北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学理试题

理科保温练习一（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I A C B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2、复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） A ．11 B ．5 C ．11- D ． 8-4、某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为15，则a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．15已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为( )A ．223 B ．5 C ．29 D ．57. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．16 B ． 12 C. 23D ． 568.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大值是（ ）A ．2B. 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.过点(2,)3π且垂直于极轴的直线的极坐标方程为10. 已知双曲线22 1 (0)y x m m-=>的一个焦点与抛物线218y x =的焦点重合，则此双曲线的离心率为 .11. 已知3(π,2π),cos ,5αα∈=则πtan()4α+= . 正视图 侧视图俯视图12. 设函数21,,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则实数a 的取值范围是13.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种. 14.如(0,A >5π(,0)124π()3f三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. (本小题满分13分)已知向量m =()B B cos 1,sin -，向量n =()0,2，且m 与n 的夹角为π3，其中A 、 B 、C 是ABC ∆的内角. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛． （Ⅰ）求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数； （Ⅱ）求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率；（Ⅲ）记ξ为抽取的3名队员中男队员人数，求ξ的分布列及数学期望.17. (本小题满分14分)已知ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值； （Ⅲ）求AG 的长．18. (本小题满分13分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心(即三角形三条高线的交点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．AHICDBFG E设函数2()(1)ln(1)f x x x bx =+++，曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为0=y . （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）证明：当0≥x 时，23()2f x x ≥； （Ⅲ）若当0≥x 时，2)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分13分)正数列}{n a 的前n 项和n S 满足：11-=+n n n a a rS ，01>=a a ，常数N r ∈. （Ⅰ）求证：n n a a -+2为定值；（Ⅱ）若数列}{n a 是一个周期数列（即存在非零常数T ，使n T n a a +=恒成立），求该数列的最小正周期；（Ⅲ）若数列}{n a 是一个各项为有理数的等差数列，求n S .理科保温练习一答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. (本小题满分13分)解：（Ⅰ） m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为π3， 12=. 整理得22cos cos 10B B --=，解得cos 1B =或1cos 2B =-.由于角B 为三角形的内角，则1cos 2B =-.则23B π=…………………………..7分 (II)由（Ⅰ）知，2=π3B ，所以π+=3A C .所以sin sin AC +=πsin sin 3A A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1sin2A A +=πsin 3A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为π03A <<，所以ππ2π333A <+<. 所以πsin()3A ⎤+∈⎥⎝⎦，所以sin sin A C +⎤∈⎥⎝⎦ ………………… 13分16. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）抽取乒乓球队员的人数为215103=⨯人； 羽毛球队员的人数为11553=⨯人. ………………………………………….. 2分 （Ⅱ）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件A ，则32)(210241416=+=C C C C A P ，所以从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率为32.…………………….. 6分 （Ⅲ）ξ=0,1,2,32142211054(0)75C C P C C ξ⋅===⋅1112164243212110510522(1),75C C C C C P C C C C ξ⋅⋅⋅==+=⋅⋅ 2111162643212110510534(2)75C C C C C P C C C C ξ⋅⋅⋅==+=⋅⋅, (3)P ξ==21632110515C C C C ⋅=⋅.ξ的分布列为∴E ξ=012375757555⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………………………… 13分17. (本小题满分14分)解： (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ， 所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED //又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………… 4分(Ⅱ) 依题意DE DA ⊥,DE DC ⊥,AD DC ⊥.如图，以D 为原点，分别以,,DE DC DA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ，)0,1,3(F ，(0,2,0)C ，)1,0,0(H ，)2,0,2(-=，)0,1,1(=， )1,2,0(-=，)0,0,1(21==DE HI ， 设平面AGI 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，则1100EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，11110x z x y -+=⎧⎨+=⎩，令11z =，解得11x =，11y =-，则1(1,1,1)=-n设平面C H I 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，则2200CH HI ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，222200y z x -+=⎧⎨=⎩，令22z =-，解得21y =-，则2(0,1,2)=--n12cos ,<>==n n 所以二面角C GI A --的余弦值为1515…………………………… 8分 （Ⅲ）法（一）)2,1,3(-=，设)2,,3(λλλλ-==)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλ则20GH ⋅= n ，解得32=λ，3142)2(13323222=-++==AF AG 法（二）取CD 中点J ，连接AJ 交CH 于点K ，连接HJ ，HKJ ∆与CKA ∆相似，得2=KJ AK ，易证GK HI //，所以314232==AF AG …………… 14分 18. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． …………… 4分 （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQM 的垂心，AB设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(M ，)0,1(F ，故1=PQ k ． 于是设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ， 且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意应有0=⋅，又1122(,1),(1,)MP x y FQ x y =-=-，故0)1()1(1221=-+-y y x x ，得0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ． 即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．整理得0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．…………… 13分 19. (本小题满分14分) 解：(Ⅰ) 定义域为(1,)-+∞，()2(1)ln(1)(1)f x x x x b '=+++++，(0)10f b '=+=，1-=b ． …………… 3分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设223()(1)ln(1)2g x x x x x =++--，)0(≥x ，()2(1)ln(1)2g x x x x '=++- (())2ln(1)0g x x ''=+≥，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ．∴23()2f x x ≥． …………… 8分 （Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=， ①当23≤m 时，由（Ⅱ），22223()(1)ln(1)(1)ln(1)02h x x x x mx x x x x =++--≥++--≥ 2)(mx x f ≥恒成立．②当23>m 时，()2(1)ln(1)22(1)ln(1)(12)h x x x x mx x x m x '=+++-=++--， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m ex ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立． 综上，23≤m ． …………… 14分 20．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）证明：11-=+n n n a a rS （1），1211-=+++n n n a a rS （2）（2）－（1）：)(211n n n n a a a ra -=+++，∵0>n a ∴r a a n n =-+2（Ⅱ）计算1,12-==aa ra n ，∴ar a ar a 112+=+=根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：,13,2,12,,1,ar r a a r r a a r a +++++当0>r 时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，所以0=r 时，写出数列的前几项： ,1,,1,,1,,1,aa a a a a a a所以当0>a 且1≠a 时，该数列的周期是2，当1=a 时，该数列的周期是1，（Ⅲ）因为数列}{n a 是一个有理数等差数列，所以)1(2a r r a a +=++化简0222=--ar a ，4162r r a ++=是有理数.设2216k r =+，r ，k 均是非负整数0=r 时，nS a a n n ===,1,10≠r 时448216))((⨯=⨯==+-r k r k 可以分解成8组，其中只有⎩⎨⎧==53k r ，符合要求，此时2=a ，4)53(,213+=+=n n S n a n n 解法二a n na a n 1--= 因为数列}{n a 是一个有理等差数列，)1(2a a r -=N ∈，得n S a r a n n ====,1,0,1 或4)53(,213,3,2+=+===n n S n a r a n n11。