一个推广的Hardy—Hilbert型不等式
关于Hardy-Hilbert不等式的一种推广
关于Hardy-Hilbert 不等式的一种推广隆建军（攀枝花市大河中学，四川 攀枝花617061）摘 要：引入1λ、2λ和α，运用权系数的方法，建立一个推广的、具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert 不等式，作为应用，建立它的一个推广的等价式.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.关键词：Hardy-Hilbert 不等式；权函数；Holder 不等式. 中图分类号:O178 1 引言设0,≥n n b a )(N n ∈,1>p ，111=+q p .若∞<<∑∞=00n pn a ,∞<<∑∞=00n qn b ,则有∑∑∞=∞=++001m n n m n m b a )sin(p ππ<p n p n a 10)(∑∞=qn q n b 10)(∑∞=， （1.1） 这里，常数)sin(p ππ是最佳值]1[.称（1）为Hardy-Hilbert 不等式.它是分析学及其应用领域的重要不等式]2[.其等价形式是∑∑∞=∞=++00)1(n pm m n m a p p ])sin([ππ<∑∞=0n pna， （1.2）这里，常数p p ])[ππ仍是最佳值.不等式（1）和（2）在分析学中有重要的应用]2[，近年来，得到了许多优秀的结果(见文[3-7])，YANG Bi-cheng 在文[8]中引入参数λ及β函数，给出（1）如下加强形式:当2},min{2≤<-λq p 时，有()∑∑∞=∞=++001m n nm n m b a λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+<q q p p B 2,2λλp n p n a n 101)(∑∞=-λq n q n b n 101)(∑∞=-λ， （1.3） 这里，常数因子⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+q q p p B 2,2λλ（),(v u B 是β函数）是最佳值. 本文的任务是引入参数1λ、2λ和α建立下面二重级数： ()()[]∑∑∞=∞=+++00211212m n nm n m b a αλλ.的具有最佳常数因子的不等式.所得结论推广了（1.1）、（1.2）、（1.3）和文[9]的结论.为此，需要用到β函数()q p ,β的如下表示公式]10[：()()())0,0(11,,01>>+==⎰∞+-+q p du u u p q q p pqp ββ. 2 主要结论及其证明 定理1 设,0,0,0,111,121>>>=+>λλαqp p 1210,10,0,0αλαλ<-<<-<≥≥sq rp r s ，sq rp 21λλ+2121λαλλλ-+=，0,0≥≥n m b a ，()∞<+<∑∞=-+01)(120m p mq p s a m ,()∞<+<∑∞=-+01)(120n q n q p r b n ,则有()()[]()()()qn q n q p r pm p m q p s n m n m b n a m s r C n m b a 101)(101)(,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++∑∑∑∑∞=-+∞=-+∞=∞=αλλλλ.（2.1） 其中()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C p q 是最佳常数因子. 其等价形式为： ()()()[]()()∑∑∑∞=-+∞=∞=--++<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++01)(,,0011)(12,1212122121m pmq p s n pmmqq p r a m s r C n m a n αλλαλλ.（2.2）其中()pp q rp sq s r C ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλ是最佳常数因子.证明：（1）证明不等式（2.1），定义权系数：()()()[]()()∑∞=+++++=0,,121212121,,2121m rp sp n m n m m s r αλλαλλω, ()()()[]()()∑∞=+++++=0,,121212121,,2121m sqrq m n n m n s r αλλαλλω.由Holder 不等式有： ()()[]∑∑∞=∞=+++00211212n m n m n m b a λλ()()[]()()()()[]()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++=0012121212121212122121n m sr qnr s pmm n n m b n m n m a λλλλ()()[]()()()()[]()()qn m sq rq qn pn m rp sp p m m n n m b n m n m a 10010012121212121212122121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++≤∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=αλλαλλ()()qn q n pn p m b n s r a m s r 10,,10,,,,,,2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=∞=αλλαλλωω. （2.3） 而()()()[]()()()()[]()()⎰∑∞∞=+++++<+++++=00,,121212121121212121,,212121dx x m x m n m n m m s r rpsp m rp sp αλλαλλαλλω. 令()()()dt t m dx m x t 112221121221,1212-+=++=λλλλλ，则有： ()()()[]()()∑∞=+++++=0,,121212121,,2121m rpsp n m n m m s r αλλαλλω ()()⎰∞---+-++<011)()1(2221221111221dt t t m rpr s p λαλλλαλλλ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-+-22)()1(21,1122121221λαλβλλλλαλλrp rp m r s p . （2.4） 由条件212121λαλλλλλ-+=+sq rp ，得 1211λλαsqrp-=--，1)()()1(21221-+=-+-q p s r s p λλλαλλ.把上面结果代入（2.4），得 ()<m s r ,,,,21αλλω()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+211)(21,11221λλβλrp sq m q p s . （2.5） 同理可得：()<n s r ,,,,21αλλω()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+211)(11,11221λλβλrp sq n q p r . （2.6） 将()m s r ,,,,21αλλω和()n s r ,,,,21αλλω代入（2.3）式得： ()()[]()()()qn q n q p r pm p m q p s n m n m b n a m s r C n m b a 101)(101)(,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++∑∑∑∑∞=-+∞=-+∞=∞=αλλαλλ.(2) 证明()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C p q 是最佳常数因子.设ε为任意小的正数，()()qq p r m pq p s m n b m a ελελ21)()(12,12-+--+-+=+=，则()()∑∑∞=+∞=-++=+0101)(112112m m p mq p s m a m ελ，()()∑∑∞=+∞=-++=+0101)(212112n n qn q p r n b n ελ. 又因为()()()()σσσσσσ1112111211121121101110101+=++<++=+<+=⎰∑∑⎰∞+∞=+∞=+∞+dx x k k dx x k k . 故，当+→0σ时，有()()qn q n q p r pm p m q p s b n a m 101)(101)(1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∞=-+∞=-+qp o o 1211)1(21)1(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ελελ())1(1211211o q p +=λλ.（2.7）()()[]()()[]∑∑∑∑∞=∞=++++∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+++00)()(00212121121121*********n m qq p r pq p s n m n m n m n m n m b a ελελαλλαλλ()()[]⎰⎰∞∞++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++>0)()(212112112112121dxdy y x y x qq p r pq p s ελελαλλ()()[]⎰⎰∞∞++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=00)()(221112112121121dx dy y y x x qq p r pq p s ελαλλελ ()()()⎰⎰∞∞+---+++=12111121211112121dx dt t t x x qrpλελαελλ()()⎰⎰∞∞---+++=1112211112121dx dt t t x qrpελαελλ()()()⎰⎰∞+---+++-12111121211112121dx dt t t x x qrpλελαελλ.又由()()()()⎰⎰⎰⎰∞+---∞+---++<++01211101211111212112111121dx dt t x dx dt t t x x qrpx qrpλλελελαελ221121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=q rp ελλ)0()1(211+→=σλo . ()()+∞---→+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎰0)1(1,11121112σλλβελαo rp sq dt t t qrp.由以上计算结果有：()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->+++∑∑∞=∞=)1(21)1(1,121211212121120021o o rp sq n m b a n m nm λλλβελλαλλ ())1(11,1212121o rp sq -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=λλβλλ. （2.8） 若（2.1）中的常数不是最佳的，则存在常数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=<211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C K p q ，用常数K 取代()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C p q 后（2.1）式仍然成立. 由（2.7）和（2.8）得()q p K o rp sq 121121211)1(11,121λλλλβλλ<-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--.即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥2112111,121λλβλλrp sq K p q .这与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<2112111,121λλβλλrp sq K p q 矛盾. 故（2.1）式中的常数是最佳的. （3）证明不等式（2.2）及其等价性令()()()()[]qp k m m qq p r n n m a n k b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=∑=--+011)(21121212λλ,当k 充分大时，利用（2.1）有 ()∑=-++<kn q n q p r k b n 01)()(120()()[]()()[]∑∑==--+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=kn pkm mqq q p r q p r n m a n n 0011)(1)(2112121212αλλ ()()()()∑∑==--+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=km pk m m qq p r n m a n 0011)(21121212αλλ ()()()[]()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=∑∑∑===--+k m mkm qp k m m qq p r n m a n m a n 00011)(21211212121212αλλαλλ ()()[]()()()qkn qn q p r pkm p m q p s k n km n m k b n a m s r C n m k b a 101)(101)(,,00)(1212,1212)(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++=∑∑∑∑=-+=-+==αλλλλ.由此得到：()()()pkm p m q p s pkn q n q p r a m s r C k b n 101)(,,101)(12,)(1221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑=-+=-+αλλ.即()()()[]()()∑∑∑=-+==--++<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++k m p mq p s kn pkmm qq p r a m s r C n m a n 01)(,,0011)(12,1212122121αλλαλλ.令+∞→k ，可知()+∞<∞+<∑∞=-+01)()(120n q n q p r b n ，于是再由（2.1）有()()()[]()()[]∑∑∑∞==--+-+∞=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=∞+<0011)(1)(01)(2112121212)(120n pkm mqq q p r q p r n qn q p r n m a n n b n αλλ ()()[]∑∑∞=∞=+++∞=00211212)(n m n m n m b a αλλ()()()qn qn q p r pm p m q p s b n a m s r C 101)(101)(,,)(1212,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∑∑∞=-+∞=-+αλλ.由此得：()()()[]()()∑∑∑∞=-+∞=∞=--++<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++01)(,,0011)(12,1212122121m p mq p s n pmm qq p r a m s r C n m a n αλλαλλ.故，不等式（2.2）成立. 又由Holder 不等式有：()()[]()()()()()∑∑∑∑∞=-+∞=+-∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=+++01)(0)(1001212121212122121n n q q p r m mq q p r n m nm b n n m a n n m b a αλλαλλ()()()()()q n q n q p r pn pm m q q p r b n n m a n 101)(10011)(1212121221⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++≤∑∑∑∞=-+∞=∞=--+αλλ. (2.9)在（2.9）式中利用（2.2）式得：()()[]()()()qn q n q p r pm p m q p s n m nm b n a m s r C n m b a 101)(101)(,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++∑∑∑∑∞=-+∞=-+∞=∞=αλλλλ. 故不等式（2.1）和（2.2）是等价的.若不等式（2.2）的常数因子()s r C ,,,21αλλ不是最佳的，则由（2.9）得到的常数因子()s r C ,,,21αλλ也不是最佳的，这与前面已经证明过的()s r C ,,,21αλλ是（2.1）的最佳常数因子矛盾.故()s r C ,,,21αλλ是（ 2.2）的常数因子.证毕.注 在（2.1）和（2.2）式中令1=α，λλλ==21可得到与文[9]相关的结论. 在（2.1）和（2.2）式中令常数2==q p ，可得： 推论1设,0,0,021>>>λλα12220,220,0,0αλαλ<-<<-<≥≥s r r s ，()2121212λαλλλλλ-+=+s r ，0,0≥≥n m b a ，()∞<+<∑∞=-0214120m ms a m ,()∞<+<∑∞=-0214120n n r b n ,则有 ()()[]()()()2102120214,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+<+++∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=n nr m m s n m n m b n a m s r C n m b a αλλαλλ.（2.10） 其中()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121,,22,2221,21λλβλλαλλr s s r C 是最佳常数因子. 其等价形式为：()()()[]()()∑∑∑∞=-∞=∞=-+<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++0214,,0204112,1212122121m ms n mm r a m s r C n m a n αλλαλλ.（2.11）其中()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21221,,22,2241,21λλβλλαλλr s s r C 是最佳常数因子. 在（2.10）和（2.11）式中令常数λλλ==21，可得：推论2 设,0,0>>λααλαλ220,220,0,0<-<<-<≥≥s r r s ，()αλ-=+22s r ，0,0≥≥n m b a ，()∞<+<∑∞=-0214120m ms a m ,()∞<+<∑∞=-0214120n n r b n ,则有()()[]()()()2102120214,001212,1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+<+++∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=n nr m m s n m nm b n a m s r C n m b a αλαλλ.其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλβλαλ22,2221,,r s s r C 是最佳常数因子. 其等价形式为：()()()[]()()∑∑∑∞=-∞=∞=-+<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++0214,0204112,121212m ms n mm r a m s r C n m a n αλαλλ.其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλβλαλ22,2241,22,r s s r C 是最佳常数因子. 显然，本文定理是现有文献结论的推广和统一. 参考文献：[1]Hardy G H, Littlewood J E, Polya G . Inequalities[M].Cambridge Univ Press,1952.[2]Mitrinovic D S, Pecaric J E, Fink A M. Inequalities Involving Functions and Their Intergrals and Derivatives[M].Kluwer Academic Publishers, Boston,1991.[3]杨必成.关于Hardy-Hilbert 不等式的多参数的推广[J].广东教育学院学报,2003,23(2):1-6.[4]杨必成.关于Hilbert 不等式的一个推广应用[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2004,17(2):154-158. [5]隆建军.关于Hardy-Hilbert 不等式的多参数推广[J].贵州师范学院学报,2011,27(12):6-9.[6]隆建军,杨厚学.关于Hardy-Hilbert 不等式的一个加强及应用[J].云南民族大学学报(自然科学版),2012,33(2):22-26.[7]杨必成.一个对偶的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学研究与评论,2007,27(4):773-780.[8]隆建军,杨厚学.Hardy-Hilbert 不等式一个新的改进[J].云南民族大学学报(自然科学版),2012,21(3):197-201.[9]杨必成.一个对偶的Hardy-Hilbert 不等式及其推广[J].数学进展,2006,35(1):102-108. [10]王竹溪,郭敦仁.特殊函数论[M].北京:科学出版社,1979.A Kind of Generalized Hardy-Hilbert InequationLONG Jian-jun(DaHe Middle School of Panzhihua,Sichuan panzhihua 617061,China)Abstract:In this paper,by introducing parameters 1λ、2λand α,and the method of the weight coefficient,we give a new extension and a best constant factor of Hardy-Hilbert's inequality.As its applications,we build its extended equivalent form.The results presented in this paper improve and unify some recent results in this field.Key words : Hardy-Hilbert inequality;weight function;Holder inequality该文发表于全国科技核心期刊《贵州示范大学学报》（自然科学版），2013年6月第6期第8-10页.。
一个Hardy—Hilbert型不等式的加强
ｌ ０
汕头大学学报 （ 自然科学版 ）
第２ ８卷
耋 茎 南 ＜ ｛ ［ ４ 一
ＶＯ１ ． ２ ８ ＮＯ ． ４
文章编号 ：１ ０ ０ １ — ４ ２ １ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ ０ ９． ０ ６
一
个Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式 的加强
隆 建 军
（ 攀枝花市大河 中学 ，四川 攀枝花 ６ １ ７ ０ ６ １ ）
引理 １ ． ２ ｌ ｌ ５ 设ｒ ＞ｌ ， ∈（ ０ ， ∞） ，则 函数 ：
＝ ＋
（ ｆ ） ｄ ｌ ＇
（ ７ ）
１ ＋
ｒ
） 七 （ ＋
） 寿ｄ ｔ
在（ ０ ， ∞） 是严 格递 增 的．
引理 １ ． ３ 设 ｒ ＞１ ，ｎ∈／ ｖ则有下 列权 系数不 等式 成 立 ：
近 年来 得到 了一 些优 秀 的结论 ０ 】 ．
２ ０ ０ ０ 年 ，匡继 昌在文献［ １ １ ］ 中巧用权系数的方法 ，给出（ ２ ） 式 的如下加强式 ：
ｍ Ｚ ｃ ￣Leabharlann ｂ… ＜ｍ
｛ ［ ｐ ｇ － Ｇ （
｛ ｎ ∑ ＝ ｌ ［ ｐ ｇ ＿ Ｇ （ ） 】 ６ ：
（ ６ ）
（ 。 。 ） ＝ｏ （ ｉ ＝１ ， ２ ， …，
５ ） ， 在 （ ６ ） 式 中 ， 令ｎ 一∞ ， 则 有Ｊ （ ￡ ） （ ｔ ） ｄ ｔ ＝ ＿ ／ （ ｍ ） （ ０ ＜ ｓ ＜ １ ） ， 且
Hardy-Hilbert型不等式的一个新推广
∑ ∑
ＶＯ ． ０Ｎｏ １ Ｉ２ ．
Ｍａ． Ｏ ８ ｒ２ Ｏ
文章 编号 ： １７ －６ ４（０ ８０ —００ 一Ｏ ６ ２ １６２０ ）１ ｏ ７ ２
Ｈａｄ － ｌｅｔ ｒ ｙＨｉ ｒ 型不等式 的一个新推广 ｂ
姚金斌 ，贺乐平 ∑
（． １ 吉首大学 师范学院， 湖南 吉首 ４ ６０ ； ． １００ ２吉首大学 数 学与计算机科学学院， 湖南 吉首 ４６ ０） １０ ０
／Ｌ ／Ｌ
Ａ
Ｐ＞ｑ＞ １ ，因 １ ＋ ／＝ ，有 Ｐ＞２ ／ ｌ ｌ ｐ ｑ ．令 Ａ ｐ２ ＝ ＝ ／，日
ｌ
ｑ
ｑ
—
其 中 —
一 是 最 佳 值 ． （） 就 是 著 名 的 １式
ｐ（一 ） 有 １ ＋ ／＝ ．由 Ｈ６ｄｒ ／ ２，则 ｐ ／ Ｉ Ｉ Ａ Ｂ １ｅ 不等 式，得 到
（ ｂ）＜ 口，
（ 一 Ｒ） ， １ ∑ （） ３ 口
ｑ
／
Ｐ
、
０ ∑ 桕， 有 ＜ ＜ 则 ：
ｎ ＝ｌ
其中 ＝ ａ）Ｓ易 ）＜，Ｉ＝ ， ， Ｒ （ ，－ｑ ，） １ Ｉ １且口 （ｃ （ｃ ｃ ｌ Ｉ
Ａ
、
易／ ２
＝
／
，
ｃ 线性无关、 ∑ ∑ 证 明 首 先考 虑 Ｐ≠ｑ的情 形．不失 一般 性，设 口
口 ｂ ０， Ｐ ＞ １ ， ｎ ，二 ＋二 ＝ １
，
一
窜
／
８
Ｐ
＝
＜一
１
１
０ ＜
４，使 得 ０＜
（／易 ｌ： ． ａ２ ） ｌ ｐ ｐ， ｐｌ一 ｌ０ 易
（ ４ ）
关于一个Hardy-Hilbert型不等式的改进与推广
（ ２ ｇ ＋ｌ ｎ ｎ ）
１ （ ＋ ｌ ｎ ｎ ） ＋ 。
∞ （ ｎ ， ） ＝∑ （
１
关 于一 个 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ—Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型 不 等 式 的改 进 与 推广
罗 静 ，隆建军
（ １ ． 四川理工学 院理学 院 ，四川 自贡 ６ ４ ３ ０ ０ ０； ２ ． 攀枝花市大河 中学 ，四川 攀枝花 ６ １ ７ ０ ６ １ ）
摘 要 ： 对Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ａ不等式进行 了研 究。通过 引入参数 对杨必成权 系数不等式作 出了加强推
作者简介 ： 罗 静（ １ ９ ８ ０ ‘ ） ， 女， 四川 自贡人 ， 助教 ， 主要从事数 学分析与复变 函数理论方面的研 究， （ Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ） ３ ７ ９ ０ ４ ０ ７ ６ ３ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｎ
６ ８
四川理 工 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
２ ０ １ ３ 年 １ ０月
砉 （ 丌 一
） ｎ ］ ÷
（ ７ ）
（ 等） ＜ 丌（ ３ ）
得 到一 个 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不 等 式 ：
仃
耋 （ 仃 一
） ｎ ｌ ＿ ２ ｎ ２
，
（ ８ ）
窆
ｍ
＝ｌ
而
＜ 仃 （ 耋 ｎ 。 ｎ ： ） 士
（ ４ ）
Ｖ ｏ ｌ ＿ ２ ６ Ｎ 。 ． ５ Ｏ ｃ ｔ ． ２ ０ １ ３
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ － １ ５ ４ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ － ０ ０ ６ ７ － ０ ４
一个较为精确的Hardy-Hilbert型不等式
本文 引入 独立参 数 ， 应用权 系 数 的方 法 及 实分 析 技 巧 ， 建 立一 个 式 （ ６ ）的较 为 精 确 、 具 有最 佳 常 数 因子
∑ 一 算 子 表示式 、 的推 广式 ， 还考 虑 了等价 逆 式及 特殊 形式 ． ｍ 式、 引 理
如无特别声 明， 本文下设 ： ≠０ ， １ ， １＋１—１０＜
，
，
≤ １ （ 一 １ ， ２ ）， ＋ ２ 一 ａ，
（ １ ） 一１Ｂ（ Ｉ ￣ １
＿
，
Ｐ
ｑ
∑ 警 ） ， ｛ ｝ ： 一 ｌ ， ｛ ｖ ｝ 为 正 数 列 ， 卢 ∈ ［ － ０ ／ ￣ 百 ∈ ［ ０ ， ］ ，
一
一
∑ 一 卢 ， 一∑ ｖ 一 ，
则
有 如
Ｆ
（ ２）
设｛ ｝ ： ： ， ｛ ｖ ｝ ； 为正 数列， Ｕ 一∑ ，
＝ １
一
∑ ， ， 则 有如 下式（ １ ） 的 推 广 式（ 在［ ２ ］ ， 定理３ ２ １ 中，
置换 … １ ／ ｑ ａ ， １ ｂ 为 ａ ， ｂ ） ：
第３ ５卷
第 ５期
广 东 第 二 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｖ ｏ１ １ ５
Ｂ （ ： 一 Ｊ 。 者 ｔ ｕ － ￣ ｄ ｔ ＞ Ｏ ） ・
当 口一 一１ ， ＝ ＝ ： ， 一 时， 式（ ４ ）变为 式 （ １ ） ． ２ ０ ０ ９— ２ ０ １ １ 年， 杨在 专著 ［ ５ — ６ ］中系统论 述 了引人 参量
一个较为精密的Hardy-Hilbert型不等式的加强及应用
。 ＜ 薹 ［ 一 ｎ ］ Ｐ ＜ 。 。 ， 。 ＜ ￣ ｔ ｌ ＂ ｐ ！ － ｓ ６ ＜ 。 。 ， 贝 有 ：
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Ｔｈｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ａ ｎ ｄ ｕｎ ｉ ｆ ｙ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ．
第１ ５ 卷第１ ２ 期
Ｖ０ １ ． １ ５ ． Ｎｏ ． １ ２
宜 宾 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙ ｉ ｂ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
２ ０ １ ５ 年１ ２ 月
Ｄｅ ｃ ． ． ２ ０１ ５
一
个较为精密 的 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ
一
一 ＼ 、●
Ｔ ｈ ｅ Ｓ ｔ ｒ ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ａ Ｍｏ ｒ ｅ Ａｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ Ｈａ ｒ ｄ ｙ 。 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ Ｔ ｙ ｐ ｅ Ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ Ｉ ｔ ｓ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
关于Hardy-Hilbert不等式的多参数推广
２０ ０３年 ， 杨必成在文献 ［ ］ ７ 中引入参数 Ａ ， 和 ｃ函数 ， 运用 权 系数 的方 法建 立 了一个 推 广 的 带有 最佳 常数 因子 的 Ｈ ｒｙ ｉ ｅｔ ａｄ —Ｈｌ ｒ不等 式 ： ｂ
厂 （） 一 ０＝ 『
１
２
＋
（ Ａｍ ＋ １ ｉ ， ２ ）
第２ ７卷 第 ｌ ２期
２１ ０ １年 ｌ ２月
贵 州师范学 院学报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｉ ｏ ｒ ｌＣ ｌ ｇ ｏ ｒａ ｆ Ｇｕｚ ｕＮｏｍａ ｏｌ ｅ ｈ ｅ
Ｖ０ ． ７ Ｎｏ １ １２ ． ． ２ Ｄｅ ． ０ｌ ｃ２ ｌ
关 于 Ｈ ｒｙ—Ｈｌｅｔ 等 式 的多 参数 推 广 ａｄ ｉ ｒ不 ｂ
隆 建 军
（ 枝花 市 大河 中学 ， 攀 四川 攀枝 花 ６７ ６ ） １０ １
摘要 ： Ｈ ｒｙ ｉ ｅｔ 对 ａ —Ｈｌ ｒ不等式进行 了研 究， ｄ ｂ 并将其进一 步改进如 下： 若ｐ＞１ ＋ ＝１０＜Ａ， ， ， Ｂ≤１ ，
≥ｏ 使 ０＜ ，
＜∞ ｏ＜磊 ：＜∞ 则 ・ ，
ｐｉｔ ｌ ， Ａ≤’ ｎｏｄ ＜ ， ：∞ｈｗ ｏｄ ｒｅｌ ， 寺 ｏ ， ｌ ≥＇０ ｖ ｄｌ 寺 呻＞ ＜曰 。 ａ ＜ 。０ ＜ ， ｎ ｏ＜ １ｅ ｅ ： ｎ
＜
南 一
此为（ ） １式．
（ 一 南
Ｔ ｅ ｒｓ ｌ ｒ ｓ ｎ ｅ ｉ ｐ ｐ ｒ ｉ ｒｖ ｎ ｅ ｅ ａ ｉ ｏ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ ｕ ｔ ｉ ｃ ｎ ｒ ｓ ｈ ｅ ｕｔ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｉ ｔ ｓ ａ ｅ ｓ ｎ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ａ ｄ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｓ ｍｅ ｃ ｒ ｐ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓ ｌ ｎ ｒ ｅ ｔ ｚ ｅ ｓ ｅ ｗｏ ｋ ．
关于一个权系数的Hardy-Hilbert型不等式
Received:
April 28, 2004
author
§ Correspondence
224
∞ ∞
J. Weijian, G. Mingzhe, G. Xuemei
∞ 1/ p ∞ 1/ q
π am bn ≤ m+n sin π / p m=1 n=1 and
2−λ pq .
We therefore have Ψ
2−λ pq
= 0, i.e. Φ′
∞ n=1 1 , (z +n)2
2−λ pq
= 0. It is known from
the paper [21] that ψ ′ (z ) = ζ (2, z ) =
where ζ is the Riemann zeta
1. Introduction Let {an } and {bn } be two sequences of nonnegative real numbers,
∞ 1 p
+
and p > 1. If
n=k
ap n < +∞ and
∞ n=k
1 q
=1
bq n < +∞ ( k = 0, 1 ), then
Γ(m)Γ(n) Γ(m+n) ,
where Γ (z ) is the gamma
1 I 1/ p I 1/ q , Γ (λ) p q
226
J. Weijian, G. Mingzhe, G. Xuemei
where Ir = Γ (1 − rs) Γ (λ − (1 − rs)), r = p, q . Taking the derivative of Φ (s), we have Φ′ (s) = −Φ (s) Ψ (s), where Ψ (s) = ′ (z ) ψ (1 − ps) − ψ (λ − (1 − ps)) + ψ (1 − qs) − ψ (λ − (1 − qs)) , here ψ (z ) = Γ Γ(z ) is the psi function. We choose thus s such that 1 − ps = λ − (1 − qs), so that 1 1 −λ 1 − qs = λ − (1 − ps), hence s = 2 p+q . Since that p + q = 1, it follows that s=
关于Hardy-Hilbert不等式的一个加强及应用
井 冈山大学 学报（ 自然科 学版） ． — ● 一 一 Ｓ／ 厂 ｎ／ 、 ●ｐ 、 ． ， 万一
∑ ∑
。 ∑
．． ．． ．．． ．． ．．． ．．． ，． 。．。 ．． ．．
１９ ９ ７年 ，杨 必 成 和 高 明哲 得 到 如下 权 系 数 估 一 ¨ 计 ［ ８ 】 ．
２ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍａ ａ ｅ ｌ ｔ ｎ Ｅ ｏ ｏ ｓ Ｓｃ ｕ ｎＵ ｅｉ ｆ ｃｅ ｃ ＆ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｚ ｇ ｎ ， ｉｈ ａ ４ ３ ０ ， ｈｎ ） ・ ｃ ｏ ｌ ｆ ｎ ｇ ｎ Ｂ ｄ ｃ ｎ ｍｉ ｉｈ ａ ｍｖ ｒｙｏ Ｓ ｉ ｅ ｅ ａ ｔ ｔ ｎ ｎ ｉｅｒ ， ｉ ｇ Ｓｃ ｕ ｎ６ ０ ０ Ｃ ａ ｎ ｏ ｉ
ｍ 薹’，＜ ｌ ＝ｎ） １（ — ＼ ， 『Ｈ ｌ ； ｌ Ｃ
ｎｐ
∑
若 ０
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文 章编 号：１７ —０ ５２ １）２ ０ ２ － ５ ６４８ ８（０ ２０ － ０ ２ ０
∑ 口
ｐ ｎ
关于 Ｈ ｒｙＨ ｌｅｔ ａｄ ． ｉ ｒ不等式的一个加 强及应 用 ｂ
０
＜
● 隆建军 ，杨厚学 ２
（． 花市 大河 中学 ，四川 ，攀枝 花 １ 攀枝 ６７６ ； ．四川理 工学 院经济 与管理 学院 ，四 川， 自贡 ６３ ０ ） １０ １２ ４ ０ ０
ｏＮＡ Ｔ Ｓ ＲＥＮＧＴ ＮＥ ＨＥ Ｄ ＨＡＲＤＹ ＨＩ ＥＲ ＳＩ ＱＵ Ｉ Ｙ ． ＿ ＬＢ Ｔ’ ＮＥ ＡＬ Ｔ ＡＮＤ Ｉ ＴＳ
Ａ ＰＰＬＩ ＣＡＴＩ ｏＮ
Ｌ ＮＧ Ｊ ｎ ｕ ＡＮＧ Ｈ ｕｘ ｅ Ｏ ａ － ｎ ，Ｙ ｉ ｊ ｏ －ｕ
（．ａｅＭｉｄｅ ｃｏｌ ｆ ａｚｉｕ， ａｚｉｕ， ｉ ｕｎ １０ １ ｈｎ； １ ｈ ｄ ｌＳｈ ｏｏ Ｐ ｎｈ ａＰ ｎｈｈａ Ｓｅ ａ ７ ６， ｉａ Ｄ ｈ ｈ ６ Ｃ
关于Hardy—Hilbert不等式的一种推广
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：Ｈａ ｒ ｄ ｙ － Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ； ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ； Ｈｏ ｌ ｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ
当 ２一ｍ ｉ ｎ ｛ Ｐ ， ｑ ｝＜Ａ≤ ２ 时， 有
＜ （ 、 Ｐ ， 口 ， ）
．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ３— ２ ５
基 金项 目： 四川省教育厅 自然科 学青 年基金资助 （ ２ ０ １ ｌ ｚ Ａ ｌ １ ３ ）
作 者简介 ： 隆建军 （ １ ９ ８ １ 一） 男， 理学学士 ， 中学二级教师 研究 方向 ： 解析不等式 ， ｌ 。 ｎ ａ ｉ ｉ ｎ ｊ ｕ １ ２ ３ ４ ＠１ ６ ３ ． ｃ 。 ｍ
０ 引言
（
乏 口 ， ｂ ≥０ （ ｎ∈Ｎ）， Ｐ ＞１， ｌ ｉ ｐ＋１ ／ ｑ＝１ 。
） ＜ ［ ｓ ｉ ｎ （ ￣ ／ ｐ ） ］
口 ：
（ ２ ）
若０＜
。 ：＜ ∞ ， ０＜
６ ：＜ ∞ ， 则有
这里 ， 常数［ ＇ ｒ ｒ ｓ ｉ ｎ （ 丌 ／ Ｐ ） ］ 仍是 最佳 值 。 不等 式 （ １ ） 和（ ２） 在 分 析 学 中有 重 要 的 应
Ｖ０ ｌ ＿ ３ １ ． Ｎｏ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ２ ０ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ４ －５ ５ ７ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ５ ０— ０ ５
关于 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 不 等 式 的一种 推 广
一类推广的Hardy—Hilbert型不等式
专
・
研 究
黪
・
●
一
类 推广 的 Ｈ ｒ －ｉｅ ａ ｙ ｌ ｒ型不等式 ｄ－ ｂ ｔ Ｈ
◎ 吴 晓 雪 （ 江 瓯 海 梧 田 高 级 中学 浙 ３５１ ） ２０ ４
＋ 一１ ＋ “
【 要 】 文通 过 比 较定 理 １和 定 理 ２ 给 出 了定 理 １的 摘 本 ，
（ ）－（ ） ＋ｒ ｏ ｓ
１ ２
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由式 （ ） 得 ７ ，
ｆ ｏ
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＼ ｍ ２”． （（ ２ ＋ ＋ ）） ＋ ） （ ｄ ｑ ｍ ／
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Ｂ （ ， ）
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令ｃ （古 一） （÷ 一）， ＝ ＝曰 ， ） ， ）。 （ （ 了 古 ÷
ｆ ， １ ．
则 分 别 有
｛ （ ｉｊ ｒ ）： 黑ｎ１ｔ－ ｔ ＋Ｊ： ＋ ． 。｛ ÷ －￣
其 ｆ Ｐ ， ｑ １ 最 常 因 ， （ 是 中Ｂ ， 佳 数 子 （ ） 、 是 曰，
定 理 １ 设 ， ≥。， １ ＋ ６ ｐ ，１
，
给 出定 理 １的有 价 值 的加 强 ．
二 、 ＝
寺 １一 Ｉ｝ ：２ ｉ，ｃ ，ｍｐ ｎｑ
１时
，
定 理 １和 定 理 ２的 比 较
ｔ， ≤且 主 ｚ。
ｎ ＝０
ｒ ｔ＋
÷ｌ：。 ｃ ｒ ） ： ）。 。 ｔ ｌ － ， ｔ 。 ＋ － ÷ｔ
叮Ｔ
如一 一
一 ｐ
，
＝
孙一 孙一 ： ＋ ＋ ｐ 当 １
关于一个改进的Hardy-Hilbert不等式
妻妻
ｍ
＝ Ｏ ｎ Ｏ ＝
＜薹 一 ｛（ ＝
Ｐ
） 薹 一 ｎ （ 老 ） ６ ：
Ｐ
本 文 的 目的是 对上 述 （ ） 中 的不等式 作 进一 步 的改进 ， 而得 到一个 新 的不等 式． ２式 从 为 了证 明 我们 的主 要结果 ，我们 需要 下列 引 理．
（） ５
其 ｒ （ 丌 可 。ｚ （ｙ，：口） ＿Ｉ １ｘ≥ ． 中 ：＿ 一 舌 ） 一卢）Ｙ＝ ，， 一 ， ０ ＝『 ＝『 ， ， ＝ 且ｌＩ ｙ （
不 等式 （ ） ５ 中等式成 立 当且仅 当 ａ与 卢线 性相关 ； 者 ｙ 或 是 和 的线性 组合 ， ｘ 且 ｙ＝ ０， Ｘ≠ Ｙ 但 ．
（ ｑ ） 口ｂ ／ ＝ ｃ （ 一／） ， 易算 出 口 。＝ Ｃ６ 。 Ｐ １６ ｑ 容 Ｐ ＝ １： ． ＝
（） ４
不 等式 （ ） 等 号 当 且 仅 当 ａ 与 。线 性 相 关． 实 上 （ ） 等 式 成 立 当 且 仅 当存 在 ｃ 使 得 ４取 事 ４中 ，
妻妻
ｍ
＝ Ｏ ｎ＝ Ｏ
＜
｛口 妻 薹： ｎ ， ｛训 ＝ Ｏ
其 中常数 因子 —
是 最佳 值 ． 就是著 名 的 Ｈａｄ － ｌｅｔ 这 ｒ ｙＨｉ ｒ 不等 式． ｂ
鉴于 Ｈｉ ｅｔ 等式 和 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ不 ｂ ｌ ｒ 型不 等式 在分 析学 及其 应用 中的重要 性 ， ｂ 因此有 不少 数学 工作 者 一 直在 进行 研究 ． 年来 ， 近 它们 的各 种 改进 和推 广 出现在 大量 的文 献 中（ ［ ］ ５ ） 其 中文 ［ ］利用 权 如 ２ 一［ ］ ， ４
关于Hardy-Hilbert不等式的一种推广
立 了一 个 新 的 Ｈ ｒ —Ｈｌｅ 型 不 等 式 ． ８ｙ ｉ ｒ ｄ ｂｔ
关 键 词 ： ａ ｙ ｉｅｔ 等 式 ； 函数 ； ｏ ｅ 不 等 式 Ｈ ｒ —Ｈｌ ｒ不 ｄ ｂ 权 Ｈｌ ｒ ｄ
中 图分 类 号 ： １２ ２ Ｏ７ ． ６ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ８ ９ Ｘ ２ ０ ）９— ０ ０ ５ １０ —２ ３ （ ０ ７ ０ ０ １ —０
张 焕 萍 盛 宝 怀 ， ２
（ ． 兴文 理 学 院 １绍 数学系 ， 江 浙 绍 兴 ３２０ ； ． 波 大 学 １００２ 宁 数学系 ， 江 浙 宁 波 ３５ １） １２ １
摘
要 ： 用 改 进 的 Ｅｌ —Ｍａｌ ｒ 求 和 公 式 和 Ｈ ｌ ｒ 等 式 ， 利 ｕｒ ｅ ｃ ｕｎ ａｉ ｏｅ不 ｄ 引入 参 数 ａ ｔ， Ｈ ｒｙ ｉｅｔ 不 等 式 作 了推 广 ， ， 对 ａ —Ｈｌ ｒ型 ｄ ｂ 由此 建
式为：
＜ｓ＇］＝Ｐ１ｐ｛ｎ１） ｇ （ 【（ ） （｛ａ 妻（（ｂ ， ２ Ａ ￣ ０－－ ｝ ｑ１ｑ ｉ／ ｛ｎ１｝ ｎｐ ｎ ｝ －Ｘ｝ ￣ ） － ）
［ ］ 口 ｛ ： ｛ ）
ａ ＝ｏ
其中， 常数 因子 ［ｒＡ ｉ（ ／ ） 是最佳 值 ． ￣ ｓ 丌ｐ］ ／ ｎ 当 ＝ １ ， 时 不等式 （ ） ２ 式成 为不 等式 （ ） 文献 ［ ］５ ［ ］ １． ４ ［ ］６ 还通 过 引入参 数 ａ， 立 了一些较 为精密 的 Ｍｕｈｌ ｎ 不等 式 ． 建 ｌｏ ａ ｄ ｌ 特别 ， 杨必成 在 文［ ］中引人 参数 ａ 给 出的不等 ３ ，
， ． ． ． 。。 ， 。 ． 。
＾＿０
∑一
－／ 一
・ｍ 口 ｎ ＋ （＋ 口 ｎ
关于推广的Hardy-Hilbert 不等式
11.
11 胁。
当 Po
户m
1( 一…
1( Sln 一一
户。
如果做 L f'上的线性算子
<
2 且 P'
π
>
究
2 时，
t-LJPAJ +I -su
一 口 O i
c
T(f哨) =厂五乒邸， J
0
X 山ry
π sm 一-
黯不等式 (2) 可以写为
11
Pm
一 E -n … 扩
T(f)L
Lp
1.)
I'
11
a 11
M川
文中的讨论方法说明作为一种具体的 Banach 空间， Ba 空离不仅为研究函数 i逼近攻论、算子内插
理论和满和分析理论提供了典型的验证空间，尚且其本身也是空沟理论中处泼问题的一种方法。 关键词: Banach 空间; Orlicz 空间; Hardy-Hilbert 不等式
中图分类号 :0174.41 文献栋志码 :A 文章辑号 :1007-1261(2009)04叫0012ω03
O, G C
Rn 为有界或无界区城。记
L品口 {fω: 3a>O 捷{户 lfω i)由<十∞ j 。
那设 L品为自 M( 的陌生成的 Orlicz 空间，在其上
可以赋予 Or 1i cz 11也数
是借助于有界线性算子理论及 Ba 空间理论，首先 将满足一定条件的 Orlìcz 空闰著作特棘的 Ba 间，建立 Ba 空间中的 Hardy- Hil bert 不等式，然
三二…卫士 11 f
sm
由一
因此，
11 Lp'
11 T(u)
hilbert型不等式的一个推广
hilbert型不等式的一个推广
Hilbert型不等式的一个推广
1. 什么是Hilbert型不等式？
Hilbert型不等式又被称为Hilbert不等式，是通常用于描述数学空间中
实变函数的一个实数不等式，由德国数学家David Hilbert在1893年第
一次提出。
Hilbert型不等式是由实数范畴论的概念推出来的，它说明
了实数范畴论中实变函数的状态，是不可避免的大数量的实变函数的
基础理论。
2. Hilbert型不等式的推广
Hilbert型不等式的推广是指，基于Hilbert型不等式的原理，把它扩展
到多维实数函数的概念，也就是Hilbert不等式的多维推广。
简单地说，它是把原来的Hilbert型不等式公式由一维拓展到多维，用来定义不同
维度的函数，比如把一维实数函数推广到二维、三维、四维等多维实
数函数。
这样一来，Hilbert型不等式就可以用来描述多维实数函数的
变化规律，从而可以为更复杂的实变函数改变提供强有力的数学分析
方法。
3. Hilbert型不等式推广的应用
Hilbert不等式的推广可以广泛应用于科学领域，尤其是惯性系统建模
过程中的系统分析和控制，它提供了一种非常有效的分析方法，可以
用来控制和管理系统参数，使系统更加稳定和可靠。
例如，我们可以
利用Hilbert不等式的推广，对多智能体机器人的运动模式，机器学习，以及复杂系统的动态行为等进行分析和预测，以达到良好的效果。
另外，Hilbert不等式的推广也可以用于有关多参数优化，特别是在需要
高速计算的场合中，可以得到较好的表现。
一个推广的具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert类不等式
一个推广的具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert类不等式刘琼;李继猛【摘要】引入λ1,λ2,r,s等多个参数,利用权系数方法,借助H(o)lder不等式,给出了一个具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert类不等式,建立了其等价形式,浅谈了其应用.%By using the method of weight coefficient and Holder's inequality and introducing A, ,A2 ,s,r etc,a generalization of the Hardy-Hilbert' 8 type inequality with the best constant factor is given, and the equivalent form is established and its application are discussed.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2011(033)003【总页数】5页(P22-26)【关键词】Hardy-Hilbert类不等式;权系数;最佳常数因子;H(o)lder不等式【作者】刘琼;李继猛【作者单位】邵阳学院科学与信息系,湖南邵阳422000;邵阳学院科学与信息系,湖南邵阳422000【正文语种】中文【中图分类】D15设，则其对应的级数形式为:这里的常数因子pq是不等式(1)和(2)的最佳值.关于这两个不等式的推广和改进，近年取得了众多的成果［2～8］，本文引入λ1，λ2，s，r等多个参数，利用权系数方法得到一个更一般的具最佳常数因子的Hardy-Hilbert类不等式，建立了其等价形式，并浅谈了其应用.1 有关定义和引理定义如下权函数:引理1设p＞1，1/p+1/q=1，s，r≥0，0＜1－rp＜λ1，0＜1－sq＜λ2，λ1rp+λ2sq=λ1+λ2－λ1λ2则证明同理可推证引理2设p＞1，1/p+1/q=1，s，r≥0，0＜1－rp＜λ1，0＜1－sq＜λ2，λ1rp+λ2sq=λ1+λ2－λ1λ2则证明同理可得2 结论与证明定理1设p＞1，1/p+1/q=1，s，r≥0，0＜1－rp＜λ1，0＜1－sq＜λ2，λ1rp+λ2sq=λ1+λ2－λ1λ2，f(x)，g(y)≥0，使得，则其等价形式为:这里的常数分别是式(3)和(4)的最佳值.证明由Hölder不等式和引理1有:若上式取等号，则由文献［6］，有不全为零的实数A，B，使Afp(x)a.e.(x，y)∈(0，∞)×(0，∞)，不妨设A≠0，则有，矛盾于，故有不等式(3)成立.设ε为任意小的正数，函数，则又若不是式(3)最佳值，则存在正数，使式(3)的常数因子换成K后仍成立，于是由(5)和(6)有让ε→0+，得是式(3)的最佳值.置，由式(3)有由此得，即上式即为(4).反之，由Hölder不等式有上不等式即为式(3)，因此式(3)和(4)等价.若式(4)中的常数因子不是最佳的，则由式(4)得到式(3)的常数因子也不是最佳的，这与前面证明过的结论矛盾，故常数是(4)的最佳值.定理2设p＞1，1/p+1/q=1，s，r≥0，0＜1－rp＜λ1，0＜1－sq＜λ2，λ1rp+λ2sq=λ1+λ2－λ1λ2，am，bn≥0，使得，则其等价形式为:这里的常数也分别是式(7)和(8)的最佳值.证明由Hölder不等式和引理2，利用类似定理1的方法易证式(7)成立.设ε为任意小的正数，因为，所以有:由式(9)和(10)易得常数是式(7)的最佳值.用类似定理1的证明方法易证式(7)和式(8)等价，且常数是式(8)的最佳值。
一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert不等式
一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert不等式
孙保炬
【期刊名称】《数学进展》
【年(卷),期】2007(36)1
【摘要】本文的目的是建立新的具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert不等式的推广式.对二重级数适当配方,利用Holder不等式及β-函数,得到下面的推广式:∑∞m ＝1∑∞n＝1.αnbn/(mc+nc)λ/c＜cλ,p(∑n(p-1)(1-λ)apn)1/p(∑n(q-1)(1-
λ)bqn)1/q,这里λ＞0,c＞0,p＞1,1/p+1/q=1,an≥0,bn≥0,cλ,p=1/cB(λ/cp,λ/cq).通过选取两个特殊序列,证明了常数因子cλ,p是最佳的;还给出了它的等价形式.用类似方法给出了重积分形式的Hardy-Hilbert不等式的推广式及其等价形式.【总页数】8页(P39-46)
【作者】孙保炬
【作者单位】浙江水利水电专科学校,杭州,浙江,310018
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一个推广的具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert类不等式 [J], 刘琼;李继猛
2.关于一个推广的具有最佳常数因子的Hilbert类不等式及其应用 [J], 杨必成
3.一个具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert不等式 [J], 刘琼;李继猛
4.一个推广的具有最佳常数因子的Hilbert型不等式 [J], 杨必成
5.一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert 积分不等式 [J], 杨必成
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∞ 口 ２ ｍ 口
（ ３ ）
这里常数ｆＳ Ｉ／ Ｊ 是最佳的， ＼ ＿ ＿ ｌ ｌ ＿ ／ ＾ ｎ７ 口 ｒ 杨必成［ ５ 给出了一个较为精密Ｈ ｒ — ｉｅ 型不等式： ａ ｙＨｌ ｒ ｄ ｂｔ
∞ ∞
血＜ （
这 里 ， ≤ ≤１ 。
∑
Ｓ Ｎ ａｊ Ｕ ８ｏ ｕ
（ｈ ｉ ｇＷａ ｒ ｏ ｓｒａｃ Ｚ ￣ａ ｔ ｎｅｖｎｙ＆ Ｈ ｄｏ ｏ ｅ ｏ ｅｅ Ｈ ｎｚｏ １０ ８ Ｃ ｉａ ｎ ｅＣ ｙ ｒｐｗ ｒ ｌ ｇ ， ａｇｈ ｕ３ ０ １ ，ｈｎ ） Ｃｌ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｙ ｉ ｔ ｄ ｃｎ ａ ａ ｔ ｒＡ， ｎ ｓｎ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ｕ ｅ — ｃａ ｒ Ｓ ｓ ｍｍａｉｎ ｆｒ ｌ ， ｎ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈｓ ａ ｅ ，ｂ ｎ ｒ ｕ ｉ ｇ ｐ ｒ ｍｅｅ ａ ｄ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｉ ｒ ｖ ｄ Ｅ ｌｒ Ｍａ ｌｕ ｉ ｕ ｏ ｎ’ ｔ ｏ ｍｕ ａ ａ ｏ ｅ ｔ ｎ ｉｎ ｏ ｒ ｙ Ｈｉ ｅ ｔｔｐ ｎ ｑ ａ ｉ ｉ ｅ ｔｃ ｎ ｔ ｎ ａ ｔｒｉ ｓ ｂ ｉｈ ｄ ｓ ａ ｐｉ ａｉ ｎ， ｅ ｅ ｕ ｖ ｌ ｎ ｏ ｘ ｅ ｓｏ ｆ Ｈａ ｄ － ｔ ｒ ｙ ｅ ｉｅ ｕ ｌ ｙ ｗ ｔ ａ ｂ ｓ ｏ ｓａ ｔｆ ｃｏ ｓｅ ｔ ｌ ｅ ．Ａ ｐ ｌ ｔ ｂ ｔ ｈ ａ ｓ ｃ ｏ ｔ ｑ ｉａ ｅ ｔｆｒ ｈ ｍ
Ｖｏ ．８ Ｎｏ． １２ ５ Ｍ ａ ２０１ ｖ ２
科 技 通 报
Ｂ Ｌ Ｉ ＣＥ ＵＬ ＥＴ Ｎ ＯＦ Ｓ Ｉ ＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥ ＨＮ０Ｌ ＧＹ Ｃ Ｏ
第 ２ 卷 第 ５期 ８
２ ２年 ５月 ０１
一
个 推广 的 ａｄ— ｉ ｅｔ Ｈ ｒｙ Ｈ ｌ ｒ型不等 式 ｂ
第５ 期
孙保炬． 一个推 广的 Ｈａ ｙ Ｈｉ ｅ 型不等式 ｒ — ｌｒ ｄ ｂｔ
１ ９
杨 必 成 引入 参 数 Ａ∈（ ｍｉ（ ｑ ） 出 了不 等 式 （ ）如 Ｆ Ｊ ： ４ ０， ｎｐ， ）给 １ 推
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收 稿 日期 ： ０ １ ０１ ０ ２ １－ － ５
作者简介 ： 孙保炬 （９ ３ ） ， １６ 一 男 浙江诸 暨人 ， 教授 ， 主要从 事解 析不 等式 等研 究。Ｅ ｍ ｉ ８ｎ ｊ ｚ ｃｃ ｏ — ａ ： ｕ ｂ＠ ｊ ｈ． ｍ ｌ ｗ ｃ
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． （ ４ ）
本 文 利 用 改 进 的 Ｍｕｅ— ｃａｒ ｌｒＭａｌｕｉ 和公 式 ， 化权 系 数 方 法 ，引人 参 数 Ａ， ｎ求 优 ，将 （ ） 似 于从 （ ） ４类 １ 到 （ ）的 推 广 。 这 里 联 系 于 如 下 二 重 级 数 ： ３
孙保 炬
（ 浙江 水 利 水 电专 科 学 校 ， 州 ３ ０ １ ） 杭 １ ０ ８
摘
要 ： 过 引 入 参数 Ａ 应 用 改 进 的 Ｍｕ ｒＭ ｃ ｕｉ 求 和 公 式 ， 一 个 Ｈ ｒｙ Ｈ ｌ ｒ型 不 等 式 以具 通 ， ｌ — ａｌ ｒ ｅ ａ ｎ 给 ａｄ— ｉ ｅｔ ｂ
有 最 佳 常 数 因子 的推 广 ， 为 应 用 ， 出 了它 的 等 价 形 式 。 作 给 关 键 词 ： ｒ — ｌｅ 型 不等 式 ； ｌ — ａ ａｒ 求 和公 式 ； 系数 Ｈａ ｙ Ｈｉ ｒ ｄ ｂ ｔ Ｍｕｅ Ｍ ｃ ｕｉ ｒ ｌ ｎ 权
中 图分 类 号 ： ７ Ｏ１ ８ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １ ７ １ （ ０ ２ ０ — ０ ８ ０ １０ — １９ ２ １ ）５ ０ １— ６
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重 要 应 用 。 近 几 年 来 ， 必 成 ，ａｈ ａｔ， 继 昌 ， 明哲 ， 勇 ， 长 健 等 很 多 学 者 对 Ｈｉ ｅｔ 等 杨 Ｐｃ ｐｔ 匡 ｅ 高 洪 赵 ｌ ｒ不 ｂ 式 ， ｒｙ Ｈ ｌｅｔ 等 式 ， ｉ ｅｔ 不 等式 ， ｒｙ Ｈｌｅｔ 不 等 式进 行 了改 进 和 推 广 。匡 继 昌等 Ｈａｄ— ｉ ｒ不 ｂ Ｈｌ ｒ 型 ｂ Ｈａｄ — ｉ ｒ型 ｂ 利 用 改 进 的 Ｅ ｌ — ｃｌｕｉ 和公 式 ． 到 一个 较 为 精 密 的不 等式 ： ｕｅ Ｍａｃ ｒ ｒ ａ ｎ求 得
０ 引 言
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