(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题6 第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积课件 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题6 第26练 完美破解立体几何证明题课件 理
变式训练 2
(2014· 广东 ) 如图 (1) ，四边形 ABCD 为矩形，
PD⊥ 平面 ABCD ， AB ＝ 1 ， BC ＝ PC ＝ 2 ，作如图 (2) 折叠，
折痕 EF∥DC. 其中点 E ， F 分别在线段 PD ， PC 上，沿 EF 折
叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
专题6 立体几何与空间向量
第26练 完美破解立体几何证明题
题型分析·高考展望
立体几何证明题，是高考必考题，证明平行、垂直关系是 主要题型，特别是垂直关系尤为重要 . 掌握判定定理、性 质定理并能灵活运用是解题的根本 . 学会分析推理的方法 和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过 专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该 类题型不失分.
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. 证明 连接HE， 因为G，H分别为AC，BC的中点， 所以GH∥AB. 由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H为BC的中点， 所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，
高考题型精练
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1.(2015· 广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平
面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是 ( ) A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC. 由(1)知GF∥BC，∴GF⊥平面PDC. 又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第24练 数列求和问题 理
第24练数列求和问题[题型分析·高考展望] 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题.常考题型精析题型一分组转化法求和例1 等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.点评分组求和常见的方法：(1)根据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可能是等差数列或等比数列.(2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.(4)根据奇数项、偶数项分组.变式训练1 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，a3＝5，S10＝100.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n＋2n，求数列{b n}的前n项和T n.题型二错位相减法求和例2 (2015·山东)设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.点评 错位相减法的关注点：(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项“{a n ·b n }”型数列求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比. ②把两个和的形式错位相减. ③整理结果形式.变式训练2 (2014·四川)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *).(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a nb n }的前n 项和T n .题型三 裂项相消法求和例3 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列. (1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差.点评 (1)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1a n ＋1).其余还有公式法求和等.(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项.变式训练3 (2014·大纲全国)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .高考题型精练1.(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞02.(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n (n ＋1) B.n (n －1) C.n n ＋12D.n n －123.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n n ＋2，则其前n 项和S n 为( )A.1－1n ＋2B.32－1n －1n ＋1C.32－1n －1n ＋2D.32－1n ＋1－1n ＋24.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.66.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋17.在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.8.数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________.9.(2015·天津模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .10.(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和.11.(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.12.(2015·安徽)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .答案精析第24练 数列求和问题 常考题型精析例1 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意.因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1(n ∈N *).(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3 ＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.变式训练1 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n )＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n2＋n －23.例2 解 (1)因为2S n ＝3n＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ，经检验，n ＝1时也适合.综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .变式训练2 解 (1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n.所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以T n ＝2n ＋1－n －22n .例3 解 设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，∴a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0，∴a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45可得S 10＝10a 1＋10×92d ＝45，即90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)·13＝13(n ＋8).(2)b n ＝1a n an ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1]＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd＝1d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19－1n ＋9＝19－1n ＋9.所以1d 2＝1，d ＝±1.故数列{a n }的公差d ＝1或－1.变式训练3 解 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数.又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3. 数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1 13－3n 10－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10 10－3n .高考题型精练1.B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.]2.A [由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n ＝2n ＋nn －1 2×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1).]3.D [因为a n ＝2n n ＋2 ＝1n －1n ＋2，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2.故选D.]4.A [因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .] 5.C [a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m m －1 2d ＝0， 故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.]6.B [∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1.] 7.nn ＋1解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1qn －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 8.1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15× 10＋234 2＝1 830.9.(1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列. ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1.(2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －1 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.10.解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设{a n2n }的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2 ＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.11.解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1， 故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.由递推公式得当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝122n -； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝. 所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 122n -，n 为奇数，22n，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1. 设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 12.(1)解 y ′＝(x2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1).令y ＝0， 解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.所以数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1.(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知 T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2.当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝ 2n －122n 2> 2n －1 2－1 2n 2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n .。
(全国通用)高考数学 考前三个月复习冲刺 中档大题规范练3 立体几何 理
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月中档大题规范练3 立体几何理1.(2015·石家庄二模)如图(1)所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，如图(2)所示.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积和体积.2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面GEF∥平面ABD.3.(2015·济南外国语学校模拟)如图所示，已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1各棱长都是2，∠BAD ＝∠A1AD＝60°，E，O分别是棱CC1，AD的中点，平面ADD1A1⊥平面ABCD.(1)求证：OC∥平面AED1；(2)求证：AD⊥D1C；(3)求几何体D—AED1的体积.4.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求PB 与CD 所成的角；(2)求直线PD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)求二面角B －PC －D 的余弦值.5.如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°，如图2.(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大；(2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，线段CD上是否存在点N，使得EN⊥BM？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.6.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝23，PA⊥PD，Q为PD的中点.(1)证明：CQ∥平面PAB；(2)求二面角D—AQ—C的余弦值.答案精析中档大题规范练31.(1)证明 在△ABD 中，因为AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， 所以BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠DAB ＝2 3. 所以AB 2＋BD 2＝AD 2.所以AB ⊥BD .因为平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面EBD . 又DE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥DE . (2)解 由(1)知AB ⊥BD .因为CD ∥AB ， 所以CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD .在Rt△DBE 中，因为BD ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2， 所以S △EDB ＝12BD ×DE ＝2 3.因为AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥BE . 因为BE ＝AD ＝4，所以S △EAB ＝12AB ×BE ＝12×2×4＝4.因为DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ， 所以ED ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ， 所以ED ⊥AD .所以S △EAD ＝12AD ×DE ＝12×4×2＝4.综上，三棱锥E —ABD 的侧面积S ＝S △EDB ＋S △EAB ＋S △EAD ＝8＋2 3.因为DE ⊥平面ABD ，且S △ABD ＝S △EDB ＝23，DE ＝2， 所以V 三棱锥E —ABD ＝13S △ABD ×DE ＝13×23×2＝433.2.证明 (1)取BB 1的中点为M ，连接MD ，如图所示. 因为BB 1＝2BC ，且四边形BB 1C 1C 为平行四边形， 所以四边形CDMB 和四边形DMB 1C 1均为菱形， 故∠CDB ＝∠BDM ，∠MDB 1＝∠B 1DC 1， 所以∠BDM ＋∠MDB 1＝90°，即BD ⊥B 1D . 又AB ⊥平面BB 1C 1C ，B 1D ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1D .又AB ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD .(2)如图所示，连接MC 1，可知G 为MB 1的中点，又F 为B 1C 1的中点，所以GF ∥MC 1. 又MB 綊C 1D ，所以四边形BMC 1D 为平行四边形， 所以MC 1∥BD ，故GF ∥BD .又BD ⊂平面ABD ，所以GF ∥平面ABD . 又EF ∥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD .又EF ∩GF ＝F ，故平面GEF ∥平面ABD .3.(1)证明 如图，连接A 1D 交AD 1于点F ，连接OF ，EF ，则F 为A 1D 的中点，也为AD 1的中点.因为E ，O 分别是棱CC 1，AD 的中点， 所以OF ∥DD 1∥CC 1，OF ＝12CC 1，CE ＝12CC 1，所以OF 綊CE ，所以四边形OCEF 为平行四边形， 所以OC ∥EF .因为EF ⊂平面AED 1，OC ⊄平面AED 1， 所以OC ∥平面AED 1. (2)证明 如图，连接A 1O .因为斜四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的各棱长都是2，∠A 1AD ＝60°，所以△AA 1D 为正三角形. 又O 是棱AD 的中点，所以A 1O ⊥AD .因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ，所以A 1O ⊥平面ABCD .如图，连接A 1B ，OB .因为∠BAD ＝60°，所以AD ⊥OB . 因为A 1O ∩OB ＝O ，所以AD ⊥平面A 1OB ，所以AD ⊥A 1B . 因为A 1B ∥D 1C ，所以AD ⊥D 1C . (3)解 如图，连接BD ，BD 1. 因为平面ADD 1A 1∥平面BB 1C 1C ，所以点E 到平面ADD 1A 1的距离等于点B 到平面ADD 1A 1的距离， 所以VD —AED 1＝VE —ADD 1＝VB —ADD 1 ＝13×12×2×2×sin 120°×3＝1. 4.解 (1)由题意，可得PA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，所以A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0). 所以PB →＝(1,0，－1)，CD →＝(－1,1,0). 所以|cos 〈PB →，CD →〉|＝|PB →·CD →||PB →|×|CD →|＝|－1＋0＋0|2×2＝12.所以PB 与CD 所成的角为60°.(2)由(1)知PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0).设m ＝(x ，y ，z )是平面PAC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝－y ，取x ＝1，则m ＝(1，－1,0).设直线PD 与平面PAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈PD →，m 〉|＝|PD →·m ||PD →|·|m |＝25×2＝105，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos θ＝155.所以直线PD 与平面PAC 所成的角的余弦值为155. (3)PB →＝(1,0，－1)，BC →＝(0,1,0). 设n ＝(a ，b ，c )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝0，b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝0，取a ＝1，则n ＝(1,0,1).同理可得平面PDC 的一个法向量为n 0＝(1,1,2)， 设二面角B －PC －D 的大小为θ1，则|cos θ1|＝|cos 〈n ，n 0〉|＝|n·n 0||n |·|n 0|＝32·6＝32.因为二面角B －PC －D 为钝角， 所以二面角B －PC －D 的余弦值为－32. 5.解 (1)在△ABC 中，设BD ＝x (0<x <3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后AD ⊥DC ，AD ⊥BD ， 且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x ).于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x ).令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0<x <3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝1时，f (x )取得最大值. 故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大. (2)线段CD 上存在点N ， 使得EN ⊥BM ， 理由如下：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz . 由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且BM →＝(－1,1,1).假设存在这样的点N ，设其坐标为N (0，λ，0)，其中λ∈[0,2]，则EN →＝(－12，λ－1,0).因为EN ⊥BM 等价于EN →·BM →＝0，即(－12，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，解得λ＝12，满足λ∈[0,2]，故存在点N 满足题意，此时N (0，12，0).6.(1)证明 如图所示，取PA 的中点N ，连接QN ，BN .在△PAD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ， 所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD .在△APD 中，PA ＝2，PD ＝23，PA ⊥PD ，所以AD ＝PA 2＋PD 2＝22＋232＝4，而BC ＝2，所以BC ＝12AD .又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ， 故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ . 又CQ ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，所以CQ ∥平面PAB .(2)解 如图，在平面PAD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连接OB .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD . 又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ， 所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3， 故AO ＝AP 2－PO 2＝22－32＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连接BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形.所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BO ⊥平面PAD . 如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)， 则AC →＝(3，3,0).因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32，所以AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，32.设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5). 因为BO ⊥平面PAD ，所以OB →＝(3，0,0)是平面ADQ 的一个法向量. 故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋－32＋52＝337＝33737.从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737.。
【步步高】(全国通用)2016版高考数学-考前三个月复习总结冲刺-小题精练6-理
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 小题精练6 理一、选择题1．已知集合A ＝{0,1，m }，B ＝{x |x (3－x )≥0}，若A ∩B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,3)D ．(0,1)∪(1,3]2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 3．(2015·广州模拟)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系的图象大致是( )4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)在区间[－3π2，－3π4]上单调递增，则ω的最大值是( ) A.12 B.34C ．1D ．2 5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得线性回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据模糊不清，则推断出该数据的值为( )A ．68B ．75C ．79D ．无法确定6.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.13 B.7 C. 5 D. 27．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( ) A.32B. 3 C ．3 D ．2 3 8．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列条件中，能成为l ⊥m 的充分条件的是( )A ．α∩β＝l ，m 与α、β所成角相等B ．l ，m 在α内的射影分别为l ′，m ′，且l ′⊥m ′C ．α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥αD ．α⊥β，l ⊥α，m ∥β10．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.62511．已知O 是坐标原点，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1，且点A ，B 的坐标分别为(1，y )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1x ，则z ＝OA →·OB →的取值范围为( )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．[3,4]D ．(3,4)12．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈[1，t ]时，f (x ＋a )≤4x 恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9 二、填空题13．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．14．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．15．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率为_________________________．16．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y，若关于x 的不等式x ⊗(x ＋1－a )>0的解集是{x |－2≤x ≤2，x ∈R }的子集，则实数a 的取值范围是________.答案精析小题精练6 1．D 2.D 3.C4．C [函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的图象向右平移π个单位得函数f (x )＝A sin ωx 的图象，问题等价于函数f (x )＝A sin ωx 在区间[－π2，π4]上单调递增，故只要2πω≥2π，即ω≤1.] 5．A6．B [由题意，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |，解得|AB |＝4a ，|AF 2|＝2a ， 所以|BF 2|＝6a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得a2＋a 2－c22×4a ×6a＝cos 60°，化简得136－c26a2＝1，所以e ＝7，故选B.]7．C [由2OA →＋AB →＋AC →＝0，得(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝0，即OB →＋OC →＝0，所以点O 为BC 的中点，且O 为△ABC 外接圆的圆心，因此BC 为△ABC 外接圆的直径，∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB ，如图所示．又OA ＝AB ，则△OAB 为等边三角形，∠ABC ＝60°，得AC ＝3，故CA →·CB →＝|CA →|2＝(3)2＝3.故选C.]8．A [∵P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13，∴S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n (n －43)．]9．C [由α∩β＝l ，知l ⊂α，若m ⊂β，m ⊥α，必有l ⊥m ，显然选C.]10．B [设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.]11．C12．D [根据不等式与方程之间的对应关系，可知1，t 是方程f (x ＋a )＝4x 的两个根．整理方程得(x ＋a )2＋4(x ＋a )＋4＝4x ，即x 2＋2ax ＋a 2＋4a ＋4＝0. 根据根与系数之间的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋t ＝－2a ，①1×t ＝a 2＋4a ＋4，②由②得t ＝a 2＋4a ＋4，代入①中得1＋a 2＋4a ＋4＝－2a ， 即a 2＋6a ＋5＝0， 解得a ＝－1或a ＝－5.当a ＝－1时，t ＝－2a －1＝1，而由x ∈[1，t ]可知t >1，所以不满足题意； 当a ＝－5时，t ＝－2a －1＝9. 所以实数t 的最大值为9.故选D.] 13．9解析 易知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .因为函数f (x )在x ＝1处有极值，所以f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．14．－5解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k C k 6x6－2k，由6－2k ＝0，得k ＝3,由6－2k ＝－1得k ＝72，故不存在含x －1的项，由6－2k ＝－2得k ＝4，∴T 4＝(－1)3C 36x 0＝－20，T 5＝(－1)4C 46x －2＝15x －2，∴(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－20)＋x 2×(15x －2)＝－20＋15＝－5. 15．2或233解析 设AB →与m 的夹角为θ，则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12.所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得ba＝ 3. 当λ>0时，e ＝c a ＝ 1＋b a 2＝2； 当λ<0时，e ＝c b＝ 1＋a b2＝233.16．[－3,1]解析 x ⊗(x ＋1－a )>0⇒x2－x ＋1－a>0⇒xa ＋1－x>0⇒x x －a ＋<0，设A 为关于x 的不等式x ⊗(x ＋1－a )>0的解集，当A 为∅时，则a ＋1＝0即a ＝－1；当a ＋1>0即a >－1时，A ＝(0，a ＋1)⊆[－2,2]，则a ＋1≤2即a ≤1，所以－1<a ≤1；当a ＋1<0即a <－1时，A ＝(a ＋1,0)⊆[－2,2]，则a ＋1≥－2即a ≥－3，所以－3≤a <－1；综上可知－3≤a ≤1.。
高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练5 理
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 小题精练5 理一、选择题1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )等于( ) A ．{x |－1≤x ≤4} B ．{x |2<x ≤3} C ．{x |2≤x <3}D ．{x |－1<x <4}2．(2015·课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．23．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )4．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“0<q <1”是“{a n }为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知可行域是△ABC 的内部及其边界，△ABC 的顶点坐标分别为A (5,2)，B (1,1)，C (1,4)，若目标函数z ＝ax ＋y (a <0)取得最小值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－14 D.146．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π12的图象，则需将函数y ＝sin ωx 的图象向__________平移________个单位长度．( )A ．左 π6B ．右 56πC ．左π12D ．右512π 7．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 38．已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2等于( ) A.14 B.12 C ．－12 D.12或－129．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定10．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值，最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,1211．(2015·日照二模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A ．224 B ．112 C ．56 D ．2812．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝ 2 (n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 015的值为( )A.2 0112 012 B.2 0122 013 C.2 0132 014 D.2 0152 016二、填空题13．(2015·吉林三校模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________.14．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．15．已知数列{2n－1·a n}的前n项和S n＝9－6n，则数列{a n}的通项公式是______________．16．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x225＋y29＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值为_______．答案精析小题精练51．B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7．B [该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．]8．B [因为－2，a 1，a 2，－8成等差数列，所以a 2－a 1＝－8－－23＝－2，又－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列．所以b 22＝－8×(－2)＝16，b 2＝4(舍去)，b 2＝－4，所以a 2－a 1b 2＝－2－4＝12.选B.] 9．C [要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a a ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只要比较a a ＋7与a ＋3a ＋4的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P <Q .] 10．C [如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.]11．B [根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法有：C 28C 14＝112种．] 12．D [直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016.]13.35解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335， ∴32cos α－12sin α－sin α＝335. 即32cos α－32sin α＝335， 得cos α－3sin α＝65.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝sin αcos 5π6＋cos αsin 5π6 ＝－32sin α＋12cos α＝12(cos α－3sin α) ＝12×65＝35. 14．1∶2解析 如图所示，取AC 中点D . ∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →. ∴O 为BD 中点， ∴面积比为高之比． 15．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2解析 当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.16．10＋210解析显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为2a＋|A1B|＝2×5＋62＋22＝10＋210.。
(全国通用)高考数学 考前三个月复习冲刺 第三篇 回扣专项练6 立体几何 理-人教版高三全册数学试题
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 第三篇 回扣专项练6 立体几何 理1.设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A.m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B.m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C.m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D.m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β2.已知空间中有不共线的三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.AB ∥CD B.AB 与CD 异面 C.AB 与CD 相交D.AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交 3.平面α与平面β平行的条件可以是( ) A.α内有无穷多条直线与β平行 B.直线a ∥α，a ∥βC.直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD.α内的任何直线都与β平行4.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →≥1的概率p 等于( )A.34B.23C.12D.145.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定6.如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴运动.当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.8.已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC ＝1 cm，则球的表面积为________ cm2.9.如图①所示，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且CD＝BE＝2，O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′—BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值是________.10.如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为CC 1，AD 的中点，F 为BB 1上的点，且B 1F ＝3BF .(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)若AC ＝22，CC 1＝2，BC ＝2，∠ACB ＝π3，求二面角B —AD —C 的大小.12.如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是PA 的中点.(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；(2)求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.答案精析回扣专项练61.B [设m 与n 相交，m 、n 都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A 的条件，∴A 错；若m ⊥α，α⊥β，则m ⊂β或m ∥β，又n ⊥β，∴n ⊥m ，∴B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，结合n ⊂β得不出α⊥β，故C 错；当m ∥n 且满足D 的条件时，得不出α∥β，故D 错.]2.D [若三条线段共面，则直线AB 与CD 相交或平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线.]3.D [当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行， ∴A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D.] 4.A [可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→上的投影大于或等于12.由几何概型的求法知，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×2×22×2×2＝34.] 5.B [因为PB ⊥α，所以PB ⊥AC .又因为PC ⊥AC ，PC ∩PB ＝P ，所以AC ⊥平面PBC .所以AC ⊥BC .所以△ABC 为直角三角形.] 6.2解析 取AB 的中点E ，连接DE ，CE . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB . 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ⊥平面ABC ， 故DE ⊥CE .由已知可得DE ＝3，EC ＝1， 在Rt△DEC 中，CD ＝DE 2＋EC 2＝2.7.533解析 由几何体的三视图可知，该几何体的底面是边长为2的正三角形，三条侧棱分别垂直于底面，且两条侧棱的长度是2，一条侧棱的长度为1，故其体积为12×2×3×1＋13×2×1×3＝533. 8.3π2解析 如图所示，P 、A 、B 、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥P —ABC 的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a ＝22，球的半径R ＝12a 2＋a 2＋a 2＝64，∴S 球＝4πR 2＝3π2.9.24解析 如图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，连接A ′H . ∵A ′O ⊥平面BCDE ，A ′O ⊂平面A ′BC ， ∴平面A ′BC ⊥平面BCDE . 又平面A ′BC ∩平面BCDE ＝BC ， ∴DH ⊥平面A ′BC .∴∠DA ′H 即为A ′D 与平面A ′BC 所成的角. 又DH ＝1，A ′D ＝32－2＝22， ∴sin∠DA ′H ＝DH A ′D ＝24， ∴A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为24. 10.证明 (1)如图，连接AC ，BE ，设AC ∩BE ＝O ， 连接OF ，EC . 由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ， AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点.又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF ， 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE ，因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，且AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BE ⊥平面PAC .11.(1)证明 设AC 的中点为O ，连接EO ，OB ， 由题意知EO ∥CC 1，且EO ＝14CC 1，BF ∥CC 1，且BF ＝14CC 1，∴EO ∥FB ，且EO ＝FB .∴四边形EFBO 是平行四边形.∴EF ∥OB . 又EF ⊄平面ABC ，BO ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)解 作BG ⊥AC ，BH ⊥AD ，连接GH ，∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴BG ⊥平面AA 1C 1C . ∵AD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BG ⊥AD .又BH ∩BG ＝B ，∴AD ⊥平面BHG .∴HG ⊥AD .∴∠BHG 为二面角B —AD —C 的平面角. 由已知得△ABC 为直角三角形，AB ＝ 6. 在Rt△ABC 中，由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12BG ·AC得BG ＝62， 在Rt△ABD 中，由S △ABD ＝12AB ·BD ＝12AD ·BH ，得BH ＝2，在Rt△BHG 中，sin∠BHG ＝BG BH ＝32， 则∠BHG ＝π3.故二面角B —AD —C 的大小为π3.12.(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，AP 的中点， 所以OM ∥PB .因为CD ＝12AB ，O 为AB 的中点，所以CD ＝BO ，又因为CD ∥AB ，所以四边形OBCD 为平行四边形， 所以BC ∥OD .因为BC ∩PB ＝B ，DO ∩OM ＝O ， 所以平面PBC ∥平面ODM .(2)解 方法一 延长AD ，BC 交于点E ，连接PE ，则平面PBC ∩平面PAD ＝PE .易知PB ＝PA ，EB ＝EA ，PE ＝PE ，所以△PBE 与△PAE 全等.过点A 作AQ ⊥PE 于点Q ，连接BQ ，则BQ ⊥PE ，由二面角定义可知，∠AQB 为所求角或其补角.易求得PE ＝8，AE ＝8，PA ＝42， 由等积法求得AQ ＝27＝BQ ，所以cos∠AQB ＝AQ 2＋BQ 2－AB 22AQ ·BQ＝28＋28－642×27×27＝－17<0，所以所求角为π－∠AQB ，所以cos(π－∠AQB )＝17，因此平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为17.方法二 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则P (0,0,4)，B (－4,0,0)，A (4,0,0)，C (－2，－23，0)， D (2，－23，0).因为PB →＝(－4,0，－4)，BC →＝(2，－23，0)， 所以易求得平面PBC 的一个法向量n 1＝(3，1，－3). 又PA →＝(4,0，－4)，AD →＝(－2，－23，0)，所以易求得平面PAD 的一个法向量n 2＝(3，－1，3). 设θ为平面PBC 与平面PAD 所成的锐二面角，则cos θ＝|3×3＋1×－1＋－3×3|3＋1＋3×3＋1＋3＝17，所以平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为17.。
2016届高考数学理科(全国通用)考前三个月题型集训中档大题规范练4
1.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n＝1 (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *). 若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .4.(2015·南京模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{b n}满足b n＝a n＋2n.(1)求证数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；6n－3(2)若数列c n＝b n，T n是数列{c n}的前n项和，证明：T n<3.5.(2015·长沙模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2. (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n(2n＋1)S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题规范练41.解 由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n ＝1， 所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列. 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列， 所以a n ＋1a n＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22， 因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *. (2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n (n ＋1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 3.解 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2. 由题意知，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 5.(1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12， 故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1.故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列.(2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p 2， 故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立. 若c n >52，则3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2>52，即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减， 又f (6)＝17＋18>18＋18＝14， f (7)＝18＋19<18＋18＝14， 故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14. 故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数.6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， ∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12， 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。
2016届高考数学三轮冲刺提升训练数列(6)(含答案)(全国通用)
数列（6）1、如图所示，∠AOB=1rad，点A l，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n点处所需要的时间为秒．2、已知数列满足：，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则b5= ；当n≥5时，．3、已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，______；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______.4、已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为______________5、若数列{a n}满足则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.6、已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。
若，且是正整数，则q等于．7、（2012年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则(Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)位回文数有_________个.8、（2012年高考（湖南理））设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N 的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.9、（2012年高考（上海春））已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,____.10、（2012年高考（湖南文））对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否则。
(全国通用)高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练10 理-人教版高三全册数学试题
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 小题精练10 理一、选择题1．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是( )A ．0B ．1 C. 3 D ．93．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确4．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．则函数f (x )＝e x *1ex 的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．85．(2015·某某区上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G的轨迹方程是( ) A ．y ＝x (1－x ) (0≤x ≤1) B ．x ＝y (1－y ) (0≤y ≤1) C ．y ＝x 2(0≤x ≤1) D ．y ＝1－x 2 (0≤x ≤1)6．(2015·某某三县联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220B.2755 C.27220D.21557．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )8．(2015·某某模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( ) A ．－2 B ．－8116C ．1D ．09．(2015·某某一中质量检测)函数f (x )＝x sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若f (x 1)>f (x 2)，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 21>x 22B ．x 1＋x 2>0 C ．x 1>x 2D ．x 21<x 2210.(2015·某某七校联考)如图所示，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确的是( ) A ．CD ∥平面PAF B ．DF ⊥平面PAF C ．CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD11．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x ) (x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2)上运动，且OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，若向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则y ＝f (x )的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1B.[]－3，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，2 12．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( ) A.y 22－x 23＝1B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 二、填空题13．已知正方形ABCD 的坐标分别是(－1,0)，(0,1)，(1,0)，(0，－1)，动点M 满足：k MB ·k MD ＝－12，则|MA |＋|MC |＝________.14．设ω>0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________________________________________________________________________． 15．已知a ，b ，c 成等差数列，点M (－3,0)在直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影点为N ，点P (1,1)，则PN 的最小值为__________． 16．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)， (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值X 围是______________． 答案精析 小题精练10 1．D 2．B [可行域如图所示，可知B (0,1)，O (0,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.显然当目标函数t ＝x ＋2y 过点O 时取得最小值为0，故z ＝3x ＋2y 的最小值为1.] 3．B [f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x＝e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12x ＝e －x·1－2x 2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e·12＝12e.] 4．B [根据性质，f (x )＝e x *1e x ＝1＋e x ＋1e x ≥1＋2＝3，当且仅当e x ＝1e x ，f (x )＝(e x)*1e x 的最小值为3，故答案为B.]5．A [设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1 (0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝10≤x ≤1，y ＝1－λx 0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)，故A 正确．]6．C [旧球个数X 的可能取值为3,4,5,6，相应的取到新球的个数依次为ξ＝0,1,2,3，ξ服从超几何分布，∴P (X ＝4)＝P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220.]7．B [由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．]8．A [由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.]9．A [由f (－x )＝－x sin(－x )＝f (x )⇒f (x )＝x sin x 为偶函数，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，f (x )单调递减；于是f (x 1)>f (x 2)⇔|x 1|>|x 2|⇔x 21>x 22，故选A.]10．D [A 中，∵CD ∥AF ，AF ⊂面PAF ，CD ⊄面PAF ，∴CD ∥平面PAF 成立；B 中，∵ABCDEF 为正六边形，∴DF ⊥AF .又∵PA ⊥面ABCDEF ，∴DF ⊥平面PAF 成立；C 中，CF ∥AB ，AB ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ，∴CF ∥平面PAB ；而D 中CF 与AD 不垂直，故选D.]11．C 12.C 13．2 2解析 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵k MB ·k MD ＝－12，∴y ＋1x ·y －1x ＝－12.整理，得x 22＋y 2＝1 (x ≠0)，发现动点M 的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A ，C 两点，所以|MA |＋|MC |＝2 2. 14.32解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2图象向右平移4π3个单位后所得函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω，由两函数的图象重合得－4π3ω＝2k π，k ∈Z ，即ω＝－32k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k ＝－1时，ω取最小值32.15．22－ 5解析 由题2b ＝a ＋c ，即a －2b ＋c ＝0，故直线过定点A (1，－2)，∵MN ⊥l ，∴MN ⊥AN ，∴N 点的轨迹为以AM 为直径的圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5， ∴(PN )min ＝PC －r ＝22－ 5.16．(1)(－∞，3a] (2)(－∞，0]∪(1,3]解析 (1)由3－ax ≥0得定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a .(2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a ≤0.综上得a ≤0或1<a ≤3.。
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长棱的棱长为________.
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解析 根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥 P－ABC. 由三视图的形状特征及数据，可推知 PA⊥ 平
面ABC，且PA＝2.
底面为等腰三角形，AB＝BC，
设 D 为 AC 的中点， AC ＝ 2 ，则 AD ＝ DC ＝ 1 ，
且BD＝1，
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易得 AB＝BC＝ 2，所以最长的棱为 PC，
PC＝ PA2＋AC2＝2 2.
答案 2 2
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10. 一个几何体的三视图如图 所示，其中正 ( 主 ) 视图是等边 三角形，俯视图是半圆 . 现有 一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何 体的侧面环绕一周回到 A 点， 则蚂蚁所经过路程的最小值为 ________.
画成实线，看不到的画成虚线. (2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高.
变式训练 1 是( )
(2014· 江西 ) 一几何体的直观
图如图，下列给出的四个俯视图中正确的
解析
该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，
下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一
个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右
常考题型精析 高考题型精练
常考题型精析
题型一 三视图识图
题型二 空间几何体的表面积和体积
题型一 三视图识图
例1 (1)(2014· 湖北)在如图所示的空间直角坐
标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是
(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为
①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图
1 35 直角梯形 BCC1P 的面积为2×(2＋5)×5＝ 2 .
因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP， 1 15 所以 A1C1⊥A1P，故 Rt△A1PC1 的面积为 ×5×3＝ . 2 2 1 又 Rt△ABC 的面积为2×4×3＝6， 矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，
点评
利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三
视图还原几何体，三个图形结合得出几何体的大体形状， 由实虚线得出局部位置的形状，再由几何体的面积体积 公式求解.
变式训练 2
(2014· 陕西 ) 四面体 ABCD 及其三视图如图所
示，平行于棱 AD，BC的平面分别交四面体的棱 AB ， BD， DC，CA于点E，F，G，H.
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又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.
答案 B
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2.(2015· 重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为(
1 A.3＋π 1 C. ＋2π 3
)
2 B.3＋π 2 D. ＋2π 3
平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG. ∴四边形EFGH是矩形.
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1.(2015· 课标全国 Ⅰ) 圆柱被一个平面截去一部 分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几 何体的表面积为16＋20π，则r等于( A.1 B.2 C.4 D.8 )
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解析 该几何体如图所示， 长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm，3 cm，
直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为
3 cm,4 cm，5 cm，
所 以 表 面 积 S ＝ [2× (4× 6 ＋ 4× 3) ＋ 3× 6 ＋ 3× 3] ＋
1 2 5 × 3 ＋ 4 × 3 ＋ 2 × × 4 × 3 ＝ 99 ＋ 39 ＝ 138(cm ). 2
答案 A
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7.已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点， AB＝ 3， ∠ASC ＝∠BSC ＝30° ， 则棱锥 S—ABC 的体积为 ( A.3 3
解析
)
B.2 3
C. 3
D.1
如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.
由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，
由正(主)视图和侧(左)视图可以判断该几何体是由直三棱柱
(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.
在长方体中分析还原，如图(1)所示，
故该几何体的直观图如图(2)所示. 在图(1)中，直角梯形 ABPA1 的面积
1 为2×(2＋5)×4＝14，
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计算可得A1P＝5.
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由正(主)视图与俯视图想象出其直观图，然后进行
运算求解. 如图，该几何体是一个半球与一个半 圆柱的组合体，球的半径为 r ，圆柱 的底面半径为r，高为2r， 1 则表面积 S＝2×4πr2＋πr2＋4r2＋πr· 2r＝(5π＋4)r2.
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(1)求四面体ABCD的体积；
解 由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
1 1 2 ∴四面体 ABCD 的体积 V＝ × ×2×2×1＝ . 3 2 3
∴AD⊥平面BDC，
(2)证明：四边形EFGH是矩形.
证明
∵BC∥ 平面 EFGH ，平面 EFGH∩ 平面 BDC ＝ FG ，
SA· CA 所以 AC＝2，SA＝2 3，由于 AD＝ ＝ 3. SC
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SB· CB 同理在 Rt△BSC 中也有 BD＝ SC ＝ 3. 又 AB＝ 3，所以△ABD 为正三角形，
1 1 1 所以 VS—ABC＝3S△ABD· SC＝3×2×( 3)2· sin 60°×4＝ 3，所 以选 C.
分别为( )
A.①和②
B.③和①
C.④和③
D.④和②
解析
由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角
形 ( 三个顶点的坐标分别是 (0,0,2) ， (0,2,0) ， (0,④； 俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标 分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②. 答案 D
C.(6＋3 3)π
)
B.(8－4 3)π D.(8＋4 3)π
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解析 设球O1，O2的半径分别为r1，r2，
由题意知 O1A＋O1O2＋O2C1＝ 3，
而 O1A＝ 3r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝ 3r2， 3－ 3 ∵ 3r1＋r1＋r2＋ 3r2＝ 3.∴r1＋r2＝ 2 ， 2 r ＋ r 1 2 2 2 2 2 从而 S1＋S2＝4πr1＋4πr2＝4π(r1＋r2)≥4π· ＝(6－3 3)π. 2
分构成，
结合正(主)视图和侧(左)视图可知该几何体是由半个圆锥与 一个三棱锥组合而成的， 并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的 高相等. 由三视图中的数据，
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可得该圆锥的底面半径r＝6 ，三棱锥的底面是一个底边长 为12，高为6的等腰三角形，
故选B. 答案 B
(2)(2015· 天津)一个几何体的三视图如图所示 (单位：m)， 则该几何体的体积为________m3.
解析
由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和
圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高 为2 m，
1 8 3 2 2 所以该几何体的体积 V＝2× π×1 ×1＋π×1 ×2＝ πm . 3 3 8 答案 3π
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解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
1 1 1 1 2 V＝2π×1 ×2＋3×2×1×2×1＝π＋3，选 A.
答案 A
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3.(2014· 浙江)某几何体的三视图 ( 单位： cm) 如图所示，则此几 何体的表面积是( A.90 cm2 C.132 cm2 ) B.129 cm2 D.138 cm2