DA5_3换元分部

否相等？
一. 定积分换元法
如果这一结论对一般的 f ( x )也成立，那么在 计算定积分时，就可以 大大简化计算过程， 而不必先用换元法并代 回原变量后求出原函 数，再用 N − L公式计算该定积分之值 。
定积分的换元法定理： 定积分的换元法定理： 定理
定理1. 定理 设函数 2) 在[α, β] 上 则 单值函数 满足: 满足 1) ϕ(t)∈C1[α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b;
1 1 dt dt dt 原式 = ∫ (− 2 ) = − ∫ = −∫ 2 −1 −1 1 + t −1 1 + x 2 1 t 1+ 2 t 1
1
1 dx dx 所以 2 ∫−1 1 + x 2 = 0 → ∫−1 1 + x 2 = 0 1
这个结果是错误的。 这个结果是错误的。原因在于作代换
∫
π
y
y = a2 − x2
a 2 = ∫ (1+ cos 2t)dt 2 0 π 2 a 1 = (t + sin2t ) 2 2 2 0
o
a x
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例2. 计算
t 2 −1 , dx = t dt , 且 解: 令 t = 2x +1,则 x = 2 , 当x = 0时 t =1; x = 4时 t = 3. ,
−a
f (− x) = f ( x) x ∈ [− a, a ]
f ( x ) dx = − A + A = 0
∫
a
−a
f ( x ) dx = A + A = 2 ∫ f ( x ) dx
0
a
证(3)： ∫ Q 且∫
a +T T
a +T
a
定积分的周期性 dx + 周期性解法 f ( x)dx = 定积分的周期性解法∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) ∫
a 0 x =T + u , dx= du a x =T ↔u =0, x =T + a ↔u = a 0 a
0
T
a +T
T
f ( x)dx
f ( x)dx ========== ∫ f (T + u)du ==
a 0 0
=====∫ f (u)du = ∫ f ( x)dx ∴∫
a +T a
周期函数
4 9
一. 定积分换元法 重解：将换元和换限连 起来计算，得：
I =∫
9 4 x −1= t 2 2 (t + 1) dx ===== ∫ dt 2 t x − 1 x = 9 ⇔ tt =1 1 x=4⇔ = 2
= ( 2t + 2 ln | t |) 1 = 2 + ln 4
注意到： t = x −1 4 ≤ x ≤ 9 ⇔ x = (1 + t ) 2 1≤ t ≤ 2 x = 4 ⇔ t =1 即： ≤ x ≤ 9 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2且 4 x = 9 ⇔ t = 2 因此，在换元时同时更 换积分区间，积分值是 2 1 2 由 2 ∫ (1 + ) dt = ( 2 t + 2 ln | t |) 1 = 2 + ln 4 = I 1 t 可以猜测：换元时换限 ，定积分值应相等。
ϕ(t) ϕ′(t)
所证等式两边被积函数都连续, 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则
ϕ(t)
是
ϕ ϕ(t) ϕ′(t)的原函数 , 因此有
= F(b) − F(a) = F[ϕ(β)] − F[ϕ(α)]
ϕ(t) ϕ′(t)
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ϕ(t) ϕ′(t)
说明: 说明:
， 1) 当β < α , 即区间换为[β ,α]时 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 必需注意换元必换限 原函数中的变量不必代回 3) 换元公式也可反过来使用 , 即
ϕ(t) ϕ′(t)
或配元
= ∫ f (x)d x (令x =ϕ(t))
f ( x)dx =====− ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
一个周期内 0 0 0 0
周期函数
a
T
a
T
Y
A
0 T a
A
a+T X
f ( x + T ) = f ( x)
x ∈ (−∞,+∞ ) — —周期函数
注意换元单值，连续的条件： 注意换元单值，连续的条件：
两 在[a,b] 上 分 端 积 b b b u(x)v(x) = ∫a u′(x)v(x)dx + ∫a u(x)v′(x)dx a b b = u(x)v(x) − ∫ u′(x)v(x)dx a a
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例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
− 1 1 1 2 2 2 = + ∫ (1− x ) d (1− x2 ) 12 2 0
⋅ I2−2 ⋅ L34 I2m+1 = 22m12m−11 I2m−⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ I1 m+ 2mm− 3
而
I0 =∫ 2 dx =
0
π
π
, 2
I1 = ∫ 2 sin xdx=1
0
π
故所证结论成立 .
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内容小结
基本积分法 换元积分法 分部积分法
换元必 换元必换限 配元不 配元不换限 边积边代限
∫
2 ( t + 1) dt 1 = 2 ∫ (1 + ) dt t t
= 2 t + 2 ln | t | + C ==== 2 ( x − 1) + 2 ln | ∴ I = 2 ( x − 1) + 2 ln |
4 9 t = x −1
x − 1 | +C x − 1 | = 2 + ln 4
4 0
4 0
同前
，则： 定积分的对称性周期性 定积分的对称性周期性解法 例 设f ( x)在所讨论的区间上连续 周期性解法 3. (1)若f (− x) = − f ( x) (奇函数)，∀x ∈[−a, a] ⇒ a f ( x)dx = 0
∫
a
−a
(2)若f (− x) = f ( x) (偶函数)，∀x ∈[−a, a] ⇒ ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx
t = x2 错误原因在于， 在区间[-1,2]变动时，函数 变动时， 错误原因在于，当x在区间 在区间 变动时
的反函数 x = ± t 不是单值的。
2 2
1
都对应于一个t=1.因此积分 ∫−1 x = ∫1 即x=1, x=-1都对应于一个 都对应于一个 因此积分
2
2
4
x dx , 少计算了 x 2dx = 2 仅仅只计算了∫1 ∫−1
−a 0
a
(3)若f ( x + T ) = f ( x) (周期函数，∀x ∈ (−∞,+∞)，T为常数， ) ⇒ ∀a ∈ R，有： ∫
a +T a
(1),(2)为对称区间 为对称区间！ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx 注：(1),(2)为对称区间！
0
T
证: (1) (2)
∫−a f (x)dx = ∫−a f (x)dx + ∫0 f (x)dx a a = ∫ f (−t)dt + ∫ f (x)dx 0 0 令x = −t a = ∫ [ f (−x) + f (x)]dx 0
n 为奇数 证: 令 t = π − x,则 2
π
∫0
令
2
sin xdx = −∫
n
n π sin (2 −t)dt π
2
0
2 = ∫ 2 cosn t dt xdx
π
0
) 则 u′ = (n −1 sin
n−2
v = −cos x
π
xcos x,
2 ) ∴ In =[−cos x⋅sinn−1 x] 0 + (n −1 ∫ 2 sinn−2 xcos2 xdx 0
a
b
ϕ(t) ϕ′(t)
ϕ(t) dϕ(t)
配元不换限
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注意此代换在主值 范围内是单值的 解: 令 x = asint ,则 dx = acost dt ,且 例1. 计算
, 当x = 0时 t = 0; x = a 时 t = π . , 2
∴ 原式 =
2 2 2 a 0 cos tdt 2 π
，应使
1 ， 上有 在[-1，1]上连续，而代换 x = 在[-1，1]上有 ， 上 t 间断点x=0，不满足换元公式的条件。 间断点 ，不满足换元公式的条件。
二、定积分的分部积分法
定理2. 定理 设u(x), v(x)∈C1[a, b] , 则 b
a
证: Q [u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) +u(x)v′(x)
第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
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引例
一. 定积分换元法
I =
∫
9 4