七年级数学周末辅导资料假期复习讲义 第5讲 实数
(完整word版)七年级实数讲义
1月17日复华七年级数学实数12.1 实数的概念一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。
分类： 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：)0,(≠q q p qp都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。
这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。
由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数)0,(≠q q p qp都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。
问题4：无限不循环小数还有吗？Π是有理数码？ 二、归纳1．无理数（1）无限不循环小数叫做无理数。
（2）无理数包括正无理数和负无理数。
（3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数（1）有理数和无理数统称为实数。
(2)实数可以这样分类：正有理数有理数 零 ——有限小数或无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数三、练习1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、722、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式)2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。
精品 七年级数学寒假讲义 实数
实数 第01课 平方根1.乘方:“n a ”.乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”，读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；算术平方根概念：一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的算术平方根，也就是说，如果x 2=a ，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则a x = 算术平方根性质：(1)当a ≥0时a ≥0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （由定义得出）(2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个(3)还原性质：当0≥a 时，a a =2)(，即非负数算术平方根的平方等于该非负数 完全平方数：能够完全开方开的尽的数。
如1,4,9,16，...平方根概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.则a x ±=开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方. 表示方法：一个正数a 的平方根表示为a ±；若x 2=a (a >0)则x=a ±。
平方根的性质：(1)个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根 (2)还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=a 即：非负数的平方根的平方等于该数 （三）a a a ±-,,的含义：a ：当a ≥0时，表示a 的算术平方根a -：当a ≥0时，表示a 的算术平方根的相反数a ±：当a ≥0时，表示a 的平方根平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器，式子计算查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位. 查表外数小数点移动法则：（1）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被查数成为有一位或两位整数的数 （2）被开方数的小数点每移动两位，查得的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位。
实数(全章复习与巩固)(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分： 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根1．（1）计算：3256412-+-．（2）求x 的值：2(1)225x -=．【答案】（1）2； （2）16x =或14x =-【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；2a 0a ≥0a ≥（2）根据平方根的定义解方程即可求解． 解：（1）32564|12|-+-；5421=-+-2=；（2）开平方得115x -=±，解得16x =或14x =-．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】求下列各式中的x ．(1) 29160x -=； （2）()3164x +=-． 【答案】(1) 43x =±(2) 5x =-【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可； （2）利用求立方根的方法解方程即可． （1）解：∵29160x -=，∵2916x =， ∵2169x =， 解得43x =±；（2）解；∵()3164x +=-，∵14x +=-， ∵5x =-．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．【变式2】“2=3”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为410=915--，所以2525410=91544-+-+， 22225555222=3232222⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+-⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，552=322--，所以2=3． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步【分析】由22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，所以错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步． 解：错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步，显然52<02-，5302->，所以5523022-≠->． 【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，这是学生开平方时常犯的错误．2．已知21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2． (1) 求a ，b 的值； (2) 求a b +的算术平方根． 【答案】(1) 5a =，8b =；(2) a b +的算术平方根为13．【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得219a -=，318a b -+=，从而可求得a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入求得代数式a b +的值，最后再求其算术平方根即可． （1）解：∵21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2，∵219a -=，318a b -+=， 解得：5a =，8b =；（2）解：∵5a =，8b =，∵5813a b +=+=，∵a b +的算术平方根为13．【点拨】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】已知1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求44a b -的立方根．【答案】44a b -的立方根为2【分析】分别根据1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求出a b 、的值，再求出44a b -的值，最后求出其立方根即可．解：1a -的算术平方根为3，∴19a -=，即10a =，31b +的一个平方根为5-，∴3125b +=，即8b =， ∴4440328a b -=-=， ∴44a b -的立方根为382=．故答案为：44a b -的立方根为2．【点拨】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出a b 、的值是解题的关键．【变式2】已知某正数的两个平方根分别是3a -和215a +，b 的立方根是2-，求 (1) 该正数是多少？ (2) 2a b --的算术平方根． 【答案】(1) 49(2) 4【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出a 的值，进而求出这个正数即可；（1）先求出,a b ，代入代数式求出2a b --，再求出算术平方根即可． （1）解：由题意，得：32150a a -++=，解得：4a =-；∵()()2234349a -=--=； ∵该正数是：49；（2）解：∵b 的立方根是2-，∵()328b =-=-；∵()()22488816a b --=-⨯---=+=， ∵2164a b --==．【点拨】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．类型二、实数➽➼性质➽➼相关概念✬✬化简3．把下列各数填入相应的集合中：－3.1415926，07，4π，38227，36 1.414320.2121121112-（每两个2之间依次多一个1）（1）有理数集合：{ }； （2）无理数集合：{ }； （3）负实数集合：{ }．【答案】（1）3223.1415926,0,8,,36,1.414,7---；（2）37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；（3）33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可． 解：有理数集合：3223.1415926,0,8,,36,1.414,7⎧⎫---⎨⎬⎩⎭； 无理数集合：{37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）}；负实数集合：{33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）}；故答案为：3223.1415926,0,8,,36,1.4147---；37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）．【点拨】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．举一反三：【变式12,2,22,32,52,82___，_____． (1) 两条横线上的实数分别____； (2) 第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1) 132；212(2) 892； 1442【分析】（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∵横线上的实数，2的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为132212，， （2）由（1）可知第8个数为212，∵第9个数为342， 第10个数为552， 第11个数为892， 第12个数为1442， 故答案为：892，1442．【点拨】本题考查了实数的规律问题，观察数字中2的系数，找到规律是解题的关键． 【变式2】已知：a ，b 均为有理数，且满足722322332a b -=|2|||x a b x ---．【答案】当x ＜-2时，5x --；当-2≤x ≤1时，33x +；当x ＞1时，5x +【分析】根据已知等式可得关于a 和b 的方程，求出a ，b 的值，再代入，根据x 的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：722322332a b ++-=，a ，b 均为有理数，∵()()7222332a b ++-=， ∵73a +=，220b -=， ∵a =-4，b =1，∵|2|||x a b x ---=|24||1|x x +--，当x ＜-2时，|24||1|x x +--=()241x x ----=5x --； 当-2≤x ≤1时，|24||1|x x +--=()241x x +--=33x +； 当x ＞1时，|24||1|x x +--=()241x x ++-=5x +．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a 和b 的值．4．如图，已知BC ∵OA ，BC ＝3，点A 在数轴上，OA ＝OB ．(1) 求出数轴上点A 所表示的数； (2) 比较点A 所表示的数与﹣3.5的大小． 【答案】(1) 13-(2) 点A 所表示的数小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB 的长，进而得到 OA 的长度，即可写出数轴上点A 所表示的数；（2）先计算两数的绝对值，再得到13＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC ∵OA ，∵∵BCO ＝90°， ∵BC ＝3，OC ＝2， ∵2213OB BC OC =+=， ∵OA ＝OB ， ∵OA ＝13，∵点A 在数轴上原点O 的左侧， ∵数轴上点A 所表示的数是﹣13．（2）解：｜﹣13｜＝13，｜﹣3.5｜＝3.5，∵()21313=，23.512.25=，∵13＞3.5，∵﹣13＜﹣3.5，∵点A所表示的数小于﹣3.5．【点拨】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式15x，小数部分是y．(1)求x与y的值；(2)求|5-的值．x y【答案】(1) 2,52==-(2) 0x y【分析】（1）先确定5的取值范围，再求x、y；（2）把x与y的值代入|5|--，化简绝对值，再加减．x y（1）解：∵459<<，<<，即253∵2,52==-；x y（2）∵2,52==-，x y∵|5|--x y()=---|25|52=---52(52)=--+5252=．【点拨】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．【变式2】观察下列等式，并回答问题： ∵1221=； 2332= 3443= 4554= ……(1) 请写出第∵个等式：______356=______； (2) 写出你猜想的第n 个等式：______；（用含n 的式子表示） (3) 241-1的大小． 【答案】(1)5665-=-；635- (2) 11n n n n -+=+-(3)24114-< 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第∵个等式，由于3563536-=-，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-； （3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第∵个等式为：5665-=-，35635363635635-=-=-=-，故答案为：5665-=-；635-．（2）解：由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-， 故答案为：11n n n n -+=+-．（3）解：∵241241424524251044444-----=-==<，∵24114-<． 【点拨】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简5．实数的计算：(1)2316(3)27-(2) 233313(3)-． 【答案】(1) 10 (2) 4-【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；（1）解：2316(3)27+-+433=++10=（2）233313(3)-+---333313=-+--4=-．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．举一反三：【变式1】计算下列各题(1)4822； （2(203271272π342-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】(1) 2- (2) 33-【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．（1）解：4822---=()22222---=22222--+=2-（2）解：()203271272π342-⎛⎫--⨯+-- ⎪⎝⎭ =3332412--⨯+- =33341--+-=33-【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知611a ，611b ，(1) 求a b +的值； (2) 求a b -的值． 【答案】(1) 1311- (2) 511+ 【分析】（1）先估算出3114<<，进而得到961110<+<，26113<-<由此求出a 、b 的值即可得到答案； （2）根据（1）所求进行求解即可．（1）解：∵91116<<，∵3114<<，∵961110<+<，11-4<-<-3，∵26113<-<，∵96112411a b ==--=-，，∵94111311a b +=+-=-；（2）解：由（1）得()9411511a b -=--=+．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键．6．计算：(1)233336481125(3)4(2)--(2) 2231|53|168))(5(2-+--【答案】(1) 3 (2) 4 【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．（1）解：233336481125(3)4(2)-++----495322=-++-+3=，故答案为：3．（2）解：2231|53|168))(5(2-++-----+1354245=-+--+++4=，故答案为：4．【点拨】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．举一反三：【变式1】计算(1) 20223113274-+- (2) 223(3)(3)1664---【答案】(1) 33+ (2) 8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+-++33=+；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．【变式2】计算(1)22110036()(5)4--； （2）已知38270x +=，求x 的值． 【答案】(1) 134 (2) 32x =- 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．解：（1）22110036()(5)4-+-- 1854=+- 134=． （2）38270x +=，3827x =-，3278x =-， 32x =-． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算✬✬应用7．已知135a b -=+，其中a 是整数，01b <<，求a b -的值．【答案】75+试题分析：可以先估算出整数部分10a =，再计算出b 的值,最后作差.解：10a =，()1351035b =--=-， a b -=()103575--=+．举一反三：【变式1】若整数m 的两个平方根为63a -，22a -，b 11(1) 由题意得，=a ，m = ，b = ．(2) 求31m a ++的平方根；(3) 现规定一种新运算∵，满足x ∵y xy =-，求b ∵()4-的值．【答案】(1)4，36，3 (2)31m a ++的平方根为7± (3)b ∵()4-的值为12【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a 和m 的值，根据无理数估算的方法求出b 的值；（2）将m 和a 的值代入31m a ++求解即可；（3）根据新定义的运算法则求解即可．解：（1）由题意得：63220a a -+-=，4a ∴=， 22(22)(82)36m a ∴=-=-=，91116<<，3114∴<<， ∴11的整数部分为3，3b ∴=，4a ∴=，36m =，3b =，故答案为：4，36，3；（2）当36m =，4a =时，3136121m a ++=++49=，31m a ∴++的平方根为7±；（3）当3b =时，b ∵(4)(4)b -=-⋅-4b = 43=⨯12=，b ∴∵()4-的值为12．【点拨】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式2】探究题：(1) 计算下列各式，完成填空：49649⨯＝ ，12549＝ ，12549⨯＝ (2) 通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：2271320⨯． 【答案】(1)6，57，57 (2)a b a b ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），227313202⨯= 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到2275271320320⨯=⨯，然后约分后根据算术平方根定义计算．解：（1）49366⨯==，11525=5=4977⨯⨯，125525==49497⨯；故答案为：6，57，57；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：a b a b⋅=⋅（a≥0，b≥0）．22752793132032042⨯=⨯==故答案为：a b a b•=•（a≥0，b≥0），3 2【点拨】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。
(新人教版)数学七年级下册：《实数》PPT课件
（2） (15)2 ( 15)2
15 15 0
（3） (2)3 (2)2 2 (9)2 3 (8)2
8 2 9 4 29
（4） 225 196 3 64 15 14 4 5
（5） ( 2 3)2 (1 2)2
3 2 2 1 3 1
（6） 2 5 2( 7 1 5) (2 5 7) 2
（2） 7 的整数部分是__2_，小数部分是
___7___2___；
（3）已知x是 3 2 的整数部分，则
x2－2x＋8的平方根是_1_1__．
1 6．（1）|－5 |的倒数是___5____；
（2）若 x 2，y 3，且xy>0，x+y=_5_或__－__5_；
（3）点A在数轴上对应的数为 2 7 ，点B在 数轴上对应的数为 3 7 ，则A，B两点的距 离为__5__7__．
2 0.6& 0.666 666 666L 3
13.3.2 实数与数轴 B
A
C
E
D
F
提问：若以点D为圆心，CD为半径 画圆与数轴交于点E、F，则点E、F分 别表示什么数？ 无理数．
{ 实数 }： 数 a
实数与数轴上的点一一对应
-2
-1
0A 1
2
（数点）每一个实数（有理数、无理数）都
可以用数轴上的一个点来表示．
4．（1）0.65；（2）－2.74．
5．（1）5 2 ；（2）0．
6．（1）4＞ 15 ；（2）π＜3.1416；
（3）
32
＞
3 2
；（4）
2 2
＞
3 3
．
7．有，没有，没有，没有，没有，有．
8．1.4s．
七年级数学下《实数》课件
七年级数学下《实数》课件
幻灯片1：封面
•标题：《实数》课件
•副标题：七年级数学下册
•（此处可添加授课教师的姓名、日期等）
幻灯片2：课程目标
•掌握实数的概念和性质。
•理解实数的运算方法。
•培养数学思维能力和解决问题的能力。
幻灯片3：实数的基本概念
•有理数和无理数的总称。
•与数轴上的点一一对应。
幻灯片4：实数的分类
•正数、负数、零的定义与例子。
幻灯片5：实数的运算规则
•加法、减法、乘法、除法的规则与例子。
幻灯片6：实数的性质
•有序性、四则运算性质、绝对值的性质等。
幻灯片7：实数的应用
•生活中的实例，如长度、质量、时间的测量。
•数学中的定理和公式，如勾股定理等。
幻灯片8：总结与回顾
•实数的主要知识点总结。
•课堂互动与答疑。
幻灯片9：作业与预习
•布置相关练习题。
•预习下一节内容，了解无理数的基本概念。
数学分析考研复习讲义5实数的完备性
二
实数基本定理
1 基本定理
定理 1（Dedekind 确界定理）任何非空数集 E ，若它有上界，则必有上确界；若有下界， 则必有下确界． 定理 2（单调有界定理）单调有界数列必收敛． 当 m, n > N 定理 3 （Cauchy 收敛准则） 数列 {x n } 收敛的充要条件是：∀ε > 0 ，∃N > 0 ， 时，有 x m − x n < ε ． 定理 4（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列． 定理 5（Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点． 定理 6（Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点． 定理 7（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖． 说明： 定理 1~6 属于同一类型， 它们都指出： 在一定条件下， 便有某一种 “点” 的存在． 这 种点分别是：确界（点） 、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理 7 属于另一类型，它 是前六个定理的逆否形式，不论用前 6 个定理来分别证明定理 7，还是用定理 7 分别证明前 6 个定理，都可用反证法来证明，而前 6 个定理都可以直接推出．
有且仅有一个成立； （2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ； （3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ； （4）与“· ”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ． 公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ． 公理 4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界． 由此可定义： 定义 3 实数空间是这样的集合 R ，在其上定义了“+” 、 “· ”运算，以及序关系“<” ，满 足上述四组公理， R 中的元素称为实数．
人教版七年级数学下册第六章《实数》小结与复习说课稿
4.生活实践：让学生收集生活中的实数问题，进行分析和解决，培养学生的数学应用意识。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.让学生总结本节课所学知识，分享自己的学习心得；
（2）掌握实数运算的顺序和法则；
（3）解决实数混合运算中的实际问题。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是七年级学生，这个年龄段的学生正处于青春期，好奇心强，求知欲旺盛，具备一定的独立思考能力。在认知水平上，他们已经掌握了基本的算术运算，具备了一定的数学逻辑思维能力。然而，由于年龄和经验的限制，他们对实数概念的理解可能还不够深入，对实数运算的掌握也可能不够熟练。
2.互动教学：设计课堂提问、小组讨论等活动，引导学生积极参与，提高他们的学习主动性；
3.激励评价：对学生在课堂上的表现给予积极的评价和鼓励，增强他们的自信心；
4.举一反三：通过典型例题的讲解，引导学生发现解题规律，提高他们解决问题的能力；
5.数学游戏：设计一些与实数相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习兴趣。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识框架，直观展示教学内容的逻辑关系。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将采取以下措施：
1.提前规划板书内容，确保知识点完整、系统；
2.使用不同颜色的粉笔，区分重点、难点和关键点；
3.板书过程中，适时引导学生关注，解释板书中的逻辑关系；
4.在适当位置留下空白，用于记录学生的疑问和课堂生成性内容。
2.提高练习：设计一些综合性较强的实数题目，培养学生的解题能力和思维能力；
七年级下册实数知识点汇总
七年级下册实数知识点汇总本文将为大家汇总七年级下册实数的知识点，内容包括实数的定义、有理数、无理数、实数的基本性质以及实数的应用等。
一、实数的定义实数是数学中最为基础的概念之一，它是所有数字的总称，不仅包括整数、分数，还包括无限不循环小数和无限循环小数。
实数集通常用符号R来表示，其定义如下：R={x | x是一个实数}其中，符号|表示“满足以下条件”。
二、有理数有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
有理数的特点是可以化为分数的形式，并且在数轴上可以用有理数点表示。
关于有理数还有以下几个知识点：1.有理数的加减乘除运算有理数的加减乘除运算与整数的运算类似，需要注意符号的变化和约分化简。
2.有理数的绝对值有理数的绝对值表示该数距离0的距离，可以用以下公式表示：|x|=x（x≥0），|x|=-x（x<0）。
3.有理数的大小比较当两个有理数相等时，它们大小相等；当它们符号相同时，绝对值大的数较大；当它们符号不同时，正数比负数大。
三、无理数无理数是指不能表示为两个整数之比的数，一般用根号表示。
无理数的表示方法有以下两种：1.小数表示法无理数可以用无限不循环小数表示，如√2=1.41421356……。
2.代数式表示法无理数可以用代数式表示，如π。
四、实数的基本性质实数具有以下几条基本性质：1.闭合性实数集是对四则运算封闭的，即两个实数进行四则运算后得到的仍然是一个实数。
2.结合律、交换律、分配律实数的四则运算具有结合律、交换律和分配律。
3.唯一性任何一个实数都有唯一的相反数和倒数，例如-5的相反数为5，5的倒数为1/5。
4.比较性实数之间可以进行大小比较，且大小关系具有传递性。
五、实数的应用实数在日常生活和科学技术中有广泛应用，例如：1.金融方面，股票、汇率等都是实数。
2.物理方面，速度、力、功等物理量都是实数。
3.几何方面，三角函数中的正弦、余弦、正切等都是实数。
实数(第1课时)-七年级数学下册讲练课件(人教版)
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
感受中考
4.（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（
A．2和3之间
B．3和4之间
）
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵ 17 4.12 ，
∴ 17 的值在4和5之间．
故选：C．
）
典例分析
例1：将下列各数分别填入下列相应的括号内：
3
1
9 , ， 7 , π, 16, 5, 3 8,
4
4
25, 0.3232232223
, 0,
9
无理数： 9,
3
7, π, 5, 0.3232232223
1
4
，
3
, 0, 25
有理数： 4 16, 8,
9
1
4
为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数
是
．
（3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，
求新的正方形的面积和边长．
解：
（1）设拼成的正方形的边长为 a，
则 a2＝5，
a= 5，
即拼成的正方形的边长为 5，
故答案为： 5；
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
分数
含开方开不尽的数
无理数：
无限不循环小数
含有
π 的数
有规律但不循环的小数
（2）按性质分：
＝﹣3 5 +3；
（4）| 6 − 2|+| 2 −1|﹣|3− 6|
沪教版 七年级数学 寒假班讲义 实数的概念及数的开方(学生版)
知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一 实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】 填空：1、若一个数不是有理数，那这个数一定是数；2、3-正数，整数，无理数；(填“是”或“不是”)3、圆的周长与直径的比值常数，有理数，无理数．(填“是”或“不是”)【例2】 已知四个命题，正确的有（ ） （1）有理数与无理数之和是无理数； （2）有理数与无理数之积是无理数； （3）无理数与无理数之和是无理数；（4）无理数与无理数之积是无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．（1）实数不是有理数就是无理数． （ ） （2）无理数都是无限不循环小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数．（）例题解析（4）无理数都是无限小数． （ ） （5）无理数一定都带根号．（ ） （6）两个无理数之和一定是无理数．（）（7）两个无理数之积不一定是无理数． （）【例4】 把下列各数分别填到相应的数集里边．327，2， 3.1415-，2π，103，34-，72-，0.201010010001-，1.732，7-有理数{ }； 无理数{ }； 正数{ }； 负数{}．一、开平方：1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．模块二：数的开方知识精讲如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2）2a a =，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示．其中被开方数a 是任意一个数，根指数n 是大于1的奇数；2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“n a -”表示．其中被开方数0a >，根指数n 是正偶数（当2n =时，在n a ±中省略n ）； 3）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．例题解析【例5】 填空：1、一个正方形的面积为15，则它的边长是___________；2___________；3、如果a 的平方根是a ，则a =______；如果a 的算术平方根是a ，则a =______．【例6】 下列说法中正确的是（）A ．4是8的算术平方根B ．16的平方根是4C 是6的平方根D ．a -没有平方根【例7】 下列各式中错误的是（）A ．0.6=±B 0.6=C ． 1.2=-D 1.2±【例8】 若()220.7x =-，则x =（） A ．-0.7 B ．±0.7C ．0.7D ．0.49【例9】 若实数a 1=，则a =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．1±【例10】）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数【例11】 （1）若24x =，29y =，则x y +=_________；（2_____________，算术平方根是___________；（3）若160x -+=，则x 的平方根是 ．【例12】 计算： （I ）求下列各数的平方根:(1)0；(2)2415⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)964-；(4)()20.25--．（II ）求下列各数的立方根：(1)0.216； (2)338-；(3)125±；(4)()0.064--．【例13】 （1）若0a <a -=__________________；（2）已知a 是小于1．【例14】 简答：（1）已知某数的平方根是31a+，求这个数；a-与5（2）已知31a+是同一个数的平方根，求这个数．a-与5【例15】下列说法：①16的4次方根是22±；③当n为大于1④当n为大于10a≥时有意义．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．②③D．③④【例16】求下列各式的值：（1）（2）（3）（4；（5．【例17】比较大小：1.732-（填“>”“<”“=”）．\【例18】 填空：（1）72的整数部分是______，小数部分是_______； （2）5-的整数部分是______，小数部分是_______． （3）适合于不等式727x <<的整数x 有．【例19】 填空：（1）已知12311.09=， 1.109a =，1109b =，则a =，b =； （2）已知 6.213 2.493≈，62.137.882≈，则621.3≈______，0.6213≈；（3）已知30.230.6127≈，32.3 1.320≈，323 2.844≈，则3230≈ ,323000-≈ ．【例20】 已知416a =，且a a =-，求94a +的平方根．【例21】 若01a <<，且16a a +=，求1a a-的值．数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；知识精讲模块三：数的方根运算和应用应用：与整式、分式的综合应用．【例22】 当x 为什么数时，下列各式有意义．（1）3x ；（2）5x -； （3）44x +； （4）()24x -；（5）24n x -；（6）632x -．【例23】 （1）若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 ；（2）x 为何值时，3423142x x x --++-有意义?（3）使得622xx --有意义的条件是 ．【例24】 填空：（1）8-的立方根与16的平方根之和为；（2）若()225x -与4y +互为相反数，则2x y +的平方根为．【例25】【例26】 已知221a A a b -=-+是21a b -+的算术平方根，12b B a b +=+是2a b +的立方根，求A B +的值．【例27】 已知22167(2)04m n m m -++=+，求n m 的值．例题解析【例28】若2244162x xyx-+-=+-，求2x y+的立方根．【例29】已知a b，分别是484，784的算术平方根，而c是-343的立方根，试求代数式222222a b c ab bc ac++-+-的值．一、填空题：【习题1】数3.14，2，π，0.323232，17，9，21+中，无理数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【难度】★【答案】【解析】【习题2】填空：（1）81的平方是_________，81的平方根是_________；（2）()23-的平方根是_________，36的平方根是_________；（3）38的立方根是_________，23(3)-的立方是_________；（4）_________的四次方根为4±．随堂检测【习题3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由． （1）无限小数都是无理数( ) （2）若a 表示一个实数，则－a 表示一个负数 ( )（3）数轴上的点与有理数一一对应 ( )（4）任何实数的偶次幂是正实数() （5）在实数范围内，若x y =，则x y =()【习题4】 写出两个在3和4之间的无理数________．【习题5】 18=2=-2=4±，⑥2-，正确的有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【习题6】 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）A ．1B ．0C ．-1D ．1，-1或0【习题7】 下列各组数中互为相反数的是（）A ．2-B ．2-C ．22(与D ．【习题8】 把 1.6-、2π-、、0从小到大排列（）A ． 1.602π-<-<<<B ． 1.602π-<-<<C ． 1.602π-<-<<<D ． 1.602π-<-<<【习题9】【习题10】 如果a 是实数，那么下列说法正确的是（）A ．3a 是奇数B ．23a a <C ．2a a =D ．2a a >【习题11】 求下列各数的值：（1）254； （2）30.001；（3）()24-；（4）()328-⋅-； （5）5132；（6）71；（7）634；（8）63(2)-．【习题12】 已知370x y ++-=，求2x y +的四次方根．【习题13】 因为211121=，所以12111=，同样，因为211112321=，所以12321111=由此猜想12345678987654321=___________________．【习题14】 已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，求()1134ba +的值．【作业1】 下列各根式无意义的是（） A ． ()5--B ．25-C ．25-D ．()25-【作业2】 下列结论正确的是（）A ．一个正分数的正的平方根比原数大B aC ．若b 是a 的立方根，则b -也是a -的立方根D ．任何实数都有两个平方根【作业3】 一个数的立方根是它本身，则这个数的平方根是（） A ．1或-1B ．0或-1C ．-1或1D ．1，-1或0【作业4】 若264x ==（） A ．4B ．4±C ．2±D ．2【作业5】 把下列各数分别填入相应的集合里：2273.1410.3030030001.7320.010*******π----，，，，，，，正数集合｛ ｝； 分数集合｛ ｝； 有理数集合｛ ｝； 无理数集合｛｝．【作业6】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）0是最小的实数( ) （2）0是绝对值最小的实数( ) （3）不存在绝对值最小的无理数 ( ) （4）不存在绝对值最小的实数( ) （5）不存在与本身的算术平方根相等的数 ( ) （6）比正实数小的数都是负实数()（7）非负实数中最小的数是0 ( )【作业7】 2）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．以上都可能【作业8】 填空：（1）1236-=，=；（2）81625的四次方根是，的六次方根是 ；（3）奇次方根是本身的实数有．【作业9】 若实数a 满足1a a=-，则（ ） A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤【作业10】 计算：（1（2；（3）（4；（5） （6 （7）（8【作业11】 已知：224410260x y x y +-++=，求12x y +的5次方根．【作业12】 x 、y 分别是3-的整数部分和小数部分，求24xy y -的值．【作业13】 若2(1)||0z x y -++。
精品 2014年七年级数学上册暑期讲义+同步练习--有理数 第05课 有理数的乘除运算
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1 (5) 6 4 1 5
3 1 9 （6） 4 2 4
1 4 （7） 27 2 (24) 4 9
2 4 1 （8） 5 (1 ) (2 ) 7 7 5 4
例 6.定义一种新运算：观察下列式： 1⊙3=1×4+3=7 3⊙1=3×4+1=13 5⊙4=5×4+4=24 4⊙3=____________ 请你想一想 a⊙b=______; 若 a≠b,那么 a⊙b______b⊙a(填入 “=”或 “≠ ”) 计算: [(a-b)⊙(a+b)]⊙b
例 7.已知：a、b、c 是非零有理数，且 a+b+c=0，求
C.a,b 异号
3.一个有理数与其相反数的积（ A.符号必定为正 4.下列结论错误的是（
B.符号必定为负 ）
C.一定不大于零
D.一定不小于零
A.若 a, b 异号，则 a b 0 ， C.
a 0 b
B.若 a, b 同号，则 a b 0 ，
a 0 b
a a a a a D. b b b b b 5.实数 a,b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（
8.(1)如果两个有理数的积是正的,那么这两个因数的符号一定______. (2)如果两个有理数的积是负的,那么这两个因数的符号一定_______. 9.(1)奇数个负数相乘,结果的符号是_______ 10.-0.125 的相反数的倒数是_______ 11.若 xy 0，z 0 ，那么 xyz ______0． 12.若 a 5, b 2, ab ＞0，则 a b ＿＿ 13.填空： 若a 0，b 0，则ab 0； 若 a 0 ， b 0 ， 则 ab 0; ; (2) 若 a＝0,b≠0,则 ab_______0 ; (3) 0； (2)偶数个负数相乘,结果的符号是_______.
七年级l下册数学实数知识点
七年级l下册数学实数知识点七年级下册数学实数知识点数学作为一门重要的学科，对于每一位学生来说都是必修课程。
在七年级下册数学中，实数是一个重要的知识点。
实数可以说是我们日常生活中使用最频繁的数。
那么，什么是实数呢？它都有哪些特殊性质？接下来，就让我们深入了解一下吧。
一、实数的概念及表示方法实数是指一切有理数和无理数的总称，它包括了所有的实数，即正、负、零数、分数、小数、根号下的数、圆周率π、自然常数e 等。
表示方法有小数表示法、分数表示法、倍数表示法、百分数表示法和指数表示法等。
二、实数的分类实数可以分为三类：正数、负数和零。
1. 正数：大于0的数，我们通常用“+”表示。
例如：1、2、3、4、6、8、12等等。
2. 负数：小于0的数，我们通常用“-”表示。
例如：-1、-2、-3、-4、-6、-8、-12等等。
3. 零：表示不存在的数量，我们通常用0表示。
三、实数的比较1. 同号相比：同为正数或同为负数，比大小时与绝对值有关，即绝对值大的数大。
例如：5>2，-7>-8。
2. 异号相比：正数与负数相比较，绝对值大的数小，绝对值小的数大。
例如：-3<2，-2<1。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 实数的加减法a. 同号相加：将它们的绝对值相加，同号保留，例如：7+3=10，-7-3=-10。
b. 异号相加：将它们的绝对值相减，符号取较大的数的符号，例如：3+（-5）=-2，-3+5=2。
2. 实数的乘法同号相乘:积为正数，例如：2×3=6，-2×-3=6。
异号相乘:积为负数，例如：2（-3）=-6，-2×3=-6。
3. 实数的除法两个非零实数之间的除法可以看成是乘以它的倒数，例如： 4 ÷ 2=2， -4 ÷ 2= -2， 5 ÷（-1）=-5。
五、实数的绝对值实数a的绝对值，用|a|表示，a≥0 时|a|=a， a<0 时|a|= -a。
七年级数学讲义一：实数
1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。
七年级第六章实数知识点
七年级第六章实数知识点实数是数学中的基础概念之一，也是数学中最基本的知识点之一。
本文将介绍七年级第六章实数的知识点，包括实数的定义、实数的分类、实数的运算、实数的性质等方面。
一、实数的定义实数是指所有有理数和无理数的总称，是数学中最基本的数量类型之一。
实数包括整数、分数、小数、无限不循环小数和无限循环小数。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是指可以表示成两个整数的比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
无理数是指不能表示为两个整数的比的数，无限不循环小数和无限循环小数都是无理数。
三、实数的运算实数可以进行加、减、乘、除四则运算。
具体的运算规则如下：1.加法：两个实数相加，其和仍是一个实数。
2.减法：两个实数相减，其差仍是一个实数。
3.乘法：两个实数相乘，其积仍是一个实数。
4.除法：两个实数相除，其商仍是一个实数。
四、实数的性质实数具有以下性质：1.交换律：实数加法和乘法具有交换律，即a+b=b+a，ab=ba。
2.结合律：实数加法和乘法具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)。
3.分配律：实数乘法对加法具有分配律，即a(b+c)=ab+ac。
4.存在相反数：对于任意实数a，存在它的相反数-b，使得a+b=0。
5.存在倒数：对于任意非零实数a，存在倒数1/a，使得a×(1/a)=1。
6.存在无限接近的实数：对于任意实数a和正数ε，总存在一个实数b，使得|a-b|<ε。
综上所述，实数是数学中最基本的知识点之一。
了解实数的定义、分类、运算和性质对于学好数学非常重要。
我们希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地掌握实数的知识。
第05讲 实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)-【学霸计划】【2022年】中考数学大复习(知识点·
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a 的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
数学七年级下册《实数课件》.ppt
确度要比预定的精确度多取一位
练习：
1. 2 3 3 2 5 3 3 2 3 3
2. 3 2 3 1 1
3.
2 3
(4)2 2
4 3 ___________
．
热身运动(一)
1.下列各数不是有理数的是( B )
gg
A.3.14
B.-π C. 0.21 D. 102
2.在 1 ， 7， 3 5 ，9，中是无理数的有( A )
（1）a是一个实数，它的相反数为 a ，
绝对值为 a ；
1
（2）如果a 0，那么它的倒数为 a .
在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内 的相反数、绝对值的意义完全一样。
a是一个实数，实数a的相反数为 -a 。 一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0
0.12345678910111213 …〔小数部分由相继的正整数组成〕…
无理数的分类
无限不循环小数叫做无理数.
无理数也有正负之分，例如：
正无理数： , 2 , 3 …
负无理数：— , — 2 , — 3 …
练习:判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
6,
,
••
1. 2 3,
22 , 36 3.232232223
（5）无理数都是无限小数。（ ）
•
（6）无限小数都是无理数。如 0（.3就×是）有理
探究2
问题1.你能在数轴上表示出π吗？
如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动
一周，圆上一点从原点o到达A点，则点A的坐标为多少？
直径为1的圆的周长是 多少？
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3A 4
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第5讲实数
知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
1.下列各数中，3.14159，，0.131131113…，﹣π，，，0，
，，无理数的个数为_______个．
【方法总结】
无限不循环小数叫做无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简后的结果．上题中，3.14159是一个有限小数，是有理数；是有理数；是有理数.
【随堂练习】
1．（2017秋•高邮市期末）在0，，π﹣1，0.121121112…（每两个2之间依次多一个1），0.33333…这5个数中，无理数有_____个．
2．（2018春•禄劝县期末）下列各数中：0.，，π，﹣，，﹣，0.5151151l151ll1…，无理数有____个．
3．（2017秋•苏州期末）下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，
﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有_____个．
知识点2 实数的概念与性质
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
4、实数的性质：有理数中，关于相反数、绝对值和倒数的意义同样适用于实数.
（1）任何实数，都有一个相反数．
（2）任何非0实数，都有倒数．
（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小．备注：，
【典例】
1.将下列各数填在相应的集合里．
，﹣10，2.3，，﹣42，0，，200%，，
整数集合：{______________}，
分数集合：{_________________}，
正有理数集合：{________________}，
无理数集合：{}．
2.|1.4﹣|=，﹣1.7的相反数，若|a|=，则a=．
【方法总结】
第一题，实数分类，需要先把实数化简，看化简后的形式.例如：
=1，，﹣42=-16，，200%=2，；在填答案时，要填原数.
这里注意200%可以转化为整数2，不要看到百分数就认为是分数了.
第二题，相反数、绝对值和倒数的意义在实数里同样适用，在去绝对值的时候需要判断绝对值符号内实数的正负.常用到的无理数值：，，，.
【随堂练习】
1．（2018春•金乡县期末）下列说法中，①2是8的立方根：②±4是64的立方根；③1是1的一个平方根；④（﹣4）2的平方根是4；⑤带根号的数都是无理数，正确的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2018春•赵县期中）下列说法正确的是有（）
①无理数都是实数②实数都是无理数③无限小数都是有理数
④带根号的数都是无理数⑤不带根号的数都是有理数
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2018春•普陀区期中）下列说法正确的是（）
A．无限小数都是无理数
B．正数的平方根是正数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．0没有平方根
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
1.如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，|a|+|b|=3，则原点是（）
A.M或R
B.N或P
C.M或N
D.P或R
【方法总结】
解题前需要先理解题意，因为数a和数b是数轴上的数，则|a|表示数a到原点的距离，|b|表示数b到原点的距离.由题意知，原点在M，N，P，R四点里，当原点在N或P上，即在a、b两个数之间时，
|a|+|b|<3不符合；当原点在M或R上，即在a、b两个数之外时，|a|+|b|可能等于3，符合题意.
【随堂练习】
1．（2018春•临朐县期中）数轴上点A表示的数为﹣，点B表示的数为，则A、B之间表示之间表示整数的点有（）
A．21个B．20个C．19个D．18个
2．（2018春•潍坊期中）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（）
A．﹣0.4 B．﹣C．1﹣ D．﹣1
知识点4 实数的简单运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同
级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
1.计算下列各式：
（1）
（2）|1﹣|+|﹣|+|﹣1|
【方法总结】
1、实数的运算法则与有理数运算法则相同；
2、在开立方和去绝对值的时候需要判断符号里面实数的正负，例如化简|﹣|先开立方，为|﹣|，再判断与3的大小，因为，所以去绝对值为；
【随堂练习】
1．（2018春•邹城市期中）下列各题
（1）计算：|﹣|﹣（﹣）﹣|﹣2|．
（2）解方程：（x﹣1）3=﹣125．
2．（2017秋•新泰市期末）（1）计算：﹣22+﹣+
（2）解方程：﹣（x﹣2）3=125
综合应用
1．（2018秋•沙坪坝区校级月考）下列实数：，0，﹣3.141592，
2.9，，，，﹣0.2020020002（两个非零数之间依次多
一个0），其中无理数有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2018春•罗庄区期中）在下列各组数中，﹣π，﹣，，
0.131131113…（相邻两个3之间多一个1），无理数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5
3．（2018春•遵义期中）一个数既有平方根，又有算术平方根，则这个数一定是（）
A．正数B．有理数C．实数D．非负数
4．（2017秋•东台市期末）下列选项中，与数轴上的点一一对应的是（）
A．实数B．有理数C．正整数和0 D．无理数
5．（2018•荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是（）
A．原点在点A的左边B．原点在线段AB的中点处
C．原点在点B的右边D．原点可以在点A或点B上
6．（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0
7．（2018春•长白县期中）计算：+|1﹣|﹣
8．（2018春•汕头校级期中）计算：|﹣2|++|1﹣|﹣9．（2018春•海沧区校级期中）计算：++|2﹣|。