中考试题中的数学思想方法例析_2
2021年安徽中考数学试卷分析
2021年安徽中考数学试卷分析2021年安徽省中考数学试卷分析试卷综述这几年安徽省中考数学试题题型结构总体平衡，2021年安徽省中考数学试卷八十分成150分后，考试时间为120分钟.共8大题，23个小题。
第一为题选择题（每题4分后，共10小题），第二为题填空题（每题5分共4小题），第三至八为题答疑题（每题分值8-14分后，共9小题）.2021年安徽省中考数学试题，保持前两年平稳的特点，充分体现了我省“以稳为主，稳中求变”的命题指导思想，考查全面，难易兼顾，既有利于全体考生发挥水平，也便于高一级学校对考生的选拔，是一份值得肯定的好试卷。
试卷遵循《数学课程标准》中有关评价的基本理念，充分体现以学生为本的精神，努力实现数学学科的基础性、普及性和发展性，着眼于全体学生的发展。
试卷的编制既较好地考查了学生对基础知识和基本技能的理解与掌握情况，又较好地考查了学生的数学能力，同时还注重考查学生能否结合具体情境发现问题并提出数学问题；能否从不同角度分析问题并选择恰当的方法解决问题；能否用适当的方式来表达所解决的问题。
试题紧扣双基，贴近生活和时事，既考虑到了知识的覆盖面，又突出了重点。
包括压轴题在内的23道题，没有学生感到特别“别扭”的怪题，所以被调查的老师学生多数感到今年试卷相对容易。
下面具体谈谈试题及学生答题情况与启示一、试题特征1、试卷结构科学合理:试卷没有超出《安徽省2021年中考（数学）纲要》的建议，试题设置存有一定的梯度，选择题和填空题除了最后一题较有效率之外，其它都就是常用的常规试题，答疑题的前两题也都就是最基础的化简排序和解方程。
整张试卷中“数与代数”约占到50，“空间与图形”约占到37.4，“统计数据与概率”约占到12.6.均吻合于前几年中考各部分所占到比例的平均值。
2、注重了基础知识和能力的考查:试卷中对于方程及其应用、整式和分式的化简、圆、解直角三角形、全等图形变换、统计以及函数等中考重要知识，考查的都很基础，对于大部分考生来说，没有思维障碍，应该比较得心应手。
初中数学思想详解
初中数学思想详解篇一：初中数学中的主要数学思想方法初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
例析体现整体思想方法的中考试题
１
一
１
一
１ ）‘ １ ＋
・
例 ８（ ２ ０ １ ２ 年云南 ８ ） 若口 一 ｂ ＝ １， 口 一 ｂ ＝ 了 １，
曾炳文 福建省惠安科山中学 （ ３ ６ ２ １ ０ ０ ） 筒解 将 ａ ＋ ６ ＝ ２ ，ａ — ｂ ＝ ５ 整体代入即可求值 ．
整 体 思 想 方法 是 指考 虑 数 学 问题 时 ，不 是着 眼 于 它 的 局部 特征 ，而 是 把 注 意点 和 着 眼 点放 在 问题
的整 体 结构 上 ，通 过 对 其全 面深 刻 的观 察 、思 考 ，
（ ２ ）中学 的证 明常 常涉 及对 等式 或不 等式 的证 明 ，类 似 本题 的证 明接 触 的 少 ，加 上变 量 较 多 ，考 生一 时不 知道 该 如何 证 明 ，有 的考 生 想 用抛物 线 的 定义 来证 明 ， 但又 找 不到定 点和 定直 线造 成失 分 ． 本 题 的实测 难度 值为 ０ ． ２ ５ ７ ，也 说 明这样 的设 问对考 生
．
—ｂ （ ａ — ｂ 来自ａ （ ａ － ｂ ）ａ ｂ （ ａ — ｂ ）ａ ｂ （ ａ － ｂ ）
ａ２
一
ｂ
＋ｂ
６ ｆ 一 ｂ １ ａ ｂ ’
整体代入即可求出结果为 √ ５ ．
评 析 求代 数 式 的值 大致 可分 为三 种 ：一 是直 接
带入 求值 ；二 是 间接 代 入求值 ，就是根 据 已知条件 ， 求未 知数 的值 ， 再 代 入求值 ；三是整 体代 入求 值 ． 本
例３（ ２ ０ １ ２ 年 广 州・ ２ ０ ） 已 知 ＋ ÷ ＝ （ 口 ≠ ｂ ） ，
求 一 的值 ・
从整体 上认识问题的实质 ，把一些表面上看似彼此
九年级数学难题解题思路和方法
九年级数学难题解题思路和方法1.九年级数学难题解题思路和方法篇一1.规划好答题时间在考试的时候要分配好不同题型的答题时间，对于比较难的题目可以分配更多的时间，但是也不能完全把时间花在思考难题上，要在确保简单的题都能够做正确的情况下才去把时间用在难题上。
2.先易后难进行答题先解容易的题再做难题是任何考试都可以采取的方法之一，对于初三数学考试更是如此。
对于暂时不会的题目要迅速跳过，可以先把简单的题做完之后，再回过头来解答这些难题。
不能将时间耽误在很难的题目上，尤其是最开始答题的时候，遇到难题要及时跳过。
3.认真仔细审题在考试的时候最容易出现的问题不是不知道怎么答题，而是没有看清楚题目就开始答题，这是考试丢分的主要原因。
因此，在作答的时候一定要仔细认真审题，不能不看清楚题目就开始答题。
4.拿满该得的分数拿满该得的分数是考试成功的关键之一，首先要保证基础题拿满分，把这些分数先拿到。
其次是力争中档题不丢分，在有限的时间里做好基础题，然后把中档题也完成，争取争取不丢分。
最后是争取附加题能得分，附加题是最难的部分，在做完其他题目的时候，争取在附加题是得到分数。
5.做完题后仔细检查养成做完题后再仔细检查是参加任意考试必不可少的重要环节。
做初三数学题也是如此，如果有时间的话还可以把答题内容现在草稿纸上写出来，检查完毕之后再填写到试卷上。
2.九年级数学难题解题思路和方法篇二1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
3、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想
专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
长沙中考数学命题分析
长沙中考数学命题分析长沙中考数学命题一直以注重基础、强调应用、选拔性强等特点备受。
近年来，随着教育改革的不断深化，长沙中考数学的命题趋势也在发生着变化。
本文将从命题原则、题型设计、知识点分布、难度分析等几个方面对长沙中考数学命题进行分析。
一、命题原则长沙中考数学命题严格遵循《义务教育数学课程标准》和《长沙市中考数学考试说明》的要求。
在命题过程中，注重考查学生的基础知识、基本技能和基本思想方法，同时强调数学的应用和实践能力。
命题者会充分考虑学生的认知特点和心理发展规律，让学生在考试中充分发挥自己的水平和潜力。
二、题型设计长沙中考数学题型一般包括选择题、填空题、解答题等。
其中，选择题注重考查基础知识和基本技能，填空题则更注重考查学生的计算能力和空间想象能力，解答题则主要考查学生的综合运用能力和数学思想方法。
题型设计的多样性保证了试题的覆盖面和难度层次，有利于全面考查学生的数学素养。
三、知识点分布长沙中考数学的命题内容涵盖了初中数学的所有知识点。
其中，代数、几何、概率与统计等部分占据较大的比例，而函数、方程、不等式等知识点也是重点考查内容。
知识点分布的均衡性使得考试内容既全面又突出重点，有利于引导学生全面掌握数学知识，同时提高对重点知识的理解和应用能力。
四、难度分析长沙中考数学的命题难度一般分为容易题、中等难度题和较难题三个层次。
其中，容易题占比约为70%，中等难度题占比约为20%，较难题占比约为10%。
这样的难度分布既保证了试卷的区分度，又有利于选拔出优秀的学生。
同时，命题者还会根据学生的实际情况和学科特点，适当调整各难度层次的题目比例，以更好地发挥考试的评价功能和指导作用。
五、命题趋势随着教育改革的不断深化，长沙中考数学的命题趋势也在发生着变化。
未来几年，长沙中考数学命题将更加注重以下几点：1、强化数学思想方法的考查。
命题者将更加注重考查学生的数学思维能力和问题解决能力，加强对数学思想方法的考查力度。
中考试题中的数学思想方法例析
边形、圆等初中数学的重点内容; 一条
是暗线 :通过试题重点考察初中数学常
用的思想方法。数学思想方法是数学的
生命和灵魂，是数学知识的精髓 ，是把
知识转化为能力的桥梁。随着中考改革
的深人 ，中考试题从 知识型转 到能力
型，更加突出了对数学思想力一法的考察。
一、… 粗
初中阶段常用的数学思想有: 数形
结合思想 、分类讨论思想、整体思想 、转
分析: 本题分别应用切割线定理和 勾股定理，列出方程 ，问题即得到解决。
解: 由乙B=900，可知 BC土AB. -.-BE 为0 0 的直径，
.-.CB 切0 0 于 B
-.-AC 切0 0 于点 D,
.-.CD = C B
.由'.A切B=割八线D定2 理矛一1，可得 AD2=AExAB AE
一一一一 I 一一一一止一一一上一一习一一一』一仁
b
-a
0
a
-b
图1
例 2 二次函数Y=xz+x+1 与反比
例函数 Y- 1 在同一直角坐标系中交点 X
的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析 : 如果用代数方法 ，解方程组
代人求得 :x' +x2- I=0 ，来讨论三次方程 根的个数 ，是闲难的;如果在同一直角
化思想 、方程思想 、函数思想等。
1. 数形结合思想
就是把数式 与图形结合起来 、代数
与几何结合起来 ，进行分析 、研究、解决
问题的思维策略。
例 1 已知:a>O, b<O,a+b<O，那么
下列各式中正确的是( )
A . 一h < - a < 卜< a
平实中见方法 细微处蕴思想——浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析.doc
平实中见方法细微处蕴思想——2016年浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析绍兴市柯桥区实验中学 xxx摘要：2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继续保持前几年中考命题所形成的清新风格的基础上,以创新的手法进行精心设计,与生活结合紧密,创新气息浓郁,考查层次丰富,体现数学的实用价值.尤其在当前严格规范办学行为,切实减轻学生过重学业负担,全面推进素质教育的背景之下, 试题特别重视基础的考查,能力立意，关注过程应用,渗透思想方法. 为学生水平发挥提供了广阔的空间,有利于甄别学生的思维层次和数学素养,具有较高的信度、较好的效度和恰当的区分度.这不仅有利于高一级学校选拔合格的新生,而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担都具有良好的导向作用。
关键词：中考创新试卷评析2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继承前几年中考命题整体思路的基础上，坚持立足基础，关注过程，渗透思想，突出能力，重视应用，注重创新的命题原则，突出对基础知识，基本技能和基本数学思想方法的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学应用与创新意识，涌现出大量新颖别致的特色亮点题，试题尽显新课标教学理念，对今后日常教学必将产生深远的影响。
一、创新考查角度，落实“三基”要求数学基础知识和基本技能是学好数学的基石，在不同的环境中灵活运用它们是学好数学的反映，试卷在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意让考察方式的多样化和考查角度的新颖性。
例1（第8题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．32【评析】此题运用选择题型，巧妙考察尺规作图的同时，进一步考察直角三角形性质和锐角三角函数概念的应用，要求学生在理解题意的基础上作出正确的图形，否者要顺利选出正确答案是有一定难度的，由于结合图形进行考察，这为进行抽象思维提供了方便，在一定程度上降低了考查内容的难度，就考察形式而言，如此设计，考题更具新颖性。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
中考常用的解题思想
例析中考常用的解题思想山东 李文浩 牛宝凤中考试题涉及众多知识点，覆盖面广，关系复杂，证法灵活，解决这类考题需要考生能够正确地综合运用数学解题思想和方法，以下是中考中几种常用的解题思想，供大家参考．1. 整体思想注意力和着眼力放在问题的整体上，通过研究问题整体形式和整体结构，进而作出整体处理，达到顺利解题的目的．例1、（2007，山东省滨州市）如图1所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．解：由已知可知图中每个扇形的面积不能单独求出，因为不知圆心角的度数．仔细分析可得n 个扇形的圆心角恰为n 边形的n 个外角，因此，n 个扇形的圆心角的度数和为n 边形的外角河．所以阴影部分的面积之和π.2. 化归思想化归思想是一种由陌生向熟悉转化，由未知向已知转化，又非基本问题项基本问题转化的解题策略．例2.（2007，广西）判断下列数3555 、4444、5333的大小关系是 ．思路分析：直接计算每个数显然复杂难以比较，如果将它们化归为异底数同次幂的形式，然后比较底数的大小即可解决问题．解：3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.即5333＜3555＜ 4444.3. 分类思想分类讨论是重要的数学思想，解答这类题不仅要求学生有扎实的基础知识，还要求学生具有灵活运用数学思想方法的能力．在对数学对象进行分类中寻求解答的一种解题思维方法．其目的在于克服思维的片面性，防止漏解．例3、（2007，山西）在直径为50㎝的圆中，弦AB=40㎝， 弦CD=48㎝， 且AB ∥CD. 求AB 与CD 间的距离.分析：由圆的对称性，两条弦的位置会出现两种情况．解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，OE 交CD 于点F ，∵AB ∥ CD∴OF ⊥CD连结OA 、OC（1）当AB 和CD 位于点O 的同侧时（图2），AB 与CD 间的距离 为：82425202522222222=---=---CF OC AE OA ㎝.（2）当AB 和CD 位于点O 的异侧时（图3），AB 与CD 间的距离 为：222425202522222222=-+-=-+-CF OC AE OA ㎝.∴AB 与CD 间的距离是8㎝或22㎝.4. 数形结合思想数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略．有关函数及其图像的题目，多数用数形结合思想解答．例4.（2007，浙江）如图4，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒．（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）； （2）试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值；（3）当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．解：（1）由题意可知，(03)C ，，(0)(43)M x N x -，，，， P ∴点坐标为()x x 3，3-4． （2）设NPC △的面积为S ，在NPC △中，4NC x =-，NC 边上的高为34x ，其中，04x ≤≤．221333(4)(4)(2)2882S x x x x x 3∴=-⨯=-+=--+4． S ∴的最大值为32，此时2x =． （3）延长MP 交CB 于Q ，则有PQ BC ⊥．①若NP CP =， PQ BC NQ CQ x ⊥== ，∴． 34x ∴=，43x ∴=． ②若CP CN =，则35444CN x PQ x CP x =-==，，， 516449x x x -=∴=，． ③若CN NP =，则4CN x =-．3424PQ NQ x ==- ， ， 在Rt PNQ △中，222PN NQ PQ =+．2223(4)(42)()4x x x ∴-=-+，12857x ∴=． 综上所述，43x =，或169x =，或12857x =． 5、方程思想方程思想是指对所求数学问题通过列方程（组）求解的一种解题思想，这类题目很常见．同时，方程思想也是解几何问题的重要策略．例5、（2007，广东梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．解：（1）1533(h)45604⨯==（分钟），4542> ， ∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为150.25(h)1560==（分钟）． 0.25小时另外4人步行了1.25km ，此时他们与考场的距离为15 1.2513.75-=（km ） 设汽车返回(h)t 后先步行的4人相遇，56013.75t t +=，解得 2.7513t =． 汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.75h 13． 所以用这一方案送这8人到考场共需 2.751526040.44213+⨯⨯≈<． 所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点km x 的A 处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．由A 处步行前考场需15(h)5x -， 汽车从出发点到A 处需(h)60x 先步行的4人走了5(km)60x ⨯， 设汽车返回t （h ）后与先步行的4人相遇，则有605560x t t x +=-⨯，解得11780x t =， 所以相遇点与考场的距离为112156015(km)78013x x x -+⨯=-．由相遇点坐车到考场需1(h)4390x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以先步行的4人到考场的总时间为111(h)607804390x x x ⎛⎫++-⎪⎝⎭， 先坐车的4人到考场的总时间为15(h)605x x -⎛⎫+⎪⎝⎭， 他们同时到达，则有11115607804390605x x x x x -++-=+，解得13x =． 将13x =代入上式，可得他们赶到考场所需时间为1326037605⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭（分钟）． 3742< ．∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．6、函数思想函数思想就是将数学问题中的部分量视为未知量或变量，从而将这些量同已知量在一起，共同用于分析和研究具体问题中的数量关系的一种数学思想．例6、（2007，山东济宁）某小区有一长100m ，宽80cm 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图5，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m ，不大于60m ．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．(1)设一块绿化区的长边为xm ，写出工程总造价y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)；(2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：732.13≈)图5。
中考数学复习：专题9-2 “整体思想”的主要表现形式分类例析
“整体思想”的主要表现形式分类例析【专题综述】在数学解题过程中，我们若能善于从大处着眼，由整体（或全局）入手，将一些看似彼此独立实质上又紧密相关的数学对象视为一个整体去思考与分析，常常可以摆脱常规模式的羁绊，化难为易．本文按“整体思想”的主要表现形式分类例析，供参考．【方法解读】一、整体代换例1 若x2－3x＋1＝0，则2421xx x++的值为________．分析解出x，再代入式中求值显然是不可取的．观察题设和待求式的联系，可得如下方法：点评整体运作，可以减少运算量，法一运用“逐步降次法”，法二运用“取倒数法”，看似玄妙，其实并非无中生有，都是建立在整体感知已知条件和待求式的基础上完成的．其中，法一将已知条件变形得到一些“工具式”，再调整待求式，分离出这些“工具式”，巧妙代换，达到“降次”的目的，分离“工具式”还可以采用如下方法：分离x2－3x，以－1代换；分离x2＋1，以3x代换；分离x2－3x＋1，以0代换；分离x2＋x＋1，以4x代换；分离3x，以x2＋1代换；分离1，以3x－x2代换．二、整体消元例2 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留π）．分析利用S1、a、S3共同构成小半圆，S1、b、S2共同构成大半圆，S1、a、b共同构成△ABC，可得S1＋S3＋a＝12·π·12；①S1＋S2＋b＝12·π·22；②S1＋a＋b＝12×2×4；③①＋②－③，得S1＋S2＋S3＝52π－4．点评本例借用整体消元，大大减少运算量，使问题巧妙获解．此外，还用到了方程这架通过“已知”称量“未知”的数学天平，并通过对图形合理分割，整体组合，变“不标准图形”成“标准图形”，化难为易．三、整体运算例3已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝12x上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x()(A)有最大值，最大值为9 2(B)有最大值，最大值为9(C)有最小值，最小值为9 2(D)有最小值，最小值为9分析由M(a，b)，知N（－a，b）．又M在双曲线上，则ab＝12；N在直线上，则b＝－a＋3，即a＋b＝3．于是，二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92，它有最大值，为92．点评 本例考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，分别代入对应解析式，整体运算，求得ab 和a ＋b 的值，从而构建二次函数式，开展下一步研究． 四、整体观察例4 如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为() (A) 15 (B)20(C)25 (D)30分析 整体观察图形，由折叠过程可知阴影部分图形的周长为： EA 1＋A 1D 1＋BC ＋FC ＋EB ＋D 1F ＝EA ＋AD ＋BC ＋FC ＋EB ＋DF ＝(EA ＋EB)＋AD ＋BC ＋(FC ＋DF) ＝AB ＋AD ＋BC ＋CD ＝2(AB ＋BC) ＝2(10＋5)＝30．点评 整体观察主要针对图形（或数式）的构造特征，从中发现规律，进而巧妙组合，顺利实现化归，优化思考，减化运算，本例的周长割补与组合，就源于这一点． 五、整体联想 例5 方程22221111132567129208x x x x x x x x +++=++++++++的解为_______． 分析 把原方程各分母分解因式，可得点评整体联想是在整体观察的基础上，结合问题的结构特征展开联想．“相关”、“相似”、“相近”、“因果”、“对比”等是联想的“桥梁”，善于联想可以为构造、完善图形（或数式）提供方法支撑，为转化、变更问题提供突破思路．六、整体转化例6如果三个方程x2－2kx－2k＋3＝0，x2＋（k－1）x＋k2＝0，x2＋kx－k＝0中，至少有一个方程有实根，求k的取值范围．分析分别考虑三个方程实根的情况将难以处理，而如果整体分析，从反面考虑，则问题可以顺利实现转化，设三个方程都没有实数根，则有：即当k≤－3或k≥－1时，三个方程中至少有一个方程有实根．点评对一些问题，要通过研究问题的整体形式和结构特征，变更命题，整体转化处理，达到突破问题的目的．七、整体补形例7如图3(1)，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．分析题目所给的图形很不“标准”，难以下手！考察题、图特征，就能想到通过整体“补形”来完善原图，把条件“化分散为集中”，迅速找到解题方法．如图3(2)(3)(4)(5)，易得原六边形周长为15．点评 “整体补形”，让题目呈现出“统一”、“对称”、“和谐”的特征，达到化生为熟、化繁为简、化难为易的目的． 八、整体改造例8 如果正实数a ，b ，c ，d 满足(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)c 22a d -＝a 2，求证：ab ＝cd ．分析 整体考虑题目所给条件，由(1)得到启示，如图4，可构造Rt △ABC ．由条件(2)可联想到作斜边AB 上的高CD ．借助相似三角形的知识，容易证明 a 2＝B D ·c ＝c 22a d -， 即a ，b ，c ， d 满足条件， 再把△ABC 面积算两次，可得12AB ×CD ＝12AC ×BC ， 即a b ＝cd ．点评 本例通过整体考虑，化代数问题为几何问题，利用直观的形来分析抽象的数，降低了问题的抽象程度，可谓出奇制胜． 九、整体操作例9 印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，…；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图5(1)、(2)、(3)(图中的1，16表示页码)的方法折叠，在表*中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．分析 采用整体操作的策略，把一张纸按图示方法折叠，然后按照要求先写上页码1，16，再依序写上其它页码，展开易知填法（见下表）．评注 大部分与几何体表面展开图、视图有关的抽象且不易着手的数学问题，采取整体操作的方法均较易获解，此法直观、易用．综上可见，从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、化生为熟、化难为易． 【强化训练】1.（2017四川省内江市）若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-= ． 2.（2016山东省烟台市）已知220x y x y -+++-=，则22x y -的值为． 3.（2017贵州省安顺市）已知3x y +=，6xy =，则22x y xy +的值为 ．4.（2016四川省眉山市）已知2340x x --=，则代数式24xx x --的值是（ ）A ．3B ．2C ．13 D ．125.（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==by ax ，则a ﹣b =（ ）A ．1B ．3C ． 41-D ．476.（2016宁夏）已知x ，y 满足方程组612328x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x +y 的值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．37.在直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）A.18．已知m 、n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（m 2﹣2m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值为（ ） A. ﹣5B. 5C. ﹣3D. 39. 若（x 2+ y 2-5）2=4，则x 2+ y 2=__________ 10. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组253{4115x y x y +=+=①②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形： 4105x y y ++=即()2255x y y ++=③ 把方程①带入③得： 2351y y ⨯+=∴=-， 把1y =-代入①得4x =∴，方程组的解为4{ 1x y ==-．请你解决以下问题：()1模仿小军的“整体代换”法解方程组325{9419x y x y -=-=①②()2已知x y ，满足方程组2222321247{ 2836x xy y x xy y -+=++=①②． ()i 求224x y +的值； ()ii 求112x y+的值．。
河南中考数学分析
河南中考数学分析河南中考数学一直是考生和家长们的焦点，因为它不仅是对学生数学能力的考核，也是衡量教育质量的重要指标。
本文将对河南中考数学进行深入分析，旨在帮助考生更好地了解中考数学的命题趋势和应试策略。
一、命题趋势近年来，河南中考数学的命题趋势呈现出以下特点：1、注重基础知识的考核：中考数学试题中，基础知识的考核占据了很大的比例。
命题者会围绕初中数学的核心知识点进行命题，考查学生对基础概念的理解和运用能力。
2、强调数学思维：随着教育改革的深入，河南中考数学越来越注重对学生数学思维的考查。
试题中会设置一些开放性、探究性的题目，要求学生具备分析问题、解决问题的能力。
3、与生活实际相结合：中考数学试题越来越注重与生活实际的，通过实际问题来考查学生的数学知识应用能力。
二、应试策略针对以上命题趋势，考生可以采取以下应试策略：1、夯实基础知识：考生在备考过程中，要加强对基础知识的掌握和理解。
特别是对于一些易错、易混淆的概念，更要反复巩固，确保在考试中能够准确运用。
2、培养数学思维：考生要多做习题，通过解题实践来培养自己的数学思维。
在解题过程中，要注意分析问题的方法和步骤，总结解题规律，提高自己的解题速度。
3、生活实际：考生要生活中的数学问题，学会运用所学的数学知识来解决实际问题。
这不仅有助于提高应试能力，还能够培养自己的数学兴趣。
4、合理规划时间：在考试过程中，考生要合理规划时间，根据题目的难易程度和自己的掌握情况来分配时间。
避免因为时间分配不合理而造成不必要的失分。
5、保持良好心态：中考数学虽然重要，但也不是唯一的评价标准。
考生要保持良好心态，不要因为一次成绩不理想而丧失信心。
要善于总结经验教训，不断调整自己的学习状态。
三、总结河南中考数学虽然具有一定的难度和挑战性，但只要考生掌握正确的学习方法和应试策略，就能够取得理想的成绩。
希望本文的分析能够帮助广大考生更好地应对中考数学的挑战。
河南中考数学试卷标题：桥梁工程施工工艺标准化手册桥梁工程是连接交通的重要枢纽，其质量直接关系到道路交通的安全与畅通。
2023陕西中考数学试卷分析
2023陕西中考数学试卷分析2023陕西中考数学试题命题以《新课标》理念为指导，充分贯彻《深化新时代教育评价改革总体方案》的思想，在对学生数学基础知识考察的同时，注重数学思维能力的考察，从不同角度考察学生的数学核心素养和灵活运用知识的能力，达到了对学科学业质量的全面考察的目的。
一、试卷结构分析这次试题整体结构、各题所占分值与2022年保持一致，选择题8个，填空题5个，解答题13个，共26个题目，分别涵盖了数与式、方程（组）与不等式（组）、一次函数、反比例函数、二次函数、三角形、四边形、图形的变化及统计和概率部分知识点，题目以4：3：2：1的难度分布。
二、注重基础，彰显四基从基础题型来看，1-8题选择题，9-12题填空题，14-16题计算题，17题尺规作图，18题几何证明，19-23题实际应用，这些题位上的题目所考察内容较往年没有大的改变，题目的特点是难度适中，注重考察学生的基本知识、基本技能、基本思想、以及基本活动经验，实际应用问题的提出更贴近孩子们的生活，题目设置注重创设真实情境，让孩子们更容易入手，真正体现了“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的育人理念。
三、灵活变通，突出能力从重点题型来看，第13题小几何综合难度有所提升，和往年的命题思维有所不同的是：以PM+PN=4这个唯一最小值为已知条件命制题目，意在让学生以这个奇妙的数据为突破口，分析动点的运动过程，从而解决问题，灵活性较强；第24题关于圆的综合题，题型设置和往年相比变化不大，第一小问利用圆周角定理求证两条线段相等，第二问先将要求线段进行转化，然后利用相似三角形或锐角三角函数进行求解，值得指出的是，第二问考察的知识点并不难，但利用了转化的数学思想，变通性良好，突出考察了学生分析问题、解决问题的能力；第25题的命制延续了2022年的风格，弱化二次函数与几何的综合，强化二次函数的实际应用，落地双减，有效地体现了义务教育阶段数学的基础性与应用性；第26题几何压轴综合性较高，问题的设置具有层次性、思辨性和开放性，由易到难，思维含量较高。
专题知识突破六：数学思想方法(方程思想函数思想数形结合思想)(二)
专题知识突破六数学思想方法（二）（方程思想、函数思想、数形结合思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例4 （2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．思路分析：（1）连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；（2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于据勾股定理，在Rt △OAH 中有222A H x r += ；在Rt △EAH 中由函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
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第2讲转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x，y轴于点A、C、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9．（1）求P点坐标；（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB右侧．作RT⊥x轴，•T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．分析：（1）求P点坐标，进而转化为求PB、OB的长度，P（m，n）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值．∵S△ABP=9，∴涉及AO长，应先求AO长，由于A是直线y=12x+2与x轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2，∴x=-4，∴AO=4．∴(4)2m n=9…①又∵点P（m，n）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、②得m=2，n=3，∴P（2，3）．（2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．分类讨论：①当24ba =…①又由P点求出可确定反比例函数y=6 x又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1MB +1NB的值； （2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形． （1）求m ，n ，t 的值； （2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ．（1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB·OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1·x2=1a，∴OB·OC=│x1│·│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1·x2<0），•∴OB·OC=-1a，又∵OA2=OB·OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD·FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184DF =，DF=2cm ，∴BD 2=16，∴DE=BD=4cm ． 3．（1）∵111NB MB A B MB =，即11NB MBMB =-， 得MB+NB=MB ·NB ，两边同除以MB ·NB 得1MB +1NB=1． （2）12MB ·NB=52，即MB ·NB=5， 又由（1）可知MB+NB=MB ·NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 1=52+，x 2=52-， ∵MB<NB ，∴（3）B 1MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ·cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区．5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t ，OP=1×t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12וOP ×OQ=12×t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6） （2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3， ∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6， 当x=3时，y=92≠3，∴点C不落在直线AB上．（3）△POQ∽△AOB时，①若OQ OPOB OA=，即6612t t-=，12-2t=t，∴t=4．②若OQ OPOA OB=，即6126t t-=，6-t=2t，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．考前热身训练1．（1）开口向上，P（2，-m2）．（2）设对称轴与x轴交于点C，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，∴A（-m+2，0），B（•m+2，0），∴AC=│2-（-m+2）│=m，（∵m>0）由抛物线对称性得PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2．∵∠APB=90°，∴易证AC=PC，即│m│=│-m2│，∴m1=0，m2=±1．∵m>0，∴m=1，∴△ABC的周长为．2．（1）m=-2，，（2）L1：y2L2：y=3（3）过B作BP1⊥AC于P1，则P1（32，2），过B作BP2⊥AB于P2，则P2（-2，2）．3．（1）y=1x（）．（2）（3）若△AEP∽△BEC，则AE APBE BC=，易知Rt△BAP≌Rt△CBE，BE=AP．BCAyxPO设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ，∴11t t t -=，∴，又∵0<t<1，∴t=12，即P 点存在，且AP=12．。
数学思想方法例析
即 ４ 曰・ Ｃ
２
Ａ Ｂ・ 肋＋ ＡＣ ・ Ｐ Ｅ
２ ２
理得 ： ４ ２ ＋ ｘ ＝ （ ８ － ） 解得： ＝ ３
￣ ［ １ Ｃ Ｆ ＝ Ｐ Ｄ＋ Ｐ Ｅ
总结 ： 解决 折叠问题 ， 最适用 方程思想 ， 可 以把 各线段用含未知数的代数式表示出来 ，结合勾股定 理建立方程 ， 从 而求解 ， 非常简便。
Ａ ＥＤ＝ｘ
求证 ： ４ Ｃ 。 解析 ： 延 长ＡＤＮ Ｇ， 使 ＤＧ ＝ Ａ Ｄ， 易证 。
△ Ｃ Ｄ 坌 △ Ｇ 日Ｄ． ． 。 ．
Ｃ ＨＤ． ＢＧ＝ ＡＣ．
．
Ｃ
ห้องสมุดไป่ตู้Ｄ
Ｇ＝
Ｅ＝ ＥＦ
． ‘ ． ／ ＣＡＤ＝／ ＥＦ Ａ． ＝ ＢＦＧ
／ ＿ Ｅ Ｂ Ｄ： ／ ＿ Ｅ Ｄ Ｂ ：＿ ｌ
２ Ｃ＝— ２ ／ ＿Ａ ＢＣ：／ － Ｃ：— ３
—
，
ＢＤＣ ：
Ｂ
’
．
．
Ｄ＝ 删
‘
．
．
ＢＧ＝ ＢＦ’ － ＿ ． ， ： ： Ａ Ｃ
３
，
３
：
—
—
＋—
—
：
１ ８０。 ． ：４５ 。
总结 ： 在几何证 明 中， 经常会利用 构造法 ， 构造 全 等三 角形 ， 直角三角形 ， 此题利用倍 长中线 ， 构造 全等三角形 。
四、 构 造 法
例５ 已知Ａ Ｄ为△Ａ Ｂ Ｃ 的中 线， Ｅ为４Ｃ 上一 点 ， Ｂ Ｅ 交４ Ｄ于 ， ，
Ａ Ｅ＝ＥＦ，
、
方程 思 想
例１ 如 图 ， 在 △Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＝ ＡＣ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ， Ａ Ｄ＝ Ｄ Ｅ ＝ Ｅ Ｂ， 求 厶４ 的度 数。 解 析 ：设 厶 ４ ＝ ，根 据 已 知 得
例析初中数学函数综合题解题思想和方法
例析初中数学函数综合题解题思想和方法函数是初中数学与高中数学的一个转折点，是整个中学乃至大学的一个重点内容。
函数的思想贯穿了整个中学、大学，具有极其广泛的应用价值。
因此在数学领域中占据了极为重要的位置。
函数及其图象是初中阶段核心基础知识之一，包括平面直角坐标系、函数的基础知识、一次函数、反比例函数以及二次函数的解析式及其图象、性质及应用，是中考必考内容，而且试题往往有基础题和综合题多种形式，以函数及其图象中几个知识点融合的试题，我们称它为函数综合题，是中考命题中的常见题型.历年中考中的函数综合题，除了函数及其图象的知识之外，往往还涉及方程（组）、不等式（组）及相关几何知识.注重考查代数思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分析转化思想及分类讨论思想等等数学思想和数学方法.下面，结合笔者多年来的教学经验对初中阶段常见的几类函数综合题进行分类讨论如下：1与一次函数有关的综合题例1、如图1，已知直线y=8-2x与y 轴交于点A、与x 轴交于点B, 直线y=x+b与y 轴交于点C、与x轴交于点D，两直线交于点P，且AC：CO=3：5(AO>CO).(1)求点A、B的坐标.(2)求四边形COBP的面积S.分析：本题是一次函数与几何知识的综合题.难点在第（2）小题，可以将转化为规则图形面积的和或差.解：（1）在直线y=8-2x中，令x=0，得y=8；令y=0,得x=4.∴A点坐标为（0,8），B点坐标为（4,0）.（2）∵AC：CO=3：5，AO=8，∴OC=5，AC=3，∴点C的坐标为（0,5）.把点C（0,5）代入y=x+b，得b=5. ∴y=x+5.解方程组得∴点P的坐标为（1,6）.再由y=x+5，令y=0, 得x=5. ∴D点坐标为（-5,0）.作PE⊥x轴于E，则=- =DB×PE-DO×CO=×9×6 - ×5×5 = 14.5.2 一次函数与反比例函数综合题例2、如图2，已知C、D是双曲线y=在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x 轴、y 轴于A、B两点，设C(，)、D（，），连接OC、OD（O是坐标原点）.已知∠BOC=∠AOD=,且tan=,OC=.（1）求C、D的坐标和m的值.（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC与△POD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.分析:（1）将条件tan=，OC=转化，即可求得C、D的坐标和m的值.(2) 反比例函数y=(x>0)的图象具有对称性，且∠COB=∠AOD,故猜想符合条件的P点存在.解：(1) 作CG⊥x轴，垂足为G, 作DH⊥x轴，垂足为H.∵C(，),∴CG=,OG=. ∵tan∠OCG= tan∠BOC=，即=∴. ∵ OC=,∴()2 =10,即+（3x1）2=10,=10. ∴,=3.故C（1,3）∵C在双曲线y=上，∴m=xy=3.同理，可求得D（3,1）.(2)存在.这个点就是∠COD的角平分线与双曲线y=的交点.由已知，∠COD的角平分线所在直线的解析式为y=x.解方程组得∴点P的坐标为（，）.3 一次函数与二次函数综合题例3、如图3，已知抛物线过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及抛物线对应的函数关系式.（2）求证：○1CB=CE；○2D是BE的中点.（3）若P（x,y）是该抛物线上的一个动点，则是否存在这样的点P，使得PB=PE?若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1）点B的横坐标已知，代入直线BE的解析式即可求m值；又易求点A的坐标，由抛物线过A、O、B三点可求出它的解析式.（2）求BC、CE长即可；且易证BD=DE.（3）BE的垂直平分线CD与抛物线的交点P即为所求.(点P有两个)解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，∴m=-2×(-2)-1=3. ∴B(-2,3).∵抛物线过原点O及点A，对称轴为x=2, ∴A(4,0)设抛物线解析式为y=ax(x-4),将B(-2,3) 代入，得12a=3,解得a=.∴抛物线的解析式为y=x(x-4)= -x.(2) ○1如图4，过点B作BG∥x轴，交y轴于点F，交直线x=2于点G，过点E作EH∥x轴，交y轴于点H.∵直线y=-2x-1与y轴和直线x=2分别交于点D(0，-1)、E(2，-5).∴在Rt△BCG中，BC===5，CE=5，∴CB=CE.○2在Rt△BFD和Rt△EHD中，BF=EH=2，FD=HD=4，∠BFD=∠EHD=900 ∴Rt△BFD≌Rt△EHD.∴BD=DE. ∴D是BE的中点.（3）存在.要使PB=PE,点P必在BE的垂直平分线CD上. 设直线CD的解析式为y=kx+b, 将C(2,0)、D(0,-1)代入，得方程组解得故直线CD的解析式为y=.将y=代入y=-x,得-x=，即-6x+4=0, 解得,.分别代入y=,得，.∴符合条件的点P有两个：(3+,),，）.4 反比例函数与二次函数综合题例4、已知二次函数（a≠0）的图象经过点（1,0）、（-3,0）、（0，-）三点.（1）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中作出这个函数的图象.（2）若反比例函数（x>0）的图象与二次函数（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（），落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个正整数.（3）若反比例函数（k>0,x>0）的图象与二次函数（a≠0）的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标满足2<<3,试求实数k的取值范围.分析：这道题非常注意对基础知识、基本技能的考查，已知三点求抛物线解析式、画抛物线以及画反比例函数（x>0）的图象，都是课标最基础的要求.本题对画图的要求较高，否则不能观察得到的正确位置，也会对第（3）小题的正确解答产生影响，对于第（3）小题，由函数图象或函数性质知，要使2<<3,既要同时满足=2时，又要使=3时，需构建不等式组求k的范围.解：（1）由抛物线过（1,0）、（-3,0），设抛物线解析式为=a(x-1)(x+3),将点（0，-）代入，得-3a = -,∴a=.∴二次函数的解析式为= （x-1）(x+3)=.作图象如图5.(2)在图5中作（x>0）的图象，使它与抛物线=交于点A（），由图象知1<<2,∴这两个相邻的正整数为1和2.(3)由图5知,当2<x0,x>0）中，随着x的增大而减小，因为A（）是抛物线与双曲线的交点.</x所以当时，应满足，即×，解得k>5；而当时，又必须满足，即×>,解得k<18.∴k的取值范围是5<k<="" p=""></k5 方程思想与函数思想综合题初中函数部分的教材中存在着许多表面形式或表述形式各异而本质结构相同或相近的典型实例.这种问题要求学生的思维具有很强的深刻性.例5、下面的三个问题：（１）设是方程–1=0的根，求的值；（２）已知二次函数的图象与x轴相交于点Ａ,Ｂ.求的值；（３）已知a，b为不等的两个实数，且，求a+b的值.分析：这三个问题表面上看似不同，涉及的内容也不同.对于问题１是求一元二次方程两个根的平方和；问题２涉及一元二次函数图象问题；问题３是两个实数的问题．但其本质却是相同的：即所求代数式中的两个量均是一元二次方程的两个不相等的实根.都可以用“根与系数的关系”来实现解题的目的．这种“多题一解法”的问题可以培养学生透表求里，抓住根的本质特征，敏锐认识数、形间的转化与统一，领会数学思想，深刻揭示其实质，发展了学生思维的深刻性，努力让学生的思维活跃起来.防止了思维的教条与僵化.也可以看成是把题目进行“改装”，让学生找出问题本质，然后进行规律总结，使问题得到推广，这种做法对培养学生思维的深刻性有着重要的作用.数学是思维的体操，数学思维能力在人的思维能力中有着十分重要的作用.而作为数学领域中一个最伟大的思想之一-----变量与函数的思想，对于开启和进一步培养学生的数学思维能力及品质有着举足轻重的作用.。
数学方程思想方法例析
数学方程思想方法例析作者：瞿峰来源：《学生之友·中考月刊》2013年第08期数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法. 求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.这里对方程思想举例予以说明，以供同学们学习参考应用.例1 如下图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，其中∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度数.【分析】要求∠ADB 及∠BCE 度数，依条件知∠DBC= ∠DBA= ∠DAB. 采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系，所以设∠DBA 为 x. 设元后，再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程 .【解答】在△ABC 中，由于BD 平分∠ABC ，∴∠DBC= ∠DBA.又∠DBA= ∠DAB ，设∠DBA=x ，那么∠DBC= ∠DAB=x.∵∠ACB=78°，∴ x+2x+78° =180°，解得 x=34°.∴∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-2x=112° .在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，∴∠CEB=90° .∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=180°-2x-90° =22° .故∠ADB=112°，∠BCE=22° .【评析】这是角平分线性质与方程的结合解题，是方程思想在几何中的应用，用方程的思想，这类问题变得简单明了。
例2 等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°，求它的顶角的度数.【分析】这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.【解答】解：方法一，设这个等腰三角形的顶角为x，根据同一三角形中等边对等角，则它的一个底角为（180-x）°，这个顶角的外角为（180-x）°，底角的外角为[180-（180-x）]°.由题意可得：（180-x）+[180-（180-x）]=245∴180-x+180-90+x=245∴-x=245-270∴x=50答：这个三角形顶角为50°.解：方法二，设顶角为x，底角为y，顶角外角为（180-x）°，底角外角为（180-y）°.由三角形内角和定理可得：x+2y=180由题意可得：（180-x）+（180-y）=245，∴x+y=115，∴x+2y=180x+y=115解方程组得 x=50y=65答：这个三角形顶角为50°.【评析】方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求的未知量，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.例3如图，△ABC是等腰三角形，分别向△ABC 外作等边△ADB 和等边△ACE，若∠DAE=∠DBC，求△ABC三个内角的大小.【分析】先利用∠DAE=∠DBC求出∠BAC与∠ABC之间的关系，再利用内角和定理求出它们的大小.【解答】在△ADB 和△ACE等边三角形中，∴∠DAE=60°+∠BAC+60°，又∠DBC=60°+∠ABC并且∠DAE=∠DBC，∴120°+∠BAC=60°+∠ABC即∠ABC=60°+∠BAC，又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°+∠BAC，设∠BAC=x，则x+2（x+60）=180，解得x=20.即△ABC三个内角的大小分别为20°， 80°， 80°.【评析】本题是几何与代数的综合题，先利用几何的等量关系，再列出方程求解.方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想.几何计算、几何证明也常通过方程解决.例4 已知一次函数的图象经过A（-2，-3）、B（1，3）两点.求这个一次函数的解析式.【分析】关键是要确定x与y的函数解析式，而确定函数解析式的关键在于确定系数k，而系数的确定就需要借助于解关于的方程.【解答】设这个一次函数的解析式为y=kx+b.∵一次函数的图象经过点A（-2，-3）、B（1，3），∴-2k+b=-3k+b=3.解得k=2b=1.∴这个一次函数的解析式为y=2x+1.【评析】这是一个用“待定系数法”解决的函数题，是方程思想在代数中的应用.总之，在初中数学的学习中，要善于总结归纳，强化方程思想，感受用方程解决问题的优势，逐步培养和提高自己用方程思想解决问题的能力.（作者单位：山东临沂临港经济开发区临港一中）。
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中考试题中的数学思想方法例析山东省临沭县第一初级中学 刘金广分析近几年的中考试题，不难看出,中考命题都遵循着两条线:一条是明线：以选择题、填空题、解答题等外在形式考察数、式、方程、函数、三角形、四边形、圆等初中数学的重点内容；一条是暗线：通过试题重点考察初中数学常用的思想方法。
数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。
随中考改革的深入,中考试题从知识型转到能力型，更加突出了对数学思想方法的考察。
一、数学思想 初中阶段常用的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想、方程思想、函数思想等。
1、数形结合思想 就是把数式与图形结合起来、代数与几何结合起来，进行分析、研究、解决问题的思维策略。
例1 已知：a>0,b<0,a+b<0,那么下列各式中正确的是（ ） Ａ -b<-a<b<a Ｂ -a<b<a<-bＣ b<-a<-b<a Ｄ b<-a<a<-b分析：本题考察数的大小比较，灵活性强,用代数的方法思考，极易出错；若借助数轴，利用图形，则一目了然。
解：根据a>o,b<0,a+b<0,易在数轴上标出a 、b 的位置(如图),再标出-a 、-b 的位置，显然有b<-a<a<-b.故应选D.例2 二次函数y=x 2+x+1与反比例函数y= 在同一直角坐标系中交点的个数是( )A 0B 1C 2D 3分析:如果用代数方法，解方程组代入求得:x 3+x 2-1=0,来讨论三次方程根的个数,是困难的 ；如果在同一直角坐标系中,分别作出y=x 2+x+1和y= 的草图(如图2),容易看到:两曲线只1x b 1x有一个交点,故应选B2、分类讨论思想数学中的分类讨论就是把研究的对象所可能出现的情况不重复、无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答。
例3 某单位计划5月份组织员工到H 地旅游，人数估计在10-25人之间。
甲、乙两旅行社的服务质量相同，且价格都是每人200元。
该单位联系时，甲旅行社表示可予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。
问该单位应怎样选择，使其支付的旅游费用较少？分析：本例是市场决策型分类，具有时代特色，解决此题的关键是以到H 地旅游人数为标准，分为三种情况逐一讨论。
解：设该单位到H 地旅游人数为x 人，选择甲旅行社所需费用为y 1元，选择乙旅行社所需费用为y 2元，则有y 1=200×0.75x,即y 1=150x;y 2=200×0.8(x-1)，即y 2=160x-160.（1）若y 1＝y 2，解得x=16；（2）若y 1＞y 2,解得x<16;（3）若y 1＜y 2,解得x>16.所以，当人数为16人时，选择甲或乙旅行社所付费用一样多，即可任选其一 ；当人数在17---25人之间时，选择甲旅行社所需费用较少；当人数在10---15人之间时，选择乙旅行社所需费用较少。
3、转化思想数学解题 的过程实际就是转化的过程,换句话说,解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程,通过对条件的转化,结论的转化,使问题化难为易,化生为熟,最终求得问题的x 2+x +11x解答.例4 如图,某小区规划在一个长40米,宽26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求小路的宽度.分析:若从总面积中减去各条小路的面积,计算较繁,且因有重合部分,极易出错;不妨把各条小路平移到边上,把各小块草坪转化为一大块草坪去思考,问题就易解决了.把不规则图形转化为规则图形,是解决本题的 关键.解:设小路宽为x米,可得(40－2x)(26-x)＝144×6, 解得x ＝2答:略. 4、方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解 的 一种思维方法，中考试题中用方程思想求解的题目随处可见。
同时，方程思想也是解几何计算题的重要策略。
例5 如图，已知在ABC 中，∠B=90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与D ，⊥AB.∴CB 切⊙O 于B∵AC 切⊙O 于点D,∴CD=CB由切割线定理,可得AD 2=AE ×ABAD 2AE = 221= 4 A B C D E O∴AB=设CD=x,则AC=x+2,由勾股定理,可得AC 2=AB 2+BC 2即(x+2)2=42+x 2,化简,整理并解之,得CD=x=3.5.函数思想函数思想就是用运动、变化的观点来观察、分析问题，并借助函数关系思考解决问题。
例6 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图1)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高。
（精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)分析:将问题转化为二次函数进行研究,建立适当的坐标系,确定函数解析式,再求函数值.解:以大门所在平面与地面的交线为x 轴,以大门的对称轴为y 轴,建立直角坐标系(如图2),则A(-4,0)、B （4，0）、C （3，4）、D （-3，4）.设函数解析式为y=a(x+4)(x-4).∵C(3,4)在抛物线上,∴4=a(3+4)(3-4), ∴a= - ,∴ y= - (x+4)(x-4).∵门高即为函数的顶点的纵坐标,如图顶点(0,y),∴当x=0时,y= - (0+4)(0-4)= ≈9.1(米) 6、整体思想 按常规求某一未知量不易时，可打破常规，由题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
8(x 2+++2x )x 2-1+3(x 2-1)x 2+2x = 11474747647x +2y = 1, ①2x -3y = 2. ②2x + 4y -12 +6x -9y4例7 已知方程组 求 的值 。
分析:此题若从方程组中解出的值再代入代数式求值.解答比较麻烦.若注意到所求代数式与方程的关系,用整体法求解将比较简便. 解:把方程①×2,②×3得2x+4y=2, 6x-9y=6 整体代入得原式= 二、 数学方法 初中数学常用的数学方法有:换元法、配方法、参数法、特殊值法、待定系数法等。
1、换元法就是用新元代替旧元,通过变量代换创造条件，化难为易，化繁为简,使问题得到解决。
例8 解方程 + =11分析：此题如果用去分母的方法，所得的整式方程为：8(x 2+2x)2+3(x 2-1)2=11(x 2-1)(x 2+2)展开整理后，一则很繁，再则不是二次方程，难以解决；仔细观察，可以看出方程左边两个分式中的 与 互为倒数，根据这一特点，可以用换元法来解。
解:设 =y,那么 = ,于是原方程变形为8y+ =11,整理得8y 2-11y+3=0,解得y 1=1,y 2= . 由 =1,解得x 1= - ;由 = ,解得x 2= - 3,x 3= - .经检验，三个都是原方程的根. ∴原方程的根是x 1= - ; x 2= - 3, x 3= - . . 2、配方法 通常是把已知式子配成完全平方，然后根据配方后的式子求出未知量。
例9 通过配方求抛物线 的对称轴和顶点坐标。
解：∴对称轴是x=4,，顶点坐标是(4, - 5).8(x 2+2x ) x 2-13(x 2-1)x 2 +2x1yx 2-1x 2 +2x x 2+2xx 2-13y 2-12 +64 = 12+32= 2x 2+2x x 2-1x 2-1x 2 +2x y =12x 2-4x +3y = 12x 2--4x + 3 = 12 (x 2-8x + 6) = 12(x 2-8x +16-10) = 12[(x -4)2-10]2 = 12(x -4)2-5381238x 2+2x x 2-1x 2+2x x 2-11512153、参数法 在解题过程中，引入新的变量，根据题设推理计算，从而获解的方法叫参数法。
参数法常用于解答涉及连等一类的题目。
例10 已知 求 的值.4、特殊值法在字母的允许值的范围内取特殊值进行解题的方法，称为特殊值法。
例11 已知 1<b<0, 0<a<1, a+b, a-b, a 2+b, a+b 2中,最大的是( ） A a+b B a-b C a 2+b D a+b 2 解：∵ 1< b<0, 0<a<1, 不妨取a=0.5,b= - 0.5, 则a+b=0, a-b=1, a+b 2=0.75, a 2+b= - 0.25, ∴最大的是 a-b ,故选B5、待定系数法先设出式子的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，称为待定系数法。
例12 已知y=y 1 +y 2, ,y 1 与x+1成 正比例，y 2与x 成反比例,且当x=1时，y=0;当x=4时，y=9,求y 与x 的函数关系式。
解：y 1与x+1成正比例,可设y 1=k 1(x+1);y 2与x 反比例,可设y 2= ;由y=y 1+y 2得y=k 1(x+1)+ ，根据题意，得解得∴y 与x 的函数关系式为y=2x - +2x 3 = y 4 = z 6,x +y -z x -y +z 解：设x 3 = y 4 = z 6= k .则x = 3k ,y = 4k ,z = 6k .原式 = 3k +4k -6k 3k -4k +6k = k 5k = 15k 1 = 2k 2 = - 42k 1+k 2 = 05k 1+k 24 = 9k 2x k 2x 4x。