几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
［目标］
1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

2. 掌握矩形、菱形的判定方法。

二. 重点、难点：
1. 矩形、菱形性质的综合应用。

特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。

三. 知识要点：
1. 矩形
（1）矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

（2）矩形的特殊性质
①矩形的对角线相等
②矩形四个角都是直角
（3）矩形性质的应用
①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；
②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；
③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；
④矩形的面积计算公式：
（4）矩形的判定条件
①有三个角是直角的四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
注意：
1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。

2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。

（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。

）
3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。

4）矩形的判定与性质的区别
2. 菱形
（1）菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

（2）菱形的特殊性质
①菱形的四条边都相等
②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角
（3）菱形性质的应用
由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

的一半
思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？
（4）菱形的判定条件
①四边都相等的四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：
【典型例题】
例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. 等边三角形和圆
B. 等边三角形、矩形、菱形
C. 菱形、矩形和圆
D. 等边三角形、菱形、矩形和圆
分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了
解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。

例2. 如图，过□ABCD的对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH、分别与□ABCD 的四条边交于E、F和G、H，求证EGFH为菱形。

分析：关键在于证明四边形EGFH为平行四边形，由中心对称图形性质易得OH＝OG，OE＝OF。

证明：O是□ABCD的对称中心，GH经过O点与BC交于G，与AD交于H
∴G、H是以O点为对称中心的对称点
∴OG＝OH
同理：OE＝OF，∴四边形EGFH为平行四边形
又∵EF⊥GH
∴四边形EGFH为菱形
例3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的高，∠CAB的平分线交CD于E，交CB于F，过点F作FG⊥AB于G，连GE。

试说明四边形CEGF为菱形。

解：如图，∵AF平分∠CAB，CF⊥AC，FG⊥AB，
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
又∵DE∥FG
∴∠AFG=∠CEF
∴∠CEF=∠CFE，则CE=CF，
∴CE=FG，
∴四边形ECFG为平行四边形，
又CF=FG，
∴四边形CEGF为菱形
例4. 如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B=∠EAF=60°。

说明∠CEF=∠BAE。

解：连结AC，四边形ABCD是菱形（已知），
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=60°（菱形的四边相等、对角相等）
∴△ABC与△CDA为等边三角形，
则AB=AC，∠ACF=∠BAC=∠B=60°
又∠EAF=60°，∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF
∴AE=AF。

而∠EAF=60°∴则△EAF为等边三角形；
∴∠AEF=60°，又∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE，∴∠CEF=∠BAE
例5. 菱形以特殊的对称美而受人们的喜爱，在生产生活中有其广泛的应用。

张伟同学家里有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备装修，现有如图（甲）所示的型号瓷砖，其形状是一块长30cm，宽20cm的长方形，点E，F，G，H分别是边BC、CD、DA，AB的中点，阴影部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色。

试问：
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有多少个？
分析：通过拼图，运用由特殊到一般以及分类讨论的数学思想，解决图形的组合问题。

例如，（1）墙面上有多少个淡蓝色菱形？先根据每相邻4块、6块、9块瓷砖可分别构成1、2、4个淡蓝色菱形，再确定当每行有14块、每列14块瓷砖时，可构成淡蓝色菱形的个数为13×13=169（个）；（2）白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块解：（1）因为墙壁总面积为4.2×2.8=11.76m2；每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06m2，则最少需要这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）
（2）如下图（1），4块瓷砖构成一个淡蓝色菱形，即（2－1）×（2－1）=1；如图（2），6块瓷砖构成2个淡蓝色菱形，（3－1）×（2－1）=2；如图（3），9块瓷砖构成4个淡蓝色菱形，（3－1）×（3－1）=4。

所以在长4.2m，宽2.8m的墙壁上铺长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖每行需14块，每列需14块，可构成淡蓝色菱形的个数为（14－1）×（14－1）个，共有13×13=169（个），同时，白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块，故面积相等的菱形共有169+196=365（个）
答：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖196块；（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现365个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有169个。

例6. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE= 15°，求∠BOE的度数
分析：先推出△ABE为等腰直角三角形，再说明AB=OB=BE，则∠BOE=75°
解：在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABE=90°
∵AE平分∠BAD
∴∠EAB=∠DAB=45°，而∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=45°
∴△ABE为等腰直角三角形∴AB =BE
在直角三角形ABC中，OB=AC=AO
∵AO=BO，∠OAB=∠EAB +∠CAE =45°+15°=60°
∴AB=OB=BE
而∠OBE=∠ABE-∠ABO=30°
∴在等腰三角形BOE中，∠BOE=75°
例7. （1）菱形的一边和等腰直角三角形的一直角边等长，若菱形一边上的高等于这边的一半，则菱形与三角形的面积之比为（）
A. 1︰2
B. 1︰1.5
C. 1︰1
D. 3︰4
（2）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE若AD=12cm，AB=7cm，且AE︰EB=5︰2。

则阴影部分EBFD的面积为cm2
（1）分析：此菱形的面积等于边长平方的一半，与等腰直角三角形面积相等
解：选C
（2）分析：先说明四边形BEDF是平行四边形，从而EB=2
解：阴影部分面积为BE×AD=2×12=24
例8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过顶点C作BD的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E。

试说明AC=CE。

解：过A作AF⊥BD于点F，
∵GE⊥BD
∴AF∥CE（两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行），
∴∠FAE=∠AEC（两直线平行，内错角相等），
在Rt△ABD中，∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAF=∠ADB
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∴∠BDA=∠CAD，∴∠BAF=∠DAC
而AE平分∠BAD，∴则∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE－∠BAF=∠DAE－∠DAC即∠FAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠CEA，故CA=CE
例9. 如图，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论。

解：（1）∵AP=2 t ，DQ= t，则QA=6－t
只有当QA=AP时△QAP为等腰三角形，
从而6－t=2t
解得：t=2（秒），
∴当t=2秒时，△QAP为等腰三角形；
（2）在△QAP中，QA=6－t ，QA边上的高DC=12，
则S△QAC=QA·DC=（6－t）·12=36－6t，
在△APC中，AP=t，BC=6，
则S△APC=AP · BC=· 2t · 6=6t，
∴S△QAC＋S△APC=（36－6t）＋6t=36（厘米2）
由计算结果发现：当P、Q两点在移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）
A. 矩形
B. 三角形
C. 梯形
D. 菱形
2. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2（填“＞”或“＜”或“＝”）
3. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别添加下列条件：
（1）∠ABC=90°；（2）AC⊥BC；（3）AB=BC；（4）AC平分∠BAD；（5）AO=DO，使得四边形ABCD是矩形的条件的序号有
4. 在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则菱形的面积为______
5. 四边形ABCD为菱形，且∠A=60°，BD=8cm，则此菱形的周长为cm
6. 若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形较短的对角线长为
7. 如图，小华剪了两条宽度相同的纸条，交叉叠放在一起，则它们重叠部分的形状为___________。

8. 矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AE垂直BD于E，若∠DAE=3∠BAE，则∠EAC=
9. 如图，矩形的周长为2 ，一边中点与对边两顶点连线所夹角为直角，则矩形各边的长分别为________
10. 下列说法错误的是（）
A. 任何一个具有对称中心的四边形是平行四边形；
B. 平行四边形即是轴对称图形又是中心对称图形；
C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；
D. 正三角形、矩形、菱形都是轴对称图形，且对称轴都不只一条
11. 矩形具有的平行四边形不具有的性质是（）
A. 对角相等
B. 对角线互相平分
C. 对边平行且相等
D. 对角线相等
12. 矩形两条对角线的交点到小边距离比到大边的距离多4，若矩形的周长为56，则矩形的两邻边的长为（）
A. 19和9
B. 10和8
C. 16和12
D. 18和10
13. 如图，设等边△AEF与菱形ABCD有一公共顶点A，且边长相等，三角形另两角的顶点E和F分别在菱形的边BC和CD上。

求∠BAD的度数
14. 如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于E，DF∥AB，交BC于F。

试说明BD⊥EF
15. 如图，已知M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN、BM交于点P，DN、CM交于Q。

试说明四边形PMQN为矩形
16. 已知菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形。

（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数；不要求写出画法，不要求说明理由（注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法））。