高考解三角形专题突破
高考数学热点专题突破讲练：三角恒等变换与解三角形(含新题详解)
第七讲 三角恒等变换与解三角形简单三角恒等变换差角余弦公式倍角公式和(差)角公式余弦定理正弦定理三角形面积公式解三角形应用举例1．(倍角公式)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π 22 ＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A2．(正弦定理与和角公式)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝1，得A ＝π2(由于0＜A ＜π)，故△ABC 是直角三角形． 【答案】 A3．(正弦定理)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝2 3.【答案】 2 3图2－2－14．(余弦定理的应用)(2013·福建高考)如图2－2－1，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】35．(三角恒等变换)(2013·重庆高考改编)4cos 50°－tan 40°＝________. 【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 3简单的三角恒等变换(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335， 求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将f (x )、g (x )化简，沟通二者联系；(2)由f (x )≥g (x )，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解．【自主解答】 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12， 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．(1)注意角之间的关系，灵活运用和(差)、倍角公式化为“同角x ”的三角函数，这是解题的关键；(2)重视三角函数图象，性质在求角的范围中的应用，由图象的直观性、借助周期性，整体代换可有效避免错误．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．变式训练1 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求cos 2αsin (α－π4)的值．【解】 依题意得sin α－cos α＝12，所以1－2sin αcos α＝14，2sin αcos α＝34.则(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74.由0<α<π2，知sin α＋cos α＝72>0.所以cos 2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.正(余)弦定理(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．【思路点拨】 (1)由余弦定理，得关于a ，c 的方程，与a ＋c ＝6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A ，进而求cos A ，sin B ，利用两角差的正弦公式求值．【自主解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.1．(1)本题求解的关键是运用正弦(余弦)定理完成边角转化；(2)求解易忽视判定A 的范围，错求cos A ＝±13，导致增解．2．以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻关注它的两重性：一是作为三角形问题，它必然通过正弦(余弦)定理、面积公式建立关于边的方程，实施边角转化；二是它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．变式训练2 (2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 【解】 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12.又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.解三角形及应用(2013·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .【思路点拨】 (1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简．(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cos B ，进而求出△ABC 的面积．【自主解答】 (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B (sin Acos A＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C， 所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．认真分析题设与要求结论的联系与区别，消除差异，从而找到解题的突破口，这是本题求解的关键．2．三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式．变式训练3 已知三角形的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．【解】 (1)∵m ∥n ，∴c (c －a )＝(b －a )(a ＋b )， ∴c 2－ac ＝b 2－a 2，则a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又0＜B ＜π，因此B ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋sin2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3. 故sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3正(余)弦定理的实际应用【命题要点】 ①实际问题中的距离，高度测量；②实际问题中角度、方向的测量；③实际行程中的速度、时间的计算．如图2－2－2所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？图2－2－2【思路点拨】 由题设条件，要求该救援船到达D 点的时间，只需求出C 、D 两点间的距离，先在△ABD 中求BD ，再在△BDC 中求CD ，进而求出时间．【自主解答】 由题意知AB ＝5(3＋3)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°，∴∠ADB ＝105°.∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45° ＝22×12＋32×22＝2＋64. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)×222＋64＝103(1＋3)1＋3＝10 3.又∠DBC ＝180°－60°－60°＝60°，BC ＝203， 在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2·BD ·BC ·cos 60° ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，∴救援船需要的时间t ＝3030＝1(小时)．1．该题求解的关键是借助方位角构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(余)弦定理沟通边角关系．2．应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件．(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．变式训练4 如图2－2－3，A 、C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，图2－2－3下午4时到达C 岛． (1)求A 、C 两岛之间的距离； (2)求∠BAC 的正弦值．【解】 (1)在△ABC 中，由已知，得AB ＝10×5＝50(海里)，BC ＝10×3＝30(海里)， ∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900， 所以AC ＝70(海里)．故A 、C 两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.从近两年的高考命题看，正弦定理、余弦定理是高考命题的热点，不仅是用来解决一些简单的三角形边角计算问题；且常与三角函数、向量、不等式交汇命题，灵活考查学生分析解决问题的能力，多以解答题的形式出现，属中低档题目．以三角形为载体的创新交汇问题(12分)已知△ABC 是半径为R 的圆内接三角形，且2R ·(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 的面积S 的最大值． 【规范解答】 (1)由2R (sin 2A －sin 2C ) ＝(2a －b )sin B ，得a sin A －c sin C ＝2a sin B －b sin B ， ∴a 2－c 2＝2ab －b 2，4分由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，又0＜C ＜π，∴C ＝π4.6分(2)∵csin C＝2R ， ∴c ＝2R sin C ＝2R . 由(1)知c 2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴2R 2＝a 2＋b 2－2ab .8分又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)， ∴2R 2≥2ab －2ab ， ∴ab ≤2R 22－2＝(2＋2)R 2.10分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤2＋12R 2. 即△ABC 面积的最大值为2＋12R 2. 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能灵活运用正弦定理化简等式，致使求不出角C ，究其原因是不能深刻理解正弦定理的变形应用．(2)对求△ABC 的面积的最大值束手无策，想不到利用等式求ab 的最大值． 防范措施 (1)利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可实施边角转化．(2)对于“已知一边及其对角”的三角形，常用余弦定理，得到其他两边的关系，再利用基本不等式便可求三角形面积的最值．1．已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求f (β)的值． 【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －34π＋π2 ＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)． ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45得 cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝2sin π4＝ 2. 2．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
π 4 π 4
＝
－3－1 1－3
＝
2
，
则
tan
β ＝ tan(α ＋ β － α) ＝
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋3－3×2 2＝17.故选 D．
3. (2023·怀仁市校级四模)已知 α 为锐角，且 sin α＋sinα＋π3＋
sinα＋23π＝ 3，则 tan α＝_____3___.
2cos 40°＋cos 80°＋sin 80°tan θ＝0，
所以
tan
θ＝－2cos
40°＋cos sin 80°
80°＝－2cos120°s－in8800°°＋cos
80°
＝－2cos
120°cos
80°＋sin 120°sin sin 80°
80°＋cos
80°＝－
3sin 80° sin 80°
2 α＋3tan
≤ α2
2
1 tan
α·3tan
α
＝ 33，当且仅当tan1 α＝3tan α，即 tan α＝ 33时，等号成立，tan β 取得最
大值 33.故选 B．
核心考点2 正弦定理、余弦定理的应用
核 心 知 识·精 归 纳
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外 接圆半径)．
第一篇
核心专题提升•多维突破
专题一 三角函数与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
分析考情·明方向 真题研究·悟高考 考点突破·提能力
分析考情·明方向
高频考点
高考预测
三角函数的化简与求值(倍角公式、
两角和与差公式进行恒等变换，角 继续以选择、填空题形式考查三角
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题1 三角函数与解三角形 考点突破练1 三角函数的图象与性质
7.(2023 陕西榆林二模)已知函数
π
π
2 7π
f(x)=2sin(2x+6 )在[-4 , 6 ]和[ 5 , 12 ]上都是单调
的,则 a 的取值范围是( D )
π
f(x)=2sin(ωx+6 )(ω>0),若方程|f(x)|=1
在区间(0,2π)内恰有 5 个实
根,则 ω 的取值范围是( D )
7 5
A.( , ]
6 3
解析 由|f(x)|=
5 13
B.( , ]
3 6
π
|2sin(ωx+ )|=1
6
4
C.(1, ]
3
可得
π
1
sin(ωx+ )=± ,若
6
5
π·
=1,∴当
2
5
f(2)>f(1)=2,当
5
2
x=2时,f(x)< +sin
5
x=2时,得
πx 不成立,即
5
5 2
4
4
g(2)=f(2)- 5 >f(1)-5=2-5
2
=
6
>sin
5
5
5π
g(2)<sin 2 不成立,由此可在坐标系
中画出 g(x)与 y=sin πx 大致图象如图所示:
由图象可知,当 x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,g(x)<sin πx,即
f(x)的单调递增区间为[kπ-
5π
π
2022届高考数学解三角形综合满分突破专题八 多三角形问题(解析版)
专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437， 则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2． (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长．专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437， 则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．1．解析 (1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°．在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos ∠PBA ＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74．故P A ＝72．(2)设∠PBA ＝α，由已知得PBBC＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α，即PB ＝sin α． 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α．所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34． 2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．2．解析 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β．因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1．又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4．(2)设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24．因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74． 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．3．解析 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°， ∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理可得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－2．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．4．解析 (1)在△ABC 中，AB ＝2，∠ACB ＝30°，由正弦定理可知，BC sin ∠BAC ＝2sin 30°，所以BC ＝4sin ∠BAC ．又∠ABD ＝60°，∠ACB ＝30°，则∠BAC ＋∠CBD ＝90°， 则sin ∠BAC ＝cos ∠CBD ，所以BC ＝4cos ∠CBD ． (2)CD 为定长，因为在△BCD 中，由(1)及余弦定理可知，CD 2＝BC 2＋BD 2－2×BC ×BD ×cos ∠CBD ＝BC 2＋4－4BC cos ∠CBD ＝BC 2＋4－BC 2＝4，所以CD ＝2．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．5．解析 设∠CED ＝α．因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3．(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217．(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714． 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47． 6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．6．解析 (1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13， 因为∠D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223． 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝23，因为BC ＝23，AC sin B ＝AB sin ∠ACB ，所以23sin B ＝AB sin (π－2B )＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ， 所以AB ＝4．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2．(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．7．解析 (1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55． 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝5．(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55． 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45， ∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD ．在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58． 8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长． 8．解析 (1)△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×BC ×22＝12，得BC ＝2． 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即AC 2＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，得AC ＝5． 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin ∠ABC ，即2sin ∠CAB ＝5sin 3π4，所以sin ∠CAB ＝55． (2)由题设知∠CAB ＜π2，则cos ∠CAB ＝1－sin 2∠CAB ＝1－15＝255， 因为AB ⊥AD ，所以∠DAC ＋∠CAB ＝π2．所以sin ∠DAC ＝cos ∠CAB ＝255． 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠DAC ，即5sin π6＝CD 255，解得CD ＝4．。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
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所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形
第二篇 专题一 第2讲一、选择题1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( A ) A ．53B ．23C ．13D ．59【解析】由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．若sin α＝－35，且a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则1－tanα21＋tanα2＝( D ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【解析】sin α＝－35，可得2sin α2cosα2sin 2α2＋cos 2α2＝－35，所以2tanα2tan 2α2＋1＝－35，解得tan α2＝－3或tan α2＝－13，又a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴tan α2＝－3，故1－tanα21＋tanα2＝1－(－3)1＋(－3)＝－2.故选D.3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，且2a cos B －a cos C ＝c cos A ＋a －b ，则△ABC 面积的最大值是( B )A ．32B ．3C ．2D ．5【解析】由正弦定理得：2sin A cos B －sin A cos C ＝sin C cos A ＋sin A －sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin (A ＋C )＋sin A －sin B ＝sin A ， 又由0＜A ＜π，可得sin A ＞0， 则有cos B ＝12，又0＜B ＜π，则sin B ＝32， 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以a 2＋c 2＝ac ＋4≥2ac ，所以ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， 则S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝3，故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( D )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7【解析】在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin (A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin (A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，即a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.5．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】∵2α－β＝π2，∴β＝2α－π2，∴tan αcos ⎝⎛⎭⎫2α－π2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝1，即tan αsin 2αx －cos 2α＝1，∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin 2α＝1，故选A.6．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(a －b )·sin A ＝c sin C －b sin B ，若△ABC 的面积为33，则c 的最小值为( A )A ．23B ．43C ．2D ．4【解析】∵(a －b )·sin A ＝c sin C －b sin B ，∴a 2－ab ＝c 2－b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0＜C ＜π， ∴C ＝π3，∵S ＝12ab sin C ＝33，∴ab ＝12，∵c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝12(当且仅当a ＝b ＝23时取等号)， ∴c ≥23，∴c 的最小值为23， 故选A.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是( D )A ．cos C ＝63B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝2【解析】因为A ＋3C ＝π，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得23sin 2C ＝3sin C ，即232sin C cos C ＝3sin C ，所以cos C ＝33，故A 错误；因为cos C ＝33，所以sin C ＝63，所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223，故B 错误；因为cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝－13，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69，则cos A ＝539，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2，故D 正确．8．已知f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下面结论不正确的是( D )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π【解析】因为f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )，∵f (－x )＝f (x )，∴T ＝2π4＝π2，f (x )的最大值为18×2＝14.故选D.二、填空题9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，则sin 2α－cos 2α1＋cos2α＝__－56__． 【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12， 即1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13，所以sin 2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ＋a sin C ＝2a sin B －csin B －sin A ，则A＝__π4__.【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a， 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A ， 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， ∴2bc cos A ＝2bc sin A ，即cos A ＝sin A ， ∴tan A ＝1，∴A ＝π4.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C ＝__π4__．【解析】由b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C .因为sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，所以cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝csin C，得sin C ＝22.因为0＜C ＜2π3，所以C ＝π4. 12．(2022·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a 2的最大值为6．【解析】由题意知，4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 整理，得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3(c 2－a 2)2ac， 因为⎝⎛⎭⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝⎛⎭⎫c sin B 2a 2＝c 2(1－cos 2B )4a 2， 代入cos B ＝3(c 2－a 2)2ac，整理得⎝⎛⎭⎫S a 22＝－116⎝⎛⎭⎫9×c 4a4－22×c 2a 2＋9，令t ＝c 2a 2，则⎝⎛⎭⎫S a 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝⎛⎭⎫3t －1132＋1036，所以⎝⎛⎭⎫S a 22≤1036，所以S a 2≤106，故S a 2的最大值为106. 三、解答题13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin C cos A ＝22sin A sin B ，22b ＝3c .(1)求A ；(2)若D 是AB 边的中点，CD ＝5，求△ABC 的面积． 【解析】(1)因为3sin C cos A ＝22sin A sin B ， 由正弦定理，可得3c cos A ＝22b sin A . 结合22b ＝3c ，则有sin A ＝cos A ，所以tan A ＝1， 又因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π4. (2)因为22b ＝3c ，D 是AB 边的中点，所以AD ＝2b 3. 在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋b 2－2AD ·b cos A ，即(5)2＝⎝⎛⎭⎫2b 32＋b 2－2·2b 3·b cos π4， 解得b ＝3或b ＝－3(舍去)， 则c ＝2 2.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×22×22＝3.。
【高考数学 核心突破 解三角形】三角函数的图象与性质、三角恒等变换与解三角形(含规范大题示范)
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7. (2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)(2018·安徽省江淮十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)(2018·永州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案 π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示， 则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)(2018·潍坊模拟)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cosω⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)(2018·北京朝阳区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3(1＋cos 2ωx )2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝⎛⎭⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4， ∵f (x )max ＝1，∴⎝⎛⎭⎫T 22＋4＝π2＋4， 整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝0， 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3； 当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤7π6，5π3.∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3，⎣⎡⎦⎤7π6，5π3. 思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·四川成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a 的最大值为1.(1)求函数f (x )的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ≤1， ∴2＋a ＝1， 即a ＝－1，∴最小正周期为T ＝π. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1， 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1； 当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )，∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________． 答案 π4解析 f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数______．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增； ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增； ④在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______． 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M ⎝⎛⎭⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得 PM ＝⎝⎛⎭⎫2－a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3， 从而f (0)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－8，得A ＝163 3. 3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22， 可得cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4， 可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．(2018·佛山质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π， 2 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π， 2 答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．(2018·天津市十二校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π8答案 D解析 由函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π＝2πω， 可得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋|φ|)＋π4的图象， ∵平移后图象关于y 轴对称， ∴2|φ|＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴|φ|＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝1，得φ＝±5π8.3．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π8D.π3 答案 A解析 ∵f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1 ＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω(x －φ)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωφ－π6. 由图知T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6， 则g ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝2， 即2π3－2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π12－k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ的值为π12.4．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案 B解析 由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则φ＝±π3＋2k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3. 令－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z . 5．(2018·焦作模拟)函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称C ．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， 所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π6 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ＝－π3时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2≠0， 所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确． 6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 答案33解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝⎛⎭⎫－43＝112.8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．(2018·潍坊模拟)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝f ⎝⎛⎭⎫672π＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)， f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增； 当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3>0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，设∠AOB ＝θ， ∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＝35.12．(2018·株洲质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对∀x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π12，π3 D.⎣⎡⎦⎤π12，π6答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫π12＋φ，2π3＋φ， 且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎨⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．函数f (x )＝12－x的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________. 答案 12解析 如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .第2讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2018·广东省省际名校(茂名市)联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α等于( )A.2325 B ．－2325C.725 D ．－725答案 D解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－725. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)(2018·湖南G10教育联盟联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________. 答案 23－4解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， ∴sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32cos α， ∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4. (2)(2018·江西省重点中学协作体联考)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( )A.13 B ．－23C.23 D ．－13答案 B解析 由题意得2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0， 解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去)，所以sin 2θ＝－23.热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－4c ·cos2π3， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2018·广州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8.(1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，ANBM ＝23，求AM 的值；(2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ， 又B ＝60°，AB ＝8，在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2－2×8×2x cos 60°， 解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2. 在△ABM 中，由余弦定理，得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2，AM ＝82＋22－2×8×2×12＝52＝213.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33.又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝32×63＋12×33＝32＋36， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝48×32＋36＝242＋8 3.热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a <c ，所以cos A ＝277 .因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝437×12－17×32＝3314. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．跟踪演练3 (2018·雅安三诊)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且·＝6，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )．∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵·＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12，又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a 28－1，∴a ＝2 3.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号) ①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A .答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B .由cos C >0，得sin A ＝2sin B .根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 3．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.答案 π4解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4. 4．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案 233 解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C .又sin B sin C >0，∴sin A ＝12. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc>0， ∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0， 并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc2bc≥2bc －bc2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12，所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79C ．－79D ．－89答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33 D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3， 即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2018·凯里市第一中学《黄金卷》模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝b c，则该三角形为( ) A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形答案 D解析 由cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c， 化简得c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．4．(2018·衡水金卷调研卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( ) A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7 答案 D解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形微专题解三角形中的结构不良问题
题型选讲 题型一 研究三角形是否存在的问题
典例1 (2023·海南省直辖县级单位统考模拟预测)在△ABC 中，
角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2sin2B＋2 C＝1＋sin A．
∵0<B<23π， ∴B＋π6∈π6，56π， ∴sinB＋π6∈12，1， 故 cos B＋cos C 的最大值为 1.
典例5 在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)，②2bcos A＋a
＝2c，③2 3
3 acsin
B＝a2＋c2－b2 三个条件中任选一个，补充在下面问题
5．所涉及的概念、规则和原理不确定．“解三角形”属于三角 形、三角函数、三角恒等变换的知识的范畴，与学生学习、生活紧密相 连，具有广泛的命题背景，可以设置数学内部或外部、简单或复杂、形 式多样的结构不良问题．主要考查理性思维、运算求解、数学探究、数 学抽象、数学建模等学科素养．
解题策略
1．题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件， 都可以解答题目；
(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)
【解析】
若选①：2a－3b3c＝ccooss
CB，2sin
A－ 3sin
3sin B
C＝ccooss
CB，2sin
Acos B＝ 3sin(B＋C)＝ 3sin(π－A)＝ 3sin A，
cos B＝ 23，B＝π6； 若选②：sisninAB－＋s3isninCC＝b－a c，a－b＋c3c＝b－a c，b2＝a2＋c2－ 3ac，
专题01 解三角形劣构性解答题突破A辑(解析版)
2021年高考数学压轴必刷题（第三辑）专题01解三角形劣构性解答题突破A 辑1()cos cos sin A c B b C a A +=，②()cos2cos22sin sin sin A B C B C -=-，③()2cos cos b c A a C -=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． （1）求A ；（2）若2a =，b c +=ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3A π=；（2（1）方案一：若选①．()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=，()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A =， 又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以tan A =，所以3A π=． 方案二：若选②．由已知及倍角公式得()()()2212sin 12sin 2sin sin sin A B C B C ---=-，所以2222sin 2sin 2sin sin 2sin B A C B C -=-， 所以222sin sin sin sin sin B C A C B +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,)A π∈，所以3A π=． 方案三：若选③．由已知及正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， 所以2sin cos sin()sin B A A C B =+=， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =， 又(0,)A π∈，所以3A π=． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2a =，3A π=，得224b c bc =+-， 即()234b c bc +-=．因为b c +=2bc =，所以1sin 22ABCSbc A ==．2．在①22()3a b c ab +=+，②sin cos a A a C =-，③(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，c =_____.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值.【答案】（1）答案见解析，3C π=；（2）最大值为 （1）选①，把22()3a b c ab +=+，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为(0,)C π∈，所以3C π=.选②，因为sin cos a A a C =-，由正弦定理，可得sin sin sin cos A C A A C -，因为(0,)A π∈，则sin 0A ≠cos 1C C -=，可得1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0C π<<，所以5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=. 选③，因为(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=，即222a b c ab+-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=.（2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以223()()334a b a b ab ++-=≤，当且仅当a b =时取等号，所以a b +≤a b c ++≤即ABC 周长的最大值为 3．在①sinsin 2B Cc a C +=；②2cos cos co (s )A b C c B a +=；③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在△ABC 中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若1)c b =，______. (1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值. 【答案】（1）4π；（2）2. 选① (1)sinsin sin sin sin cos sin sin 222B C A Ac a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= 0,sin 0C C π<<∴≠cos2sin 222A A A cos ∴=，0,cos 02AA π<<∴≠ 1sin 223A A π∴=⇒=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)324ABCScb A b === 2b ∴=选②2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+=2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴= 0,sin 0A A π<<∴≠1cos 23A A π∴=⇒= 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)32ABCScb A b === 2b ∴=选③()22222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+222b c a bc +=+ ，1cos 2A ∴=0,A π<<3A π∴=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)32ABCScb A b === 2b ∴=4．如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，4,3AB BD C π===，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）角B 的大小； （2）ACD △的面积．条件①：AD 3AC =．【答案】（1）6B π=，具体选择见解析；（2. 选择条件①：解：（1）在ABD △中4,AB BD AD === 由余弦定理，得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅==因为0B π<<， 所以6B π=.（2）由（1）知，6B π=，因为3C π=，所以2BAC π∠=.所以ABC 为直角三角形. 所以3AC =，6BC =.又因为4BD =，所以2CD =.所以1sin 2ACDSAC CD C =⋅⋅1322=⨯⨯=. 选择条件②：解：（1）在ABC 中,3,AC AB ==3C π=. 由正弦定理sin sin AC AB B C =，得1sin 2B =. 由题可知 BC π<<=03， 所以6B π=.（2）由（1）知，6B π=，因为3C π=，所以2BAC π∠=.所以ABC 为直角三角形， 得6BC =.又因为4BD =，所以2CD =.所以1sin 2ACDSAC CD C =⋅⋅1322=⨯⨯=. 5．在ABC 中，3cos 5A =，a =再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求： （Ⅰ）c 的值；（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积.条件①：π4B =；条件②：5b =. 【答案】（Ⅰ）7c =；（Ⅱ）sin C =14ABCS=选①：π4B =，sin B =cos B =（Ⅰ）由3cos 5A =，则4sin 5A =，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=，即4510=，解得7c =，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C =11sin 714222ABCSac B ==⨯⨯=. 选②：5b =（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即233225255c c =+-⨯⨯， 解得7c =或1c =-（舍去）. 在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=，解得sin C =11sin 5142210ABCSab C ==⨯⨯=.6()cos cos sin C a B b A c C +=，②sinsin 2A Ba c A +=，③()()2sin 2sin 2sin ab A b a Bc C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，c =___________.（1）求C ∠； （2）求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；（1）3π；（2）(. 解：（1）选①： 由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=， 因为()03C C ππ∈∴=，，选②：由正弦定理得2CsinAsinsinCsinA π-=，因为02222c C CsinA cos sinC sin cos ≠∴==， 因为02Ccos ≠，所以122C sin =，因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=；（2）由（1）可知：3C π=， 在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(7．已知ABC ，满足2a b =， ，求ABC 的面积 （1）3A π=（2）cos 7B =. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】若选（1），ABC S =△；若选（2），ABCS若选（1），由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 即2174222=+-⨯⨯⨯c c ，2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍去）.所以11sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△. 若选（2）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即24727=+-⨯c c ，即230c -+=，解得c =此时222a b c =+，即2A π=，所以11222△==⨯=ABC S bc 8．已知有条件①()2cos cos b c A a C -=，条件①25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭；请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =5b c +=，且满足______.（2）求ABC 的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)【答案】条件选择见解析；（1）3A π=；（2 （1）选择条件①()2cos cos b c A a C -=，法1：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，所以()2sin cos sin sin B A A C B =+=， 因为sin 0B ≠， 所以1cos 2A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=，法2：由余弦定理得()222222222b c a a b c b c abc ab+-+--=， 化简得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.选择条件②25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，因为cos sin 2A A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，因为22sin cos 1A A +=，所以251cos cos 4A A -+=， 化简得21cos 02A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=.（2）由余弦定理2222cos3a b c bc π=+-，得()273b c bc =+-，所以()2763b c bc bc +-=⇒=，于是ABC 的面积11sin 622S bc A ==⨯=9．在cossin 2B Ca B +=，sin 3cos Bb A =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，6,cos BC B ==. （1）求AC 的长；【答案】条件选择见解析；（1）4AC =；（2）. 选择①（1cos sin sin 2B CB A B +=， 又sin 0B ≠，sin 2AA π-=，2sin cos 222A A A=，∴cos 22A =， 即26A π=，3A π=，由cos 3=B可得sin 3B ==，根据正弦定理sin sin BC ACA B== 4AC ∴=.（2）1sin sin()sin cos cos sin 23236C A B A B A B =+=+=+⨯=，11sin 46226S AC BC C =⋅⋅=⨯⨯⨯= 选择②（1sin 3cos B b A =sin 3sin cos A B B A =， 又sin 0B ≠，∴sin cos AA=tan A = ∴3A π=，又sin 3B == 结合正弦定理sin sin BC ACA B=，23=4AC ∴=.（2）1sin sin()sin cos cos sin 23236C A B A B A B =+=+=+⨯=，11sin 4622S AC BC C =⋅⋅=⨯⨯= 10．现给出两个条件：①22cos c a B =，②()2cos cos b A C =，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，______. （1）求A ； （2）若31a ，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）6π；（2）1.若选择条件①22cos c a B =.（1）由余弦定理可得22222cos 22a c b c a B a ac+-==⋅，整理得222c b a +-=，可得222cos 2b c A bc a +===-. 因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得)222122b c bc =+-⋅，即()(22242b c b c bc -+=+-，亦即(()(224bc b c =+--，因为()24b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，所以()((()22424b c b c ++--≤⨯，解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为1若选择条件②()2cos cos b A C =.（1）由条件得2cos cos cos b A C A =，由正弦定理得)()2sin cos sin cos sin cos B A A C C A A C B =+=+=.因为sin 0B ≠，所以cos A =， 因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得)22212b c bc =+-，即()(22242b c b c bc -+=+-，亦即(()(224bc b c =+--，因为()24b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，所以()((()22424b c b c ++--≤⨯，解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为1 11．在①π6A ∠=，②3ABDS ，③1cos 2ABD ∠=-三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，并解答.问题：在平面四边形ABCD 中，已知1AB BC CD ===，AD =，且满足________. （1）求sin BDC ∠的值； （2）求平面四边形ABCD 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.【答案】（1（2（1）选①可知：在ABD △中，1,6AD AB A π==∠=，由余弦定理有213cos416BD π=+-=-=，所以1BD =，所以1BD BC CD ===， 所以3BDC π∠=，所以sin BDC ∠=选②可知：在ABD △中，1,4ABDAD AB S ===，所以1331sin 2ABDS A， 解得1sin 2A =，又0A π<<，所以6A π=或56π，当6Aπ=时，213cos4162BD π=+-=-=，所以1BD BC CD ===，所以3BDC π∠=，所以sin BDC ∠=当56Aπ=时，2513cos 76BD π=+-==，所以BD =而1BC CD ==，不满足2+>BC CD BD ==56A π=不成立， 综上得：sinBDC ∠=如选③：在ABD △中，11,cos 2AD AB ABD ==∠=-，又0ABD π<∠<，所以23ABD π∠=，由正弦定理得2sin sin 3ADAB ADB π=∠1sin sin 3ADB =∠，所以1sin 2ADB ∠=，又ADB ABD ∠<∠，所以6ADB π∠=，所以6ADB BAD π∠=∠=，所以1BD AB ==，所以1BD BC CD ===，所以3BDC π∠=，所以sin BDC ∠=（2）由（1）得111sin 23DBCSπ=⨯⨯⨯=11sin 26ABDS π=⨯=所以平面四边形ABCD 的面积为+DBC ABDS S S====12．在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ；（2）若c =a b +=ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3C π=；（2（1）若选①： 由正弦定理得a c a bb a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即sin()2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 222ABCSab C ==⨯=故ABC 13．在b a =①2sin tan b A a B =②，()()sin sin sin a c A c A B b B -++=③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足______. （1）求角B ；（2）若2a c b +=，且ABC ∆外接圆的直径为2，求ABC ∆的面积.【答案】选择见解析；（1）3B π=；（2 1（）选①，由正弦定理得sinsin B A =sin 0A ≠，cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0B π<<，5666B πππ∴-<-<，66B ππ∴-=，3B π∴=；选②，2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，sin 0A ≠，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈，3B π∴=选③，sin()sin()sin A B C C π+=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，222a cb ac ∴+-=，2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===， (0,)B π∈，3B π∴=.2（）设ABC 的外接圆半径为R ，则1R =，2sin b R B ==，由余弦定理得()22222cos33b ac ac a c ac π=+-=+-，即3123ac =-，所以3ac =，所以ABC的面积为：1sin 2S ac B == 14．在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4Cπ时，535a （1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a bA B =，所以sin sin sin cos()6B A A B π.又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin3434A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 622，解得535a . 所以535a. 15．①在函数1π()sin()(0,||)22f x x ωϕωϕ=+><的图像向右平移π12个单位长度得到()g x 的图像，()g x 的图像关于原点对称，②向量11(3sin,cos ),(cos ,),02224m x x n x ωωωω==>，()f x m n =⋅； ③函数π1()cos sin()(0)2264f x x x ωωω=+->这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_______，函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2.（1）求π()6f 的值；（2）求函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）π1()62f =；（2）π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）选择条件①：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin(2)2f x x ϕ=+，1π()sin(2)26g x x ϕ=+-，又()g x 的图像关于原点对称，则(0)0g =，由π||2ϕ<知π6ϕ=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f = 选择条件②： 依题意，31()sin cos cos 2224f x m n x x x ωωω=⋅=+即有：11π()cos =sin()426f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，从而2ω=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f =选择条件③： 依题意，π1()cossin()2264f x x x ωω=+-即有：11()cos(cos )222224f x x x x ωωω=+-化简得：211()cos (cos )22224f x x x x ωωω=+-即有：11π()cos =sin()426f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，从而2ω=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f =（2）1π()sin(2)26f x x =+，则其单调递减区间为ππ32π22ππ,262k x k k Z +≤+≤+∈，解得π2π,ππ,63x k k k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，得π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 从而()f x 在[]0,π上的单调递减区间为π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．请从①6,sin()2b B π=-=42a c b +=+=,中，并解决问题.问题：在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知sin sin sin c a c bB A C--=+ （1）求a ；（2）求ABC 的面积.（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】选择条件①：（1）（2；选择条件②：（1）（2） 选择条件①：（1）sin sin sin c a c bB AC --=+， ∴由正弦定理可得：c a c bb a c--=+，整理可得：222b c a bc +-=，根据余弦定理可知22201cos ,6022b c a A A bc +==∴=- ABC中，6,sin()2b B π=-=即cos B =，则0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 4B =，由正弦定理得6sin 23sin 4b Aa B===（2）因为133sin sin()sin cos cos sin 248C A B A B A B =+=+=⨯=11sin 622ABCSab C ==⨯=选择条件②：（1）sin sin sin c a c bB AC --=+， ∴由正弦定理可得：c a c bb a c--=+，整理可得：222b c a bc +-=，又2b =，4a c +=+(()224424a a a ∴+---=+；化简整理可得：()(26444a a c =+--==（2）由（1）知222+=a b c ，故三角形为直角三角形，122ABCS∴=⨯⨯综上所述：ABCa S ==17．已知,,abc 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 是锐角三角形，需要同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a = ③15c = ④1sin 3C =（1）条件①④能否同时满足，请说明理由；（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的ABC 的面积.【答案】（1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③， 解：（1）ABC 不能同时满足①，④. 理由如下： 若ABC 同时满足①，④， 则在锐角ABC 中，11sin 32C =<，所以06C π<< 又因为3A π=，所以32A C ππ<+<所以2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾所以ABC 不能同时满足①，④.（2）因为ABC 需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④ 若同时满足②③④，因为c a >，所以C A >，则6A C π<<，则2B π>这与ABC 是锐角三角形矛盾.故ABC 不能同时满足②③④，只能同时满足①②③.因为2222cos a b c bc A =+-， 所以222113152152b b =+-⨯⨯⨯， 解得8b =或7b =.当7b =时，22271315cos 02713C +-=<⨯⨯，所以C 为钝角，与题意不符合，所以8b =.所以ABC 的面积1sin 2S bc A == 18．在ABC 中，1sin()1,sin 3C A B -==.（1）求sin A 的值；（2）若①AC =；②BC =请从以上两个条件中任选一个，求ABC 的面积.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.【答案】（1）32） （1）由(,)2πππ-∈-⇒-=C A C A .又21sin sin()sin(2)cos 212sin 23π=+=+==-=B A C A A A .因为(0,)sin π∈⇒=A A .（2）选①：由正弦定理可得sin ==ABC B.且sin sin()cos 2π=+===C A A .故11sin 22=⨯⨯=⨯=S BC AC C .选②：由正弦定理可得==AC且sin sin()cos 2π=+===C A A .故11sin22=⨯⨯=⨯=S BC AC C.19．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，3Bπ=，3a=.（1）若4Aπ=，求b；（2）若______，求c的值及ABC的面积.请从①b=sin2sinC A=，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分.【答案】（1；（2）选①：4,ABCc S==6c=；ABCS =.（1）由3Bπ=，3a=，4Aπ=，由正弦定理可得sin sinb aB A=，则3b==（2）若选①：由余弦定理可得2222cosb c a ac B=+-，即21139232c c=+-⨯⨯，整理可得2340c c=--，解得4c=，-1c=（舍去），∴11sin3422ABCS ac B==⨯⨯=选②:sin2sinC A=，可得2c a=，3a=∴6c=∴11sin6322ABCS ac B==⨯⨯=20．在①()1cos C b B+=sin cosC a c B=-这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.（1）求C；（2）若7c=，13a b+=，求ABC的面积.【答案】（1）3π；（2）（1）选择条件①：()1cos sin C b B +=，由正弦定理可得()1cos sin sin C B C B +=，sin 0B ≠，1cos C C ∴+=，cos 1C C -=，即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则5666C πππ-<-<，66C ππ∴-=，解得3C π=； 选择条件②：3sin cos 3b C a c B =-，由正弦定理得sin sin sin cos 3B C A C B =-， ()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴上式可化简为sin sin cos 3B C B C =，sin 0B ≠，cos tan C C C =⇒=0C π<<，3C π∴=； （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得2249a b ab +-=，又由13a b +=，则()2349a b ab +-=，()249403a b ab +-∴==，因此，ABC 的面积为12sin ABCS ab C ==21．在ABC 中，3A π=，b = （Ⅰ）B 的大小； （Ⅱ）ABC 的面积 .条件①：222b a c =+； 条件②：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）4B π=若选择条件①：222b a c =+.（Ⅰ）因为222b a c =+，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==， 因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin b Aa B===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 若选择条件②：cos sin a B b A =. （Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =， 又因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin b Aa B===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 22．在锐角ABC中，a =，________， （1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①cos,sin ,cos ,sin 2222A A A A m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos ,()344f x x x f A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.【答案】条件选择见解析，（1）3A π=；（2）(6+. （1）若选①，因为cos ,sin ,cos ,sin 2222A A A A m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12m n ⋅=-， 所以221cossin 222A A -+=-，即1cos 2A =， 因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=. 若选②，因为cos (2)cos A b c a C -=，2cos cos cos b A a C c A =+， 所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =. 又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.若选③，11()cos cos 24f x x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21111cos 2sin 21cos sin 242224x x x x x +=-=⨯-111cos 22sin 22226x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为1()4f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以5266ππ+=A ，3A π=. （2）因为3A π=，所以23B C π+=，23C B π=-.4sin sin b CB C ===，所以4sin b B =，24sin 3c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.214sin 4sin 4sin 4sin 32l B B B B B π⎫⎛⎫=-++=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为锐角ABC 且3A π=，所以,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故(6l ∈+.23．在①cos cos 2cos c A a C b B +=，②222a c b ac +-=，③22cos 3cos 02BB -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值. 【答案】条件选择见解析（1）3π；（2）4. 解：若选条件①：（1）因为cos cos 2cos c A a C b B +=，由正弦定理，得sin cos cos sin 2sin cos C A C A B B +=，即()sin 2sin cos A C B B +=.在ABC 中，A B C π++=，得()()sin sin sin A C B B π+=-=. 即sin 2sin cos B B B =，又()0,B π∈，所以1cos 2B =，所以3B π=. （2）因为b =2222232cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=(当且仅当a c =时等号成立)，结合三角形的面积公式得到11sin 322ABCSac B =≤⨯=，. 若选条件②：（1）结合余弦定理得到2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，所以3B π=.（2）由b =2222232cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=(当且仅当a c =时等号成立)，结合三角形的面积公式得到11sin 322ABCSac B =≤⨯=. 若选条件③： （1）因为22cos3cos 02BB -=，所以 1cos 3cos 0B B +-=，所以1cos 2B =. 又()0,B π∈，所以3B π=.（2）由b =2222232cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=(当且仅当a c =时等号成立)，结合三角形的面积公式得到11sin 322ABCSac B =≤⨯=. 24．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-. （1）求A 的值；（2）从①a B =，②()1sin 2B C -=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值. 【答案】（1）23π；（2）答案见解析. （1）由2b =，2242c a c +-=-，∴22222421cos 22242b c a c a c A bc c c +-+--====-⋅，又因为0A π<<，所以23A π=. （2）选择①作为己知条件.在ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a b A B=，2sin sin 3B =，解得21sin 2B =， 由23A π=，得B 为锐角， 所以4B π=，因为在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=22sincos cos sin 3434ππππ+，所以sin C =. 选择②作为已知条件，因为在ABC △中，A B C π++=，所以()1sin sin 232B C C π⎛⎫-=-=⎪⎝⎭， 所以2236C k πππ-=+或()52k 6k Z ππ+∈，所以12C π=，故sin 4C =. 25．在①22()3a b c ab +=+，①sin cos a A a C =-，①(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，c =_____.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）条件选择见解析，3C π=；（2）最大值为 （1）选①，把22()3a b c ab +=+，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为(0,)C π∈，所以3C π=.选②，因为sin cos a A a C =-，由正弦定理，可得sin sin sin cos A C A A C -，因为(0,)A π∈，则sin 0A ≠cos 1C C -=， 可得1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0C π<<，所以5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=. 选③，因为(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=. （2）由（1）可知，3C π=， 在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以223()()334a b a b ab ++-=≤，当且仅当a b =时取等号，所以a b +≤a b c ++≤即ABC 周长的最大值为。
第一章 专题突破一：三角形中的隐含条件
专题突破一 三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 解 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2<k <6.反思感悟 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就可以．跟踪训练1 在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，第三边上的中线AD ＝x ，则x 的取值范围是 ． 答案 (1,7)解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，则BE ＝AC ＝8.AE ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6＞8，2x ＋8＞6，6＋8＞2x ，解得1＜x ＜7.∴x 的取值范围是(1,7)． 隐含条件2.三角形的内角范围例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是 ． 答案 23或 3解析 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.∴△ABC 的面积是23或 3.反思感悟 利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错． 跟踪训练2 在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝ . 答案 π6或56π解析 由正弦定理，得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0. ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝12，sin(A ＋C )＝12，sin(π－B )＝12.sin B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝56π.例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .tan A tan B ＝a 2b 2，试判断三角形的形状．解 由tan A tan B ＝a 2b 2和正弦定理，得sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，又A ，B ∈(0，π)，∴cos B cos A ＝sin Asin B，即sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B 是成立的，但sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°.跟踪训练3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c －a ＝2a cos B ，则B －2A ＝ . 答案 0解析 由正弦定理，得sin C －sin A ＝2sin A cos B . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C －sin A ＝sin(A ＋B )－sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A ＝2sin A cos B ，∴sin B cos A －cos B sin A ＝sin A ，sin(B －A )＝sin A . ∵A ，B ∈(0，π)．∴B －A ＝A 或B －A ＝π－A (舍)． ∴B －2A ＝0.例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .B ＝3A ，求ba 的取值范围．解 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A ，∴A ＋B ＝4A <180°， ∴0°<A <45°，∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<ba<3.反思感悟 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败． 跟踪训练4 若在锐角△ABC 中，B ＝2A ，则A 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫π6，π4解析 由△ABC 为锐角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＝2A ＜π2，0＜C ＝π－A －B ＝π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.例5 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解 (1)由正弦定理及a ＝2b sin A 得，a sin A ＝b sin B ＝2b ，sin B ＝12，又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴B ＝π6.(2)由△ABC 为锐角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＝π6＜π2，0＜C ＝5π6－A ＜π2，解得π3＜A ＜π2，cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， ∵2π3＜A ＋π3＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32.∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.反思感悟 事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A 的范围都有影响，故C ＝π－A －B ＝56π－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.由此得A ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. 跟踪训练5 锐角△ABC 中，B ＝60°，b ＝3，求△ABC 面积S 的取值范围． 解 由正弦定理，a ＝b sin B sin A ＝332sin A ＝2sin A .同理c ＝2sin C ，∴S ＝12ac sin B ＝12·2sin A ·2sin C ·sin 60°＝3sin A sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .又∵A ，C 为锐角， ∴0<2π3－A <π2，π6<A <π2，∴S ＝3sin A sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3sin A ⎝⎛⎭⎫sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A cos A ＋32sin 2A ＝34sin 2A ＋32·1－cos 2A 2 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋34， ∵π6<A <π2，∴π6<2A －π6<56π， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6≤1，∴32<32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋34≤334. 即S 的取值范围为⎝⎛⎦⎤32，334.1．在△ABC 中，必有( ) A ．sin A ＋sin B ＜0 B ．sin A ＋cos B ＜0 C ．sin A ＋cos B ＞0 D ．cos A ＋cos B ＞0答案 D解析 在△ABC 中，A ＋B ＜π，0＜A ＜π－B ＜π. ∴cos A ＞cos(π－B )＝－cos B . ∴cos A ＋cos B ＞0.2．在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝ .答案1665解析 若A 为钝角，由sin A ＝35＜32，知A ＞2π3.又由cos B ＝513＜12.知B ＞π3.从而A ＋B ＞π.与A ＋B ＋C ＝π矛盾． ∴A 为锐角，cos A ＝45.由cos B ＝513，得sin B ＝1213.∴cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫45×513－35×1213 ＝1665. 3．在△ABC 中，C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是a b . 答案 ＞解析 方法一 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得cos 120°＝a 2＋b 2－(2a )22ab ，整理得a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b .方法二 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a sin A ＝2a sin 120°，整理得sin A ＝64＞12＝sin 30°.∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，∴A ＞30°，B ＜30°，∴a ＞b . 4．在△ABC 中，若b 2＝ac ，则ba 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1＋52解析 设b a ＝q ，则由b 2＝ac ，得b a ＝cb ＝q .∴b ＝aq ，c ＝aq 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＞aq 2，a ＋aq 2＞aq ，aq ＋aq 2＞a ，解得－1＋52＜q ＜1＋52.5．在钝角△ABC 中，2B ＝A ＋C ，C 为钝角，ca ＝m ，则m 的取值范围是 ．答案 (2，＋∞)解析 由A ＋B ＋C ＝3B ＝π，知B ＝π3.又C ＞π2，∴0＜A ＜π6，∴1tan A ∈(3，＋∞)．c a ＝sin Csin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin A ＝12sin A ＋32cos A sin A＝12＋32tan A ＞12＋32·3＝2， ∴m ∈(2，＋∞)．6．在△ABC 中，若c ＝2，C ＝π4，求a －22b 的取值范围．解 ∵C ＝π4，∴A ＋B ＝34π，∴外接圆直径2R ＝c sin C ＝222＝2.∴a －22b ＝2R sin A －22·2R sin B ＝2sin A －2sin B ＝2sin A －2sin ⎝⎛⎭⎫34π－A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4. ∵0＜A ＜34π，∴－π4＜A －π4＜π2，∴－22＜sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＜1. －1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＜ 2. 即a －22b ∈(－1，2).一、选择题1．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C 等于( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6 答案 C解析 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B 等于( )A ．±53 B.23 C ．－53 D.53答案 A解析 由正弦定理得sin B ＝23，如图所示．过C 作CD ⊥AH ，D 为垂足，在Rt △ACD 中，得CD ＝AC ·sin 30°＝20×sin 30°＝10， ∵10<15<20，∴以C 为圆心，以15为半经作弧，该弧与AH 交于两点，即B 有两解． ∴cos B ＝±1－sin 2B ＝±1－⎝⎛⎭⎫232＝±53. 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.5．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534C.2134D.3534 答案 B解析 ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534. 6．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形答案 C解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2， ∴a c ＝sin B ，sin B ＝22. ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B ＝π4. ∴a c ＝sin A sin C ＝22，∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝2⎝⎛⎭⎫22cos C ＋22sin C ，∴cos C ＝0，∵C ∈(0，π)，C ＝π2.∴A ＝π－B －C ＝π4.∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C.7．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知，C 为锐角，故C ＝π6.故选B.二、填空题8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或5π6.又因为C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又因为a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为 ． 答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.10．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝ ；c a的取值范围是 ． 答案 π3(2，＋∞)解析 由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . ∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π3.又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2， 即ca＞2. ∴ca 的取值范围是(2，＋∞)． 三、解答题11．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2π3，c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋ 3 ＝2⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋ 3. ∵0<B ＝π3－A <π3，∴0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3≤1， ∴23<2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a ＜c ，所以cos A ＝277.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 13．(2018·河北省衡水中学调研)如图，在△ABC 中，B ＝π3，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且AE ＝8，AC ＝410，∠CED ＝π4.(1)求CE 的长；(2)若CD ＝5，求cos ∠DAB 的值． 解 (1)由题意可得∠AEC ＝π－π4＝3π4，在△AEC 中，由余弦定理得AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos ∠AEC ， 所以160＝64＋CE 2＋82CE ， 整理得CE 2＋82CE －96＝0， 解得CE ＝4 2. 故CE 的长为4 2.(2)在△CDE 中，由正弦定理得CE sin ∠CDE ＝CD sin ∠CED ，即42sin ∠CDE＝5sin π4，所以5sin ∠CDE ＝42sin π4＝42×22＝4，所以sin ∠CDE ＝45.因为点D 在边BC 上，所以∠CDE >B ＝π3，而45<32， 所以∠CDE 只能为钝角， 所以cos ∠CDE ＝－35，所以cos ∠DAB ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠CDE －π3＝cos ∠CDE cos π3＋sin ∠CDE sin π3 ＝－35×12＋45×32＝43－310.14．(2018·福建省三明市第一中学月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C 等于( )A.π6B.π4或3π4C.3π4D.π4 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ， ∴c 2＋bc ＝3bc ，∴c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ，∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4，故选D.15．锐角△ABC 中,内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3,6] B ．(3,5) C ．(5,6] D ．[5,6] 答案 C解析 因为(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4()sin 2B ＋sin 2C ＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π2，可得b 2＋c 2∈(5,6]．。
专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式-突破三角函数与解三角形问题中的高考套路之理
专题01三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式知识必备一、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值0 100100101不存在0不存在0补充：二、同角三角函数的基本关系式1．平方关系．2．商的关系．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六2kπ+α（k∈π+α−απ−α−α+α角Z）正弦sin α−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cos α−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tan αtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限核心考点考点一三角函数的定义【例1】已知角的终边经过点，且，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故选A.备考指南1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.考点二象限角的判断【例2】“”是“角是第一象限角”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B备考指南1．已知θ所在的象限，求或nθ（n N*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（n N*）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，k Z）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.考点三同角三角函数基本关系式及其应用【例3】设.若，则A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以,所以.故选A．备考指南1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.考点四诱导公式及其应用【例4】点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C备考指南1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.考点五三角函数公式的综合应用【例5】已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的正半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.（1）求的值，并确定点所在的象限；（2）若点的坐标为，求的值.【解析】（1）.因为，所以的终边在第二或第四象限，所以点在第二或第四象限.（2）由知，则.备考指南熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.能力突破1．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点（−5，12），则= A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，=，，∴=== =，故选B．【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.2．已知，则A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：因为，所以，所以，故选A．方法二：由，得，所以.【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.3．角为的一个内角，若，则这个三角形为A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形．4．已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因为，所以，由于，所以，所以.（2）原式..【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.高考通关1．（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A．B．C．D．【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．已知，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】，∴原式，故选A．3．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.4．（2017新课标Ⅰ）已知，tan α=2，则=__________．【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．（2018新课标Ⅱ）已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此6．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.你都掌握了吗？有哪些问题？整理一下！。
板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)
√A.a＝2b
B.b＝2a
C.A＝2B
D.B＝2A
解析 ∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B. 由cos C>0，得sin A＝2sin B. 根据正弦定理，得a＝2b.
√ A.α＋β＝π2
B.α－β＝π4
C.αan
α＝1－cossin2β2β＝cos2β＋csoisn22ββ－－s2insi2nβ
βcos
β＝cos
β＋sin βcos cos β－sin
β－sin β2
β
＝cos cos
β＋sin β－sin
ββ＝11＋ －ttaann
例 3 (1)某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75°的方向上，距 A 12 6 海里处，
灯塔 C 在 A 的北偏西 30°的方向上，距 A 8 3 海里处，游轮由 A 处向正北方向航行
到 D 处时再看灯塔 B 在南偏东 60°的方向上，则此时灯塔 C 与游轮的距离为
A.20 海里
√B.8 3 海里
ββ＝tanπ4＋β，
又因为 α∈0，π2，β∈0，π2， 所以 α＝π4＋β，即 α－β＝π4.
热点二 利用正弦、余弦定理解三角形
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
高考数学专题解三角形《余弦定理》突破解析
第11章解三角形11.1 余弦定理必备知识基础练1.在△ABC中,若a=13,b=3,A=60°,则c=( ) A.1B.2C.4D.6,得a2=b2+c2-2bc cos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为( )A.12B.22C.32D.33,得cos C=a2+b2-c22ab =12.因为C∈(0,π),所以C=π3,sin C=32.故选C.3.(多选)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是( )A.1B.2C.3D.4a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<5,若c为最大边,则a2+b2-c2>0,即a2>3,∴a>3,故3<a<5.4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=(a+m)2+(b+m)2-(c+m)2 2(a+m)(b+m)=m2+2m(a+b-c)2(a+m)(b+m).因为m>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.5.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为( )A.322B.332C.32D.33△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22AB·AC =32+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB sin A=3sin 60°=332.故选B.6.在△ABC 中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为 .,得c>b>a ,则角C 最大.∵cos C=a 2+b 2-c 22ab=32+52-722×3×5=-12,且0<C<π,∴C=2π3.7.在△ABC 中,已知B=C ,2b=3a ,则cos A= .B=C ,得b=c=32a.由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc13.8.在△ABC 中,已知a-b=4,a+c=2b ,且最大内角为120°,则该三角形的周长为 ;最小角的余弦值为 . 1314a-b=4,a+c=2b ,得b=a-4,c=a-8,所以a>b ,a>c ,即a 是最长边,所以角A 最大.由余弦定理,得cos 120°=(a -4)2+(a -8)2-a 22(a -4)(a -8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC 的周长为30.最小内角为C ,cos C=142+102-622×14×10=2602×14×10=1314.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若(a 2+c 2-b 2)tan B=3ac ,则角B 的度数为 .°或120°,得2ac cos B ·tan B=3ac ,整理,得sin B=32,所以B=60°或120°.关键能力提升练10.在△ABC 中,若a=8,b=7,cos C=1314,则最大角的余弦值是( )A.-15 B.-16C.-17D.-18,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=82+72-2×8×7×1314=9,所以c=3,故a 最大,所以最大角的余弦值为cos A=b 2+c 2-a 22bc=72+32-822×7×3=-17.11.(2020吉林长春高一检测)在△ABC 中,若c 2-a 2-b 22ab>0,则△ABC ( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形由c 2-a 2-b 22ab>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而C 为钝角,因此△ABC 一定是钝角三角形.12.在△ABC 中,若b 2=ac ,则B 的取值范围是( )A.0πC.0πB=a 2+c 2-b 22ac=(a -c )2+ac2ac=(a -c )22ac+12≥12,∵0<B<π,∴B ∈013.在△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sin ∠ABD= .BD 为∠ABC 的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理,得cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=32+22-(7)22×3×2=12,所以cos ∠ABC=1-2sin 2∠ABD=12,所以sin ∠ABD=12.14.如图,在△ABC 中,已知点D 在边BC 上,AD ⊥AC 于点A ,sin ∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD 的长为 .sin ∠BAC=223,且AD ⊥AC ,所以+∠BAD =223,所以cos ∠BAD=223.在△BAD 中,由余弦定理,得BD=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD=(32)2+32-2×32×3×223=3.15.若2a+1,a ,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a 的取值范围.2a+1,a ,2a-1是三角形的三边长,所以a +2a -1>2a +1,a >0,2a -1>0,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0,解得12<a<8.综上可知实数a 的取值范围是(2,8).学科素养创新练16.在△ABC 中,BC=a ,AC=b ,且a ,b 是方程x 2-23x+2=0的两根,2cos(A+B )=1.(1)求角C 的大小;(2)求AB 的长.∵cos C=cos[π-(A+B )]=-cos(A+B )=-12,且C ∈(0,π),∴C=2π3.(2)∵a ,b 是方程x 2-23x+2=0的两根,∴a +b =23,ab =2,∴AB 2=b 2+a 2-2ab cos C=(a+b )2-ab=10,∴AB=10.。
专题02 解三角形劣构性解答题突破B辑
专题02解三角形劣构性解答题突破B 辑1．已知函数 21()cos cos 2222x x x f x =++． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围．在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位．2．在①sinsin sin A b cB C b a +=--，②c a =，③2S CB =⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求ABC 的面积S 的最大值. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.）3．现给出两个条件：①2c =2a cos B ，②(2b )cos A =cos C .从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =1，求△ABC 面积的最大值.4．在ABC 中，若a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，已知ABC 同时满足下列4个条件中的3个：①1sin22B =；②2220a b c ab +-+=；③b = 3c =． （1）请指出这3个条件，并说明理由； （2）求sin A ．5．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期； （Ⅰ）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅰ），并求解．其中，①有解；②恒成立．6．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.7．在①222,b ac a c +=+cosB sin ,b A =2,B cosB +=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ⅠABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，,4A b π==（1）求边a ； （2）求ⅠABC 的面积.8．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos sin b c A A =-. （1）求角C ；（2）若c =D 为边BC 的中点，在下列条件中任选一个，求AD 的长度.条件①：ABC 的面积2S =，且B A >；条件②：cos B =（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）9．在①()sin sin 2B Ca A Cb ++=，②2221cos cos cos sin sin A B C B C +=++两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知_ . （1）求A ； （2）已知函数()(),1cos 40,24f x x A x π⎡⎤⎢⎥⎣=∈⎦-，求()f x 的最小值.10．在()()sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin b B b C A B a B A b c C =--+-=①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =________.（1）求C ；（2）求ABC 周长的最大值.11．在①222cos cos sin sin sin C A B B C -=-2sin a B =，③ABC 的面积sin S AB AC A =⋅，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且角A 为锐角， （1）求角A ；（2）若a =b c +的取值范围.12．在①222cos cos sin sin sin C A B B C -=-2sin a B =，③ABC 的面积sin S AB AC A =⋅，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且角A 为锐角. （1）求角A ；（2）若a =b c +的取值范围.13．从给出的三个条件Ⅰ1a =，Ⅰ2a =，Ⅰ3a =中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合{}{}20,2,0,1,A a B a =+=.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的值；（2）已知__________，若集合C 含有两个元素且满足C A B ⊆⋃，求集合C .14．在①()()()a b a b a c c +-=-，②22cos a c b C -=)cos sin a b C c B -=三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足 ，b = （1）若4a c +=，求ABC 的面积； （2）求a c +的取值范围.15．在①ANBN=，②AMN S =△AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，______； （1）求AM 的长.（2）求ABC 外接圆半径.16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且点(),a b 在直线cos sin x y C c B -=上. （1）求B 的值；（2）现给出两个条件：①b =30A =︒，②b =2c =，从中任选一个解ABC .写出你的选择并以此为依据，并求ABC 的面积. （只需写出一个选定方案并完成即可）17．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为2π. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和.18．在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )()cos a B C b c A +=+，ABCS=（1）若ABC 还同时满足下列三个条件中的两个：①7a =，②10b =，③8c =，请指出这两个条件，并说明理由；（2）若a =ABC 的周长.20．在①222b a c =+，②cos B sin A a b =，③sin B +cos B 下面的问题中，并解决该问题.已知ⅠABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b（1）求角B ；（2）求ⅠABC 的面积.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A 为锐角，在以下三个条件中任选 一个：①(b ﹣3c )cos A ＋a cos B ＝0；②sin 22B C +＋cos2A ＝19-；③=a b ；并解答以下问题：（1）若选_______（填序号），求cos A 的值；（2）在（1）的条件下，若a ＝2，求ABC 面积S 的最大值．。
专题突破：解三角形中的面积问题
专题突破：解三角形的面积问题1.已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan A ＋tan B ＋√3＝√3tan A ·tan B ，则△ABC 的面积为( ) A ．√32B ． 3√3C ．3√32D ．322.在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，A ＝π4，sin A ＋sin(B －C )＝2√2sin 2C ，且△ABC 的面积为1，则a 的值为( )A ． 2B ．√5C ．√6D ．√73.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝2√2，则C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ． 2√3＋2B ．√3＋1C ． 2√3－2D ．√3－14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A ．1+√32B ．1＋√3C ．2+√32D ．2＋√35.在△ABC 中，A ＝π6且12sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线长为√7，则△ABC 的面积为__________． 6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且满足a ＝3b cos C . (1)求tanCtanB 的值；(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．7.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且AD ⊥AC ，AD ＝AC ＝√3，∠BAD ＝30°.(1)求AB 的长； (2)求△ABC 的面积．8.设函数f(x)＝cos(2x+π3)＋sin2x.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三内角，它们的对边长分别为a，b，c，若cos C＝2√23，A为锐角，且f(A 2)＝－14，a＋c＝2＋3√3，求△ABC的面积．9.在△ABC中，角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5√3，b＝5，求sin B sin C的值．10.已知顶点在单位圆上的△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面积．11.在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(π3−C)＋cos(C−π6)＝√32.(1)求角C；(2)若c＝2√3，且sin A＝2sin B，求△ABC的面积．12.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ＝1，cos B ＝2√77，∠ACB ＝2π3.(1)求AC 的长；(2)若AD ＝√21，求CD 的长和四边形ABCD 的面积．13.已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝sin A sin C . (1)若a ＝√2b ，求cos B ；(2)若B ＝60°，且a ＝√2，求△ABC 的面积．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝(3c －b )cos A . (1)求sin A ；(2)若a ＝2√2，且△ABC 的面积为√2，求b ＋c 的值．15.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝√5.5(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积．16.某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园．经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m,90 m,120 m.(1)求该三角形区域最大角的余弦值；(2)求该三角形区域的面积．17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b cos C－√3c sin B.3(1)求B；(2)若点D为边AC的中点，BD＝1，求△ABC面积的最大值．答案解析1.【答案】C【解析】∵tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tanA+tanB1−tanAtanB ， 化简，得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， 所以tan C ＝√3.所以C ＝60°.cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)， 把a ＝4，b ＋c ＝5，C ＝60°代入解得b ＝32，所以S ＝12ab sin C ＝3√32.2.【答案】B【解析】由题意，得sin A ＋sin(B －C )＝2√2sin 2C ，利用和差公式，倍角公式展开可得sin B ＝2√2sin C ，利用正弦定理可得b ＝2√2c ，由余弦定理可得a 2＝(2√2c )2＋c 2－2×2√2c 2cos π4＝5c 2，因为△ABC 的面积为1，所以12bc sin A ＝1，所以12×2√2c 2×sin π4＝1，解得c 2＝1，所以a ＝√5. 3.【答案】B【解析】由正弦定理bsinB ＝csinC ⇒sin B ＝bsinC c＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以三角形的面积为S ＝12bc sin A ＝12×2×2√2sin 7π12＝12×2×2√2×√6+√24＝√3＋1.4.【答案】B【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 又面积S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ＝32⇒ac ＝6， 因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ， 代入上式可得b 2＝4b 2－12－6√3， 整理得b 2＝4＋2√3，解得b ＝1＋√3. 5.【答案】√3【解析】由12sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1+cosC 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即C 为钝角， 故B 为锐角，且B ＋C ＝56π，则sin (56π−C)＝1＋cos C ⇒cos (C +π3)＝－1⇒C ＝23π， 故B ＝π6，所以AC ＝BC ，设AC ＝x ，M 为BC 边上的中点，由余弦定理得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·(−12)＝(√7)2， 解得x ＝2，故S △ABC ＝12×2×2×√32＝√3.6.【答案】(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R 可得，2R sin A ＝3×2R sin B cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C . ∴cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴cosBsinCsinBcosC＝2，故tanCtanB ＝2. (2)由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3. 即tanB+tanC1−tanBtanC ＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得，3tanB1−2tan 2B ＝－3， 解得tan B ＝1或tan B ＝－12，根据tan C ＝2tan B 得tan C ，tan B 同正， 所以tan B ＝1，tan C ＝2.又因为a ＝3b cos C ＝3，所以b cos C ＝1，∴ab cos C ＝3，∴ab cos C tan C ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6＝3. 【解析】7.【答案】(1)∵AD ＝AC ，AD ⊥AC ，∴∠ADC ＝45°， ∵∠BAD ＝30°，∴∠ABD ＝15°，在△ABD 中，ABsin135°＝ADsin (45°−30°)，得AB ＝3＋√3.(2)△ABC 的面积S ＝12·AB ·AC ·sin 120°＝3(3+√3)4. 【解析】8.【答案】(1)f (x )＝cos (2x +π3)＋sin 2x ＝12cos 2x －√32sin 2x ＋1−cos2x2＝－√32sin 2x ＋12，故函数的值域是[1−√32，1+√32]，周期是π.(2)∵cos C ＝2√23，∴sin C ＝13.∵f (A2)＝－14，∴－√32sin A ＋12＝－14，解得sin A ＝√32.由正弦定理得a sinA ＝csinC ，即√32＝c13，整理得a ＝3√32c ，代入a ＋c ＝2＋3√3，解得c ＝2，a ＝3√3.sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝√32×2√23＋12×13＝2√6+16. ∴S ＝12×a ×c ×sin B ＝12×2×3√3×2√6+16＝3√2＋√32.【解析】9.【答案】(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， 因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·√32＝√34bc ＝5√3，得bc ＝20，又b ＝5，所以c ＝4，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21， 故a ＝√21，由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×(√32)2＝57. 【解析】10.【答案】(1)由b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 故cos A ＝b 2+c 2−a 22bc＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由asinA ＝2R ，得a ＝2sin A ＝√3， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即(√3)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3， 即3＝4－2bc ×12，∴bc ＝1， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×sin π3＝√34.【解析】11.【答案】(1)∵sin (π3−C)＋cos (C −π6)＝√32，∴cos C ＝12.∵在△ABC 中，0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得a ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(2√3)2＝4b 2＋b 2－2×2b 2×12＝3b 2，∴b ＝2，a ＝4. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝2√3.【解析】12.【答案】(1)∵cos B ＝2√77，B ∈(0，π)，∴sin B ＝√1−cos 2B ＝√217.∴sin ∠BAC ＝sin(∠B ＋∠ACB )＝sin B cos 2π3＋cos B sin 2π3＝√2114.在△ABC 中，由正弦定理得AC sinB ＝BC sin∠BAC ，∴AC ＝BCsinBsin∠BAC ＝2. (2)cos ∠CAD ＝cos (π2−∠BAC)＝sin ∠BAC ＝√2114.在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos ∠CAD ＝21＋4－2·√21·2·√2114＝19. ∴CD ＝√19.sin ∠CAD ＝√1−cos 2∠CAD ＝5√714.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝12×2×1×√32＝√32， ∴S △ACD ＝12AC ·AD ·sin ∠CAD ＝12×2×√21×5√714＝5√32.∴四边形ABCD 的面积S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝3√3. 【解析】13.【答案】(1)sin 2B ＝sin A sin C ⇒b 2＝ac ，① 又a ＝√2b ，②由①②知c ＝√22b ，所以cos B ＝a 2+c 2−b 22ac＝2b 2+12b 2−b 22b 2＝34.(2)由(1)知，b 2＝ac ，③ B ＝60°， 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ×12＝a 2＋c 2－ac ，④ 由③④得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，c ＝a ＝√2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×√2×√2×√32＝√32.【解析】14.【答案】(1)∵a cos B ＝(3c －b )cos A ， ∴sin A cos B ＝3sin C cos A －sin B cos A ， 即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ＝3sin C cos A ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝13，则sin A ＝2√23.(2)∵△ABC 的面积为√2，∴√23bc ＝√2，得bc ＝3，∵a ＝2√2，∴b 2＋c 2－23bc ＝8， ∴(b ＋c )2－83bc ＝8，即(b ＋c )2＝16，∵b >0，c >0，∴b ＋c ＝4. 【解析】15.【答案】(1)∵cos C ＝√55，∴sin C ＝2√55，tan C ＝2.∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tanA+tanC1−tanAtanC ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4. (2)由正弦定理bsinB ＝c sinC ， 可得b ＝csinC ·sin B ＝√10， 由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin (π4+C)得sin A ＝3√1010.∴△ABC 面积为12bc sin A ＝6. 【解析】16.【答案】(1)设a ＝70 m ，b ＝90 m ，c ＝120 m ，则最大角为角C . 根据余弦定理的推论，得 cos C ＝a 2+b 2−c 22ab＝702+902−12022×70×90＝－19.(2)sin C ＝√1−(−19)2＝4√59，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×70×90×4√59＝1 400√5.所以该三角形区域的面积是1 400√5m 2. 【解析】17.【答案】(1)因为a ＝b cos C －√33c sin B ，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C －√33sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C －√33sin C sin B ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C －√33sin C sin B ，cos B sin C ＝－√33sin C sin B .又由C 为△ABC 的内角，故而sin C ≠0， 所以tan B ＝－√3.又由B 为△ABC 的内角，故而B ＝2π3.(2)如图，因为点D 为边AC 的中点， 故而2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 两边平方，得4|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋2|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠ABC ＋|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 又由(1)知∠ABC ＝2π3，设|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |＝c ，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝a ，即4＝a 2＋c 2－a ·c ， 所以4＋a ·c ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤4， 当且仅当a ＝c ＝2时取等号．又S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝√34ac ，故而当且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC 取到最大值√3. 【解析】。
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高考解三角形专题突破
考点1 判断三角形的形状
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
3．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．在三角形ABC中，若sin2Ccos2B+sin2Csin2B=0，且cos2C+cosC=0，则△ABC 是（）
A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．已知△ABC的三个内角为A，B，C，若函数f（x）=x2﹣xcosA•co sB﹣cos2有一零点为1，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜bcosA，则△ABC为（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定
考点2 三角形的取值范围
1. 若△ABC 中的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是_______
2. 在锐角三角形ABC 中，AC=6，B=2A ，则BC 的取值范围是_________
3. 在△ABC 中，BC=2，3
2π=A ，则∙的最小值为_________ 4. 在△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若b a B c +=2cos 2，△ABC 的面积c S 12
3=，则ab 的最小值为_________ 5. 在△ABC 中，4,30=︒=AB A ，满足此条件的三角形有两解，则BC 的取值范围_________
6. 在平行四边形ABCD 中，
,2,75=︒===BC C B A 则AB 的取值范围是_________ 7. 设△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角.
（1）证明：2π
=-A B ；
（2）求C A sin sin +的取值范围
8. 已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且22,c b 是关于x 的一元二次方程()
022=++-m x bc a x 的两根.
（1）求角A 的大小
（2）若,3=a 求△ABC 周长的最大值
9. 在△ABC 中，1,sin 22tan
==+AB C B A ，求BC AC +21的最大值
10. 在△ABC 中，.sin sin sin 2C B A =
（1）若3π
=A ，求B 的大小；
（2）若1=bc ，求△ABC 的面积的最大值
高考解三角形专题突破
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．A；2．A；3．C；4．D；5．D；6．A；7．A；。