2009年全国大学生数学建模大赛C题优秀论文要点

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2009 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模培训竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

卫星和飞船的跟踪测控

摘要

卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，本文通过对卫星或飞船运行过程中测控站需要的数目进行求解，从而实现能够对卫星或飞船进行全程跟踪测控的目标。

对于问题一，由于测控站都与卫星运行轨道共面，且测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，所以，我们首先考虑将卫星或者飞船的运行轨道理想化成圆形，建立其与地球共心的圆形轨道模型，此时，运用几何知识和正弦定理计算出至少应建立12个测控站。但是，在现实中卫星或飞船的轨道为椭圆形状，接着我们又给出了质点运行轨道为椭圆时的数学模型计算得出需要建立测控站数目的区间为12至16个。

问题二，我们利用每个测控站测控的锥形区域与卫星或飞船轨道曲面相交的圆的内接多边形来覆盖整个卫星轨道曲面，就可以将需要这样内接多边形的个数近似的看作需要建立测控站的最少个数，这里我们只给出内接正四边形和正六边形两种数学模型，此时，计算出需要测控站的最少数目分别为60和67个。

问题三，通过网络查询得到神舟七号的观测站位置和数目，以及飞船运行的倾角和高度等相关数据。通过线性拟合我们发现测控站的位置近似符合正弦曲线。。

最后，我们给出了模型优缺点的分析和评价，并提出了模型的改进的方向。

关键字：卫星或飞船的跟踪测控；圆形轨道模型；圆锥测控模型；测控站点的数目

1、问题重述

1.1 背景资料

现代航天工业中卫星和飞船的测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，因此需要分析卫星或飞船的测控情况。

1.2 需要解决的问题

问题一：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控。

问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的。

问题三：收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

2、问题分析

问题一主要是求在测控站与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控的问题，我们首先应该考虑求出每个测控站能够测控的有效弧度，然后利用卫星或飞船运行的轨道周长除以每个测控站测控的有效弧度就可得到需要的测控站数目。

图1 卫星或飞船运行轨道示意图

问题二，卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，在离地面高度为H的球面S上运行且地球自转时卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，这是一个求球面积的问题，建立模型一将问题简化为求卫星或飞船的运行轨道面积，假设其运行的轨道是一个球面，计算出每个测控站在这个球面上的有效投影，然后求出需要的最少测控站个数。模型二在地球自转的影响下，卫星运行过程中星下点轨迹在地球表面形成一些“8”字型的轨迹，对称地分布在赤道两边。

图2 卫星或飞船对于地球和太阳的位置

考虑到卫星星下点轨迹的密集程度问题，对于星下点轨迹圈数较少的卫星，可根据其相应的轨迹进行分析求解;由于测控站在卫星轨道面的测控区域是个圆形，因此对于星下点轨迹圈数较多较密的卫星，利用测控区域的圆内接正方形来覆盖整个卫星轨道面，从而计算出全程监控所需的最少的测控站的个数

问题三，在网上搜集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，从而进行分析这些测控站对该卫星所能测控的范围。

3、问题假设

1、假设卫星或飞船相对于地球极小可以看做质点

2、假设地球是个规则球体，质量集中于地心

3、假设外界引力对该系统可忽略不计

4、忽略影响测控站布置的地理因素

5、不考虑测控站周围地理环境和天气环境对卫星测控的影响

4、符号的约定

R 地球半径

H 卫星或飞船距地面高度

1H 近地点高度

2H 远地点高度

r 测控站测控范围与卫星运行轨道曲面相交的半径

i C 1,2,3,.....i =第i 行正方形覆盖的轨道面圆周长

l 圆内接正方形每条边在卫星轨道面上所对应的圆弧长

q 轨道与赤道平面夹角

1S 球帽面积

2S 卫星运行曲面的面积

3S 测控站测控的范围与曲面交线圆的面积

4S 圆内接正六边形的面积

e 圆内接正六边形与圆的面积之比

5、模型的建立及求解

5.1 问题一模型的建立及求解

5.1.1 模型一：假设卫星或飞船运动轨道为圆

在不考虑地球自转的条件下，地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度的差异可不予考虑。卫星或飞船从起飞时加速升空后经一系列加速变轨，最终的运行轨迹是一圆周。即最终卫星或飞船绕地球做匀速圆周运动。用卫星或飞船的运动轨迹所在的平面去切地球会得到一圆面。如图l 所示：

图3 观测站对圆形卫星轨道覆盖范围示意图