高中数学北师大版选修2-1 3.4.3.1直线与圆锥曲线的交点 课件(32张)
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直线与圆锥曲线的交点ppt课件
通法
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
数学北师大版高中选修2-1北师大版选修2-1高二数学上册第3章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程PPT课件
3．图形如图2-15、2-16．
4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0， c)．3．图形如图2-15、2-16．
2019/2/27
课后作业
习题六：
P97 98,1,2,3
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演示结束！
新课引入 课堂练习 作业
讲解新课 新课小结
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新课导入
2003年10月15日是全中国人感到 骄傲和自豪的日子： 问题1：这一天在中国发生了什 么震惊世人的事件？中国人终于 实现了什么梦想？幻灯片 28
问题2：请问神州五号飞船绕着什 么飞行？它的运行轨道是什么？
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标准方程特点： 1，方程右边为常数1 2，方程左边为各的形式，分子 ，分母都为平方项。
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o
F1
y
F2
M
x
o
F1
x
F2
2．椭圆标准方程分析
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
同学们要掌握这两个椭圆的标准方程
M
o
F1
o
F2
x
(二)椭圆标准方程的推导
(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝． (3)代数方程
M
F1
o F2
(a 2 b 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( a 2 b 2 )
(a＞b＞0)．
2019/2/27
2．椭圆标准方程分析
最新北师大版选修2-1高中数学第三章《圆锥曲线与方程》ppt本章整合课件
由题知|-2pm|=4m,所以 2p=4.
综上所述,抛物线 C 的方程为 y2=4x.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2-4������y-4=0,
所以
������1
+ ������2
=
4 ������
,由|AM|=2|MB|,得
y1=-2y2.
1+������
(|MA|>|MB|),
1-(1+������2������)2
∴有 y=0 或 x2-���3���2=1(y≥0).
又当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M(2,±3)也在曲线上, 当点 M 为线段 AB 的分点时,满足∠MBA=2∠MAB,∴y=0(-1<x<2)是 M 点 的轨迹方程.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 m=1,|AM|=2|MB|时,求直线 AB 的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图.
当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为
(m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m,
圆圆心的轨迹方程; (2)一动圆过定点 A(2,0),且与定圆(x+2)2+y2=4 相切,求动圆圆心的轨迹
方程.
解:(定义法)(1)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-3,0),则
|PA|+|PB|=8>6.
∴由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是������2
高中数学北师大版选修2-1 3.4.1曲线与方程 课件(31张)
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 判断下列方程中, 哪个方程对应如图所示的直 线 l, 并说明理由. (1)x-y=0; (2) ������ − ������=0; (3)x2 -y2 =0; (4)|x|-y=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:方程(1)是表示直线l的方程,而(2)(3)(4)都不是表示直线l的方 程.理由如下: 方程(2)中,直线上的点的坐标不全是方程的解,如点(-1,-1)不符合 “直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论; 方程(3)中,虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”,但以方程x2y2=0的解为坐标的点不全在直线l上,如点(2,-2)不符合“以方程的解 为坐标的点都在直线上”这一结论; 方程(4)既不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”,也不符合 “以方程的解为坐标的点都在直线上”.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二 判断(或证明)方程是曲线的方程
【例2】 证明:圆心为P(a,b),半径为r的圆的方程是(x-a)2+(yb)2=r2. 证明:设点M(x0,y0)是圆上任意一点, 所以点M到圆心P的距离等于r, 所以
2 2 2 (������0 -������ )2 + (������0 -������ )2 =r,也就是(x0-a) +(y0-b) =r ,即(x0,y0)
1.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集 合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解满足以下关系: 如果曲线C上点的坐标(x,y)都是这个方程f(x,y)=0的解,且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,方程f(x,y)=0叫作 曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.
(教师用书)高中数学 3.4.(2+3)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置 关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问 题的方法．(难点)
圆锥曲线的共同特征
【问题导思】 1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个
2 2 x － c ＋ y 式子：a2－cx＝a x－c2＋y2，将其变形为： ＝ a2 －x c
2 3 即k＝± 3 时，方程(*)有两个相同的实
数解，即直线与双曲线有两重合的公共点；
2 4－3k ＜0， ③ 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实 3 3
数解，即直线与双曲线无公共点． 2 3 2 3 综上所述，当－ 3 ＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜ 3 时，直线与双曲线有两个公共点； 2 3 当k＝± 1或k＝± 时，直线与双曲线有且只有一个公共 3 点； 2 3 2 3 当k＜－ 3 或k＞ 3 时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠± 1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
2 4－3k ＞0， ① 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即－ ＜k＜ ，且k≠± 1时，方程 3 3
(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点；
4－3k2＝0， ② 2 1 － k ≠0，
4.2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲 (1)通过实例了解圆锥曲线的共同特征． (2)了解直线与圆锥曲线的三种位置关系． (3)会求直线与圆锥曲线的交点坐标．
2．过程与方法 在研究直线与圆锥曲线的关系的过程中，进一步体会解 析几何的基本思想． 3．情感、态度与价值观 通过圆锥曲线共同特征的探究，体会从特殊到一般的认 知规律．
北师大高中数学选择性必修第一册2.4.1直线与圆锥曲线的交点【课件】
(2)直线 l 与双曲线有两个公共点；
(3)直线 l 与双曲线没有公共点.
[解]
－ ＝，
由൝
消去y，整理得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)
＝(－1)，
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)可
化为2x＝5，故此时方程(*)只有一个实数解；当1－k2≠0，即k≠±1时，
基础训练
自主预习
1. 圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值
e. 当 0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当 e＞1 时，圆锥曲线是双曲线；当 e＝1
时，圆锥曲线是抛物线.
2. 直线与圆锥曲线交点个数的判定
对于直线 l：y＝kx＋l，圆锥曲线 C：f(x，y)＝0，它们的交点个数通常
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)，当
＝(－ )＝，
－ ≠ ，
即k＝±
时，方程(*)有两个相同的实数解；
＞，
－
当
即－
＜＜
，且k≠±1时，方程(*)有两个不同
－ ≠ ，
的实数解；
－
< ，即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实数解.
[解]
由题意得l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k
－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 由题意有
①若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双
曲线只有一个公共点；
②若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k
(3)直线 l 与双曲线没有公共点.
[解]
－ ＝，
由൝
消去y，整理得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)
＝(－1)，
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)可
化为2x＝5，故此时方程(*)只有一个实数解；当1－k2≠0，即k≠±1时，
基础训练
自主预习
1. 圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值
e. 当 0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当 e＞1 时，圆锥曲线是双曲线；当 e＝1
时，圆锥曲线是抛物线.
2. 直线与圆锥曲线交点个数的判定
对于直线 l：y＝kx＋l，圆锥曲线 C：f(x，y)＝0，它们的交点个数通常
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)，当
＝(－ )＝，
－ ≠ ，
即k＝±
时，方程(*)有两个相同的实数解；
＞，
－
当
即－
＜＜
，且k≠±1时，方程(*)有两个不同
－ ≠ ，
的实数解；
－
< ，即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实数解.
[解]
由题意得l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k
－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 由题意有
①若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双
曲线只有一个公共点；
②若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
x 2 y 2 .若直线上存在点P，则说明直线与椭圆有公 方程为 + =1 25 16
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答案：③④
x 2 y 2 (a>b>0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答案：③④
x 2 y 2 (a>b>0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
高中数学北师大版选修2-1 3.3.1双曲线及其标准方程 课件(29张)
������2 ������2 A. − =1(x>0) 9 7 ������2 ������2 B. − =1 9 7 ������2 ������2 C. − =1(y>0) 9 7 ������2 ������2 D. − =1 9 7
答案 :A
-8-
【做一做 2-2】 范围是( )
������2 ������2 已知方程 − =1 表示双曲线,则 1+������ 1-������
−
������2 ������
2=1(a>0,b>0).焦
点坐标为(0,-c)和(0,c),这里有 c 2-a2=b2(b>0). 说明 :(1)双曲线标准方程中的两个参数 a,b 是双曲线的定形条 件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定. (2)对称轴为坐标轴的双曲线方程可设为 Ax2+By 2=1(AB<0)或
将点 (3 2,2)的坐标代入方程,得 k=4 或 k=-14(舍去 ),故所求双曲
������2 ������2 线的标准方程为 − =1. 12 8
������2 ������ ������2 ������2 2 2 + =1(AB<0),即方程 Ax +By = 1 或 ������ ������ ������2 + =1 表示双曲线的充要 ������
条件为 AB<0.
-7-
【做一做 2-1】已知点 F1(-4,0),F2(4,0)Байду номын сангаас曲线上的动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 6,则曲线方程为( )
-6-
2.双曲线的标准方程
������2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 2 ������
答案 :A
-8-
【做一做 2-2】 范围是( )
������2 ������2 已知方程 − =1 表示双曲线,则 1+������ 1-������
−
������2 ������
2=1(a>0,b>0).焦
点坐标为(0,-c)和(0,c),这里有 c 2-a2=b2(b>0). 说明 :(1)双曲线标准方程中的两个参数 a,b 是双曲线的定形条 件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定. (2)对称轴为坐标轴的双曲线方程可设为 Ax2+By 2=1(AB<0)或
将点 (3 2,2)的坐标代入方程,得 k=4 或 k=-14(舍去 ),故所求双曲
������2 ������2 线的标准方程为 − =1. 12 8
������2 ������ ������2 ������2 2 2 + =1(AB<0),即方程 Ax +By = 1 或 ������ ������ ������2 + =1 表示双曲线的充要 ������
条件为 AB<0.
-7-
【做一做 2-1】已知点 F1(-4,0),F2(4,0)Байду номын сангаас曲线上的动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 6,则曲线方程为( )
-6-
2.双曲线的标准方程
������2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 2 ������
高中数学北师大版选修2-1 3.4.3.2直线与圆锥曲线的综合应用 课件(38张)
-3-
2.圆锥曲线中的最值问题 在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,通常的处理策略: (1)若具备定义的最值问题,可用定义将其转化为几何问题来处理. (2)一般问题可由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法 进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的方法,利用函数的单 调性,亦可利用基本不等式等求解. 3.圆锥曲线中的定点、定值问题 (1)定点问题 ①探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件 建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点; ②从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.
1 4 ������2 ������2 + 4 3 1 y=- x+b, 4 1 4
������ = - ������ + ������, = 1,
消去 y,得 13x2- 8bx+16b2- 48=0,
2 2
∴Δ=(-8b) -4×13×(16b -48)>0,解得 b
2
13 < . 4
-7-
题型一
1 - ������ ������
1 ������
-10-
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 若抛物线y=x2上存在不同的两点关于直线 y=m(x-3)对称,求实数m的取值范围.
解 :设直线 l:y=- x+b 与抛物线 y=x2 的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 由 ������ = ������ = ������ 2 ,
-6-
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
圆锥曲线中的对称问题
������2 + =1,试确定 m 的取值范围,使得椭圆 3
2018-2019学年北师大版选修2-1 3.4.3直线与圆锥曲线的交点 课件(24张)
终极总结
一般情况下直线与圆锥曲线的问题可以总结为： 一、设一设 二、看一看三、联一联 四、整一整 五、写一写六、代一代七、解一解八、想一想
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的 直线条数是( D )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
4. 若不论k取什么实数，方程组 kx-y=2k+b 都有实数解， 2 2 则实数b的取值范围是( A ) x -y =1 (A) [ 3, 3](B)[-3，3] (C)[-2，2] (D)(-2，2)
即(3)可表示为 k MN kop
b 2 a
y1 y2 y1 y2 2 y中 y中－0 , ＝ x1 x2 x1 x2 2 x中 x中－0
经典总结
3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关 x2 y2 系”或“点差法”求解．在椭圆 2＋ 2 a b ＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直 b2x0 x2 y2 线的斜率 k＝－ 2 ；在双曲线 2－ 2＝ a y0 a b 1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线 b2x0 的斜率 k＝ 2 ； 在抛物线 y2＝2px (p>0) a y0 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的 p 斜率 k＝ . y0
新课标北师大版高考专题复习
直线与圆锥曲线的位置关系
三年7考
高考指数:★★★★
1.能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系等问题. 2.理解数形结合的思想. 3.掌握圆锥曲线的简单应用.
1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，常常与平面
向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题；
2.直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、最值、
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并整理,得 9x2+24x+ 16=0,即(3x+4)2=0, 解得
故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B.故选D. 答案:D
题型一
题型二
题型三
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k. 当k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点、有两个公共点、 没有公共点? 分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的 方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛 物线的位置关系.
题型一
题型二
题型三
解 :由题意 ,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ������-1 = ������(������ + 2), 由方程组 2 ������ = 4������, 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. l 与抛物线只有一个公共点
2
(* )
1 4
①
当 k=0 时 ,由方程 ①得 y=1,把 y=1 代入 y2=4x,得 x= ,这时 ,直线 当 k≠0 时 ,方程 ①的判别式为 Δ=-16(2k 2+k-1). 由 Δ=0,即 2k +k-1=0,解得 k=-1 或
(2)直线与双曲线的位置关系. ①研究直线与双曲线的位置关系,一般通过解直线方程与双曲线 方程所组成的方程组
������������ + ������������ + ������ = 0, ������ 2 ������ 2 -������2 ������ 2 = ������2 ������ 2 (������ > 0,������ > 0), 对解的个数进行讨论:有两组不同的实数解(Δ>0)时,直线与双曲 线相交;有两组相同的实数解(Δ=0)时,直线与双曲线相切;无实数解 (Δ<0)时,直线与双曲线相离. ②当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点.
A.①③ C.①②③
B.②④ D.②③④
解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分 别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排 除法. y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除 选项A,C;
将
������2 2 y=-2x-3 代入③ +y =1, 2 4 1 x=- ,y=- . 3 3
������2 【做一做2】 已知直线y=kx-1与椭圆 4
������2 + =1相切,则k,a之间 ������
【做一做3】 给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲 线是( ) ①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;
������2 2 ������2 2 ③ 2 +y =1;④ 2 -y =1.
2
1 2
1 2
1 k> 时 ,方程 ①没有实数解 ,从而方程组 (*)没有 2
1 k> . 2
这时 ,直线 l 与抛物线没有公共点. 综上可知 ,当 k=-1 或
1 共点 ;当-1<k< ,且 k ≠0 时 ,直线 l 与抛物线有两个公共点;当 2 1 k> 时 ,直线 l 与抛物线没有公共点 . 2 1 k= 或 2
【做一做1】 抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,与抛物线也有一 个公共点. 答案:B
的关系式为( ) A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1 解析:联立两方程后,利用一元二次方程的判别式来判断. 答案:D
k=0 时 ,直线 l 与抛物线只有一个公 k<-1 或
1 ,1 4
;
1 k= ,于是 ,当 2
k=-1 或
方程 ①只有一个解,从而方程组 (*)只有一个解.这时 ,直线 l 与抛物线 只有一个公共点 ;
1 k= 时 , 2
题型一
题型二
题型三
由 Δ>0,即 2k2+k-1<0,解得 -1<k< . 于是 ,当-1<k< ,且 k ≠0 时 ,方程 ①有两个解 ,从而方程组(*)有两 个解 . 这时 ,直线 l 与抛物线有两个公共点; 由 Δ<0,即 2k +k-1>0,解得 k<-1 或 于是 ,当 k<-1 或 解.
(3)直线与抛物线的位置关系. ①直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同的点,或直线与抛物线的对称 轴平行(或重合). 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于(或不 重合于)抛物线的对称轴. 相离:直线与抛物线没有公共点. ②判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方 程组,于是: a.方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切(1个公共点); b.方程组有两组解⇔直线与抛物线相交(2个公共点); c.方程组无解⇔直线与抛物线相离.
2.方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方 程组没有实数解,两条曲线就无交点. 说明:(1)直线与椭圆的位置关系. ①位置关系:相交、相切、相离. ②判别方法:通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,对解的 个数进行讨论.通常消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变 量的一元二次方程. a.Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点; b.Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点; c.Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.
4.3 直线与圆锥曲线的交点
第1课时 直线与圆锥曲线的交点1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系. 2.掌握求解有关直线与圆锥曲线的问题的方法. 3.加强数形结合思想方法的训练与应用.
1.曲线的交点 由曲线方程的定义可知,对于曲线 C1:f(x,y)=0 和曲线 C2:g(x,y)=0,M(x 0,y 0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔f(x0,y0)=0 且 g(x0,y 0)=0, ������(������0 ,������0 ) = 0, 所以求两条曲线 C1 与 C2 的交点,就是求方程组 的实数 ������(������0 ,������0 ) = 0 解.