五章节生存年金趸缴纯保费
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4,生存年金(续)
生存年金（续）
Contents
纯保费计算原则 趸缴纯保费计算 期缴纯保费计算
纯保费计算原则
❖保费收支相等原则
▪ 纯保费总收入现值与保险金支出总额现值在统计意 义上相等。与储蓄不同，保险将全体保户视为一体 来设想其收支，以全体保户缴纳的保费总额及保险 公司支付给全体受益人的保险金总额来计算使其相 等，这就是保费收支相等原则。
▪ 5、保险合同直到被保险人死亡或满期，都没有失效或退 保的情况，但是寿险保费以预定死亡率及预定利率为基础， 将来给付的保险金现值与所收保费现值相等
纯保费计算假：计算基础
❖1，生命表
▪ 93年男性非养老金用生命表的关健数据
Add your company slogan
纯保费计算原则
❖纯保费计算的假设
▪ 1、被保险人的年龄统一按保险年龄计算，即按投保年月 日计算
▪ 2、被保险人为数众多，按大数法则，以预定死亡作为 计算基础
▪ 3、保费收入按预定利率运用，因此保费计算要按预定利 率贴现
▪ 4、被保险人死亡时给付的保险金是在死亡保险年度的年 中给付的（本讲义以年中给付为例，当然也可以以年末给 付为例，如果以年末给付为例，则计算更为简单，参见示 例）
Contents
纯保费计算原则 趸缴纯保费计算 期缴纯保费计算
纯保费计算原则
❖保费收支相等原则
▪ 纯保费总收入现值与保险金支出总额现值在统计意 义上相等。与储蓄不同，保险将全体保户视为一体 来设想其收支，以全体保户缴纳的保费总额及保险 公司支付给全体受益人的保险金总额来计算使其相 等，这就是保费收支相等原则。
▪ 5、保险合同直到被保险人死亡或满期，都没有失效或退 保的情况，但是寿险保费以预定死亡率及预定利率为基础， 将来给付的保险金现值与所收保费现值相等
纯保费计算假：计算基础
❖1，生命表
▪ 93年男性非养老金用生命表的关健数据
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纯保费计算原则
❖纯保费计算的假设
▪ 1、被保险人的年龄统一按保险年龄计算，即按投保年月 日计算
▪ 2、被保险人为数众多，按大数法则，以预定死亡作为 计算基础
▪ 3、保费收入按预定利率运用，因此保费计算要按预定利 率贴现
▪ 4、被保险人死亡时给付的保险金是在死亡保险年度的年 中给付的（本讲义以年中给付为例，当然也可以以年末给 付为例，如果以年末给付为例，则计算更为简单，参见示 例）
保险精算08统计文档
第五章 生存年金
本章结构
? 生存年金简介 ? 与生存相联的一次性支付 ? 连续生存年金 ? 离散生存年金 ? 等额年金的计算基数公式
第一节
生存年金简介
生存年金
? 生存年金的定义：
? 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半 年、季、月）支付一次保险金的保险类型
? 分类
? 初付年金/ 延付年金 ? 连续年金/ 离散年金 ? 定期年金/ 终身年金 ? 非延期年金/ 延期年金
存年金的方式，特别在：
? 养老保险 ? 伤残保险 ? 抚恤保险 ? 失业保险
第二节
与生存相关联的一次性支付
n 年期生存保险定义
? 现龄x 岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n 年末获得生存赔付的保险。
? 也就是我们在第四章讲到的n 年期纯生存保
险。单位元数的n 年期生存保险的趸缴纯保
费为 A 1 x:n
(2)10000 40 E 25 ? 10000 ? 1.025?40 ? 0.78765825 ? 2933.48
相关公式及意义
(1) lx ?n Ex (1? i) n ? lx? n
证明：(1) lx ? n E x (1 ? i)n ? lx ?vn n px (1 ? i)n
? lx
?vn
? 连续生存年金精算现值的估计方法
? 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值
? 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和。
综合支付技巧的步骤
? （1）记录下年金在死亡发生于时间 t的所 有支付仅按利息折算成的现值。
? （2）将以上求得的现值乘以在时间 t死亡 的概率或概率密度。然后按所有死亡的时 间t 将以上的结果积分。
本章结构
? 生存年金简介 ? 与生存相联的一次性支付 ? 连续生存年金 ? 离散生存年金 ? 等额年金的计算基数公式
第一节
生存年金简介
生存年金
? 生存年金的定义：
? 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半 年、季、月）支付一次保险金的保险类型
? 分类
? 初付年金/ 延付年金 ? 连续年金/ 离散年金 ? 定期年金/ 终身年金 ? 非延期年金/ 延期年金
存年金的方式，特别在：
? 养老保险 ? 伤残保险 ? 抚恤保险 ? 失业保险
第二节
与生存相关联的一次性支付
n 年期生存保险定义
? 现龄x 岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n 年末获得生存赔付的保险。
? 也就是我们在第四章讲到的n 年期纯生存保
险。单位元数的n 年期生存保险的趸缴纯保
费为 A 1 x:n
(2)10000 40 E 25 ? 10000 ? 1.025?40 ? 0.78765825 ? 2933.48
相关公式及意义
(1) lx ?n Ex (1? i) n ? lx? n
证明：(1) lx ? n E x (1 ? i)n ? lx ?vn n px (1 ? i)n
? lx
?vn
? 连续生存年金精算现值的估计方法
? 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值
? 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和。
综合支付技巧的步骤
? （1）记录下年金在死亡发生于时间 t的所 有支付仅按利息折算成的现值。
? （2）将以上求得的现值乘以在时间 t死亡 的概率或概率密度。然后按所有死亡的时 间t 将以上的结果积分。
保险精算学趸缴纯保费
一年递增m次
将每一个保单年度分为均等的m个时间段， 如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死 亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期 满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生 存保险加上n年定期寿险的组合。
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例4.3.3答案
(1)
保险利益： 如被保险人在第一保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金1元， 如被保险人在第二保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金2元， 。。。。。
第五章纯保费和毛保费
第五章纯保费和毛保费第一节保费简介一、保费的构成二、保费的分类1、按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费2、按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）终身寿险趸缴纯保费：年延期终身寿险趸缴纯保费：年定期寿险趸缴纯保费：年延期年定期寿险趸缴纯保费：（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存险趸缴纯保费：终身生存年金趸缴纯保费：年延期终身生存年金趸缴纯保费：年定期生存年金趸缴纯保费：年延期年定期生存年金趸缴纯保费：（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）年定期两全险趸缴纯保费：第二节净均衡保费一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。
L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）二、各险种净均衡保费的厘定1、完全连续净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）Ø厘定过程：Ø（2） 常见险种完全连续净均衡年保费总结年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险2、 完全离散净均衡年保费的厘定（1） 终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定Ø 假定条件： 死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散） Ø 厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险3、半连续纯年保费的厘定（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）Ø 厘定过程：第三节 毛保费 一、 保险费用简介1、定义：保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。
第5章 均衡纯保费与毛保费
P k +1 P )v − d d
P k +1 P P P 1 )v − ]k q0 = 0 ⇒ [(1 + )a4 0.06 − 4 ] = 0 d d 4 d d
P = 6.478 ⇒ P = 0.3667 d P k +1 P 2 (2)Var ( L) = E[(1 + )v − ] d d P 2 P P P 2 1 1 = (1 + ) a4 12.36% − 2 (1 + ) a4 6% + ( ) = 0.17788 4 d 4 d d d ⇒
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
h
保费公式
&& Px = Ax a x = M x N x
&& n Px1： = A1： a x： = ( M x − M x + n ) ( N x − N x + n ) n xn
&& n Px： = Ax： a x： = ( M x − M x + n + Dx + n ) ( N x − N x + n ) n n
h
&& h Px = Ax a x： = M x ( N x − N x + h )
&& h Px： = Ax： a x： = ( M x − M x + n + Dx + n ) ( N x − N x + h ) n n
1 1 && n Px： = Ax： a x： = Dx + n ( N x − N x + n ) n n
社会统计学
第二节 趸缴纯保费的计算
一、定期寿险趸缴纯保费的计算 （一）定期寿险的概念 （二）定期寿险趸缴纯保费的计算方法 二、终身寿险趸缴纯保费的计算 （一）终身寿险的概念 （二）终身寿险趸缴纯保费的计算方法 三、两全保险趸缴纯保费的计算 （一）两全保险的概念 （二）两全保险趸缴纯保费的计算方法
知识运用 • 某人55岁，投保10年期的定期寿险，保
第五章 寿险纯保费的计算
学习目的
学完本章后,应掌握以下内容: 1.明确纯保费、趸缴纯保费的含义 2.熟悉国际精算学会规定的各种换算符号 3.运用定期寿险、终身寿险、两全保险趸 缴纯保费的精算原理及推导公式
第一节 一年定期寿险的趸缴纯保费
一、纯保费的概念 二、一年定期寿险的趸缴纯保费的计算 （一）死亡年末给付趸缴纯保费的计算方法 （二）死亡后立即给付趸缴纯保费的计算方法
国际精算学会规定换算符号：
Dx vxlx Cx v x1d x M x Cx Cx1 C Rx M x M x1 M
知识运用 • 某人30岁，投保一年定期寿险，保额
1000元，根据附录中的生命表在预定利 率6%下计算其趸缴纯保费。
答案:0.73元。
险金额为10000元，保险金在死亡时给付， 按中国人寿保险业经验生命表（19901993年）和利率6%计算趸缴纯保费。
答案:778.53元。
第三节 年缴纯保费的计算
一、定期寿险的年缴纯保费 二、终身寿险的年缴纯保费 三、两全保险的年缴纯保费
知识运用 • 某人40岁，投保终身寿险，保险金额
1000元，计算其保单的年缴纯保费。
后立即给付。假设死亡都发生在年中，试根据附录中的中国人寿保险业经验生命表 混合表和预定利率6%计算其趸缴纯保费。 6．某35岁的被保人购买一个25年两全保险，保额为200000元，在死亡或满期时立 即给付，试根据附录中的中国人寿保险业经验生命表和预定利率6%计算其趸缴纯 保费。
保险精算1-5章习题答案
第一章生命表1．给出生存函数()2 2500xs x e-=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s ss sqsP X ssps<<=--=>==2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q65。
()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s sq ps ss sqs-====-∴==4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求10p60Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30)Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30)∴10p60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表：k0 1 2 3 4 5 6 7 8 945kq .0050 .0060 .0075 .0095 .0120 .0130 .0165 .0205 .0250 .0300求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.046.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
《寿险精算》学习指南
§1.1 寿险精算的内涵
迄今为止，国内外对精算尚未达成完全统一的定义。不过，大多采用如下方 式来描述。所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等多学 科的知识和原理，定量解决金融保险等领域中有关问题，进而为决策提供科学依 据的一门应用型学科。精算与保险的结合形成保险精算，保险精算是精算的重要 组成部分。保险精算一般被描述为：运用数学、统计学、金融学、保险学及人口 学等学科的知识和原理，去解决商业保险与各种社会保障业务中有关项目，如死 亡率的测定、生命表的构造、费率的厘定、准备金的计提、利源分析、盈余分配、 偿付能力管理等，以此保证保险经营的稳定性和安全性。
4
叉和边缘学科。
§1.2 寿险精算的起源
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的一门新兴学科。寿险的前身是欧 洲中世纪的基尔特（Guild）制定。据记载，世界上最早的寿险保单之一，是在 16 世纪末，由一群海上保险承保人在伦敦对 William Gibbon 签发的，一年保险 期限，保险金额为 382.68 镑的定期保单。
18 世纪中期以前，英国早期的寿险组织、资格最老的要数于 1706 年在伦敦 特许成立的协和保险社。1721 年经特许成立的皇家交易保险公司和伦敦保险公 司开始经营寿险业务。此外，还有一些捐助团体以及联盟协会也经营寿险业务。 这些互助协会、保险公司以及其他团体经营寿险业务，这些业务概括起来，具有 如下几个特点：（1）寿险仅为火险、海险的副产品，尚未大规模独立地经营寿险。 （2）寿险业务所承保的对象限制较多。互助协会承保会员人数有限，主要局限 于商人、企业合伙人；特许保险公司经营的寿险，将病人、老年人及天花病人等 一概拒之门外。（3）寿险的保险费采用赋课式，未将年龄大小、死亡率高低等与 保险费挂钩。（4）寿险经营缺乏严密的科学基础，表现在有关计算单一、粗糙， 考虑因素较少。这样的寿险经营导致的是寿险业的不景气，保险技术的停滞不前。 也正是在这种经营思想的指导下，协和保险社在 1756 年以詹姆斯·道森（James Dodson）年龄偏大（那时 Dodson 实际年龄仅 46 岁）为由，拒绝吸收其为保险 社成员，其结果成为寿险精算兴起的导火线。
迄今为止，国内外对精算尚未达成完全统一的定义。不过，大多采用如下方 式来描述。所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等多学 科的知识和原理，定量解决金融保险等领域中有关问题，进而为决策提供科学依 据的一门应用型学科。精算与保险的结合形成保险精算，保险精算是精算的重要 组成部分。保险精算一般被描述为：运用数学、统计学、金融学、保险学及人口 学等学科的知识和原理，去解决商业保险与各种社会保障业务中有关项目，如死 亡率的测定、生命表的构造、费率的厘定、准备金的计提、利源分析、盈余分配、 偿付能力管理等，以此保证保险经营的稳定性和安全性。
4
叉和边缘学科。
§1.2 寿险精算的起源
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的一门新兴学科。寿险的前身是欧 洲中世纪的基尔特（Guild）制定。据记载，世界上最早的寿险保单之一，是在 16 世纪末，由一群海上保险承保人在伦敦对 William Gibbon 签发的，一年保险 期限，保险金额为 382.68 镑的定期保单。
18 世纪中期以前，英国早期的寿险组织、资格最老的要数于 1706 年在伦敦 特许成立的协和保险社。1721 年经特许成立的皇家交易保险公司和伦敦保险公 司开始经营寿险业务。此外，还有一些捐助团体以及联盟协会也经营寿险业务。 这些互助协会、保险公司以及其他团体经营寿险业务，这些业务概括起来，具有 如下几个特点：（1）寿险仅为火险、海险的副产品，尚未大规模独立地经营寿险。 （2）寿险业务所承保的对象限制较多。互助协会承保会员人数有限，主要局限 于商人、企业合伙人；特许保险公司经营的寿险，将病人、老年人及天花病人等 一概拒之门外。（3）寿险的保险费采用赋课式，未将年龄大小、死亡率高低等与 保险费挂钩。（4）寿险经营缺乏严密的科学基础，表现在有关计算单一、粗糙， 考虑因素较少。这样的寿险经营导致的是寿险业的不景气，保险技术的停滞不前。 也正是在这种经营思想的指导下，协和保险社在 1756 年以詹姆斯·道森（James Dodson）年龄偏大（那时 Dodson 实际年龄仅 46 岁）为由，拒绝吸收其为保险 社成员，其结果成为寿险精算兴起的导火线。
生存年金的趸缴纯保费
适用人群
经济状况稳定的人群
趸缴保费适用于那些经济状况稳定，能够一次性支付全部保费的人 群。
需要长期保障的人群
对于那些需要长期保障，且希望通过一次性投入获得持续保障的人 群来说，趸缴保费是一个不错的选择。
对利率不敏感的人群
对于那些对利率不敏感，愿意承担一定利率风险的投保人来说，趸 缴保费可能是一个合适的选择。
趸缴纯保费
指投保人在购买生存年金保险时 一次性缴纳的全部保费，不包含 任何附加费用。
特点
定期给付
生存年金保险通常按照合同约定的时间间隔定 期给付保险金，如按月、按季度或按年给付。
生存条件
被保险人必须满足一定的生存条件才能获得保 险金的给付。
长期性
生存年金保险通常为长期保险，投保人需要长 期缴纳保费。
相关法规与政策的影响
法规监管
关注相关法规和监管政策的变化，分析对生存年 金产品的影响，确保保险公司的合规经营。
税收政策
研究税收政策对生存年金产品的影响，合理规划 税收策略，降低保险公司的税收负担。
社会经济发展
分析社会经济发展对生存年金产品的影响，把握 市场机遇，促进保险公司的可持续发展。
THANKS
趸缴纯保费的研究方向
精算定价
研究趸缴纯保费的精算定价方法，提高保险 产品的定价精度，降低保险公司风险。
风险管理
探讨趸缴纯保费的风险管理策略，包括风险识别、 评估和控制等方面，提高保险公司的风险管理水平 。
保险市场发展
研究趸缴纯保费在保险市场中的发展状况， 分析市场趋势和竞争格局，为保险公司制定 营销策略提供依据。
定义
01
趸缴纯保费是指投保人在购买保 险时一次性缴纳的保费，不包含 任何附加费用或投资回报。
第五章生存年金
作业：
1.试分别计算一现年60岁者购买期末及期初付金额 1000元的终身生存年金的精算现值（i=6%） 2.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付 的终身生存年金，试求其每年所得的年金额（i=6% 3.年龄为55岁者，购买下列生存年金，每年给付年 金额 为3500元，试分别求其应缴的趸缴纯保费: (1) 期初付和期末付15年定期生存年金；（2）期初付和 期末付终身生存年金；（3）在60岁时开始支付的终 身生存年金；（4）在60岁时开始支付的15年定期 生存年金（i=6%）
这一公式表明，现在 x岁的 人每人存入入 到n年末在复利率i的作用下生成的金额 正好满足到n年末仍存活的 人每人1元给付。 因此为保证n年末存活者得到每人1元保险金， 在投保时必须一次性缴付 元。这正是前面
把 称为趸缴净保费的原因。 人缴付 后， 在n年内必然有一部分人在死亡率作用下死去， 从而不可能在n年末领到保险金，他们当初购买 保险的支出被尚存者分享。保险中把这种尚存者 分享期内死亡者利益的情况称为生存者利益或简 称为“生者利”。与 是利率下的折现因子、 是利率下的累积因子类似， 可以看作是在利 率和生者利下的折现因子， 可以看作是利率 和生者利下的累积因子。
§5.3 每年支付m次的生存年金
一、期末付年金
1 2 1、终身生存年金： 1 ax ( m) (v m 1 px v m 2 px ...) m m m
2、延付n年的终身生存年金：
n
ax
( m)
n Ex a
( m) xn
3、n年定期生存年金：
( m) ( m) ( m) ax a a x n x :n
假设某人x岁时开始投保，为方便通常记为(x)，在 经过 n年后如果仍存活将得到金额为k的生存保险 金，(x)存活n年的概率为 。也就是说(x)在n年 末能够得到k金额的概率为 ，这样n年末得到给 付金的期望值为 ·。这一值在投保时的现值便 为 。我们把这一现值称为 k金额的n年纯 粹生存保险现值。
保险精算学-趸缴纯保费(1)
谢谢大家！
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
趸缴纯保费的厘定 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
A30-1000
A1
30:5|
2000 M30 1000 M30 M35
D30
D30
622.09
5.2.3 延期的终身寿险
5.2.4 n年生死两全保险
它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终 时，都支付给付金的一种保险形式。
例：假设20年生死两全保险的保额为1000元， 试求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020年10月 上午2时 57分20.10.2002:57O ctober 20, 2020
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2020年10月20日星期 二2时57分19秒 02:57: 1920 October 2020
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午2时57分19秒 上午2时57分02:57:1920.10.20
终身寿险年末付的趸交纯保费：
Ax k 1 k | qx
k0
k1 d xk
k0
lx
x k 1d x k
k0 xlx
Mx Dx
终身寿险精算现值的例子
例：假设50岁的人投保了 10000元的终身寿险，保险费 在死亡年末支付，假设年利 率按3%计算，试根据表IV计 算其精算现值.
解：x 50, i 3%.
第五章 生存年金的精算
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
1 n t E x t
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ex t
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
例5.1.1和5.1.2
某人留有遗书，其儿子年满21岁时可获得5万元 遗产。若其子现年12岁，利用书后的所附的生命 表（非养老金业务男表）求其子所得遗产的现值 i=0.06。 利用附录的生命表及年利率i=0.06，计算30岁的 人缴纳5000元在65岁时的精算现值。
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
a30:30
1 A30:30
1 0.35 13.01 0.05
例5.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
0.06
0.54
例5.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
保险精算 第5章1 生存年金
签单时保险金给付现值随机变量为
T v , T n Z bT vT n v , T n 表示n年期两全保险的精算现值。
T 0, T n v , T n Z Z1 Z 2 其中Z1 , Z2 n v , T n 0, T n
Ax:n A A
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金 延期m年 n年定期生存年金
1 10 dt
例1答案
（ 2）
T 1 1 1 v T 2 Var v 2 Var[aT ] Var
A (A )
2 2 x x
Ax v t fT (t )dt
0
fT (t )t px xt
回忆
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。 该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。 ＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
Y aT|
at | f T (t )dt
0
at | dFT (t )
0
at | d ( t px )
0
at | t px 0
t
0
px d (at | )
t
0
px d (at | )
在总额支付法 ax
保险精算学-趸缴纯保费
1 dx+n-1 1
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率 i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人.
则保险费支出 １２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
基本符号
(x) —— 投保年龄 的x 人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率 i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人.
则保险费支出 １２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
基本符号
(x) —— 投保年龄 的x 人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
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的精算现值的关系 递增型人寿保险与递减型人寿保险
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保 费
1、公式推导及引入精算转换表达式：
终身寿险： AxMx Dx
X岁的人投保即期支付的终身寿险，保险金1元，求趸缴纯 保费或该保险的精算现值！
期初趸缴纯保费设为 A x ，期初一次性交费人数 l x ，
以后每年死亡人数分别为
（2）半连续型寿险均衡纯保费 保费每年期初缴纳，保险金死亡立即支付
（3）全连续型寿险均衡纯保费 保费每年连续缴纳，保险金死亡立即支付
第一节 全离散型寿险均衡纯保费
1、公司推导示例（见板书） 推导原理：精算等价原理，均衡保费现值等于未来保
险金现值
（1）全期缴费的终身寿险公式
利率 2.5%
4%
6%
8%
年龄
30
373
220
118703132228124
75
32
391
236
131
79
33
400
245
138
85
34
409
254
145
90
35
419
263
152
96
36
429
273
160
102
37
439
283
169
109
38
450
294
177
116
39
461
304
187
123
40
第四节 寿险与年金险的关系及精算等式分析
1、寿险与年金险的关系(见第四章年金保险部分) （1）终身年金与终身寿险的关系（p81—4.2.3）
1daxAx
分析其直观含义。
（2）定期年金与定期寿险的关系（p83—4.2.12
）1da A
x:n
x:n
分析其直观含义。
第四节 寿险与年金险的关系及精算等式分析
答：课堂讲授
第二节 生存年金换算与计算
1、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
（1） n|ax=nEx× ax+n （2） n|ax=an-ax:n （3） ax: n=ax: nnEx1
第二节 生存年金换算与计算
2、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
（1） ax=1+vpxax+1 （2） n|ax=vnnpxax+1 （3） n|ax=n|axn-nEx
第三节 死亡立即支付的趸缴纯保 费
习题：某20岁的人投保两全保险，前15年保额为 10万元，后10年保额为20万元，如生存期满，可 领取20万，求以下3种情况下的趸缴纯保费。（1 ）死亡年末支付； （2）死亡立即支付（死亡年中 支付）；
（3）死亡立即支付（相邻整数年服从均匀分布）。 计算并比较哪一个最高和最低。
第四章 人寿保险趸缴纯保费
第一节 人寿保险概述
国内外人寿保险的概念界定差异：
我国的人身保险： 人寿保险（生死）、意外伤害保险（外部造成的 身体伤害）、健康保险（内部造成的身体伤害）
国外的人寿保险： 人寿保险（死，长期）、年金保险（生，长期）、 意外与健康保险（身体、短期）
第一节 人寿保险概述
死亡即付的人寿保险 死亡年末给付的人寿保险 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保险
第四节 寿险与年金险的关系及精算等式分析 证明下列等式并解释其直观含义
1 m |A 1x:n=Ax:m1Ax+m :n
2、 Ax:=(vttpx)Ax+t
第五章 人寿保险期缴保费
第一节 全离散型寿险均衡纯保费
1、均衡纯保费的计算分类
（1）全离散型寿险均衡纯保费 保费每年期初缴纳，保险金死亡年末支付
不同死亡率的保费比较表（探讨死差损问题）
死亡率变化
年龄 30
-10% 362.92
-5% 368.01
0% 372.90
5% 377.60
10% 382.12
31
371.54 376.74 381.73 386.53 391.15
32
380.38 385.70 390.79 395.69 400.40
递增的终身寿险： (IA )x
=
Rx Dx
递增的定期寿险：
(IA)1x:n
=Rx-Rx+n-nMx+n Dx
递减的定期寿险： (DA)1x:n=nM x(RDx+x 1-Rx+n+1)
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费 公式推导示例：见演示
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费
例1：某40岁的人购买一份10年期的两全保险，保额10万元， 不考虑附加费用，问趸缴纯保费是多少？其中死亡保 障和生存保障各是多少？
则 AxMx Dx
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费
2、死亡年末支付保险金的趸缴纯保费：
终身寿险：
AxMx Dx
定期寿险：
A 1 x :n (M x M x n)D x
两全保险： A x :n (x M M x n )D x D x nD x
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保 费
2、死亡年末支付保险金的趸缴纯保费：
数lx+1 、 l x lx ，+2、 以l后x+ 每3、 年领取年金人数分别为
再考虑到资金折现，成立以下等式
第二节 生存年金的推导与计算
lxax=lx+vlx+1+v2lx+2+ ax=lx+vlx+1l+ xv2lx+2+L=vxlx+vx+1lxv +1 xl+ xvx+2lx+2+
令 vxlx = Dx ，Nx=Dx+Dx + 1+Dx + 2+
前面乘以 i /
2、假定被保险人死亡均发生在年中。公式见p69
除了两全保险，其余均可在“死亡年末支付公式”前 1
面(乘1以+ i ) 2
第三节 死亡立即支付的趸缴纯保费
例3.3.2：见p70 例3.3.4：见p70-71
练习：某40岁的人投保定期寿险，前15年保额为 10万元，后15年保额为20万元，求以下3种情况下 的趸缴纯保费（1）死亡年末支付； （2）死亡立 即支付（死亡年中支付）；（3）死亡立即支付（ 相邻整数年服从均匀分布）。比较哪一个最高和 最低。
第二节 递增年金的计算
每年递增一单位： S x= N x+ N x + 1+ N x + 2+
终身递增年金：(a I)xSxD x (Ix a)Sx1 D x
定期递增年金：
(Ia)
=Sx-Sx+n-nNx+n
x:n
Dx
(Ia) =Sx+1-Sx+n+1-nNx+n+1
x:n
Dx
第二节 生存年金的推导与计算
两种方法是等价的
符号介绍： 精算折现因子
精算累积因子
nE x=A x:1 n=vnnpx 1
nE x
第二节 生存年金的推导与计算
期初付年金的趸缴纯保费：
终身年金： axN x D x
X岁的人投保即期支付的终身年金，保险金1元 求趸缴纯保费或该保险的精算现值！
期初趸缴纯保费设为 a x ，期初一次性交费人
答： 趸缴 纯 50保 0 N 60费 0 N 80500 30 05-27616081
D 4 0
93943
14元 851
练习：假定上面的投保人现年60岁，年金不延期， 问趸缴纯保费是多少？并与上面的情况比较， 分析为什么差距这样大？
第二节 生存年金的推导与计算
例4：某35岁的人购买一份延期25年的终身年金， 从60岁开始每年年金为5000元，同时在80和 100岁分别获得2万和10万祝寿金，不考虑附加 费用，问趸缴纯保费是多少？
1元 保 额 趸(缴 M4纯 0M5保 0 )D费 4 0D5 0D4 0 ( 1 3-415117 2 94)35/19039 13/ 9 3 9 4 0 . 0108.35 4 3 9
1万 0 保额的趸 1缴 8 3纯 504保 385费 562元 15
从中可以看出：两全保险的储蓄功能远高于保障功能，同时 由于其保费费率较高，而且逆选择和道德风险较低，更适宜 于银邮渠道销售
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费
例2：某综合保险条款的保障如下，如20岁的被保险人在60 岁前死亡，死亡年末领取10万保险金，如生存到60岁， 每年可领取5000元年金，如活到80岁，再一次性支付 50万祝寿金问趸缴纯保费是多少？
解答：见板书
探讨问题：投保人是否有必要购买终身保险？还是购买定期 保险，举例说明。从投保人和营销员角度。
第二节 生存年金的推导与计算
1、纯粹生存保险的推导。
nExlx 1lxnvn
nEx
vnlxn lx
vxvnxlxlxn
Nxn Nx
上述 N x 即为精算转换函数
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值 ，再将所有的现值相加或积分。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给 付额的现值，再求现值的数学期望
五章节生存年金趸缴纯保费
第一节 生存年金概述
生存年金的概念
生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定
的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。
生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确
定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
则 ax=Nx Dx
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保 费
1、公式推导及引入精算转换表达式：
终身寿险： AxMx Dx
X岁的人投保即期支付的终身寿险，保险金1元，求趸缴纯 保费或该保险的精算现值！
期初趸缴纯保费设为 A x ，期初一次性交费人数 l x ，
以后每年死亡人数分别为
（2）半连续型寿险均衡纯保费 保费每年期初缴纳，保险金死亡立即支付
（3）全连续型寿险均衡纯保费 保费每年连续缴纳，保险金死亡立即支付
第一节 全离散型寿险均衡纯保费
1、公司推导示例（见板书） 推导原理：精算等价原理，均衡保费现值等于未来保
险金现值
（1）全期缴费的终身寿险公式
利率 2.5%
4%
6%
8%
年龄
30
373
220
118703132228124
75
32
391
236
131
79
33
400
245
138
85
34
409
254
145
90
35
419
263
152
96
36
429
273
160
102
37
439
283
169
109
38
450
294
177
116
39
461
304
187
123
40
第四节 寿险与年金险的关系及精算等式分析
1、寿险与年金险的关系(见第四章年金保险部分) （1）终身年金与终身寿险的关系（p81—4.2.3）
1daxAx
分析其直观含义。
（2）定期年金与定期寿险的关系（p83—4.2.12
）1da A
x:n
x:n
分析其直观含义。
第四节 寿险与年金险的关系及精算等式分析
答：课堂讲授
第二节 生存年金换算与计算
1、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
（1） n|ax=nEx× ax+n （2） n|ax=an-ax:n （3） ax: n=ax: nnEx1
第二节 生存年金换算与计算
2、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
（1） ax=1+vpxax+1 （2） n|ax=vnnpxax+1 （3） n|ax=n|axn-nEx
第三节 死亡立即支付的趸缴纯保 费
习题：某20岁的人投保两全保险，前15年保额为 10万元，后10年保额为20万元，如生存期满，可 领取20万，求以下3种情况下的趸缴纯保费。（1 ）死亡年末支付； （2）死亡立即支付（死亡年中 支付）；
（3）死亡立即支付（相邻整数年服从均匀分布）。 计算并比较哪一个最高和最低。
第四章 人寿保险趸缴纯保费
第一节 人寿保险概述
国内外人寿保险的概念界定差异：
我国的人身保险： 人寿保险（生死）、意外伤害保险（外部造成的 身体伤害）、健康保险（内部造成的身体伤害）
国外的人寿保险： 人寿保险（死，长期）、年金保险（生，长期）、 意外与健康保险（身体、短期）
第一节 人寿保险概述
死亡即付的人寿保险 死亡年末给付的人寿保险 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保险
第四节 寿险与年金险的关系及精算等式分析 证明下列等式并解释其直观含义
1 m |A 1x:n=Ax:m1Ax+m :n
2、 Ax:=(vttpx)Ax+t
第五章 人寿保险期缴保费
第一节 全离散型寿险均衡纯保费
1、均衡纯保费的计算分类
（1）全离散型寿险均衡纯保费 保费每年期初缴纳，保险金死亡年末支付
不同死亡率的保费比较表（探讨死差损问题）
死亡率变化
年龄 30
-10% 362.92
-5% 368.01
0% 372.90
5% 377.60
10% 382.12
31
371.54 376.74 381.73 386.53 391.15
32
380.38 385.70 390.79 395.69 400.40
递增的终身寿险： (IA )x
=
Rx Dx
递增的定期寿险：
(IA)1x:n
=Rx-Rx+n-nMx+n Dx
递减的定期寿险： (DA)1x:n=nM x(RDx+x 1-Rx+n+1)
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费 公式推导示例：见演示
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费
例1：某40岁的人购买一份10年期的两全保险，保额10万元， 不考虑附加费用，问趸缴纯保费是多少？其中死亡保 障和生存保障各是多少？
则 AxMx Dx
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费
2、死亡年末支付保险金的趸缴纯保费：
终身寿险：
AxMx Dx
定期寿险：
A 1 x :n (M x M x n)D x
两全保险： A x :n (x M M x n )D x D x nD x
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保 费
2、死亡年末支付保险金的趸缴纯保费：
数lx+1 、 l x lx ，+2、 以l后x+ 每3、 年领取年金人数分别为
再考虑到资金折现，成立以下等式
第二节 生存年金的推导与计算
lxax=lx+vlx+1+v2lx+2+ ax=lx+vlx+1l+ xv2lx+2+L=vxlx+vx+1lxv +1 xl+ xvx+2lx+2+
令 vxlx = Dx ，Nx=Dx+Dx + 1+Dx + 2+
前面乘以 i /
2、假定被保险人死亡均发生在年中。公式见p69
除了两全保险，其余均可在“死亡年末支付公式”前 1
面(乘1以+ i ) 2
第三节 死亡立即支付的趸缴纯保费
例3.3.2：见p70 例3.3.4：见p70-71
练习：某40岁的人投保定期寿险，前15年保额为 10万元，后15年保额为20万元，求以下3种情况下 的趸缴纯保费（1）死亡年末支付； （2）死亡立 即支付（死亡年中支付）；（3）死亡立即支付（ 相邻整数年服从均匀分布）。比较哪一个最高和 最低。
第二节 递增年金的计算
每年递增一单位： S x= N x+ N x + 1+ N x + 2+
终身递增年金：(a I)xSxD x (Ix a)Sx1 D x
定期递增年金：
(Ia)
=Sx-Sx+n-nNx+n
x:n
Dx
(Ia) =Sx+1-Sx+n+1-nNx+n+1
x:n
Dx
第二节 生存年金的推导与计算
两种方法是等价的
符号介绍： 精算折现因子
精算累积因子
nE x=A x:1 n=vnnpx 1
nE x
第二节 生存年金的推导与计算
期初付年金的趸缴纯保费：
终身年金： axN x D x
X岁的人投保即期支付的终身年金，保险金1元 求趸缴纯保费或该保险的精算现值！
期初趸缴纯保费设为 a x ，期初一次性交费人
答： 趸缴 纯 50保 0 N 60费 0 N 80500 30 05-27616081
D 4 0
93943
14元 851
练习：假定上面的投保人现年60岁，年金不延期， 问趸缴纯保费是多少？并与上面的情况比较， 分析为什么差距这样大？
第二节 生存年金的推导与计算
例4：某35岁的人购买一份延期25年的终身年金， 从60岁开始每年年金为5000元，同时在80和 100岁分别获得2万和10万祝寿金，不考虑附加 费用，问趸缴纯保费是多少？
1元 保 额 趸(缴 M4纯 0M5保 0 )D费 4 0D5 0D4 0 ( 1 3-415117 2 94)35/19039 13/ 9 3 9 4 0 . 0108.35 4 3 9
1万 0 保额的趸 1缴 8 3纯 504保 385费 562元 15
从中可以看出：两全保险的储蓄功能远高于保障功能，同时 由于其保费费率较高，而且逆选择和道德风险较低，更适宜 于银邮渠道销售
第二节 死亡年末支付的趸缴纯保费
例2：某综合保险条款的保障如下，如20岁的被保险人在60 岁前死亡，死亡年末领取10万保险金，如生存到60岁， 每年可领取5000元年金，如活到80岁，再一次性支付 50万祝寿金问趸缴纯保费是多少？
解答：见板书
探讨问题：投保人是否有必要购买终身保险？还是购买定期 保险，举例说明。从投保人和营销员角度。
第二节 生存年金的推导与计算
1、纯粹生存保险的推导。
nExlx 1lxnvn
nEx
vnlxn lx
vxvnxlxlxn
Nxn Nx
上述 N x 即为精算转换函数
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值 ，再将所有的现值相加或积分。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给 付额的现值，再求现值的数学期望
五章节生存年金趸缴纯保费
第一节 生存年金概述
生存年金的概念
生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定
的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。
生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确
定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
则 ax=Nx Dx