.4 理想低通滤波器
X
主要内容
理想低通的频率特性理想低通的冲激响应理想低通的阶跃响应
理想低通对矩形脉冲的响应重点
难点
理想低通的频率特性
理想低通的阶跃响应
X
一．理想低通的频率特性
H ( )
( )
C O
jt 0 1 e H 0
r (t )
1

Si C (t t 0 )
O r1 t

t
Si C ( t t 0 )
1 1 2
O
t0
t0
t0
2
t
X
讨论
1 时，才有如图示，近似矩形脉冲的响 1． t r 2 C 应。如果过窄或 C 过小，则响应波形上升与下降时间连一起完全失去了激励信号的脉冲形象。 2 2. 最小值到最大值的时间：t r
令x t t 0
X
正弦积分
sinx Si(y) = dx 0 x 1. 下限为0；
y
sin x 1 x

O
2
3 4
x
2. 奇偶性：奇函数。 3.最大值出现在 x ，最小值出现在 x 。
Si y

2
O
y

2
X
阶跃响应波形
u t
O
r t
X
二．理想低通的冲激响应
h( t ) H ( )
1 j t h( t ) F H ( ) H ( ) e d 2 1 c j t 0 j t 1 e e d 2 c
1
1 c 1 1 j ( t t 0 ) j t t 0 1 e d e 2 c 2 j t t 0 1 1 1 j C t t0 e e j C t t0 t t 0 2 j c sin c t t 0 c Sa c t t 0 c t t 0

5.4 理想低通滤波器

O r1 (t )
τ
t
∴r1(t ) =
1
π
{Si[ωC (t − t0 )]
− Si[ωC (t − t0 −τ )]}
1
1 2
O
t 0 t + τ t0 + τ 0 2
t
讨论
1 π <<τ 时，才有如图示，近似矩形脉冲的响 1． t r = 才有如图示， 2 ωC 过小，应。如果 τ 过窄或 ωC 过小，则响应波形上升与下降时
ωc t sin[ωc (τ -t0 )] g(t) = ∫ h(τ )dτ = ∫ dτ -∞ ω ( − t ) −∞ π c τ 0 1 令 x = ωc (τ −t0 ), 则 dτ = dx ωc 当τ = −∞时， = −∞, 当τ = t 时 x = ωc (t −t0 ) x ,
t
ωc ω (t-t ) sinx 1 g(t ) = ∫ dx x ωc π -∞
c 0
sinx 1 ωc (t −t0 ) sinx = ∫ dx dx + ∫ π -∞ x π 0 x 1
0
sinx 1 ωc (t −t0 ) sinx g(t) = ∫ dx + ∫ dx π -∞ x π 0 x 1 1 ωc (t −t0 ) sinx = + ∫ dx 1 Sinx/x 2 π 0 x y sin x ∫0 x dx = Si( y) 3π π 2π 4π 0 ---- 正弦积分 Si(y) 1
§ 5.4 理想低通滤波器
• 主要内容
•理想低通的频域特性和冲激响应理想低通的频域特性和冲激响应 •理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 •理想低通对矩形脉冲的响应理想低通对矩形脉冲的响应

理想低通滤波器

1 e h( t ) H j 0
0
第 6 页
c c
r ( t ) u( t ) h( t )
1 j t0 ( c c ) 所以 R π e j 1 c 1 j t0 j t 1 r ( t ) F R( ) π ( ) e e d 2π c j j t t 0 1 c 1 e c j t t 0 π e d d 2 c 2π c j 1 1 c t t0 sin x 1 2 c sin t t 0 dx d 2 π 0 x 2 2π 0
第
波形
t
14 页t Nhomakorabeacπ
h( t )
ht
c
π
Sa c t t 0
π
t0
t
由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同样的结果。
X
c
第
几点认识
1．比较输入输出，可见严重失真；
而理想低通的通频带(系统频带)有限的 0 ~ c
5 页
t 1信号频带无限宽，
§5.4 理想低通滤波器
•理想低通的频率特性 •理想低通的冲激响应 •理想低通的阶跃响应 •理想低通对矩形脉冲的响应
北京邮电大学电子工程学院 2003.1
一．理想低通的频率特性
H (j )
第 2 页

1
c
c O
jt 0 1 e H j 0
令x t t 0
X
第
正弦积分
sinx Si( y ) = dx 0 x 1. 下限为0；

§5.4 理想低通滤波器

1
2
ππ
c c
O
t0
t
tr
r t
1 2
1 π
Sic t
t0
第
几点认识
10
页
r t
1
最
大
值
位
置
：t0
π
c
1
2
ππ
c c
O
t0
tr
最
小
值
位
置
：t0
π
c
t
t
为
0
系
统
延
迟
时
间
1．上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，
B记是作t：将r t角r2 频πc率折B1合为频B率的2πc滤波fc器带宽（截止频率）。
2 2π 0
2 π0
x
令x t t0
正弦积分
y sinx
Si( y) = 0
dx x
1. 下限为0；
2. 奇偶性：奇函数。
3 . 最大值出现在 x π 最小值出现在 x π
第 8 页
sin x 1x
π 2π
3π 4π
O
x
Si y
π 2
O
y
π 2
第
阶跃响应波形
9
页
ut
O
t
r t
1
2．阶跃响应的上升时间tr 与网络的截止频率B（带宽）成反比 B tr 1 。
四．理想低通对矩形脉冲的响应
第 11
页
因为 e1(t) u(t) u(t )
e1 t
H (j )
1
c O
c
O
r1 t

理想低通滤波器

PART 01
滤波器基本概念与分类
滤波器定义及作用
滤波器定义
滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其他频率成分。利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。
滤波器作用
滤波器在通信系统、测量仪器以及各种电子设备中具有广泛的应用。其主要作用是让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的衰减。
理想滤波器的频率特性（转移函数），它在通带内与理想滤波器的单位冲激响应的频率特性完全一致，在阻带内与零响应的频率特性完全一致。
从理论上讲，理想滤波器可以用无限长的冲激响应序列来实现，但是，在实际应用中我们不可能做到这一点，因为实现无限长冲激响应滤波器的物理器件是不存在的。
PART 02
理想低通滤波器原理与特性
PART 05
理想低通滤波器性能评估指标
通带波纹和阻带衰减评估
通带波纹
理想低通滤波器在通带内的幅度响应应该是平坦的，即没有波纹。但在实际设计中，由于各种因素的影响，通带内往往会有一定的波纹。波纹的大小可以用波纹系数来衡量，波纹系数越小，通带内的幅度响应越平坦。
阻带衰减
理想低通滤波器在阻带内的幅度响应应该为零，即完全衰减。但实际设计中，阻带内的幅度响应往往不能完全为零，而是有一定的衰减量。阻带衰减的大小可以用衰减系数来衡量，衰减系数越大，阻带内的幅度响应越小。
声等。
音频平滑
通过对音频信号进行低通滤波，可以平滑音频的波形，降低音频的尖锐度，使得音频更加自然、悦耳。
语音处理
在语音处理中，理想低通滤波器可以用于提取语音信号中的低频成分，如基频、共振峰等，从而进行语音分析和识别。
通信系统中应用
信道均衡

《理想低通滤波器》课件

性能测试
01
测试信号
为了评估理想低通滤波器的性能，需要使用具有不同频率和幅度的测试
信号。
02 03
测试方法
测试方法包括频域测试和时域测试，频域测试主要通过分析滤波器的频率响应来评估性能，时域测试主要通过分析滤波器对输入信号的响应来评估性能。
测试设备
测试设备包括信号发生器、示波器、频谱分析仪等，用于产生和测量测试信号。
声。
控制系统
03
在控制系统中，理想低通滤波器可用于抑制高频干扰，提高系
统稳定性。
理想低通滤波器的重要性
理论分析
理想低通滤波器是信号处理领域中的基本概念，对于理解信号处理原理和算法具有重要处理、通信、控制系统等。
研究价值
理想低通滤波器在信号处理领域中具有重要的研究价值，对于推动信号处理技术的发展具有重要意义。
理想低通滤波器的设计
设计方法
频域设计法
在频域内设计滤波器的频率响应，以满足低通滤波器的要求。
时域设计法
在时域内设计滤波器的冲激响应，以满足低通滤波器的要求。
等效法
将非理想低通滤波器等效为理想低通滤波器，以简化设计过程。
设计步骤
确定滤波器性能参数
根据应用需求，确定滤波器的截止频率、通带波动、阻带衰减等性能参数。
理想低通滤波器的冲激响应为 h(t) = (π*a*b) / 2 * e^(-a*t) * sin(b*t) / t。
02
该冲激响应在 t = 0 时值为无穷大，随着时间的推移逐渐衰减。
03
由于冲激响应的衰减速度较快，因此理想低通滤波器对信号的延迟较小，适用于需要快速响应的信号处理系统。
03

理想滤波器传递函数推导

理想滤波器传递函数推导【摘要】理想滤波器是信号处理中常用的一种滤波器，通过频域的方式对信号进行处理。

本文将通过推导的方式介绍理想滤波器的传递函数。

我们会分别推导理想低通、高通、带通和带阻滤波器的传递函数，以展示不同类型滤波器的频率特性。

通过这些推导，读者将能够更好地理解不同类型滤波器在频域上的表现。

在结论中将对理想滤波器传递函数进行总结，强调其在信号处理中的重要性和应用价值。

通过本文的阐述，读者将能够更全面地理解理想滤波器传递函数的推导过程和作用。

【关键词】理想滤波器、传递函数、推导、低通、高通、带通、带阻、引言、结论1. 引言1.1 理想滤波器传递函数推导理想滤波器是一种理论上的滤波器，能够完美地通过某些频率的信号，同时完全阻断其他频率的信号。

通过推导理想滤波器的传递函数，我们可以更好地理解其工作原理以及性能特点。

传统上，滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。

对于理想滤波器，其传递函数的推导也分别对应着这四种类型的滤波器。

在推导理想滤波器传递函数时，我们首先要给出该滤波器的频率响应特性。

对于理想低通滤波器，频率响应在截止频率之前完全透过信号，在截止频率之后完全阻断信号。

这种频率响应可以用数学表示进行推导。

通过推导理想滤波器的传递函数，我们可以深入理解滤波器的工作原理，为实际滤波器设计提供参考，并通过理论分析优化滤波器性能。

理想滤波器传递函数的推导是滤波器理论研究中的重要一步，为滤波器设计与应用提供了重要基础。

2. 正文2.1 理想低通滤波器传递函数推导理想低通滤波器是一种在频域上将低频信号通过，高频信号截断的滤波器。

其传递函数推导过程如下：设理想低通滤波器的频率响应为H(f)，滤波器的输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，则有：\[ H(f) =\begin{cases}1, & \text{if } |f| \leq f_c\\0, & \text{otherwise}\end{cases}\]\(f_c\)为滤波器的截止频率。

§4.4 理想低通滤波器

t0
t0
]
d(c
)
令ωc(τ-t0)=x，则
g(t ) 1 c tt0 sin x dx
π
x
0 sin x dx sin x dx π
x
0x
2
其中
g(t ) 1 1 c tt0 sin x d x
2 0
x
max g(t)
g(t ) tt0 c
1 2
1 Si(π) π
1 2
1 1.8514＝1.0895 π
X
rHH(t(())1)E sin h(t1)tej1td th(t) 三、理想低通滤波器单位阶跃响应
ut
1
O
g(t)
1
1
2
c
c
t
O
t0
t
tr
• 理想低通滤波器阶跃响应的波形不是一条水平直线，而是出现了振荡
• 波形不是垂直上升，而是需要一段时间
• 定义最小值到最大值所经历的时间tr为理想低通滤波器的上升时间
π
1 t t0
1 2j
e jC tt0
e jC t t0
X
rHH(t(())1)E sin h(t1)tej1td th(t) 二、理想低通滤波器的频率响应
理想低通滤波器的单位冲激响应
H () 1
c O
c
t
1
()
c
c
O
t0
h(t )
c
O
t
O
t0
c
t
X
rHH(t(())1)E sin h(t1)tej1td th(t) 二、理想低通滤波器的频率响应
X
rH(t()) E sin h(t1)tej1td th(t) 一、滤波器及其分类

5-2理想低通滤波器、系统的物理可实现性

H ( j )
1 c c H ( j ) 0 c
c
c
是否满足无失真条件？
( )
( ) t0
e jt0 c c H ( j ) other 0
t0
作用：使频率低于c的分量无失真的通过，高于c的分量完全衰减为0；
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
二、系统的物理可实现性、佩利—维纳准则 1．理想低通滤波器物理不可实现，但可设计出接近理想低通的电路例3. 已知 R +
L ，求H ( j ) C
L
C
+
v1 (t )

R
v2 (t )

哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
sin(ct ) u ( c ) u( c ) 解： ct c
sin(c t ) u ( c ) u ( c ) t
h(t ) j u( c ) u( c ) H ( j) u( c ) u( c )
2．因果系统 H ( j )的实部 R ( ) 和虚部 X ( ) 的关系 h(t ) h(t )u(t ) 1 F[h(t )] {F[h(t )] F[u(t )] 2 H ( j ) R() jX () 1 1 R( ) jX ( ) {[ R( ) jX ( )] [ ( ) ]} 2 j 1 1 j 1 [ R( ) ( ) X ( ) ] [ X ( ) ( ) R( ) ] 2 2 R( ) 1 X ( ) X ( ) 1 R( ) d j[ d] 2 2 2 2

§5.4 理想低通滤波器

h t h1 t t 0
c

C
π
Sa C t t0
BUPT 尹霄丽
波形
t
1
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ht
c
π
c
π
Sa c t t 0
t
h( t )
•信号经过系统高频成份被滤除，故波形展宽，失真严重； •t<0, h(t)≠0, 非因果系统
u c u c
BUPT 尹霄丽
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1 c 1 j t 0 j t r (t ) π ( ) e e d 2 π c j j t t 0 1 c 1 c e j t t 0 π e d d c 2 2π c j t t0 jsin t t0 1 1 c cos d 2 2 π c j 1 2 c sin t t 0 d 0 2 2π 令x t t 0 1 2 sin t t0 1 1 t t sin x r t d t t0 dx 2 2π 0 t t0 2 π 0 x
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BUPT 尹霄丽
例题
将信号x t ( t ) ( t 1)加入理想低通滤波器，请画出响应信号的波形。
解：
c O
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H (j )
1
c
y t h( t ) h( t 1)
c ht Sa c t π
1
1 2
O

t
O
t0

计算理想低通滤波器的

3-2-1 计算理想低通滤波1 计算理想低通滤波器的)(n h a 函数ideal_lp 设所要求的理想数字滤波器的频率响应为)(e H jwd ，h d（n ）是与其对应的单位脉冲响应，因此dw n ee H h jwnjw d d⎰-=πππ)(21)(由于)(e H jwd 是矩形频率特性，故h d（n ）一定是无限长的非因果序列。

而所要设计的是FIR 数字滤波器，其单位脉冲响应h （n ）必然是有限长的，所以要用有限的h （n ）来逼近无限长的h d （n ），最有效的方法是截断h d （n ），即用有限长的窗函数来截取h d （n ），表示为： h （n ）＝h d （n ）w （n ）这种设计方法称为窗函数设计法。

数字低通滤波器的窗函数设计理想低通数字滤波器的频率响应)(e H jwd 为：⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤⋅=-w w e e H cc jwajw d w w ||0||1)(π，，式中w c——截至频率，rad ；a ——采样延迟。

则理想数字低通滤波器的单位脉冲响应h d （n ）为[])()(sin 121)(21)(a n a n dw w w dwn w e e ee H h c jwnjwa jwnjw d d c c --=⋅-⋅==⎰⎰--πππππh d （n ）为无限长非因果序列，关于a 偶对称。

为了从h d （n ）得到一个FIR 数字滤波器，必须同时在两边截取h d （n ），要得到一个因果的线性相位FIR 滤波器，它的h （n ）的长度为N ，必须有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=，其它－，01N n 0)()(n n h h d a ＝21-N这种截取可看作是 h （n ）＝h d （n ）w （n ）其中 ⎩⎨⎧≤≤=，其它－，01N n 01)(n w 矩形窗h （n ）为关于a 偶对称的有限长因果序列，N 为奇数时是1型，N 为偶数时是2型。

在MATLAB 中利用ideal_lp 函数，计算理性低通滤波器的单位脉冲响应h d （n ）。