2018北师大版八年级下册第一章三角形证明章节习题+答案

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北师大版八年级下《第一章三角形的证明》单元测试题(含答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A. ①B. ②C. ③D. ①和②2．下列说法中，正确的是（）.A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC 长为（）.A ．4cmB ．5cmC ．8cmD ．34cm4．如图3，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（）.A ．045B ．055C ．060D ．0755．如图4，在ABC ∆中，AB=AC ，036A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A ．9个B ．8个C ．7个D ．6个6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A ．3个B ．2个C ． 1个D ．0个8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ∆≌EDC ∆，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定ABC ∆≌EDC ∆的条件是( ).A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL9．如图8，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ∆）是等腰三角形.证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC又∵BDE ∆与BDC ∆关于BD 对称，∴ 23∠=∠. ∴BDF ∆是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠A ．①③B ．②③C ．②①D ．③④10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段 BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt ABC ∆中，090,BAC AB AC ∠==，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为_______.3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度.4．如图13，在等腰ABC ∆中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BC E ∆ 的周长为50，则底边BC 的长为_________.5．在ABC ∆中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为050，则底角B 的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.8．如图15，在ABC ∆中，AB=AC ，0120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于点E ，若4BE =，则AC =_______ .10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1．（7分）如图18，在∆ABC 中，090ACB ∠=，CD 是AB 边上的高， 030A ∠=. 求证：AB= 4BD.2．（7分）如图19，在∆ABC 中，090C ∠=，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE ∆的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD .(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题：命题的条件是和，命题的结论是和 (均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4．（8分）如图21，在ABC ∆中，090A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，CE⊥BD 的延长线于点E.求证：12CE BD =.5．（8分）如图22，在∆ABC 中，090C ∠=.（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.6．（8分）如图23，090AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题12分）如图24，在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，若040A ∠=.（1）求NMB ∠的度数；（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求NMB ∠的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？答案：一、精心选一选，慧眼识金1．C ；2．B ；3．D ．点拨：BC=BE=3cm ，AB=BD=5cm ；4．C ．点拨：利用ABD ∆≌BCE ∆；5．B ；6．D ．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件；7．B ．点拨：① ②正确；8．A ；9．C ；10．C ．点拨：在直线MN 上截取线段h ，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.二、细心填一填，一锤定音1．答案不惟一.如ACB DBC ∠=∠；2．7厘米. 点拨：利用ABD ∆≌CAE ∆；3．030；4．23．点拨：由27BE CE AC AB +===，可得502723BC =-=；5．070或020.点拨；当ABC ∆为锐角三角形时，070B ∠=；当ABC ∆为钝角三角形时，020B ∠=；6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；7．154cm . 点拨：设C D x =，则易证得10BD AD x ==-.在Rt ACD ∆中，222(10)5x x -=+，解得154x =. 8．10．点拨：利用含030角的直角三角形的性质得，()1122DE DF BD CD BC +=+=. 9．2. 点拨：在Rt AEC ∆中，030AEC ∠=，由AE=BE= 4，则得AC=2；10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步.三、耐心做一做，马到成功1．∵090ACB ∠=，030A ∠=，∴AB=2BC ，060B ∠=.又∵CD ⊥AB ，∴030DCB ∠=，∴BC=2BD. ∴AB= 2BC= 4BD.2．根据题意能求出BDE ∆的周长.∵090C ∠=，090DEA ∠=，又∵AD 平分CAB ∠，∴DE=DC.在Rt ADC ∆和Rt ADE ∆中，DE=DC ，AD=AD ，∴Rt ADC ∆≌Rt ADE ∆（HL ）. ∴AC=AE ，又∵AC=BC ，∴AE=BC.∴BDE ∆的周长DE DB EB BC EB AE EB AB =++=+=+=.∵AB=6cm ，∴BDE ∆的周长=6cm.3．（1）①，③；②，④.（2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD.求证：OB ＝OC ，BE ＝CD .证明：∵AB=AC ，∠ABE ＝∠ACD ，∠A=∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）.∴BE=CD. 又∵ABC ACB ∠=∠，∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴BOC ∆是等腰三角形，∴OB ＝OC.4．延长CE 、BA 相交于点F.∵0090,90EBF F ACF F ∠+∠=∠+∠=，∴EBF ACF ∠=∠.在Rt ABD ∆和Rt ACF ∆中，∵DBA ACF ∠=∠，AB=AC ，∴Rt ABD ∆≌Rt ACF ∆（ASA ）. ∴BD CF =.在Rt BCE ∆和Rt BFE ∆中，∵BE=BE ，EBC EBF ∠=∠，∴Rt BCE ∆≌Rt BFE ∆（ASA ）.∴CE EF =. ∴1122CE CF BD ==. 5．（1）图略. 点拨：作线段AB 的垂直平分线.（2）连结BP. ∵点P 到AB 、BC 的距离相等，∴BP 是ABC ∠的平分线， ∴ABP PBC ∠=∠.又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA=PB ，∴A ABP ∠=∠. ∴00190303A ABP PBC ∠=∠=∠=⨯=. 6．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F.∵OM 平分AOB ∠，点P 在OM 上，∴PE=PF. 又∵090AOB ∠=，∴090EPF ∠=. ∴EPF CPD ∠=∠，∴E P C F P D∠=∠. ∴Rt PCE ∆≌Rt PDF ∆（ASA ），∴PC=PD. 四、拓广探索（1）∵AB=AC ，∴B ACB ∠=∠. ∴()()000011180180407022B A ∠=-∠=-=. ∴000090907020NMB B ∠=-∠=-=.（2）解法同（1）.同理可得，035NMB ∠=.（3）规律：NMB ∠的度数等于顶角A ∠度数的一半.证明：设A α∠=.∵AB=AC ，∴B C ∠=∠，∴()011802B α∠=-. ∵090BNM ∠=，∴()00011909018022NMB B αα∠=-∠=--=. 即NMB ∠的度数等于顶角A ∠度数的一半. （4）将（1）中的A ∠改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.。

(B卷)北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周长为（）cmA.12B.14.1C.16.2D.7.052、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB 于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.65°3、如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B.55°C.50°D.40°4、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A.48°B.36°C.30°D.24°5、如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，AB=4，则△ABC的面积为（）A. B.4 C. D.6、如图，在ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）A.35°B.30°C.25°D.20°7、已知、，，以、、为两角和一边作三角形，则可以作出（）不同的三角形（彼此全等的只能算一种）A.一种B.二种C.三种D.无数种8、在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（）A.6B.9C.12D.159、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB＋BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点10、一个等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是1cm，那么它的周长是（）A.（2 ）cmB.2（2 ）cmC. cmD.2cm11、在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A.25°B.25°或40°C.30°或40°D.50°12、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A.20°B.25°C.40°D.50°13、如图，AB为的直径，P为BA延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结PD交于点C，且PC=OB.设，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则 D.若，则14、下列说法不正确的是（）.A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等.B.到线段两端点距离相等的点有无数个.C.等腰三角形的中线、高、角平分线三线合一.D.轴对称图形的对称轴是对称点所连线段的垂直平分线.15、在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A.1cm＜AB＜4cmB.5cm＜AB＜10cmC.4cm＜AB＜8cmD.4cm＜AB＜10cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是________．17、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为4，则弦AB的长为________．18、如图，反比例函数y= 的图象上，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC 时，点A的坐标为________．19、如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E.若，的周长为13，则的周长为________.20、如图，DE是三角形ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE 平分∠BAC，若∠B=30度，则∠C=________度．21、等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为________22、如图，在中，，平分，已知，，则的面积是________．23、已知的三边长，，，，，都是整数，且，的最大公约数为.点和点分别为的重心和内心，且.则的周长为________.24、如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是________cm．25、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD=________时，四边形MENF是正方形．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．28、如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：OE垂直平分CD．29、如图，在△ABC中，∠A=90 ，BD是角平分线，DE⊥BC于点E,若AD=3，BC=4，求△BDC的面积．30、已知：OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠COD＝40°．分别求∠AOD和∠BOC的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、D4、A5、C6、D7、B8、D9、D10、B11、B12、C13、C14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明附习题及答案

第一章三角形的证明班级：___________________________姓名：___________________________作业导航1.等腰、等边、直角三角形的性质2.反证法一、填空题1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.2.由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.3.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.4.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.5.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.6.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.7.如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________.图1 图28.如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD =AC ，若∠A =40°，则 ∠ACD =_________，∠DCB =_________，若∠A =α，则∠BCD =_________，由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD =_________.9.△ABC 中，若∠A =∠B =21∠C ，则此三角形为_________三角形. 10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离是3.8 cm ，则BC =_________ cm.11.△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB =4，则AB =_________，BC =_________.二、选择题12.给出下列命题，正确的有（）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个B.2个C.3个D.4个13.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（）A.α＜45°B.α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°14.下列命题，正确的有（）①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（）A.30°B.45°C.60°D.无法确定16.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形17.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线，延长BA 到E 使DE =DC ，连结EC ，若 ∠E =51°，则∠B 等于（）A.60°B.52°C.51°D.78°18.在△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，CD ⊥AB 于D 点，AB =a ，则BD 的长为（）A.2aB.3aC.4aD.以上都不对19.在直角三角形中，一条边长为a ，另一条边长为2a ，那么它的三个内角的比为（）A.1∶2∶3B.2∶2∶1C.1∶1∶2D.以上都不对三、解答题20.如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B.图321.如图4，AB =CD ，AD =BC ，EF 经过AC 的中点O ，分别交AB 和CD 于E 、F ，求证：OE =OF .图422.如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF .图523.你以前证过的结论，有的是否可以用反证法证明，试试看.参考答案三角形的证明一、1.70° 80° 2.大角大边 3.17 cm 4.3条 5.27 +3 6.60° 7.80° 20° 8.70° 20° 2 21∠A 9.等腰直角 10.11.4 11.8 16 二、12.B 13.C 14.C 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D三、20.解：设∠BDE =x ∵BE =DE ∴∠EBD =∠EDB =x则∠AED =∠EDB +∠EBD =2x又∵AD =DE ∴∠A =∠AED =2x又∠BDC =∠A +∠ABD =3x又∵BD =BC ，∴∠C =∠BDC =3x又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C =3x根据三角形内角和定理3x +3x +2x =180°∴x =22.5°21.证明：在△ABC 和△CDA 中∵AB =CD ，BC =AD ，AC =AC∴△ABC ≌△CDA ，∴∠1=∠2在△AOE 和△COF 中∵∠1=∠2，OA =OC ，∠3=∠4∴△AOE ≌△COF ，∴OE =OF .22.证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴EF ⊥BC ，∴∠FEB =∠FEC =90°， ∴∠B +∠BDE =∠C +∠F =90°，∴∠BDE =∠F ，∵∠BDE =∠FDA∴∠F =∠FDA ，∴AD =AF .23.略。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明(含答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明（含答案）一、选择题1.由线段a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=43,c=53 C.a=9,b=12,c=15 D.a=√3,b=2,c=√5 答案 D D 中,a 2+b 2=7,c 2=5,a 2+b 2≠c 2,故选D.2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS 可以判定两直角三角形全等.3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角大于60°答案B反证法第一步是提出与结论相反的假设.5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为()图1-5-1A.√6B.4C.2√3D.5答案B∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,又∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则点C的坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(0,1)或(0,-1)D.(1,0)或(-1,0)答案C∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).∴CO=AO=127.下列命题中的假命题是()A.等腰三角形的顶角一定是锐角B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形至少有两个角相等D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合答案A等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠AB.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点答案D∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为()A.18B.16C.14D.8答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+ 8=14,故选C.10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()图1-5-4A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴∠BAP=∠CAP.又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.∴∠BAP=∠APQ.∴QP∥AR.在Rt△APR和Rt△APS中,{AP=AP,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.故①②均正确.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.二、填空题11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.答案两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.答案17解析当7为腰长时,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB 的距离为cm.答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.cm,∴CD=1315.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为.答案10解析∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.∴16+BC=26.∴BC=10.16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为.答案1+√3解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.又∵∠A=45°,∠B=30°,∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.∴AD=CD=1,BD=√BC2-CD2=√22-12=√3.∴AB=AD+DB=1+√3.17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=.答案120°解析连接BD并延长.∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,∴∠ADC=∠5+∠6=120°.18.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .答案245解析过点A 作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=12BC=3,所以AE=√AB 2-BE 2=√52-32=4,所以S △ABC =12BC ·AE=12.易知BP 的最小值是S △ABC 12AC =245. 三、解答题19.如图,在Rt △ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN,求BN 的长.答案设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D 是BC 的中点,∴BD=3.在Rt △NBD 中,x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.20.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,CD ⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=BE.证明 (1)∵∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.(2)由(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴CE=BE.∴CE=AE=BE.21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)求AE的长.答案(1)证明:连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,又∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF.∴AE=AF=AC+CF.由(1)知BE=CF,∴AE=AC+BE=4+BE.∴AE=4+8-AE.∴AE=6.22.如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?答案由题意可知AP=2t cm,BQ=t cm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ 为等边三角形.(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4.综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.。

北师大版八年级下册第一章三角形的证明含答案

第一章三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1. A 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使CE =CD ．求证：BD =DE .2. B 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PD ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，D ，且AH ⊥BC 于H ，试用三角形面积公式证明：PE +PF +PD =AH .3. B 如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD =AE ，AD 与CE 交于点F ，求证：△ABD ≌△CAEBB4. A △ABC 中，∠B =∠C ，求证：AB =AC5. B 如图，AD 和BC 交于点O ，AB ∥DC ，OA =OB ，试说明△OCD 是等腰三角形.B6. B 如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD =3cm ，则CD 等于( )A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cm7. B 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是( )A ．BD 平分∠ABCB ．△BCD 的周长等于AB +BCC ．AD =BD =BCD ．点D 是线段AC 的中点8. A 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④9. B 如图，等边△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上两点，下列结论：①若AD =AE ，则△ADE 是等边三角形；②若DE ∥BC ，则△ADE 是等边三角形，其中正确的有( )A ．①B ．②C ．①②D ．都不对OBB10. B 如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形.11. B 如图，D 为等边三角形ABC 内一点，将△BDC 绕着点C 旋转成△AEC ，则△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.B1. A 如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．2. A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．3. B 如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．4. A 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．1. B 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由.2. C 如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个.A. 3B. 5C. 8D. 103. B 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为.4. C 如图，△ABC中，∠ABC=46º，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21º，试确定∠CAD的度数.5. C 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36º，求原三角形最大内角的所有可能值.专题2 重要的30°1. A 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =12∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =12DB ．2. B 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s.当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，恰好在点D 处将球成功抢断，则角α=．(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)1. A 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．求证：BD =2CD ．CB2. A 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．1. B 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为，ME的长为.专题3 反证法1. A 求证：一个三角形中至多有一个钝角．2. B 用反证法证明：若a ，b 是正整数，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除．1. C 已知：在同一平面内，直线m ⊥l ，直线n 与l 相交但不垂直，求证：直线m 、n 相交．1. C 设x ，y等腰三角形习题课1. B 已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．C B2. C 如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．3. C 如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．4. B 如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD = ∠CBE =∠ACF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．BOB5. B 已知，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，请证明：AB =2BC .6. B 已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点.(1)若AD =BE =CF ．试证明△DEF 是等边三角形．(2)若△DEF 是等边三角形，那么AD =BE =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.7. B 如图，等边△ABC 与等边△DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．BB8. C 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB =8，求AC 的长．9. C 如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =105°，∠BOC =α．以OC 为边作等边△OCD ，连接AD ．(1)请证明：OB =AD ．(2)△AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．DBB10. C 等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.2 直角三角形专题1 直角三角形1. A 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？2. B 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？变式1：若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？变式2：若∠ACD=∠B，CD⊥AB，则△ACB为________三角形．变式3：如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，则△ADE是___________三角形．3. A 判断正误：这样描述勾股定理的逆定理正确吗？如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．4. A 分别以下列四组数为一个三角形的边长(1)1，2，3；(2)3，4，5；(3)5，12，13；(4)6，8，10．其中能组成直角三角形的有()A．4组B．3组C．2组D．1组5. B 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CF、EF D．GH、AB、CD6. A 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列说法中错误的是( )．A ．如果∠C -∠B =∠A ，那么△ABC 是直角三角形，∠C =90°B ．如果a ：b ：c =3：4：5，则∠B =60°，∠A =30°C ．如果∠A ：∠B ：∠C =5：2：3，那么△ABC 是直角三角形D ．如果c 2-a 2=b 2，那么△ABC 是直角三角形7. B 如图所示，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．1. B 若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是_______．2. C 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据__________，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．B(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)②∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若_________，则△ABC≌△DEF．3. C 下列4个判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(3)三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；(4)有一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.专题2 逆命题和逆定理1. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题. 等边三角形的每个角都等于60°．2. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.3. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.4. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明. 1.同旁内角互补，两直线平行；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.专题3 斜边、直角边判定定理1. A 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，过点A 作BC 边上的高AD ，求证：△ABD ≌△ACD ．2. A 已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，AD =CB ，DE =BF ，求证：AF =CE .3. A 已知：如图，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL”判定，还需要加条件___________________，若加条件∠BAD =∠CAD ，则可用________________判定.CA4. A 如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，由点D 分别向AB 、AC 两边引垂线，并与AB 、AC 交于E 、F 两点，且BE =CF ，请判断AD 是否为∠BAC 的角平分线，并证明.3 线段的垂直平分线1. A 如图，点D 是△ABC 内一点，且AB =AC ，DB =CD ，求证：线段AD 在线段BC 的垂直平分线上.B2. B 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点.3. A 如图，已知线段AB ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P 、M ，连接P A 、PB 、MA 、MB ，则下列结论一定正确的是( )A. P A =MAB. MA=PEC. PE =BED. P A =PB4. A 如图所示，A 、B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C ，请你设计一个方案，使供水站到两村庄的距离相等，不写画法，但要保留作图痕迹 .B1. A 如图，AC=AD，BC=BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB2. A 如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．3. C 小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．(1)小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？(2)设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．4. B △ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P ，求证：点P 也在BC 的垂直平分线上.5. C △ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ．求证：BF =CG ．6. C 如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A ．在AC ，BC 两边高线的交点处B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处BB1. C 在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1；(2)若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；(3)如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB、CE、ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.2. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC =90°，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．3. B 已知，如图△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．求证：∠EAF=∠ABD．4. C 已知△ABC内一点M满足∠BMC=100︒，线段BM的中垂线交边AB于点P，线段CM的中垂线交边AC于点Q，∠A=20︒，求证：P、M、Q三点共线．4 角平分线专题1 角平分线的性质和判定1. A 如图，在△ABC 中，D 为△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE =DF ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．ME ＝MFC ．AE ＝AFD ．BD ＝DC2. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC ．3. A 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 中点，且AE 平分∠DAB ．求证：BE 平分∠ABC ．BA4. A 已知：△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ．求证：AP 平分∠BAC ．5. A 如图所示，BD 平分∠ABC ，AB =BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足.求证：PM =PN .6. A 已知，在四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，且∠DAB =120°，∠B 和∠D 互补.求证：AB +AD =AC ．B1. B (1)如图，△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，求证：点P 在∠A 的角平分线上．(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．2. B 如图，已知△ABC 的周长是21，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =4，△ABC 的面积是多少？BB3. A 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是()A．P A=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP4. A 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．5. A 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．(1)求证：∠3=∠B；(2)连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．6. B 如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．1. C 在△ABC中，如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰三角形ABD和ACE，AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE，CD与BE相交于点O.(1)求证：BE=CD；(2)若设∠BAD=α，∠AOE=β，则用α表示β为，并证明你的结论.专题2 角平分线的模型1. A 如图，在△ABC中，(1)PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2；(2)PB、P A为平分线，证明PC也是平分线；(3)PC、P A为平分线，证明PB也是平分线.2. B △ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．3. B 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PB、P A交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC .其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③4. B 已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.5. B 已知：如图，四边形ABCD中，∠B+ ∠D =180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.6. B 在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E ，求证：BE =1()2AC AB .7. B 已知，如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于点E 、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF 与BE 、CF 的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？8. B 如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .1. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =60°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB=_______．2. C 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，求证：BD+BC=AD．3. C 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于点E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．三角形综合习题课1. A 如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是()A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC2. A 如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是( )A ．∠BCA =∠FB ．∠B =∠EC ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF3. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且AD 平分∠BAC ，则下列结论中不正确的是( )A ．△ADF ≌△ADEB ．△BDF ≌△CDEC ．△ABD ≌△ACDD ．BD =AD4. A 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△BEC ≌△CDA ．AA1. B 如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD .(1)求证：AB =AD ；(2)请你探究∠EAF ，∠BAE ，∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论.2. B 两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α(α<∠A 1A 0A 2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合(其中A 1与B 1重合)，现将正多边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α(0°<α<180n︒)； (3)设n θ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出n θ的度数； (4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.3. B 如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.4. B C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC=∠E，求证：AD = BE.A已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.5. B 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.1. C 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 为AB 左侧的一个动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2. C 如图，已知AB =CD =AE =BC +DE =2，∠ABC =∠AED =90°，求五边形ABCDE 的面积．3. B 如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．4. C 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．5. C 如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．6. B 如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，AD BC ⊥．求证AC BD DC =-．7. C 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为( )A ．aB ．kC ．2k h D ．h8. C 如图，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．9. C 如图，求出图中∠DCA 的角度.期中期末串讲—三角形的证明1. B 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD，AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2. A 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60°且是轴对称图形的三角形3. B 如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．4. B 已知：△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P．求证：点P也落在∠A的平分线上．5. A 平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积．(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B2C3．(3)写出点A1，B2，C3的坐标．6. B 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．7. A 根据下列已知条件, 不能唯一确定△ABC的大小和形状的是( )A．AB=3，BC= 4，AC=5B．AB= 4，BC=3，∠A=30ºC．∠A=60º，∠B= 45º，AB= 4D．∠C=90º，AB=6，AC=58. A 如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．参考答案第一章三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1.证明：∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠CBD=12∠ABC=30°，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，∴∠E=30°=∠CBD，∴BD=DE(等角对等边).2.证明：如图，连接P A，PB，PC，则S△ABC= S△P AB+S△PBC+S△P AC，∴S△ABC=S△P AB+S△PBC+S△P AC=12PE×AB+12PD×BC+12PF×AC，又∵AB=BC=AC，∴S△ABC=12(PE+PF+PD)×BC，又∵S△ABC=12AH×BC，∴PE+PF+PD=AH.3.证明：在△ABD和△CAE中，∵,,,DBA EA BD AEBA ACC ⎧⎪==∠=⎨∠⎪⎩∴△ABD ≌△CAE (SAS).4.证明：方法一：如图，作△ABC 中BC 边上的高线，垂足为D ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，∵,,,B C ADB AD AD AD C =⎧⎪⎨⎪=∠∠∠=⎩∠∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)∴AB =AC ．方法二：如图，作△ABC 中∠BAC 的角平分线AD ，在△ADB 和△ADC 中，∵,,,AD A BAD CAD B D C ∠∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC (AAS)，∴AB =AC ．方法三：将△ABC 视为△ABC 和△ACB 两个三角形，在△ABC 和△ACB 中，∵,,,BC B C C B CB ∠∠∠=⎧∠==⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ACB (ASA)，∴AB =AC ．5.证明：∵OA =OB ，∴∠A =∠B ，又∵AB ∥DC ，∴∠C =∠B ，∠D =∠A ，∴∠C =∠D ，∴OC =OD ，∴△OCD 是等腰三角形.6. A ．7. D ．8. D ．9. C ．10.证明：∵△ABC 是等边三角形，且AD =BE =CF ，∴AF =BD =CE ，在△ADF 、△BED 和△CFE 中，∵,,AD BE CF C AF BD B E A C ==∠∠∠=⎧==⎪=⎪⎨⎩，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE (SAS)，∴DF =ED =FE ，∴△DEF 是等边三角形.11.△CDE 是等边三角形证明：∵△AEC 由△BDC 绕着点C 旋转而成， ∴△AEC ≌△BDC ，∴CD =CE ，∴△CDE 是等腰三角形，又∵∠BCD =∠ACE ，∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD ，即∠ACB =∠ECD ，∴∠ECD =60°，∴△CDE 是等边三角形.1.证明:∵AD =AE∴∠ADE =∠AED∴∠ADB =∠AEC∴△ABD 和△ACE 中，BD =CE ，∠ADB =∠AEC ，AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠B =∠C2.证明：∵AB=AC, ∠A=60°，∵△ABC为等边三角形，∵BD是中线，∵∵CBD=∵ABD=30°，∵CE=CD，∵∵E=∵CDE=12∵BCD，∵∵BCD=60°，∵∵E=30°，∵∵E=∵CBD，∵DB=DE．3.证明：∵∵EAC+∵ECA=90°，∵BCF+∵ECA=90°，∵∵ECA=∵BCF，∵△AEC和△CFB中，∵EAC=∵FCB，∵AEC=∵CFB=90°，AC=CB，∵△AEC∵△CFB（AAS），∵AE=CF，∵BF=CE，∵EF=AE+BF.4.证明：∵∵ABC为等边三角形，∵∵BAC=∵BCA =∵B =60°，AB=AC，∵CE平分∠ACD，∵∵ACE=∵ECD =60°，∵∵ABD和∵ACE中，AB=AC，∵B =∵ACE =60°，BD=CE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=∵DAE=60°，∵∵ADE为等边三角形.1.等腰直角三角形.证明：连接MA，∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=CA.∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠MDA=∠MBA=45°又∵M为BD的中点，∴∠DAM=∠MAB=45°，AM⊥BD.∴△DAM与△MAB是等腰直角三角形.∴AM=MD=MB=12 BD.∴∠MDE=∠MAC=105°.∵DE=AC，∠MDE=∠MAC，MD=AM，∴△MDE≌△MAC.∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.∴△EMC是等腰直角三角形.2. C.3.1.5.4.67°.5.原三角形最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°.专题2 重要的30°1.证明：∵∠BAD=12∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等)，∴在△ADE和△BDE中，。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明练习(含答案)

第一章三角形的证明一、单选题1．如图，△ABC 中，△B ＝60°，AB ＝AC ，BC ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．9B ．8C ．6D ．122．在△ABC 中，AB=AC ，△C=75°，则△A 的度数是（）A ．30°B ．50°C ．75°D ．150°3．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．含30°角的直角三角形4．如图，过等边△ABC 的顶点A 作射线，若△1=20°，则△2的度数是（）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°5．以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A ．3，4，5B ．1，2C ．5，6，7D ．1，16．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，若满足2(6)100a c --=，则这个三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形7．如图，在ABC V 中，BA BC =，120ABC ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点E ，BC 的垂直平分线交AC 于点N 交BC 于点F ，连接BM ，BN ，若24AC =，则BMN △的周长是（）A ．36B ．24C ．18D ．168．如图，在ABC V 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，与BC 交于点E ，分别以点E ，C 为圆心，大于12EC 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若45B ∠=︒，2C CAD ∠=∠，则BAC ∠的度数为（）A ．80︒B ．75︒C ．65︒D ．30°9．如图，在R △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝85，AD 平分△BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（）A ．185B ．245C ．4D ．26510．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm二、填空题 11．若等腰三角形的一个内角的度数为48°，则其顶角的度数为_____．12．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的高，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，60BAC ∠=︒，25EBC ∠=︒，则DAC ∠=_______.13．如图，△AOD 关于直线l 进行轴对称变换后得到△BOC ，那么对于（1）△DAO =△CBO ，△ADO =△BCO （2）直线l 垂直平分AB 、CD （3）△AOD 和△BOC 均是等腰三角形（4）AD =BC ，OD =OC 中不正确的是_____．14．已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分△ABC 和△ACB ，OD△BC 于D ，且OD=3，则△ABC 的面积是．三、解答题15．如图，在等边ABC V 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ．（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．16．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=1，DA=1，且△B=90°，求：(1)△BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)．17．已知如图，在△ABC 中，△B ＝45°，点D 是BC 边的中点，DE △BC 于点D ，交AB 于点E ，连接CE ．（1）求△AEC 的度数；（2）请你判断AE 、BE 、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．18．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=．以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ．（1）若120α=︒，判断OB OD +_______BD (填“>，<或=”)（2）当150α=︒，试判断AOD ∆的形状，并说明理由；（3）探究：当α=______时，AOD ∆是等腰三角形．(请直接写出答案)答案1．A2．A3．A4．A5．C6．D7．B8．B9．D10．A11．84°或48°．12．20°13．（3）14．30．15.解：（1）ABC ∆Q 是等边三角形，60B ∴∠=︒，//DE AB Q ，60EDC B ∴∠=∠=︒，EF DE ⊥Q ，90DEF ∴∠=︒，9030F EDC ∴∠=︒-∠=︒；（2）60ACB ∠=︒Q ，60EDC ∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形．3ED DC ∴==，90DEF ∠=︒Q ，30F ∠=︒，26DF DE ∴==．16.解：（1）连接AC ，如图所示：△AB=BC=1，△B=90°=又△AD=1，△ AD 2＋AC 2=3 CD 22=3即CD 2=AD 2+AC 2△△DAC=90°△AB=BC=1△△BAC=△BCA=45°△△BAD=135°；（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt△，△S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =1×1×12×12=12+ . 17.解：（1）△点D 是BC 边的中点，DE △BC ，△DE 是线段BC 的垂直平分线，△EB ＝EC ，△△ECB ＝△B ＝45°，△△AEC ＝△ECB +△B ＝90°；（2）AE 2+EB 2＝AC 2．△△AEC ＝90°，△AE 2+EC 2＝AC 2，△EB ＝EC ，△AE 2+EB 2＝AC 2．18.解：（1）=（2）ADO ∆是直角三角形．（3）α为125︒、110︒、140︒时，AOD ∆是等腰三角形。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明练习(含答案)

第一章三角形的证明一、单选题1．等腰三角形的两边长为5和10，则三角形的周长为（）A ．25或30B ．20C ．25D ．102．在等腰三角形△ABC 中，有一个角是50°，那么其它两个角是（）A ．50°和80°B ．65°和65°C ．50°和80°或65°和65°D ．以上都不对3．如图，在等边ABC V 中，角平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且3CE =，则BE 的长为（）A ．4B ．6C ．9D ．124．给出下列长度的四组线段：△1△3，4，5；△6，7，8；△a 2－1，a 2＋1，2a （a 为大于1的正整数）．其中能组成直角三角形的有（）A ．△△△B ．△△△C ．△△D ．△△△5．若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c 且满足（a+b ）（a 2+b 2﹣c 2）＝0，则△ABC 是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段6PA =，则线段PB 的长度为（）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，在Rt△ABC 中，△ABC ＝90°，点D 是BC 边的中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画圆弧．两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：△ED△BC ；△△A ＝△EBA ；△EB 平分△AED ．一定正确的是（）A ．△△△B ．△△C ．△△D ．△△8．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°（AC ＞BC ），用尺规作图的方法作线段AD ，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，若CD ＝4，BD ＝5，则AC 的长为（）A ．6B ．9C ．12D ．159．如图，在Rt ABC V 中，90A ∠=o ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，3AD =，10BC =，则BDC V 的面积是（）A ．10?B ．15?C ．20D ．3010．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交,AB BC 于点,D E ，将BDE ∆沿直线DE 折叠，得到'B DE ∆，若','B D B E 分别交AC 于点,F G ，连接,OF OG ，则下列判断错误的是（）A ．△ADF △△CGEB ．'B FG ∆的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形'OGB F 的面积是一个定值二、填空题11．如图，在△ABC 中，AB =AC =26cm ，BC =20cm ，D 是AB 的中点，过D 作DE △AC 于E ，则DE 的长为____．12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．13．在Rt△ABC 中，△C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是_____．14．如图，△D=△C=90°，E 是DC 的中点，AE 平分△DAB ，△DEA=28°，则△ABE 的度数是__________．三、解答题15．如图所示，ABC ∆的外角平分线AE BC ∥，求证：ABC ∆为等腰三角形．16．如图所示，某公路一侧有A 、B 两个送奶站，C 为公路上一供奶站，CA 和CB 为供奶路线，现已测得AC ＝8km ，BC ＝15km ，AB ＝17km ，△1＝30°，若有一人从C 处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h ，问：多长时间后这个人距B 送奶站最近？17．已知：如图，P是△AOB平分线上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E．求证：（1）OD＝OE（2）OP是DE的垂直平分线18．如图，在Rt V ABC中，△C＝90º，BD是Rt V ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，（1）求证：点O在△BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的答案1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D11．12013cm．12．4513．8 514．28°15．证明：AE BCQ∥，DAE B∴∠=∠，EAC C∠=∠, AE∵平分DAC∠，DAE EAC∴∠=∠B C∴∠=∠,即ABC∆为等腰三角形.16.解：过B作BD△公路于D．△82+152=172，△AC2+BC2=AB2，△△ABC是直角三角形，且△ACB=90°．△△1=30°，△△BCD=180°-90°-30°=60°．在Rt△BCD中，△△BCD=60°，△△CBD=30°，△CD=12BC=12×15=7.5（km）．△7.5÷2.5=3（h），△3小时后这人距离B送奶站最近．17.解：（1）△P是△AOB平分线上的一点，△△AOP＝△BOP，△PD△OA，PE△OB，△△PDO＝△PEO＝90°，且△AOP＝△BOP，OP＝OP，△△ODP△△OEP（AAS）△OD＝OE；（2）△△ODP△△OEP，△DP＝PE，△点P在线段DE的垂直平分线上，△OD＝OE，△点O在线段DE的垂直平分线上，△OP是DE的垂直平分线．18.解：（1）过点O作OM△AB于点M△正方形OECF△OE＝EC＝CF＝OF，OE△BC于E，OF△AC于F △BD平分△ABC，OM△AB于M，OE△BC于E △OM＝OE＝OF△OM△AB于M，OE△BC于E△△AMO＝90°，△AFO＝90°△OM OF AO AO=⎧⎨=⎩△Rt△AMO△Rt△AFO△△MA0＝△FAO△点O在△BAC的平分线上(2)△Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝5，BC＝12△AB＝13△BE＝BM，AM＝AF又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE △BE＝12－OE，AF＝5－OE△BM＋AM＝AB即BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13解得OE＝2。

2018-2019学年北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元测试题(含答案)

第一章三角形的证明一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．如图2，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距()图2A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里2．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()图3A．3.5B．4.2C．5.8D．73．如图4，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是()图4A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．C，D两点关于OE所在直线对称D．O，E两点关于CD所在直线对称4．等腰三角形两边的长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为() A．12B．15C．12或15D．185．如图1，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()图1A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D6．下列命题的逆命题是真命题的是()A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a＝6，则|a|＝|6|7．如图5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()图5A．6B．5C．4D．38.如图6，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要()图6A．11cm B．234cmC．(8＋210)cm D．(7＋35)cm二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为________.10．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时，第一步应假设_____________________________________________________________________ ___．11．如图7，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为________cm.图712.如图8，在△ABC中，AB＋AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC交于点D，则△ABD的周长为________cm.13．如图9，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．图914．如图10，∠BOC＝60°，A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P 从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝________s时，△POQ是等腰三角形．图10三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB 于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．图1116．(12分)如图14，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D 从点A开始以1cm/s的速度向点C运动，点E从点C开始以2cm/s的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为t s，过点E作EF∥AC交AB 于点F.(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？(3)求证：DC＝EF.图1417．(12分)如图13，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD 为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗？请说出你的理由；(2)试说明AE∥BC.图1318．(10分)如图12，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF交AD于点O.(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．图12详解详析作者说卷角形，∴AC＝AB＝40海里．故选B.2．[答案]D3．[解析]D由作图可知射线OE是∠AOB的平分线，OC＝OD，所以△COD是等腰三角形；易证OE⊥CD，且OE平分CD，即C，D两点关于OE所在直线对称，故选项A，B，C均正确．只有选项D错误．4．[解析]B①当3为底边长时，腰长为6，可以构成三角形，此时三角形的周长为15；②当3为腰长时，其他两边长为3和6.∵3＋3＝6，∴不能构成三角形，故舍去．故选B.5．[答案]C6．[解析] C A 项，“如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＞0”的逆命题是“如果a ＋b ＞0，则a ＞0，b ＞0”，是假命题；B 项，“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”，是假命题；C 项，“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题；D 项，“若a ＝6，则|a |＝|6|”的逆命题是“若|a |＝|6|，则a ＝6”，是假命题．故选C.7．[解析]D ∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DF ＝DE ＝2.又∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，AB ＝4，∴7＝12×4×2＋12AC ×2，∴AC ＝3.故选D.8．[答案]B 9．[答案]40°[解析]因为等腰三角形的一个底角为70°，所以另外一个底角也为70°，根据三角形内角和定理，可得它的顶角为40°.10．[答案] 一个三角形中有两个角是直角[解析]用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角．11．[答案]6 12．[答案]6[解析]根据线段垂直平分线的性质定理，得BD ＝DC ，所以所求△ABD 的周长就转化为求线段AB ，AD ，DC 的和，即AB ＋AC ，所以△ABD 的周长为6cm.13．[答案]136[解析]根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知AE ＝EC .设AE ＝x ，则EC ＝x ，DE ＝3－x ，DC ＝2，在Rt △DCE 中，有22＋(3－x )2＝x 2，解得x ＝136.所以CE 的长为136. 14．[答案]103或10[解析]当点P 在OA 上，PO ＝QO 时，△POQ 是等腰三角形，如图①所示．∵PO＝AO－AP＝10－2t，OQ＝t，∴10－2t＝t，解得t＝10 3；当点P在OB上，PO＝QO时，△POQ是等腰三角形，如图②所示．∵PO＝AP－AO＝2t－10，OQ＝t，∴2t－10＝t，解得t＝10.故答案为：103或10.15．解：(1)∵∠C＝90°，∴AC⊥CD.又AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∴S△ADB ＝12AB·DE＝12×10×3＝15.16．解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm. (1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC，∴2t＝6－t，解得t＝2，∴当t为2时，△DEC为等边三角形．(2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝12DC，∴2t＝12(6－t)，解得t＝1.2；当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°，∴12CE＝DC，∴12×2t＝6－t，∴t＝3，∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形．(3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，∴BC＝12cm，∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm.∵EF∥AC，∴∠BFE＝∠A＝90°.∵∠B＝30°，∴EF＝12BE＝12(12－2t)＝(6－t)cm，∴DC＝EF.[点评] 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键．17．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.18．解：(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFD 中， ∵DE ＝DF ，AD ＝AD ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL)， ∴AE ＝AF . 又∵DE ＝DF ，∴点A ，D 都在EF 的垂直平分线上， ∴AD 垂直平分EF . (2)DO ＝14AD .证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠EAD ＝30°，∴DE ＝12AD . ∵∠EAD ＝30°，DE ⊥AB ，AD ⊥EF ， ∴∠DEO ＝30°，∴DO ＝12DE ，∴DO ＝14AD .。

北师大版八下章节综合练习及答案第一章三角形的证明(一)

北师大版八下章节综合练习及答案第一章三角形的证明（一）班级姓名一．选择题（共20小题）证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还1．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”需要添加一个条件是（）A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC2．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3．下列三角形不一定全等的是（）A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．斜边和一个角对应相等的两个直角三角形全等D．三边对应相等的两个三角形全等4．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．2B．3C．4D．55．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，若AC=10，CD=6，则点D到BC的距离是（）A．10B．8C．6D．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则△DAB的面积为（）A．12B．18C．20D．247．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（）A．AD=CD B．BE＞CD C．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD8．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB 边的长为10cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定9．如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°10．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A．70°B．45°C．36°D．30°11．等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．1512．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC 同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（）A．31°B．32°C．59°D．62°13．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条14．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．4个B．5个C．6个D．715．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8B．9C．10D．1116．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45°B．55°C．65°D．75°17．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°18．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°19．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD=1，则AC的长是（）A．3B．4C．2D．820．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3B．4.5C．1.5D．7.5二．填空题（共15小题）21．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．判定，还22．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”需要加条件．23．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC 等于．24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．25．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=．26．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5，△ABC的周长是30，则△ABD的周长是．27．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=BD，∠BAD=70°，∠DAC=°．28．若等腰三角形的两边的长分别是5cm、7cm，则它的周长为cm．29．如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C点表示数．30．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．31．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为32．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB=4，∠DBE=30°，则△EDM的面积为．33．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD=14，则BC的长为．34．在△ABC中，AB=8，AC=5，∠ABC=30°，则BC=．35．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD=°．三．解答题（共15小题）36．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．37．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．38．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，CD=3．（1）求DE的长；（2）若AC=6，BC=8，求△ADB的面积．39．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．40．△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．41．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．42．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=，∠CDE=；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．43．如图．AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC．44．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：BD=CD．45．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．46．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求∠DCB．47．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，过点C作CD⊥AB于点D．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+ =90°，∴∠A=（）．同理可证，∴∠1=．（2）点A到直线BC的距离=cm．C到直线AB的距离为线段的长度．S△ABC=×=×（填线段名称）．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．48．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．。

北师大版八下章节综合练习及答案第一章三角形的证明(二)

北师大版八下章节综合练习及答案第一章三角形的证明（二）班级姓名一．选择题（共20小题）1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO 的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3．在下列条件中，不能判定两直角三角形全等的是（）A．斜边和一锐角对应相等B．斜边上的中线和一直角边对应相等C．两边分别相等D．直角的平分线和一直角边对应相等4．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=（）A．28B．21C．14D．75．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A．四处B．三处C．两处D．一处6．如图，在△ABC中，AB=AC，DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．现有下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB、AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数有（）A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（）A．B．2C．D．48．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm9．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为（）A．168°B．158°C．128°D．118°10．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．811．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．点D是线段AC的中点D．AD=BD=BC12．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF=BD，则∠A的度数为（）A．30B．36C．45D．7213．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．8C．9D．1014．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），点D在x轴上，若在线段AB（包括两个端点）上找点P，使得点A，D，P构成等腰三角形的点P恰好只有1个．下列选项中满足上述条件的点D坐标不可以是（）A．（﹣3，0）B．（1，0）C．（5，0）D．（9，0）16．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．417．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④19．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC 于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．820．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，则BC的长等于（）A．B．2C．1D．二．填空题（共15小题）21．如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．22．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．23．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=8，则PD的长为．24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA 的距离为．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是．26．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为．27．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=AD，BD=BF，若∠EDF=42°，则∠C的度数为度．28．如图，在△ABC中，∠A=120°，∠B=40°，如果过点A的一条直线l把△ABC 分割成两个等腰三角形，直线l与BC交于点D，那么∠ADC的度数是．29．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一像限，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有；30．如图，在平面直角坐标系中，点B、A分别在x轴、y轴上，∠BAO=60°，在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则符合条件的等腰三角形ABC 有个．31．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=度．32．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=°．33．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE是度．34．如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为．35．如图，△ABC中，若∠ACB=90°，∠B=55°，D是AB的中点，则∠ACD=°．三．解答题（共15小题）36．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．37．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．38．如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；（2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．39．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．40．已知如图，在△ABC中，∠B=45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求∠AEC的度数；（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．41．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．42．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．43．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．44．求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．。

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》1有答案

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》1一、选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．132．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2B．C．D．4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．27．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．68．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED二、填空题（共7小题）9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为cm．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝cm．12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD 的长等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是．14．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是．15．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为cm．三、解答题（共1小题）16．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF＝AC．（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》1参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．故选：C．2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AM＝1.2km．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，∴MC＝AB＝AM＝1.2km．故选：D．3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2B．C．D．【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，则AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，则BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故选：D．4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2+AC2＝62+62＝72，∴BC＝6，故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°【分析】根据轴对称的性质可知∠CED＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED＝60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，∴△ACE是等边三角形，∴∠CED＝60°，∴∠B＝∠CED＝30°．故选：C．6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD 的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，∴OD＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故选：C．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD＝∠BAD＝∠B，推出AD＝BD，AD＝2CD即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，AD＝2CD，∴BD＝2CD，根据已知不能推出CD＝DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．二、填空题（共7小题）9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝5．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB又∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA＝AC＝5，故答案是：5．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为5 cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝×10＝5cm．故答案为：5．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝5cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD＝AC．【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝×10＝5cm．故答案为：5．12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD 的长等于8．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB＝2DE＝2×5＝10，∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝8．故答案为：8．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是2．【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE 中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．故答案是：2．14．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是5．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝10，所以，斜边上的中线长＝×10＝5．故答案为：5．15．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为10cm．【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【解答】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP＝AB，∵AB＝20cm，∴OP＝10cm，故答案为：10．三、解答题（共1小题）16．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF＝AC．（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝AC；（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM＝CM，然后求出CD＝AM+DM，再等量代换即可得解．【解答】（1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF＝AC；（2）解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM，∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，∴BC＝AM+DM．。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.70°2、下列定理中没有逆定理的是（）A.内错角相等，两直线平行B.直角三角形中，两锐角互余C.等腰三角形两底角相等D.相反数的绝对值相等3、如图，在矩形中，点在边上，于，若，，则线段的长是( )A.5B.4C.D.4、用10根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余，重叠和折断），这个三角形一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形5、在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG 的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.25°6、等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（）A.过顶点的直线B.底边上的高C.顶角的平分线所在的直线D.腰上的高所在的直线7、如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=20，则MN的长为（）A.2B.2.5C.3D.3.58、如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC等于（）A.40°B.45°C.30°D.35°9、如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD的值为（）A.1B.1.5C.2D.2.510、若等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角是（）A.80°B.40°C.80°或20°D.100°11、如图，已知点Q是△ABC的∠ABC和∠ACB平分线的交点，过Q作EF平行于BC交AB于E，交AC于F，AB=12，AC=18，则△AEF的周长是（）A.15B.18C.24D.3012、到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（）A.中线的交点B.角平分线的交点C.高线的交点D.三边垂直平分线的交点13、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A=25°，则∠CDB=（）A.25°B.50°C.60°D.90°14、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.60°15、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于点D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD =AC+BC；④△ADM≌BCD．正确的有（）的周长C△BCDA.①②③B.①②C.①③D.③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD 的面积是________.17、如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m 与对角线BE相交于点O，则∠AOE=________度.18、在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．19、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是________ cm2．20、如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝6cm，BC ＝12cm，AC＝10cm，DO＝3cm，那么OC的长是________cm．21、如图，∠C＝∠D＝90º，添加一个条件：________ (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．22、等腰三角形的一个内角为50°，则这个三角形的底角为________ .23、如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC=________．24、等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长是________25、如图，在四边形ABCE中，∠ABC=45°，AE=CE，连接AC，∠ACB=30°，过A作AD⊥AE交BC于D，若AD=AE，则=________。

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2018北师大版八年级下册第一章三角形证明章节习题+答案
work Information Technology Company.2020YEAR
三角形的证明
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）．
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】D
2. 如图，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是( )
A. 在∠DBC的平分线上
B. 在∠BCE的平分线上
C. 在∠BAC的平分线上
D. 在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上
【答案】D
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论中：
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；
④∠1＝∠2.
正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
4、到三角形三个顶点距离相等的点是（）
A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三条高线的交点
C. 三条边的中线的交点
D. 三条角平分线的交点
【答案】A
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（）
A. AB=2BD
B. AD⊥BC
C. AD 平分∠BAC
D. ∠B=∠C 【答案】A
6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（） A. 70° B. 20° C. 70°或20° D. 40°或140° 【答案】C
7.在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB 于点D ，若AC=6，则BD=（） A. 6 B. 3 C. 9 D. 12 【答案】C
8如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. 在AC 、BC 两边高线的交点处
B. 在AC 、BC 两边中线的交点处
C. 在∠A、∠B 两内角平分线的交点处
D. 在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处【答案】D
9.如图， OA OB ⊥， o 50BOC ∠=，OD 平分AOC ∠，则BOD ∠的度数是（）
A. o 20
B. o 30
C. o 40
D. o 50 【答案】A
10.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 【答案】A
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.等腰三角形的底角是50°，则顶角的度数为__________ 【答案】80°
12.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB 边的垂直平分线DE 交BC 于点E ，垂足为D ，AC=4cm ，CB=8cm ，△ACE 的周长是_____．
【答案】12cm
13. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点M 在AB 上，且∠ACM＝∠BAC，则CM 的长为_______．
【答案】
52
； 14.等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于__________. 【答案】15或18
15.如图，在ABC ∆中， AB AC =， 36BAC ∠=， BD 平分ABC ∠，则1∠的度数是__________．
【答案】72
16. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S
△ABD ：S
△ACD
＝3：2，则AB：AC＝_______．
【答案】3:2；
17如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE= ．
【答案】71°．
18. 等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴．
【答案】3
19.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是．
【答案】62°或118°
20.如图，已知：∠MON=30°，点A
1、A
2
、A
3
在射线ON上，点B
1
、B
2
、B
3
…在射线OM上，△A
1
B
1
A
2
、
△A
2B
2
A
3
、△A
3
B
3
A
4
…均为等边三角形，若OA
1
=a，则△A
6
B
6
A
7
的边长为．
【答案】32
【解析】
三、解答题
21. （7分）已知如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，求∠AOD的度数．
【答案】110°
22. （7分）尺规作图：如图所示，直线1l 、2l 、3l 为围绕区域A 的三条公路，为便于公路维护，需在区域A 内筹建一个公路养护处P ，要求P 到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】
23.（7分）如图，在四边形ABDC 中，∠D＝∠ABD＝90°，点O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：OC 平分∠ACD.
试题解析：过点O 作OE⊥AC，∴OE=OB 又∵点O 为BD 的中点 ∴OB=OD， ∴OE=OD， ∴OC 平分∠ACD．
24. （7分）在△ABC 中，AB=AC ，BD 是角平分线，BD=AD ，求∠A 的度数．
【答案】∠A=36°
25. （10分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，过点C 作CE∥AB 交AD 的延长线于点E ．求证：CE=AB ．
【答案】证明略．
26. （10分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．
①用含x的代数式表示∠EOF;
②求∠AOC的度数．
【答案】（1）55°；（2）①∠FOE=1
2
x;②100°．
27. （12分）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD＝∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线.
试题解析：
（1）∵OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC；
（2）∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠COP＝∠DOP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
∴点O在CD的垂直平分线上，∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，∴OP是CD的垂直平分线.。