2020年山东省泰安市肥城市一模数学试题

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2020年山东省泰安市肥城市新高考数学模拟试卷(3月份)

2020年山东省泰安市肥城市新高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题1．（5分）已知集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =<<，则(A B =U ) A ．(1,2)-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)2．（5分）若集合{1P =，2，3，4}，{|05Q x x =<<，}x R ∈，则“x P ∈”是“x Q ∈”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知(a x =r ，4-，2)，(3b =r ，y ，5)-，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为()A ．[2，)+∞B ．[3，)+∞C ．[4，)+∞D ．[5，)+∞4．（5分）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =．则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．（5分）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）函数2log y x x =( )A．B．C．D．7．（5分）已知函数31(0)()2(0)xaxf xx x-⎧+=⎨+>⎩…，若((1))18f f-=，那么实数a的值是()A．0B．1C．2D．38．（5分）2018年辽宁省正式实施高考改革．新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课．这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想．考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习．某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的()A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史二、多选题9．（5分）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则()(f x )A ．是偶函数B ．在(0,)2π单调递减C ．最大值为2D ．其图象关于直线2x π=对称10．（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80%0.48%-3.82%0.86%则下列判断中正确的是( )A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 11．（5分）在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当//BD 平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．::AE EB AH HD =，且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形12．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABC DC ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C - 三、填空题13．（5分）1arcsin()arccos(arctan(2-++= ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1l ．再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是． 15．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为．16．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且(0)0f =，当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =．已知方程1()sin 22f x x e π=在区间[e -，3]e 上所有的实数根之和为3ea ，将函数2()3sin 14g x x π=+的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则h （7）= ．四、解答题17．（10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小．18．（12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最小值及取最小值时的x 的集合．19．（12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21．（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：月收入（单位百元） [15，25) [25，35)[35，45) [45，55) [55，65) [65，75)频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面22⨯列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若采用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15，25)的概率．参考公式：22()()()()()n ad bd K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：22．（12分）已知函数22()()x f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据： 2.236)e ≈≈2020年山东省泰安市肥城市新高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）已知集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =<<，则(A B =U ) A ．(1,2)-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【解答】解：集合{|11}(1,1)A x x =-<<=-，{|02}(0,2)B x x =<<=，则(1,2)A B =-U ，故选：A ．2．（5分）若集合{1P =，2，3，4}，{|05Q x x =<<，}x R ∈，则“x P ∈”是“x Q ∈”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 集合{1P =，2，3，4}，{|05Q x x =<<，}x R ∈，∴ “x P ∈” ⇒ “x Q ∈”，即充分性成立，反之，则不成立．例：0.1Q ∈，但0.1P ∉，即必要性不成立．故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分非必要条件．故选：A ．3．（5分）已知(a x =r ，4-，2)，(3b =r ，y ，5)-，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为()A ．[2，)+∞B ．[3，)+∞C ．[4，)+∞D ．[5，)+∞【解答】解：Q a b ⊥r r ，∴34100a b x y =--=rr g，原点到直线的距离2d ==．则22x y +的取值范围为[4，)+∞．故选：C ．4．（5分）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =．则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【解答】解：23a =，可得(1,2)a ∈， 2log 52b =>，由32c =．可得(0,1)c ∈．c a b ∴<<．故选：A ．5．（5分）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--可知， ①当01a <<时，此时10a -<，对数函数log a y x =为减函数，而二次函数2(1)y a x x =--开口向下，且其对称轴为102(1)x a =<-，故排除C 与D ；②当1a >时，此时10a ->，对数函数log a y x =为增函数，而二次函数2(1)y a x x =--开口向上，且其对称轴为102(1)x a =>-，故B 错误，而A 符合题意．故选：A ．6．（5分）函数2log y x x =( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当4x =时，2log 44220y =-=，当16x =时，2log 1616440y =-=-=，即函数有两个零点，排除B ，C ，D 故选：A ．7．（5分）已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+=⎨+>⎩„，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：Q 函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+=⎨+>⎩„，((1))18f f -=，(1)314f ∴-=+=，((1))f f f -=（4）4218a =+=，解得2a =．故选：C ．8．（5分）2018年辽宁省正式实施高考改革．新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课．这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想．考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习．某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( )A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史【解答】解：由等高堆积条形图知：在A 中，由等高堆积条形图2知，样本中的女生数量多于男生数量，故A 正确；在B 中，由等高堆积条形图1知，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，故B 正确；在C 中，由等高堆积条形图2知，样本中的男生偏爱物理，故C 正确；在D 中，由等高堆积条形图2知，样本中的女生偏爱物理，故D 错误．故选：D ．二、多选题9．（5分）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则()(f x )A ．是偶函数B ．在(0,)2π单调递减C ．最大值为2D ．其图象关于直线2x π=对称【解答】解：Q 函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++2)]44x ππ=++2)2x π=+2x =，()2f x x ∴=，()f x ∴C 不符合题意．()2)2()f x x x f x -=-==Q ，()y f x ∴=为偶函数，其对称轴方程是：()2k x k Z π=∈，所以A ，D 选项符合题意；2y x =的单调递减区间为222()k x k k Z πππ+∈剟，即()2k xk Z ππ∈剟，函数()y f x =在(0,)2π单调递减，所以B 选项符合题意．故选：ABD ．10．（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是( )A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【解答】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48-，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．故选：ACD ．11．（5分）在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当//BD 平面EFGH 时，下面结论正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．::AE EB AH HD =，且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形【解答】解：Q 在三棱锥ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，//BD 平面EFGH ，//BD EH ∴，//BD FG ，E ，F ，G ，H 未必是各边的中点，故A ，B 错误； ::AE EB AH HD ∴=且::BF FC DG GC =．四边形EFGH 是平行四边形或梯形；故选：CD ．12．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -3【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于选项A ：直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确．对于选项B ：点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即h =，故选项B 正确．对于选项C ：两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误．对于选项D ：三棱柱1111AA D BB C -外接球半径2r ==，故选项D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．（5分）1arcsin()arccos(arctan(2-++= 3π．【解答】解：11arcsin()arccos(arctan(arcsin()22π-++=-+--()6633πππππ=-+--=，故答案为：3π． 14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1l ．再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是6810x y -+= ．【解答】解：设直线l 的方程为：y kx b =+，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1:(3)5l y k x b =-++，化为53y kx b k =++-，再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，(31)52y k x b =--++-，化为34y kx k b =+-+．又与直线l 重合．34b k b ∴=-+，解得34k =． ∴直线l 的方程为：34y x b =+，直线1l 为：31144y x b =++，设直线l 上的一点3(,)4m P m b +，则点P 关于点(2,3)的对称点3(4,6)4P m b m '---，33116(4)444b m m b ∴--=-++，解得18b =．∴直线l 的方程是3148y x =+，化为：6810x y -+=．故答案为：6810x y -+=．15．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为 8π ．【解答】解：由题意如图所示：设P 为底面正方形11BCC B 的中心，即是底面外接圆的圆心可得外接圆的半径2r PC ==，1PE =，取E 为11B C 的中点，连接ME ，由题意可得ME ⊥面1BC ，且可得11112ME A B ==，过P 作PO ⊥面1BC 可得//PO ME ，取OC OP R ==，则O 为外接球的球心，作//ON PE 交ME 于N ，可得四边形PONE 为矩形，在三角形OPC 中222222OP OC PC R NE =-=-=，在三角形MON 中22221MN OM ON R =-=-，因为ME MN NE =+，所以22112R R =-+-，解得2R =，所以外接球的表面积248S R ππ==，故答案为：8π．16．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且(0)0f =，当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =．已知方程1()sin 22f x x e π=在区间[e -，3]e 上所有的实数根之和为3ea ，将函数2()3sin 14g x x π=+的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则h （7）= 52．【解答】解：因为()()f e x f e x +=-，所以()f x 关于x e =对称，又因为偶函数()f x ，所以()f x 的周期为2e ．当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =，另外(0)0f =，所以(2)0f e =，于是可作出函数()f x 在[e -，3]e 上的图象如图所示，方程1()sin 22f x x e π=的实数根可以看作函数()y f x =与函数1sin 22y x eπ=的交点的横坐标，由图象的对称性可知，两个函数在[e -，3]e 上有6个交点，且6个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =，因为235()3sin 1cos 4222g x x x ππ=+=-+，所以3535()cos (2)cos 222222h x x x ππ=--+=+，故3755(7)cos 2222h π=+=．故答案为：52．四、解答题17．（10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小．【解答】解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，解得18a =，2d =-．{}n a ∴的通项公式为102n a n =-，*n N ∈．（2）由（1），得22(1)9818(2)9()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+． *n N ∈Q ，∴当4n =或5n =时，n S 有最大值为20．18．（12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最小值及取最小值时的x 的集合．【解答】解：4422()cos 2sin cos sin cos sin sin 2cos2sin 22cos(2)4f x x x x x x x x x x x π=--=--=-=+，（1）令22224k x k πππππ+++剟，解可得，3788k x k ππππ++剟，k Z ∈，故函数的单调递增区间37[,]88k k ππππ++，k Z ∈，（2）Q 1[0,]2x π∈，∴52[,]444x πππ+∈，∴当24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值2-． 19．（12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积．【解答】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．90ACD BAC ∴∠=∠=︒，AB AC ∴⊥，Q 几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AB AA ∴⊥，1AC AA A =Q I ，AB ∴⊥平面11ACC A ．（2）解：连结1A C ，AB ⊥Q 平面11ACC A ，//CD AB ，CD ∴⊥平面11CC A ，∴四棱锥111C A B CD -的体积：11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C C ABC CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯V V 111122323232233232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 8=．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点22．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意知：22c =，221112a b+=，222a b c =+，解得：22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2212x y +=；（2）假设存在这样的直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，由（1）得(0,1)B ，(1,0)F ，1BF k ∴=-，由题意可得l BF ⊥，NF BM ⊥，设直线l 的方程为：y x m =+，(,)M x y ，(,)N x y ''，联立直线与椭圆的方程整理得：2234220x mx m ++-=，∴△221643(22)0m m =-⨯⨯->，可得23m <，即33m -<<，且43mx x '+=-，2223m xx -'=，2()yy xx m x x m '''=+++Q (1FN BM x '=-u u u r u u u u rg ，)(y x '，2222224341)()2(1)()2(1)333m m m m y xx x yy y xx yy x x m xx m x x m m m m m -+-''''''''-=-+-=+--+=+-++-=--+-=g g ，因为NF BM ⊥，所以0NF BM =u u u r u u u u rg ，所以2340m m +-=，解得：1m =或43m =-，当1m =过了B 点，所以舍去所以存在直线4:3l y x =-符合F 为BMN ∆的垂心．21．（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：月收入（单位百元） [15，25) [25，35)[35，45) [45，55) [55，65) [65，75)频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面22⨯列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计赞成不赞成（Ⅱ）若采用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15，25)的概率．参考公式：22()()()()()n ad bd K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（Ⅰ）由题意填22⨯列联表如下，由表中数据，计算250(297311) 6.27 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；（Ⅱ）用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中随机抽取6人，则月收入在[15，25)内有562510⨯=+（人)记为A 、B ，在[25，35)有624-=（人)，记为c 、d 、e 、f ；从这6人中抽取3人，基本事件是ABc 、ABd 、ABe 、ABf 、Acd 、Ace 、Acf 、Ade 、Adf 、Aef 、Bcd 、Bce 、Bcf 、Bde 、Bdf 、Bef 、cde 、cdf 、cef 、def 共20种，这3人中至少收入在[15，25)的事件是ABc 、ABd 、ABe 、ABf 、Acd 、Ace 、Acf 、Ade 、Adf 、Aef 、Bcd 、Bce 、Bcf 、Bde 、Bdf 、Bef 共16种，故所求的概率值为164205P ==． 22．（12分）已知函数22()()x f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据： 2.236)e ≈≈ 【解答】解：（1）函数22()()x f x e ax x a =++，由题意得22()[(21)1]x f x e ax a x a '=++++，因为函数22()()x f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值．依题意知(1)0f '-=，解得0a =或1a =，当0a =时，()(1)x f x e x '=+，若1x <-，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；若1x >-，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意，当1a =时，()(1)(2)x f x e x x '=++，若2x <-成1x >-，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，若21x -<<-，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意，综上，实数0a =或1a =；（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =，函数()()2g x f x x m =--，所以2()(1)2x g x e x x x m =++--， ()(1)(2)2x g x e x x '=++-，当0x >时，()0g x '>，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，令()(1)(2)2x h x e x x =++-，则2()(55)x h x e x x '=++，所以当x <或x >()0h x '>，()h x 单调递增，x <<()0h x '<，()h x 单调递减，第21页（共21页）因为(0)0h =，3.618336( 3.618)( 2.618)( 1.618)232220h h e e e --≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-=-<，所以当0x <时，()0g x '<，故()g x 在(,0)-∞上单调递减，因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m >，取02m x =-<， 222222(1)3()(1)2()(1)02422424m m m m m m m m m m g e m e e ----+-=-+-⨯--=-+=⨯>，取1x m =>，2222()(1)31321(1)0m g m e m m m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞；。

山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径．即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<；综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x '=，故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.5．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②．由①②可得ω的最大值为1．当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，故11ω=为ω的最大值，故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 7．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确；取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误；故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.11．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3【答案】B 【解析】【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上，所以1a b +=，解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．104．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．18．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为______．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是______．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为______．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，则（∁U A）∪B={3，4，5}．故选：C．2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=2t+i，z2=1﹣2i，∴=，又为实数，∴4t+1=0，即t=﹣．故选：D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B．5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．7．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．8．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据标准差的含义，可判断①；根据几何概型概率计算公式，可判断②；根据直线与圆的位置关系，可判断③【解答】解：①若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为=≠，故为假命题；③（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B．9．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故选：A．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：①a n=（﹣1）n，则a3+a5≥2a4不成立，故①错误，②∵a32+a52≥2|a3a5|=2a42；故；故②正确，③若a n=（﹣1）n，则a3=a5=﹣1，但a1=﹣1，a2=1，a1=a2；不成立，故③错误，④若a5＞a3，则q2a3＞a3，∵q2＞0，∴q2a5＞q2a3，即a7＞a5成立，故④正确，故正确的是②④，故答案为：②④．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD．【解答】解：，==﹣+．∴=（）•（﹣）=﹣++=1．∵=，=AD2，．∴AD2+﹣=1，解得AD=1．故答案为：1．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t＞﹣．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求解导数f′（x）=﹣6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数．【解答】解：∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，∴x=0，x=（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0∴存在唯一的零点，是正数．（2）当t＞0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x∴f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）单调递减在（0，）单调递增∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，∴存在唯一的零点，（3）当t＜0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜，x＞0∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减在（，0）单调递增∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，∵只需极小值f（）＞0即可，+1＞0，且t＜0∴﹣＜t＜0，综上：﹣＜t＜0，或t≥0故答案为：t＞﹣．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据，•=12解出a，使用余弦定理解出c．【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣+1=sin（2x+）+．令≤2x+≤，解得≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间是[，]，k∈Z．（2）∵f（C）=sin（2C+）+=，∴sin（2C+）=1，∴C=．∵•=abcosA=2a=12，∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，其中不含有编号2的基本事件有，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a n=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n=q n﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有a n=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=（n﹣1）•3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n﹣1﹣1）•3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=（n﹣1）•3n﹣（n﹣2）•3n﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1，∴b n=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式是b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，n≥2时，c n﹣1=，c n﹣c n﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，c n≥c n﹣1；n=7，…时，c n＜c n﹣1．即有n=5或6时，c n取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB．（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，∵M是CE中点，∴MQ∥AC，∵PB=4PN，AB=4AQ，∴QN∥AP，又∵AP∩PC=P，AP⊂平面APC，PC⊂平面APC，QN∩QM=Q，QN⊂平面MNQ，QM⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAC，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P．利用斜率计算公式可得k CP，可得直线CP的方程，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得D．可得直线DE 的斜率，化简整理即可证明．【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得a2=16，b2=4，∴椭圆C： +=1．证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2），直线BC的方程为：=1，化为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，∴4x P=，解得x P=，∴y P=k（x P﹣4）=，故P．k CP==，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，∴D．直线DE的斜率为k1===，∴．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=+=+，F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故F（x）max=+；证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+＜1，∴F（x）＜h（x），即+＜x﹣f（x）；解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2020年9月19日。

2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题(解析版)

2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【答案】A【解析】根据并集的概念直接计算即可得解. 【详解】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合并集的运算，属于基础题.2．若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也非不必要条件【答案】A【解析】根据题意，对充分性和必要性进行讨论，即可判断和选择. 【详解】由题可知，若x P ∈，则一定有x Q ∈，故充分性满足；但是若x Q ∈，则不一定有x Q ∈，故必要性不满足. 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.3．已知(),4,2a x =-r ，()3,,5b y =-r ，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为（）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【答案】C【解析】根据向量的坐标与垂直关系,可得,x y 的等量关系.由22xy +可知其意义为(),x y 到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.(),4,2a x =-r,()3,,5b y =-r ,且a b ⊥r r由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=rr22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为()2210234d -==+-因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C 【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.4．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】Q 23a =，12232<<，∴12a <<， Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 5．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．函数2log y x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择. 【详解】当4x =时2log 0y x x ==，所以舍去D; 当16x =时2log 0y x x ==，所以舍去BC ；故选：A 【点睛】本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.7．已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C. 【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 8．2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史【解析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论. 【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D. 【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.二、多选题9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可. 【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确.故选：ABD 【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题． 11．在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形【解析】根据线面平行的性质定理即可得解. 【详解】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形. 故选：CD . 【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为32【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为B C ⊥面ABC D ，点C 到面ABC D 的距离为B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误；对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故2r ==，故选项D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．三、填空题13．(1arcsin arccos arctan 2⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭______. 【答案】3π 【解析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值. 【详解】(1arcsin arccos arctan 22⎛⎛⎫-+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1arcsin arccos arctan 22π⎛⎛⎫=-+-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭663ππππ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3π=.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________. 【答案】6x －8y ＋1＝0【解析】根据平移得到l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b 和直线：y ＝kx ＋3－4k ＋b ，解得k ＝34，再根据对称解得b ＝18，计算得到答案. 【详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2 即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫---⎪⎝⎭， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝0 【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.15．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________．【答案】8π【解析】先根据对称性确定四棱锥11M B C CB -的外接球球心位置，再求球半径，最后代入球表面积公式即可. 【详解】111,1ON MN ON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====Q ,即O 为四棱锥11M B C CB -，球表面积为24π8π=.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.【答案】104【解析】根据题意可知函数f （x ）是一个周期为2e 的偶函数，即可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得a 的值，再利用二倍角公式化简函数()g x ，然后根据平移法则即可求得()h x ，从而求得()7h ．【详解】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ），所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示，方程1()22f x sin x eπ=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sinx e π=的交点的横坐标，由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=，因为235()314222g x sinx cos x ππ=+=-+，所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+，故32510(7)2324h sin π=+=.故答案为：10.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．四、解答题17．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18．已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.【答案】（1）()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈，解此不等式即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出24x π-的取值范围，结合正弦函数的基本性质得出函数()y f x =的最小值，并求出对应的x 的值.【详解】（1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-Q22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈，得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值2-. 因此，函数()y f x =的最小值为2-，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解，一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】（1）推导出AB AC ⊥,1AB AA ⊥,由此能证明AB ⊥平面11ACC A ;（2）连结1A C ,则CD ⊥平面11CC A ,四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+,由此能求出结果. 【详解】（1）证明:Q 四边形ABCD 为平行四边形,2AD CD =,60ADC ∠=︒.90ACD BAC ∠∠∴==︒,AB AC ∴⊥,Q 几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ∴⊥,1AC AA A Q ⋂=,AB ∴⊥平面11ACC A .（2）连结1A C ,AB ⊥Q 平面11ACC A ,//CD AB ,CD \^平面11CC A ,∴四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C C ABC CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯V V 111122323232233232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯8=.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，且过点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中,,a b c 的关系和已知，可以求出椭圆方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线l 的方程. 【详解】解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥，设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了垂心的概念，考查了数学运算能力.21．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.参考公式:K 2()()()()2()n ad bd a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d . 参考数据:【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)45【解析】(Ⅰ)由题意填表，计算K 2，对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.【详解】(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,由表中数据,计算K 2()25029731140103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异; (Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有65510⨯=+2(人)记为A ､B ,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c ､d ､e ､f ; 从这6人中抽取3人,基本事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef ､cde ､cdf ､cef ､def 共20种,这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef 共16种, 故所求的概率值为P 164205==. 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表与独立性检验问题，古典概型的概率问题，属于中档题. 22．已知函数()22()xf x e axx a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈ 2.236≈）【答案】（1）0a =或1a =（2）(1,)+∞【解析】（1）根据极值的定义，求出0a =或1a =，再对a 的两种取值分别进行验证；（2）由第（1）问先确定1a =，得到()2()12xg x exx x m =+--+，利用导数研究函数()g x 的单调性，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，再结合零点存在定理的条件，得到参数m 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意得22()(21)1x f x e ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦.因为函数()22()xf x eaxx a =++在1x =-处取得极小值，依题意知'(1)0f -=，解得0a =或1a =.当0a =时，'()(1)x f x e x =+，若1x <-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，若1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增，所以，当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意.当1a =时，'()(1)(2)xf x e x x =++，若2x <-或1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增；若21x -<<-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意，综上，实数0a =或1a =.（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =. 所以()2()12xg x exx x m =+--+，()(1)(2)2x g x e x x '=++-.当0x >时，'()0g x >，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，令()(1)(2)2xh x e x x =++-，则()2()55xh x exx '=++，所以当52x --<或52x -+>时，()0h x '>，()h x 单调递增，当5522x --<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(0)0h =，3.6183356( 3.618)( 2.618)( 1.618)2e 3222e h h e --⎛⎫+-≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭20-<，所以当0x <时，'0g x <（），故()g x 在(,0)-∞上单调递减. 因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m >. 取02mx =-<，22222224(1)312e e 0242244m m m m m m m m m m g e m ---⎛⎫-+-+⎛⎫⎛⎫-=-+-⨯--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；取1x m =>，()2222()e 131321(1)0m g m m m m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及零点存在定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要做中脑中有图，充分利用数形结合思想分析和解决问题，同时注意分类讨论思想的运用.。

2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题(解析版)

山东省肥城2020届高三新高考数学模拟试题一、单选题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（） A. （﹣1，2） B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （1，2）【答案】A 【解析】【分析】根据并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-. 故选：A.【点睛】本题考查了集合并集的运算，属于基础题.2.若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也非不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，对充分性和必要性进行讨论，即可判断和选择. 【详解】由题可知，若x P ∈，则一定有x Q ∈，故充分性满足；但是若x Q ∈，则不一定有x Q ∈，故必要性不满足. 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.3.已知(),4,2a x =-r ，()3,,5b y =-r ，若a b ⊥r r ，则22x y+取值范围为（）A. [)2,+∞B. [)3,+∞C. [)4,+∞ D. [)5,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标与垂直关系,可得,x y 的等量关系.由22xy +可知其意义为(),x y 到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.【详解】(),4,2a x =-r,()3,,5b y =-r ,且a b ⊥r r由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=rr22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为()2210234d -==+-因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.4.若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（） A. c a b << B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】Q 23a =，12232<<，∴12a <<，Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 5.对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若01a <<，则log ay x =在(0,)+∞上单调递减，又由函数2(1)y a x x =--开口向下，其图象的对称轴12(1)x a =-在y 轴左侧，排除C ， D.若1a >，则log ay x =在(0,)+∞上是增函数，函数2(1)y a x x =--图象开口向上，且对称轴12(1)x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.函数2log y x x =-的图象大致是（）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择. 【详解】当4x =时2log 0y x x ==，所以舍去D; 当16x =时2log 0y x x ==，所以舍去BC ；故选：A【点睛】本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.7.已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（）A. 4B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =. 故选：C.【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 8.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱物理D. 样本中的女生偏爱历史【答案】D【解析】【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D.【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.二、多选题9.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A. 是偶函数B. 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. 最大值为2 D. 其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD 【解析】【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=因此当2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确. 故选：ABD【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．故选ACD ．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．11.在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A. ,,,E F G H 一定是各边的中点B. ,G H 一定是,CD DA 的中点C. ::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D. 四边形EFGH 是平行四边形或梯形【答案】CD 【解析】【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.【详解】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.故选：CD .【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A. 直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B. 点C 到面11ABC D 2C. 两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D. 三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误；对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22r ==，故选项D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．三、填空题13.(1arcsin arccos arctan 22⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】3π【解析】【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.【详解】(1arcsin arccos arctan 2⎛⎛⎫-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1arcsin arccos arctan 2π⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭⎝⎭663ππππ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3π=.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.14.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 方程是________________. 【答案】6x －8y ＋1＝0 【解析】【分析】根据平移得到l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b 和直线：y ＝kx ＋3－4k ＋b ，解得k ＝34，再根据对称解得b ＝18，计算得到答案.【详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2 即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝0【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.15.在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________．【答案】8π 【解析】【分析】先根据对称性确定四棱锥11M B C CB -的外接球球心位置，再求球半径，最后代入球表面积公式即可. 【详解】由题意得四边形11B C CB 为正方形，设其中心为O ，取11B C 中点N,则111,1ON MN ON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====Q ,即O 为四棱锥11M B C CB -的外接，球表面积为24π8π=.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x e π=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____. 【答案】33104+ 【解析】【分析】根据题意可知函数f （x ）是一个周期为2e 的偶函数，即可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得a 的值，再利用二倍角公式化简函数()g x ，然后根据平移法则即可求得()h x ，从而求得()7h ．【详解】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ），所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示，方程1()22f x sin x eπ=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sin x e π=的交点的横坐标，由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=，因为235()314222g x sin x cos x ππ=+=-+，所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+，故3253310(7)232h sin π+=+=. 故答案为：33104+.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．四、解答题17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18.已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.【答案】（1）()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（1）利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈，解此不等式即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出24x π-的取值范围，结合正弦函数的基本性质得出函数()y f x =的最小值，并求出对应的x 的值. 【详解】（1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-Q22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈，得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值.因此，函数()y f x =的最小值为，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解，一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.19.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）8 【解析】【分析】（1）推导出AB AC ⊥,1AB AA ⊥,由此能证明AB ⊥平面11ACC A ;（2）连结1A C ,则CD ⊥平面11CC A ,四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+,由此能求出结果. 【详解】（1）证明:Q 四边形ABCD 为平行四边形,2AD CD =,60ADC ∠=︒.90ACD BAC ∠∠∴==︒,AB AC ∴⊥,Q 几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ∴⊥,1AC AA A Q ⋂=,AB ∴⊥平面11ACC A .（2）连结1A C ,AB ⊥Q 平面11ACC A ,//CD AB ,CD \^平面11CC A ,∴四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C C ABC CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯V V1111223232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯8=.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】【分析】（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中,,a b c 的关系和已知，可以求出椭圆方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线l 的方程.【详解】解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥，设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了垂心的概念，考查了数学运算能力.21.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.参考公式:K 2()()()()2()n ad bd a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d . 参考数据:【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)45【解析】【分析】(Ⅰ)由题意填表，计算K 2，对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.【详解】(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,由表中数据,计算K 2()25029731140103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有65510⨯=+2(人)记为A ､B ,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c ､d ､e ､f ; 从这6人中抽取3人,基本事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef ､cde ､cdf ､cef ､def 共20种,这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef 共16种,故所求的概率值为P 164205==. 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表与独立性检验问题，古典概型的概率问题，属于中档题. 22.已知函数()22()xf x eaxx a =++1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈ 2.236≈）【答案】（1）0a =或1a =（2）(1,)+∞ 【解析】【分析】（1）根据极值的定义，求出0a =或1a =，再对a 的两种取值分别进行验证；（2）由第（1）问先确定1a =，得到()2()12xg x exx x m =+--+，利用导数研究函数()g x 的单调性，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，再结合零点存在定理的条件，得到参数m 的取值范围.【详解】解：（1）由题意得22()(21)1x f x e ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦.因为函数()22()xf x eaxx a =++在1x =-处取得极小值，依题意知'(1)0f -=，解得0a =或1a =.当0a =时，'()(1)xf x e x =+，若1x <-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，若1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增，所以，当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意.当1a =时，'()(1)(2)xf x e x x =++，若2x <-或1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增；若21x -<<-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意，综上，实数0a =或1a =.（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =. 所以()2()12xg x exx x m =+--+，()(1)(2)2x g x e x x '=++-.当0x >时，'()0g x >，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，令()(1)(2)2x h x e x x =++-，则()2()55xh x e xx '=++，所以当x <x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(0)0h =， 3.6183356( 3.618)( 2.618)( 1.618)2e 3222e h h e --⎛-≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-= ⎝⎭ 20-<，所以当0x <时，'0g x <（），故()g x 在(,0)-∞上单调递减. 因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m >.取02m x =-<，22222224(1)312e e 0242244m m m m m m m m m m g e m ---⎛⎫-+-+⎛⎫⎛⎫-=-+-⨯--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；取1x m =>，()2222()e131321(1)0mg m mm m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及零点存在定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要做中脑中有图，充分利用数形结合思想分析和解决问题，同时注意分类讨论思想的运用.。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1 (含答案解析)

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−4<x<3}，B={−5,−4,−3,−2}，则A∩B=()A. {−4,−3,−2}B. {−3,−2}C. {−4,−3}D. {−5,−4}2.设i是虚数单位，如果复数z=a−i2+i，其实部与虚部互为相反数，那么实数a=()A. −3B. 3C. −13D. 133.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x−y=()A. 3B. −3C. 4D. −44.过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为−√33，则|MF|=()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√35.如图是一个算法流程图，则输出的n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 66.设x,y满足约束条件{y−x≤0,x+2y≤4,x−2y≤2,则z=x−3y的最大值为()A. 4B. 32C. −83D. 27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的表面积为()A. 24+√3B. 24+2√3C. 14√3D. 12√3 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=2，a 4=16，则{a n }的前5项和S 5等于 ( )A. 30B. 31C. 62D. 649. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π3个长度单位 C. 向右平移π6个长度单位D. 向左平移π3个长度单位10. 已知函数则f(2019)=( )A. 45B. 23C. 12D. 1311. 3、已知，则等于( ) A.B.C.D.12. 若函数恰有三个极值点，则m 的取值范围是( )A. (−12,−13)B. (−12,0)C. (−1,−13)D. (−1,−12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn = ______ ． 14. 已知数列{a n }满足S n =2n 2+n −1，则通项a n = ______ ． 15. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为8，∠BAC =5π6，BC =3，则该直三棱柱的外接球的表面积为________．16. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+1．2(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA−asinB，且0<A<π，2求f(B)的取值范围．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，求证：(1)平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)AB1//平面C1BD．19.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数．(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点为F(1,0)．(1)求椭圆的方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=e x，x∈R．(Ⅰ)求函数f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若m>0，讨论函数g(x)=f(x)x2−m零点的个数．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −a|−|x +3|，a ∈R ．(1)当a =−1时，解不等式f(x)≤1；(2)不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．直接利用交集运算得答案．【解答】解：集合A={x|−4<x<3}，B={−5,−4,−3,−2}，则A∩B={−3,−2}，故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数a−i2+i ，又已知复数a−i2+i的实部与虚部互为相反数列等式求解即可得答案．【解答】解：a−i2+i =2a−1−(a+2)i5，又复数a−i2+i的实部与虚部互为相反数，则2a−15=a+25，解得a=3．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题目．根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【解答】解：根据茎叶图中的数据，由甲班6名同学成绩的平均数可得：72+77+81+80+x+86+90=82，6解得x=6，又乙班6名同学的中位数为=77，得y=2，由70+y+822∴x−y=6−2=4．故选C．4.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√3，可得DN=2√3，3则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得n=0执行循环体，n=1满足条件21≤16，执行循环体，n=2满足条件22≤16，执行循环体，n=3满足条件23≤16，执行循环体，n=4满足条件24≤16，执行循环体，n=5不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5．故选：C．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图，由图象可知当直线经过点A(−2,−2)时，此时z最大．此时z的最大值为z=−2+6=4，故选A.7.答案：B解析：【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确求出几何体的棱长是解题的关键，属于基础题．由三视图和题意求出三棱柱的棱长、判断出结构特征，由面积公式求出各个面的面积，加起来求出该棱柱的全面积．【解答】解：根据三视图和题意知，三棱柱的底面是正三角形：边长2，边上的高是√3，侧棱与底面垂直，侧棱长是4，×2×√3∴该棱柱的全面积S=3×2×4+2×12=24+2√3，故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查等比的通项公式以及前n项和公式，属于基础题．先运用等比的通项公式得到q=2，再运用求和公式计算，即可得到答案．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，则a4a1=q3=8，解得q=2．则此数列的前5项的和S5=a1(1−q5)1−q =2×(1−25)1−2=62，故选C．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据y= Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得A=1，根据T4=14⋅2πω=7π12−π3，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，求得φ=π3，∴f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，故把f(x)的图象向右平移π6个长度单位，可得g(x)=sin2x的图象，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数，函数的周期性，属于中档题．当x>0时，f(x)的周期为8，根据分段函数及周期性求解即可．【解答】解：函数当x>0时，因为f(x)=−1f(x−4)，则f(x+4)=−1f(x)，所以f(x+8)=−1f(x+4)=f(x)，所以当x>0时，f(x)的周期为8，则f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=−1f(−1)，又，则f(2019)=−1f(−1)=12．故选C．11.答案：B解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a+b．12.答案：A解析：【分析】本题考查导数与函数的极值之间的关系，属于中档题．利用导数研究函数的极值即可得出答案．【解答】解：由题意知，当x>0时，令f′(x)=0，可化为：，令，则，则函数g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，g(x)的图象如图所示：，故0<−2m<1即−12<m<0时，f(x)有2个不同的解，当x ≤0时，令f ′(x )=0，x =3m+12<0，解得：m <−13，综上，m 的取值范围为(−12,−13) ．故选A ．13.答案：−6解析：解：∵在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =3，n =−2．∴mn =−6．故答案为：−6．由已知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出mn 的值．本题考查向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意加法法则的合理运用． 14.答案：{2,n =14n −1,n ≥2解析：解：当n =1时，a 1=S 1=2+1−1=2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+n −1−[2(n −1)2+(n −1)−1]=4n −1．∴a n ={2,n =14n −1,n ≥2．故答案为：{2,n =14n −1,n ≥2．利用“当n =1时，a 1=S 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1”即可得出．本题考查了利用“当n =1时，a 1=S 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1”求数列通项公式，属于基础题．15.答案：100π解析：【分析】本题考查该三棱柱外接球的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．求出外接球的半径，即可求出该三棱柱外接球的表面积．【解答】解：三角形外接圆的半径为r ，，外接球的半径为R ， R =√32+(82)2=5.外接球的表面积为．故答案为100π.16.答案：√62解析：【分析】本题考查两条直线的交点坐标，中点坐标公式，双曲线的性质及几何意义．写出直线F 1B 的方程，分别与双曲线的渐近线方程联立，求出P ，Q 的坐标，则可得线段PQ 的中点N 的坐标，又|MF 2|=|F 1F 2|，知M(3c,0)，可得直线MN 的斜率，根据直线MN 与F 1B 垂直，可得到斜率之间的关系，化简后，结合c 2=a 2+b 2，即得答案．【解答】解：依题意F 1(−c,0)，B(0,b)，∴直线F 1B 的方程为：y =b c x +b ，由{y =b c x +b y =−b a x，得P(−ac c+a ,bc c+a )，由{y =b c x +b y =b a x，得Q(ac c−a ,bc c−a )，则线段PQ 的中点N(a 2c b 2,c 2b )，又|MF 2|=|F 1F 2|，知M(3c,0)，则直线MN 的斜率k =bc a 2−3b 2，则b c ×bca −3b =−1，得a 2=2b 2，即2c 2=3a 2，故e=ca =√62．故答案为√62．17.答案：解：(Ⅰ)由题知f(x)=12sin2x−12(1−cos2x)+12，=12sin2x+12cos2x，=√22sin(2x+π4)．由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8．所以f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)．(Ⅱ)依题意，由正弦定理，sinBcos2A=sinBcosA−sinAsinB．因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA−sinA．即(cosA−sinA)(cosA+sinA−1)=0当cosA=sinA时，A=π4；当cosA+sinA=1时，A=π2．由于0<A<π2，所以A=π4．则B+C=34π．则0<B<34π．又π4<2B+π4<7π4，所以−1≤sin(2B+π4)≤1．由f(B)=√22sin(2B+π4)，则f(B)的取值范围是[−√22,√22]．解析：(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．(Ⅱ)首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．18.答案：证明：(1)因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD//B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1//平面C1BD．解析：(1)由线面垂直的判定定理得出BD⊥平面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理得出平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)连接B1C交BC1于O，连接OD，证明OD//B1A，由线面平行的判定定理证明AB1//平面C1BD．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．19.答案：解：(1)记这 100 份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10+0.008×10+0.013×10+0.015×10+(x−95)×0.024=0.5，解得x=100，∴这100份数学试卷成绩的中位数为100．(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100=2份，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100=4份，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为：{A,B}，{A,a}，{A,b}，{A,c}，{A,d}，{B,a}，{B,b}，{B,c}，{B,d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，共15种结果，至少一份总分少于65分的有：{A,B}，{A,a}，{A,b}，{A,c}，{A,d}，{B,a}，{B,b}，{B,c}，{B,d}，共9种结果，∴抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率为：p =915=35．解析：(1)利用频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的中位数．(2)总分在[55,65)的试卷共有2份，记为A ，B ，总分在[135,145)的试卷共有4份，记为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.答案：解：(1)依题意可得{c a=1a =√22a 2=b 2+c 2=b 2+1, 解得a =√2 ，b =1，所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立得方程组{x 22+y 2=1y =k(x −1), 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0，由Δ=(−4k 2)2−4(1+2k 2)·2(k 2−1)=8k 2+8>0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2 ，x 1·x 2=2(k 2−1)1+2k 2，所以y 1⋅y 2=k 2(x 1−1)·(x 2−1)=k 2[x 1·x 2−(x 1+x 2)+1]=−k 21+2k 2，因为OM ⊥ON ，所以OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即x 1·x 2+y 1⋅y 2=k 2−21+2k 2=0，所以k =±√2，即直线l 的方程为y =±√2(x −1)．解析：本题主要考查了椭圆性质的运用，椭圆标准方程的求法，椭圆与直线位置关系的判定与运用，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题．(1)根据椭圆的几何性质，求出a 、b 的值即可；(2)讨论直线MN 的斜率是否存在，设出MN 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OM ⊥ON ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出直线的斜率k ，即可求出直线l 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)函数的导数f′(x)=e x ，则f′(1)=e ，f(1)=e ，则函数f(x)在x =1处的切线方程y −e =e(x −1)，即y =ex ；(Ⅱ)由g(x)=f(x)x 2−m =0，得m =f(x)x 2=e x x 2，设ℎ(x)=e x x 2，则ℎ′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2x x 4=e x (x−2)x 3，当x <0时，ℎ′(x)>0，此时函数单调递增，且ℎ(x)>0，当x >2时，ℎ′(x)>0，此时函数单调递增，当0<x <2时，ℎ′(x)<0，此时函数单调递减，即当x =2时，函数ℎ(x)取得极小值ℎ(2)=e 24，作出函数ℎ(x)的草图如图当m >0时，若m >e 24时，ℎ(x)=m 有3个不同的根，即函数g(x)有3个不同的零点，若m =e 24时，ℎ(x)=m 有2个不同的根，即函数g(x)有2个不同的零点，若0<m <e 24时，ℎ(x)=m 有1个不同的根，即函数g(x)有1个不同的零点．解析：(Ⅰ)求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f(x)在x =1处的切线方程； (Ⅱ)由g(x)=0，利用参数转化法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值单调性是解决本题的关键．22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12，直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12，因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程； (2)根据直线的斜率可得．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|−|x +3|≤1，⇔{x ≤−3−x −1+x +3≤1或{−3<x <−1−x −1−x −3≤1或{x ≥−1x +1−x −3≤1, 解得：⌀或−52≤x <−1或x ≥−1，综上，不等式的解集为[−52,+∞)；(2)∵x ∈[−2,3]，∴x +3>0，∴不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔|x −a|≤x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−(x +7)≤x −a ≤x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−x −7−x ≤−a ≤7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−7≤a ≤2x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[−2,3]的最小值是3，∴−7≤a ≤3，即a 的取值范围为[−7,3]．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)将a =−1代入f(x)，通过讨论x 的范围，得到不等式组，解出即可；(2)问题转化为−7≤a ≤2x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[−2,3]的最小值是3，从而求出a 的范围即可．。

2020-2021学年山东省泰安市中考数学第一次模拟试题及答案解析

最新山东省泰安市中考数学一模试卷一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．2．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．a+a﹣1=0 D．3．下列几何体中，俯视图为四边形的是（）A．B．C．D．4．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16° B．33° C．49°D．66°6．甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为（）A．8.1×10﹣9米B．8.1×10﹣8米C．81×10﹣9米D．0.81×10﹣7米7．如果是方程ax+（a﹣2）y=0的一组解，则a的值（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣28．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）A．45° B．22.5°C．67.5°D．75°9．下列说法正确的是（）A．数据3，4，4，7，3的众数是4B．数据0，1，2，5，a的中位数是2C．一组数据的众数和中位数不可能相等D．数据0，5，﹣7，﹣5，7的中位数和平均数都是010．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC、BD，则下列结论错误的是（）A．AF=BF B．OF=CF C．=D．∠DBC=90°11．如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣）或（﹣2，0）D．（﹣，﹣1）或（﹣2，0）12．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组13．已知a2+a﹣3=0，那么a2（a+4）的值是（）A．9 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣1514．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．15．二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．1或﹣3 B．5或﹣3 C．﹣5或3 D．以上都不对16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根18．在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．19．如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，则自然数2014所在的行数是（）A．第45行B．第46行C．第47行D．第48行二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）21．在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款______元．22．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为______．23．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是______．24．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是______．三、解答题（共5小题，满分48分）25．暑假的一天，小刚到离家1.2千米的万州体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有24分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时5分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小刚骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少10分钟．骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）小刚步行的速度（单位：米/分钟）是多少？（2）小刚能否在球赛开始前赶到体育馆？请通过计算说明理由．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．27．如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．28．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b，AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△GBD∽△GDF，求证：BG⊥CG．29．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共20小题，每小题3分，满分60分）1．的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】相反数；绝对值．【分析】根据相反数的意义，在这个数的前面加上负号，化简即得出．【解答】解：根据相反数的意义，的相反数为，﹣=﹣||=﹣．故选D．2．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．a+a﹣1=0 D．【考点】负整数指数幂；合并同类项；去括号与添括号．【分析】根据去括号、合并同类项、负整数指数幂等知识点进行判断．【解答】解：A、﹣（﹣a+b）=a﹣b，故错误；B、这两个式子不是同类项不能相加减，故错误；C、a+a﹣1=a+≠0，故错误；D、1﹣1=1÷=1×=．故正确，故选D．3．下列几何体中，俯视图为四边形的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形为四边形的几何体即可．【解答】解：A、从上面看可得到一个五边形，不符合题意；B、从上面看可得到一个三角形，不符合题意；C、从上面看可得到一个圆，不符合题意；D、从上面看可得到一个四边形，符合题意．故选：D．4．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：第一个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；第二个图形，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；第三个图形，此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；第四个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：B．5．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16° B．33° C．49°D．66°【考点】平行线的性质．【分析】由AB∥CD，∠C=33°可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠BED的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠C=33°，∴∠ABC=∠C=33°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=66°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=66°．故选D．6．甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为（）A．8.1×10﹣9米B．8.1×10﹣8米C．81×10﹣9米D．0.81×10﹣7米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：0.000 000 081=8.1×10﹣8米．故选B．7．如果是方程ax+（a﹣2）y=0的一组解，则a的值（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】二元一次方程的解．【分析】将方程的解代入得到关于a的方程，从而可求得a的值．【解答】解：将代入方程ax+（a﹣2）y=0得：﹣3a+a﹣2=0．解得：a=﹣1．故选：C．8．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）A．45° B．22.5°C．67.5°D．75°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP 的度数，从而就可求得∠ACP的度数．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=67.5°，∴∠ACP=∠BCP﹣∠BCA=67.5°﹣45°=22.5°．故选B．9．下列说法正确的是（）A．数据3，4，4，7，3的众数是4B．数据0，1，2，5，a的中位数是2C．一组数据的众数和中位数不可能相等D．数据0，5，﹣7，﹣5，7的中位数和平均数都是0【考点】算术平均数；中位数；众数．【分析】运用平均数，中位数，众数的概念采用排除法即可解．【解答】解：A、数据3，4，4，7，3的众数是4和3．故错误；B、数据0，1，2，5，a的中位数因a的大小不确定，故中位数也无法确定．故错误；C、一组数据的众数和中位数会出现相等的情况．故错误；D、数据0，5，﹣7，﹣5，7的中位数和平数数都是0．对．故选D．10．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC、BD，则下列结论错误的是（）A．AF=BF B．OF=CF C．=D．∠DBC=90°【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行分析即可．【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，∴AF=BF，=，∠DBC=90°，∴A、C、D正确；∵点F不一定是OC的中点，∴B错误．故选B．11．如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣）或（﹣2，0）D．（﹣，﹣1）或（﹣2，0）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据点A、B的坐标求出OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°，从而得到∠AOB=30°，再利用勾股定理求出OA、OB的长度，然后分①顺时针旋转时，点A′与点B关于坐标原点O成中心对称，然后根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；②逆时针旋转时，点A′在x轴负半轴上，然后写出点A′的坐标即可．【解答】解：∵A（，1），B（1，），∴tanα==，∴OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°，∴∠AOB=90°﹣30°﹣30°=30°，根据勾股定理，OA==2，OB==2，①如图1，顺时针旋转时，∵150°+30°=180°，∴点A′、B关于原点O成中心对称，∴点A′（﹣1，﹣）；②如图2，逆时针旋转时，∵150°+30°=180°，∴点A′在x轴负半轴上，∴点A′的坐标是（﹣2，0）．综上所述，点A′的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣2，0）．故选C．12．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．13．已知a2+a﹣3=0，那么a2（a+4）的值是（）A．9 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣15【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】由a2+a﹣3=0，变形得到a2=﹣（a﹣3），a2+a=3，先把a2=﹣（a﹣3）代入整式得到a2（a+4）=﹣（a﹣3）（a+4），利用乘法得到原式=﹣（a2+a﹣12），再把a2+a=3代入计算即可．【解答】解：∵a2+a﹣3=0，∴a2=﹣（a﹣3），a2+a=3，a2（a+4）=﹣（a﹣3）（a+4）=﹣（a2+a﹣12）=﹣（3﹣12）=9．故选A．14．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC=a，则CN=2a，根据△CMN 也是等腰直角三角形设CM=MN=x，由勾股定理得出x2+x2=（2a）2，求出x=a，得出CD=a，代入求出即可．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，设OC=a，则CN=2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，x=a，即CD=CM=a，∴==，故选C．15．二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．1或﹣3 B．5或﹣3 C．﹣5或3 D．以上都不对【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，可得△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×4=0，继而求得答案．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×4=0，∴（m﹣1）2=16，解得：m﹣1=±4，∴m1=5，m2=﹣3．∴m的值为5或﹣3．故选B．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S．△BED【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=ED=，又∵∠CDB=30°，∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，∴OE=CE•cot60°=×=1，OC=2OE=2，∴S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED=﹣OE×EC+BE•ED=﹣+=．故选D．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c 是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，从而得解．【解答】解：A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是x=1，设另一交点为（x，0），﹣1+x=2×1，x=3，∴另一交点坐标是（3，0），∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故本选项正确．故选D．18．在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这两个球上的数字之和为奇数的有4种情况，∴这两个球上的数字之和为奇数的概率为：=．故选A．19．如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x 从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．【解答】解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，①当P点在AB上，即0≤x＜a时，y=x，②当P点在BD上，即a≤x＜（1+）a时，过P点作PF⊥AB，垂足为F，∵AB+BP=x，AB=a，∴BP=x﹣a，∵AE2+PE2=AP2，∴（）2+[a﹣（x﹣a）]2=y2，∴y=，③当P点在DC上，即a（1+）≤x＜a（2+）时，同理根据勾股定理可得AP2=AD2+DP2，y=，④当P点在CA上，即当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a时，P在BE上和ED上时的函数图象对称，故B选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故只有D符合要求，故选：D．20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，则自然数2014所在的行数是（）A．第45行B．第46行C．第47行D．第48行【考点】规律型：数字的变化类．【分析】通过观察可得第n行最后一数为n2，由此估算2014所在的行数，进一步推算得出答案即可．【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴2014在第45行．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）21．在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款16 元．【考点】扇形统计图．【分析】根据扇形统计图中，各种情况所占的比例，利用加权平均数公式即可求解．【解答】解：5×60%+10×10%+20×10%+50×20%=16元．故答案是：16．22．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π﹣4 ．【考点】扇形面积的计算；中心对称图形．【分析】连接AB，则阴影部分面积=2（S扇形AOB﹣S△ABO），依此计算即可求解．【解答】解：由题意得，阴影部分面积=2（S扇形AOB﹣S△AOB）=2（﹣×2×2）=2π﹣4．故答案为：2π﹣4．23．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数的性质．【分析】根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．【解答】解：直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．故答案为：（7，3）．24．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是．【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【分析】当有最大值时，得出tan∠MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan∠MOP 有最大值，根据解直角三角形得出tan∠MOP=，由勾股定理求出OM，代入求出即可．【解答】解：当有最大值时，即tan∠MOP有最大值，也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，此时tan∠MOP=，在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM===1，则tan∠MOP====，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分48分）25．暑假的一天，小刚到离家1.2千米的万州体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有24分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时5分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小刚骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少10分钟．骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）小刚步行的速度（单位：米/分钟）是多少？（2）小刚能否在球赛开始前赶到体育馆？请通过计算说明理由．【考点】分式方程的应用．【分析】（1）设小刚步行的速度为x米/分钟，骑自行车的速度是3x米/分钟，根据小刚骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少10分钟列出方程解答即可；（2）根据题意得出来回家取票的总时间进行判断即可．【解答】解：（1）设小刚步行的速度为x米/分钟，骑自行车的速度是3x米/分钟，可得：，解得：x=80，经检验x=80是方程的解，3x=240，答：小刚步行的速度80米/分钟；（2）来回家取票的总时间为：分钟＞24分钟，故小刚不能在球赛开始前赶到体育馆．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．【考点】梯形；直角三角形的性质；菱形的判定．【分析】（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．【解答】（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC﹣∠BDE=90°﹣∠BDE，又∵∠C=90°﹣∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．证明：∵∠BDE=∠DBC．∴BE=DE，∵DE=EC，∴DE=BE=EC=BC，∵AD=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∵BE=DE，∴▱ABED是菱形．27．如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点D（6，1），∴=1，解得k=6；（2）设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=×6•h=12，解得h=4，∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1﹣4=﹣3，∴=﹣3，解得x=﹣2，∴点C的坐标为（﹣2，﹣3），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线CD的解析式为y=x﹣2；（3）AB∥CD．理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，），点D的坐标为（6，1），∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+1，设直线CD的解析式为y=ex+f，则，解得，∴直线CD的解析式为y=﹣x+，∵AB、CD的解析式k都等于﹣，∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．28．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b，AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△GBD∽△GDF，求证：BG⊥CG．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由DG平分三角形ABC周长，得到三角形BDG周长与四边形ACDG周长相等，再由D为BC中点，得到BD=CD，利用等式的性质得到BG=AC+AG，表示出BG 的长即可；（2）由D、F分别为BC、AB的中点，表示出DF与BF，由BG=BF表示出FG，得到DF=FG，利用等边对等角得到一对角相等，再由DE为三角形中位线，得到DE与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；（3）由△GBD∽△GDF，且一对公共角相等，得到∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，等量代换得到∠FGD=∠B，利用等角对等边得到BD=DG，再由BD=DC，等量代换得到BD=DG=DC，得到B、C、G三点以BC为直径的圆周上，利用圆周角定理判断即可得证．【解答】（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，∵D为BC的中点，∴BD=CD，∴BG=AC+AG，∵BG+（AC+AG）=AB+AC，∴BG=（AB+AC）=（b+c）；（2）证明：∵D、F分别为BC、AB的中点，∴DF=AC=b，BF=AB=c，∵FG=BG﹣BF=（b+c）﹣c=b，∴DF=FG，∴∠FDG=∠FGD，∵D、E分别为BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；（3）证明：∵△GBD∽△GDF，且∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），∴∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，∴∠FGD=∠B，∴DG=BD，∵BD=CD，∴DG=BD=CD，∴B、C、G三点以BC为直径的圆周上，∴∠BGC=90°，即BC⊥CG．29．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；（3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时（0＜t ≤）；②重合分离后至运动结束（＜t≤5）．【解答】解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB===10，∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．∵AC为⊙P的直径，∴△ACD为直角三角形．∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，即：t+t=8，解得：t=．∴t=（秒）时，点Q与点D重合．（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．①当0＜t≤时，DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t．∴S=DQ•CD=（8﹣t）•t=﹣t2+t．∵﹣=，0＜＜，∴当t=时，S有最大值为；②当＜t≤5时，DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8．∴S=DQ•CD=（t﹣8）•t=t2﹣t．∵﹣=，＜，所以S随t的增大而增大，∴当t=5时，S有最大值为15＞．综上所述，S的最大值为15．（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB，∴=，即=，解得t=．所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤或＜t≤5．2016年9月20日。

山东省泰安市肥城市2020届数学一模试卷

山东省泰安市肥城市2020届数学一模试卷一、单选题（共8题；共16分）1.已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A. （﹣1，2）B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （1，2）2.若集合，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也非不必要条件3.已知，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.4.若，，，满足，，，则（）A. B. C. D.5.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A. B. C. D.6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知函数，若，那么实数的值是（）A. 4B. 1C. 2D. 38.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱物理D. 样本中的女生偏爱历史二、多选题（共4题；共12分）9.设函数，则( )A. 是偶函数B. 在单调递减C. 最大值为2D. 其图像关于直线对称10.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86%则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低11.在空间四边形中, 分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是( )A. 一定是各边的中点B. 一定是的中点C. ,且D. 四边形是平行四边形或梯形12.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A. 直线与平面所成的角等于B. 点C到面的距离为C. 两条异面直线和所成的角为D. 三棱柱外接球半径为三、填空题（共4题；共4分）13.________.14.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________.15.在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，点是的中点，则四棱锥的外接球的表面积为________．16.定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx已知方程在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea，将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，，则h（7）＝________.四、解答题（共6题；共55分）17.记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.18.已知函数（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合.19.如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，.（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.20.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.21.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:月收入(单位百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计赞成不赞成合计(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822.已知函数在处取得极小值.（1）求实数的值；（2）若函数存在极大值与极小值，且函数有两个零点，求实数的取值范围.（参考数据：，）答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D二、多选题9.【答案】A,B,D10.【答案】A,C,D11.【答案】C,D12.【答案】A,B,D三、填空题13.【答案】14.【答案】6x－8y＋1＝015.【答案】16.【答案】四、解答题17.【答案】（1）解：设的公差为，且．由，得，由，得，于是, ．所以的通项公式为．（2）解：由（1）得因为，所以当或时,有最大值为20．18.【答案】（1）解：，解不等式，得，因此，函数的单调递增区间为；（2）解：，，当时，即当时，函数取得最小值.因此，函数的最小值为，对应的的集合为.19.【答案】（1）证明: 四边形ABCD为平行四边形, , .,,几何体中, 为三棱柱,且平面ABC,,,平面.（2）解：连结,平面, ,平面,四棱锥的体积:.20.【答案】（1）解：由已知可得：解得，，，所以椭圆：.（2）解：由已知可得，，，∴，∵，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，，则，，∵，∴.即，因为，，即..所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.21.【答案】解：(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计赞成29 3 32 不赞成11 7 18 合计40 10 50 由表中数据,计算K2 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有6 2(人)记为A､B,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c､d､e､f;从这6人中抽取3人,基本事件是ABc､ABd､ABe､ABf､Acd､Ace､Acf､Ade､Adf､Aef､Bcd､Bce､Bcf､Bde､Bdf､Bef､cde､cdf､cef､def共20种,这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc､ABd､ABe､ABf､Acd､Ace､Acf､Ade､Adf､Aef､Bcd､Bce､Bcf､Bde､Bdf､Bef共16种,故所求的概率值为P.22.【答案】（1）解：由题意得.因为函数在处取得极小值，依题意知，解得或.当时，，若，，则函数单调递减，若，，则函数单调递增，所以，当时，取得极小值，无极大值，符合题意.当时，，若或，，则函数单调递增；若，，则函数单调递减，所以函数在处取得极小值，处取得极大值，符合题意，综上，实数或.（2）解：因为函数存在极大值与极小值，所以由（1）知，.所以，.当时，，故函数在上单调递增，当时，令，则，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，所以当时，，故在上单调递减.因为函数在上有两个零点，所以，所以.取，取，，所以，实数的取值范围是.。

山东省泰安市2020年中考数学一模试卷解析版

16. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如表
x -1
0
1
3
y -1
3
5
3
下列结论： ①ac＜0； ②当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小． ③3 是方程 ax2+（b-1）x+c=0 的一个根； ④当-1＜x＜3 时，ax2+（b-1）x+c＞0．其中正确的结论是______． 17. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五
四、解答题（本大题共 6 小题，共 50.0 分）
20. 先化简：
+ ÷ 在从-1≤x≤3 的整数中选取一你喜欢的 x 的值代入求值．
21. 如图，平面直角坐标系中，O 为原点，点 A、B 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点 P，P 在反比例函数 y= 的图象上．PA 的延长线交 x 轴于点 C，PB 的延长线交 y 轴于点 D，连接 CD．（1）求∠P 的度数及点 P 的坐标；（2）求△OCD 的面积；（3）△AOB 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
A. 2
B. 4
C.
D. 2
11. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠A=60°，以点 B 为圆心的
圆与 AD、DC 相切，与 AB、CB 的延长线分别相交于点 E、
F，则图中阴影部分的面积为（）
A. +
B. +π
C. -
D. 2 +
12. 如图，正△ABC 的边长为 4，点 P 为 BC 边上的任意一点（不与点 B、C 重合），且∠APD=60°，PD 交 AB 于点 D．设 BP=x，BD=y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）

山东省肥城市龙山中学2019—2020学年度上学期期末教学质量检测第一次模拟八年级数学试题

2019—2020学年度上学期期末教学质量检测第一次模拟八年级数学注意事项：1.答题前请将答题纸上的考生信息填（涂）清楚，然后将试题答案认真填写（填涂）在答题纸的指定位置，否则答题无效。

2.本试卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。

3.考试结束只交答题纸一、选择题（本大题共12小题，每题给出的四个选项中只有一个正确，请将正确答案的字母代号填涂在答题纸的指定位置，共48分）1.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB//ED，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，需要添加下列选项中的一个条件是：()A. BF=ECB. AC=DFC. ∠B=∠ED. BF=FC2.化简a2−b2ab −ab−b2ab−a2等于()A. ba B. abC. −baD. −ab3.如果解关于x的分式方程mx−2−2x2−x=1时出现增根，那么m的值为()A. −2B. 2C. 4D. −44.数据3，6，7，4，x的平均数是5，则这组数据的中位数是()A. 4B. 4.5C. 5D. 65.如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是()①AE=BD；②AG=BF；③FG//BE；④∠BOC=∠EOC．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.若分式|x|−1的值为零，则x的值是()x+1A. 1B. −1C. ±1D. 27.下列条件中不能判定AB//CD的是()A. ∠1=∠4B. ∠2=∠3C. ∠5=∠BD. ∠BAD+∠D=180°第5题第7题第8题8.如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于1AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连2接AD，则∠BAD的度数为()A. 65°B. 60°C. 55°D. 45°9.下列命题是真命题的是()A. 直角三角形中两个锐角互补B. 相等的角是对顶角C. 同旁内角互补，两直线平行D. 若︱a︱=︱b︱则a=b10.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°11.如图，已知△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有()个．A. 1B. 2C. 3D. 412.如图是婴儿车的平面示意图，其中AB//CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为()A. 80°B. 90°C. 100°D. 102°第10题第11题第12题二、填空题（本大题共6小题，请将每题的答案填写在答题纸指定位置的横线上，共24分）13.已知一组数据：x1，x2，x3，…x n的平均数是2，方差是3，另一组数据：3x1−2，3x2−2，…3x n−2的方差是______．14.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=21°，∠2=30°，∠3=______ ．第14题第15题第18题15.如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______ ．16.已知：a+1a =5，则a4+a2+1a=______ ．17.把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____．18.如图，a//b，直线a，b被直线c所截，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3…依次规律，得点C n，则∠C3=______ 度，∠C n=______ 度．三、解答题（在答题纸指定位置写出答题必要的过程）19.（8分）计算：(1)a−1a−4a+4÷a2−1a−4(2)2b2a+b−a+b．20.（8分）解下列方程：(1)6xx+2−2=0 (2)3x−2=2x+6x2−2x．21.(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)若AB=12，AF=8，求CF的长．22.（10分）先化简，再求值：(3a+2+a−2)÷a2−2a+1a+2，在−2，−1，0，1四个数中选择一个你喜欢的数，代入求值．23.（10分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．24.（12分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位：m)，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)图1中a的值为______；(Ⅱ)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；(Ⅲ)根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．25.（10分）如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB.求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．（10分）2016年7月20日凌晨，河北邢台遭遇洪灾，为了保障河道通畅，减少灾害，需要对河道进行治理，现由甲乙两工程队合作20天可完成，已知甲工程队单独治理需60天完成．(1)求乙工程队单独完成河道治理需多少天？(2)若甲乙两工程队合作a天后，再由甲工程队单独做多少天(用含a的代数式表示)可完成河道治理任务？。

2020届山东省肥城市高三第一次统考数学试题(解析版)

2020届山东省肥城市高三第一次统考数学试题一、单选题1．已知集合{}240M x x x =-<，{}124x N x -=<，则MN =( )A ．()1,3B ．()0,3C ．()0,4D ．∅【答案】B【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{|04}M x x =<<，{|3}N x x =<，(0,3)M N ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算。

属于基础题。

2．设()1,z x yi x y R =+∈，234z i =-（i 为虚数单位），且125z z +=，则( ) A ．()()22345x y ++-= B ．()()223425x y ++-= C ．()()22345x y -++= D ．()()223425x y -++=【答案】B【解析】由复数代数形式的加减运算求得12z z +，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由1(,)z x yi x y R =+∈，234z i =-，得12()(34)(3)(4)z z x yi i x y i +=++-=++-，又125z z +=，∴5=，即22(3)(4)25x y ++-=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，属于基础题．3．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( ) ABC ．72D ．52【答案】C【解析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【详解】解：1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．4．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD. 【详解】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =( )A ．1122AB AD + B ．1122AB AD -- C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出EC ，CF ，然后求出向量EF 即得．【详解】解：因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点得F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选：D ．【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。

山东省泰安市2020年中考数学一模试卷(I)卷

山东省泰安市2020年中考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019七上·北碚期末) 在- ，0，-|-5|，-0.6，2，，-10中负数的个数有（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）下列运算，结果正确的是（）A . m2+m2=m4B . （m+）2=m2+C . （3mn2）2=6m2n4D . 2m2n÷=2mn23. （2分）(2013·绍兴) 地球半径约为6400000米，则此数用科学记数法表示为（）A . 0.64×109B . 6.4×106C . 6.4×104D . 64×1034. （2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A .B .C .D .5. （2分）下列运算中，结果正确的是（）A . 2a2+a=3a2B . 2a﹣1=C . （﹣a）3•a2=﹣a6D . =2﹣6. （2分）﹣|﹣a|是一个（）A . 正数B . 正数或零C . 负数D . 负数或零7. （2分）(2019·江川模拟) 下列说法正确的是（）A . 一个游戏的中奖概率是则做10次这样的游戏一定会中奖B . 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C . 一组数据 8 , 8 , 7 , 10 , 6 , 8 , 9 的众数和中位数都是 8D . 若甲组数据的方差 S =" 0.01" ，乙组数据的方差 s ＝ 0 .1 ，则乙组数据比甲组数据稳定8. （2分）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=， AB=1，则点A1的坐标是（）A . (,)B . (,3)C . (,)D . (,)9. （2分） (2018八上·罗湖期末) 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，则下列结论正确的个数有（）①乙的速度是4米／秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲从起点到终点共用时83秒；④乙到达终点时，甲、乙两人相距68米；⑤乙离开起点12秒后，甲乙第一次相遇．A . 4个B . 3个’C . 2个D . 1个10. （2分） (2019九上·孝义期中) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（）A . 6B .C . 5D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）计算：sin60°﹣cot30°=________12. （1分） (2010七下·浦东竞赛) 一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼________米处.13. （1分） (2017九上·肇源期末) 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是________．14. （1分） (2018八下·江都月考) 小明尝试着将矩形纸片(如图(1) , )沿过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕为(如图(2));再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在边上的点处，折痕为(如图(3)).如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，那么矩形长与宽的比值为________ .三、解答题 (共9题；共80分)15. （5分） (2017七下·临沧期末) 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．16. （2分） (2017七上·新疆期末) 用黑白两种颜色的正六边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个图案．（1）第4个图案中有白色地砖________块；（2）第n个图案中有白色地砖________块．17. （11分） (2017九上·宣化期末) △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，（3）△A1B1C1中顶点A1坐标为________．18. （5分）如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为4米，将它往前推进2米（即DE=2米），求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马上升的高度．（精确到0.1米）19. （10分）(2018·云南模拟) 某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去.规则如下：将正面分别标有数字 1、2、3、4 的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字.如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去.（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由.20. （10分） (2017·北京) 如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．21. （10分） (2018九上·福州期中) 小芳从家骑自行车去学校，所需时间y（min）与骑车速度x（m/min）之间的反比例函数关系如图.（1）写出y与x的函数表达式（2）学校要求学生每天7点20分前到校，而小芳的骑车速度最快不超过300m/min，为了安全起见，她每天至少要几点出发？.22. （12分）(2017·南京) 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）当减少购买1个甲种文具时，x=________，y=________；（2）求y与x之间的函数表达式．（3）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？23. （15分）(2015·湖州) 问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记 =m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共9题；共80分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是（）A ．[﹣1，1]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣3，﹣1）2．（5分）已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |＝（） A ．﹣1+2iB ．1C ．5D ．√53．（5分）已知(2−mx)(1−1x)3的展开式中的常数项为8，则实数m ＝（） A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．34．（5分）已知函数f （x ）＝log a （|x ﹣2|﹣a ）（a ＞0，且a ≠1），则“f （x ）在（3，+∞）”上是单调函数”是“0＜a ＜1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 326．（5分）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=m AM →，AC →=n AN →，则m +n 的值为（）A ．1B ．2C ．﹣2D ．947．（5分）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√28．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生．80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 10．（5分）下列说法正确的是（）A ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0的距离为3”的充要条件B．直线x sinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π)C．直线y＝﹣2x+5与直线2x+y+1＝0平行，且与圆x2+y2＝5相切D．离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x11．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等12．（5分）已知函f（x）＝e|x|sin x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是周期为2π的奇函数B．f（x）在(−π4，3π4)上为增函数C．f（x）在（﹣10π，10π）内有21个极值点D．f（x）≥ax在[0，π4]上恒成立的充要条件是a≤1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35，sin(β−π4)=1213，则cos(α+π4)=．14．（5分）一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有种．15．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（““表示一根阳线，““表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为．16．（5分）过点M （﹣m ，0）（m ≠0）的直线l 与直线3x +y ﹣3＝0垂直，直线l 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P （m ，0）满足|P A |＝|PB |，则双曲线C 的渐近线方程为，离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①A 5＝B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ，B n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，且b 1＝3，A 2＝3，________．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =2a n +3b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8cos 2B+C 2−2cos2A ＝3．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 面积的最大值为√3，求△ABC 周长的取值范围． 19．（12分）在四边形ABCP 中，AB =BC =√2，∠P =π3，PA =PC =2；如图，将△P AC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB ＝P A ，求证：（1）平面ABC ⊥平面P AC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为√34，求二面角F ﹣PC ﹣A 的大小．20．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，△F 1PQ 的周长为4√2，且l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP →+MO →+MQ →=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+axe x，a ∈R ．（1）若函数y ＝f （x ）在x ＝x 0（ln 2＜x 0＜ln 3）处取得极值1，证明：2−1ln2＜a ＜3−1ln3；（2）若f(x)≤x −1e x 恒成立，求实数a 的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是（）A ．[﹣1，1]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣3，﹣1）【解答】解：因为全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}， N ＝{x ||x |≤1}＝[﹣1，1]，∴∁U N ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴阴影部分表示的集合是M ∩（∁U N ）＝（﹣3，﹣1）．故选：D ． 2．（5分）已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |＝（） A ．﹣1+2i B ．1C ．5D ．√5【解答】解：由2−ai i =1−bi ，得：2﹣ai ＝i （1﹣bi ）＝b +i ，所以a ＝﹣1，b ＝2，则a +bi ＝﹣1+2i ，所以|a +bi |＝|﹣1+2i |=√(−1)2+22=√5．故选：D ．3．（5分）已知(2−mx)(1−1x )3的展开式中的常数项为8，则实数m ＝（） A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．3【解答】解：∵（1−1x ）3的展开式的通项公式为：∁3r •（−1x ）r ＝（﹣1）r •∁3r •x ﹣r；﹣r ＝0得r ＝0；﹣r ＝﹣1得r ＝1；∴(2−mx)(1−1x )3的展开式中的常数项为：2×（﹣1）0•∁30+（﹣m ）•（﹣1）1⋅∁31=8； ∴m ＝2；故选：A ．4．（5分）已知函数f （x ）＝log a （|x ﹣2|﹣a ）（a ＞0，且a ≠1），则“f （x ）在（3，+∞）”上是单调函数”是“0＜a ＜1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|x ﹣2|﹣a ＝x ﹣2﹣a 在（3，+∞）上是单调递增，要使f （x ）在（3，+∞）上是单调函数函数，则|3﹣2|﹣a ＞0，且a ＞0，且a ≠1，解之得0＜a ＜1，则0＜a ＜1是0＜a ＜1的充要条件，故选：C ．5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 32【解答】解：因为函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，∴f （﹣log 36）＝f （log 316）=(13)log 316−log 316−4＝2+log 36； f （log 354）＝f （3+log 32）＝f （log 32﹣1）＝f （log 323）=(13)log 323−log 323−4=32−log 32+1﹣4=32−log 32﹣3； ∴f （﹣log 36）+f （log 354）＝2+log 36+32−log 32﹣3=32；故选：A ．6．（5分）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=m AM →，AC →=n AN →，则m +n 的值为（）A ．1B ．2C ．﹣2D ．94【解答】解：由已知得AO →=12(AB →+AC →)，结合AB →=m AM →，AC →=n AN →，所以AO →=12mAM →+12nAN →．又因为O ，M ，N 三点共线，所以12m +12n =1，所以m +n ＝2．故选：B ．7．（5分）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√2【解答】解：∵现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半， ∴正方体的面对角线长为2√2，将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，当旋转到对角线与小平面垂直时容器里水面的高度最大， ∴容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， ∴容器里水面的最大高度为√2．故选：B ．8．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（） A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ，连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ．由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）．所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33，即|MN||AB|的最大值为√33．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生．80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%×39.6%＝22.176%＞20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：17%×56%＝9.52%互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．故选：ABC．10．（5分）下列说法正确的是（）A．“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0的距离为3”的充要条件B ．直线x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π) C ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切D ．离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y =±√2x【解答】解：“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0的距离为3”的充分条件，所以A 不正确；直线x sin α﹣y +1＝0的斜率为：sin α，直线的倾斜角为θ，所以tan θ＝sin α∈[﹣1，1]，所以直线倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π)，所以B 正确；直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，正确，因为圆的圆心到直线的距离为：√5=√5，所以两条直线与圆x 2+y 2＝5相切，所以C 正确；离心率为√3的双曲线，可得ca =√3，即c 2＝3a 2，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的渐近线方程为：y =±√2x 或y ＝±√22x ，所以D 不正确；故选：BC ．11．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥βB ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nC ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥βD ．若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【解答】解：A ．满足m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B ．∵n ∥α，∴设过n 的平面β与α交于a ，则n ∥a ，又m ⊥α，∴m ⊥a ，∴m ⊥n ，∴该选项正确；C ．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m ⊂α，∴m ∥β，∴该选项正确；D ．根据线面角的定义即可判断该选项正确．故选：BCD ．12．（5分）已知函f （x ）＝e |x |sin x ，则下列结论正确的是（） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）在(−π4，3π4)上为增函数C ．f （x ）在（﹣10π，10π）内有21个极值点D ．f （x ）≥ax 在[0，π4]上恒成立的充要条件是a ≤1 【解答】解：A 错，因为函数是奇函数，但不是周期函数． B 对，利用奇函数去绝对值，求导可判断f （x ）在（−π4，3π4）上递增；C 错，x ≥0时，f （x ）＝e x sin x ，则f ′（x ）＝e x sin x +e x cos x ＝0，即sin x +cos x ＝0，0＜x ＜10π，方程有10个根．有奇偶性﹣10π＜x ＜0时，有10个根，故计算得f （x ）在（﹣10π，10π）内有20个极点；D 对，当x ∈[0，π4]，f （x ）＝e x sin x ，则f ′（x ）＝e x sin x +e x cos x ，即f ′（0）＝1，a 表示过原点直线的斜率，则由恒成立可求a ≤1．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35，sin(β−π4)=1213，则cos(α+π4)= −5665．【解答】解：已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35， sin(β−π4)=1213，α+β∈(3π2，2π)，β−π4∈(π2，3π4)， ∴cos(α+β)=45，cos(β−π4)=−513， ∴cos(α+π4)=cos[(α+β)−(β−π4)]=cos(α+β)cos(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4) =45⋅(−513)+(−35)⋅1213=−5665故答案为：−56 6514．（5分）一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有11种．【解答】解：由题意只能分成三类铺砖：第一类．横5竖1：竖砖只能排在上两行中（如图所示的竖线位置之一），两头与中间，其余排竖砖，共3种；第二类．横3竖3：左下角一块横砖，另外三块竖砖排在上面两行，中间形成四个空，两块横砖上下并排插空共4种铺法；或左上角一块横砖，另两块横砖并排排在上面两行右边部分，其余空排竖砖，有2种排法．所以此类共有6种排法．第三类．横1竖5：横砖只能排在最左边最上一行或最下一行，其余排竖砖，共有2种铺法；综上一共有3+6+2＝11种排法．故答案为：11．15．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（““表示一根阳线，““表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为314．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为：P=C31+C32C82=314．故答案为：314．16．（5分）过点M（﹣m，0）（m≠0）的直线l与直线3x+y﹣3＝0垂直，直线l与双曲线C：x2 a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，则双曲线C的渐近线方程为y=±12x，离心率为√52．【解答】解：过点M（﹣m，0）（m≠0）的直线l与直线3x+y﹣3＝0垂直，可得：直线l：x﹣3y+m＝0（m≠0），由双曲线的方程可知，渐近线为y＝±ba x，分别与x﹣3y+m＝0（m≠0）联立，解得A（−ama−3b，−bma−3b），B（−ama+3b，bma+3b），∴AB中点坐标为（ma29b2−a2，3mb29b2−a2），∵点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，∴3mb29b2−a2−0 ma29b2−a2−m=−3，∴a ＝2b ，∴双曲线C 的渐近线方程为：y =±12x ． ∴c =√5b ， ∴e =ca =√52．故答案为：y =±12x ：√52．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①A 5＝B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ，B n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，且b 1＝3，A 2＝3，________．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =2a n +3b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ．【解答】解：方案一：选条件① （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2＝3，A 5＝B 3， ∴{2a 1+d =35a 1+10d =9+6d ，解得{a 1=1d =1， ∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *，综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1．（2）由（1）知，c n =2n +3(2n+1)(2n+3)=2n +32(12n+1−12n+3)， ∴S n ＝c 1+c 2+…+c n＝[2+32（13−15）]+[22+32（15−17）]+…+[2n +32（12n+1−12n+3）]=(2+22+⋯+2n )+32[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=2(1−2n)1−2+32(13−12n+3)=2n+1−3(n+2)2n+3．方案二：选条件② （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2=3，1a 1−1a 2=4B 2，∴{2a 1+d =31a 1−1a 1+d =42×3+2d，整理，得{2a 1+d =34a 1(a 1+d)=d(6+2d)，解得{a 1=1d =1，∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *，综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1．（2）同方案一第（2）小题解题过程．方案三：选条件③ （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2＝3，B 5＝35， ∴{2a 1+d =33×5+5×42×2d =35，解得{a 1=1d =1， ∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *，综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1．（2）同方案一第（2）小题解题过程．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8cos 2B+C 2−2cos2A ＝3．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 面积的最大值为√3，求△ABC 周长的取值范围．【解答】解：（1）∵8cos 2B+C2−2cos2A =3， ∴4（1+cos （B +C ））﹣2cos2A ＝3，整理得4cos 2A +4cos •A ﹣3＝0，解得cosA =12或cosA =−32（舍去），又A ∈（0，π）∴A =π3，（2）由题意知S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3，∴bc ≤4，又b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，a ＝2， ∴b 2+c 2＝4+bc ，∴（b +c ）2＝4+3bc ≤16，又b +c ＞2，所以2＜b +c ≤4，4＜a +b +c ≤6，，∴△ABC 周长的取值范围是（4，6]．19．（12分）在四边形ABCP 中，AB =BC =√2，∠P =π3，PA =PC =2；如图，将△P AC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB ＝P A ，求证：（1）平面ABC ⊥平面P AC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为√34，求二面角F ﹣PC ﹣A 的大小．【解答】证明：（1）在△PAC 中，PA =PC =2，∠P =π3∴△P AC 为正三角形，且AC ＝2在△ABC 中，AB =BC =√2∴△ABC 为等腰直角三角形，且AB ⊥BC 取AC 的中点O ，连接OB ，OP∴OB ⊥AC ，OP ⊥AC#/DEL/#∵OB =1，OP =√3，PB =PA =2#/DEL/#∴OP ⊥OBOP ∩AC ＝O ，AC ，OP ⊂平面P AC ∴OB ⊥平面P AC ∵OB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面P AC （2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A(0，−1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，√3)，AB →=(1，1，0)，AP →=(0，1，√3)，CP →=(0，−1，√3)，CA →=(0，−2，0)，设AF →=mAB →(0＜m ＜1)，则CF →=CA →+AF →=(m ，m −2，0)设平面PFC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），则{n ⋅CF →=0n ⋅CP →=0∴{mx +y(m −2)=0−y +√3z =0令y =√3，解得{x =2−mm √3z =1∴n =(2−mm √3，√3，1)∵AP 与平面PFC 所成角的正弦值为√34， ∴|n⋅AP→|n|⋅|AP|→|=√3√3(2−m)2m 2+3+1=√34整理得3m 2+4m ﹣4＝0解得m =23或m =−2（舍去）∴n =(2√3，√3，1) 又OB →为平面P AC 的一个法向量 ∴cos〈n ，OB →〉=n⋅OB→|n||OB|→=√32#/DEL/#∴〈n ，OB →〉=π6#/DEL/#∴二面角F ﹣P A ﹣C 的大小为π6．20．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．【解答】解：（1）由题意知：甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为：110(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360，众数为330．（2）设乙公司员工B 1天的投递件数为X ，则X 的可能取值为340，360，370，420，440，当X ＝340时，ξ=340×0.6=204，P(ξ=204)=110，当X ＝360时，ξ=350×0.6+(360−350)×0.9=219，P(ξ=219)=310，当X ＝370时，ξ=350×0.6+(370−350)×0.9=228，P(ξ=228)=15，当X ＝420时，ξ=350×0.6+(420−350)×0.9=273，P(ξ=273)=310，当X ＝440时，ξ=350×0.6+(440−350)×0.9=291，P(ξ=291)=110， ∴ξ的分布列为ξ 204 219 228 273 291 P11031015310110∴E(ξ)=204×110+219×310+228×15+273×310+291×110=242.7．（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360×30×0.65＝7020（元）由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为： 242.7×0.6×30＝4368.6（元）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，△F 1PQ 的周长为4√2，且l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP →+MO →+MQ →=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知4a =4√2，∴a =√2，直线AF 2的方程为y =b c (x −c)，∵直线AF 2与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43，∴{y =b c (43−c)(43)22+y 2b2=1，解得c ＝1或c ＝2（舍去）， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∵MP →+MO →+MQ →=0，∴点M 为△POQ 的重心，得M(x 1+x 23，y 1+y 23)， ∵点M 在O ：x 2+y 2=49上，∴(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=4，由{y =kx +m x 22+y 2=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0，∴x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，∴(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=(−4km 1+2k2)2+(k(−4km 1+2k2)+2m)2=4，即16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=4，得m 2=(1+2k 2)24k 2+1，由△＞0得1+2k 2＞m 2，∴1+2k 2＞(1+2k 2)24k 2+1，解得k ≠0， ∴m 2=(1+2k 2)24k 2+1=1+4k44k 2+1=1+44k 2+1k4＞1， ∴m ＞1或m ＜﹣1． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+axe x，a ∈R ．（1）若函数y ＝f （x ）在x ＝x 0（ln 2＜x 0＜ln 3）处取得极值1，证明：2−1ln2＜a ＜3−1ln3；（2）若f(x)≤x−1e x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′(x)=1x+a−(lnx+ax)e x．∵函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值1，∴f′(x0)=1x0+a−(lnx0+ax0)e x0=0，且f(x0)=lnx0+ax0e x0=1，∴1x0+a=lnx0+ax0=e x0，∴a=e x0−1x0，令r(x)=e x−1x(x＞0)，则r′(x)=e x+1x2＞0，∴r（x）为增函数，∵0＜ln2＜x0＜ln3，∴r（ln2）＜a＜r（ln3），即2−1ln＜a＜3−1ln3．（2）不等式f(x)≤x−1e x恒成立，即不等式xe x﹣lnx﹣ax≥1恒成立，即a≤e x−lnxx−1x恒成立．令g(x)=e x−lnxx−1x，则g′(x)=e x−1−lnxx2+1x2=x2e2+lnxx2．令ℎ(x)=x2e x+lnx，则ℎ′(x)=(x2+2x)e x+1 x．∵x＞0，∴h'（x）＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且ℎ(1)=e＞0，ℎ(12)=√e4−ln2＜0．∴h（x）有唯一零点x1，且12＜x1＜1．当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减；∴a≤e x1−lnx1x1−1x1．由h（x1）＝0整理得x1e x1=−lnx1x1，∵12＜x1＜1，−lnx1＞0，令k（x）＝xe x（x＞0），则方程x1e x1=−lnx1x1等价于k（x1）＝k（﹣lnx1），而k'（x）＝（x+1）e x在（0，+∞）上恒大于零，∴k（x）在（0，+∞）上单调递增，∵k（x1）＝k（﹣lnx1），∴x1＝﹣lnx1，∴e x1=1x1，∴g(x1)=e x1−lnx1x1−1x1=1x1−(−x1)x1−1=1．x1∴a≤1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]．。

肥城一模数学试卷答案高三

一、选择题1. 答案：D解析：由题意可知，函数在x=0时取得最大值，且最大值为2。

根据二次函数的性质，可知函数的开口方向向下，故A、B、C选项错误。

因此，答案为D。

2. 答案：C解析：根据复数的乘法运算，可得$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$。

根据题目中的复数乘法，可知ac-bd=1，ad+bc=0。

将这两个等式联立，解得a=1，b=0，c=0，d=1。

因此，答案为C。

3. 答案：B解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，且公差为2。

根据等差数列的通项公式，可得an = a1 + (n-1)d。

将n=5代入公式，得a5 = a1 + 4d。

由题意可知，a5 = 2a1，代入公式得2a1 = a1 + 4d，解得a1 = 4d。

因此，答案为B。

4. 答案：A解析：由题意可知，点P在圆x^2+y^2=4上，且满足直线x+y-2=0。

将直线方程代入圆的方程，得x^2+(2-x)^2=4，化简得x^2-4x+4=0，解得x=2。

将x=2代入直线方程，得y=0。

因此，点P的坐标为(2,0)。

故答案为A。

5. 答案：D解析：由题意可知，函数在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减。

根据导数的定义，可知当x=1时，函数取得极大值。

因此，答案为D。

二、填空题6. 答案：2解析：由题意可知，函数在x=0时取得最小值，且最小值为-2。

根据二次函数的性质，可知函数的开口方向向上，故a>0。

由题意可知，函数的对称轴为x=1，故顶点坐标为(1,-2)。

因此，答案为2。

7. 答案：-3解析：由题意可知，函数在x=0时取得最大值，且最大值为3。

根据二次函数的性质，可知函数的开口方向向下，故a<0。

由题意可知，函数的对称轴为x=2，故顶点坐标为(2,3)。

因此，答案为-3。

8. 答案：1/2解析：由题意可知，数列{an}是等比数列，且公比为1/2。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-2，-1}B. {-2，0}C. {-1，0}D. {-2，-1，0}2.若复数（2-i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A. 3B.C.D. -33.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x-y的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -34.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且|PM|=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为（）A. B. C. D. 25.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）A. 9≤a＜10B. 9＜a≤10C. 10＜a≤11D. 8＜a≤96.已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 1C. 5D. 67.（1-2x）5（2+x）的展开式中，x3的系数是（）A. 120B. -120C. 100D. -1008.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位9.已知函数等于（）A. 2B. log26C. log27D. 310.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A. B. C. D.11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知在△ABC和点M满足=，若存在实数m使得成立，则m=______．14.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为______．15.若，α∈（，π），则sin2α=______．16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1=1，b2=2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°．（1）证明：AD⊥PB；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．19.已知椭圆的离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（-2，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围．20.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析．已知学生甲的30次随堂测试成绩如下（满分为100分）：（1）把学生甲的成绩按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]分成6组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）规定随堂测试成绩80分以上（含80分）为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学生乙，对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析，甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立．已知甲成绩优秀的概率为P1（以频率估计概率），乙成绩优秀的概率为P2，若P2-P1≥0.5，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”．在一次随堂测试中，记X为两人中获得优秀的人数，已知E（X）=0.8，问二人是否适合结为“对子”？21.已知m＞0，函数f（x）=e x-mx，直线l：y=-m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y=-m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的方程为x2-2x+y2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）直线与直线l交于点A，点B是曲线C上一点，求△AOB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵（2-i）（a+i）=（2a+1）+（2-a）i的实部与虚部互为相反数，∴2a+1+2-a=0，即a=-3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为×（72+77+80+x+86+90）=81，解得x=0；又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；x-y=0-3=-3．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，即可求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0），P在第一象限,依题意可知抛物线准线x=-1，∴x0=4-1=3，∴y0=，∴P（3，），F（1，0）．∴直线PF的斜率为.故选C．5.【答案】B【解析】解：依次运行流程图，结果如下：n=13，S=0满足判断框内的条件n≥a，S=13，n=12满足判断框内的条件n≥a，S=25，n=11满足判断框内的条件n≥a，S=36，n=10满足判断框内的条件n≥a，S=46，n=9此时，不满足判断框内的条件n≥a，退出循环，所以a的取值范围是9＜a≤10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线，y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（0，3），此时z的最大值为z=0+2×3=6，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.【答案】B【解析】解：（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5∵（1-2x）5的展开式的通项为T r+1=C5r（-2x）r=（-2）r C5r x r令r=3得（1-2x）5展开式中x3的项的系数是-8C53=-80令r=2得（1-2x）5展开式中x2的项的系数是4C52=40∴（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5的展开式中x3的项的系数是2×（-80）+40=-120故选：B．将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r分别取3，2求出二项式的含x3和含x2的系数．本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8.【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数f（x）=A sin（ωx+φ），的图象可得A=1，，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：B．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（2019）=f（4）=log24=2．故选：A．推导出f（2019）=f（4），由此能求出结果．本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα==，解得a=3．∵最小角α的余弦值为，∴=．∴=．故选：A．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．可先作出所求角再利用余弦定理求值．【解答】解：如图：取BC中点E，连接NE,AE，MN,∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，,又E为BC的中点，,,所以四边形BENM为平行四边形，所以, 则或其补角即为所求异面直线所成角，又,,所以．故选D．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=|x2-2x-1|-t=0得|x2-2x-1|=t，作出y=|x2-2x-1|的图象如图，要使f（x）有四个不同的零点，则0＜t＜2，同时x1，x4，是方程x2-2x-1-t=0的两个根，x2，x3，是方程x2-2x-1+t=0的两个根，则x1x4=-1-t，x1+x4=2，x2x2=-1+t，x2+x3=2，则x4-x1===2，x3-x2===2，则2（x4-x1）+（x3-x2）=4+2，设h（t）=4+2，h′（t）=-=-，由h′（t）＞0得-＞0，得＞，平方得＞得8-4t＞2+t，得5t＜6，即0＜t＜，此时为增函数，由h′（t）＜0得＜t＜2，此时为减函数，故当t=时，h（t）取得极大值h（）=+2=4+2=+=4，h（0）=6，h（2）=8，则8＜6，即h（t）的取值范围是，故选：A．作出y=|x2-2x-1|的图象，利用|x2-2x-1|=t有4个不同的根，用t表示x1，x2，x3，x4，结合根与系数之间的关系，求出2（x4-x1）+（x3-x2）的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合，转化为关于t的函数关系，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】3【解析】解：由点M满足，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则=∴∴m=3故答案为：3确定点M为△ABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值．本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解题的关键是确定点M为△ABC 的重心14.【答案】12【解析】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示；用垂直于侧棱的平面截三棱柱，得截面图形是侧视图，又侧棱长为4，则该三棱柱的体积为V=S截面•侧棱=×2×4×3=12．故答案为：12．由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱得截面图形是侧视图，根据侧棱长求出该三棱柱的体积．本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式及其应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.直接利用二倍角公式的变换求出结果．【解答】解：由，α∈（，π），所以：，整理得：，所以：，则：，∴sin2．故答案为.16.【答案】3【解析】解：因为PF⊥x轴，所以设M（-c，t），则A（-a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率为-，则BN的方程为y=-（x-a），令x=0，则y=，即N（0，），因为|OE|=2|ON|，所以2•||=||，即2（c-a）=c+a，即c=3a，则离心率e==3．故答案为：3．根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）差数列{a n}满足，可得a1+a2=4，a1+a2+a2+a3=12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d=4，4a1+4d=12，解得a1=1，d=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）由题意可得c1=a=a1=1，c2=a=a2=3，可得数列{c n}的公比为3，c n=3n-1，由c n=a=2b n-1，可得b n=（1+3n-1），{b n}的前n项和T n=（1+3+…+3n-1）+n=•+n=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，同理，得AD⊥PE，又PE∩BE=E，PE⊂平面PBE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB．解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，由（1）可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，如图，由题意得PD=PA=AD=2，则E（0，0，0），B（0，，0），C（-2，，0），P（0，0，），∴=（0，，0），=（0，，-），=（-2，，-），设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），由，取y=1，得=（0，1，1），由（1）得是平面PAD的一个法向量，∴cos＜，＞==，∴＜＞=45°，∴平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为45°．【解析】（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出AD⊥BE，AD⊥PE，从而AD⊥平面PBE，由此能证明AD⊥PB．（2）EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，则椭圆方程为+y2=1，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由=α，可得-y1=ay3，则α=-，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为y=（x-1），即x=，代入曲线C的方程又x12+y12=1，整理可得（3-2x1）y2+2y1（x1-1）-y12=0，∴y1y3=-，∴α=-=3-2x1，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1=1，α=1，显然a=3-2x也成立，∴α=3-2x，同理可得β=3-2x，设直线l的方程为y=k（x+2），（k≠0），联立，消去y整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，由△=（8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，解得0＜k2＜，又x1+x2=-，∴α+β=3-2x1+3-2x2=6-2（x1+x2）=14-∈（6，10）即α+β的取值范围是（6，10）．【解析】（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，即可求出椭圆方程，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），分“两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得α+β范围，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质，求出椭圆的标准方程．画出频率分布直方图如图所示；（2）由（1）知P1=0.1，随机变量X的所有可能取值分别为0，1，2；当X=0时，P（X=0）=0.9×（1-P2），当X=1时，P（X=1）=0.9×P2+0.1×（1-P2）=0.8×P2+0.1，当X=2时，P（X=2）=0.1×P2；X所以的数学期望为（）P2+0.1+2×0.1×P2=P2+0.1=0.8，解得P2=0.7；所以P2-P1=0.7-0.1=0.6＞0.5，所以学生甲与学生乙适合结为“对子”．【解析】（1）根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值，求出P2以及P2-P1的值，由此得出结论．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21.【答案】解：（1）由題意，令g（x）=e x-mx+m，（m＞0）则g'（x）=e x-m，令g'（x）＞0，解得x＞ln m．所以g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜ln m，所以g（x）在（-∞，ln m）上单调递减，则当x=ln m时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min=g（ln m）=m-m lnm+m=m（2-ln m）①当m（2-ln m）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2-ln m）=0，即m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2-ln m）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）=g（ln m+x）-g（ln m-x）=me x-me-x-2mx，（x＞0）φ′（x）=m（e x+e-x-2）∵e x+e-x≥2=2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0∴x＞0时，g（ln m+x）＞g（ln m-x）恒成立，又0＜x1＜ln m＜x2，∴ln m-x1＞0，∴g（ln m+ln m-x1）＞g（ln m-ln m+x1）即g（2ln m-x1）＞g（x1），又g（x1）=g（x2）∴g（x2）＜g（2ln m-x1）∵2ln m-x1＞ln m，x2＞ln m，y=g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，∴x2＜2ln m-x1即x1+x2＜2ln m．∵，∴•=（mx1-m）（mx2-m）=m2（x1-1）（x2-1），∵．∴m2（x1-1）（x2-1）＜m2，即（x1-1）（x2-1）＜1，则x1x2-（x1+x2）+1＜1，∴x1x2-（x1+x2）＜0，即x1x2＜x1+x2，即成立．【解析】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．（1）根据函数与方程的关系，设g（x）=e x-mx+m，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．（2）构造函数φ（x），求函数的导数，结合f（x）与l的交点坐标，进行证明即可．22.【答案】解：（1）由x=2+t得t=（x-2）代入y=2+整理得x-+4=0，∴直线l的普通方程为x-+4=0，又，∴ρ2cos2θ-2ρcosθ+ρ2sin2θ=0，∴ρ=2cosθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2）由得，∴A（2，2），设B（ρ，θ），则ρ=2cosθ，∴△AOB的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=|4ρsin（-θ）|=|4cosθsin（-θ）|=|2cos（2θ+）+|，∴S mac=2+．【解析】（1）用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C的极坐标方程；（2）先求得A（2，2），再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，由f（x）＞1，得或或，解得：＜x≤2或2＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），f（x）＜2x+1恒成立，即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，整理得：（2-x）m＞-x，当x=2时，0＞-2成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，∵-1≤x＜2，∴0＜2-x≤3，∴≥，∴1-≤，故g（x）max=，故m＞．【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。