正态分布的概率密度与分布函数PPT课件
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1.正态分布的概率密度与分布函数
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1.正态分布的概率密度与分布函数
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
正态分布详解(很详细)PPT课件
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y~N(,2)时，
P(Y | |)0.6826
P(Y | |2)0.9544
P(Y | |3)0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[3,3]区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
正态分布课件ppt
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2 s
（3）f (x) 的图象关于 x =μ 对称.
x （－∞，μ] x （μ，+∞）
正态分布密度函数
当μ= 0，σ=1时 标准正态分布密度函数
y
μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
标准正态曲线
例1、下列函数是正态分布密度函数的是（ B）
A.
f (x)
X~(100, 52 )，据此估计，大约应有57人的分数在
下列哪个区间内？（A ）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
P(m s X m s ) 0.6826, P(m 2s X m 2s ) 0.9544, P(m 3s X m 3s ) 0.9974.
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 (m 3s , m 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.
例3、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即 x ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是
1
(xm )2
e 2s 2 , m,s (s 0)都是实数
2s
2 x2
B. f (x)
e2
2
1
( x1)2
C. f (x)
e4
2 2
D.
f (x)
1
x2
e2
2
练习：
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出随机变量的期望和方差。
y
《高中数学正态分布》课件
正态分布的实例分析
1 案例一：商品售价的概率分布
探讨商品售价符合正态分布时的概率分布情况，为合理定价提供依据。
2 案例二：身高的概率分布
分析人类身高在不同群体中的分布，理解身高的统计特征和差异。
3 案例三：考试成绩的分布
研究考试成绩的正态分布特征，评估学生的相对表现和优势科目。
总结与思考
正态分布在数学与实践中的重要 性
3
应用示例
通过标准化后的数据，可以进行正态分布的统计估计、抽样与推论，并用于描述 实际情况。
正态分布的应用
统计估计
正态分布在估计总体参数和进行 置信区间估计时非常有用。
抽样与推论
正态分布可用于抽样分布的建立 和统计推断的进行。
实际情况分析
通过近似描述实际情况，例如商 品售价、身高和考试成绩的分布。
《高中数学正态分布》 PPT课件
引言
正态分布的定义
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线，以均值μ和标准差σ来描述。
正态分布的性质
正态分布的均值、中位数和众数相等；左右对称；68%的数据落在一个标准差内；95%的数 据落在两个标准差内。
概率密度函数
密度函数的输入和输出，函数图 像
密度函数接受一个输入值x并给出对应的概率密度 值。函数图像呈现出正态分布的钟形曲线。
正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，在自 然科学、社会科学和经济金融等领域有广泛应用。
对于其他分布的启示
正态分布的性质和应用可以启发我们研究和理解其 他概率分布。
参考文献
• 统计学与实际 • 十二年高等数学 • 数学建模及其应用 • 离散数学及其应用
均值和标准差对函数图像的影响
均值决定函数图像的中心位置，标准差影响函数图 像的分散程度。正态分布的Fra bibliotek准化1
75正态分布课件
回归分析
用于研究变量之间的相关关系，通过建立回归方程来描述自变量和因变量之间的数量关 系，并进行预测和控制。
正态分布在方差分析和回归分析中的应用
在方差分析中，正态分布假设是前提之一，用于判断实验结果的可靠性；在回归分析中， 正态分布假设用于建立回归模型并进行参数估计和假设检验。
04 正态分布在概率论中作用
检验统计量与拒绝域 根据样本数据计算检验统计量，并根据显著性水 平和检验统计量的分布确定拒绝域。
3
P值与决策 根据检验统计量的值和拒绝域计算P值，并根据P 值与显著性水平的比较做出决策。
方差分析与回归分析应用
方差分析
用于研究不同因素对实验结果的影响程度，通过比较不同组间的方差和组内方差来判断 因素对实验结果是否有显著影响。
定理意义
中心极限定理揭示了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的规律，为统计学中 的许多推断方法提供了理论基础。
正态分布与其他分布关系
正态分布与t分布关系
当总体服从正态分布且样本量n较大时，t分布近似于标准正态分布。因此，在实际应用中， 当样本量足够大时，可以使用正态分布的方法对t分布进行近似处理。
关键知识点总结回顾
正态分布的定义和性质
01
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线特点，其概率
密度函数由均值和标准差决定。
正态分布的参数估计
02
通过样本数据可以估计正态分布的均值和标准差，常用方法有
最大似然估计和矩估计。
正态分布的应用
03
正态分布在实际问题中广泛应用，如质量控制、假设检验、回
归分析等。
75正态分布课件
目 录
பைடு நூலகம்
• 正态分布基本概念 • 正态分布性质与定理 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在概率论中作用 • 正态分布在实际问题中运用 • 正态分布课件总结回顾与拓展延伸
用于研究变量之间的相关关系，通过建立回归方程来描述自变量和因变量之间的数量关 系，并进行预测和控制。
正态分布在方差分析和回归分析中的应用
在方差分析中，正态分布假设是前提之一，用于判断实验结果的可靠性；在回归分析中， 正态分布假设用于建立回归模型并进行参数估计和假设检验。
04 正态分布在概率论中作用
检验统计量与拒绝域 根据样本数据计算检验统计量，并根据显著性水 平和检验统计量的分布确定拒绝域。
3
P值与决策 根据检验统计量的值和拒绝域计算P值，并根据P 值与显著性水平的比较做出决策。
方差分析与回归分析应用
方差分析
用于研究不同因素对实验结果的影响程度，通过比较不同组间的方差和组内方差来判断 因素对实验结果是否有显著影响。
定理意义
中心极限定理揭示了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的规律，为统计学中 的许多推断方法提供了理论基础。
正态分布与其他分布关系
正态分布与t分布关系
当总体服从正态分布且样本量n较大时，t分布近似于标准正态分布。因此，在实际应用中， 当样本量足够大时，可以使用正态分布的方法对t分布进行近似处理。
关键知识点总结回顾
正态分布的定义和性质
01
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线特点，其概率
密度函数由均值和标准差决定。
正态分布的参数估计
02
通过样本数据可以估计正态分布的均值和标准差，常用方法有
最大似然估计和矩估计。
正态分布的应用
03
正态分布在实际问题中广泛应用，如质量控制、假设检验、回
归分析等。
75正态分布课件
目 录
பைடு நூலகம்
• 正态分布基本概念 • 正态分布性质与定理 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在概率论中作用 • 正态分布在实际问题中运用 • 正态分布课件总结回顾与拓展延伸
(课件)概率论与数理统计：正态分布
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
正态分布的概率密度与分布函数(修)
一般正态分布的概率计算
[定理]
设 X ~ N( , 2) , 则Biblioteka P(x1Xx2
)
(
x2
)
( x1
).
证：
t
x
P(x1 X x2 )
1
x2 t2
e 2 dt
2 π x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
正态分布(或高斯分布).
记作：
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布.
记为：
X ~ N (0 ,1).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的概率密度
f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2
即 P( X 168 x 168) 0.99, ( x 168) 0.99,
由于
7
7
(2.33) 0.9901 0.99, 可取
7 x 168 2.33
x 184.31
7
故车门高度应设计为
184.31 厘米。
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量
X 服从标准正态分布
2 π
( x2 ) ( x1 ).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量
X 服从正态分布
P(1.6 X 2.4).
N (1 ,22 ) , 求概率
解： P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
分布函数与概率密度函数的求法ppt文件
04
分布函数与概率密度函数的求解方法
离散型随机变量的求解方法
定义法
根据随机变量的定义，利用公式计算离散型随机变量的概率，从而得到其分布函 数和概率密度函数。
表格法
将随机变量取值的所有可能结果列成一个表格，计算每个可能结果的概率，从而 得到其分布函数和概率密度函数。
连续型随机变量的求解方法
公式法
连续型随机变量的关系
• 连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率。例如，正态分布的 分布函数可以表示为
• f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), x∈R • 其中，μ是均值，σ是标准差。 • 连续型随机变量的概率密度函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率密度。例如，正
分布函数与概率密度函数的 求法
xx年xx月xx日
contents
目录
• 分布函数的定义与性质 • 概率密度函数的定义与性质 • 分布函数与概率密度函数的关系 • 分布函数与概率密度函数的求解方法 • 分布函数与概率密度函数的应用
01
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量X，其分布函数F(x)定义为事件{X≤x}的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数与概率密度函数在统计分析中的应用
参数估计
假设检验
方差分析
相关分析
回归分析
利用样本数据估计未知 参数，包括点估计和区 间估计。
利用样本数据对未知参 数进行假设检验，包括 参数检验和非参数检验 。
分析多个因素对观测值 的影响，判断各因素对 观测值的影响是否显著 。
研究两个或多个变量之 间的相关关系，包括线 性相关和非线性相关。
标准正态分布随机变量的概率计算课件
统计分析
在统计分析中，概率密度函数用于描述连续型随机变量的分布情 况，帮助我们了解数据的特征和规律。
概率计算
通过概率密度函数，我们可以计算随机变量取任意值的概率，为决 策和预测提供依据。
数据建模
在数据建模中，概率密度函数用于建立概率模型，对数据进行拟合 和预测。
03
标准正态分布的累积分布 函数
累积分布函数的定义与性质
标准正态分布是许多统计方法和模型的基础，如线性回归、方差分析、卡 方检验等。
它是一种常用的概率分布，用于描述和分析各种自然现象和实验数据的概 率分布情况。
标准正态分布在统计学中具有广泛的应用，为科学研究和实践提供了重要 的理论支持和方法指导。
02
标准正态分布的概率密度 函数
概率密度函数的定义与性质
标准正态分布随机变量的概 率计算课件
目 录
• 标准正态分布的简介 • 标准正态分布的概率密度函数 • 标准正态分布的累积分布函数 • 标准正态分布的随机变量取值概率计算 • 标准正态分布的随机变量函数概率计算
01
标准正态分布的简介
标准正态分布的定义
01
标准正态分布是一种概率分布， 其特征是所有可能结果的概率之 和为1，且期望值和方差均为0。
质量控制
在生产过程中，标准正态分布随 机变量的概率计算可用于确定产 品合格率、控制生产过程的稳定 性。
金融风险评估
在金融领域，标准正态分布随机 变量的概率计算可用于评估投资 组合的风险，如计算收益率超过 某一阈值的概率。
05
标准正态分布的随机变量 函数概率计算
随机变量函数的概率计算方法
定义域分析
要点二
计算随机变量取值在$[-1, 1]$区 间的概率
在统计分析中，概率密度函数用于描述连续型随机变量的分布情 况，帮助我们了解数据的特征和规律。
概率计算
通过概率密度函数，我们可以计算随机变量取任意值的概率，为决 策和预测提供依据。
数据建模
在数据建模中，概率密度函数用于建立概率模型，对数据进行拟合 和预测。
03
标准正态分布的累积分布 函数
累积分布函数的定义与性质
标准正态分布是许多统计方法和模型的基础，如线性回归、方差分析、卡 方检验等。
它是一种常用的概率分布，用于描述和分析各种自然现象和实验数据的概 率分布情况。
标准正态分布在统计学中具有广泛的应用，为科学研究和实践提供了重要 的理论支持和方法指导。
02
标准正态分布的概率密度 函数
概率密度函数的定义与性质
标准正态分布随机变量的概 率计算课件
目 录
• 标准正态分布的简介 • 标准正态分布的概率密度函数 • 标准正态分布的累积分布函数 • 标准正态分布的随机变量取值概率计算 • 标准正态分布的随机变量函数概率计算
01
标准正态分布的简介
标准正态分布的定义
01
标准正态分布是一种概率分布， 其特征是所有可能结果的概率之 和为1，且期望值和方差均为0。
质量控制
在生产过程中，标准正态分布随 机变量的概率计算可用于确定产 品合格率、控制生产过程的稳定 性。
金融风险评估
在金融领域，标准正态分布随机 变量的概率计算可用于评估投资 组合的风险，如计算收益率超过 某一阈值的概率。
05
标准正态分布的随机变量 函数概率计算
随机变量函数的概率计算方法
定义域分析
要点二
计算随机变量取值在$[-1, 1]$区 间的概率
标准正态分布的密度函数课件
概率密度函数
函数表达式
$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{x^2}{2}}$
意义
描述随机变量取值在各个区间的概率大小。
期望值与方差
期望值
E(X) = 0
方差
D(X) = 1
02
标准正态分布的性质
曲线形状
01
02
03
钟形曲线
标准正态分布的密度函数 曲线呈钟形，中心对称， 形态相对稳定。
03
标准正态分布的应用
统计学中的运用
描述性统计
标准正态分布常用于描述数据的 分布情况，如平均数、中位数、 众数等统计指标的计算。
概率推断
标准正态分布是概率推断的基础 ，如正态分布假设下的参数估计 、假设检验等统计推断方法。
线性回归分析
在回归分析中，如果自变量和因 变量之间存在线性关系，且误差 项服从正态分布，则可以使用标 准正态分布进行回归分析。
生物统计学
在生物统计学中，标准正态分布用于描述生 物数据的分布情况，如身高、体重、智商等 。
物理学
在物理学中，标准正态分布用于描述物理现象的概 率分布，如测量误差、实验数据的分布等。
环境科学
在环境科学中，标准正态分布用于描述环境 数据的分布情况，如空气质量指数、水质指 标等。
04
标准正态分布与其他分 布的关系
06
实例分析
实例一：股票收益率的正态性检验
股票收益率
股票收益率是衡量股票投资收益的重要指标，通常是指持 有期内股票价格的变化率。
正态性检验
通过对股票收益率进行正态性检验，可以判断其是否符合 正态分布，从而为投资决策提供依据。
检验方法
常用的检验方法包括峰度系数、偏度系数、直方图、P-P 图和Q-Q图等。
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度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定 . 称
为位置参数.
6当固定 μ ,改变 σ 的大小时 , f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小 , 图形越高越瘦, σ越大 , 图形越矮越胖.
分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
解（1）
P{ X
165}
P
X
170 6
165 6
170
1 (0.83) (0.83) 0.7967.
(2)由题设知 X ~ } 1 P{X l}
1
P
X
170 6
l
170
证 Z X 的分布函数为
P{Z
x}
P
X
x
P{ X
x}
1
x
e
(
t )2 2 2
dt，
2π
令 t
u
,得
P{Z
x}
1 ex u2 2du Φ( x) 2π
由此知 Z X ~ N (0,1) .
I 2 2π rer2 2drd 2π， 00
故有 I 2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1 .
2π
2π
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称 . 这表明对于任意h 0 ,
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数 , 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ) .
显然f ( x) 0 ,下面来证明 f ( x)dx 1 .
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
证明 Φ( x) 1 Φ( x) .
证明 Φ( x)
x
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 d x
x
1
e
x2 2
d
x，
2π
2π
1 Φ( x) .
[例1] 设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
令 ( x ) t , 得到
1
e
(
x )2 2 2
dx
2
1 et2 2dt，
2
记 I e t2 2dt , 则有I 2 e (t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
而I 0, 于是
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
(x) 1 ex2 2 ,
2π
Φ( x) 1 ex t2 2dt . 2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0) 0.5; () 1; ( x) 1 ( x).
6
1 (l 170) 0.01 ,
6
即 (l 170) 0.99 . 查表得l 170 2.33 ,
6
6
故 l 183.98(cm) .
[例4] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
[定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则对于任意区间 ( x1, x2 ] ,
有
P{ x1
X
x2 }
P
x1
X
x2
Φ
x2
Φ
x1
.
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
例3 设某城市成年男子的身高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2) 问应如何设计公共汽车车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于0.01 ?
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/25
正态分布概率的计算
P{X x}F( x) 1
(t μ)2 原函数不是 ex 2σ2 d t 初等函数
2πσ
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
定理 若X ~ N (, 2 ) , 则 Z X ~ N (0,1) .
有 P{ h X } P{ X h} .
2 当x 时取到最大值 f ()
1.
2π
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 ,改变 的值 , 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
为位置参数.
6当固定 μ ,改变 σ 的大小时 , f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小 , 图形越高越瘦, σ越大 , 图形越矮越胖.
分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
解（1）
P{ X
165}
P
X
170 6
165 6
170
1 (0.83) (0.83) 0.7967.
(2)由题设知 X ~ } 1 P{X l}
1
P
X
170 6
l
170
证 Z X 的分布函数为
P{Z
x}
P
X
x
P{ X
x}
1
x
e
(
t )2 2 2
dt，
2π
令 t
u
,得
P{Z
x}
1 ex u2 2du Φ( x) 2π
由此知 Z X ~ N (0,1) .
I 2 2π rer2 2drd 2π， 00
故有 I 2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1 .
2π
2π
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称 . 这表明对于任意h 0 ,
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数 , 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ) .
显然f ( x) 0 ,下面来证明 f ( x)dx 1 .
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
证明 Φ( x) 1 Φ( x) .
证明 Φ( x)
x
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 d x
x
1
e
x2 2
d
x，
2π
2π
1 Φ( x) .
[例1] 设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
令 ( x ) t , 得到
1
e
(
x )2 2 2
dx
2
1 et2 2dt，
2
记 I e t2 2dt , 则有I 2 e (t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
而I 0, 于是
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
(x) 1 ex2 2 ,
2π
Φ( x) 1 ex t2 2dt . 2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0) 0.5; () 1; ( x) 1 ( x).
6
1 (l 170) 0.01 ,
6
即 (l 170) 0.99 . 查表得l 170 2.33 ,
6
6
故 l 183.98(cm) .
[例4] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
[定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则对于任意区间 ( x1, x2 ] ,
有
P{ x1
X
x2 }
P
x1
X
x2
Φ
x2
Φ
x1
.
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
例3 设某城市成年男子的身高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2) 问应如何设计公共汽车车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于0.01 ?
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正态分布概率的计算
P{X x}F( x) 1
(t μ)2 原函数不是 ex 2σ2 d t 初等函数
2πσ
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
定理 若X ~ N (, 2 ) , 则 Z X ~ N (0,1) .
有 P{ h X } P{ X h} .
2 当x 时取到最大值 f ()
1.
2π
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 ,改变 的值 , 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密