全称量词与存在量词11
1.4 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。
（常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” “所有的”等。
）含有全称量词的命题，叫做全称命题。
如：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：简记为读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
2. 存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。
)含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．∀(),x M p x∀∈，00(),x M p x∃∈，(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为 ____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( )A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．同步提升1、下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 42、 下列特称命题中假命题的个数是（ ）① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 33、 下列特称命题中真命题的个数是（ ）①0x R,x ≤∈∃②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃A 0B 1C 2D 34、 下列全称命题中假命题的个数是（ ）① 2x+1是整数（x ∈R ）②对所有的x ∈R ，x>3③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数 A 0 B 1 C 2 D 35、 下列命题为特称命题的是（ ）A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于36、命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ） A 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称7、命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________ 8、命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ 9、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 11、把下列命题改成含有量词的命题： （1）余弦定理 （2）正弦定理12、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0（2）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立 （3）勾股定理13、写出下列命题的否定： （1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数x 都是方程5x-12＝0的根（3）对于任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0（4）有些质数是奇数14、写出下列命题的否定 （1）若2x>4，则x>2（2）若m 0,则x 2＋x －m ＝0有实数根（3）可以被5整除的整数，末位是0（4）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等15、已知f(x)=ax 2+bx+c 的图象过原点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f(x)≤2x 12＋对一切实数x 均成立？16、写出下列命题的否定，并判断其真假 （1）3＝2（2）5>4（3）对任意实数x ，x>0（4）每个正方形是平行四边形1.4 全称量词与存在量词参考答案当堂训练知识梳理1．(1)对所有的 对任意一个 ∀ (2)全称量词 (3)∀x ∈M ，p (x ) 2．(1)存在一个 至少有一个 ∃ (2)存在量词 (3)∃x 0∈M ，p (x 0) 3．(1)∃x 0∈M ，綈p (x 0) (2)∀x ∈M ，綈p (x ) 4．结论 结论 条件 作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．] 4．B5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．] 6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．] 7．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>08．存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根 9．①②③10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0， ∴命题(4)是假命题．11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．12．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a|13<a≤1或－1≤a<－12}．同步提升答案： C A D C D C 7、03x -x R,x 2≤+∈∃ 8、01x R,x 2≥+∈∀ 9、23x x N,x ≤∈∃10、任意一个三角形都有外接圆11、任意一个三角形的三边和三角，2abc b a cosC 222-+=12、（1）0x R,x 2≥∈∀13、（1）有些自然数的平方不是正数 14、（1）存在实数x 0，虽然满足2 x 0>4，但x 0≤2。
高中数学 全称量词与存在量词课件11 北师大版2-1
——只需在集合 中找到一个元素 0,使得 只需在集合M中找到一个元素 使得 0) 中找到一个元素x 使得p(x
举例说明). 成立即可 (举例说明 举例说明
判断存在性命题"∃x0 ∈ M ,p(x0 )"是假命题的方法：
——需要证明集合 中,使p(x)成立的元素 不 需要证明集合M中 使 成立的元素x不 需要证明集合 成立的元素 存在. 存在 例4 判断下列特称命题的真假 （1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0 ； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线; （3）有些对数函数的图像不存在； (4) 若x<0，则x2<x不成立.
定义： 定义：
有一个” 存在一个 存在一个” “有些”,“有一个”,“存在一个”等表示部 有些” 有一个 分的量词在逻辑中称为存在量词 存在量词. 分的量词在逻辑中称为存在量词 含有存在量 词的命题，叫作特称命题 特称命题. 词的命题，叫作特称命题 常见的存在量词还有“有些” 常见的存在量词还有“有些”，“有一 还有 有的” 个”,“有的”, 有的 “某个” “某个：等. 某个” 符号： 符号 对于特称命题， 中存在一个x,使 对于特称命题，“在M中存在一个 使p(x) 中存在一个 成立”，记作 成立” 读作“ 中存在一个x， 成立” 读作“在M中存在一个 ，是p(x)成立”. 中存在一个 成立
§3 全称量词与存在量词
教学目标
1.了解量词在日常生活中和数学命题中的应 了解量词在日常生活中和数学命题中的应 正确理解全称量词和存在量词的意义， 用，正确理解全称量词和存在量词的意义，并 能使用两类量词叙述数学内容； 能使用两类量词叙述数学内容； • 2. 能判别全称命题与特称命题，并能判断 能判别全称命题与特称命题， 其真假. 其真假
高考数学专项： 全称量词与存在量词(习题作业)解析版
1.5全称量词与存在量词一、单选题1．命题“R x ，0x x ．”的否定是（）A ．R x ，0x xB ．R x ，0x xC ．R x ，0x xD ．R x ，0x x 【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，所以命题“R x ，0x x ．”的否定是“R x ，0x x ”.故选：B2．命题“0x ，2560x x ”的否定为（）A ．0x ，2560x x B ．0x ，2560x x C ．00x ，200560x x D ．00x ，200560x x 【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定可得，命题“0x ，2560x x ”的否定为“00x ，200560x x ”.故选：C3．命题“ 21,3,320x x x ”的否定为（）A ． 20001,3,320x x x B ． 21,3,320x x x C ． 21,3,320x x x D ． 20001,3,320x x x 【答案】A【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为 20001,3,320x x x .故选：A4．命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是（）A ． 0,a ，sin a aB ． 0,a ，sin a aC ． ,0a ，sin a aD ． ,0a ，sin a a【答案】A【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是 0,a ，sin a a .故选：A.5．命题 :15p x x x ，245x x ，则命题p 的否定是（）A ． 15x x x ，245x xB ． 15x x x ，245x xC ． 15x x x ，245x xD ． 15x x x ，245x x 【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题 15x x x ，245x x 是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 15x x x ，245x x ，故选：B6．已知命题2:0,0p x x x ，则p 为（）A ．20,0x x xB ．20,0 x x xC ．20,0 x x xD ．20,0x x x 【答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题2:0,0p x x x ，则p 为20,0 x x x .故选：C7．若命题“x R ，都有2410mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．40mB ．0mC ．4mD ．40m 【答案】C【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m 的范围即可．【详解】解：由题意得R x ，使得2410mx x ，当0m ，14x符合题意；当0m ，只要1640m 即可，解得4m ，综上：4m ．故选：C ．8．已知2:R,40p x x x a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． 0,4B ． ,4C ． ,0D ．4, 【答案】B【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.【详解】因为2:R,40p x x x a 是真命题，所以方程240x x a 有实数根，所以2440a ，解得4a ，故实数a 的取值范围为 ,4 .故选：B.9．已知命题“200014(2)04R,x x a x”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ． 0,4C ． 4,D ．0,4【答案】D【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“200014(2)04R,x x a x ”是假命题则该命题的否定“214(2)0R,4x x a x >”是真命题，所以2(2)40a <，解得04a ；故选：D.10．已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ． 3,6B ． ,36,C ． 3,6D ．,36, 【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是真命题，又因为12x ，所以336x ，要使3x m ，则需3m 或6m .所以实数m 的取值范围为 ,36, .故选：D.11．命题“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件是（）A ．[2,2]aB ．(2,1)aC ．[2,3]aD ．(2,3)a 【答案】C【分析】先将命题“R x ，210x ax ”为假命题转化“x R ，210x ax ”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.【详解】命题“R x ，210x ax ”为假命题，即命题“x R ，210x ax ”为真命题，则 2Δ=40a ，解得22a ，对于A ：[2,2]a 是命题“2R,+1<0x x ax ”为假命题的充要条件，即选项A 错误；对于B ：(2,1) 是[2,2] 的真子集，所以(2,1)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B 错误；对于C ：[2,2] 是[2,3] 的真子集，所以[2,3]a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C 正确；对于D ：(2,3) 与[2,2] 无包含关系，所以(2,3)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D 错误.故选：C.12．若 :1,5p x ，240ax x 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．925aB ．116aC ．5aD ．5a 【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出241a x x ，当1,5x 时，求出241x x的取值范围，即可得出实数a 的取值范围.【详解】对任意的 1,5x ，240ax x ，则241a x x，因为 1,5x ，则1115x，则2419,525x x ，5a .故选：C.二、多选题13．下列说法正确的是（）A ．22,2 B ．“R x ，210x x ”的否定是“R x ，210x x ”C ．“212x ”是“1x ”的充分不必要条件D ．“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据元素和集合的关系判断A ；根据全称量词命题的否定可判断B ；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C ，D.【详解】对于A ， 2,2的元素是 2,2，故 22,2 ，正确；对于B ，“R x ，210x x ”为全称量词命题，它的否定是“R x ，210x x ”，B 错误；对于C ，由212x ，可得312212,22x x ，则1x 成立，当1x 时，比如取2x ，推不出212x 成立，故“212x ”是“1x ”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当a b 时，若0c =，则22ac bc 不成立，当22ac bc 成立时，则0c ，则20c ，故a b ，故“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件，D 正确，故选：ACD14．下列命题中，是真命题的有（）A ．命题“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件B ．命题2:R,10p x x x ，则2:R,10p x x xC ．命题“1x ”是“210x -¹”的充分不必要条件D ．“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A ，C ，D ；根据全称命题的否定形式可判断B.【详解】对于A ，当1x 时，2320x x 成立，反之，当2320x x 时，解得1x 或2x ，不一定是1x ，故“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，A 正确；对于B ，命题2:R,10p x x x 为全称命题，其否定为特称命题，即2:R,10p x x x ，B 正确；对于C ，1x 推不出210x -¹，因为1x 时，210x -=，当210x -¹时，一定有1x 且1x ，故命题“1x ”是“210x -¹”的必要不充分条件，C 错误；对于D ，解2320x x 可得1x 或2x ，故2x 时，一定有2320x x 成立，当2320x x 时，也可能是1x ，不一定是2x ，故“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，D 正确，故选：ABD15．下列说法正确的是（）A ．命题2000:,220R p x x x ，则命题p 的否定是2R,220x x x B ．全称命题“2R,2x x x ”是真命题.C ．命题“2000,10R x x x ”是假命题D ．集合 28120A x x x .集合260C x ax x ，若A C C ，则a 的取值范围是124a【答案】AC【分析】A 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B 选项，举出反例；C 选项，由根的判别式得到210x x 恒成立，C 错误；D 选项，根据交集结果得到C A ，分C 和C 两种情况，分类讨论，得到a 的取值范围.【详解】A 选项，命题p 的否定是2,220 R x x x ，A 正确；B 选项，当2x 时，22x x ，故B 错误；C 选项，对于21y x x ，2Δ(1)41130 ，故对任意的x ，210x x ，C 正确；D 选项，因为A C C ，所以C A ，又 2,6A ，当C 时，若6C ，则36660a ，解得0a ，此时 6C ，满足C A ，若2C Î，则4260a ，解得1a ，此时 3,2C ，不满足C A ，当C 时，Δ12400a a ，解得124a ，综上，a 的取值范围为0a 或124a ，D 错误.故选：AC16．下列命题为真命题的是（）A ．若2:,2n p n N n ，则2:,2n p n N n ；B ．若0,0a b c d ，则a b d c；C ．使不等式110x成立的一个充分不必要条件是1x 或1x D ．若,,(1,2)i i i a b c i 是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的充分不必要条件【答案】BC【分析】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；B 选项：由不等式的同向可乘性可以判断；C 选项：通过检验就可以判断；D 选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.【详解】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ,22n n .则p :N n ,22n n ，A 是假命题；B 选项：0,0c d a b ∵，0,0c d ac bd 0cd ∵又，,ac bd a b cd cd d c即，a b d c，B 是真命题；C 选项：若1x 或1x ，则110x 成立，故满足充分性；当110x时，1x 或0x ，不满足必要性，C 是真命题；D 选项：设1112220a b c m m a b c ，则121212,,a ma b mb c mc 所以不等式21110a x b x c 等价于22220m a x b x c .若0m ，此时 22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集相等；若0m ，此时22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集不相等；若不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集为 ，则两个不等式的系数没有关系.所以“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的既不充分也不必要条件，D 是假命题.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.17．下列命题是真命题的是（）A ．x R ，x xB ．x R ，x xC ．x R ，2350x xD ．x R ，2350x x 【答案】ABD【分析】利用绝对值的性质可判断A 选项的正误；取0x ，可判断B 选项的正误；取0x ，可判断C 选项的正误；取5x ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ：当0x 时，x x ；当0x 时，0x x x ；综上所述：x R ，x x ，故A 正确；对于B ：当0x 时，满足x x ，故B 正确；对于C ：当0x 时，23550x x ，故C 错误；对于D ：当5x 时，23550x x ，故D 正确；故选：ABD ．18．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ，x A 且xB B ．x A ，x BC ．x U ，x A 或x BD ．x U ，x A 且x B【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ，x A 且x B ，A 正确；因A B ，必有x A ，x B ，B 正确；若AU B ð，则()()U U A B 痧，此时x U ，[()()]U U x A B 痧，即x A 且x B ，C 不正确；因A B ，则不存在x U 满足x A 且x B ，D 不正确.故选：AB19．下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04mB ．02mC ．14mD ．16m 【答案】BC【分析】对m 讨论：0m ；0m ，Δ0 ；0m ，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立，当0m 时，原不等式即为10 恒成立；当0m 时，不等式210mx mx 对R x 恒成立，可得Δ0 ，即240m m ，解得：04m .当0m 时，21y mx mx 的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为： 0,4.所以“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有02m 或14m .故选：BC.20．下列说法正确的是（）A ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 不成立”B ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 成立”C ．命题“ 12x x x ，x 为真命题的一个充分不必要条件是7aD ．已知a ，b R ，则“a b ”是 成立的充要条件【答案】BC【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：利用存在命题的否定直接判断；对于C ：先求出4a ，即可判断；对于D ：由0,0a b .故D 错误即可判断.【详解】对于A 、B ：因为“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a成立”，所以A 错误，B 正确；对于C ：命题“ 12x x x ，x 为真命题，则4a ，所以7a 是一个充分不必要条件.故C 正确；对于D ：当0,0a b .故D 错误.故选：BC三、填空题21．请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方22．命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是_______．【答案】所有的正整数，它的算术平方根不是正整数【分析】根据特称命题的否定即可得.【详解】解：命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”.故答案为：所有的正整数，它的算术平方根不是正整数.23．“所有的自然数都大于零”的否定是_______．【答案】存在一个自然数小于或等于零【分析】根据全称命题的否定形式为对应的特称命题进行改写.【详解】替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”．故答案为：存在一个自然数小于或等于零24．将“方程210x 无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．【答案】2R ,10x x 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．【详解】由已知，“方程210x 无实根”是全称量词命题，故可改写为：2R ,10x x ，故答案为：2R ,10x x ．25．命题“x R ，20x x ”的否定是______．【答案】R x ，20x x 【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.【详解】命题“x R ，20x x ”的否定是“R x ，20x x ”.故答案为：R x ，20x x 四、解答题26．已知命题22:,20p x x x a R ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合 231B am a m ∣，若A 是B 的真子集，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 11A aa ∣；(2)01m ．【分析】(1)命题为真命题，即方程2220x x a 有根，则2Δ440a ，解出即可.(2)因为A 是B 的真子集，列不等式组解出即可.【详解】（1）由命题p 为真命题，得2Δ440a ，得11a11A a a ∣（2）A ∵是B 的真子集．23111231m m m m，解得01m ．27．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)三个连续整数的乘积能被6整除;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题(4)任意整数2,1n n 不是4的倍数，真命题【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，以及命题的形式直接写出命题的否定，并判断真假即可.【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，是无限不循环小数，所以其为假命题；（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；（4）命题的否定为：“任意整数2,1n n 不是4的倍数”，当2,Z n k k 时，22141n k 不是4的倍数；当21,Z n k k 时，2214()2n k k 不是4的倍数，所以其为真命题.28．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)R x ，使43x x ；(3)R x ，有12x x .【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析.【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明43x x 不成立;对(3)举例说明12x x 成立.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：R x ，有43x x ．因为当2x 时，42352 ，所以“R x ，有43x x ”是假命题．（3）命题的否定：R x ，使12x x ．因为当2x 时，121322x ，所以“R x ，使12x x ”是真命题．29．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.30．已知全集U R ，集合{|13}A x x ，集合{|21}B x m x m ．(1)若A B B I ，求实数m 的范围；(2)若1x A ，2x B ，使得12x x ，求实数m 的范围．【答案】(1)1(,)3(2)(,2)【分析】（1）可先求出A B B ∩，即B A 时m 的范围，即可求解；（2）先得到A B ，再列出不等式，即可求解【详解】（1）若A B B ∩，则B A ，当B 时，则21m m ³-，13m ，当B 时，则212113m m m m，则m 不存在，综上，13m ，A B B ∩，实数m 的范围为1(,)3 ．（2）1x A ∵，2x B ，使得12x x ，A B ，且A ，则2113m m ，2m ，实数m 的范围为(,2) ．31．已知集合 25A x x ， 121B x m x m ，且B .(1)若命题p ：“x B ，x A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)若命题q ：“x A ，x B ”是真命题，求m 的取值范围．【答案】(1)2,3(2)2,4【分析】（1）根据命题p 为真命题，得到,B A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围；（2）根据命题q 为真命题，得到A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】（1）命题p ：“x B ，x A ”是真命题，故,B A B ，所以12112215m m m m，解得23m ，故m 的取值范围是 2,3.（2）由于命题q 为真命题，则A B ，因为B ，所以121m m ，所以2m ,当2m 时，一定有13m ，要想满足A B ，则要满足15m ，解得4m ，故A B 时，24m ，故m 的取值范围为 2,4.32．已知命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，(1)命题:p “ 2R,140x x a x ”，若命题,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.(2)命题:21p a x a ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围.【答案】(1) 3a a 或 1a ；(2)1,2【分析】（1）先求出命题,p q 为真和假时a 的取值范围，由此可得命题,p q 都为假命题时a 的取值范围，进而即可求解；（2）记 1,8,2,1A B a a ，由题意可得BA ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；【详解】（1）命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，为真命题时，22a x x ，令 22,22f x x x x ，则 18f x ，所以18a ，所以命题q 为假时，则1a 或8a ，命题:p “ 2R,140x x a x ”，为真命题时，21440a ，解得3a 或5a ，所以命题q 为假时，则35a ，又因为命题,p q 都为假命题时，3518a a a或，即31a ，所以命题,p q 中至少一个为真时，实数a 的范围是 3a a 或 1a ；（2）由（1）可知：命题q 为真命题时，18a ，记1,8,2,1A B a a 因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A ，当B 即21a a ，也即1a 时，满足条件；当B 时，212118a a a a ，解得112a ；综上可知：实数a 的范围是1,233．已知命题:p x R ，2210ax x +-=为假命题．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合 64242B x m x m ，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】(1)1A a a (2)3m 或m 1【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即Δ0 求解即可；（2）根据题意先求得B A ，再分情况求得m 的范围即可．【详解】（1）解：命题p 的否命题为R x ，2210ax x 为真，0a 且Δ440a ，解得1a ．∴ 1A a a ．（2）解：由64242m x m 解得32m x m <<，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，则B A ，∴当B 时，即32m m ，解得m 1 ；当1m 时，21m ，解得3m ，综上：3m 或m 1 ．34．已知命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)若:44q m a 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1),1 (2),5 【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.【详解】（1）命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题，则“x R ，使不等式220x x m 恒成立”是真命题，故440m ，解得1m ，故 ,1m ，即 ,1A .（2）由于命题：:44q m a ，整理得：44a m a ，由小问1得p ：1m ，由于q 是p 的充分不必要条件，所以41a ，解得5a ，故实数a 的取值范围为 ,5 .35．已知命题：“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题．(1)求实数m 的取值的集合A ；(2)设不等式()(3)0x a x a 的解集为B ，若x A 是x B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 1A m m 或 3m ；(2)(,2][3,) ．【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【详解】（1）命题“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题，所以2(2)4(43)0m m ，即2430m m ，解之得1m £或3m ，所以实数m 的取值的集合 1A m m 或 3m ；；（2）不等式()(3)0x a x a 的解集为 3B x a x a ，因为x A 是x B 的必要不充分条件，所以B A ，则3a 或31a ，所以3a 或2a ，故实数a 的取值范围为(,2][3,) ．。
全称量词与存在量词(经典练习及答案详解)
全称量词与存在量词1．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，①错误；②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题，②正确；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0，③正确．故选C ．2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 【答案】B 【解析】A 是全称量词命题；B 为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确；因为3＋(－3)＝0，所以C 为假命题；对于任何一个负数x ，都有1x<0，所以D 错误．故选B ．3．命题p ：∀x ∈N ，x 3>x 2的否定形式綈p 为( )A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3>x 2C ．∃x ∈N ，x 3<x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2【答案】D 【解析】命题p ：∀x ∈N ，x 3>x 2的否定形式是存在量词命题，所以綈p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”．故选D ．4．(多选)下列四个命题中，是真命题的为( )A ．∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0B ．∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0C ．∃x 0∈N ，使x 20≤x 0D ．∃x 0∈N *，使x 0为29的约数【答案】ACD 【解析】对于A ，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故C 为真命题；对于D ，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，所以D 为真命题．5．下列命题为真命题的是( )A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】A中，2x－2＝0⇔x＝2∉Q，故A错误；B中，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；C中，因为2＝1×2，故C正确；D中，2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．6．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．7．若命题“∃x0∈R，使x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________________．【答案】{a|－1≤a≤3}【解析】由题意知∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.8．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0; ③存在实数a，使函数y ＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．B 级——能力提升练10．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |>0B ．∃x ∈R ，|x |>0C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x ∈R ，|x |≤0【答案】C 【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是“任意实数的绝对值都不是正数”，所以选C ．11．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )A ．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B ．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C ．所有四边形的四个顶点共圆D ．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A 【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”．故选A ．12．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【答案】B 【解析】因为p 为假命题，所以綈p 为真命题，即∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，所以1－a ≤0，则a ≥1.所以a 的取值范围是a ≥1.故选B ．13．下列命题：①存在x <0，x 2－2x －3＝0；②对一切实数x <0，都有|x |>x ；③∀x ∈R ，x 2＝x . 其中，真命题的序号为________．【答案】①② 【解析】因为x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或x ＝3，所以存在x ＝－1<0，使x 2－2x －3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，故③为假命题．14．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．解：(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x ∈R,5x －12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，x 2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．C 级——探究创新练15．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3＞0，如果命题p 是真命题，求实数a 的取值范围． 解：命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3＞0”是真命题，①当a ＝0时，不等式为2x ＋3＞0，显然不成立，不符合题意；②当a ≠0时，二次函数y ＝ax 2＋2x ＋3大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ＜0，解得a ＞13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ＞13.。
第11讲 全称量词命题与存在量词命题的否定(解析版)
第11讲：全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】知识点：含量词的命题的否定知识点：命题的否定与原命题真假性相反.【考点剖析】考点一：全称量词命题的否定例1．命题:p 对任意1x >，()10xx e ->，则命题p 的否定是（ ）A ．当1x ≤时，()10xx e -≤B ．存在01x >，使得()0010xx e -≤ C ．存在01x ≤，使得()0010xx e -≤D ．当1x >时，()10xx e -≤【答案】B 【详解】由全称命题的否定可知，命题p 的否定为：存在01x >，使得()0010xx e -≤.故选：B.变式训练1：命题“22,26x x ∀>+>”的否定（ ） A ．22,26x x ∃≥+> B ．22,26x x ∃≤+≤C ．22,26x x ∃≤+>D ．22,26x x ∃>+≤【答案】D 【详解】因为原命题“22,26x x ∀>+>”，所以其否定为“22,26x x ∃>+≤”，故选：D.变式训练2：命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ） A ．0x R ∃∈，00220210x x -+< B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”. 故选：B.变式训练3：命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ） A ．20,10x x ax ∃≥+-< B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”. 故选：C考点二：存在量词命题的否定例2．写出下列存在量词命题的否定： （1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程28150x x -+=有一个根为偶数； （3）x R ∃∈，使210x x ++≤.【答案】（1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”；（2）“方程28150x x -+=有一个根为偶数”的否定是“方程28150x x -+=的每一个根都不是偶数”； （3）“x R ∃∈，使210x x ++≤”的否定是“x R ∀∈，210x x ++>”.变式训练1：设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为（ ）A ．2,310x R x x ∀∈-+≥ B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.【答案】A 【详解】命题0:p x R ∃∈，20310x x -+<， 由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则p ⌝为：x R ∀∈，2310x x -+． 故选：A ．变式训练2：设命题p ：x Z ∃∈，221x x ≥+，则p 的否定为（ ） A ．x Z ∀∉，221x x <+ B ．x Z ∀∈，221x x <+C ．x Z ∃∉，221x x <+D ．x Z ∃∈，22x x <【答案】B 【详解】由特称命题的否定知p 的否定为：x Z ∀∈，221x x <+. 故选：B.变式训练3：下列关于命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定说法正确的是（ ） A ．x R ∀∈，均有210x x ++≥假命题 B ．x R ∀∈，均有210x x ++≥真命题C ．x R ∃∈，有210x x ++≥假命题D ．x R ∃∈，有210x x ++=真命题【答案】B 【详解】命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是x R ∀∈，均有210x x ++≥， 对x R ∀∈，又22131()024x x x ++=++≥，故该命题为真命题. 故选：B考点三：全称量词与存在量词命题的否定（判断真假）例3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出命题的否定，并判断其真假. （1）不论m 取何实数,关于x 的方程220x x m +-=必有实数根； （2）某些梯形的对角线互相平分； （3）函数y kx =图象恒过原点.【答案】（1）即“所有m R ∈，关于x 的方程220x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得关于x 的方程220x x m +-=没有实数解”，真命题； （2）是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；（3）即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.变式训练1：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定. （1）所有的正方形都是矩形； （2）每一个奇数都是正数； （3）x R ∀∈，210x x -+≥； （4）有些实数有平方根；（5）x R ∃∈，210x +=.【答案】前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x ∈M ，p(x)”.其中命题（1）的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”； 命题（2）的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”； 命题（3）的否定是“∃x ∈R ，210x x -+<”；后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x ∈M ，p(x)”.其中命题(4)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”； 命题(5)的否定是“∀x ∈R ，210x +≠”.变式训练2：判断下列命题的否定的真假：（1）任何一个平行四边形的对边都平行；（2）非负数的平方是正数（3）有的四边形没有外接圆；（4）,x y Z ∃∈3y += 【答案】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题；（2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”， 因为200=，不是正数，所以该命题的否定是真命题； （3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题；（4）命题的否定为“,x y Z ∀∈3y +≠”，因为当0x =，3y =3y +=，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.变式训练3：写出下列命题的否定，并判断它们的真假. （1）2,10x x x ∀∈++>R ； （2）每个正方形都是平行四边形；（3）m N N ∃∈； （4）平行四边形的对边相等.【答案】解：（1）2,10x R x x ∃∈++≤，假命题，因为140∆=-<，不等式无解()2存在一个正方形不是平行四边形，假命题，因为任何正方形都是平行四边形.()3m N N ∈∀，假命题，因为0m N =∈1N =∈()4存在平行四边形，它的对边不相等，假命题，因为平行四边形的对边必相等.考点四：全称量词与存在量词命题的否定应用 例4．若命题“存在实数{}21x x x ∈-≤≤-，使得230x x m”是假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】{}3m m ≤. 【详解】由题可转化为命题“对任意的[]2,1x ∈--，不等式230xx m 恒成立”为真命题，即23m x x ≤++恒成立，令()23f x x x =++，又()211124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减，所以()()min 13f x f =-=，故3m ≤.变式训练1：已知命题:p “至少存在一个实数[1,2]x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围． 【答案】{|3}a a >- 【详解】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a ++->在[1,2]上有解，令222y x a a x ++=-，所以max 0y >，又因为最大值在1x =或2x =时取到，∴只需1x =或2x =时，0y >即可，∴1220a a ++->或4420a a ++->，解得3a >-或2a >-， 即3a >-．故实数a 的取值范围{|3}a a >-．变式训练2：已知a R ∈，命题p ：[]0,1x ∃∈，使得(1)10a x -->；命题q ：x R ∀∈使得240x ax ++>. （1）写出命题p 的否定p ⌝，并求p ⌝为真时，实数a 的取值范围； （2）若命题,p q 有且只有一个为真，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤；（2）42a -<≤或4a ≥. 【详解】（1）由题意，p ⌝：()0,1x ∀∈，使得(1)10--≤a x ； 若p ⌝为真，即11-≤a x()0,1x ∀∈恒成立，所以只需11a -≤，解得2a ≤． （2）由（1）可得，p ⌝为真时，2a ≤；所以，若命题p 为真，则2a >； 若命题q 为真，则对于x R ∀∈，240x ax ++>恒成立， 因此只需∆<0，即2160a -<，解得44a -<<； 因为命题,p q 有且只有一个为真， 若p 真q 假，则有24a a >⎧⎨≤-⎩或24a a >⎧⎨≥⎩，解得4a ≥；若p 假q 真，则有244a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得42a -<≤；综上，p 、q 有且只有一个为真时，a 的取值范围是42a -<≤或4a ≥.【过关检测】1、已知命题:0p x ∀>，20x x+≥p 的否定为（ ）A ．00x ∃<，0020x x +<B ．0x ∀>，20x x+<C ．0x ∀≤，20x x+<D ．00x ∃>，0020x x +<【答案】D 【详解】先变量词，将“∀”改为“∃”，再改结论，将“20x x+≥0020x x +<则p 的否定为：0x ∃>，0020x x +<故选：D.2、命题“对x R ∀∈，都有21x x +>”的否定是（ ） A ．2,1x R x x ∃∈+> B ．x R ∀∈，都有21x x +≤C ．2,1x R x x ∃∈+≤D ．2,1x R x x ∃∉+≤【答案】C 【详解】因为原命题为“对x R ∀∈，都有21x x +>”， 所以其否定为“2,1x R x x ∃∈+≤”， 故选：C.3、已知命题:1p x R ∀∈≤，则（ ） A．:1p x R ⌝∃∈≥ B．:1p x R ⌝∀∈≥C．:1p x R ⌝∃∈>D．:1p x R ⌝∀∈>【答案】C 【详解】因为:1p x R ∀∈≤，所以:1p x R ⌝∃∈>， 故选：C.4、设命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为（ ）A ．2,21x Z x x ∀∉<+B ．2,21x Z x x ∀∈<+C ．2,21x Z x x ∃∉<+D ．2,2x Z x x ∃∈<【答案】B 【详解】命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为：2,21x Z x x ∀∈<+.故选：B5、命题“20,1x x x ∀>+>”的否定是（ ） A ．“20000,1x x x ∃>+≤” B ．“20,1x x x ∀≤+>”C ．“20000,1x x x ∃>+<”D ．“20,1x x x ∀≤+≤”【答案】A 【详解】命题“20,1x x x ∀>+>”的否定是“20000,1x x x ∃>+≤”故选：A.6、已知命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+<，则p ⌝是（ ）A ．0x ∃∈R ，20010x x -+≥ B ．0x ∀∈R ，20010x x -+<C ．x ∀∈R ，210x x -+≥D ．x ∀∈R ，210x x -+>【答案】C 【详解】由特称命题的否定可知p ⌝为：x R ∀∈，20010x x -+≥.故选：C.7、已知命题:0p x ∃>，20x x -+>，则命题p 的否定为（ ） A ．20,0x x x ∃-+> B ．20,0x x x ∃-+C ．20,0x x x ∀>-+>D ．20,0x x x ∀>-+【答案】D 【详解】命题:0p x ∃>，20x x -+>的否定是20,0x x x ∀>-+≤． 故选：D ．8、关于命题，下列判断正确的是（ ） A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“4,x R x R ∀∈∈”的否定为“400,x R x R ∃∈∉”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”【答案】C 【详解】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错；B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x R x R ∀∈∈”的否定为“400,R x x R ∃∈∉”故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错； 故选：C9、命题p ：x ∀∈R ，2440x x ++>，则命题p 的否定p ⌝以及p ⌝的真假性正确的选项是（ ） A ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤，假B ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤，真C ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++>，假D ．p ⌝：x ∀∈R ，200440x x ++≤，真【答案】B 【详解】由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤”，令02x =-，则200444840x x ++=-+=，所以命题“0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤”为真命题，故选：B.10、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数B ．任意一个无理数，它的平方是有理数C ．存在一个无理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”， 故选：A11、已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____． 【答案】20001,04∃∈-+≤x R x x 【详解】 由全称命题的否定为特称命题，已知21:,04∀∈-+>p x R x x ，所以20001:,04⌝∃∈-+≤p x R x x . 故答案为：20001,04∃∈-+≤x R x x .12、命题“20000,20200x x x ∃>+->”的否定是___________.【答案】20000,20200x x x ∀>+-≤【详解】命题“20000,20200x x x ∃>+->”的否定是“20000,20200x x x ∀>+-≤”故答案为：20000,20200x x x ∀>+-≤13、写出下列命题的否定并判断真假:（1）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）被8整除的数能被4整除.【答案】（1）命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题.（2）命题的否定:任意梯形的对角线都不互相平分，是真命题.（3）命题的否定:存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.14、写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）p ：所有的方程都有实数解；（2）q ：2,4410x R x x ∀∈-+≥；（3）r ：2,220x x x ∃∈++≤R ；（4）s ：某些平行四边形是菱形.【答案】（1） p ⌝：存在一个方程没有实数解，真命题.比如方程210x +=就没有实数解.（2）q ⌝：2,4410x R x x ∃∈-+<，假命题.由于22,441(21)0x R x x x ∀∈-=-≥+恒成立，是真命题，所以¬q 是假命题.（3）r ⌝：2,220x x x ∀∈++>R ，真命题.（4）s ⌝：每一个平行四边形都不是菱形，假命题.15、已知p ：x R ∀∈，210mx +>，q ：x R ∃∈，210x mx ++≤．（1）写出命题p 的否定q ⌝；命题q 的否定q ⌝；（2）若p ⌝和q ⌝至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）p ⌝：x R ∃∈，210mx +≤；q ⌝：x R ∀∈，210x mx ++>；（2）2m <.【详解】（1）p ⌝：x R ∃∈，210mx +≤；q ⌝：x R ∀∈，210x mx ++>．（2）由题意知，p ⌝真或q ⌝真，当p ⌝真时，0m <，当q ⌝真时，240m ∆=-<，解得22m -<<，因此，当p ⌝真或q ⌝真时，0m <或22m -<<，即2m <．16、已知m R ∈，命题:p [0,1]x ∀∈，23x m m ≥-恒成立；命题:q 存在x ∈R ，使得220x x m -+->.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若,p q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[0,3]；（2）0m <或13m ≤≤.【详解】（1）∵[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-∴230m m -≤，解得03m ≤≤，故实数m 的取值范围是[0,3]（2）当q 为真命题时，则440m ∆=->，解得1m <∵p ，q 有且只有一个真命题当p 真q 假时，031m m ≤≤⎧⎨≥⎩，解得：13m ≤≤ 当p 假q 真时，031m m m ⎧⎨<⎩或，解得：0m <综上可知，13m ≤≤或0m <故所求实数m 的取值范围是0m <或13m ≤≤.。
全称量词与存在量词
x M,p(x) x M,p(x)
结论
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论
全称命题 p :
它的否定p :
x M,p(x)
全称命题பைடு நூலகம்否 定是特称命题
x0
M,p(x
)
0
探究2
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；x M,p(x)
(x)
x2
bx
x
b 2
2
b2 4
,
最小值为
b2 4
,
令t
x2
bx, 则f
(f
(x))
f
(t) t 2
bt
t
b 2
2
b2 4
,t
b2 4
,当
b 0时, f ( f (x))的最小值为 b2 ,所以"b 0"能推出" f ( f (x))的最 4
2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
2）p:每一个四边形的四个顶点共圆 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。 解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
1.5全称量词和存在量词 讲义【Word版无答案】
1.5全称量词和存在量词一、全称量词和存在量词 1. 全称量词与全称命题“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题．符号：∀，表示任意 2. 存在量词与特称命题“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作特称命题．符号：∃，表示存在【例1】判断下列全称量词命题的真假 （1）所有的素数都是奇数 （2）11,≥+∈∀x R x（3）对任意的一个无理数x ，x 2也是无理数 【例2】判断下列存在量词命题的真假 （1）有一个实数x ，使得0322=++x x（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 （3）有些平行四边形是菱形【例3】下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 至少有一个Z x ∈,使得32<x 成立B. 对任意的R b a ∈,，都有)1(222-+≥+b a b aC. x x R x =∈∃2，D. 菱形的两条对角线长度相等 【例4】给出下列四个命题：①有理数是实数；（这个命题虽然没有全称量词，但也是全称命题，只是省略了，应该这样理解这个命题“所有的有理数都是实数”） ②有些平行四边形不是菱形； ③022>-∈∀x x R x ，； ④12+∈∃x R x ，为奇数以上命题是真命题的是 3. 全称命题与特称命题的否定 （1）命题的否题一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这个新命题称为原命题的否定。
原命题和命题的否定的真假性对换，即原命题为真，它的否定为假；原命题为假，它的否定为真。
例如：“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”。
（2）全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“存在某一个”等短语，使命题进行否定（不成立）例：“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整数的整数不是奇数”（3）特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明“所有的对象”都不满足这一性质，实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题． 对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”等存在量词，变成“一个都不存在”“所有的”等短语，使命题进行否定（不成立）例：“有些整数既能被2整除，又能被3整除”的否定是“所有的整数都不能既能被2整除，又能被3整除”【例5】写出下列命题的否定（1）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上（2）对任意2x Z x ，∈的个位数字不等于3（3）存在实数a ，使得a 没有意义（4）存在一个实数对()y x ，，使得032>-+y x 成立【例6】先判断是全称命题还是特称命题，并写出下列命题的否定： (1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)方程x 2－8x ＋15＝0有一个根是偶数；(4)有的四边形是正方形.【例7】命题“对于任意的R x ∈,0123≤+-x x ”的否定是（ ）A ．不存在R x ∈，0123≤+-x xB ．存在R x ∈，0123≥+-x xC ．对任意的 R x ∈，0123>+-x xD ．存在R x ∈，0123>+-x x【例8】判断下列命题的真假（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对),(y x 都对应一点P. ( ) （2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示. ( ) （3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形. （ ）（4）存在一个实数x ，使得方程062=++x x 成立. （ ） （5）0232=+-∈∃x x R x ，. ( )（6）()2222,,y xy x y x Z y x +-=-∈∀. ( )补充：逻辑联结词：且“∧”、或“∨”、非“⌝” 1. 逻辑联结词“且”①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题p 且q ． ①命题p 且q 的真假判定①逻辑联结词“且”与集合中的A 与B 的交集： A ∩B ＝{x |x ①A 且x ①B }. 2. 逻辑联结词“或”①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题p 或q ． ①命题p 或q 的真假判定①逻辑联结词“或”与集合中的A与B的并集：A①B＝{x|x①A或x①B}.3. 逻辑联结词“非”①定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作：﹁p；读作：非p或p 的否定．①命题﹁p的真假判定①逻辑联结词“非”与集合中的“补集”来定义集合A在全集U中的补集：①U A={x|x①U且x①A}.4．命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①﹁(p且q)＝﹁p或﹁q；①﹁(p或q)＝﹁p且﹁q【例9】分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“ ﹁p”形式的命题．(1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．【例10】若﹁p或q是假命题，则()A．p且q是假命题B．p或q是假命题C．p是假命题D．﹁q是假命题【例11】已知p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若﹁p 是假命题，则a 的取值范围是什么？课后练习1．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题为( ) A ．对任意x ，y ①R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立 B ．存在x ，y ①R ，使x 2＋y 2≥2xy 成立 C ．对任意x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xy 成立 D ．存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 3．下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ①菱形的四条边都相等；②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有的有理数都是实数4．命题“R x ∈∃,0123=+-x x ”的否定是（ ）A. 存在R x ∈∃，0123≠+-x x B ．不存在R x ∈，0123≠+-x x C ．对任意的 R x ∈，0123=+-x x D ．对任意的R x ∈，0123≠+-x x 5．命题“对任意的R x ∈，都有02≥x ”的否定为（ ） A. 对任意的R x ∈，都有02<xB ．不存在R x ∈，02<xC ．存在 R x ∈，02≥xD ．存在R x ∈，02<x 6．如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同7．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( ) A ．(﹁p )或qB ．p 且qC ．(﹁p )且(﹁q )D ．(﹁p )或(﹁q )8．已知命题p ：“任意x ①[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ①R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≤－2或a ＝1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2} D ．{a |－2≤a ≤1}9．已知集合{}21≤≤=x x A ，则命题“02≤-∈∀a x A x ，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4≥aB ．4≤aC ．5≥aD ．5≤a 10．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(﹁p )①(﹁q ) B ．p ①(﹁q ) C ．(﹁p )①(﹁q )D ．p ①q11．命题“任意x ①R ，若y >0，则x 2＋y >0”的否定是 ． 12．写出下列命题的否定 （1）01,≠-+∈∀x x R x ；（2）R a ∈∃，一次函数a x y +=的图像经过原点13．能够说明“存在两个不相等的正数a,b ，使得ab b a =-是真命题”的一组有序数对()b a ,为14．判断下列命题的真假（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （ ）（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （ ） （3）有些实数是无限不循环小数； （ ）（4）至少有一个整数n ，使得12+n 是4的倍数； （ ）15. 已知命题“02212≥++≤≤a x x x ，使”为真命题，求实数a 的取值范围。
全称量词与存在量词教案2选修11
1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究∃问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =痧?,()U U U A B A B =痧?四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。
预备知识5 全称量词与存在量词(解析版)-2024-2025初升高衔接精品资料(新高一暑假学习提升)
专题05预备知识五：全称量词与存在量词1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系对点特训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（）①x ∀∈R ，220x +>；②4,1x x ∀∈≥N ；③3,1x x ∃∈<Z ；④2,3x x ∃∈=Q ．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.【详解】x ∀∈R ，2220x +≥>，①正确；当0x =时，401x =<，②错误；1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（）A．0x ∃≤，230x -<B．0x ∃>，230x -≥C．0x ∀≤，230x -<D．0x ∀>，230x -≥【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∃>，230x -<”为存在量词命题，其否定为：0x ∀>，230x -≥.故选：D2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知命题p ：x ∀∈R ，3210x x +->，则p ⌝为（）A．0x ∃∈R ，300210x x +-≤B．0x ∃∈R ，300210x x +-<C．x ∀∈R ，3210x x +-≤D．x ∀∈R ，3210x x +-<【答案】A【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.【详解】将原命题的任意量词x ∀∈R 换成存在量词0x ∃∈R ，结论中的“0>”换成“0≤”就得到原命题的否定p ⌝为：0x ∃∈R ，300210x x +-≤，从而A 正确.故选：A对点特训三：根据全称（特称）命题的真假求参数典型例题例题1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p ：“0x ∀>，240x ax -+≥”是真命题，则实数a 的取值范围是（）1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（）A．012a a <>或B．012a a ≤>或C．012a <<D．012a ≤<【答案】D【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得a 的取值范围.【详解】若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则当0a =时，不等式为120>对R x ∀∈恒成立；故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为.【答案】0（答案不唯一）【分析】由题意得2250x x m +-=有解，再根据一元二次方程根的判别式即可得解.【详解】因为命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，所以命题“x ∃∈R ，使2250x x m +-=”是真命题，即方程2250x x m +-=有解，所以()2Δ5420m =-⨯⨯-≥，得258m ≥-，故实数m 的一个可能取值为0（满足258m ≥-即可）．故答案为：0（答案不唯一）.6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为．【答案】(],1-∞【分析】原命题转化为“方程220x x m -+=有实数解”，再由0∆≥可求实数m 的取值范围.【详解】若命题“R x ∃∈，使得220x x m -+=”是真命题，也就是“方程220x x m -+=有实数解”，∴0∆≥⇒440m -≥⇒1m ≤.故答案为：(],1-∞一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是（）A．x ∃∈Z ，20x ≥B．x ∃∉Z ，20x ≤C．x ∃∈Z ，20x <D．x ∃∉Z ，20x <【答案】C【分析】根据命题“x M ∀∈，()p x ”的否定是“x M ∃∈，()p x ⌝”直接得出结果.【详解】命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是“x ∃∈Z ，20x <”．故选：C．2．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（）A．1x ∀≥，10x +<B．1x ∃≥，10x +<。
全称量词与存在量词知识点总结
全称量词与存在量词知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好唠唠全称量词与存在量词这个知识点啦！
先来说说全称量词，就好比说“所有的鸟都会飞”，这其中“所有的”就是全称量词啦。
想象一下，就像把整个鸟的群体都包括进来了一样！比如说，在一个森林里，我们可以说“所有的树木都有叶子”。
再讲讲存在量词，“有的鸟是黑色的”，这里的“有的”就是存在量词，像是在茫茫鸟群中找到了一部分有特定特征的鸟哦！比如班级里，“有的同学喜欢唱歌”。
好多人一开始可能会觉得这两个概念比较抽象，不好理解，但其实它们就像我们生活中的小细节一样常见呀！比如说咱去超市买东西，“所有的饮料都摆在货架上”，这就是全称量词的体现呀；而“有的零食在促销”，这就是存在量词啦！
全称量词就像是一把大扫帚，一下子把所有的都扫进来；存在量词呢，则像一个小镊子，精准地夹出其中一部分。
两者相辅相成，让我们能更清楚地表达和理解各种情况呢。
大家仔细想想，要是没有这两个家伙，那我们说话得多费劲呀？怎么能准确地表达出所有的情况或者部分情况呢？它们就像是语言的魔法棒，让我们的表达更准确、更生动！
所以啊，全称量词与存在量词真的超级重要！可得好好掌握它们，这样我们在表达自己想法的时候就能更得心应手啦！记住它们，运用它们，让我们的语言变得更加丰富多彩吧！。
全称量词与存在量词--优质获奖精品课件 (11)
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终 借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
又 p∧q 是真命题,
所以
a a
1, 2或a
1.
所以实数 a 的取值范围为(-∞,-2]∪{1}.
摇身一变:已知命题 p:“∀ x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“∃ x0∈R, x02 +2ax0+a+2=0”, 若命题“p 或 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.
解:p⇔a≤(x2)min=1.q⇔Δ=4a2-4(a+2)≥0⇔a≤-1或a≥2. 因为“p或q”为真命题, 所以p,q中至少有一个真命题. 所以a≤1或a≤-1或a≥2, 所以a≤1或a≥2.
即时训练3:已知命题p:∀x>0,(m+1)x≤0.命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,
若p∧q为假命题且p∨q为真命题,则m的取值范围是
.
解析:p:m≤-1,q:-2<m<2, 因为p∧q为假命题且p∨q为真命题, 所以p与q一真一假, 当p假q真时,-1<m<2, 当p真q假时,m≤-2, 所以m的取值范围是m≤-2或-1<m<2.
全称量词与存在量词
（2）由于平面内垂直于通一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题．
（3）由于正方形既是平行四边形也是菱形， 所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
考点
学习目标
重、难点
核心素养
1.全称量词和全称量词命题
判断全称量词命题
重点
数学抽象逻辑推理
2.存在全称量词和存在量词命题
判断存在量词命题
重点
3.全称量词命题和存在量词命题
判断全称量词命题和存在量词命题的真假
难点
数学运算
下列语句是命题吗？比较（1）和（3）、（2）和（4）它们之间有什么关系？ (1)x>3;(2)2x+1是整数；(3)对所有的x,x>3;(4)对任意一个x,2x+1是整数.
课堂小结
10
11
1.练习1.和2.2.思考:如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？
课后作业
感谢观看
追问1：怎么判断全称量词命题的真假呢？
（1）2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数” 是假命题．
思考2
下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4）它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除； (3)存在一个xR,使得2x+1=3; (4)至少有一个xZ,x能被2和3整除.
解：(1)全称量词命题,真命题；(2)存在量词命题，假命题；(3)全称量词命题,假命题；
解：(1)假命题；(2)假命题；(3)真命题；(4)假命题.
变2.判断下列命题的真假.(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)为正实数，使；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；(4).
1.4全称量词与存在量词(11班)
3.x0 R, x0 1 0
2
否定：x R, x 1 0
2
结论：特称命题
否定
p : x0 M , p( x0 )
全称命题 p : x M , p( x)
跟踪检测：写出下列命题的否定
1. p : x R, x 2 x 2 0
2
p : x0 R, x02 2 x0 2 0
预习展示：
判断命题真假 (1)存在x0∈R，使2x+1=3； (2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
“存在一个”,“至少有一个”,“有些”, 存在量词： “对某个” 符号： 特称命题: 含有存在量词的命题 符号记法： x0 M，p( x0 ) 语言描述：“存在x0属于M，使p(x0)成立”
2. p: 有的三角形是等边三角形
﹁ p: 所有的三角形都不是等边三角形
3. p: 有的素数含有三个正因数 ﹁ p: 每个素数都不含有三个正因数
小 结：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题"x M,p(x)"是假命题的方法：
在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立 (举反例)
预习展示3：判断下列特称命题的真假： (1)至少有一个整数, 它既不是合数, 也不是素数； (2)有些实数是无限不循环小数； (3)有一个实数x0∈Q，使x02－8=0.
小 结：
判断特称命题"x0 M,p(x0 )"是真命题的方法：
只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 成立即可 (举例证明)
判断特称命题"x0 M,p(x0 )"是假命题的方法：
2022-2023新高一初高中衔接假期过关《 全称量词与存在量词》讲义实训题(附答案)
2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 全称量词与存在量词知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____．三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x ，使得x 2+2x +3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x 2﹣8x +12＝0有一个根是奇数．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m 取什么实数，方程x 2+x -m =0必有实根.（4）存在一个实数x ，使x 2+x +4≤0.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R ∀∈，210x x ++>；（2）x R ∃∈，210x x -+=；（3）所有的正方形都是矩形.9．若命题“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，求实数a 的取值范围.10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．《全称量词与存在量词》答案及解析知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形答案 C解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形．例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2]解析 由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 答案 B解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B. 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0答案 C解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0的否定是“∃x ∈R, 2x 2－1≤0”．过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选：C二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为“不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立”，由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围.【详解】由题意知：不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立，当0a =时，可得30>，恒成立满足；当0a ≠时，若不等式恒成立则需2016120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得304a <<， 所以a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.思路点睛：形如()200ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析0a =的情况；（2）再分析0a ≠，并结合∆与0的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 【答案】1k ≤【分析】转化条件为()2max 1k x≤-+，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____． 【答案】20001,04∃∈-+≤x R x x 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可直接写出p ⌝.【详解】 由全称命题的否定为特称命题，已知21:,04∀∈-+>p x R x x ，所以20001:,04⌝∃∈-+≤p x R x x . 故答案为：20001,04∃∈-+≤x R x x .三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【答案】答案见解析【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合全称命题的否定是特称命题、特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为22++=++>23(1)20x x x所以该命题的否定是假命题．（Ⅱ）该命题是全称命题，该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．（Ⅲ）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.【答案】答案见解析.【分析】（1）按全称命题改写，再判断命题真假.（2）按特殊命题改写，再判断命题真假.（3）按全称命题改写，再判断命题真假.（4）按特殊命题改写，再判断命题真假.【详解】（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.（3）∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=212x⎛⎫+⎪⎝⎭+154>0恒成立，所以为假命题.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R∀∈，210x x++>；（2）x R∃∈，210x x-+=；（3）所有的正方形都是矩形.【答案】（1）存在x∈R，210x x++≤，假命题；（2）任意x∈R，210x x-+≠，真命题；（3）至少存在一个正方形不是矩形，假命题.【分析】（1）全称量词改为存在量词，大于改为小于等于；（2）存在量词改为全称量词，等于改为不等于；（3）全称量词改为存在量词，是改为不是.【详解】（1）存在x∈R，210++≤，真假性：假命题.x x（2）任意x∈R，210-+≠，真假性：真命题.x x（3）至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题.【点睛】关键点点睛：掌握全称量词的否定是存在量词，存在量词的否定是全称量词是解题关键.9．若命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，求实数a的取值范围.x a x-∞-+∞.【答案】(,1)(3,)【分析】根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，x a x则满足2a a a a--=-+>，a∆=-->，即223(3)(1)0(1)40解得1a>，a<-或3-∞-+∞.即实数a的取值范围(,1)(3,)10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）将文字改为符号即可，利用反例知原命题为假；（2）将文字改为符号即可，利用特殊值知原命题为真.【详解】（1）原命题可用符号表示为：x R ∀∈，20x >.当0x =时，20x =，可知原命题为假命题；（2）原命题可用符号表示为：0x Z ∃∈，0y Z ∈，0043x y +=.当03x =，00y =时，0043x y +=，可知原命题为真命题.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．【答案】（1）全称量词命题，p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，假命题；（2）存在量词命题，q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”，真命题．【分析】（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；（2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”， 因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x ∈R ，使210x x ++=成立， 即p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”， 因为=30∆-<，所以方程210x x ++=无实数解， 此命题为假命题．（2）由于“x R ∃∈”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x ，都有2350x x ++>成立． 即q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”． 因为=110∆-<，所以对x R ∀∈，2350x x ++>总成立， 此命题是真命题．。
2025优化设计一轮课时规范练3 全称量词与存在量词
C.对一切α,sin(180°-α)=sin α
D.对一切α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
解析 选项C,D为全称量词命题,不合题意,排除;
选项A,B为存在量词命题,对于A,
当α=45°时,tan(90°-45°)=tan 45°=1,为真命题.对于B,
D.(1,+∞)
解析 若命题“∃x∈R,x2+1≤m”是假命题,则“∀x∈R,x2+1>m”为真命题,对于
函数y=x2+1,当x=0时,取到最小值1,所以m<1恒成立,故实数m的取值范围
是
(-∞,1),故选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4.(2024·浙江宁波模拟)设命题q:∃x<0,cos x<1+sin x,则⌐q为( D )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
8.(2024·宁夏银川模拟)命题“有一个偶数是素数”的否定是
.
任意一个偶数都不是素数
解析 由于存在量词命题p:∃x∈M,p(x),否定为⌐p:∀x∈M,⌐p(x),所以命题“有
一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
9.(2024·山西吕梁模拟)若命题“∃x∈R,a=|x|+1”为真命题,则实数a的取值
范围为[1,+∞)
.
解析 因为|x|+1≥1,即函数y=|x|+1的值域为[1,+∞),
所以实数a的取值范围为[1,+∞).
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滨海县明达中学高二数学教学案
班级姓名
使用日期 2008年3月21日星期五
课题全称量词与存在量词
主备人：备课组长：
《教学要求》之要求：理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容。
理解对含一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
《考试说明》之说明：全称量词与存在量词 A
【知识点回顾】
1．短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做_______________,并用符号_______________,表示。
含有全称量词的命题，叫做_______________,全称量词“对M中任意一个x，有P（x）成立”简记作_______________。
2．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_______________,并用符号_______________,表示。
含有存在量词的命题，叫做_______________,命题。
存在。
性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”简记作_______________
-
【基础训练】
1．命题“1
∈
R
x”的否定是____________________。
∀x
1
,2>
+
2．命题“0
x
R
∃x
x”的否定是_______________________。
,2≤
1
∈
+
+
3．下列语句
①有一个实数a,a不能取对数；
②所有不等式的解集A，都有R
A⊆；
③三角函数都是周期函数吗？
④有的向量方向不定。
其中是存在性命题的序号是________________。
4．命题“每一个素数都是奇数”的否定为_______________________。
5．下列存在性命题中，真命题的个数是（）
①存在一个实数a,使a为正整数；②存在一个实数x,使10x为正整数；③存在一个实数
y,,使11y为整数。
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列语句是真命题的是（）
A．所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立
B．存在一个实数x使不等式x2-3x+6<0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
7．命题“不存在实数x,x2+1<2x”的否定是__________________。
8．命题p的否定是“对所有正数x,1
x”，则命题p是_______________________。
>x
+
【例题精讲】
例1：指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假。
（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数既能被2整数又能被5整数；
（3）存在1log ,2>∈x Z x ；（4）对于一切无理数x ，x 2
必为有理数。
例2：用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并对命题加以否定：
（1）一切矩形都是平行四边行；
（2）至少有一个质数不是奇数；
（3）实数的绝对值是正数；
（4）有些锐角的正弦为零。
例3：指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假。
（1）a>0,且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0；
（2）对任意实数x1,x2,若x1<x2,则 tanx1<tanx2；
（3）R
∃，使x2+1<0。
x∈
【课时小结】
【课后自测】
1．全称命题“是整数
x”的逆命题是（）
Z
∀x
1
2,+
∈
A．若2x+1是整数，则x∈Z B．若2x+1是奇数，则x∈Z
C．若2x+1是偶数，则x∈Z D．若2x+1能被3整除，则x∈Z
2．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）
A．所有菱形的四条边都相等B．若2x为偶数，则N
∀
x∈C．若对,R
∀则x2+2x+1>0 D．π是无理数。
x∈
3．下列存在性命题中真命题的个数是（）
①0
x；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
R
∃x
∈
,≤
③}
x∈
∃，x2是无理数。
x
x
{是无理数
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列命题为存在性命题的是（）
A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱拄都是平行六面体。
C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数。
5．下列语句中是全称命题的是（）
A．x-3>0 B．所有的直线L与平面α都不垂直C．如果直线L垂直于α内的两条相交直线，那么L垂直于αD．2n+1是奇数
6．下列命题中是全称命题的是（）
A．圆有内接四边形 B.2
3>C．2
3< D．若三角形的三边形分别为3，4，5，则这个三角形为直角三角形。
7．若p：2
2
3x
x
x=
-,q：2
2
3x
x=
-，则p是q的_______________。
8．已知命题4
3
:
,3
3
:>
≥q
p，则下列判断正确的是（）
A．p或q为真，p且q为真，非p为假B．p或q为真，p且q为假，非p为真C．p或q为假，p且q为假，非p为假D．p或q为真，p且q为假，非p为假
9．已知，p：0
9
22<
+
-a
x
x,q：{03
4
8
6
2
2
<
+
-
<
+
-
x
x
x
x
，且非p是非q的充分条件，
求实数a的取值范围。