中考数学难题整理
中考数学二次函数知识点难题
中考数学二次函数知识点难题在中考数学中，二次函数一直是重点和难点，很多同学在面对二次函数相关的难题时常常感到头疼。
接下来，让我们一起深入探讨一些常见且具有挑战性的二次函数知识点难题。
一、二次函数的图像和性质二次函数的图像是一条抛物线，其一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其中，a 决定了抛物线的开口方向和大小。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
对称轴的公式为 x ＝ b ／ 2a。
顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／4a）。
例如，给定一个二次函数 y ＝ 2x² 4x 1，首先求出对称轴 x ＝（－4) ／（2×2) ＝ 1。
再将 x ＝ 1 代入函数，求出顶点纵坐标为 2×1² 4×1 1 ＝－3，所以顶点坐标为（1, －3)。
对于这类问题，常常会要求我们根据给定的条件确定函数的图像特征，或者根据图像特征求出函数的表达式。
二、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 与一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 有着密切的联系。
当抛物线与 x 轴有两个交点时，对应的一元二次方程有两个不同的实数根；当抛物线与 x 轴有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相同的实数根（即判别式Δ ＝ b² 4ac ＝ 0）；当抛物线与 x 轴没有交点时，对应的一元二次方程没有实数根（即Δ ＜ 0）。
例如，已知二次函数 y ＝ x² 2x 3，令 y ＝ 0，得到 x² 2x 3 ＝ 0，因式分解为（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0，解得 x₁＝ 3，x₂＝－1，所以抛物线与 x 轴的交点为（3, 0) 和（－1, 0)。
这类问题可能会要求我们求出抛物线与 x 轴的交点坐标，或者根据交点情况判断方程根的情况。
初中中考数学难题
初中中考数学难题1. 几何题：例如，已知一个等边三角形ABC，边长为6cm，点D是BC边的中点，连接AD并延长到E，使得AE=AB，求三角形ADE的面积。
解答，首先，连接AC和BE，得到一个平行四边形ABEC。
由于AE=AB，所以AEBC是一个菱形，且AC是对角线。
又因为AC是等边三角形ABC的边长，所以AC=6cm。
根据菱形的性质，对角线的垂直平分线相交于菱形的顶点，所以AD是AC的垂直平分线。
因此，三角形ADE是一个直角三角形，且AD=3cm，DE=6cm。
根据直角三角形的面积公式，三角形ADE的面积为(1/2) AD DE = (1/2) 3cm 6cm = 9cm²。
2. 代数题：例如：已知方程组：2x + y = 7。
3x 2y = 4。
求解x和y的值。
解答，可以使用消元法或代入法来解这个方程组。
首先，将第一个方程的系数乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程的系数乘以3，得到9x 6y = 12。
将这两个方程相加，消去y的项，得到13x = 26，即x = 2。
将x的值代入第一个方程，得到22 + y = 7，解得y = 3。
所以，方程组的解为x = 2，y = 3。
3. 概率题：例如，一个标准的扑克牌中，从中随机抽取5张牌，求抽到一对（即两张点数相同的牌）的概率。
解答，首先计算一副扑克牌中一对的可能情况。
有13种点数，对于每种点数，有4张牌。
所以一对的可能情况有13（C(4,2)）= 78种。
接下来计算抽取5张牌的总的可能情况。
一副扑克牌中共有52张牌，抽取5张的组合数为C(52,5) = 2598960。
所以，抽到一对的概率为78/2598960，约为0.00003。
以上是我从几个不同的角度给出的初中中考数学难题的例子和解答。
希望能对你有所帮助。
中考数学经典难题集锦
中考数学经典难题集锦经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD±AB, EF±AB, EG±CO.求证：CD=GF.（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，N PAD=N PDA=150.3、4、求证：^PBC是正三角形.（初二）如图，C%求证：已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA「BB「DD1的中点.四边形A2B2c2D2是正方形.（初二）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC, M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC 的延长线交MN于E、F.求证：N DEN=N F.经典难题（二）中考数学经典难题集锦1、已知：448。
中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM L BC于M.(1)求证：AH=2OM；(2)若N BAC=600,求证：AH=AO.(初二)2、设MN是圆O外一直线，过O作OA L MN于4,自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ.（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题: 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE于P、Q.求证：AP=AQ.（初二）中考数学经典难题集锦1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE 〃AC , AE =AC , AE 与CD 相交于F . 求证：CE =CF .（初二）四边形ABCD 为正方形，DE 〃AC ,且CE =CA ,直线 EC 交DA 延长线于F .3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ±AP , CF 平分N DCE .求证：PA =PF .（初二）PC 切圆O 于C , AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交 D .求证：AB =DC , BC =AD .（初三） A经典难题（四）2、如图，求证：AE =AF .（初二）4、如图 于B 、 CA DF B E1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3, PB=4, PC=5.求：N APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且N PBA=N PDA. 求证：N PAB=N PCB.（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB-CD+AD-BC= AC • BD.（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE=CF.求证：N DPA=N DPC.（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正4ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：1W L V2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA =a , PB =2a , PC =3a ,求正方形的边长.4、如图，4ABC 中，Z ABC =Z ACB =800, D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，Z N EBA =200,求N BED 的度数. 1 2.A=300,。
中考数学经典难题
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤l ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。
初中中考数学真题难题汇编勾股定理
第七章勾股定理第一节勾股定理及其逆定理1.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M 三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DA M，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．2.（2016黄冈）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG=CHA E DGHB F C（第17题）【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。
初三上册数学必考难题
初三上册数学必考难题有很多，其中包括：
1. 相似三角形的应用：相似三角形是初三数学的重点之一，也是中考的必考内容。
学生需要掌握相似三角形的性质、判定方法和应用，能够解决一些综合性问题。
2. 锐角三角函数：锐角三角函数是初三数学的重要知识点，也是中考的必考内容。
学生需要掌握正弦、余弦、正切
等三角函数的定义、性质和计算方法，能够解决一些与三角
形相关的问题。
3. 二次函数：二次函数是初三数学的重要知识点，也是
中考的必考内容。
学生需要掌握二次函数的性质、开口方向、顶点和对称轴等，能够解决一些与二次函数相关的问题。
4. 圆的有关性质：圆的有关性质是初三数学的重要知识点，也是中考的必考内容。
学生需要掌握圆的半径、直径、
周长、面积等计算方法，以及与圆相关的定理和性质。
5. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系是初三数
学的重要知识点，也是中考的必考内容。
学生需要掌握直线
与圆的位置关系的判定方法和应用，能够解决一些综合性问题。
以上是初三上册数学的一些必考难题，学生需要认真学习
和掌握这些知识点，以便在考试中取得好成绩。
同时，学生
还需要多做一些练习题，加深对知识点的理解和掌握，提高
解题能力和思维水平。
中考数学经典难题集锦
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：1≤L ＜中考数学经典难题集锦2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。
九年级数学难题精选(有答案)
一、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN'上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=（-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+∴面积的最大值为．二、已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连结AD、BD、BE。
初中数学 中考数学经典难题
初中数学中考数学经典难题1. 引言中考是初中学生在数学学科中的重要考试，具有很高的挑战性。
在中考数学中，经典难题是考生必须要面对的。
这些难题既考察了学生的思维逻辑能力，又考察了他们对数学知识的掌握程度。
本文将介绍一些中考数学的经典难题，并提供答案和解析，帮助学生更好地应对这些难题。
2. 题目1：直角三角形的性质题目：已知直角三角形ABC，∠B=90°，AC=5cm，BC=12cm，求∠A和∠C的大小。
解析：根据直角三角形的性质，∠A + ∠C = 90°。
我们可以通过三角形的正弦定理求解此题。
根据正弦定理，我们有：sin(∠A) = AC / BC = 5 / 12所以，∠A = arcsin(5 / 12) ≈ 23.6°根据∠A + ∠C = 90°，我们可以得出，∠C = 90° - ∠A ≈ 66.4°所以，∠A ≈ 23.6°，∠C ≈ 66.4°3. 题目2：解线性方程组题目：解方程组： 2x + 3y = 8 3x - 2y = 5解析：我们可以使用消元法或代入法来解决此题。
让我们使用代入法来解决它。
我们可以将第一个方程写为x = (8 - 3y) / 2，并将其代入第二个方程中。
3(8 - 3y) / 2 - 2y = 5解方程得到：24 - 9y - 4y = 10-13y = -14y = 14 / 13 ≈ 1.08将y的值代入第一个方程中，解出x：2x = 8 - 3(1.08)2x ≈ 4.76x ≈ 2.38所以，方程组的解为x ≈ 2.38，y ≈ 1.08。
4. 题目3：三角形的面积计算题目：已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，∠B = 60°，求三角形ABC的面积。
解析：我们可以使用正弦定理来求解三角形的面积。
根据正弦定理，我们有：sin(∠A) / AB = sin(∠B) / BCsin(∠A) / 5 = sin(60°) / 8sin(∠A) = 5 * sin(60°) / 8sin(∠A) ≈ 0.72由此，我们可以解出∠A ≈ arcsin(0.72) ≈ 46.3°所以，三角形ABC的面积为(1 / 2) * AB * BC * sin(∠B) = (1 / 2) * 5 * 8 * sin(60°) ≈ 17.32cm²5. 题目4：平方根的求解题目：求解方程x² + 5x + 4 = 0的解。
中考数学二次函数知识点难题
中考数学二次函数知识点难题关键信息项1、二次函数的定义与表达式一般式：＿___________________________顶点式：＿___________________________交点式：＿___________________________2、二次函数的图象与性质开口方向：＿___________________________对称轴：＿___________________________顶点坐标：＿___________________________增减性：＿___________________________3、二次函数与一元二次方程的关系根的判别式：＿___________________________交点坐标：＿___________________________4、二次函数的最值问题顶点处取得最值的条件：＿___________________________给定区间内的最值求解方法：＿___________________________5、二次函数的实际应用问题常见的实际应用场景：＿___________________________解题思路与步骤：＿___________________________11 二次函数的定义二次函数是形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的函数。
其中，a 决定了函数图象的开口方向和大小，b 决定了对称轴的位置，c 是函数图象与 y 轴的交点纵坐标。
111 一般式一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），它是最常见的二次函数表达式形式。
通过给定 a、b、c 的值，可以确定函数的图象和性质。
112 顶点式顶点式为 y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中（h，k）为函数图象的顶点坐标。
顶点式可以直接看出函数的顶点，对于求解函数的最值等问题非常方便。
113 交点式交点式为 y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁和 x₂是函数图象与 x 轴交点的横坐标。
初中数学计算题难题
初中数学计算题难题一、实数计算题1．计算：102010)51()5(97)1(-+-⨯+---π．2．计算：1021()2)(2)3---3. 计算：001)2(60cos 2)21(4π-+-+-．4.计算： 00145tan )21(4)31(--++--5.计算：12)21(30tan 3)21(01+-+︒---；6.计算: |2-|o 2o 12sin30((tan 45)-+-+;7、计算：1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°． 8、计算：︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--30tan 33120102310．9、计算：1021()2)(2)3---10、 60tan 2-—0)14.3(-π+2)21(--1221+二、中考分式化简与求值1、.25624322+-+-÷+-a a a a a 选一个使原代数式有意义的数带入求值.2、先化简22(1)11a a a a a -+÷+-，再从1，-1中选一个你认为合适的数作为a 的值代入求值。
3、先化简，再求值：22211()x y x y x y x y +÷-+-，其中1,1x y == 4、先化简，再求值： a －2a 2－4 ＋1a ＋2，其中a ＝3． 5、先化简，再求值：)11(x -÷11222-+-x x x ，其中x =2．6、先化简，再求值：（x – 1x )÷ x +1x ，其中x = 2+1．7、先化简，再求值：1112221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ．8、先化简，再求值：aa a a a -+-÷--2244)111(，其中1-=a 9、先化简，再求值：24)2122(+-÷+--x x x x ，其中34 +-=x . 10.先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题．．．意．的x 的值代入求值．三、解分式方程1、.231-=x x x 2、 x x x -=+--23123 3、2111x x x x ++=+ 4、 423-x -2-x x =21。
中考数学难题集锦
中考数学难题集锦难题一：甲、乙两个机器同时开始工作。
甲每分钟可以工作4件产品，乙每分钟可以工作6件产品。
请问，甲、乙两个机器同时工作10分钟，能生产多少件产品？解析：甲每分钟可以生产4件产品，那么在10分钟内甲可以生产4x10=40件产品。
同样地，乙每分钟可以生产6件产品，所以在10分钟内乙可以生产6x10=60件产品。
因此，甲、乙两个机器同时工作10分钟，总共可以生产40+60=100件产品。
难题二：若一个角的余弦值等于0.6，那么这个角的弧度值是多少？解析：根据三角函数的定义，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比例。
假设该角对应的直角边长为x，斜边长为1。
根据勾股定理，可得到x2+12=1，即x^2=0，所以x=0。
因此，该角的弧度值为0。
难题三：一个立方体的边长为a，体积为V，若将该立方体的体积增加到原来的8倍，边长变为原来的一半，求增加后的体积。
解析：原立方体的体积为V，边长为a。
增加后的立方体边长为a/2，体积为8V。
我们可以通过体积的公式得到方程：(a/2)3=8V。
将等式两边同时开立方，得到a3/8=8V，化简为a^3=64V。
所以，增加后的体积为64V。
难题四：某商场原价为100元的商品打六折促销，然后进行满减活动，满200元减20元。
问若购买者购买该商品2件，实际需要支付的金额是多少？解析：首先，打六折，原价100元的商品会有60元的折扣，所以每件商品的价格为100-60=40元。
购买2件商品的总价为2x40=80元。
然后，根据满减活动，若满200元减20元，则购买者需要支付的金额为总价80元-20元=60元。
难题五：若正方形的边长为x，那么它的对角线长度是多少？解析：正方形的对角线可以看作是直角三角形的斜边。
直角三角形的两条直角边分别为正方形的边长，假设为x。
根据勾股定理，可得对角线的长度为√(x2+x2)=√(2x^2)=x√2。
以上是一些中考数学的难题集锦及其解析。
这些题目涵盖了各个考点，帮助学生通过解题训练提高数学思维和解题能力。
中考数学难题汇总
C'E D C B AP D C BAGF E DCB A 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数； （2）求△'C DE 的面积．2．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°，BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长.3在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，(1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.5．已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC 、∠DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段BC 相交于点F 、E ，DF 与AE 相交于点G ． （1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．6．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD 边的垂直平分线交BC 边于点G ，且交AB 的延长线于点E ，求AE 的长.A BCD GFEDCBA7．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．EDA BC8.已知， 点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针 旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：P A =PB ；（2）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠， 请借助图2补全图形，并求OP 的长.9．（本题满分4分）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积. （3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.从上面计算中你能得到什么结论.图1TNMBPOA 图2TN M B P O AC10．（本小题满分7分） 已知：等边三角形ABC（1） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°． 试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120求证：PA+PD+PC ＞BD11．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角．(1) 当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CD AB ，大小关系是CD AB ； (2) 当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立， 证明你的结论．12．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.CB B D CBA 图①图②C'E D C B AEB CDA 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数； （2）求△'C DE 的面积． .解：(1) 过点D 作DF BC ⊥于F . ∵ AD BC , 90B ∠=︒, AD AB =, ∴ 四边形ABFD 是正方形.∴4DF BF AB === , 3FC = --------1分 在Rt DFC ∆中，2222435CD DF FC =+=+= ∴ '5C D =∵ AD FD =,90A DFC ∠=∠=︒, 'C D CD = ∴ 'AC D FCD ∆≅∆∴ 'ADC FDC ∠=∠ , '3AC FC == ----------------------------------2分 ∴ ''''90ADF ADC C DF FDC C DF C DC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵ 'C DE CDE ∠=∠ ∴ '45C DE ∠=︒-----------------------------3分 (2) 设 EC x = ， 则7BE x =- ，'C E x = ∵'3AC = ∴'1BC =在Rt 'BEC ∆中 22(7)1x x -+= 解方程，得 257x = ∴ '11255014722777C DE CDE S S EC DF ∆∆==⋅=⨯⨯== ---------------5分2．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°， BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长.解：作DF ⊥BC 于F ,EG ⊥BC 于G. …………………………1分 ∵∠A =90°，AD ∥BC ∴ 四边形ABFD 是矩形. ∵ BC =5,AD :BC =2:5.∴ AD=BF=2. ………………………………………..2分 ∴ FC=3.在Rt △DFC 中， ∵ ∠C =45°， ∴ DC=23.…………………………………………3分 在Rt △BEC 中，P D C BA∴ EC =225……………………………………………….……………………………....4分 ∴ DE =2222523=-……………………………………………………………….5分3在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ∵CP ∥AB ，∴四边形DEFC 是矩形---------------------------------------1分 ∵在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，CD=2 ∴AF=CF=12AB=3 ---------------------------------------2分 ∴EF=CD=2,DE=CF=3 --------------------------------------3分∴AE=1 --------------------------------------4分 在△ADE 中，∠AED=90°,DE =3,AE=1 ∴----------------------------5分4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，BC =2cm . (1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.解：∵AD BD ⊥, ∴︒=∠90ADB . ∵︒=∠60A ,∴︒=∠30ABD .………………………………1分 ∵AB ∥CD ,∴︒=∠=∠30CBD ABD .……………………2分 ∵BC=CD,∴︒=∠=∠30CBD CDB . ……………………3分 ∴︒=∠60ABC .ABCD FE P D CBAG F ED CB A∴ABCA∠=∠.∴梯形ABCD是等腰梯形.…………………4分∴AD=BC=2.在中，︒=∠90ADB，︒=∠30ABD，∴AB=2AD=4. ………………………………5分5．已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．：（1）在□ABCD中，AB DC∥，∴∠ADC+∠DAB=180°．DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，∴12ADF CDF ADC∠=∠=∠，12DAE BAE DAB∠=∠=∠．∴1()902ADF DAE ADC DAB∠+∠=∠+∠=︒．∴90AGD∠=︒．∴AE⊥DF．…………………………………………………………………2分（2）过点D作DH AE∥，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．∴DH=AE=4，EH=AD=10.在□ABCD中，AD BC∥，∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．∴DC=FC，AB=EB．在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4．∴FE=BE－BF=6－4=2．…………………………………………………3分∴FH= FE+EH= 12．………………………………………………………4分6．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.解：联结DG………………………………………1分∵EF是CD的垂直平分线∴DG=CG………………………………………2分GFEDCBAHGF EDCBA∴∠GDC =∠C , 且∠C =45° ∴∠DGC=90°∵AD ∥BC,∠A=90° ∴∠ABC=90°∴四边形ABGD 是矩形………………………………………3分 ∴BG=AD=8∴∠FGC =∠BGE =∠E= 45°∴BE=BG=8 ………………………………………4分 ∴AE=AB+BE=12+8=20………………………………………5分7．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．E：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1分在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE=3. …………………………………… 2分 在矩形ABCD 中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3分 设FC=x ，则EF=4-x.在Rt △CEF 中，()22242x x -=+. .…………………………………………… 4分 解得23=x . ………5分 即FC=23.8.已知， 点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针 旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：P A =PB ；（2）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠， 请借助图2补全图形，并求OP 的长.N图2B（1）在OB 上截取OD =OA ，连接PD ，∵OP 平分∠MON ， ∴∠MOP =∠NOP ． 又∵OA =OD ，OP =OP ，∴△AO P ≌△DO P ． ……………1分 ∴P A =PD ，∠1=∠2．∵∠APB +∠MON =180°， ∴∠1+∠3=180°． ∵∠2+∠4=180°， ∴∠3=∠4． ∴PD =PB ．∴P A =PB ． …………… 2分 （2）作BE ⊥OP 交OP 于E ，∵∠AOB =600，且OP 平分∠MON ， ∴∠1=∠2=30°．∵∠AOB +∠APB =180°， ∴∠APB =120°． ∵P A =PB ，∴∠5=∠6=30°． ∵∠3+∠4=∠7，∴∠3+∠4=∠7=(180°-30°)÷2=75°． ∵在Rt △OBE 中，∠3=600，OB =2∴∠4=150，OE =3，BE =1 ∴∠4+∠5=450，∴在Rt △BPE 中，EP =BE =1∴OP =13+ …………… 8分9．（本题满分4分）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积. （3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.7612435ECAOPBM NTD 1234AO PBMNT（1）92 92………………………（2分） （2）22a …………（2分）结论是：三角形DBF 的面积的大小只与a 有关， 与b 无关. （没写结论也不扣分）从上面计算中你能得到什么结论.10．（本小题满分7分） 已知：等边三角形ABC（2） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°． 试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC ＞BD猜想：AP=BP+PC ------------------------------1分 （1）证明：延长BP 至E ，使PE=PC ，联结CE ∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC ∴△CPE 为等边三角形∴CP=PE=CE ，∠PCE=60° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC ，∠BCA=60°CB CB P DB ∴∠ACB=∠PCE ，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE∴△ACP ≌△BCE∴AP=BE --------------------------------- ------------------------------------------2分 ∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC ------------------------------------ ---------------------------------------- 3分（2）方法一：在AD 外侧作等边△AB ′D ---------------------------------------------------------- 4分 则点P 在三角形ADB ′外∵∠APD=120°∴由（1）得PB ′=AP+PD 在△PB ′C 中，有PB ′+PC ＞CB ′，∴PA+PD+PC ＞CB ′ ∵△AB ′D 、△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB ，AB ′=AD ，∠BAC=∠DA B ′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB ′+∠CAD即：∠BAD=∠CAB ′ ∴△AB ′C ≌△ADB∴C B ′=BD ------------------------------------------------------------------------ 6分 ∴PA+PD+PC ＞BD ------------------------------------------------------------------------- 7分方法二：延长DP 到M 使PM=PA ，联结AM 、BM ∵∠APD=120°，∴△APM 是等边三角形， -----------------------------4分∴AM=AP ，∠PAM=60° ∴DM=PD+PA ------------------------------5分∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ，∠BAC=60° ∴△AMB ≌△APC∴BM=PC ---------------------------------------------------------------------------------6分 在△BDM 中，有DM + BM ＞BD ，∴PA+PD+PC ＞BD ----------------------------------------------------------------------------7分11．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角．(3) 当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CD AB ，大小关系是CD AB ； (4) 当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立， 证明你的结论．）答：如图1，D CBA M P D CB ACD ∥AB ，C D <A B ． …………2分（2）答：C D <A B 还成立． …………3分证法1：如图2，分别过点D 、B 作BC 、C D 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DCBF 为平行四边形．∴.,FB DC BC FD ==∵ AD =B C ，∴ AD =FD ． …………4分 作∠ADF 的平分线交A B 于G 点，连结GF ． ∴ ∠ADG =∠FDG ． 在△ADG 和△FDG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DG DG FDG ADG FD AD ∴ △ADG ≌△FDG ．∴ AG =FG ． …………5分 ∵在△BFG 中，BF BG FG >+．∴ .DC BG AG >+ …………6分 ∴ DC <A B ． …………7分证法2：如图3，分别过点D 、B 作A B 、AD 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DABF 为平行四边形．∴ .,BF AD AB DF ==∵ A D =B C ， ∴ B C =BF ．作∠CBF 的平分线交DF 于G 点，连结C G ． 以下同证法112．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.MECBAD解：(1)BD=2BM. ……………………………………………………………………………2分图①图②NMDECABABCD E F(2)结论成立.证明:连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ， 可证得△MDE ≌△MFC.………………………………… 3分 ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC.作AN ⊥EC 于点N. 由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°， 可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分 ∵CF ∥ED ，∴∠1=∠FCM.∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF ≌△BAD. …………………………………………………………………………5分 ∴BF=BD ，∠5=∠6.∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.∴△DBF 是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分 ∵点M 是DF 的中点，则△BMD 是等腰直角三角形.∴BD=2BM. …………………………………7分 （说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．）13．(海淀)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AB 的长．14丰台.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.(1) 求证：四边形BECF 是菱形；(2) 当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？A DCBDC BA ABC DA B CD15．如图，梯形ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =45︒ , ∠ADC =120︒ , AD =DC , AB =22, 求BC的长.16西城．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．17.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分）DC B A图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；19崇文．（本小题满分８分）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= （用x、L表示）．20.海淀．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在ABC DEF （1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图313．(海淀)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AC 的长． 解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED =∠DEC =90°.………….……………………1分 ∵ AC ⊥AB ，∴ ∠BAC =90°. ∵ ∠B =60°,∴ ∠ACB =30°.∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC =∠ACB =30°.………….……………………2分∴ 在Rt △ADE 中，DE =12AD =3，AE =，∠ADE =60°. ….………3分 ∵ ∠ADC=105°，∴ ∠EDC =45°.∴ 在Rt △CDE 中， CE =DE =3.…………….……………………………4分∴ AC =AE +CE =3.14丰台.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.(3) 求证：四边形BECF 是菱形；BECAD FDACE FBEFCBAD ADCB ADCBEAB CDEF(4) 当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？⑴∵ EF 垂直平分BC,∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° …………………………1’又∵ ∠ACB=90°∴EF ∥AC∴E 为AB 中点， 即BE=AE ………………………………2’ ∵CF=AE ∴CF=BE∴CF=FB=BE=CE …………………………………………3’ ∴四边形是BECF 菱形. …………………………………4’ ⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF 是正方形. …………5’15．如图，梯形ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =45︒ , ∠ADC =120︒ , AD =DC , AB =22, 求BC的长.16西城．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．作AE ∥DC 交BC 于点E ，AF ⊥BC 于点F （如图2）． ······································· 1分∵AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ······················································ 2分 ∵AD=CD ，∴四边形ADCE 是菱形． ∴ AE=EC =CD=AD =4． ······················ 3分 ∴∠EAC ＝∠ACB ，∵∠B=45°，∠BAC=105°，∴∠ACB=180°－∠B －∠BAC=30°．∴∠AEB =∠EAC ＋∠ACB =60°．在Rt △AEF 中，221==AE EF ，323==EF AF ． ··························· 4分 DC B AD AB C E F 图2DC BA ABC DA B CD在Rt △ABF 中，32==BF AF ．∴BC =BF ＋EF ＋EC =326+．························································ 5分17.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分）图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠A＝∠B＝45°.以CE为一边作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF=CB，则CF=CB=AC. 图①连接DF、EF，则△CFE≌△CBE. ………………………………………………1分∴FE=BE，∠1＝∠B＝45°.∵∠DCE＝∠ECF＋∠DCF＝45°，∴∠DCA＋∠ECB＝45°.∴∠DCF＝∠DCA.∴△DCF≌△DCA. ……………………………………………………………2分∴∠2＝∠A＝45°，DF＝AD.∴∠DFE＝∠2＋∠1＝90°.∴△DFE是直角三角形.又AD=DF，EB=EF，∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形. ……………………………4分（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能如图②，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA.∴AD=DF，EF=BE.图②∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°. ……………………………………5分若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. ……………6分且顶角∠DFE为120°.19崇文．（本小题满分８分）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ． （II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN在MDN ∆与EDN ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BMAMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= 2x +L 32（用x 、L 表示）．25．怀柔如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？A B C D E F图1 图2 FE D C B AF E D C B A 图3（2）①如果AB=AC ，∠BAC≠90º，点D 在射线BC 上运动．在图4中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；②如果∠BAC=90º，AB≠AC ，点D 在射线BC 上运动．在图5中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由； 答：（3）要使（1）问中CF ⊥BC 的结论成立，试探究：△ABC 应满足的一个．．条件，（点C 、F 重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（1）①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；……1分②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，∴∠DAB=∠FAC.又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC.∴CF=BD.∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90º，AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD.……………3分（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立.②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立.……4分（3）当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图6）．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG.可证：△GAD≌△CAF∴∠ ACF=∠AGD=45º .∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD.…………………………………5分图620.海淀．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC =30︒,∠ADB =∠BEC =60︒. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；（2）如图2，若∠ABC =30︒，∠ADB =∠BEC =60︒，原问题中的其他条件不变，你在 （1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图3解: （1）DF= EF . ………………………………………………………………1分 （2）猜想：DF= FE .证明：过点D 作DG ⊥AB 于G , 则∠DGB =90︒. ∵ DA =DB , ∠ADB =60︒.∴ AG =BG , △DBA 是等边三角形. ∴ DB =BA .∵ ∠ACB =90︒ , ∠ABC =30︒,∴ AC =21AB =BG . …………………………………………………………2分 ∴ △DBG ≌△BAC .∴ DG =BC . ……………………………………………………3分 ∵ BE=EC , ∠BEC =60︒ , ∴ △EBC 是等边三角形. ∴ BC =BE , ∠CBE =60︒.∴ DG = BE , ∠ABE =∠ABC +∠CBE =90︒ . ∵ ∠DFG =∠EFB , ∠DGF =∠EBF , ∴ △DFG ≌△EFB .∴ DF= EF . ……………………………………………………4分（3）猜想：DF= FE .证法一：过点D 作DH ⊥AB 于H , 连接HC , HE , HE 交CB 于K , 则∠DHB =90︒. ∵ DA =DB ,∴ AH =BH , ∠1=∠HDB .∵ ∠ACB =90︒, ∴ HC =HB .BECAD FDACE FBEFCBAD K H BFECAD 2431∵ EB =EC , HE =HE ,∴ △HBE ≌△HCE . ……………………………5分 ∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH . ∴ HK ⊥BC .∴ ∠BKE =90︒. ……………………………6分 ∵ ∠ADB =∠BEC =2∠ABC , ∴ ∠HDB =∠BEH =∠ABC .∴ ∠DBC =∠DBH +∠ABC =∠DBH +∠HDB =90︒，∠EBH =∠EBK +∠ABC =∠EBK +∠BEK =90︒. ∴ DB //HE , DH //BE .∴ 四边形DHEB 是平行四边形.∴ DF =EF . ………………………………………………………………………7分 证法二：分别过点D 、E 作DH ⊥AB 于H , EK ⊥BC 于K , 连接HK , 则∠DHB =∠EKB =90︒.∵ ∠ACB =90︒,∴ EK //AC .∵ DA =DB , EB =EC ,∴ AH =BH , ∠1=∠HDB ,CK =BK , ∠2=∠BEK .∴ HK //AC . ∴ 点H 、K 、E 在同一条直线上. …………………5分D A CE F B H K 12。
中考数学难题题型总结归纳
中考数学难题题型总结归纳数学一直是中考考试中较为重要的科目之一，而难题题型往往是考生们最头疼的一部分。
为了帮助考生们更好地备考，以下将对中考数学中的难题题型进行总结归纳，并给出解题技巧和注意事项。
一、函数与方程题型1. 函数图像与性质分析题这类题主要考察对于函数图像和性质的分析能力。
解决这类问题的关键在于理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并能根据图像特点进行分析。
同时，注意利用函数图像的对称性质进行求解，例如关于x轴、y轴或原点的对称等。
2. 函数方程题此类题目常涉及到函数的定义与求解方程的能力。
解决这类问题的关键在于熟练灵活地运用方程的解法，并理解函数的定义、性质和方程的解集等概念。
同时，注意排除无效解和合理判断，合并相同项进行化简，避免漏解或重解。
二、空间与几何题型1. 平面几何问题平面几何问题中常见的难题包括线段、角度、面积和相似等概念的运用。
解决这类题目的关键在于几何公式的熟记和运用，灵活运用相似三角形的性质、三角形面积公式等几何知识。
同时，注意多画图、多分析、多使用已知条件，以辅助求解和验证结论。
2. 空间几何问题空间几何问题中较为困难的题目涉及到空间图形的投影、旋转、体积和相似等概念。
解决这类问题的关键在于对于空间图形的转化与分析，例如通过平行投影或旋转变换将空间问题转化为平面几何问题。
同时，注意利用几何定理和公式进行求证和求解，结合图形特点进行推理和论证。
三、概率与统计题型1. 空间与数据统计这类题目主要考察对于概率与统计的理解和应用能力。
解决这类问题的关键在于对于问题的抽象与分析，以及对于概率和统计的基本概念的掌握。
同时，注意注意读题表达准确，清晰地展示出统计数据和概率计算的过程，并运用恰当的方法进行计算和分析。
2. 概率计算题概率计算题主要考察对于概率计算公式和方法的灵活运用。
解决这类问题的关键在于理解概率的基本概念和计算方法，并能根据条件进行排列组合或条件概率等计算。
96年以来河北中考数学难题
96年以来河北中考数学难题一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1、若集合M=（r|VE<4），N=（x |3x>1），则MON =（）A.[r|0<r<2）B.（x<r<2）C.[r|3 <r<16）D.（x1<r<16）2、若i（1-=）=1，则.+3=（）A.-2B.-1C.1D.23、在AABC中，点D在边AB上，BD =2DA、记CA=m，CD=n、则CB=（）A.3m-2nB.-2m +3nC.3m + 2nD.2m +3n4、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148、5 m时，相应水面的面积为140、0km2；水位为海拔157、5 m时，相应水面的面积为180、0km2、将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148、5m上升到157、5m时，增加的水量约为（V7=2、65）（）A.1、0 x 100 m3B.1、2 x 100 m3C.1、4 x 109 m3D.1、6 x 109 m35，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/36、记函数f（z）= sin（wr+）+b（w> 0）的最小正周期为T、若〈T<x，且y=f（z）的图像关于点（、2）中心对称，则f（）=A.1B.3/2C.2/5D.3二、选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分7、已知正方体ABCD-asic，Di，则（）A.直线bcg与DA1所成的角为90°B.直线BC；与CA1所成的角为90°C.直线BC]与平面BB，DiD所成的角为45D.直线BC]与平面ABCD所成的角为45°8、已知函数f（r）=r3-r+1，则（）A.f（r）有两个极值点B.f（r）有三个零点C.点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心D.直线y=2r是曲线y=f（z）的切线9、已知0为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C:r=2py（p>0）上，过点B（0，-1）的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.OPI-JOQ > |OAD.BPI-|BQI > |BA210、已知函数f（z）及其导函数J"（z）的定义域均为R，记g（z）= f'（r）、若f（；-2r），9（2+r）均为偶函数，则（）A.f（0）=09B.g（-1）=g（2）C.f（-1）= f（4）D.g（-1）= g（2）三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分11、（1-）（z+ y）*的展开式中ry的系数为（）（用数字作答）、12、写出与圆r2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程15、若曲线y=（r+a）e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是13、已知椭圆C.+=1（a>b>0），C的上顶点为A、两个焦点为Fi，Fz，离心率为过F.且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE=6，则AADE的周长是四、解答题.本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤14、（10分）记S，为数列（an的前n项和，已知a1=1，）是公差为.的等差数列（1）求（an）的通项公式；（2）证明：=+-++<215、（12分）已知函数/（r）=e'-ar 和g（r）= ax-jnr有相同的最小值（1）求a；（2）证明.存在直线y=6，其与两条曲线y=f（r）和y= g（r）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列16、（12 分）cos A记AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知1+ sin A（1）若C=，求B；（2）求的最小值。
初三数学难题总结
初三数学难题总结1。
如图1所示,四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB,CD 的中点，且AD=BC,延长MN,AD 交与E 点，延长BC ，MN 交与F 点。
求证:∠DEN ＝∠F ．ABCDM NF E图 12。
如图2平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10,BC 边上的高AM=4,E 为BC 边上的一个动点，且不与B,C 两点重合,过E 作AB 的垂线，垂足为F ，FE 与DC 的延长线交与G ,连接DE ，DF 。
（1)求证:BE*CG=BF*CE. (2)当点E 在BC 上运动时，三角形BEF 和三角形CEG 的周长之间有什么关系？并说明理由。
(3)设BE 为x ，三角形DEF 的面积为y,求出y 与x 之间的函数关系式,并求出x 为什么值得时候，y 有最大值，最大值为多少？DCBA F MEG图 23。
在数学工具中，三角板经常用到，如图3.1所示,将三角板ABC 与三角板DEF 摆放在一起，A 与D 重合，C 与E 重合，然后将三角板DEF的一个直角顶点放在边AC上，如图3.2所示，旋转一定角度,使DE与AB边交与P，DF与AC边交与Q，若CE：AE=1:1，连接PQ，判定三角形EPQ的形状，并说明理由.A，DB C ，EFD F CAB QPE图3.1图3.24。
如图4所示,在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=1，AD=BC=5，点M,N分别在AD,BC上移动，保持MN//AB，ME垂直ＡＢ于Ｅ，ＮＦ垂直于ＡＢ于Ｆ。
（１）求梯形ＡＢＣＤ的面积.（2）求四边形MEFN面积的最大值。
（3）试判断MEFN能否为正方形，若能，求出面积，若不能，说明理由。
D CA BE FM N图 45.如图5所示，AB是半圆O上的直径，E是错误!的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F。
已知BC=8，DE=2.⑴求⊙O的半径；⑵求CF的长;⑶求tan∠BAD 的值.图56.如图图6，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证:AB ＝DC ，BC ＝AD ．图67.如图图7，已知梯形OABC ，AB ∥OC ，A （2，4),B(3,4)，C （7,0) ．点D 在线段OC 上运动（点D 不与点O 、C 重合),过点D 作x 轴的垂线交梯形的一边于点E ，以DE 为一边向左侧作正方形DEFG ，设点D 的横坐标为t ，正方形DEFG 与梯形OABC 重合部分的面积为s ． (1）直接写出线段AO 与线段BC 所在直线的解析式; (2)求s 关于t 的函数关系式，并求s 的最大值．图 7O D BFAE CP答 案 提 示1.如图，可以添加辅助线AC ，BD ，并取其中点P ，Q,连接NPMQ ，可得到菱形，MN 是对角线，平分角PNQ ，根据中位线性质，角PNM=角DEN,角QNM=角F,即证。
中考数学难题归纳
一．选择题（共3小题）1．（1998•南京）若双曲线的两个分支在第二、四象限内，则抛物线y=kx2﹣2x+k2的图象大致是图中的（ ）大致是图中的（A．B．C．D．2．如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，那么下列结论成立的是（，那么下列结论成立的是（ ）OCA B B．△OAB∽△ODA A．△OAB∽△OCA C．△BAC∽△BDA D．以上结论都不成立．以上结论都不成立3．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A．B． C．D．二．填空题（共11小题）4．（2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100 ①S=100+99+98+…+3+2+1 ②①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050 请类比以上做法，回答下列问题：请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=_________．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直的坐标为 _________．径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为6．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点，PO=8cm，∠P=30°，则AB=_________cm．7．（2000•甘肃）如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，CM ⊥MN ，BN ⊥MN ，如果AM=a ，BN=b ，那么半圆的半径是那么半圆的半径是 _________ ．8．已知双曲线y=与直线y=相交于A ，B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，﹣n ）作NC ∥x 轴交双曲线y=于点E ，交BD于点C ．若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，则直线CM 的解析式为的解析式为 _________ ．9．如图，M 为双曲线y=上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m 于D 、C 两点，若直线y=﹣x+m 与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，则AD •BC 的值为的值为 _________ ．10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，若DE=6，则EF 等于等于 _________ ．11．（2012•金山区二模）金山区二模）如图，如图，如图，已知已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果，那么=_________ ．12．如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，则BG：GH：HM=_________．13．（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为的长为 _________．14．（2013•芦淞区模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD= _________．三．解答题（共9小题）15．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．16．把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2﹣3x+5，求b，c的值．的值．17．（2003•海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，﹣3）两点．）两点．，求此抛物线的解析式；（1）若抛物线的对称轴为直线x=﹣1，求此抛物线的解析式；的取值范围；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；的值．（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．18．（2000•杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值． 19．（原创题）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．点所运动的路径长；（1）求O点所运动的路径长；围成的面积．（2）O点走过路径与直线L围成的面积．20．（2013•重庆）重庆） 已知：如图，抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的交点为A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 与抛物线交于A 、C 两点．两点．如图，的y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标．的坐标．（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上是否存在一点P ，使得△BCP 为等腰三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．标；若不存在，说明理由．（3）若点Q 在直线AC 下方的抛物线上，且S △QOC =2S △BOC ，求点Q 的坐标．的坐标．21．（2014•徐州模拟）如图，已知抛物线y=﹣x 2+2x+1﹣m 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，连接CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求m 的值；的值；（2）求∠CDE 的度数；的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（2006•锦州）如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，四边形四边形OABC 为菱形，为菱形，点点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M 、N （点M 在点N 的上方）．（1）求A 、B 两点的坐标；两点的坐标；（2）设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0≤t ≤6），试求S 与t 的函数表达式；的函数表达式；（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？23．（2007•济宁）如图，先把一矩形ABCD 纸片对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线上，得到△ABE ，过B 点折纸片使D 点叠在直线AD 上，得折痕PQ ．（1）求证：△PBE ∽△QAB ；（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；上？为什么？（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？2南京）若双曲线的两个分支在第二、四象限内，则抛物线A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的性质．分析：的符号判断抛物线的开口方向及对称轴． 根据双曲线的图象位置可知k＜0；再根据k的符号判断抛物线的开口方向及对称轴．解答：解：∵双曲线的两个分支在第二、四象限内，即k＜0，抛物线开口向下，∴抛物线开口向下，对称轴x=﹣=＜0，对称轴在y轴的左边．故选A．本题考查了反比例函数图象的性质和二次函数系数与抛物线形状的关系．点评：本题考查了反比例函数图象的性质和二次函数系数与抛物线形状的关系．A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODA C．△BAC∽△BDA D．以上结论都不成立上结论都不成立考点：相似三角形的判定．专题：常规题型．常规题型．根据已知及相似三角形的判定进行分析，从而得到答案．分析：根据已知及相似三角形的判定进行分析，从而得到答案．解答：解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x ∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ∴，，∴∴△BAC∽△BDA 故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．3．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．压轴题．专题：压轴题．分析：作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到===，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．解答：解：作DE⊥AB于点E．∵∠CBD=∠A，∴tanA=tan∠CBD====，设CD=1，则BC=2，AC=4，∴AD=AC﹣CD=3，在直角△ABC中，AB===2，在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，∵AE2+DE2=AD2，∴x2+（2x）2=9，解得：x=，则DE=，AE=．∴BE=AB﹣AE=2﹣=，∴tan∠DBA==，∴sin∠DBA=．故选：A．本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．点评：本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．n=12．考点：有理数的混合运算．压轴题；规律型．专题：压轴题；规律型．根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．分析：根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．解答：解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2+2n﹣168=0，即（n﹣12）（n+14）=0，解得n1=12，n2=﹣14（舍去）．故答案为：12．点评：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键．的坐标为 （1，3）．的坐标为考点：垂径定理；勾股定理；平行四边形的性质．计算题．专题：计算题．分析：过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=4，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而的坐标．得出OE的长，然后写出点C的坐标．解答：解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（8，0），∴CD∥OA，CD=OB=8 过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=4 过点C作CE⊥OA于点E，∵A（10，0），∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=5﹣4=1．连接MC，则MC=OA=5 ∴在Rt△CMF中，由勾股定理得∴点C的坐标为（1，3）本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．点评：本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．6．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点，PO=8cm，∠P=30°，则AB=6cm．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．的长，再解直角三角形并根据垂径定理即可求出．分析：首先作出辅助线，求出OD的长，再解直角三角形并根据垂径定理即可求出．解答：解：如图：作OD⊥AB于D，连接OB，因为∠P=30°所以OD=PO=×8=4cm 在直角三角形ODB中，BD===3cm 根据垂径定理，BD=AD，则AB=2BD=2×3=6cm．，根据垂径定理解答．点评：解答此题的关键是作出辅助线OD，根据垂径定理解答．7．（2000•甘肃）如图，AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，CM⊥MN，BN⊥MN，如果AM=a，BN=b，那么半圆的半径是 ．半圆的半径是考点：梯形中位线定理；切线的性质．分析：根据切线的性质，只需连接OC．根据切线的性质定理以及平行线等分线段定理得到梯形的中位线，再根据梯形的中位线定理进行计算即可．梯形的中位线定理进行计算即可．解答：解：连接OC，则OC⊥MN．∴OC∥AM∥BN，又OA=OB，则MC=NC．根据梯形的中位线定理，得该半圆的半径是．点评：此题主要是根据切线的性质定理和平行线等分线段定理，发现梯形的中位线，进而熟练运用梯形的中位线定理求解．定理求解．8．已知双曲线y=与直线y=相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，则直线CM的解析式为的解析式为 y=．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．动点型．专题：动点型．根据一次函数和反比例函数的性质及点的坐标和解析式的关系解答．分析：根据一次函数和反比例函数的性质及点的坐标和解析式的关系解答．解答：解：设B点坐标为（x1，﹣），代入y=x得，﹣=x1，x1=﹣2n；∴B点坐标为（﹣2n，﹣）．因为BD∥y轴，所以C点坐标为（﹣2n，﹣n）．因为四边形ODCN的面积为2n•n=2n2，三角形ODB，三角形OEN的面积均为，四边形OBCE的面积为4．则有2n2﹣k=4﹣﹣﹣①；又因为2n•=k，即n2=k﹣﹣﹣②②代入①得，4=2k﹣k，解得k=4；则解析式为y=；又因为n2=4，故n=2或n=﹣2．M在第一象限，n＞0；将M（m，2）代入解析式y=，得m=2．故M点坐标为（2，2）；C（﹣4，﹣2）；设直线CM解析式为y=kx+b，则，解得∴一次函数解析式为：y=x+．点评：解答本题要明确两个关系：（1）双曲线中，xy=k；（2）S△DBO=|k|．9．如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴、x轴分别交于点A、B，则AD•BC的值为的值为 2．考点：反比例函数综合题．综合题．专题：综合题．分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图所示，根据直线y=﹣x+m，表示出A与B坐标，可得出三角形OAB 为等腰直角三角形，进而确定出三角形ADF与三角形CEB都为等腰直角三角形，设M（a，b），代入反比的值．例解析式得到ab=，CE=b，DF=a，表示出AD与BC，即可求出AD•BC的值．解答：解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，，如图，对于y=﹣x+m，令x=0，得到y=m；令y=0，得到x=m，∴A（0，m），B（m，0），为等腰直角三角形，∴△OAB为等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，∴△ADF与△CEB都是等腰直角三角形，设M（a，b），则ab=，CE=b，DF=a，∴AD=DF=a，BC=CE=b，∴AD•BC=a•b=2ab=2．故答案为：2．点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，反比例函数的性质，以及矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．质，以及矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于F，若DE=6，则EF等于等于 2．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．再根据相似三角形的对应边成比例可得出．中点，解答：解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴=，∴，即，解得EF=2，故答案为2．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．11．（2012•金山区二模）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么=．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：的值． 根据角平分线的定义，平行线的性质易证EA=ED，△CED∽△CAB，从而求得的值．的角平分线，解答：解：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA．∴∠EDA=∠EAD，∴EA=ED，∵=，∴ED：EC=2：3，∴=ED：EC=2：3．故答案为：．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边对应成比例，同时考查了角平分线的定义．12．如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，则BG：GH：HM= 5：3：2．考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．分析：首先过点M作MK∥BC，交AD，AE分别于K，N，由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MN=NK=BD=DE=EC，然后根据比例的性质，即可求得BG：GH：HM的值．的值．解答：解：法一：过点M作MK∥BC，交AD，AE分别于K，N，∵M是AC的中点，的中点，∴=，的三等分点，∵D、E是BC的三等分点，∴BD=DE=EC，∴MN=NK，∵=，=1，∴MH=BH，MG=BG，设MH=a，BH=4a，BG=GM=，∴GH=GM﹣MH=，∴BG：GH：HM=：：a=5：3：2．故答案为：5：3：2．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．意数形结合思想的应用．13．（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的长为 ．的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为考点：翻折变换（折叠问题）．压轴题．专题：压轴题．即可．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，的中点处，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．AC=，ACD=．考点：解直角三角形．分析：在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．解答：解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．考点：圆周角定理．证明题．专题：证明题．分析：首先连接AH，由AD⊥BC，BH⊥AC与∠AFE=∠BFD，即可得∠EAF=∠FBD，又由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠HAC=∠HBC，即可得∠HAE=∠F AE，则可用ASA证得△AEF≌△AEH，继而证得FE=EH．解答：证明：连接AH，∵AD⊥BC，BH⊥AC，∴∠FDB=∠AEF=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠HAC=∠HBC，∴∠HAE=∠EAF，∵BH⊥AC，∴∠AEF=∠AEH=90°，中，在△AEF和△AEH中，∴△AEF≌△AEH（ASA），∴FE=EH．点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．16．把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2﹣3x+5，求b，c的值．值．考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出y=x2﹣3x+5的顶点坐标，再根据“左加右减”求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．解答：解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，∴y=x2﹣3x+5的顶点坐标为（，），个单位，∵向右平移3个单位，向下平移2个单位，∴平移前的抛物线的顶点的横坐标为﹣3=﹣，纵坐标为+2=，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴平移前的抛物线为y=（x+）2+=x2+3x+7，∴b=3，c=7．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据两个函数图象的顶点坐标确定平移方法更简便，要注意知道平移后的顶点坐标求平移前的顶点坐标的方法．平移后的顶点坐标求平移前的顶点坐标的方法．17．（2003•海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，﹣3）两点．）两点．，求此抛物线的解析式；（1）若抛物线的对称轴为直线x=﹣1，求此抛物线的解析式；的取值范围；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；的值．（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．考点：二次函数综合题．压轴题．专题：压轴题．分析：（1）可将A、M的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c的值，再根据抛物线的对称轴为﹣1，即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式．的值，也就确定了抛物线的解析式．的取值范围． （2）抛物线的对称轴在y轴左侧，即抛物线对称轴方程小于0，由此可得出a的取值范围．（3）可设出B、C的坐标，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根据射影定理得出OA2=OC•OB，的值．据此可得出a的值．解答：解：将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：的坐标代入抛物线的解析式中有：，解得：∴抛物线的解析式为y=ax2﹣（2+2a）x+1．（1）∵x=﹣=﹣1，∴=﹣1，解得a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+1．（2）由题意知：x=﹣＜0，即﹣＜0；抛物线开口向下，∵抛物线开口向下，∴a＜0 ∴1+a＞0，且a＜0 ∴﹣1＜a＜0．（3）设B（x1，0），C（x2，0），x1＜x2；∵x1x2=，且a＜0．轴正半轴；∴x1x2＜0，即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴；∴OB=﹣x1，OC=x2．∵∠BAC=90°，，根据射影定理可得：在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根据射影定理可得：OA2=OB•OC=﹣x1•x2=1，即﹣=1，a=﹣1．本题主要考查了抛物线对称轴解析式、二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理等知识．点评：本题主要考查了抛物线对称轴解析式、二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理等知识．18．（2000•杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．考点：正多边形和圆．分析：根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半，所以只需根据它们的周长计算其边心距；在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中，根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距，再进一步计算其面积，从而得到其比值．再进一步计算其面积，从而得到其比值．．根据题意，得解答：解：设它们的周长是1．根据题意，得正三角形的边长是，正六边形的边长是．则正三角形的边心距是，正六边形的边心距是．则正三角形的面积是，正六边形的面积是．则它们的面积比是2：3．点评：熟悉正多边形的面积公式：正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半．能够根据由半径、边心距和半边组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行计算．半边组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行计算．19．（原创题）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．点所运动的路径长；（1）求O点所运动的路径长；围成的面积．（2）O点走过路径与直线L围成的面积．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．本题一共转动了三次，关键是分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式求．分析：本题一共转动了三次，关键是分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式求．解答：解：（1）运动路径第一段弧长=，第二段路径为线段长为，第三段路径为，即O在L上运动路径为．）围成面积，（2）围成面积，S1=．本题的难点是第二次，实际上就是扇形的弧长，其它二次则简单．点评：本题的难点是第二次，实际上就是扇形的弧长，其它二次则简单．20．（2013•重庆）重庆） 已知：如图，抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的交点为A、B两点，与y轴交于点C，直线AC与抛两点．物线交于A、C两点．如图，的y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．的坐标．（1）求点B的坐标．（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上是否存在一点P，使得△BCP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．存在，说明理由．的坐标．（3）若点Q在直线AC下方的抛物线上，且S△QOC=2S△BOC，求点Q的坐标．考点：二次函数综合题．压轴题．专题：压轴题．分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），点的坐标；根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x ﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程的坐标；求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，两点，对称，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；）代入，②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．21．（2014•徐州模拟）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+1﹣m与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．（1）求m的值；的值；的度数；（2）求∠CDE的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．综合题．专题：综合题．的值． 分析：（1）由于抛物线的解析式中只有一个未知数m，因此只需将C点的坐标代入抛物线中即可求出m的值．（2）此题可首先表示出抛物线的顶点式，就可以求出D点的坐标，然后过C点作DE的垂线CF，在△DCF的度数；中根据C、D、F三点的坐标求出DF和CF长度相等，得出∠CDE的度数；的坐标． （3）利用二次函数的对称性可求出，以及利用线段垂直平分线的性质求出P的坐标．解答：（1）∵抛物线过点C（0，3）∴1﹣m=3 ∴m=﹣2 （2）由（1）可知该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 ∴此抛物线的对称轴x=1 抛物线的顶点D（1，4）过点C作CF⊥DE，则CF∥OE ∴F（1，3）所以CF=1，DF=4﹣3=1 ∴CF=DF 又∵CF⊥DE ∴∠DFC=90°∴∠CDE=45°）存在．（3）存在．的对称点时，①延长CF交抛物线于点P1，则CP1∥X轴，所以P1正好是C点关于DE的对称点时，有DC=DP1，得出P1点坐标（2，3）；由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．②若以CD为底边，则PD=PC，，根据两点间距离公式，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．）在抛物线上，又∵P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，，应舍去；解得：x=，＜1，应舍去；∴x=，∴y=4﹣x=则P2点坐标（，）．∴符合条件的点P坐标为（，）和（2，3）．点评：此题主要考查了二次函数的对称性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分线的性质等知识，题目综合性较强，是中考中热点题型．较强，是中考中热点题型．22．（2006•锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．两点的坐标；（1）求A、B两点的坐标；的函数表达式；（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？。
中考难题数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an=？A. 29B. 32C. 35D. 38答案：C2. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的根为a和b，则a^2 + b^2的值为？A. 1B. 4C. 9D. 25答案：C3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，那么∠C的度数为？A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，那么f(2)的值为？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D5. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点Q的坐标为？A. (2,3)B. (3,2)C. (3,3)D. (2,2)答案：B6. 若正方体的体积为64立方厘米，那么它的对角线长度为？A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米答案：C7. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,2)，那么a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=40°，那么∠C的度数为？A. 40°B. 50°D. 70°答案：B9. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度为？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A10. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，那么第5项an=？A. 18B. 54C. 162D. 486答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，那么第n项an=______。
答案：3 + 2(n-1)12. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0的根为a和b，那么ab的值为______。
初三数学难题集锦
初中数学难题集锦 组题：韩松1．（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°.⑴求∠A 的度数；⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积.2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图⑴，直线l 上有1A 、2A 两个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 的距离之和最小，很明显点P 的位置可取在1A 和2A 之间的任何地方，此时距离之和为1A 到2A 的距离.如图⑵，直线l 上依次有1A 、2A 、3A 三个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 、3A 的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点2A 处，此时距离之和为1A 到3A 的距离. (想一想，这是为什么？)不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置.【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b .图⑴图⑵32l12l1【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 ；若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 . 【问题二】：现要求112397x x x x x x +++-+-+-++-的最小值，根据问题一的解答思路，可知当x 值为 时，上式有最小值为 .3. （本小题满分10分）如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y （千米）与行驶时间 x （时）的关系如图②所示．根据图象进行以下探究：⑴请在图①中标出 A 地的位置，并作简要的文字说明； ⑵求图②中M 点的坐标，并解释该点的实际意义．⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A 地的距离1y 与行驶时间x 的函数关系式． ⑷A 地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．y （千米） x （时）乙甲 图②图①4．（本小题满分10分）已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线112y x =--上，且过点A (4，0)． ⑴求这个抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标.5．（本小题满分12分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.⑴如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 .⑵在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．⑶如图2，，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时AB＝3，BD＝BC的长. AB CD图1E FDC BA图26．（本小题满分12分）已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒．⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值；⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；图1QPD CB A备用图ABCD 备用图ABCD参考答案1．（本小题满分10分）⑴解：连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°.(1分)∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. …………………(2分)∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°. ………………(4分) ⑵∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝(5分) ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ……………………(6分) ∴2BOC 60483603S ππ⨯扇形＝＝，EOC122S⨯⨯＝…………………………(8分) ∴EOCBOC S S Sπ阴影扇形8＝－＝－3…………………………………………………(10分) 2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）问题一：点13A 处 …………(3分) 点25A 和26A 之间的任何地方 ………(6分)问题二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)3. （本小题满分10分）⑴A 地位置如图所示．使点A 满足AB ∶AC ＝2∶3 . ……………………………… (2分)⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时,9075 1.2÷=，∴M (1.2，0) ………………(3分) 所以点 M 表示乙车 1.2 小时到达 A 地．…(4分) ⑶甲车的函数图象如图所示． …………(5分) 当01x ≤≤时，16060y x =-+；…………(6分)当1 2.5x <≤时，16060y x =-. …………(7分)⑷由题意得606015606015x x -≤⎧⎨-+≤⎩，得3544x ≤≤； 759015759015x x -+≤⎧⎨-≤⎩，得715x ≤≤.∴514x ≤≤…………………………………………………………………………(9分) ∴两车同时与指挥中心通话的时间为51144-=小时. …………………………(10分)4．（本小题满分10分）⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线2x =. ………………………………………………………(1分)∵顶点在直线112y x =--上， ∴顶点坐标为(2，－2). …………………………(3分)故设抛物线解析式为2(2)2y a x =--， ∵过点(0，0)，∴12a =，∴抛物线解析式为2122y x x =-………………………(5分)⑵当AP ∥OB 时，如图，∠BOA ＝∠OAP ＝45°，过点B 作BH ⊥x 轴于H ，则OH ＝BH . 设点B (x ，x )，故2122x x x =-，解得x ＝6或x ＝0(舍去)…………………………(6分)∴B (6，6). …………………………………………………………………………(7分)当OP ∥AB 时，同理设点B (4－x ，x )故21(4)2(4)2x x x =---，解得x ＝6或x ＝0(舍去)，∴B (－2，6) .……(8分)⑶D (2，－6).………………………………………………………………………………(10分)H5．（本小题满分12分）解：⑴AC ；…………………………………………………………………………………(1分)⑵作图如图；…………………………………………………………………………(3分)∵点P 为AC 中点，∴PA ＝PC ＝12AC. ∵∠ABC =∠ADC =90°，∴BP ＝DP ＝12AC ，∴PA ＝PB ＝PC ＝PD ，…………(4分)∴点A 、B 、C 、D 在以P 为圆心，12AC 为半径的同一个圆上. ………………(5分)⑶解：∵菱形ACEF ，∴∠ADC ＝90°AE ＝2AD ，EC ＝2CD ，∴四边形ABCD 为损矩形，∴由⑵可知，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上. ……………………………………(7分)∵ AM 平分∠BAD ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∴AD CD =，∴AD ＝CD ， ∴四边形ACEF 为正方形. ………………………………………………………(9分)∵点BD 平分∠ABC ，BD ＝D 到AB 、BC 的距离h 为4，∴122ABD SAB h AB =⨯=＝6. 1322ABCS AB BC BC =⨯=， 122BDC S BC h BC =⨯=，2ACD ACEF 111444S S AC BC 2正方形＝＝＝（＋9）， ∵ABC ADC ABCD S S S 四边形＝＋，∴14BC 2（＋9）＋32BC ＝6＋2BC ，∴BC ＝5或BC ＝－3(舍去)，∴BC ＝5. ……………………………………………(12分)6．（本小题满分12分）解：⑴如图1，分别过点作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∵BC ＝20，∠C ＝180°－∠ABC ＝60°，∴CN＝10＝DM，BN＝CD＝60.∵△CPQ∽△DAQ，∴CP CQ DA DQ=，∴20220602t tt=-－，∴110t=，260t=(不合题意)，∴t＝10.…………………(5分)图1图2⑵当点P在线段BC上时，如图2，过P作FG⊥CD于G，交AB延长线于F.∴PF，PG)t-，∴12ABPS AB PF=⨯=，1(20)2CPQS CQ PG t=⋅=-，ADQ CPQ ABPABCDS S SS S=梯形－－－＝1602)2t⨯（－(20)t-－，220400)t t-+. (020t<≤)………(8分)当点P在线段BC的延长线上时，如图3，过P作PH⊥AB于H，则设AP与CD交于点E，∵EC PCAB PB=，∴40800tECt-=,∴QE＝CQ－CE＝2240800t tt-+.∴y＝310800402212⨯+-⨯ttt=ttt)40020(3102+-. (2030t<≤) ………………………………………(12分)图1QPDCBAM N图1QPDCBA FG。
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1.(2015海淀)29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1
,1≥b a b b a ⎧'=⎨
-<⎩
，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的
坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--． （1
）①点
)
的限变点的坐标是___________；
②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2
y x
=图象上某一个点的限变
点，这个点是_______________； （2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是
52≤≤b '-，求k
的取值范围；
（3）若点P 在关于x 的二次函数2
2
2y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是
≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于
t 的函数解析式及s 的取值范围．
2.（2013•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ． (1)求证：△APB ≌△APD ；
(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ， 线段PF 的长为y ． 1.y 与x 的函数关系式； ②当x ＝6时，求线段FG 的长．
3.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，
E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点
F ，且AF=BD ，连接BF ． （1）BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？ 并说明理由．
4.如图，已知直线l ：y=
3
3
x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为 .
5.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k
y x
=的图象经过点(1,4)A ，(,)B m n . （1） 求代数式mn 的值；
（2） 若二次函数2
(1)y x =-的图象经过点B ，求代数式32234m n m n mn n -+-的值；
（3） 若反比例函数k y x
=
的图象与二次函数2
(1)y a x =-的图象只有一个交点，且该交点在直线y x =的下方，结合函数图象，求a 的取值范围.。