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完全平方公式--教学设计(郭建华)
完全平方公式--教学设计(代数)（郭建华）本溪市实验中学郭建华一、内容与内容解析1．内容完全平方公式2．内容解析本节内容要紧研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用．它是在学习了代数式的概念、整式的加减法、积的乘方、幂的运算和整式的乘法后学习的，也是在因式分解、分式的加减乘除混合运算中有广泛的应用．一些具有专门形式的多项式相乘，能够写成公式的形式．当遇到专门形式的多项式相乘时，能够直截了当运用公式写出结果，具有简化运算的功能．完全平方公式的推导，从代数的角度来推导，是以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，通过运算、观看、归纳，抽象概括出的专门形式的等式；让学生构造几何图形，用不同方式表示图形的面积，进行代数恒等变形来推导完全平方公式的结果，则表达了数形结合的思想方法和让学生动手操作进行数学活动探究模式．完全平方公式是多项式的乘法公式的一种，即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们乘积的2倍．而公式的符号表示及语言表述则揭示了公式的结构特点，公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b能够是具体的数、单项式、多项式、分式等等，表达了从一样到专门的思想方法；通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算，还能够培养学生的求简意识．基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式的发觉和推导过程，明白得公式的本质，并会运用公式进行简单的运算．三、教学目标和目标解析1．教学目标(1)．知识与技能：明白得公式及公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的运算．(2)．过程与方法：通过让学生经历完全平方公式的探究过程，使学生体会数、形结合的优势，把握完全平方公式的特点，培养学生的发觉能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生明白由多项式乘法到完全平方公式是一样到专门的过程，能依照多项式的乘法法则推导出完全平方公式；学生明白得能够构造几何图形利用面积的不同表示方式来完成公式的推导，了解验证完全平方公式的具体方法.明白得公式中的字母能够表示具体的数、单项式、多项式等，能够正确地运用公式进行简单运算．达成目标(2)的标志是：学生在探究完全平方公式的过程中，能够更好地发觉公式、体会和明白得公式及公式的差不多结构与特点，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想．一些专门形式的多项式乘法，能够利用完全平方公式进行运算，能够体会利用公式运算带来的便利性；一些数字平方的运算，让学生体会应用公式解决问题的方法；而对公式进行拓展探究，利用图形解决问题，则表达了学生的创新意识.四、教学问题诊断分析由于学生受2(a＋b)=2a＋2b，(ab)2=a2b2的阻碍，专门容易产生(a ＋b)2=a2＋b2，(a－b)2=a2－b2的错误结论并无意识的经历那个结论；由于公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b本身能够是具体的数、整式、分式等，情形比较复杂，专门是字母a，b是带有数字系数的单项式时，容易不记得将数字系数平方，或者做运算时中间项漏乘公式的2倍，因此关于学生来说，运用公式有时会有困难．而作为完全平方公式的应用，教材中引入数字平方运算题，将数字分解成两个数和(或差)的平方，而且这两个数的平方与这两个数乘积2倍必须容易运确实是解题的关键．因此，把握完全平方公式的结构特点，是运用公式、解决具体问题的关键．因此本节课的教学难点是：完全平方公式的变式运用．五、教学支持条件分析为了几何图形面积验证公式，能够用几何画板软件演示拼图：大正方形面积=(a＋b)2大正方形面积=a2＋ab＋ab＋b2=a2＋2ab＋b2因此：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(图1)大正方形面积=a2大正方形面积=(a－b)2＋b(a－b)＋b(a－b)＋b2=(a－b)2＋2ab－b2因此：a2=(a－b)2＋2ab－b2因此：(a－b)2=a2－2ab＋b2大正方形面积=(a＋b＋c)2大正方形面积=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b2＋c2因此：(a＋b＋c)2=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b 2＋c2(图3)立方体=(a＋b)3立方体=a3＋3a2b＋3ab2＋b3因此：(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3(图4)六、教学过程设计：(一)复习公式，设疑引课问题1：(mn)2=?问题2：(a＋b)2=a2＋b2成立吗?师生活动：教师提出问题，创设问题情境，让学生通过自主探究，合作交流，找到解决问题的途径.ab设计意图：把思维的空间留给学生，学生受(ab)2=a2b2的阻碍，专门容易产生(a＋b)2=a2＋b2的错误结论，心理学上称“负迁移”.问题情境的创设，使学生认知产生冲突，激发求知欲.学生在解决那个问题时，有的用具体数代入进行试验；有的从形的方面进行说明等等.如此做的目的一方面培养了学生分析问题、解决问题的能力；另一方面暴露了学生的思维过程，为后面教学的展开制造了条件。
《完全平方公式》教案【通用七篇】
《完全平方公式》教案【通用七篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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_完全平方数
完全平方数 知识要点,255,164,93,42,1122222=====故1,4,9,16,25，…这些数就是完全平方数。
完全平方数有许多性质，例如：1.完全平方数分解质因数时，它的每个质因子都有偶数个。
2.如果一个数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数，这个数就一定是完全平方数。
3.完全平方数的个位数字只可能为0,1,4,5,6,9这六个数。
4.两个完全平方数的积是完全平方数；一个完全平方数与一个非完全平方数的积一定不是完全平方数。
5.偶完全平方数被4整除；奇完全平方数被4除余1. 1. 、把1,2,3，…，9这9个数按另一种顺序填在下表2. 自然数的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49，……。
问第612个位置的数是几？3. 50张卡片，写着1到50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。
某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆放在桌上，对同学说：“请你们按学号顺序逐个到前面来翻开卡片，规则是：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝色翻成红色，红色翻成蓝色。
”那么到最后，每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有多少张？4. 在前100个自然数中，所有非完全平方数的和是多少？5. 从1到1989的自然数中，完全平方数共有多少个？6. 试问21世纪中哪一年的年分数是一个完全平方数？7. 从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？8. 一个四位正整数，加上400后就成为一个自然数的平方数，这样的四位数的个数有多少？9. 135乘以一个自然数a ，是一个平方数，a 最小是多少？10. 46035乘以一个自然数a ，是一个平方数，a 最小是多少？11. 一个四位数的数码是非零的偶数，它又恰是某个偶数数字组成的数的平方。
则这个四位数是几？12. 已知四个数：35□2,3□57,3□36，□329，其中哪几个数可以写出完全平方数？13. 下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6这个算式的得数是否是某个数的平方？14. 在1，1+1×2，1+1×2+1×2×3，1+1×2+1×2×3+1×2×3×4，……，1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+…+1×2×3×4×…n ，…，这一列数中，可知，第一个数1是完全平方数，第三个和数1+1×2+1×2×3=9是完全平方数。
第二十三讲 完全平方数
第二十三讲完全平方数一、利用完全平方数的因数特征1、设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足条件的正整数对（x，y）共有多少对？2、设a是质数，b为正整数，且9（2a+b）2=509（4a+511b），求a，b二、利用完全平方数的数字特征3、如果一个完全平方数的最后3位数字相同且不为0，求该数的最小值4、有一个四位数(a+1)a(a+2)(a+3), 它是一个完全平方数，求a三、利用完全平方数在特定模式下的余数特征5、求证：30000不能表示成连个正整数的平方和6、求方程3x2−8xy+7y2−4x+2y=109的正整数解7、设素数从小到大依次排列为：p1，p2，⋯，求证：对任意大于1的正整数n，数p1p2⋯p n−1和数p1p2⋯p n+1都不是完全平方数四、利用完全平方数的间距特征8、求最大的正整数n，使427+4500+4n是完全平方数9、若x，y都是正整数，试证: x2+y+1与的y2+4x+3的值不能同为平方数10、设d1，d2，⋯，d n为正整数n的全部因数，1=d1<d2<⋯<d k=n，求出使k≥4并且d12+d22+d32+d42=n的所有n练习练习1、设p是素数，且p4的全部正因数之和是一个完全平方数，求p练习2、设n是正整数，d是2n2的任意正因数，求证：n2+d不是完全平方数练习3、正整数a、b、c满足c2=a2+b2, 求证：c2+ab和c2-ab都可以表示为2个正整数的平方和。
练习4、是否存在正整数m、n，使得a=3m+3n+1是完全平方数练习5、设n是任意正整数，p为正整数，试确定正整数p,使1p+2p+…+n p都是某个正整数的平方和。
练习6、求出所有不同的素数p、q、r、s，使得它们的和仍是素数，而p2+qs以及p2+qr都是平方数。
平方数的规律及以内的平方表
数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8).不是完全平方数a则a,的平方不能整除p但a,能整除p如果质数(10)．.在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数(11)n).和(包括1一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(12)或整数乘以它本身乘以它,一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方也叫做立方数，如,本身）,那么我们就称这个数为完全立方数.等0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000222.为一组勾股数+y就称=zx,y,z如果正整数x,y,z满足不定方程x ,2必定都是奇数. 和zx,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z五组常见的勾股数：222222222222222 +21 ；+4=58 ；5；+12+15=1320 ；7=17+24=253=299+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：22222 2 －2ab =a + b b + 2ab (a(a+b)－= ab) +| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b2222+2×10×3=100+9+60=169 13=10=(10+3)+3例：2222－2×90×2=8100+4=90－88+2=(90-2)360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的都不必检查之间的所有质数是不是n到,只需检查3的因子即可，超过的筛选范围22,所以=2401<2431<2500=50是否为质数，因为了.例如，判定243149<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非49<5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.28210，=1024=2=256=2 ，3216③增加对数字的熟悉程度，比如2122=7744, 另外一些特殊结构的数字应该牢记，如=4096=288 ,6422=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的11=121,22)22222).也左右颠倒a左右颠倒后=961,(a=169,31=441,13=144,2112．。
完全平方数
完全平方数一、完全平方数的性质最重要的4个性质：1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.除以4只能余0或者余1。
不可能余2或3。
3.完全平方数分解质因数后，指数都是偶数，指数是偶数的数是完全平方数。
4.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
其他性质：性质1：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质2：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数性质3：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质4：如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质5：完全平方数的个位是6，那么它的十位是奇数．性质6：若质数p整除a的平方，则p能被a整除。
例题1：下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【答案】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．例题2：证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．例题3：已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第9题【答案】（法1）先将12！分解质因数：1052=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n得到一个12!235711完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042⨯⨯，所以n最小235为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。
完全平方数
完全平方数若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数。
完全平方数有下列性质：（1）平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；（2）偶平方数能被4整除，奇平方数被8除余1；（3）平方数只能是形如3k或3k＋1的数；（4）奇平方数的十位数一定是偶数；（5）若平方数的末位数是奇数时，则其十位数字必为偶数例1、设N＝23x＋92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。
因N＝23x＋92y＝23（x＋4y），且23为质数，故x＋4y＝23m2（m为正整数）例2、使n5－5n3＋4n＋7成为完全平方数的自然数n的取值（）A．有且只有一个B．有有限多个，但多于一个C．有无穷多个D．不存在将原式分解因式，分析个位数例3、已知a是正整数，且a2＋2004a是一个正整数的平方，求a的最大值解题思路设a2＋2004a＝m2，其中m是正整数，通过引入参数、配方将问题转化为解不定方程。
例4、若一个整数能够表示成x2＋2xy＋2y2（x，y是整数）的形式，则称该数为“好数”（1）判断29是否为好数（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明：mm也是好数解题思路x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2，即一个好数可表示成两个完全平方数的和，这是好数的特征，亦是解本例的关键。
例5、某正整数的平方，其末三位是非0的相同数字，求具有该性质的最小正整数．解：设所求数为p，p＞0，p2即具有末三位数，则p2至少有三位数，p至少有两位数。
设p ＝10a士b（a，b为正整数，1≤b≤5），则p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2。
验证知当b＝1，3，4，5时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b＝2时，p2的末两位数字奇偶性相同．所以所求数必须形如10a±2，而p＝12时，p2＝144，末两位数字为4．又注意（50n士x）2＝2500n2士100nx＋x2＝100（25n2士nx）＋x2。
小学奥数之完全平方数及应用(完整版)
小学奥数之完全平方数及应用1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
100以内平方数速记
五一节礼物一100以内平方数速记上文中主要对一些有趣的完全平方数进行了介绍，这篇是将所有的100以内完全平方数全部列举，并介绍一些速记方法。
我把它们分为20位一组，共4 组，希望大家能每天记住一组，这样会记得快一些，大家加油！第一组：21〜3071〜8020以内的平方如果还不熟记的话着实不应该啊！这两组呢，细心同学会发现21〜30是以25为中心，71〜80以75为中心，所以它们可以说是对联：212 441 841 292712 5041 6241 792 222 484 784 282722 5184 6084 78223 529 729 2773 5329 5929 77252 625562522242 576 676 262742 5476 5776 762302 900802 640041、84、29、76这4个数大家一定要熟记！末2位解决掉之后，说说百位和千位。
20〜30百位较小，死记不难。
71 80规律不明显，有两种记法：752① 712 5041 212 441 50 4 46722 5184 222 484 51 4 47 732 5329 232 529 53 5 48 792 6241 292 841 62 8 54规律很明显吧，不过21〜29平方要特别熟记啊！②73、74的千位为5,百位和它们本身个位一样，762 5776是符合一个数平方后末两位与它本身相同的，比较重要，应熟记；782 6084,上文提过，先把这4个记住。
其余71、72首位仍为5,百位比它们个位小1；77、79直接死记吧！第二组：41〜5051〜60上一组比较难记，下面来一组比较轻松的。
先记51〜60,这一组可用尾同头合十来算！512 2601 5 5 1 26 12 01522 2704 5 5 2 27 22 04532 2809 5 5 3 28 32 09542 2916 5 5 4 29 42 16552 3025 5 5 5 30 52 25后面的几个规律留给大家自己来找吧！对于41〜50,其实和上述差不多，只不过用减法492 2401 5 5 1 24 12 01 482 2304 5 5 2 23 22 04472 2209 5 5 3 22 32 09452 20255 5 5 20还是一样，后面的规律留给大家自己啦！ 第三组：31〜4061〜70这两组平方数规律不明显，但都极易出题，推荐记牢！ 312 961322 1024 （这个是210啊！不难记） 332 1089 （与992 9801联合，不难记） 342 1156 （死记的） 5 5 25）352 1225 （头同尾合十，3 4 12,362 1296 372 1369382 1444 （末三位均是4,好记吧！此数极常考） 392 1521 （死记的） 402 1600612 3721 （三七二^一，四六二十四，这两个都是622 3844 （这个容易错，千万别顺口记成 3824 了） 632 3969 （上文提过，全是 3日倍数！） 642 4096 （这个就是传说中212啊！） 652 4225 （头同尾合十）462 2116 5 5 4 21 42 16 52 2560多的平方）662 4356 （我新发现的，由4个连续自然数组成的完全平方数）672 4489 （至今没找到好方法，只好死记）682 4624 （不多说了吧，四六二十四与全偶）692 4761 （目前只有死记）702 4900第四组：81〜9091〜100这两组数离100比较近，所有可以用完全平方公式来解：（100 k）2 100 200k k2992 9801k 1100 200 1 9801982 9604k 2 100 400 4 9604972 9409k 3 100 600 9 9409962 9216k 4100 800 16 9216952 9025k 5 100 1000 25 9025还是-一样，90〜94留给大家了！对于81 〜89,k为10几，所以对于111〜19 一定要熟记!892 7921k 11 1011 200 112 7921882 7744k 12 100 12 00 122 7744 872 7569k 13 100 13 00 132 7569 862 7396k 14 100 14 00 142 7396852 7225k 15 1015 200 152 7225842 7056k 16 1016 200 162 7056832 6889k 17 100 17 200 172 6889822 6724k 18 100 18 200 182 6724812 6561k 19 100 19 200 192 6561最后，介绍一个大家普遍知道的方法，即加法计算。
完全平方数知识讲解
奥数：完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字。
分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。
2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（）。
分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。
3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（）岁。
分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。
所以父亲的年龄是42岁。
4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（）。
分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。
5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（）。
分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。
6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（）。
判断完全平方数c语言
判断完全平方数c语言1. 概述完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数，例如1、4、9、16等都是完全平方数。
判断一个数是不是完全平方数，就是判断这个数能否表示成某个整数的平方。
本文将介绍几种判断完全平方数的方法，包括暴力法、二分法、牛顿迭代法和数学公式法。
这些方法的基本原理都是利用完全平方数的性质进行推导和判断，不同的是它们在实现上的方法和效率不同，适用于不同的场景。
2. 暴力法暴力法是最简单也是最直接的判断完全平方数的方法，它的基本思想是从1开始枚举每个数的平方，直到找到比目标数大的最小平方数为止。
若这个平方数与目标数相等则返回true，否则返回false。
代码示例：```bool isPerfectSquare(int num) {for (int i = 1; i * i <= num; i++) {if (i * i == num) return true;}return false;}```时间复杂度：O(sqrt(n))暴力法的缺点是效率较低，需对目标数进行大量的平方运算，适用于对实时性和效率要求不高的场合。
3. 二分法二分法是一种更加高效的判断完全平方数的方法，它的基本思想是利用完全平方数的性质，将目标数的范围缩小到sqrt(n)以内，然后在这个范围内进行二分查找。
具体来说，每次选取中间数mid，比较mid的平方与目标数的大小关系，逐渐逼近目标数的平方。
4. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更加高级的判断完全平方数的方法，它的基本思想是利用数学公式推导出一个迭代公式，不断迭代逼近目标数的平方根。
具体来说，假设目标数为x，平方根为r，则通过以下公式不断逼近r：```r = (r + x / r) / 2```迭代条件为r的平方与x的误差小于一个预设的范围。
牛顿迭代法的优点是速度更快，适用于对实时性和效率的要求较高的场合。
它也可以用于求非完全平方数的平方根。
5. 数学公式法1）正整数n是完全平方数的充要条件是n的质因数分解中每个质因数的指数均为偶数。
完全平方公式练习50题
完全平方公式专项练习知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定：① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2专项练习：1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）25.（－2a ＋5b ）26.（－21ab 2－32c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2．12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499；16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）217.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)219.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）21. 先化简，再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.22.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝41.23.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值. 24.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．25.已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求－ab 的值.26.已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值． 27.已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．28.已知 2()16,4,a b ab +==求和2()a b -的值。
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竞赛讲座23－完全平方数(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为(2k+1)=4k(k+1)+1(2k)=4性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。
平方后，分别得 (3m)=9=3k(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则= 1000a+100b+10c+d= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而(9k)=9(9)+0(9k±1)=9(9±2k)+1(9k±2)=9(9±4k)+4(9k±3)=9(9±6k)+9(9k±4)=9(9±8k+1)+7除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明充分性：设b为平方数，则==(ac)必要性：若为完全平方数，=，则性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。
证明由题设可知，a有质因子p，但无因子，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若<k<(n+1)则k一定不是完全平方数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
(二)重要结论1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
(三)范例[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得(m,n为自然数)(2)-(1)可得∴n>m(但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。
解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
分析设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，则而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
分析形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。
但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。
证明==++1=4+8+1=4()(9+1)+8+1=36()+12+1=(6+1)即为完全平方数。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为6003︱600∴3︱A此数有3的因子，故9︱A。
但9︱600，∴矛盾。
故不可能有完全平方数。
[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
解：设此数为此数为完全平方，则必须是11的倍数。
因此11︱a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11︱N - 4或11︱N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。
所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数∵N是完全平方数，11为质数∴x+y能被11整除。
又,得x+y=11。
∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得。
[例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。
经计算得，其中符合题意的只有2401一个。
[例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
解：显然，。
为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。
∵，∴。
另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。
这样，n只有24,27,30三种可能。
但30结尾有六个0，故30不合要求。
经计算得故所求的自然数n = 27。
(四)讨论题1.(1986年第27届IMO试题)设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
2.求k的最大值，使得可以表示为k个连续正整数之和。