高中数学选修2第二章《圆锥曲线与方程》单元检测
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 湘教版高二选修2-1数学试题
章末综合检测(二)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )A .(±13,0)B .(0,±10)C .(0,±13)D .(0,±69)解析:选D.由题意知椭圆的焦点在y 轴上,且a =13,b =10,则c =a 2-b 2=69,故焦点坐标为(0,±69).2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 212-y 24=1 C.x 210-y 26=1 D.x 26-y 210=1 解析:选A.依题意得c =4,e =c a =4a=2,a =2,b 2=c 2-a 2=12,因此所求的双曲线的标准方程为x 24-y 212=1,故选A.3.若点P 到直线x =-1的距离比到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线D .抛物线解析:选D.点P 到直线x =-1的距离比到点(2,0)的距离小1,即点P 到直线x =-2的距离与到点(2,0)的距离相等,根据抛物线的定义可知,点P 的轨迹是抛物线.4.已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,焦距为4.若P 为椭圆C 上一点,且△PF 1F 2的周长为14,则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215解析:选B.根据椭圆定义可得4+2a =14,解得a =5,故其离心率e =c a =25,故选B.5.双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率是( ) A .2或233B .2C.233D. 3解析:选A.不妨设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则渐近线方程为y =±bax .由题意,则ba =33或a b =33, 所以b 2a 2=13或a 2b 2=13,可以求得e =233或2.6.直线l 过点(2,0)且与双曲线x 2-y 2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条D .4条解析:选C.点(2,0)为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线,这两条直线与双曲线仅有一个公共点,另外,过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.所以共有3条.7.已知双曲线与椭圆x 216+y 264=1有共同的焦点,且双曲线的一条渐近线方程为x +y =0,则双曲线的方程为( )A .x 2-y 2=50 B .x 2-y 2=24 C .x 2-y 2=-50 D .x 2-y 2=-24解析:选D.因为双曲线与椭圆x 216+y 264=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y 轴上,且焦点坐标为(0,-43),(0,43).又双曲线的一条渐近线方程为x +y =0,所以可设双曲线方程为y 2-x 2=λ(λ>0),则2λ=48,λ=24,故所求双曲线的方程为y 2-x 2=24,即x 2-y 2=-24.8.过抛物线y 2=8x 的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( ) A .8 B .16 C .32D .64解析:选B.抛物线中2p =8,p =4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y =x -2,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x -2,y 2=8x ,得x 2-12x +4=0, 则x 1+x 2=12(x 1,x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而弦长为x 1+x 2+p =12+4=16.9.直线y =kx +1与椭圆x 25+y 2m=1总有公共点,则m 的取值X 围是( )A .m >1B .m ≥1或0<m <1C .m ≥1且m ≠5D .0<m <5且m ≠1解析:选C.直线y =kx +1过定点(0,1),只需该点落在椭圆内或椭圆上,所以025+1m ≤1,解得m ≥1,又m ≠5,故选C.10.已知点A (0,2),B (2,0).若点C 在抛物线x 2=y 的图象上,则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A .4B .3C .2D .1解析:选A.由已知可得|AB |=22,要使S △ABC =2,则点C 到直线AB 的距离必须为2,设C (x ,x 2),而l AB ∶x +y -2=0,所以有|x +x 2-2|2=2,所以x 2+x -2=±2,当x 2+x -2=2时,有两个不同的C 点;当x 2+x -2=-2时,亦有两个不同的C 点.因此满足条件的C 点有4个,故选A.11.已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点.若|FA |=2|FB |,则k 等于( )A.13B.23C.23D.223解析:选D.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1>0,x 2>0,y 1>0,y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2),y 2=8x得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, 所以x 1x 2=4,①根据抛物线的定义得,|FA |=x 1+p2=x 1+2,|FB |=x 2+2.因为|FA |=2|FB |, 所以x 1=2x 2+2,②由①②得x 2=1(x 2=-2舍去),所以B (1,22),代入y =k (x +2)得k =223.12.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )A .a 2=132B .a 2=13 C .b 2=12D .b 2=2解析:选C.由题意,知a 2=b 2+5,因此椭圆方程为(a 2-5)x 2+a 2y 2+5a 2-a 4=0,双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,联立方程消去y ,得(5a 2-5)x 2+5a 2-a 4=0,所以直线截椭圆的弦长d =5×2a 4-5a 25a 2-5=23a ,解得a 2=112,b 2=12. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若椭圆x 2a 2+y 2b2=1过抛物线y 2=8x 的焦点,且与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为________.解析:抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0), 双曲线x 2-y 2=1的焦点坐标为(±2,0)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=2,4a2=1,所以a 2=4,b 2=2,所以椭圆的方程为x 24+y 22=1.答案:x 24+y 22=114.过直线y =2与抛物线x 2=8y 的两个交点,并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________.解析:依题意,抛物线x 2=8y 的焦点(0,2)即为圆心,准线y =-2与圆相切,圆心到切线的距离等于半径,所以半径为2-(-2)=4,故圆的方程为x 2+(y -2)2=16.答案:x 2+(y -2)2=1615.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程为________.解析:由题意得双曲线的焦点在x 轴上,且a =3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c ∶b =5∶4,又c 2=a 2+b 2,所以c =5,b =4,所以双曲线的标准方程为x 29-y 216=1.答案:x 29-y 216=116.如图,等边三角形OAB 的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E :x 2=2py (p >0)上,则抛物线E 的方程为________.解析:依题意知,|OB |=83,∠BOy =30°.设B (x ,y ),则x =|OB |sin 30°=43,y =|OB |cos 30°=12.因为点B (43,12)在抛物线E :x 2=2py (p >0)上,所以(43)2=2p ×12,解得p =2.故抛物线E 的方程为x 2=4y .答案:x 2=4y三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ,椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,点F 是它的一个顶点,且其离心率e =32.求椭圆E 的方程. 解:因为椭圆焦点在x 轴上,所以设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,半焦距为c (a >0,b >0,c >0).由题意知F (0,1)为椭圆的短轴的上顶点, 所以b =1,又由c a =32,a 2=b 2+c 2, 得a =2,c = 3.所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.18.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线的一个交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,6,求抛物线的方程和双曲线的方程.解:依题意,设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,6在抛物线上,所以6=2p ×32,所以p =2,所以所求抛物线的方程为y 2=4x .因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x =-1上, 所以c =1,即a 2+b 2=1,又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,6在双曲线上,所以94a 2-6b 2=1,由⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=1,94a 2-6b 2=1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=14,b 2=34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=9,b 2=-8.(舍去) 所以所求双曲线的方程为4x 2-43y 2=1.19.(本小题满分12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,F 1、F 2为椭圆的两焦点,若PF 1⊥PF 2,试求:(1)椭圆的方程; (2)△PF 1F 2的面积.解:(1)令F 1(-c ,0),F 2(c ,0), 则b 2=a 2-c 2.因为PF 1⊥PF 2,所以k PF 1·k PF 2=-1,即43+c ·43-c=-1,解得c =5,所以设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-25=1.因为点P (3,4)在椭圆上,所以9a 2+16a 2-25=1.解得a 2=45或a 2=5.又因为a >c ,所以a 2=5舍去. 故所求椭圆的方程为x 245+y 220=1.(2)由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=65,① 又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100,② ①2-②,得2|PF 1|·|PF 2|=80, 所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=20.20.(本小题满分12分)如图,O 为坐标原点,过点P (2,0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2=2x 于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点.(1)求x 1x 2与y 1y 2的值; (2)求证:OM ⊥ON .解:(1)设直线l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0).① 由①及y 2=2x 消去y 可得k 2x 2-2(2k 2+1)x +4k 2=0.②点M ,N 的横坐标x 1,x 2是方程②的两个根, 由根与系数的关系得x 1x 2=4k2k 2=4,由y 21=2x 1,y 22=2x 2,得(y 1y 2)2=4x 1x 2=4×4=16,又y 1y 2<0, 所以y 1y 2=-4.(2)证明:设OM ,ON 的斜率分别为k 1,k 2, 则k 1=y 1x 1,k 2=y 2x 2,k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=-44=-1, 所以OM ⊥ON .21.(本小题满分12分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点在抛物线y =2x 2上,l 是AB 的垂直平分线.(1)当且仅当x 1+x 2取何值时,直线l 经过抛物线的焦点F ?证明你的结论. (2)当直线l 的斜率为2时,求l 在y 轴上的截距的取值X 围.解:(1)点F 在直线l 上⇒|FA |=|FB |⇒A ,B 两点到抛物线的准线的距离相等,因为抛物线的准线与x 轴平行,所以上述条件等价于y 1=y 2⇒x 21=x 22⇒(x 1+x 2)·(x 1-x 2)=0,因为x 1≠x 2,所以当且仅当x 1+x 2=0时,直线l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ,依题意,得l 的方程为y =2x +b .则过点A ,B 的直线方程可设为y =-12x +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x 2y =-12x +m ,化简得2x 2+12x -m =0, 所以x 1+x 2=-14.因为A ,B 为抛物线上不同的两点,所以上述方程的判别式Δ=14+8m >0,即m >-132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0,y 0),则x 0=-18,y 0=-12x 0+m =116+m .又点N 在直线l上,所以116+m =-14+b ,于是b =516+m >516-132=932,所以l 在y 轴上的截距的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932,+∞.22.(本小题满分12分)如图,抛物线C 1:y 2=4x 的准线与x 轴交于点F 1,焦点为F 2.以F 1,F 2为焦点,离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2,与抛物线C 1交于A 1,A 2两点,与椭圆C 2交于B 1,B 2两点,当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时,求A 1A 2的长.解:(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),依据题意得c =1,c a =12,则a =2,b 2=a 2-c 2=3, 故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 与x 轴垂直时,B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32,B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32, 又F 1(-1,0), 此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0,所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1,不满足条件.当直线l 不与x 轴垂直时,设l :y =k (x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1)x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0. 因为焦点在椭圆内部,所以直线l 与椭圆恒有两个交点. 设B 1(x 1,y 1),B 2(x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1, 所以B 1F 1→·B 2F 1→=0, 又F 1(-1,0),所以(-1-x 1)(-1-x 2)+y 1y 2=0,即(1+k 2)x 1x 2+(1-k 2)(x 1+x 2)+1+k 2=0, 解得k 2=97.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x y =k (x -1), 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. 设A 1(x 3,y 3),A 2(x 4,y 4), 则x 3+x 4=2k 2+4k 2=2+4k2,x 3x 4=1,所以|A 1A 2|=x 3+x 4+2=2+4k 2+2=649.。
高中数学人教A版选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 测试题.docx
第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x -4y -12=0上,那么抛物线的方程是( )A .y 2=-16xB .y 2=12xC .y 2=16xD .y 2=-12x2.设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点.若点P 在双曲线上,且|PF 1|=5,则|PF 2|=( )A .5B .3C .7D .3或73.已知椭圆x 225+y 29=1,F 1,F 2分别为其左、右焦点,椭圆上一点M 到F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |的长为( )A .1B .2C .3D .44.“2<m <6”是“方程x 2m -2+y 26-m =1表示椭圆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4,一个顶点是抛物线y 2=4x 的焦点,则双曲线的离心率e 等于( )A .2B .3C .32D . 26.已知点A (3,4),F 是抛物线y 2=8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当|AM |+|MF |最小时,M 点坐标是( )A .(0,0)B .(3,26)C .(3,-26)D .(2,4)7.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为52,则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为( )A .12B .33C .32D .228.设F 1,F 2是双曲线x 2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于( )A .42B .83C .24D .489.已知点A (1,2)是抛物线C :y 2=2px 与直线l :y =k (x +1)的一个交点,则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是( )A .22 B .2 C .322D .2 2 10.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP →的最大值为( )A .6B .3C .2D .811.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A .32B .26C .27D .712.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ,且|BC|=|CF 2|,则双曲线的渐近线方程为( )A .y=±3xB .y=±22xC .y=±(1+3)xD .y=±(3-1)x 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)13.抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离是_____.14.中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是_____.15.若点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上,点Q 在曲线C 2:(x -5)2+y 2=1上,点R 在曲线C 3:(x +5)2+y 2=1上,则|PQ |-|PR |的最大值是_____.16.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点P 到准线的距离为d ,且点P 在y 轴上的射影是M ,点A (72,4),则|P A |+|PM |的最小值是_____.17.已知F 1为椭圆C :x 22+y 2=1的左焦点,直线l :y =x -1与椭圆C 交于A 、B 两点,则|F 1A |+|F 1B |的值为_____.18.过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ,B 两点,A ,B 在y 轴上的正射影分别为D ,C ,若梯形ABCD 的面积为103,则p=_____. 三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(10分)已知双曲线的渐近线方程为y =±43x ,并且焦点都在圆x 2+y 2=100上,求双曲线方程.20.(10分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若PF 1⊥PF 2.试求:(1)椭圆的方程;(2)△PF 1F 2的面积. 21.(10分)抛物线y 2=2px (p >0)有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方程为y =2x ,斜边长为513,求此抛物线方程.22.(10分)已知抛物线C 的顶点在原点,焦点F 在x 轴的正半轴上,设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴),且|AF |+|BF |=8,线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0),求此抛物线的方程.23.(10分)设双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a >0)与直线l :x +y =1相交于两点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;(2)设直线l 与y 轴的交点为P ,且P A →=512PB →,求a 的值.24.(10分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,且经过点(32,12).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (0,2)的直线交椭圆C 于A ,B 两点,求△AOB (O 为原点)面积的最大值.参考答案一、选择题1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.C 提示:1.由题设知直线3x -4y -12=0与x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点,故其方程为y 2=16x .2.因为双曲线的定义可得||PF 1|-|PF 2||=2,所以|PF 2|=7或3.3.由题意知|MF 2|=10-|MF 1|=8,ON 是△MF 1F 2的中位线,所以|ON |=12|MF 2|=4.4.若x 2m -2+y26-m=1表示椭圆,则有⎩⎪⎨⎪⎧m -2>0,6-m >0,m -2≠6-m ,所以2<m <6且m ≠4,故2<m <6是x 2m -2+y 26-m=1表示椭圆的必要不充分条件. 5.依题意,得c =2,a =1,所以e =ca=2.6.由题知点A 在抛物线内.设M 到准线的距离为|MK |,则|MA |+|MF |=|MA |+|MK |,当|MA |+|MK |最小时,M 点坐标是(2,4).7.因为在双曲线中,e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=54,所以b 2a 2=14,在椭圆中,e 2=c 2a 2=a 2-b 2a2=1-b 2a 2=1-14=34,所以椭圆的离心率e =32.8.由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|=4|PF 2|可知,|PF 1|-|PF 2|=2,解得|PF 1|=8,|PF 2|=6,又|F 1F 2|=2c =10,所以△PF 1F 2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积S =12×6×8=24.9.将点(1,2)代入y 2=2px 中,可得p =2,即得抛物线y 2=4x ,其焦点坐标为(1,0),将点(1,2)代入y =k (x +1)中,可得k =1,即得直线x -y +1=0,所以抛物线C的焦点到直线l 的距离d =|1-0+1|2=2.10.由椭圆方程得F (-1,0),设P (x 0,y 0),则OP →·FP →=(x 0,y 0)·(x 0+1,y 0)=x 20+x 0+y 20,因为P 为椭圆上一点,所以x 204+y 203=1,所以OP →·FP →=x 20+x 0+3(1-x 204)=x 204+x 0+3=14(x 0+2)2+2,因为-2≤x 0≤2,所以OP →·FP →的最大值在x 0=2时取得,且最大值等于6.11.根据题意设椭圆方程为x 2b 2+4+y 2b 2=1(b >0),则将x =-3y -4代入椭圆方程,得4(b 2+1)y 2+83b 2y -b 4+12b 2=0,因为椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,所以Δ=(83b 2)2-4×4(b 2+1)(-b 4+12b 2)=0,即(b 2+4)·(b 2-3)=0,所以b 2=3,长轴长为2b 2+4=27.12.根据双曲线的定义有|CF 1|-|CF 2|=2a ,而|BC|=|CF 2|,那么2a=|CF 1|-|CF 2|=|CF 1|-|BC|=|BF 1|,而又由双曲线的定义有|BF 2|-|BF 1|=2a ,可得|BF 2|=4a ,由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ,那么sin ∠BF 1F 2=c a ,那么cos ∠BF 1F 2=cb,根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =c a a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+,整理有b 2-2ab -2a 2=0,即(ab)2-2a b -2=0,解得a b =1+3(a b =1-3<0舍去),故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±(1+3)x . 二、填空题13.18 14.x 281+y 272=1 15.10 16.92 17.823 18.3提示:13.由x 2=14y 知,p =18,所以焦点到准线的距离为p =18.14.依题意知:2a =18,所以a =9,2c =13×2a ,所以c =3,所以b 2=a 2-c 2=81-9=72,所以椭圆方程为x 281+y 272=1.15.依题意得,点F 1(-5,0)、F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点,因此有|PQ |-|PR |≤|(|PF 2|+1)-(|PF 1|-1)|≤||PF 2|-|PF 1||+2=2×4+2=10,故|PQ |-|PR |的最大值是10.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,则F (12,0),又点A (72,4)在抛物线的外侧,抛物线的准线方程为x =-12,则|PM |=d -12,又|P A |+d =|P A |+|PF |≥|AF |=5,所以|P A |+|PM |≥92.17.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =x -1,消去y 整理得3x 2-4x =0,解得x 1=0,x 2=43,易得点A (0,-1)、B (43,13).又点F 1(-1,0),因此|F 1A |+|F 1B |=12+(-1)2+(73)2+(13)2=823. 18.由抛物线y 2=2px (p>0)得其焦点F (2p ,0),直线AB 的方程为y=3(x -2p),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(假定x 2>x 1),由题意可知y 1<0,y 2>0,联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32,整理有3y 2-2py -3p 2=0,可得y 1+y 2=32p ,y 1y 2=-p 2,则有x 1+x 2=35p,而梯形ABCD的面积为S=21(x 1+x 2)(y 2-y 1)=65p 212214)(y y y y -+=103,整理有p 2=9,而p>0,故p=3.三、解答题19.解:设双曲线的方程为42·x 2-32·y 2=λ(λ≠0),从而有(|λ|4)2+(|λ|3)2=100,解得λ=±576,所以双曲线的方程为x 236-y 264=1和y 264-x 236=1.20.解:(1)因为P 点在椭圆上,所以9a 2+16b 2=1,①又PF 1⊥PF 2,所以43+c ·43-c=-1,得:c 2=25,② 又a 2=b 2+c 2,③由①②③得a 2=45,b 2=20,则椭圆方程为x 245+y 220=1;(2)S 21F PF ∆=12|F 1F 2|×4=5×4=20.21.解:设抛物线y 2=2px (p >0)的内接直角三角形为AOB ,直角边OA 所在直线方程为y =2x ,另一直角边所在直线方程为y =-12x ,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,y 2=2px ,可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2,p ;解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-12x ,y 2=2px ,可得点B 的坐标为(8p ,-4p ).因为|OA |2+|OB |2=|AB |2,且|AB |=513, 所以⎝⎛⎭⎫p24+p 2+(64p 2+16p 2)=325, 所以p =2,所以所求的抛物线方程为y 2=4x .22.解:设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),其准线方程为x =-p2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为|AF |+|BF |=8,所以x 1+p 2+x 2+p2=8,即x 1+x 2=8-p ,因为Q (6,0)在线段AB 的中垂线上,所以QA =QB ,即(x 1-6)2+y 21=(x 2-6)2+y 22,又y 21=2px 1,y 22=2px 2,所以(x 1-x 2)(x 1+x 2-12+2p )=0, 因为x 1≠x 2,所以x 1+x 2=12-2p ,故8-p =12-2p ,所以p =4, 所以所求抛物线方程是y 2=8x .23.解:(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2-a 2y 2-a 2=0,x +y =1,消y 得x 2-a 2(1-x )2-a 2=0,即(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-2a 21-a 2,x 1x 2=-2a21-a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-a 2≠0,4a 4+8a 2(1-a 2)>0,可得0<a 2<2且a 2≠1, 所以e 的取值范围为(62,2)∪(2,+∞); (2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-2a 21-a 2,x 1x 2=-2a21-a2.因为P A →=512PB →,所以x 1=512x 2,则1712x 2=-2a 21-a 2,①512x 22=-2a 21-a 2,② 由①2②得,a 2=289169,结合a >0,则a =1713.24.解:(1)由e 2=a 2-b 2a 2=1-b 2a 2=23,得b a =13,①由椭圆C 经过点(32,12),得94a 2+14b2=1,②联立①②,解得b =1,a =3,所以椭圆C 的方程是x 23+y 2=1;(2)易知直线AB 的斜率存在,设其方程为y =kx +2,将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去y 得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0, 令Δ=144k 2-36(1+3k 2)>0,得k 2>1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-12k 1+3k 2,x 1x 2=91+3k 2, 所以S △AOB =|S △POB -S △POA |=12×2×|x 1-x 2|=|x 1-x 2|,因为(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(-12k 1+3k 2)2-361+3k 2=36(k 2-1)(1+3k 2)2,设k 2-1=t (t >0),则(x 1-x 2)2=36t (3t +4)2=369t +16t +24≤3629t ×16t +24=34, 当且仅当9t =16t ,即t =43时等号成立,此时k 2=73,△AOB 面积取得最大值32.。
选修2-1第二章圆锥曲线与方程测试(含解析答案)
第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别: 姓名: 成绩:一、选择题(每小题5分,共60分) 1.椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232.双曲线3mx 2-my 2=3的一个焦点是(0,2),则m 的值是( )A .-1B .1C .-1020D.1023.双曲线x 24+y 2k =1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(-12,0)C .(-3,0)D .(-60,-12)4.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线5.已知两定点F 1(-1,0),F 2(1,0),且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项,则动点P 的轨迹是( )A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .线段6.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB | 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C .2 D .37.过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A .有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条D .不存在 8.已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点,则l 的方程是( )A .x -2y =0B .x +2y -4=0C .2x +3y +4=0D .x +2y -8=0 9.过椭圆x 24+y 22=1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点,已知双曲线的焦点在x 轴 上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点,则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210.双曲线x 2m -y 2n =1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合,则m +n 的值为( )A .3B .2C .1D .以上都不对11.设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b <0)的左、右焦点,点P 在双曲线上,若 PF 1→·PF 2→=0,且|PF 1→|·|PF 2→|=2ac (c =a 2+b 2),则双曲线的离心率为( ) A.1+52 B.1+32 C .2 D.1+2212.已知F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意 一点,若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(1,2]C .(1,3]D .(1,3] 二、填空题(每小题5分,共20分)13.若双曲线的渐近线方程为y =±13x ,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的标准方程是.14.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则|PF 2|=__________, ∠F 1PF 2的大小为________.15.已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点,点P 是椭圆上任意一点,从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线,交F 2P 的延长线于M ,则点M 的轨迹方程是 . 16.过抛物线y 2=4x 的焦点,作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ,Q 两点,O 为坐标原点,则△POQ 的面积等于__________.三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共60分)17.(10分)求与椭圆x 29+y 24=1有公共焦点,并且离心率为52的双曲线方程.18、(12分)知抛物线xy42 ,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,求点M的轨迹方程.19.(12分)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN的中点的横坐标为-23,求此双曲线的方程.20.(12分)已知A (2,0)、B (-2,0)两点,动点P 在y 轴上的射影为Q ,P A →·PB→=2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程;(2)设直线m 过点A ,斜率为k ,当0<k <1时,曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2,试求k 的值及此时点C 的坐标.21.(14分)已知动点P 与双曲线x 2-y 2=1的两个焦点F 1,F 2的距离之和为定值,且cos ∠F 1PF 2的最小值为-13. (1)求动点P 的轨迹方程;(2)设M (0,-1),若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ,若要使|MA |=|MB |,试求k 的取值范围.第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1.A 解析:∵a =1,b =12,∴c =a 2-b 2=32,∴e =c a =32,故选A.2.A 解析 把方程化为标准形式-x 2-1m +y 2-3m=1,则a 2=-3m ,b 2=-1m ,∴c 2=a 2+b 2=-4m =4,∴m =-1.3.B 解析:∵a 2=4,b 2=-k ,∴c 2=4-k .∵e ∈(1,2),∴c 2a 2=4-k4∈(1,4),k ∈(-12,0).4.D 解析:设M (2,0),由题设可知,把直线x =-1向左平移一个单位即为直线x =-2, 则点P 到直线x =-2的距离等于|PM |,所以动点P 的轨迹为抛物线,故选D. 5.D 解析:依题意知|PF 1|+|PF 2|=|F 1F 2|=2,作图可知点P 的轨迹为线段,故选D. 6.B 解析:不妨设双曲线C 为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴,则 易求得|AB |=2b 2a ,∴2b 2a =2×2a ,b 2=2a 2,∴离心率e =ca =1+b 2a 2=3,故选B.7.B 解析:由定义|AB |=5+2=7,∵|AB |min =4,∴这样的直线有且仅有两条.8.D 解析:设l 与椭圆的两交点分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则得y 21-y 22x 21-x 22=-936,所以y 1-y 2x 1-x 2=-12.故方程为y -2=-12(x -4),即x +2y -8=0.9.C 解析:A (2,1),B (2,-1),设双曲线为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),渐近线方程为y =±b a x ,因为A 、B 在渐近线上,所以1=b a ·2,b a =22,e =ca =a 2+b 2a 2=62.10.C 解析:抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),故双曲线x 2m -y 2n =1中m >0,n >0,且m +n =c 2=1.11.A 解析:由PF 1→·PF 2→=0可知△PF 1F 2为直角三角形,则由勾股定理,得 |PF 1→|2+|PF 2→|2=4c 2,① 由双曲线的定义,得(|PF 1→|-|PF 2→|)2=4a 2,② 又|PF 1→|·|PF 2→|=2ac ,③ 由①②③得c 2-ac -a 2=0,即e 2-e -1=0, 解得e =1+52或e =1-52(舍去). 12.D 解析:|PF 1|2|PF 2|=2a +|PF 2|2|PF 2|=4a 2|PF 2|+|PF 2|+4a ≥4a +4a =8a ,当且仅当4a 2|PF 2|=|PF 2|,即|PF 2|=2a 时取等号.这时|PF 1|=4a .由|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,得6a ≥2c ,即e =ca ≤3, 得e ∈(1,3],故选D. 二、填空题(每小题5分,共20分)13.x 29-y 2=1 解析:由双曲线的渐近线方程为y =±13x ,知b a =13,它的一个焦点是 (10,0),知a 2+b 2=10,因此a =3,b =1,故双曲线的方程是x 29-y 2=1.14.2;120° 解析:由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =2×3=6,因为|PF 1|=4,所以|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12.∴∠F 1PF 2=120°.15.(x -a 2-b 2)2+y 2=4a 2 解析:由题意知|MP |=|F 1P |,∴|PF 1|+|PF 2|=|MF 2|=2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心,以2a 为半径的圆,其方程为(x -a 2-b 2)2+y 2=4a 2.16.2 2 解析 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),F 为抛物线焦点,由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2+4y -4=0,∴|y 1-y 2|=()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ =12|OF ||y 1-y 2|=2 2. 三、解答题17.解:由椭圆方程x 29+y 24=1,知长半轴a 1=3,短半轴b 1=2,焦距的一半c 1=a 21-b 21=5,∴焦点是F 1(-5,0),F 2(5,0),因此双曲线的焦点也是F 1(-5,0),F 2(5,0),设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),由题设条件及双曲线的性质,得⎩⎪⎨⎪⎧c =5,c 2=a 2+b 2,c a =52,解得⎩⎨⎧a =2,b =1.故所求双曲线的方程为x 24-y 2=1. (10分)18. [解析]:设M (y x ,),P (11,y x ),Q (22,y x ),易求x y 42=的焦点F 的坐标为(1,0)∵M 是FQ 的中点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222,又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121,∵P 在抛物线x y 42=上,∴)24(4)4(2-=x y ,所以M 点的轨迹方程为212-=x y . (12分)19.解:设双曲线方程为x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0),依题意c =7,∴方程可以化为x 2a 2-y 27-a 2=1,由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2-y 27-a 2=1,y =x -1,得(7-2a 2)x 2+2a 2x -8a 2+a 4=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2a 27-2a 2,∵x 1+x 22=-23,∴-a 27-2a 2=-23,解得a 2=2. ∴双曲线的方程为x 22-y 25=1. (12分)20.解:(1)设动点P 的坐标为(x ,y ),则点Q (0,y ),PQ →=(-x,0),P A →=(2-x ,-y ), PB →=(-2-x ,-y ),P A →·PB→=x 2-2+y 2.① ②∵P A →·PB →=2PQ →2,∴x 2-2+y 2=2x 2, 即动点P 的轨迹方程为y 2-x 2=2. (2)设直线m :y =k (x -2)(0<k <1),依题意,点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上,设此直线为 m 1:y =kx +b . 由|2k +b |k 2+1=2,即b 2+22kb =2.① 把y =kx +b 代入y 2-x 2=2,整理,得(k 2-1)x 2+2kbx +(b 2-2)=0, 则Δ=4k 2b 2-4(k 2-1)(b 2-2)=0,即b 2+2k 2=2.② 由①②,得k =255,b =105. 此时,由方程组⎩⎨⎧y =255x +105,y 2-x 2=2,解得⎩⎨⎧x =22,y =10,即C (22,10).(12分)21. [解析]:(1)∵x 2-y 2=1,∴c = 2.设|PF 1|+|PF 2|=2a (常数a >0), 2a >2c =22,∴a > 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=2a 2-4|PF 1||PF 2|-1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=a 2,∴当且仅当|PF 1|=|PF 2|时,|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2-4a 2-1,由题意2a 2-4a 2-1=-13,解得a 2=3,123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23+y 2=1.(2)设l :y =kx +m (k ≠0),则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得:(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2-1)=0 (*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB 中点Q (x 0,y 0)的坐标满足:x 0=x 1+x 22=-3km 1+3k 2,y 0=kx 0+m =m1+3k 2 即Q (-3km 1+3k 2,m1+3k 2) ∵|MA |=|MB |,∴M 在AB 的中垂线上,∴k l k AB =k ·m1+3k 2+1-3km 1+3k 2=-1 ,解得m =1+3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根,知△>0,即 (6km )2-4(1+3k 2)[3(m 2-1)]=12(1+3k 2-m 2)>0 ④ ,将③代入④得12[1+3k 2-(1+3k 22)2]>0,解得-1<k <1,由k ≠0, ∴k 的取值范围是k ∈(-1,0)∪(0,1). (14分)。
高二年级数学选修2_1第二章《圆锥曲线》检测试题整理
圆锥曲线一.选择题:本大题共8题,每小题5分,共40分。
请将答案写在括号里。
1、已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线,那么k 的取值范围是( ) A.k <1 B.k >2 C.k <1或k >2 D.1<k <22、已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和),它们所表示的曲线可能是( )A B C D3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=,右焦点为(0)F c ,,方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ,则点12()P x x ,( )A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能 4、椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10,那么P 点到椭圆的右焦点的距离是( )A.15B.10C.12D.85、双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ( )A.30°B.45°C.60°D.75°6、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ,,,,333()P x y ,在抛物线上,且2132x x x =+, 则有( ) A.123FP FP FP += B.222123FP FP FP += C.2132FP FP FP =+D.2213FP FP FP =·7、双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( )A. 2B.3C. 2D.238、过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点,若621=+y y ,则21P P 的值为 ( )A .5B .6C .8D .10二、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9、设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是 。
[最新]人教版数学高中选修第二章圆锥曲线与方程单元测试1
的焦点,则该抛物线的准线方程是
.
21.点 M 到点 F(0, –2)的距离比它到直线 l:y–3=0 的距离小 1, 则点 M 的轨迹方程是
.
解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22 . 已 知 焦 点 在 坐 标 轴 上 的 双 曲 线 , 它 的 两 条 渐 近 线 方 程 为
y 3x 0 ,焦点到渐近线的距离为 3,求此双曲线的方程 .
x2 y2 23.双曲线 a2 b2 1 (a>0,b>0)满足如下条件 :(1) ab= 3 ;(2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为
21 ,交 y 轴于点 P,线段 PF 交双曲线于点 Q,且 |PQ|:|QF|=2:1, 求双曲线的方程 . 2
x2=– 8y.
12、解:设 l 交抛物线于 A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点,由 y1 2=6x1、 y22=6x2,
得 (y1-y2)(y1 +y2)=6(x1- x2),
又 P(4, 1)是 A、 B 的中点,∴ y1+ y2=2,
y1- y2 ∴直线 l 的斜率 k= x1- x2= 3,∴直线 l 的方程为 3x– y– 11= 0.
∴△ ABF2 的周长等于 |AF2| + |BF2| + |AB| = 4a+ 2m.
11、
解:依题意,设抛物线方程为为 x2=- 2py (p>0)
点 P 在抛物线上,到准线的距离为 5,又点 P 到 x 轴的距离为 3,所以准线到 x 轴的距
离为 2,∴ p= 2,∴ p= 4,∴抛物线方程为 2
C 交于 A,B 两点, 设点 K ( a,0) , KA与 KB 的夹角为
高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测(含答案)-word文档资料
高二数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程单元检测(含答案)圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点,以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测,希望对大家有帮助。
一、填空题1.已知A-12,0,B是圆F:x-122+y2=4 (F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹为________.2.方程5(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点,从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线,垂足为P,延长F2P 交F1M的延长线于G,则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP,则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0),F2(5,0),到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1:x2+y2=1外切,与⊙C2:x2+y2-8x+12=0内切,则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),动圆P 过B点且与圆A内切,求证:圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中,BC=2,且sinB-sinC=12sinA,求△ABC的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示,已知点P为圆R:(x+c)2+y2=4a2上一动点,Q(c,0)为定点(c0,为常数),O为坐标原点,求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中,常数F1F2不可忽视,若常数2.双曲线定义中,若常数F1F2,则这样的点不存在;若常数=F1F2,则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl,若Fl,则点的轨迹是经过点F,且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1,F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1,F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知,得PA=PB,PF+BP=2,PA+PF=2,且PA+PFAF,即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|5.左侧表示(x,y)到定点(-2,1)的距离,右侧表示(x,y)到定直线3x+4y-12=0的距离,故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP,且F2PMP,F2P=GP,MG=MF2.取F1F2中点O,连结OP,则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上,MF1+MF2=常数,设常数为2a,则OP=a,即P在以F1F2的中点为圆心,a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线x=-4的距离相等,所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10,两圆的圆心距PA=10-r,即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得:sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得:b-c=12a,即b-c=1,即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支,并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1,C1P平面BCC1B1,D1C1C1P,点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度,由题意知,点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等,这恰符合抛物线的定义.12.解由题意,得MP=MQ,RP=2a.MR-MQ=MR-MP=RP=2a点M的轨迹是以R、Q为两焦点,实轴长为2a的双曲线右支. 第2章圆锥曲线与方程单元检测的全部内容就是这些,查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
数学人教A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程单元检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学人教A选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元检测(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.设F1,F2是椭圆E:22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点,P为直线32ax=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A.12B.23C.34D.452.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是().A.y2=-8x B.y2=8xC.y2=-4x D.y2=4x3.已知双曲线222=14x yb-的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于().A.5B.42C.3 D.54.设F1,F2是双曲线22124yx-=的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于().A.42B.83C.24 D.485.过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM,ON,则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为().A.64 B.32C.16 D.46.以椭圆22=1164x y+内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为().A.4x-y-3=0 B.x-4y+3=0 C.4x+y-5=0 D.x+4y-5=07.已知双曲线2222=1x ya b-(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为().A.22=154x y-B.22=145x y-C.22=136x y-D.22=163x y-8.若F1,F2是椭圆2214xy+=的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则|12PF PF⋅|的最大值是().A.4 B.5C.2 D.1二、填空题(每小题6分,共18分)9.△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于49-,则顶点C的轨迹方程是____________________.10.抛物线y2=4x的弦AB⊥x轴,若|AB|=43,则焦点F到直线AB的距离为______.11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为__________.三、解答题(共3小题,共34分)12.(10分)已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.13.(10分)已知椭圆C:22221x ya b+=(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线F A的距离为22b.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.14.(14分)设椭圆22221x ya b+=(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为12-,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足||3k>.参考答案1答案:C 解析:设直线32ax =与x 轴交于点M ,则∠PF 2M =60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M =32ac -,故cos 60°=2231222a cF M PF c -==, 解得34c a =,故离心率34e =.2答案:B 解析:∵抛物线的准线方程为x =-2,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),则其准线方程为2px =-, ∴22p-=-,解得p =4. ∴抛物线的标准方程为y 2=8x .3答案:A 解析:由双曲线的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,知32pc ==,c 2=9=4+b 2,于是b 2=5,5b =.因此该双曲线的渐近线的方程为52y x =±,即520x y ±=. 故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d ==+.4答案:C 解析:由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|=4|PF 2|可知,|PF 1|-|PF 2|=2,解得|PF 1|=8,|PF 2|=6,又|F 1F 2|=2c =10,所以△PF 1F 2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积S =12×6×8=24,故选C . 5答案:C 解析:由已知设OM 的斜率为k ,则ON 的斜率为1k-. 从而OM 的方程为y =kx ,联立方程24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩解得M 的横坐标124x k =.同理可得N的横坐标x 2=4k 2,可得x 1x 2=16.6答案:D 解析:设弦的两端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有221122221,1641.164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得21212121()()()()164x x x x y y y y +++-=-, 即212121214()16()y y x x x x y y -+=--+.而AB 的中点为M (1,1), 所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, 又k AB =2121y y x x --,所以k AB =4211624⨯-=-⨯,于是弦AB 所在直线的方程为y -1=-14(x -1),即x +4y -5=0. 7答案:A 解析:由题意得2222=1x y a b -(a >0,b >0)的两条渐近线的方程为by x a=±,即bx ±ay =0.又圆C 的标准方程为(x -3)2+y 2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0),∴a 2+b 2=32=9,且22|3|=2b a b +,解得a 2=5,b 2=4.∴该双曲线的方程为22=154x y -. 8答案:C 解析:依题意a 2=4,b 2=1,3c =,则F 1(3-,0),F 2(3,0).设P (x ,y ),则1PF =(3x --,-y ),2PF =(3x -,-y ).12PF PF ⋅=x 2-3+y 2=x 2-3+1-14x 2=2324x -,因为点P 在椭圆上, 所以-2≤x ≤2,故-2≤34x 2-2≤1, 故12PF PF ⋅=2324x -∈[0,2], 即12PF PF ⋅的最大值是2.9答案:22=13616x y +(x ≠±6,y ≠0) 解析:设C (x ,y ),则k AC ·k BC =4669y y x x ⋅=-+-,整理得4x 2+9y 2=144(x ≠±6,y ≠0).10答案:2 解析:由抛物线的方程可知F (1,0),由|AB |=43且AB ⊥x 轴,得22(23)12A y ==,∴234A A y x ==,∴点F 到直线x =3的距离为2. 11答案:22=1168x y + 解析:由椭圆的第一定义可知△ABF 2的周长为4a =16,得a =4,又离心率为22,即22c a =,所以22c =,故a 2=16,b 2=a 2-c 2=16-8=8,则椭圆C 的方程为22=1168x y +. 12答案:解:设直线与抛物线的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由22,4,y mx y x ⎧=⎨=-⎩得x 2-2(4+m )x +16=0, 所以x 1+x 2=2(4+m ),x 1x 2=16,所以弦长=2212(1)()k x x +-=222[4(4)416]22(8)m m m +-⨯=+. 由222(8)=62m m +,解得m =1或m =-9. 经检验,m =1或m =-9均符合题意.所以所求抛物线的标准方程为y 2=2x 或y 2=-18x .13答案:解:由点F (-ae,0),点A (0,b ),及21b e a =-得直线F A 的方程为2=11x y ae e a+--,即22110e x ey ae e --+-=.∵原点O 到直线F A 的距离为2212b ae e =-, ∴222112e a ae e -⋅=-.解得22e =. 答案:解:设椭圆C 的左焦点F 2,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l :2x +y =0的对称点为P (x 0,y 0),则有00001,2222220,22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得03210x a =,0225y a =. ∵P 在圆x 2+y 2=4上,∴223222+=4105a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴a 2=8,b 2=(1-e 2)a 2=4.故椭圆C 的方程为22=184x y +,点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 14答案:解:设椭圆C 的左焦点F 2,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l :2x +y =0的对称点为P (x 0,y 0),则有00001,2222220,22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得03210x a =,0225y a =. ∵P 在圆x 2+y 2=4上,∴223222+=4105a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴a 2=8,b 2=(1-e 2)a 2=4.故椭圆C 的方程为22=184x y +,点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意,有220022=1x y a b+.①由A (-a,0),B (a,0),得00AP y k x a =+,00BP y k x a=-. 由k AP ·k BP =12-,可得x 02=a 2-2y 02,代入①并整理得(a 2-2b 2)y 02=0. 由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是222212a b e a -==, 所以椭圆的离心率22e =.答案:解:证明:(方法一)依题意,直线OP 的方程为y =kx ,设点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+.②由|AP |=|OA |,A (-a,0)及y 0=kx 0, 得(x 0+a )2+k 2x 02=a 2.整理得 (1+k 2)x 02+2ax 0=0.而x 0≠0, 于是0221ax k -=+,代入②,整理得 (1+k 2)2=2244a k b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由a >b >0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.所以||>3k . (方法二)依题意,直线OP 的方程为y =kx ,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有2220022=1x k x a b+. 因为a >b >0,kx 0≠0,所以2220022<1x k x a a+,即(1+k 2)x 02<a 2.③ 由|AP |=|OA |,A (-a,0), 得(x 0+a )2+k 2x 02=a 2,整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0,于是x 0=221ak -+. 代入③,得(1+k 2)2224(1)a k +<a 2,解得k 2>3, 所以||3k >.。
高中数学选修2-1章末检测卷2:第二章 圆锥曲线与方程
章末检测卷二)时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.双曲线3x 2-y 2=9的实轴长是( ) A.2 3 B.2 2 C.4 3 D.4 2[答案] A[解析] ∵3x 2-y 2=9,∴x 23-y 29=1, ∴a =3,∴2a =2 3.2.抛物线y 2=8x 的焦点到准线的距离是( )A.1B.2C.4D.8[答案] C[解析] ∵2p =8,∴p =4.3.椭圆x 29+y 2k 2=1与双曲线x 2k -y 23=1有相同的焦点,则k 应满足的条件是( ) A.k >3B.2<k <3C.k =2D.0<k <2[答案] C[解析] k >0,c =9-k 2=k +3,∴k =2. 4.F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点,P 是椭圆上任一点,过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线,则垂足Q 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ,且PQ ⊥AF 1,∴Q 为AF 1的中点,且|PF 1|=|P A |,∴|OQ |=12|AF 2|=12(|P A |+|PF 2|)=a , ∴Q 点轨迹是以O 为圆心,a 为半径的圆.5.直线y =x +3与曲线y 29-x |x |4=1( ) A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点 [答案] D[解析] 当x >0时,双曲线y 29-x 24=1的渐近线为:y =±32x ,而直线y =x +3斜率为1,1<32, ∴y =x +3与x 轴上半部分的一支双曲线有一交点.当x ≤0时,曲线y 29+x 24=1为椭圆, 又∵直线y =x +3过椭圆顶点,∴直线y =x +3与椭圆左半部分有两交点,共计3个交点,选D.6.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c 是a 、m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12 [答案] D[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ c 2=m 2+n 2,c 2=am ,2n 2=2m 2+c 2,解得c 2a 2=14,∴e =c a =12. 7.与抛物线x 2=4y 关于直线x +y =0对称的抛物线的焦点坐标是( )A.(1,0)B.(116,0)C.(-1,0)D.(0,-116) [答案] C[解析] x 2=4y 关于x +y =0对称的曲线为y 2=-4x ,其焦点为(-1,0).8.如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[答案] D[解析] |F 1F 2|=2 3.设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1. ∵|AF 2|+|AF 1|=4,|AF 2|-|AF 1|=2a ,∴|AF 2|=2+a ,|AF 1|=2-a .在Rt △F 1AF 2中,∠F 1AF 2=90°,∴|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2,即(2-a )2+(2+a )2=(23)2,∴a =2,∴e =c a =32=62.故选D. 9.已知椭圆的中心在原点,离心率e =12,且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( )A.x 24+y 23=1 B.x 28+y 26=1 C.x 22+y 2=1 D.x 24+y 2=1 [答案] A[解析] ∵抛物线焦点为(-1,0),∴c =1, 又椭圆的离心率e =12,∴a =2,b 2=a 2-c 2=3, ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1,故选A. 10.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=43,则C 的实轴长为( )A. 2B.2 2C.4D.8 [答案] C[解析] 设C :x 2a 2-y 2a2=1. ∵抛物线y 2=16x 的准线为x =-4,联立x 2a 2-y 2a 2=1和x =-4得A (-4,16-a 2),B (-4,-16-a 2),∴|AB |=216-a 2=43, ∴a =2,∴2a =4.∴C 的实轴长为4.11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8[答案] C[解析] 由椭圆方程得F (-1,0),设P (x 0,y 0),则OP →·FP →=(x 0,y 0)·(x 0+1,y 0)=x 20+x 0+y 20.∵P 为椭圆上一点,∴x 204+y 203=1. ∴OP →·FP →=x 20+x 0+3(1-x 204) =x 204+x 0+3=14(x 0+2)2+2. ∵-2≤x 0≤2,∴OP →·FP →的最大值在x 0=2时取得,且最大值等于6.12.从双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1引圆x 2+y 2=a 2的切线,切点为T .延长F 1T 交双曲线右支于P 点,若M 为线段F 1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO |-|MT |与b -a 的大小关系为( )A.|MO |-|MT |>b -aB.|MO |-|MT |=b -aC.|MO |-|MT |<b -aD.不确定[答案] B[解析] 如图,设双曲线的右焦点为F 2,连接PF 2.∵O 、M 分别为F 1F 2、F 1P 的中点,∴OM 是△PF 1F 2的中位线,∴|OM |=12|PF 2|, 由双曲线的定义,知|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴|PF 2|=|PF 1|-2a ,∴|MO |-|MT |=12(|PF 1|-2a )-|MT | =12|PF 1|-|MT |-a =|MF 1|-|MT |-a =|TF 1|-a =|OF 21|-|OT |2-a =c 2-a 2-a =b -a .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线x 216-y 29=1的两条渐近线的方程为________. [答案] y =±34x [解析] 双曲线x 216-y 29=1的渐近线方程为x 216-y 29=0,即y =±34x . 14.如图,椭圆的中心在坐标原点,当FB →⊥AB →时,此类椭圆称为“黄金椭圆”,可推算出“黄金椭圆”的离心率e =________.[答案] 5-12[解析] 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |AB |2=a 2+b 2,|BF |=b 2+c 2=a ,|AF |=a +c .∵BF →⊥BA →,∴|AB |2+|BF |2=|AF |2,∴(a +c )2=a 2+b 2+a 2,∴c 2+ac -a 2=0.∴e 2+e -1=0,又0<e <1,∴e =5-12. 15.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,|AF |=2,则|BF |=________.[答案] 2[解析] 由y 2=4x ,知p =2,F (1,0),由抛物线定义,x A +p 2=|AF |, ∴x A =2-1=1,因此AB ⊥x 轴,F 为AB 中点,从而|BF |=|AF |=2.16.已知双曲线的两个焦点为F 1(-5,0)、F 2(5,0),P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则该双曲线的方程是________.[答案] x 24-y 2=1 [解析] 由PF 1⊥PF 2,有|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2⇒(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2, 由已知,得||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|=2c =25,|PF 1|·|PF 2|=2⇒(2a )2+2×2=(25)2⇒a 2=4⇒b 2=c 2-a 2=5-4=1.则双曲线方程为x 24-y 2=1. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),过焦点F 1的弦AB (A ,B 在双曲线的同支上)长为m ,另一焦点为F 2,求△ABF 2的周长.解 ∵|AF 2|-|AF 1|=2a ,|BF 2|-|BF 1|=2a ,∴(|AF 2|-|AF 1|)+(|BF 2|-|BF 1|)=4a ,又|AF 1|+|BF 1|=|AB |=m ,∴|AF 2|+|BF 2|=4a +(|AF 1|+|BF 1|)=4a +m .∴△ABF 2的周长等于|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a +2m .18.(12分)如图,直线l :y =x +b 与抛物线C :x 2=4y 相切于点A .(1)求实数b 的值;(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +b ,x 2=4y得x 2-4x -4b =0,(*)因为直线l 与抛物线C 相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b )=0,解得b =-1.(2)由(1)可知b =-1,故方程(*)即为x 2-4x +4=0,解得x =2,代入x 2=4y ,得y =1.故点A (2,1),因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y =-1的距离,即r =|1-(-1)|=2, 所以圆A 的方程为(x -2)2+(y -1)2=4.19.(12分)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点.求证:△AOB 是钝角三角形.证明 ∵焦点F 为(1,0),过点F 且与抛物线交于点A 、B 的直线可设为ky =x -1,代入抛物线y 2=4x ,得y 2-4ky -4=0,则有y A y B =-4,则x A x B =y 2A 4·y 2B 4=1. 又|OA |·|OB |cos ∠AOB =OA →·OB →=x A x B +y A y B =1-4=-3<0,得∠AOB 为钝角,故△AOB 是钝角三角形.20.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10). (1)求双曲线方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:点M 在以F 1F 2为直径的圆上;(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积.(1)解 ∵离心率e =2,∴双曲线为等轴双曲线,可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0),则由点(4,-10)在双曲线上,可得λ=42-(-10)2=6,∴双曲线方程为x 2-y 2=6.(2)证明 ∵点M (3,m )在双曲线上,∴32-m 2=6,∴m 2=3,又双曲线x 2-y 2=6的焦点为F 1(-23,0),F 2(23,0),∴MF 1→·MF 2→=(-23-3,-m )·(23-3,-m )=(-3)2-(23)2+m 2=9-12+3=0,∴MF 1⊥MF 2,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上.(3)解 S △F 1MF 2=12×43×|m |=6. 21.(12分)已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).(1)求椭圆G 的方程;(2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c =22,c a =63. 解得a =23,又b 2=a 2-c 2=4.所以椭圆G 的方程为x 212+y 24=1. (2)设直线l 的方程为y =x +m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +m x 212+y 24=1,得4x 2+6mx +3m 2-12=0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2) (x 1<x 2),AB 中点为E (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-3m 4,y 0=x 0+m =m 4; 因为AB 是等腰△P AB 的底边,所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k =2-m 4-3+3m 4=-1.解得m =2. 此时方程①为4x 2+12x =0.解得x 1=-3,x 2=0.所以y 1=-1,y 2=2.所以|AB |=3 2.此时,点P (-3,2)到直线AB :x -y +2=0的距离d =|-3-2+2|2=322, 所以△P AB 的面积S =12|AB |·d =92. 22.(12分)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为32,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2,若k ≠0,试证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值. 解 (1)由已知得e =c a =32,c 2a 2+14b2=1, 又c 2=a 2-b 2,所以a 2=4,b 2=1.故椭圆C 的方程为:x 24+y 2=1. (2)方法一 如图,由题意知 |F 1M ||MF 2|=|PF 1||PF 2|即|PF 1|4-|PF 1|=c +m c -m =3+m 3-m,整理得: m =32(|PF 1|-2). 又a -c <|PF 1|<a +c ,即2-3<|PF 1|<2+ 3.∴-32<m <32.故m 的取值范围为m ∈⎝⎛⎭⎫-32,32. 方法二 由题意知:PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|=PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|, 即PF 1→·PM →|PF 1→|=PF 2→·PM →|PF 2→|. 设P (x 0,y 0),其中x 20≠4,将向量坐标化得:m (4x 20-16)=3x 30-12x 0.所以m =34x 0,而x 0∈(-2,2),所以m ∈⎝⎛⎭⎫-32,32. (3)设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y -y 0=k (x -x 0),整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x +4(y 20-2kx 0y 0+k 2x 20-1)=0. 所以Δ=64(ky 0-k 2x 0)2-16(1+4k 2)(y 20-2kx 0y 0+k 2x 20-1)=0.即(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0.又x 204+y 20=1,所以16y 20k 2+8x 0y 0k +x 20=0. 故k =-x 04y 0,又1k 1+1k 2=x 0+3y 0+x 0-3y 0=2x 0y 0. 所以1kk 1+1kk 2=1k ⎝⎛⎭⎫1k 1+1k 2 =⎝⎛⎭⎫-4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0=-8. 所以1kk 1+1kk 2为定值,这个定值为-8.。
高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)
12PF F S =解析:设P (x 0,y 0),PF 的中点为(x ,y ),则y 0=14x 20,又F (0,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =x 02y =y 0+12,∴⎩⎨⎧x 0=2xy 0=2y -1,代入y 0=14x 20得2y -1=14(2x )2,化简得x 2=2y -1,故选A. 答案:A7.抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( )A.12B.32C .1 D. 3 解析:由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为3x -y =0或3x +y =0, 则焦点到渐近线的距离d 1=|3×1-0|32+-12=32或d 2=|3×1+0|32+12=32. 答案:B8.直线y =x +b 与抛物线x 2=2y 交于A 、B 两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则b =( )A .2B .-2C .1D .-1解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立方程组⎩⎨⎧y =x +b ,x 2=2y ,消去y ,得x 2-2x -2b =0,所以x 1+x 2=2,x 1x 2=-2b ,y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=b 2,∴点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为x 2=4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在,又抛物线方程为x 2=4y ,当直线AB 斜率为0时|PQ |=4 2.当直线AB 斜率k 不为0时,设中点坐标为(t,2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有x 21=4y 1,x 22=4y 2,两式作差得x 21-x 22=4(y 1-y 2),即得k =x 1+x 24=t 2,则直线方程为y -2=t2(x -t ),与x 2=4y 联立得x 2-2tx +2t 2-8=0.由根与系数的关系得x 1+x 2=2t ,x 1x 2=2t 2-8, |PQ |=x 1-x 22+y 1-y 22=1+k 2[x 1+x 22-4x 1x 2]=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+t 24[4t 2-42t 2-8]=8-t 24+t 2≤6,即|PQ |的最大值为6.19.(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上,离心率为2,F 1,F 2为左、右焦点,P 为双曲线上一点,且∠F 1PF 2=60°,12PF F S =123,求双曲线的标准方程.解析:如图所示,设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).∴所求k 的值为2.21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1),离心率为22,过点B (0,-2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ,D 两点,右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程; (2)求△CDF 2的面积. 解析:(1)由题意知b =1,c a =22,且c 2=a 2+b 2,解得a =2,c =1. 易得椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)∵F 1(-1,0),∴直线BF 1的方程为y =-2x -2,由⎩⎨⎧y =-2x -2x22+y 2=1得9x 2+16x +6=0.∵Δ=162-4×9×6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点,设为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-169x 1·x 2=23∴|CD |=1+-22|x 1-x 2|=5·x 1+x 22-4x 1x 2=5·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1692-4×23=1092,又点F 2到直线BF 1的距离d =455, 故CDF S2=12|CD |·d =4910. 22.(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为。
第二章 章末检测(二) 圆锥曲线与方程
章末检测(二) 圆锥曲线与方程 时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.双曲线x 23-y 26=1的右焦点到渐近线的距离是( ) A.3 B . 6 C .3D .6解析:双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ,即b = 6. 答案:B2.设P 是双曲线x 2a 2-y 29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于( ) A .4 B .6 C .7D .8解析:由渐近线方程y =32x ,且b =3,得a =2,由双曲线的定义,得|PF 2|-|PF 1|=4,又|PF 1|=3, ∴|PF 2|=7. 答案:C3.方程(x -y )2+(xy -1)2=0的曲线是( ) A .一条直线和一条双曲线 B .两条双曲线 C .两个点D .以上答案都不对解析:(x -y )2+(xy -1)2=0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x -y =0,xy -1=0.⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1.答案:C4.已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,在△AF 1B 中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( ) A .6 B .5 C .4D .3解析:根据椭圆定义,知△AF 1B 的周长为4a =16,故所求的第三边的长度为16-10=6. 答案:A5.已知椭圆x 2a 2+y 22=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( ) A.x 24+y 22=1 B.x 23+y 22=1 C .x 2+y 22=1D.x 26+y 22=1解析:由题意知,椭圆焦点在x 轴上,且c =2, ∴a 2=2+4=6,因此椭圆方程为x 26+y 22=1,故选D.答案:D6.如图所示,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是( ) A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线D .圆解析:由条件知|PM |=|PF |,∴|PO |+|PF |=|PO |+|PM |=|OM |=k >|OF |, ∴P 点的轨迹是以O ,F 为焦点的椭圆. 答案:A7.从抛物线y 2=4x 上一点P 引其准线的垂线,垂足为M ,设抛物线的焦点为F , 且|PF |=5,则△MPF 的面积为( )A .5 6 B.2534 C .20D .10解析:由题意,设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204,y 0,则|PF |=|PM |=y 204+1=5,所以y 0=±4,所以S △MPF =12|PM |·|y 0|=10. 答案:D8.椭圆x 24+y 23=1的离心率为e ,点(1,e )是圆x 2+y 2-4x -4y +4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( ) A .3x +2y -4=0 B .4x +6y -7=0 C .3x -2y -2=0D .4x -6y -1=0解析:依题意得e =12,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12的连线的斜率为2-122-1=32,所求直线的斜率等于-23,所以所求直线方程是y -12=-23(x -1),即4x +6y -7=0,选B. 答案:B9.已知定点A (2,0),它与抛物线y 2=x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )A .y 2=2(x -1)B .y 2=4(x -1)C .y 2=x -1D .y 2=12(x -1)解析:设P (x 0,y 0),M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+22y =y 02,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -2y 0=2y,由于y 20=x 0,所以4y 2=2x -2, 即y 2=12(x -1).答案:D10.设F 1、F 2为椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点,当四边形PF 1QF 2的面积最大时,PF 1→·PF 2→的值等于( ) A .0 B .2 C .4D .-2解析:易知当P ,Q 分别在椭圆短轴端点时, 四边形PF 1QF 2的面积最大.此时,F 1(-3,0),F 2(3,0),P (0,1), ∴PF 1→=(-3,-1),PF 2→=(3,-1), ∴PF 1→·PF 2→=-2. 答案:D11.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC |+|BD |的最小值为( ) A .2 B .3 C.52D.32解析:由题意知F (1,0),|AC |+|BD |=|AF |+|FB |-2=|AB |-2,即|AC |+|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知当|AB |为通径,即|AB |=2p =4时,为最小值,所以|AC |+|BD |的最小值为2. 答案:A12.过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若13<k <12,则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,94 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 解析:由题意:B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,∴k =b 2ac +a=a -c a =1-e ,∴13<1-e <12,∴12<e <23,故选C. 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上) 13.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两个焦点,若椭圆上一点P 满足|PF 1|+|PF 2|=4,则椭圆的离心率e =________.解析:由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|=4,所以2a =4,解得a =2,又c =1,所以e =c a =12. 答案:1214.已知双曲线x 2-y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点, 若PF 1⊥PF 2,则|PF 1|+|PF 2|的值为________. 解析:由双曲线的方程可知a =1,c =2, ∴||PF 1|-|PF 2||=2a =2, ∴|PF 1|2-2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2=4, ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2=8, ∴2|PF 1||PF 2|=4,∴(|PF 1|+|PF 2|)2=8+4=12, ∴|PF 1|+|PF 2|=2 3. 答案:2 315.过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A ,B 两点(点A 在y 轴左侧),则|AF ||FB |=________.解析:由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2,故直线AB 的方程为y =33x +p 2,与x 2=2py 联立得A ,B 两点的横坐标为x A =-33p ,x B =3p ,故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-33p ,16p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p ,32p ,所以|AF |=23p , |BF |=2p ,所以|AF ||BF |=13. 答案:1316. 已知圆的方程为x 2+y 2=4,若抛物线过点A (-1,0),B (1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________.解析:设抛物线焦点为F ,过A ,B ,O 作准线的垂线AA 1,BB 1,OO 1(图略), 则|AA 1|+|BB 1|=2|OO 1|=4,由抛物线定义得|AA 1|+|BB 1|=|F A |+|FB |,∴|F A |+|FB |=4,故F 点的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:x 24+y 23=1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y =2x 2有且只有一个公共点,求直线l 的方程.解析:①当直线l 的斜率不存在时,x =1与对称轴平行,有一个交点;②当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y -2=k (x -1), 与y =2x 2联立,得2x 2-kx +k -2=0, 由Δ=k 2-8(k -2)=0得k =4, 所以直线l 的方程为y =4x -2.综上,直线l 的方程为x =1或y =4x -2.18.(12分)已知双曲线的中心在原点,过右焦点F (2,0)作斜率为 35的直线,交双曲线于M ,N 两点,且|MN |=4,求双曲线方程.解析:设所求双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),由右焦点为F (2,0)知c =2,b 2=4-a 2,则双曲线方程为x 2a 2-y 24-a2=1.直线MN 的方程为:y =35(x -2),代入双曲线方程整理,得(20-8a 2)x 2+12a 2x +5a 4-32a 2=0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-12a 220-8a 2,x 1x 2=5a 4-32a 220-8a 2. ∴|MN |=1+⎝⎛⎭⎪⎫352×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=85×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12a 220-8a 22-4·5a 4-32a 220-8a 2=4. 解得:a 2=1,∴b 2=4-1=3. 故所求双曲线方程为:x 2-y 23=1.19.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点F 在x 轴正半轴上,且过点P (2,2),过F 的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点. (1)求抛物线的方程;(2)设直线l 是抛物线的准线,求证:以AB 为直径的圆与准线l 相切. 解析:(1)设抛物线y 2=2px (p >0),将点(2,2)代入得p =1. ∴y 2=2x 为所求抛物线的方程.(2)证明:设l AB 的方程为:x =ty +12,代入y 2=2x 得:x 2-(1+2t 2)x +14=0,设AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=1+2t 22.∴点M 到准线l 的距离d =x 0+12=1+2t 22+12=1+t 2,又AB =x 1+x 2+p =1+2t 2+1=2+2t 2,∴d =12AB ,故以AB 为直径的圆与准线l 相切.20.(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y 2=2px (p >0)上,求这个正三角形的边长.解析:如图所示,设正三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上,且坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 21=2px 1,y 22=2px 2.又|OA |=|OB |,所以x 21+y 21=x 22+y 22,即x 21-x 22+2px 1-2px 2=0,整理得(x 1-x 2)(x 1+x 2+2p )=0.因为x 1>0,x 2>0,2p >0,所以x 1=x 2,由此可得|y 1|=|y 2|,即点A ,B 关于x 轴对称.由此得∠AOx =30°,所以y 1=33x 1,与y 21=2px 1联立,解得y 1=23p .所以|AB |=2y 1=43p .21.(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0,-1),焦点在x 轴上.若右焦点F 到直线x -y +22=0的距离为3. (1)求椭圆的方程;(2)设直线y =kx +m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ,N .当|AM |=|AN |时,求m 的取值范围.解析:(1)依题意,可设椭圆方程为x 2a 2+y 2=1,则右焦点为F (a 2-1,0).由题意,知|a 2-1+22|2=3,解得a 2=3.故所求椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)设点M ,N 的坐标分别为M (x M ,y M ),N (x N ,y N ),弦MN 的中点为P (x P ,y P ).由⎩⎨⎧y =kx +m ,x 23+y 2=1,得(3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2-1)=0.∵直线y =kx +m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点, ∴Δ=(6mk )2-4(3k 2+1)×3(m 2-1)>0⇒m 2<3k 2+1, ①∴x P =x M +x N 2=-3mk 3k 2+1,从而y P =kx P +m =m 3k 2+1,∴k AP =y P +1x P =-m +3k 2+13mk .又|AM |=|AN |, ∴AP ⊥MN ,则-m +3k 2+13mk =-1k , 即2m =3k 2+1,②把②代入①,得m 2<2m ,解得0<m <2. 由②,得k 2=2m -13>0,解得m >12.综上可得,m 的取值范围是12<m <2.22.(13分)已知椭圆E 的方程为:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),其右焦点为F 2(1,0),点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程;(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ,N .问:直线MN 是否一定经过x 轴上一定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.解析:(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0),∴c =1,左焦点为F 1(-1,0),∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32在椭圆E 上. ∴2a =|PF 1|+|PF 2| =(1+1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫322+(1-1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫322=4.∴a =2,b =a 2-c 2= 3.∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知A 点坐标为(-2,0),设直线AM 的方程为y =k (x +2), 则由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2)3x 2+4y 2=12⇒(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0,解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6-8k 23+4k 2,12k 3+4k 2, 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6k 2-83k 2+4,-12k 3k 2+4. 若6-8k 23+4k 2=6k 2-83k 2+4,则得k 2=1,即直线MN 的方程为x =-27,此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-27,0.当k 2≠1时,假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0),则Q ′M →∥NQ ′→,又Q ′M →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6-8k 23+4k 2-m ,12k 3+4k 2,NQ ′→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m -6k 2-83k 2+4,12k 3k 2+4, 则由Q ′M →∥NQ ′→,解得m =-27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-27,0.。
高中数学选修21第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题
选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题一.选择题1 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点,离心率为2的双曲线的方程( ) A1481622=-y x B 127922=-y x C 1481622=-y x 或127922=-y x D 以上都不对 2.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程:①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( ) (A )①③ (B )②④ (C )①②③ (D )②③④3.圆心在抛物线)0(22>=y x y 上,并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( ) A .041222=---+y x y x B .01222=+-++y x y x C .01222=+--+y x y x D .041222=+--+y x y x4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C)12522=-y x (D) 15222=-y x 5.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上,若|PQ |=7,F 2是双曲线的右焦点,则△PF 2Q 的周长是( )A .28B .14-82C .14+82D .8 26.设P 是椭圆x 29+y 24=1上一动点,F 1、F 2是椭圆的两个焦点,则cos∠F 1PF 2的最小值是( )A.12B.19C .-19D .-597.定义:离心率e =5-12的椭圆为“黄金椭圆”,已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点为F (c,0)(c >0),P 为椭圆E 上的任意一点,若a ,b ,c 不是等比数列,则( )A .E 是“黄金椭圆”B. E 一定不是“黄金椭圆”C. E 不一定是“黄金椭圆”D. 可能不是“黄金椭圆”8.已知F 1、F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B两点,若△ABF 2为钝角三角形,则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( ) A .(0,2-1)B .(0,3-1) C .(2-1,1) D .(3-1,1)9.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =12,右焦点为F (c,0),方程ax 2+bx -c =0的两个实根分别为x 1和x 2,则点P (x 1,x 2)( )A .必在圆x 2+y 2=2内B .必在圆x 2+y 2=2上 C .必在圆x 2+y 2=2外D .以上三种情形都有可能10.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A .2 B .3C.115D.3716二.填空题11.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________12.当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时,椭圆长轴的最小值为.13.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是________.14.以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则当它们的实、虚轴都在变化时,e 21+e 22的最小值是________. 15.点P 到A (1,0)和直线x =-1的距离相等,且点P 到直线l :y =x 的距离等于22,则这样的点P 的个数为________. 三.解答题16. k 代表实数,讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线.17.已知椭圆的一个顶点为A (0,-1),焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. (1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时,求m 的取值范围.18.已知椭圆方程为1822=+y x ,射线x y 22=(x ≥0)与椭圆的交点为M ,过M 作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A 、B 两点(异于M ). (1)求证直线AB 的斜率为定值; (2)求△AMB 面积的最大值.19.已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程.20.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为362⎛⎫⎪⎝⎭,.求抛物线与双曲线的方程.21.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图2所示,某卡车载一集装箱,箱宽3m ,车与箱共高4m ,此车能否通过此隧道?请说明理由.选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题命题人:王琴 审题人:朱杏平答案 一.选择题 1.B2. D 3. D 4. D 5.解析:|PF 2|+|PQ |+|QF 2|=|PF 2|-|PF 1|+|QF 2|-|QF 1|+2·|PQ | =14+8 2. 答案:C6.解析:设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,由题意m +n =6,c =5,则cos∠F 1PF 2=m 2+n 2-(2c )22mn =(m +n )2-4c 2-2mn 2mn =4b 22mn -1≥2×4⎝ ⎛⎭⎪⎫m +n 22-1=-19.答案:C7. 解析:假设E 为黄金椭圆,则e =c a =5-12, 即c =5-12a , ∴b 2=a 2-c 2=a 2-⎝⎛⎭⎪⎫5-12a 2=5-12a 2=ac . 即a ,b ,c 成等比数列,与已知矛盾,故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”. 答案:B8.解析:由△ABF 2为钝角三角形,得AF 1>F 1F 2,∴b 2a>2c ,化简得c 2+2ac -a 2<0,∴e 2+2e -1<0,又0<e <1,解得0<e <2-1,选A.答案:A9.解析:∵x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=-c a,∴x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=b 2a 2+2c a =b 2+2aca 2,∵e =c a =12,∴c =12a ,∴b 2=a 2-c 2=a 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2=34a 2,∴x 21+x 22=34a 2+2a ×12a a 2=74<2. ∴P (x 1,x 2)在圆x 2+y 2=2内.故应选A. 答案:A10.解析:如图所示,动点P 到l 2:x =-1的距离可转化为P 到F 的距离,由图可知,距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d =|4+6|32+42=2,故选A.答案:A 二.填空题11.221205x y -=± 12. 2213.解析:设靠近A 的长轴端点为M ,另一长轴的端点为N .若小球沿AM 方向运动,则路程应为2(a -c );若小球沿AN 方向运动,则路程为2(a +c );若小球不沿AM 与AN 方向运动,则路程应为4a .答案:4a 或2(a -c )或2(a +c )14.解析:∵e 21=a 2+b 2a 2,e 22=a 2+b 2b2,∴e 21+e 22=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b2=2+b 2a 2+a 2b2≥2+2=4(当且仅当a =b 时等号成立). 答案:415.解析:由抛物线定义,知点P 的轨迹为抛物线,其方程为y 2=4x ,设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204,y 0,由点到直线的距离公式,知⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204-y 02=22,即y 20-4y 0±4=0,易知y 0有三个解,故点P 个数有三个. 答案:3三.解答题16.解:当0k <时,曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线; 当0k =时,曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或;当02k <<时,曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆; 当2k =时,曲线224x y +=为一个圆;当2k >时,曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆 17.(1)依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ,则右焦点F (0,12-a )由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 1322=+y x (2)设P 为弦MN 的中点,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点,,0>∆∴即 1322+<k m ①13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p pmkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,,则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是(2,21) 18.解析:(1)∵ 斜率k 存在,不妨设k >0,求出M (22,2).直线MA 方程为)22(2-=-x k y ,直线AB 方程为)22(2--=-x k y . 分别与椭圆方程联立,可解出2284222-+-=k k k x A ,2284222-++=k k k x B . ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y . ∴22=AB k (定值). (2)设直线AB 方程为m x y +=22,与1822=+y x 联立,消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m .由0>∆得44<<-m ,且0≠m ,点M 到AB 的距离为3||m d =. 设AMB ∆的面积为S .∴2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S . 当22±=m 时,得2max =S .19.解:直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k而012≠-k ,于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22kak ak T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴kak a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ;当122+=a k 时,由①得1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或13+±=y x20.解:由题意知,抛物线焦点在x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为22(0)y px p =>, 将交点32⎛ ⎝,代入得2p =,故抛物线方程为24y x =,焦点坐标为(10),, 这也是双曲线的一个焦点,则1c =. 又点32⎛ ⎝,也在双曲线上,因此有229614a b -=. 又221a b +=,因此可以解得221344a b ==,,因此,双曲线的方程为224413y x -=.21.解:取抛物线顶点为原点,水平向右为x 轴正方向建立直角坐标系,设抛物线方程为22(0)x py p =->,当3x =时,3y =-,即取抛物线与矩形的结合点(33)-,, 代入22x py =-,得96p =,则32p =, 故抛物线方程为23x y =-. 已知集装箱的宽为3m ,取32x =, 则21334y x =-=-.而隧道高为5m ,35m m 4-14m 4m 4=>.所以卡车可以通过此隧道.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修(2-1)第二章《圆锥曲线与方程》单元测试卷(原卷版)
第02章 圆锥曲线与方程一、选择题:1. 【2018届西藏日喀则地区一高2018学年第一学期10月检测】如图,正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1,点M 在棱AB 上,且13AM =,点P 是平面CD AB 上的动点,且动点P 到直线11D A 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1,则动点P 的轨迹是( )A .圆B .抛物线C .双曲线D .直线2. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】(1)方程322x xy x +=所表示的曲线是(A)一个圆 (B)一条直线 (C) 一个点和一条直线 (D) 一条直线和一个圆 3. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 12 ,它的长轴长等于圆x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是(A) x 24+y 2=1(B) x 216+y 212=1 (C) x 24+y 23=1 ((D) x 216+y 24=14. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】已知椭圆:C 2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点,则12F P F A ⋅uuu v uuu v的最大值为(A)23 (B) 21 (C)233 (D)4155. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是( )(A)3 (B)11(C) 10 (D) 226. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,21F ,F 为其左、右焦点,P 为椭圆C 上任一点,12F PF ∆的重心为G ,内心I ,且有12IG F F λ=(其中λ为实数),椭圆C 的离心率(A)12(B)13(C)23 7. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为c 2,若)y x c + 与椭圆E 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于8. 【宁夏育才中学2017-2017-1示的图形是 ( )A .两条直线 B.两个点 C.四个点 D.四条直线9. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x = )A .224515x y -= B .22154x y -= C .22154y x -= D .225514x y -= 10. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点是F ,左右顶点分别为12,A A ,过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,若12A B A C ⊥,则该双曲线渐近线的斜率为( )A .12±B .C .1±D .11. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】已知曲线221:13x C y +=和222:1C x y -=的焦点分别为12,F F ,点M 是1C 和2C 的一个交点,则12MF F ∆的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定12. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】已知椭圆22221x y a b+=(0,0)a b >>上一点A 关于原点的对称点为点B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且[,]64ππα∈,则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A .1]B .C .D . 13. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】设抛物线24y x =的焦点为F ,顶点为O ,M 是抛物线上的动点,则||||MO MF 的最大值为( )A .3 B .3C .43D 14. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】抛物线24x y =的准线方程为 A.1-=y B.161-=x C.1-=x D.161-=y 15. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】与椭圆1422=+y x 共焦点且过点)1,2(P 的双曲线方程是A.1422=-y x B.1222=-y x C.13322=-y x D.1322=-y x 16. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】与双曲线2214y x -=有共同的渐近线,且过点()2,2的双曲线方程为A .22128x y -= B .221312x y -= C .221312y x -= D .22128y x -= 17. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x=的焦点, 且与双曲线221x y -=有相同的焦点,则该椭圆的方程是A .22142x y +=B .2213x y +=C .22124x y +=D .2213y x += 18. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 A .1x =-B .2x =-C .1x =D .4x =19. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】当双曲线C 不是等轴双曲线时,我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生椭圆”.则离心率“伴生椭圆”的离心率为A .12BCD.220. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】如图,1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、 右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形,则双曲线的离心率为A .4B .7C .332D .321. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】已知点1F 、2F 分别是椭圆2222=1(0)x y a b a b+>>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点,若2ABF 为锐角三角形,则该椭圆离心率e 的取值范围是A.()01 B .()1,12- C .⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215,0 D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,215 22. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b -=>> 右支上一点, 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,I 为12PF F ∆的内心,若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立,则双曲线的离心率为( ) A .4 B.52 C .2 D .5323. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】椭圆221y x m+=的焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为( )A.14B.12C.2D.4 24. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知椭圆1422=+y x 的两个焦点为21,F F ,过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 的值为( ) A.23B.3C.27D.425. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ,以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A.221169x y -= B.221916x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 26. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知P 是抛物线24y x =上一动点,则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是( )C.2 127. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】过点(2,3)A -作直线与抛物线28y x =在第一象限相切于点B ,记抛物线的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A.23 B.23C.34D.43 28. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为( )A.恒等于2aB.恒大于2aC.恒小于2aD.不确定29. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知12,F F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左,右焦点,P 为双曲线左支上任意一点,若221||||PF PF 的最小值为8,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2,)+∞B.(1,3]C.(1,2]D.[3,)+∞30. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合,且其渐近线方程为043=±y x ,则该双曲线的标准方程为A .116922=-y x B .191622=-y x C .116922=-x y D .191622=-x y 31. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点,12,F F 分别为双曲线的左、右焦点,P 为双曲线上一点,G 是12PF F ∆的重心,若1GA PF λ=,则双曲线的离心率为A .2B .3C .4D .与λ的取值有关 32. 【云南省玉溪市第一中学2018届高二上学期期中考试】方程2222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是 ( )A .),(∞+1B .)(+∞,21C .)(21,0D .)(1,2133.【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】抛物线28x y =的焦点F 的坐标是 ( )A 、(2,0)-B 、(2,0)C 、(0,2)-D 、(0,2)34. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线221169x y -=的焦点相同,且椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为20,则椭圆的离心率e 的值为 ( )A 、12 B C D 、45 35. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的离心率为53,则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A 、34y x =±B 、43y x =±C 、y =D 、y x =36. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】椭圆1422=+y x 的焦点为1F 、2F ,点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的 ( )A 、3倍B 、4倍C 、5倍D 、7倍37. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点,若2F PQ ∆为正三角形,则双曲线C 的离心率e 的值为 ( )A B 、2 C 、3 D 38. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>,一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A 、B 在抛物线C 上运动,则线段AB 的中点D 到y 轴距离的最小值为 ( )A 、2pB 、52p C 、32p D 、3p 39. 【福建省厦门双十中学2017-2018学年高二上学期期中考试】椭圆29x +24y k +=1的离心率为45,则k 的值为( ) A .-21 B .21 C .-1925或21 D. 1925或21 40. 【福建省厦门双十中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点,P 是椭圆Γ上任意一点,过2F 作12F PF ∠的外角平分线PQ 的垂线,垂足为Q ,则点Q 的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.四条线段41. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2,则12||2F F c =,点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c == 且,则椭圆的离心率为 ()ABCD42. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】若P 点是以A (-3,0)、B (3,0)为焦点,实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点,则PB PA +=( )A .134B .142C .132D .14343. 已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则实数k 的值为( )A .31 B .32 C .32 D .32244. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】已知c 是椭圆2222=1(>>0)x y a b a b+的半焦距,则b c a +的取值范围是________. 45. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .既不充分也不必要条件 D .充要条件46. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】下列双曲线中与椭圆2214x y +=有相同焦点的是 ( )A .2214x y -= B .2214y x -= C .2212y x -= D .2212x y -= 47. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】设圆()22125x y ++=的圆心为C ,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则M 的轨迹方程为 ( )A 、224412521x y +=B 、224412125x y +=C 、224412521x y -= D 、224412125x y -=二、填空题:1. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】点P 为椭圆2211615x y +=上的任意一点,EF 为圆22(1)4x y -+=的任一条直径,则PE PF ∙的取值范围为 .2. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ∙= ,则P 点的轨迹是 .3. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】线段PQ 是椭圆22143x y +=过(1,0)M 的一动弦,且直线PQ 与直线4x =交于点S ,则________.SM SM SPSQ+=4. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .5. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知点(,)P x y 在椭圆22:24C x y +=上,则2x y +的取值范围是 ,椭圆C 上的点到(1,0)M 的距离的最大值为 .6. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】抛物线x y C 2:2=的准线方程是 ,经过点)1,4(P 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点,且点P 恰为AB 的中点,F 为抛物线的焦点,则AF BF +=.7. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】如图,12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二,第四象限的公共点,若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率是 .8. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知椭圆22:13x C y +=的弦AB 过点(1,0)-,则弦AB 中点的轨迹方程是 .9. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则p = .10. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】已知圆22:(36M x y += 及定点N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP 上,点G 在MP 上,且满足2NP NQ = ,0GQ NP =.则动点G 的轨迹C 的方程为 .11. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,P 为椭圆上任意一点,且120PF PF ⋅= .若12PF F ∆的面积为9,则b = .12. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】给出下列命题:①直线10x -=的倾斜角是23π;②已知过抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,则有221212,4p x x y y p ==-;③已知1F 、2F 为双曲线C :22221x y a b-=的左、右焦点,点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为 .13. 直线230x y -+=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A,B 两点,且(1,1)P -恰好为AB中点,则椭圆的离心率为14. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】在平面直角坐标系xoy中,点M 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的点,以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ,圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点.若MPQ V 为锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是 . 三、解答题1. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题(本小题10分)已知1F 、2F 为椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点,过2F 做椭圆的弦AB .(Ⅰ) 求证:AB F 1∆的周长是常数;(Ⅱ) 若AB F 1∆的周长为16,且1AF 、21F F 、2AF 成等差数列,求椭圆方程. 2. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题】(本小题12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ,点(,2)2在椭圆上.(I )求椭圆的离心率;(II )点M 在圆222x y b +=上,且M 在第一象限,过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两 点,求证:△2PF Q 的周长是定值.3. 【宁夏育才中学2017-2017-1高二年级期中考试】(本小题满分10分) 已知M (-2,0),N (2,0),求以MN 为斜边的直角三角形顶点P 的轨迹方程。
最新人教A版高中数学选修2-1:第二章 圆锥曲线与方程 章末检测
第二章 圆锥曲线与方程测试卷一、选择题1.椭圆x 24+y 25=1的焦点坐标是( )A .(±1,0)B .(±3,0)C .(0,±1)D .(0,±3)解析:由椭圆方程得:a 2=5,b 2=4,所以c 2=1,又椭圆的焦点在y 上, 所以焦点坐标是(0,±1). 答案:C2.抛物线y =8x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0,132B.⎝⎛⎭⎫0,116 C .(0,2) D .(0,4)解析:抛物线的标准方程为x 2=18y ,焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0,132,故选A. 答案:A3.已知双曲线C :x 216-y 24=1,则C 的渐近线方程为( )A .x ±2y =0B .2x ±y =0C .x ±6y =0 D.6x ±y =0解析:由x 216-y24=0可得双曲线的渐近线方程x ±2y =0,故选A.答案:A4.已知实数m,6,-9构成一个等比数列,则圆锥曲线x 2m+y 2=1的离心率为( )A.32 B.3 C.52D. 5 解析:因为m,6,-9成等比数列,所以-9m =36,解得m =-4,则y 2-x 24=1的离心率为e =1+41= 5.故选D.答案:D5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为( )A.x 23+y 22=1B.x 23+y 2=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 解析:因为|AB |=3,所以|AF 2|=32,又|F 1F 2|=2,所以在直角三角形AF 1F 2中,|AF 1|=|F 1F 2|2+|AB |2=22+⎝⎛⎭⎫232=52,因为|AF 1|+|AF 2|=52+32=4=2a ,所以a =2,c =1,b =3,所以椭圆的方程为:x 24+y 23=1.答案:C6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13解析:因为以线段A 1A 2为直径的圆的半径为a ,圆心为(0,0),则由题意得圆心到直线bx-ay +2ab =0的距离d =2ab a 2+b2=a ,又a 2=c 2+b 2,所以a 2=32c 2,所以e =c a =63.答案:A7.已知点P (x ,y )是抛物线y 2=4x 上任意一点,Q 是圆C :(x +2)2+(y -4)2=1上任意一点,则|PQ →|+x 的最小值为( )A .5B .4C .3D .2解析:由题意,抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0),准线l :x =-1, 圆C :(x +2)2+(y -4)2=1的圆心C (-2,4),半径r =1,P 到直线l :x =-1的距离d =|PF |,根据抛物线的定义,可得点P 到y 轴的距离为x =d -1,结合图象(如图所示)可得当C ,P ,F 三点共线时,|PQ |+d 取最小值, 所以(|OQ |+x )min =|FC |-r -1=5-1-1=3,故选C.答案:C8.从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△PMF 的面积为( )A .5B .10C .20 D.15解析:设P (x 0,y 0),则|PM |=x 0+1=5,解得x 0=4,则y 20=4×4=16,|y 0|=4,S △MPE =12×5×|y 0|=10, 故选B. 答案:B9.两个正数a ,b 的等差中项是92,等比中项是25,且a >b ,则抛物线y 2=-bax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫-516,0B.⎝⎛⎭⎫15,0 C.⎝⎛⎭⎫-15,0 D.⎝⎛⎭⎫-25,0 解析:由两个正数a ,b 的等差中项是92,等比中项是25,且a >b可得⎩⎨⎧ a +b =9ab =(25)2解得⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =4.抛物线的方程为y 2=-45x ,故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫-15,0. 故答案选C.答案:C10.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆(x -3)2+(y -1)2=1相切,则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5 D .2解析:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =bax根据题意:d =|3b -a |a 2+b 2=1⇒b =3a ⇒e =2,故答案选D.答案:D11.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP →=2QF →,则|QF |=( )A .8B .4C .6D .3解析:设点P (-1,t )、Q (x ,y ),易知点F (1,0),FP →=(-2,t ),QF →=(1-x ,-y ),∴2(1-x )=-2,解得x =2,因此,|QF |=x +1=3,故选D.答案:D12.已知F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,点M 在C 的右支上,坐标原点为O ,若|FM |=2|OF |,且∠OFM =120°,则C 的离心率为( )A.32 B.5-12C .2 D.3+12解析:设双曲线的左焦点为F 1,由题意可得|MF |=|F 1F |=2c ,∠MFF 1=120°,即有|MF 1|2=|MF |2+|F 1F |2-2|MF |·|F 1F |cos ∠MFF 1=4c 2+4c 2-2·4c 2·⎝⎛⎭⎫-12=12c 2, 即有|MF 1|=23c ,由双曲线的定义可得|MF 1|-|MF |=2a ,即为23c -2c =2a ,即有c =3+12a ,可得e =ca =3+12.答案:D 二、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=12x 的焦点恰好是双曲线x 2a2-y 2=1的一个焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为________.解析:因为抛物线的焦点为(3,0),所以双曲线的半焦距c =a 2+1=3,解得a =22,故其渐近线方程为y =±122x ,即y =±24x .答案:y =±24x14.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ,B 两点,若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2),则p 等于________.解析:由题意,抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,则过焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y =x -p 2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x =y +p 2y 2=2px得y 2-2py -p 2=0,∴y 1+y 2=2p ,x 1+x 2=3p ,∴弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3p 2,p ,弦AB 的中垂直平分线方程为y -2=-x ,弦AB 的中点在该直线上,∴p -2=-3p 2,解得p =45.答案:4515.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 1⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.解析:∵AF 2⊥x 轴,∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ,b 2a .即(c ,b 2).∵|AF 1|=3|F 1B |,∴AF 1→=3F 1B →,利用向量的坐标相等易得B ⎝⎛⎭⎫-53c ,-13b 2 代入椭圆方程可得⎝⎛⎭⎫-53c 2+⎝⎛⎭⎫-13b 22b 2=1,∵b 2+c 2=1,∴b 2=23,c 2=13,∴x 2+32y 2=1. 答案:x 2+32y 2=116.已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.解析:由矩形ABCD ,所以|AB |=|CD |=2b 2a,|BC |=|AD |=|F 1F 2|=2c ,又由2|AB |=3|BC |,所以4b 2a =6c ,又b 2=c 2-a 2,所以2e 2-3e -2=0,解得e =2,或e =-12(舍去).答案:2 三、解答题17.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB |=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值.解析:(1)焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,则直线的方程为y =22⎝⎛⎭⎫x -p2,将其代入y 2=2px 得4x 2-5px +p 2=0,x 1+x 2=5p4,|AB |=9=x 1+x 2+p =9p4,所以p =4,所以y 2=8x .(2)由(1)知A (1,-22),B (4,42).设C ⎝⎛⎭⎫y 208,y 0, 由OC →=OA →+λOB →可知 ⎝⎛⎭⎫y 208,y 0=(1,-22)+λ(4,42), 解得λ=0或2.18.一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)交于P ,Q 两点,直线l 与y 轴交于点R ,且OP →·OQ →=-3,PR →=3RQ →,求直线和双曲线的方程.解析:由题意,双曲线的离心率为e =3,即c 2a 2=a 2+b 2a2=3,整理得b 2=2a 2,∴双曲线方程可化为2x 2-y 2=2a 2,设直线方程为y =x +m , 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m 2x 2-y 2=2a 2,得x 2-2mx -m 2-2a 2=0, 由Δ=4m 2+4(m 2+2a 2)>0,∴直线一定与双曲线相交, 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2m ,x 1x 2=-m 2-2a 2,又由PR →=3RQ →,∴x R =x 1+3x 24,x 1=-3x 2,∴x 2=-m ,-3x 22=-m 2-2a 2,消去x 2得m 2=a 2,又由OP →·OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2(x 1+m )(x 2+m )=2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=m 2-4a 2=-3解得m =±1,a 2=1,b 2=2,故直线的方程为y =x ±1,双曲线方程为x 2-y 22=1.19.过双曲线x 23-y 26=1的右焦点F 2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,F 1为左焦点.(1)求|AB |;(2)求△AOB 的面积.解析:(1)由双曲线的方程得a =3,b =6,∴c =a 2+b 2=3,F 1(-3,0),F 2(3,0).直线AB 的方程为y =33(x -3).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧y =33(x -3)x 23-y26=1消去y 得5x 2+6x -27=0.∴x 1+x 2=-65,x 1·x 2=-275.∴|AB |=⎣⎡⎦⎤1+⎝⎛⎭⎫332[](x 1+x 2)2-4x 1x 2=43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-652-4⎝⎛⎭⎫-275=1635. (2)直线AB 的方程变形为3x -3y -33=0.∴原点O 到直线AB 的距离为d =|-33|(3)2+(-3)2=32.∴S △AOB =12|AB |·d =12×1653×32=1235.20.已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点,M 为其上顶点.椭圆的长轴长为4,且△F 1MF 2的周长为4+2 3.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知P (0,3),若直线y =2x -2与椭圆C 交于A ,B 两点,求P A →·PB →. 解析:(1)由题可知,2a +2c =4+23,2a =4,得a =2,c = 3又a 2=b 2+c 2,解得b =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -2x 24+y 2=1,得17x 2-32x +12=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=3217,x 1x 2=1217,∵P A →=(x 1,y 1-3),PB →=(x 2,y 2-3), ∴P A →·PB →=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+(2x 1-5)(2x 2-5)=5x 1x 2-10(x 1+x 2)+25将x 1+x 2=3217,x 1x 2=1217代入,得P A →·PB →=5×1217-10×3217+25=16517.21.平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,且点⎝⎛⎭⎫3,12在椭圆C 上.椭圆C 的左顶点为A .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .若直线l 交y 轴于点C ,且OC =BC ,求直线l 的斜率.解析:(1)由题意知:⎩⎪⎨⎪⎧1-b 2a 2=⎝⎛⎭⎫32232a 2+⎝⎛⎭⎫122b 2=1解得:⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4b 2=1,所以,所求椭圆C 方程为x 24+y2=1.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设为k ,l 过点A (-2,0),则l 的方程为:y =k (x +2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y =k (x +2),消去y 整理得:(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,令B (x B ,y B ),C (0,y C )由-2x B =16k 2-41+4k 2,得x B =2-8k 21+4k 2,将x =0代入y =k (x +2)中,得到y C =2k ,所以OC =|2k |,|BC |=1+k 2|x B -0|=1+k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2-8k 21+4k 2,由OC =BC ,得:|2k |=1+k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2-8k 21+4k 2,解得:k 2=18,∴k =±24.所以直线l 的斜率为±24. 22.已知椭圆方程为x 2+y 24=1,射线y =2x (x ≥0)与椭圆的交点为M ,过M 作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A ,B 两点(异于M ).(1)求证直线AB 的斜率为定值; (2)求△AMB 面积的最大值.解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1y =2x (x ≥0),得M ⎝⎛⎭⎫22,2,不妨设直线MA :y -2=k ⎝⎛⎭⎫x -22,直线MB :y -2=-k ⎝⎛⎭⎫x -22. 由⎩⎨⎧y -2=k ⎝⎛⎭⎫x -22x 2+y24=1,得(4+k 2)x 2-(22k -2k 2)x +12k 2-2k -2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M ⎝⎛⎭⎫22,2,∴x 1+22=2k 2-22k 4+k 2,∴x 1=2(k 2-4k -4)2(4+k 2),同理得∴x 2=2(k 2+4k -4)2(4+k 2),∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1+x 2-2)x 1-x 2=2(k 2-4)-2(k 2+4)-42=2,∴直线AB 的斜率为定值2.(2)设直线l ,y =2x +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +m x 2+y 24=1,得8x 2-4mx +m 2-4=0,∴x 1+x 2=8k 23+4k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2-2)=-6k 3+4k 2, 由Δ>0得-22<m <22,且m ≠0,点M 到AB 的距离d =|m |5,|AB |=1+4·⎝⎛⎭⎫-4m 82-4×m 2-48=5·8-m 24S △AMB =12AB ·d =12|m |8-m 24=14·m 2(8-m 2)≤14·m 2+8-m 22=1当且仅当m 2=8-m 2,即m 2=4,当m =±2时,取等号,所以△AMB 面积的最大值为1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元检测 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学试题
高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程测试卷一、选择题1.若平面内一条直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点,则下列命题:(1)若C 是圆,则l 与C 一定相切;(2)若C 是抛物线,则l 与C 一定相切;(3)若C 是椭圆,则l 与C 一定相切;(4)若C 是双曲线,则l 与C 一定相切.其中正确的有().A .1 个B .2个C .3个D .4个2.过抛物线x 2=4y 的焦点且与其对称轴垂直的弦AB 的长度是(). A .1B .2C .4D .83.双曲线1 = 4-922y x 与直线m x -y + 32=(m ∈R )的公共点的个数为().A .0B .1C .0或1D .0或1或24.在直角坐标平面内,已知点F 1(-4,0),F 2(4,0),动点M 满足条件:|MF 1|+|MF 2|=8,则点M 的轨迹方程是().A .1 = 9+1622y xB .x =0C .y =0(-4≤x ≤4)D .1 = 16+1622 y x5.已知经过椭圆1 = +522y x 的焦点且与其对称轴成45º的直线与椭圆交于A ,B 两点,则|AB |=().A .352 B .310C .25D .106.已知点A (3,0)、B (-3,0),|AC |-|BC |=4,则点C 轨迹方程是(). A .1 = 5422y -xB .1 = 5422y -x (x <0)C .1 = 5422y -x (x >0)D .0 = 5422y -x (x <0)7.方程mx 2+(m +1)y 2=m (m +1),m ∈R 表示的曲线不可能是(). A .直线B .椭圆C .双曲线D .抛物线8.若椭圆1 =9+ 1622x y 上的点到直线y =x +m 的最短距离是2,则m 最小值为().A .-1B .3-C . 7-D .19.直线y =x -k 与抛物线x 2=y 相交于A ,B 两点,若线段AB 中点的纵坐标为1,则k 的值为().A .-21 B .21C .-41D .-110.设椭圆22+10y x =1和双曲线22-8y x =1的公共焦点分别为F 1,F 2,P 是这两曲线的交点,则△PF 1F 2的外接圆半径为().A .1B .2C .22D .3二、填空题11.直线m y 2 = 与曲线 222218= + 9m y x m (m ∈R ,m ≠0)有个公共点. 12.到点(-4,0)与到直线x =-425的距离之比为54的动点的轨迹方程是.13.与14922=-y x 有相同渐近线且实轴长为10的双曲线方程是. 14.已知△ABC 的两个顶点为A (0,0)、B (6,0),顶点C 在曲线1 = 91622y -x 上运动,则△ABC 的重心的轨迹方程是.15.若点P ,Q 在抛物线y 2=4x 上,O 是坐标原点,且OP ·OQ =0,则直线PQ 恒过的定点的坐标是.16.已知正三角形ABC ,若M ,N 分别是AB ,AC 的中点,则以B ,C 为焦点,且过M ,N 的椭圆与双曲线的离心率之积为.三、解答题 17.若过椭圆1 = +2222b y a x (a >b >0)左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形,此椭圆的离心率为0.5,求这个椭圆方程.18.已知直线1+ =x y k 与双曲线x 2-y 2=1的左支相交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为点M ,定点C (-2,0).(1)某某数k 的取值X 围;(2)求直线MC 在y 轴上的截距的取值X 围.19.若点P 在抛物线y 2=2x 上,A (a ,0), (1)请你完成下表:(2)若a ∈R ,求||PA 的最小值及相应的点P 坐标20.若点P 在以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p >0)上,且PF ⊥FO ,|PF |=2,O 为原点.(1)求抛物线的方程;(2)若直线x -2y =1与此抛物线相交于A ,B 两点,点N 是抛物线弧AOB 上的动点,求△ABN 面积的最大值.参考答案一、选择题 1.B2.C 3.C解析:双曲线1 = 4-922y x 的渐近线方程为y =±32x 与已知直线平行或重合,而当m =0时,重合;此时,公共点个数为0;m ≠0时,公共点个数为1.4.C5.A6. B 7.D8.C 9. A10.D解析:由椭圆与双曲线的定义可得1||PF 与2||PF 的方程组,进一步可知△PF 1F 2为直角三角形.二、填空题 11.2.12.1 = 9+2522y x .13.1 = 9100-2522y x 或1 = 4225-2522x y . 14.1 = 162 922y --x )((y ≠0).15.(4,0). 16.2. 三、解答题 17.1 = 12+1622y x .解:如图,由椭圆定义可知|BF 1|+|BF 2|=2a ,|AF 1|+|AF 2|=2a .△ABF 2的周长=|AB |+|BF 2|+|AF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16.∴a =4, 又∵e =ac=0.5, ∴c =2,∴b =3= 222-c a . 椭圆方程为1 = 12+1622y x .18.(1)1<k <2.解:把直线y =kx +1代入双曲线x 2-y 2=1整理有(1-k 2)x 2-2kx -2=0, ∵设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),yxBF 2F 1A(第17题)由韦达定理可知x 1+x 2=2-12kk <0, ①x 1·x 2=2-12k->0. ②且 ∆=(-2k )2-4(1-k 2)·(-2)=4k 2-8 k 2+8>0得 -2<k <2.③ ∴ 1<k <2.(2)∵M ⎪⎭⎫ ⎝⎛2+ 2+2121y y ,x x ,M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1+-1 -1222k k k k ,,即M ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-11 -1k k k ,. ∴MC :y =2++212k k -x +2++222k k -.在y 轴线截距为y m =2++222k k -,当k ∈(1,2),有y m >2或y m <-2-2. 19.(1) 实数a 的值 -2 0 0.5 1 2 |PA |的最小值 2 0 0.5 1 3相应的点P 坐标(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(1,±2)(2)当a ≤1时,|PA |的最小值=|a |,相应的点P (0,0);当a >1时,|PA |的最小值=12-a ,相应的点P (a -1,±22-a ). 20.(1)x y 4=2;解:由PF ⊥FO ,|PF |=2可知当x =2p时,y =2. (第20题)即2p ·2p=4,∴p =2. ∴抛物线方程为y 2=4x . (2)510.解:由(1)可知,直线AB 过焦点F (1,0). 把直线x -2y =1代入抛物线y 2=4x . 有x 2-18 x +1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). |AB |=21-41+1x x =2058 25=-4+ 41+ 121221= ·)( ·x x x x .设N (x 0,20x ),点N 到AB 的距离h =51400-x -x .S △ABN =21·|AB |·h =21·20·51400-x -x .当 0x =2时,S △ABN 取得最大值,此时S △ABN =10。