2016-2017学年江苏省盐城市阜宁县高一下学期期中考试数学试题(解析版)

2016-2017学年江苏省盐城市阜宁县高一下学期期中考试数学试题一、填空题1．与向量()4,3a =方向相反的单位向量是________. 【答案】43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】与向量()4,3a =方向相反的单位向量是()4,343,.555aa ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2．下列说法正确的是________.(填上所有正确命题的序号)①空间三点确定一个平面 ②两条相交直线确定一个平面③一点和一条直线确定一个平面④一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与别一条相交 【答案】②【解析】空间不共线三点确定一个平面，所以①错误；一条直线及直线外一点确定一个平面，所以③错误；空间中，一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条可以是相交，也可以异面，所以④错误.②正确. 3．直线2210x y +-=的倾斜角是________. 【答案】135【解析】直线斜率为-1，所以倾斜角为135°.4．如图，在OAB ∆中， C 是AB 上一点，且2AC CB =，设 ,OA a OB b ==，则OC ＝__________.(用,a b 表示)【答案】1233a b + 【解析】()221212.333333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB a b =+=+=+-=+=+ 点睛： (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5．如图，将直角梯形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积是________.【答案】43π 【解析】所得几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其体积为22141111.33πππ⋅⋅+⋅⋅= 6．设直线320x my m ++-=在y 轴上的截距是1-,则m =________. 【答案】1【解析】直线方程中，令x=0，得231m y m-==- ，解得m=1. 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与BD 所成角的大小是________. 【答案】60【解析】如图所示，连结11,BC DC ,由正方体的性质可得，∠1ABC 即为所求，且1DBC 为等边三角形，则直线1AD 与BD 所成角的大小是60.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．已知向量()()1,,,3a m b m m ==-，若a b ⊥，则m =________. 【答案】0或2 【解析】(),0,30,a b a b m m m ⊥∴⋅=∴+-= 解得m=0或2.9．若直线l 经过点()1,2P ，且垂直于直线210x y +-=，则直线l 的方程是_______. 【答案】230x y -+=【解析】垂直于直线210x y +-=的直线可设为20x y c -+= ，代入点()1,2P ，得c=3，所以直线l 的方程是230x y -+=. 10．已知4a =， 2b =， a 与b 夹角为135︒，则()a ab ⋅+=________.【答案】12【解析】()21642cos13512.a a b a a b ⋅+=+⋅=+=11．两条平行直线3210x y -+=与6420x y --=之间的距离等于________.【解析】两条平行直线3210x y -+=与6420x y --=之间的距离即为两条平行直线3210x y -+=与3210x y--==点睛：求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x ，y 的系数对应相同. 12．如图，在正方形ABCD 中， ,E F 分别为,BC CD 的中点， H 为EF 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，构成四面体，则在四面体A OEF -中，下列说法不正确．．．的序号是________. ①AO ⊥平面EOF ②AH ⊥平面EOF ③AO EF ⊥ ④AF OE ⊥ ⑤平面AOE ⊥平面AOF【答案】②【解析】∵OA ⊥OE ，OA ⊥OF ，OE∩OF ＝O ， ∴OA ⊥平面EOF ，故①正确，②错误； ∵EF ⊂平面EOF ，∴AO ⊥EF ，故③正确；同理可得：OE ⊥平面AOF ，∴OE ⊥AF ，故④正确； 又OE ⊂平面AOE ，∴平面AOE ⊥平面AOF ，故⑤正确； 故答案为：②．点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变． (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．13．已知直线l 过点()0,2A 和()()23,31213B m m m R -++∈，则直线l 的倾斜角的取值范围为________.【答案】[]()0,3090,180︒︒⋃︒︒【解析】直线l )223332333m =-++≤-，所以倾斜角的取值范围为[]()0,3090,180︒︒⋃︒︒.14．已知2OA =， 2OB =，且向量OA 与OB 的夹角为120︒，又3PO =AP BP ⋅的取值范围是________.【答案】123,123⎡-+⎣【解析】设向量OA +OB =OC ,则由平面向量的平行四边形法则可知C 2O =，设OC 和PO 的夹角为α，则α∈[0,π]，所以()()()2132322123123,123.2AP BP OP OA OP OB OP OP OA OB OA OBcos cos αα⋅=-⋅-=-⋅++⋅⎛⎫⎡=-+⨯⨯-=-∈-+ ⎪⎣⎝⎭点睛：(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．二、解答题15．如图， ,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的中点． （1）求证：四边形EFGH 为平行四边形； （2）求证：直线BD ∥平面EFGH ；（3）若AC BD ⊥，且12,8AC BD ==，求四边形EFGH 的面积.【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析;(3)24. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得EH ∥FG ,且EH =FG ，则四边形EFGH 为平行四边形.(2)由已知条件可得BD ∥EH ，结合线面平行的判断定理可得BD ∥平面EFGH . (3)首先确定四边形EFGH 为矩形，结合面积公式24S EH EF =⋅= 试题解析：(1)证明:在ABD ∆中，E 为AB 中点, H 为AD 中点, ∴EH ∥BD,且 EH =12BD . 同理:FG ∥BD,且 FG =12BD , ∴ EH ∥FG ,且EH =FG ∴四边形EFGH 为平行四边形.(2)由(1)知，BD ∥EH ，又BD ⊄平面EFGH ， EH ⊂平面EFGH ,∴ BD ∥平面EFGH . (3) 在ABC ∆中， E 为AB 中点, F 为BC 中点,∴EF ∥AC,且 EF =12AC =6 . 又EH ∥BD,且 EH =12BD =4,由AC BD ⊥，得EH EF ⊥，即四边形EFGH 为矩形，所以， 24S EH EF =⋅=16．在平面直角坐标平面内，已知()()()0,5,1,3,3,A B C t -. （1）若1t =，求证： ABC ∆为直角三角形； （2）求实数t 的值，使AB AC +最小；（3）若存在实数λ，使AB AC λ=⋅，求实数λ、t 的值.【答案】(1) 详见解析;(2)7;(3) 1311t λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.【解析】试题分析：(1)利用题意由数量积为0可得ABC ∆为直角三角形；(2)求得()247AB ACt +=+-，结合二次函数的性质可得7t =时, AB AC +的最小值为2.(3)利用题意列出方程组，求解方程组可得1311t λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩试题解析：(1)当1t =时， ()3,1C ， 则()()1,2,4,2AB BC =--=-()()14220AB BC ∴⋅=-⨯+-⨯-=AB BC ∴⊥，即ABC ∆为直角三角形. (2) ()()1,2,3,5AB AC t =--=-()()()1,23,52,7AB AC t t ∴+=--+-=- ()247AB AC t ∴+=+-当7t =时, AB AC +的最小值为2.(3)由AB AC λ=⋅得, ()()()131,23,525t t λλλ-=⎧--=⋅-⇒⎨-=-⎩ , 1311t λ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩A BCD-AE AFAC AD=【答案】(1) 详见解析;(2)详见解析. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得线面垂直：EF ⊥平面ABC.，然后结合面面垂直的判断定理即可证得结论成立.(2) 利用题意证得线面垂直：BE ⊥平面ACD .，然后结合线面垂直的定义可得线线垂直. 试题解析： （1）AE AFAC AD=∴ EF ∥CD ，AB ⊥平面BCD ， CD ⊂平面BCD∴AB ⊥CD , ∴EF ⊥AB又由CD ⊥BC ，EF ∥CD, ∴EF ⊥BC AB ∩BC =B ，AB 、BC ⊂平面ABC∴ EF ⊥平面ABC. ∴ EF ⊂平面BEF ,∴平面BEF ⊥平面ABC . （2）由(1)知，EF ⊥BE ，即BE ⊥EF 平面BEF ⊥平面ACD ，又平面BEF ⋂平面ACD = EF ， BE ⊂平面BEF∴BE ⊥平面ACD AC ⊂平面ACD∴BE ⊥AC . 18．已知两直线12:240,:4350.l x y l x y -+=++= （1）求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）若直线260ax y +-=与1l 、2l 可组成三角形，求实数a 满足的条件；（3）设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程. 【答案】(1) ()2,1P -;(2) 82,1,3a a a ≠-≠-≠且且;(3) 4350x y ++=或20x +=.【解析】试题分析：(1)联立方程可得直线的交点坐标为P ()2,1-;(2)分类讨论可得实数a 满足的条件为82,1,3a a a ≠-≠-≠且且 ； (3)利用题意根据点到直线的距离公式求解即可，注意讨论斜率不存在的情况. 试题解析：(1) 由240243501x y x x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩12,l l ∴的交点为P ()2,1-(2)（i ）当直线260ax y +-=过1l 与2l 的交点P 时，不能构成三角形，()221602a a ∴⋅-+⨯-≠⇒≠-， （ii ）当直线260ax y +-=分别与1l 、2l 时，不能构成三角形， 81,3a a ∴≠-≠且 综合， 82,1,3a a a ≠-≠-≠且且 (3) 若所求直线斜率存在，设所求的直线方程为()12y k x -=+, 即()210kx y k -++= 因为所求的直线与点A ()1,2--的距离为1，1=，得43k =-即所求的直线l 的方程为4350x y ++= 若所求直线斜率不存在时，即l 为20x +=， 因为点A ()1,2--到直线l 为20x +=的距离为1，所以直线20x +=也满足题意.故所求的直线l 的方程为4350x y ++=,或20x +=. 点睛：运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是 Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，此直线系不包括l 2)．19．已知()()1cos2,1,(,,M x N x a x R a R a ++∈∈是常数），且y OM ON =⋅（O 为坐标原点），点P 是直线2y x =上一个动点.（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()f x 的最大值为4，求a 的值； （3）若,32x a π==，求PM PN ⋅的最小值，并求此时OP 的坐标.【答案】(1) ()cos21f x x x a =++ ;(2) a =1 ;(3) 2120-,99,105OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得()cos21f x x x a =++；(2)化简三角函数的解析式，结合自变量的范围解方程可得a=1.(3)利用平面向量的坐标运算得到关于实数t 的二次函数，结合二次函数的性质可得当910t =时, PM PN ⋅有最小值2120-，此时99,105OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭.试题解析：（1）1cos2y OM ON x x a =⋅=+++，()cos21f x x x a ∴=++（2）()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π≤≤所以72666x πππ≤+≤当262x ππ+=即6x π=时()f x 取最大值3+ a 所以3+ a =4， a =1（3）由条件， ()()0,1,1,3M N , 因点P 是直线2y x =上 设(),2P t t 则()(),12,1,32PM t t PN t t =--=--()()2,121,32593PM PN t t t t t t ∴⋅=--⋅--=-+ 当910t =时, PM PN ⋅有最小值2120-， 此时99,105OP ⎛⎫=⎪⎝⎭. 20．如图所示，互相垂直的两条道路1l 、2l 相交于O 点，点P 与1l 、2l 的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与1l 、2l 分别交于A 、B 两点． （1）当45BAO ︒∠=时，试求OA 的长；（2）若使AOB ∆的面积最小，试求OA 、OB 的长.【答案】(1) 5OA =（千米）;(2) 6OA =（千米），4OB =（千米）.【解析】试题分析：首先建立平面直角坐标系，结合题意：(1)利用截距式的直线方程求得5OA =（千米）； (2)利用题意求得26996ABOt t S t t t∆++==++ (0)t >,结合对勾函数的性质可得，满足题意时6OA =（千米），4OB =（千米）.试题解析：以1l 为x 轴， 2l 为y 轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,3,2O P（1）由45BAO ︒∠=,知OA OB =，可设()(),0,0,A a B a (0)a > 直线l 的方程为：1x ya a+=， l 过点()323,2,15P a a a∴+=⇒=即5OA =（千米）（2）设()(),0,0,A a B b (0,0)a b >> 则直线l 的方程为：1x ya b+=， l 过点()3223,2,1,3aP b a b a ∴+==-， (3)a > 从而21122233ABOa a S ab a a a ∆=⋅=⋅=--， 令3,0a t t -=>，则()222369a t t t =+=++，故有26996ABOt t S t t t∆++==++ (0)t >设()96f t t t=++，可证()f t 在()0,3上递减，在()3,+∞上递增 ∴当3t =时， ()()max 312f t f == 此时6,4a b ==，直线l 的方程为164x y+= 即6OA =（千米），即4OB =（千米）。