2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二(上)开学数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．（5分）过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2＝0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝4B．（x+3）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y+1）2＝4D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝43．（5分）在△ABC中，a2＝b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°4．（5分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和S n．若S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，则q＝（）A．B．C．2D．35．（5分）在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝（）时，{a n}的前n 项和最大．A．8B．9C．10D．117．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6B．8C．10D．128．（5分）已知点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（）A．B．﹣C．﹣或﹣D．或9．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y+30＝0上任意一点，A关于直线x+2y﹣1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值（）A．10B．﹣10C．4D．﹣411．（5分）已知一个正四面体纸盒的棱长为，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a n+1＝，若a1＝，则a2015＝（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为．14．（5分）圆x2+y2＝1和圆（x+4）2+（y﹣a）2＝25外切，则常数a的值为．15．（5分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣2|的取值范围是．16．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝DC＝BC＝1，现将三角形ACD沿AC 向上折起，满足平面ABC⊥平面ACD，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2﹣c2）＝3ab；（1）求；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB＝AD＝1．（1）求证：EF∥平面P AD（2）若∠PDA＝，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．19．（12分）当a＜0时，解不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．20．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（）2．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列并求其通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，E，F分别是CC1，BC的中点．（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求锐二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．22．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）*恒成立，求λ的取值范围．nλ＜Tn+对一切n∈N2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．2．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y＝x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2＝0上验证D选项，不成立．故选：D．3．【解答】解：∵由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A又a2＝b2+c2+bc，∴cos A＝﹣又∵A是三角形的内角，∴A＝150°，故选：D．4．【解答】解：∵S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，∴a1+a1q＝3a1q+2，＝，两式相减可得：2q2﹣q﹣3＝0，q＞0，解得q＝．故选：A．5．【解答】解：由正弦定理得：＝＝，∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a7+a8+a9＝3a8＞0，即a8＞0，又∵a7+a10＜0，∴a7+a10＝a8+a9＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，数列{a n}的前n项和最大，故选：A．7．【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4＝3和2，由正视图知长方体的高为1+1＝2，∴长方体的体积V＝3×2×2＝12．故选：D．8．【解答】解：由题意知点A和点B到直线l的距离相等得到＝，化简得6a+4＝﹣3a﹣3或6a+4＝3a+3解得a＝﹣或a＝﹣．故选：C．9．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k P A，即k≥＝，或k≤＝﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．10．【解答】解：点A是圆C：x2+y2+ax+4y+30＝0上任意一点，A关于直线x+2y﹣1＝0的对称点也在圆C上，说明直线经过圆的圆心，圆的圆心坐标（﹣，﹣2）代入直线方程x+2y﹣1＝0，得﹣﹣4﹣1＝0，所以a＝﹣10故选：B．11．【解答】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4××r××（）2＝××（）2×，所以r＝1，设正方体的最大棱长为a，∴3a2＝22，∴a＝．故选：B．12．【解答】解：由递推数列可得，a1＝，a2＝2a1﹣1＝2×﹣1＝，a3＝2a2＝2×＝，a4＝2a3＝2×＝，a5＝2a4﹣1＝2×﹣1＝，…∴a5＝a1，即a n+4＝a n，则数列{a n}是周期为4的周期数列，则a2015＝a503×4+3＝a3＝，故选：B．二．填空题（共4小题，每题5分）13．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝2，∴＝＝＝9，当且仅当x＝4y＝时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．14．【解答】解：圆x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1．圆（x+4）2+（y﹣a）2＝25，圆心O′（﹣4，a），半径R＝5．∵两圆外切，∴|OO′|＝R+r．∴，解得．故答案为．15．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得C（﹣1，﹣1），又B（0，1）化目标函数z＝3x+4y﹣2，得，由图可知，当直线过B时，z有最大值为2；当直线过C时，z有最小值为﹣9．∴|3x+4y﹣2|的取值范围是[0，9]．故答案为：[0，9]．16．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，∠D＝180°﹣∠B，∵AB＝AD＝DC＝BC＝1，故BC＝2，则AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠B＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（180°﹣∠B），即5﹣4cos∠B＝2+2cos∠B，解得：cos∠B＝，故B＝60°，则AC＝，AB⊥AC，则将三角形ACD沿AC向上折起后，三棱锥D﹣ABC的外接球，即三棱锥B﹣ACD的外接球，相当于以△ACD为底面，以AB为高的棱柱的外接球；由△ACD的外接圆半径r＝1，球心到平面△ACD的距离d＝AB＝，故外接球的半径R满足：R2＝r2+d2＝，故外接球的表面积S＝4πR2＝5π，故答案为：5π．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵A+B＝π﹣C，∴＝＝＝；（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，且c＝2，∴a2+b2﹣4＝ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab﹣4，∴ab≤8，∵cos C＝，∴sin C＝＝＝，∴S△ABC＝ab sin C≤，当且仅当a＝b＝2时，△ABC面积取最大值，最大值为．18．【解答】（1）证明：取PD中点M，连结AM，FM，∵MF∥CD，MF＝CD，AE∥CD，AE＝CD，∴MF∥AE，MF＝AE，∴四边形AEFM为平行四边形所以AM∥EF，AM⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD（2）解：连结AM，CM，由条件知AM⊥PD，CD⊥平面P AD，∴CD⊥AM，PD∩CD＝D所以AM⊥平面PCD，∴∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角经计算得AM＝，∴sin∠ACM＝．19．【解答】解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，∵a＜0，∴（x﹣）（x﹣2）＜0；又∵＜2，解不等式得＜x＜2；∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}．20．【解答】（Ⅰ）证明：由，得，解得a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝，整理，得（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，又数列{a n}为正项数列，∴a n﹣a n﹣1＝2，n≥2．∴{a n}是首项为1公差为2的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）c n＝＝＝（），∴T n＝＝＝．∵n∈N*，∴T n＝，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，∴数列{T n}是一个递增数列，∴．综上所述：．21．【解答】（1）证明：由条件知AF⊥平面CCBB1，令AC＝1∴AF⊥B1F，经计算得，∴，即B1F⊥EF，又因为EF∩AF＝F，∴B1F⊥平面AEF；（2）过F作FM⊥AE，连结B1M，由已知得EA⊥MF，EA⊥B1F，∴EA⊥平面B1MF∴EA⊥B1M，∴∠B1MF就是二面角B1﹣AE﹣F的平面角经计算得，．22．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*），可得＝1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：＝，T n＝+…+．…++，两式相减得﹣＝＝．∴．∴（﹣1）n•λ＜+＝4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．。