2018年高考数学专题61数列的通项公式与求和文!

专题6.1 数列的通项公式与求和【三年高考】1. 【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和.【解析】（1）∵123(21)2n a a n a n +++-= ，① ∴2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ② ①-②得，2)12(=-n a n ，122-=n a n ，又1=n 时，21=a 适合上式，∴122-=n a n . （2）由（1）121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ， ∴1221211)121121()5131()311(125321+=+-=+--++-+-=++++=n nn n n n a a a S n n .2.【2016高考上海文科】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =.3. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.4.【2016高考浙江文数】设数列{n a }的前项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前项和.【解析】（I ）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （II ）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-，所以，2*2,13511,2,2nn n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩. 5．【2016高考上海文科】对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B = ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.（3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩． 6.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前项和n T .【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得12113a a =，所以123a a =.令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =.解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =- （II ）由（I ）知24224,n n nb n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=8.【2015高考湖南，文19】设数列{}n a 的前项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S .【解析】（I ）由条件，对任意*n N ∈，有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，因而对任意*,2n N n ∈≥，有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n N ∈，23n n a a +=. （II ）由（I ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++= ，从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-，综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n n n k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩.9.【2015高考浙江，文17】已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .【解析】 (1)由112,2n n a a a +==，得2nn a =.当1n =时，121b b =-，故22b =.当2n ≥时，11n n n b b b n +=-，整理得11n n b n b n++=，所以n b n =. (2)由(1)知，2nn n a b n =⋅，所以23222322nn T n =+⋅+⋅++⋅2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，所以2311222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=-- ，所以1(1)22n n T n +=-+.【2017考试大纲】 数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n 项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n 项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．【2018年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系． 【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． 4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】1. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】若数列{}n a 是正项数23n n =+ ，则12231n a a a n +++=+ __________. 【答案】226n n +【解析】令1n =，得4a 1=，所以16a 1=．当2n ≥时，)1(3)1(a a a 21-n 21-+-=+++n n ．与已知式相减，得22)1(3)1()3(22+=----+=n n n n n a n ，所以2)1(4+=n a n ，1n =时，1a 适合n a ．所以2)1(4+=n a n ，所以441+=+n n a n，∴12231n a a a n +++=+ n n n n 622)448(2+=++-．2.数列 ,817,275,31,31--的一个通项公式是 A ．n n a n n 312)1(1--=+ B ．n n a n n 312)1(--= C ． nn n n a 312)1(1--=+ D ． nn n n a 312)1(--= 【答案】C.【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法． 【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ① 公式法：① 等差数列通项公式； ②等比数列通项公式.⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥.⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩. ⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥.⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】1. 【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知数列}{n a 的前项和为n S ，且11=a ，21+=+n n S a ，则满足1012<n n S S 的的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】由已知可得：当1n >时，111122n n n n n n n n n na a S a a S S a S a +-+-=+⇒-=-=⇒=⇒= 14181,11113223(21)192101,221n n n S S n --=⎧⎪=∙-⇒=<⎨-+≥⎪⎩-，故选A. 2. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】数列{}n a满足1a与11[]{}n n n a a a +=+（[]n a 与{}n a 分别表示n a 的整数部分与分数部分），则2014a =（ ） A．3020．30203018 D．3018【答案】B【考点3】数列求和 【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ ()30122nn n n n n C C C C ++++= .2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()31k=；()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中】用[]x 表示不超过的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a aa a _____________. 【答案】2. 【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知数列{}n a 的前项和为n S ，且()23122n S n n n N *=-∈,数列{}n b 满足()23log 2n n a b n N *=-∈, 则数列{}n n a b 的前项和n T = _________.【答案】110(35)2n n T n +=+-⋅【解析】由()23122n S n n n N *=-∈得当2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-，又111a S ==适合公式，所以32n a n =-，又()23log 2n n a b n N *=-∈，所以2n n b =，即211221242(32)2n n n n T a b a b a b n =+++=⋅+⋅++-⋅ ……①则23121242(32)2n n T n +=⋅+⋅++-⋅ ……② ①-②并化简得110(35)2n n T n +=+-⋅. 【应试技巧点拨】1. 由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n naa +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用 “分组求和法”.特征二：n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. 特征三：1n n nC a b =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. 特征四：nn n n C C a =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式.数列{n a }的前项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：12)n n n a S S n -=-≥（，根据题目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥5.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n naa +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.1. 【2017福建三明5月质检】已知数列{}n a 的前项和为n S ，且11a =， ()*1·2n n n a a n N +=∈，则2016S =（ ）A. 10083?23- B. 201621- C. 200923- D. 200823-【答案】A【解析】∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1⋅a n =2n(n ∈N ∗)，∴a 2⋅a 1=2,解得a 2=2.,当n ⩾2时,12121222nn n n n n n n a a a a a a +++++=⇒=，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.则()()()100810081008201613201524201622121S 3232121a a a a a a --=+++++++=+=⋅--- .本题选择A 选项.2. 【2017黑龙江哈师大附中三模】已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______. 【答案】1375【解析】因为()()2411nnn a n n =-+-，所以5012S S S =+，则()()()125022211112150S =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-，即()22211234950123501275S =-+-+⋅⋅⋅+-+=+++⋅⋅⋅+=，又，应填答案1375。