2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第4讲简单的三角恒等变换课件文新人教版
合集下载
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 简单的三角恒等变换课件
12/11/2021
第三十四页，共三十七页。
易错防范 在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函 数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数． (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦 函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．
第四章 三角函数(sānjiǎhánshù)、解三角 形
第4讲 简单(jiǎndān)的三角恒等变换
12/11/2021
第一页，共三十七页。
三角函数式的化简
（1＋sin θ＋cos θ）sin
化简：(1)
2＋2cos θ
θ2－cos
θ 2(0<θ<π)；
1 (2)tan
α－tan 2
α2·1＋tan α·tan
设 α，β 是锐角，sin α＝473，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. 证明：由 0<α<π2，0<β<π2， 知 0<α＋β<π， 又 cos(α＋β)＝－1114， 故 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β） ＝ 1－－11142＝5143.
12/11/2021
第十四页，共三十七页。
答案：4sin α
12/11/2021
第七页，共三十七页。
2．化简：2t2acnos4π4x－－x2csoins22xπ4＋＋12x. 解：原式＝ －2sin2xcos2x＋12
2sinπ4－xcos2π4－x cosπ4－x
＝ 12（1－sin22x） 2sinπ4－xcosπ4－x
12/11/2021
第十九页，共三十七页。
第三十四页，共三十七页。
易错防范 在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函 数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数． (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦 函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．
第四章 三角函数(sānjiǎhánshù)、解三角 形
第4讲 简单(jiǎndān)的三角恒等变换
12/11/2021
第一页，共三十七页。
三角函数式的化简
（1＋sin θ＋cos θ）sin
化简：(1)
2＋2cos θ
θ2－cos
θ 2(0<θ<π)；
1 (2)tan
α－tan 2
α2·1＋tan α·tan
设 α，β 是锐角，sin α＝473，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. 证明：由 0<α<π2，0<β<π2， 知 0<α＋β<π， 又 cos(α＋β)＝－1114， 故 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β） ＝ 1－－11142＝5143.
12/11/2021
第十四页，共三十七页。
答案：4sin α
12/11/2021
第七页，共三十七页。
2．化简：2t2acnos4π4x－－x2csoins22xπ4＋＋12x. 解：原式＝ －2sin2xcos2x＋12
2sinπ4－xcos2π4－x cosπ4－x
＝ 12（1－sin22x） 2sinπ4－xcosπ4－x
12/11/2021
第十九页，共三十七页。
2023版高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第四讲简单的三角恒等变换课件
答案：21cos 2x
2.当
π
<α<2π
1＋sin 时，化简：
α＋cos αsin α2－cos 2＋2cos α
α 2
＝________.
解析：原式＝2cos2α2＋2sin
α 2cos
α2sin
α2－cos
α 2＝
4cos2α2
2cos
α2cos
α2＋sin α2sin
2cos
α 2
α2－cos
β)＝－1，∴sin(α＋β)＝－21.
答案：－12
3.(考向 3)若 sin 2α＝ 55，sin(β－α)＝ 1100，且 α∈π4，π，
β∈π，32π，则 α＋β 的值是(
)
7π
9π
A. 4
B. 4
C.54π或74π
D.54π或94π
解析：因为 α∈π4，π，且 0＜sin 2α＝ 55＜12，所以 2α∈56π，π，所以 α∈51π2，π2，cos 2α＝－ 1－sin22α＝ －2 5 5.因为 β∈π，32π，所以 β－α∈π2，1132π，又 sin(β－ α)＝ 1100＞0，所以 β－α∈π2，π，所以 cos(β－α)＝ － 1－sin2β－α＝－31010.所以 cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－
∵tan β＝－17＜0， ∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0， ∴2α－β＝－34π. 答案：－34π
【题后反思】三角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊 角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正 负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值. (2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另 外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相 关角相同或具有某种关系.
2.当
π
<α<2π
1＋sin 时，化简：
α＋cos αsin α2－cos 2＋2cos α
α 2
＝________.
解析：原式＝2cos2α2＋2sin
α 2cos
α2sin
α2－cos
α 2＝
4cos2α2
2cos
α2cos
α2＋sin α2sin
2cos
α 2
α2－cos
β)＝－1，∴sin(α＋β)＝－21.
答案：－12
3.(考向 3)若 sin 2α＝ 55，sin(β－α)＝ 1100，且 α∈π4，π，
β∈π，32π，则 α＋β 的值是(
)
7π
9π
A. 4
B. 4
C.54π或74π
D.54π或94π
解析：因为 α∈π4，π，且 0＜sin 2α＝ 55＜12，所以 2α∈56π，π，所以 α∈51π2，π2，cos 2α＝－ 1－sin22α＝ －2 5 5.因为 β∈π，32π，所以 β－α∈π2，1132π，又 sin(β－ α)＝ 1100＞0，所以 β－α∈π2，π，所以 cos(β－α)＝ － 1－sin2β－α＝－31010.所以 cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－
∵tan β＝－17＜0， ∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0， ∴2α－β＝－34π. 答案：－34π
【题后反思】三角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊 角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正 负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值. (2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另 外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相 关角相同或具有某种关系.
高考数学一轮单元复习：简单的三角恒等变换PPT共36页
高考数学一轮单元复习：简单的三角 恒等变换
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3.2 简单的三角恒等变换课件
12/11/2021
【解】 (1)f(x)＝2cos2x＋2 3sinxcosx＝1＋cos2x＋ 3sin2x ＝2sin2x＋6π＋1，
所以函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π. (2)因为 f(C)＝2，所以 2sin2C＋π6＋1＝2， 所以 sin2C＋π6＝12. 因为 0<C<π，所以π6<2C＋π6<2π＋π6， 所以 2C＋π6＝56π，得 C＝3π.
12/11/2021
1已知正切函数值，选正切函数.
12/11/2021
1 1．(方向 1)(2 3sin70°－tan70°)·sin80°＝______2________.
解析：(2 3sin70°－tan70°)·sin80°
＝2
3cos20°－csoins7700°°·sin80°
＝2
3cos20°－csoins2200°°·cos10°
12/11/2021
已知函数 f(x)＝sincxo＋s2cxosx＋2sinx. (1)在△ABC 中，cosA＝－35，求 f(A)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程．
12/11/2021
解：(1)由 sinx＋cosx＝ 2sinx＋π4≠0，得 x≠kπ－π4，k∈Z. f(x)＝sincxo＋s2cxosx＋2sinx＝csoisn2xx＋－csoinsx2x＋2sinx ＝cosx＋sinx，在△ABC 中，cosA＝－35<0， 所以π2<A<π，所以 sinA＝ 1－cos2A＝45， 所以 f(A)＝cosA＋sinA＝45－35＝15.
12/11/2021
因为 2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，
【解】 (1)f(x)＝2cos2x＋2 3sinxcosx＝1＋cos2x＋ 3sin2x ＝2sin2x＋6π＋1，
所以函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π. (2)因为 f(C)＝2，所以 2sin2C＋π6＋1＝2， 所以 sin2C＋π6＝12. 因为 0<C<π，所以π6<2C＋π6<2π＋π6， 所以 2C＋π6＝56π，得 C＝3π.
12/11/2021
1已知正切函数值，选正切函数.
12/11/2021
1 1．(方向 1)(2 3sin70°－tan70°)·sin80°＝______2________.
解析：(2 3sin70°－tan70°)·sin80°
＝2
3cos20°－csoins7700°°·sin80°
＝2
3cos20°－csoins2200°°·cos10°
12/11/2021
已知函数 f(x)＝sincxo＋s2cxosx＋2sinx. (1)在△ABC 中，cosA＝－35，求 f(A)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程．
12/11/2021
解：(1)由 sinx＋cosx＝ 2sinx＋π4≠0，得 x≠kπ－π4，k∈Z. f(x)＝sincxo＋s2cxosx＋2sinx＝csoisn2xx＋－csoinsx2x＋2sinx ＝cosx＋sinx，在△ABC 中，cosA＝－35<0， 所以π2<A<π，所以 sinA＝ 1－cos2A＝45， 所以 f(A)＝cosA＋sinA＝45－35＝15.
12/11/2021
因为 2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，
(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
第十八页，共56页。
cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
第十八页，共56页。
cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第四节 三角恒等变换课件(理)
答案
1 2
(2)函数 f(x)＝2 3sin xcos x 的值域为________.
解析 f(x)＝2 3sin xcos x＝ 3sin 2x，则 f(x)值域为[－ 3， 3].
答案 [－ 3， 3]
(3)已知 tan α＋tan β＋ 3＝ 3tan α·tan β，则 tan(α＋β)
＝________.
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α＝ 2sin αcos α . (2)cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α －1＝1－ 2sin2α .
2tan α
(3)tan 2α＝
1－tan2α
π
π
(α≠kπ＋ 4 且 α≠kπ＋ 2 ，k∈Z).
►公式的三种应用：正用；逆用；变形应用.
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来 看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用 观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角 的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某 种关系.
(2)cos 2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα； (3)2sin αcos α＝sin 2α； (4)sin αcos α＝12sin 2α； (5)cos α＝2ssinin2αα； (6)1±sin α＝sinα2 ±cosα2 2；
(7)cos2α－sin2α＝cos 2α； (8)12－tatnanα2α＝tan 2α；
高考数学复习第3章三角函数与解三角形第4讲简单的三角恒等变换
4.(2016年浙江)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0), 则 A＝____2___,b＝_____1__.
考点 1 三角函数式的化简与求值 考向 1 化简 例 1: (1)化简tan2cπ4o＋s2απ4·－coαs2α＝________. 思维点拨：(1)式中的三角函数种类较多，先考虑“切化
π 9π＝116.
8sin 9
8sin 9 8sin 9 8sin 9
方法二(余弦化正弦)，由 sin 2α＝2sin αcos α，得 cos α＝
2π 4π
8π
s2isnin2αα.∴原式＝sin
9 sin π·
9 1 sin 2π·2·
94π＝116.
2sin 9 2sin 9 2sin 9
方法三(构造对偶式)，原式＝12cos π9cos 29πcos 49π＝12s.
令 t＝sin
π 9sin
2π 9 sin
49π，
则 st＝sin
π 9cos
π 9sin
2π 9 cos
2π 9 sin
4π 9 cos
4π 9
＝18sin
2π 9 sin
4π 9 sin
89π＝18sin
π 9sin
( C)
π
π
A.4
B.2
C.π
D.2π
sin x
sin x
解析：f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssoinsxxx2＝cos2ccxoo＋ss2xsxin2x＝sin xcos x
＝12sin 2x.最小正周期为 T＝22π＝π.
3.(2017 年新课标Ⅱ)函数 f(x) ＝2cos x ＋sin x 的最大值为 ____5____.
考点 1 三角函数式的化简与求值 考向 1 化简 例 1: (1)化简tan2cπ4o＋s2απ4·－coαs2α＝________. 思维点拨：(1)式中的三角函数种类较多，先考虑“切化
π 9π＝116.
8sin 9
8sin 9 8sin 9 8sin 9
方法二(余弦化正弦)，由 sin 2α＝2sin αcos α，得 cos α＝
2π 4π
8π
s2isnin2αα.∴原式＝sin
9 sin π·
9 1 sin 2π·2·
94π＝116.
2sin 9 2sin 9 2sin 9
方法三(构造对偶式)，原式＝12cos π9cos 29πcos 49π＝12s.
令 t＝sin
π 9sin
2π 9 sin
49π，
则 st＝sin
π 9cos
π 9sin
2π 9 cos
2π 9 sin
4π 9 cos
4π 9
＝18sin
2π 9 sin
4π 9 sin
89π＝18sin
π 9sin
( C)
π
π
A.4
B.2
C.π
D.2π
sin x
sin x
解析：f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssoinsxxx2＝cos2ccxoo＋ss2xsxin2x＝sin xcos x
＝12sin 2x.最小正周期为 T＝22π＝π.
3.(2017 年新课标Ⅱ)函数 f(x) ＝2cos x ＋sin x 的最大值为 ____5____.
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.4简单的
2
2cos α 1＋cos 2 α α 2 ； 2
2
1 － 2sin ±
2
α 2
α 2cos －1 2
2
1－cos α 1＋cos α
α cos α＝sin2±
2α
1＋cos α＝2cos 1－cos α＝2sin
2
；
2α
2
；
1－cos α α sin α tan ＝ ＝ . 2 1＋cos α sin α
必考部分
第四章
三角函数与解三角形
§4.4 简单的三角恒等变换
考纲展示► 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正 弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和 差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆
考点 1
三角函数式的化简与证明
倍角公式与半角公式变形
(1)
答 案 ： 2sin α ± 1－cos α 2 (2)1± sin ±
考点 2
三角函数式的求值
[考情聚焦]
研究三角函数式的求值，解题的关键是找出条
件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的特点，选择适当 的公式进行求解，在高考中是一个热点考查方向． 主要有以下几个命题角度：
角度一 给值求值 [典题 2] 设 θ 为第二象限角， 若 10 － θ＝________. 5
π 1 tanθ＋4＝ ， 则 2
sin θ＋cos
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④注意利用角与角之间的隐含关系； ⑤注意利用“1”的恒等变形.
证明下列各式： (1)已知： 2sin β＝sin α＋cos α， sin2γ＝2sin αcos α， 求证： 2cos 2β＝cos2γ； (2)已知：5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单
2 2．求值 2cos 40°(1＋ 3tan 10°)＝________.
sin 10° [解析] 原式＝2cos 40°1＋ 3 cos 10 ° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2cos 40° cos 10° 2sin（10°＋30°） 2sin 80° ＝2cos 40° ＝ ＝2. cos 10° cos 10°
5π π π 3 ＋ α － α － α cos 6 ＝cosπ－6 ＝－cos6 ＝－ 3 ， π 5π 2 3 2＋ 3 所以 sin α－6－cos 6 ＋α＝ ＋ ＝ . 3 3 3
2
（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1） tan α 2. ＝________. sin 4α
1－cos 2α ＝ sin 2α 2sin2α ＝ 2sin αcos α sin α ＝ ＝tan α. cos α
x x sin cos 2 2 π 1 2 ． 3．已知函数 f(x)＝ ＋ ，则 f8的值为____ 2tan x 2x 2cos －1 2 1 sin x cos2x＋sin2x cos x 2 1 [解析] f(x)＝ ＋ ＝ ＝ ， 2sin x cos x 2sin xcos x sin 2x
2α
【解】
1 10 (1)因为 tan α＋ ＝－ ， tan α 3
所以 3tan2α＋10tan α＋3＝0， 1 解得 tan α＝－ 或 tan α＝－3. 3 3π 因为 <α<π，所以－1<tan α<0. 4 1 所以 tan α＝－ . 3
1 (2)因为 tan α＝－ ， 3 α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 所以 π 2sinα－4 1＋cos α 2α 2α 5sin 2＋cos 2＋4sin α＋6· －8 2 sin α－cos α
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换演练直击高考文(2021年整
（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换分层演练直击高考文的全部内容。
第4讲 简单的三角恒等变换1．函数y ＝sin x sin 错误!的最小正周期是________．［解析] 因为y ＝sin x cos x ＝错误!sin 2x ，所以T ＝错误!＝π。
[答案］ π2。
若错误!＝错误!,则tan 2α＝________．[解析] 因为错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以tan α＝2，所以tan 2α＝错误!＝错误!＝－错误!.[答案］ －错误!3．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________．［解析］ 错误!＝错误!＝错误!＝错误!cos 1.[答案] 3cos 14．已知△ABC 中,AB ＝2,C ＝π3，则△ABC 的周长为________． [解析］ 设三边分别为a ，b ,c ,则错误!＝错误!，a ＝错误!sin A ，错误!＝错误!,b ＝错误!sin 错误!， △ABC 的周长l ＝错误!sin A ＋错误!sin 错误!＋2＝2错误!sin A ＋2cos A ＋2＝4sin 错误!＋2.[答案］ 4sin 错误!＋25．函数y ＝错误!cos 4x ＋sin 4x 的最小正周期为________．[解析］ y ＝错误!cos 4x ＋sin 4x ＝2错误!＝2错误!＝2cos 错误!，故T ＝2π4＝错误!. ［答案] 错误!6。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第4讲 简单的三角恒等变换课件 文
12/11/2021
第十二页，共三十六页。
(2)因为 tan α＝－13，
所以5sin2α2＋8sin2sα2icnosα－α2＋π411cos2α2－8
＝5sin2α2＋cos2α2sin＋α4－sincoαs＋α6·1＋c2os α－8
＝5＋4sinsinα＋α－3＋co3scαos
α－8＝4sin sin
12/11/2021
第十四页，共三十六页。
1. 已知函数 f(x)＝ 2sin 2x＋ 2cos 2x， x∈R. (1)求 f(x)的最大值和最小正周期；
(2)若 fα2－π8＝ 23，α 是第二象限的角，求 sin 2α.
12/11/2021
第十五页，共三十六页。
[解] (1)因为 f(x)＝2 22sin 2x＋ 22cos 2x ＝2cosπ4sin 2x＋sinπ4cos 2x＝2sin2x＋π4，
10°·
2sin 80°
＝2sin
50°＋2sin
1 10°×2cos
10°＋
3 2 sin
co
＝2 2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2 2sin(50°＋10°)＝2 2× 23＝ 6.
12/11/2021
第十八页，共三十六页。
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 x∈0，π2时，求函数 f(x)的值域．
12/11/2021
第二十九页，共三十六页。
[解]
(1)f(x)＝2sin
x
3 2 sin
x＋12cos
x
＝ 3×1－c2os 2x＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋ 23.
高考数学(文通用)一轮复习课件：第三章第4讲简单的三角恒等变换
第三章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换典例剖析▼考点突破*名师导悟以例说法考点一三角函数式的化简&W1]化简：(1)(・e(l+sin 0 + cos 0) fin —■—cos(0V〃V 31 );⑵tan ---- t anaa\2〈2+2cos 0(1 + tana• tan f)［解］⑴原式=( e e e\( e e\ I 2sin —cos —+2cos — JI s^n cos — I—COS —• cos &cos T,所以cos #>0•所以原式=一cos 0.⑵原式=sina亍丿sin2a亍丿2 a 2 acos ----- siiT—2 2a a sin —cos —2 2 cos a cosa--- F sin a sin2a2cosa a cos—2cos cos a2cos a cos 2 2 sin a a sincos a cos 12三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角",这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” •(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.跟踪训练e 4 2 I A2cos x— 2cos xH-一1.化简：--------------- 才一2tan siny^+x2x.考点二三角函数式的求值(高频考点)三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小，高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度:(1)给值求值;(2)给角求值;(3)给值求角.sin 110°sin 20° 2(1COS 2155° -sin 2155°A. C.一的值为（B ）D.2(2)(2016-湖北省教学合作联考)已知tan 1 JI专且飞< a <0,贝||2sin2a +sin 2 a=(A )A.C.3应103聽• _ 10座5(3)已知tan a , tan 0是方程x +3\/3x+4=0的两根，且a,十9 则«+/?=( DJl A —3兀、B•亍或一2Ji3C.—亍或2Ji3D.sin 110。
2019届高考文数一轮复习课件：第3章 第4讲 简单的三角恒等变换
α＝sin
α α2 . － cos 2 2
1－cos α sin α α (3)tan 2＝ ＝ sin n
α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝
a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯 一确定．
方法感悟 三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 1．对于和、差式子，见到平方要降幂、消项、逆用公式等． 2．对于公式，通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子，或 逆用公式． 3．对于二次根式，要用升幂公式，或配方，出现完全平方，注 意倍角公式的逆用．
4．观察角的关系，尽量异角化同角，合理拆分角． 5．观察三角函数的名称的关系，常用弦切互化，异名化同名． 6．观察结构特征，明确变形方向，遇到分式要通分，整式要因 式分解．
[知识感悟] 三角恒等变换的两个基本方向 一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、 二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的 三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．
[知识自测] 1 1．下列各式的值为4的是( π A．2cos212－1 2tan 22.5° C. 1－tan222.5°
2cos 10° －sin 20° 2. 的值是( sin 70° 1 A.2 C. 3
) 3 B. 2 D. 2
2cos30° －20° －sin 20° [解析] 原式＝ sin 70° 2cos 30° · cos 20° ＋sin 30° · sin 20° －sin 20° ＝ sin 70° 3cos 20° ＝ cos 20° ＝ 3. [答案] C
3．(浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sin ________ ，最小值是 ________ .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2.
[答案] π；3－2 2
题型一 三角函数式的化简与求值(基础保分题，自主练透)
例1 (1)化简：( 1 α－tanα2)·(1＋tan α·tanα2)． tan2
[解] ( 1 α－tanα2)·(1＋tan α·tanα2) tan2
＝(csoinsα2α2－csoinsα2α2)·(1＋csoins
上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式．
(2)求S的最大值及相应的θ角．
[解] (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D.QE⊥OB于E. 则四边形QEDP为矩形
在Rt△PDO中，PD＝sin θ，OD＝cos θ 在Rt△OEQ中，
OE＝
33QE＝
4．观察角的关系，尽量异角化同角，合理拆分角． 5．观察三角函数的名称的关系，常用弦切互化，异名化同名． 6．观察结构特征，明确变形方向，遇到分式要通分，整式要因 式分解．
【针对补偿】
1．化简 2＋cos 2－sin21的结果是( )
A．－cos 1
B．cos 1
C. 3cos 1
D．－ 3cos 1
1．半角公式
[知识梳理]
2．公式的常见变形
(1)1＋cos α＝ 2cos2α2 ；
1－cos α＝ 2sin2α2 ；
(2)1＋sin α＝sin
α2＋cos
α22；
1－sin α＝sin
α2－cos
α22.
(3)tan
α2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
3．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯 一确定．
α sinα2
α·cos
α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos
α
cosα2＋sin α α
α sin2
sin2 cos2
cos α cos2
＝2scionsαα·coscαoscα2osα2＝sin2 α.
1＋sin (2)化简：
θ＋cos θsin 2θ－cos 2＋2cos θ
θ 2(0＜θ＜π)；
3．(浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos ________ ，最小值是 ________ .
x＋1的最小正周期是
[解析] f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 ＝1－c2os 2x＋12 sin 2x＋1＝12sin 2x－12cos 2x＋32
＝
22sin2x－4π＋32，所以T＝22π＝π，f(x)min＝32－
＝2cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°－sin
20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
[答案] C
题型二 利用三角恒等变换解决实际问题(重点保分题，共同探
讨)
例2
如图，现要在一块半径为1
m，圆心角为
π 3
的扇形白铁片
AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA
第三章 三角函数、解三角形
•第4讲 简单的三角恒等变换
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切 公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公 式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式，但答题中化简 时，多用本节公式， 中档题目，占5分.
[解] 由θ∈(0，π)，得0＜2θ＜π2， ∴cos2θ＞0， ∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos 2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin
2θ－cos
θ 2)
＝(2sin 2θcos 2θ＋2cos2θ2)(sin 2θ－cos 2θ)
＝2cos θ2(sin2θ2－cos2θ2)
[解析] 原式＝ 1－sin21＋cos 2＋1
cos21＋1＋cos 2＝ cos21＋1＋2cos21－1＝ 3cos21
＝ 3cos1，∴选C.
[答案] C
2cos 2.
10°－sin sin 70°
20°的值是(
)
1
3
A.2
B. 2
C. 3
D. 2
[解析] 原式＝2cos30°－sin207°0°－sin 20°
[知识感悟] 三角恒等变换的两个基本方向 一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、 二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的 三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．
[知识自测]
1．下列各式的值为14的是(
)
A．2cos21π2－1
B．1－2sin275°
3 3 PD
MN＝OD－OE
＝cos
θ－
3 3 sin
θ
∴S＝MN·PO＝cos
θ－
3 3 sin
θ·sin
θ
＝sin θcos θ－ 33sin2θ＝12sin 2θ－ 33sin2θ，θ∈0，π3.
(2)由(1)可得，S＝12sin 2θ－ 33sin2θ ＝12sin 2θ－ 33×1－c2os2θ＝ 33sin2θ＋π6－ 63. ∴0＜θ＜π3，0＜2θ＜23π，π6＜2θ＋π6＜56π 12＜sin2θ＋π6≤1. ∴当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，Smax＝ 63(m2)．
方法感悟 (1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行 化简，解决最优化问题． (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建 模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．
【针对补偿】 3.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，BC＝ 25 3 米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这 块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求 点O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图 所示．
2tan 22.5° C.1－tan222.5° [答案] D
D．sin 15°cos 15°
sin 2.
c2o0s°c5o0s°20°＝(
)
A．2 [解析]
2
1
B. 2
C. 2
D.2
sin c2o0s°c5o0s°20°＝12csoisn5400°°＝12ssiinn4400°°＝12.
[答案] D
＝－2cos
θ 2cos
θ.
－2cos 故原式＝
θ 2cos
θ
θ ＝－cos
θ.
2cos 2
方法感悟 三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 1．对于和、差式子，见到平方要降幂、消项、逆用公式等． 2．对于公式，通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子，或 逆用公式． 3．对于二次根式，要用升幂公式，或配方，出现完全平方，注 意倍角公式的逆用．