粗集、S-粗集、函数S-粗集及其关系定理
粗糙集理论RS
RS理论一、定义：粗糙集理论，是继概率论、模糊集、证据理论之后的又一个处理不确定性的数学工具。
它是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一。
在自然科学、社会科学和工程技术的很多领域中，都不同程度地涉及到对不确定因素和对不完备（imperfect) 信息的处理。
从实际系统中采集到的数据常常包含着噪声，不够精确甚至不完整，对这些信息进行合适地处理，常常有助于相关实际系统问题的解决。
二、对比的理论：模糊集和基于概率方法的证据理论是处理不确定信息的两种方法，已应用于一些实际领域。
但这些方法有时需要一些数据的附加信息或先验知识，如模糊隶属函数、基本概率指派函数和有关统计概率分布等，而这些信息有时并不容易得到。
概率与统计、证据理论：理论上还难以令人信服，不能处理模糊和不完整的数据。
模糊集合理论：能处理模糊类数据，但要提供隶属函数（先验知识）。
RS理论与其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是：它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息，所以对问题的不确定性的描述或处理可以说是比较客观的。
由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制，所以这个理论与概率论、模糊数学和证据理论等其他处理不确定或不精确问题的理论有很强的互补性。
三、不足：粗糙集理论还处在继续发展之中，尚有一些理论上的问题需要解决，诸如用于不精确推理的粗糙逻辑（Rough logic) 方法，粗糙集理论与非标准分析（Nonstandard analysis) 和非参数化统计（Nonparametric statistics）等之间的关系等。
四、由来：1982年波兰学者Z. Paw lak 提出了粗糙集理论——它是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致（inconsistent)、不完整（incomplete) 等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。
粗糙集理论的原理及其在数据分析中的作用
粗糙集理论的原理及其在数据分析中的作用引言：在当今信息爆炸的时代，数据的产生和积累呈爆炸式增长。
如何从海量的数据中提取有用的信息成为了一个重要的问题。
粗糙集理论作为一种有效的数据分析方法，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍粗糙集理论的原理，并探讨其在数据分析中的作用。
一、粗糙集理论的原理粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的。
它是一种处理不确定性和不完备性数据的方法。
粗糙集理论的核心思想是基于粗糙近似和不确定性的处理。
在现实世界中，很多数据是不完备和不确定的，粗糙集理论通过建立近似关系来处理这些数据。
粗糙集理论的基本概念有：属性、决策系统、正域和约简等。
属性是指描述事物特征的指标，决策系统是由属性和决策构成的数据集合，正域是指在某个条件下，具有相同决策的数据对象集合，约简是指从决策系统中找出最小的属性子集，保持决策不变。
二、粗糙集理论在数据分析中的作用1. 特征选择特征选择是数据分析中的一个重要环节。
通过粗糙集理论可以对数据中的属性进行筛选，找出对决策有重要影响的属性。
这样可以减少数据的维度，提高数据分析的效率和准确性。
2. 数据分类粗糙集理论可以用于数据的分类。
通过建立正域和约简，可以将数据对象分为不同的类别。
这对于数据挖掘和机器学习等领域具有重要意义。
3. 不确定性处理粗糙集理论可以有效处理不完备和不确定的数据。
在现实世界中，很多数据存在缺失和模糊性。
粗糙集理论通过建立近似关系，可以对这些数据进行处理，并得到合理的结果。
4. 知识发现粗糙集理论可以帮助我们从数据中发现有用的知识。
通过对数据进行分析和挖掘，可以发现数据中的规律和模式。
这对于决策支持和业务优化等方面具有重要意义。
结论：粗糙集理论作为一种处理不确定性和不完备性数据的方法，具有重要的理论和实践价值。
它可以帮助我们从海量的数据中提取有用的信息，并发现数据中的规律和模式。
粗糙集理论在数据分析中的应用前景广阔，将在未来的研究和实践中发挥更大的作用。
粗糙集理论介绍
问题的提出：知识的含糊性
术语的模糊性，如高矮 数据的不确定性，如噪声 知识自身的不确定性，如规则的前后件间的 依赖关系不完全可靠 不完备性，数据缺失
由此，提出了包括
概率与统计、证据理论：理论上还难以令人信服，
不能处理模糊和不完整的数据
模糊集合理论：能处理模糊类数据，但要提供隶属
函数（先验知识）
so
例2： （表2）
R1(颜色) R2(形状) R3(体积) class
X1
红
圆形
小
1
X2
蓝
方形
大
1
X3
红
三角形
小
1
X4
蓝
三角形
小
1
X5
黄
圆形
小
2
X6
黄
方形
小
2
X7
红
三角形
大
2
X8
黄
三角形
大
2
等价类IND(R1)={{x1,x3,x7}, {x2,x4}, {x5,x6,x8}}
X={X1,X2,X3,X4}
Step2. 针对各个属性下的初等集合寻找下近似和上近似。
以“头疼＋肌肉痛＋体温”为例，设集合X为患流感的 人的集合，I为3个属性构成的一个等效关系： {p1},{p2,p5},{p3},{p4},{p6}， 则
X={P1,P2,P3,P6} I={{p1},{p2,p5},{p3},{p4},{p6}}
粗糙集在数据挖掘中的应用 基于粗糙集的数据约简
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1. 粗糙集在数据挖掘中的应用
粗糙集对不精确概念的描述是通过上、下近似这两 个精确概念来表示的。
粗糙集理论的的数学基础：假定所研 究的每一个对象都涉及到一些信息（数据、 知识），如果对象由相同的信息描述，那 么它们就是相似的或不可区分的。
粗糙集理论的基本概念与原理
粗糙集理论的基本概念与原理粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它的提出源于20世纪80年代初期的波兰学者Zdzisław Pawlak。
粗糙集理论的核心思想是通过将数据划分成不同的等价类，来描述和处理不完全和不确知的信息。
本文将介绍粗糙集理论的基本概念与原理。
1. 粗糙集的定义与等价关系粗糙集是指将一个数据集划分成若干个等价类，其中每个等价类称为一个粗糙集。
在粗糙集理论中，等价关系是一个重要的概念。
等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。
在粗糙集理论中，等价关系用来描述数据中的相似性和差异性。
2. 上近似集与下近似集上近似集是指在一个粗糙集中，包含了所有与该粗糙集中的元素相似的元素。
下近似集是指在一个粗糙集中，包含了所有与该粗糙集中的元素不相似的元素。
上近似集和下近似集是粗糙集理论中的两个重要概念，它们用来描述数据的粗糙性和不确定性。
3. 约简与精确度约简是粗糙集理论中的一个重要操作，它的目的是通过删除一些不必要的属性或条件，从而减少数据集的复杂性，提高数据的处理效率。
约简可以通过删除一些不重要或不相关的属性来实现。
精确度是用来评估数据集的质量和可靠性的指标，粗糙集理论通过约简来提高数据集的精确度。
4. 粗糙集与模糊集粗糙集理论与模糊集理论有一些相似之处，但也存在一些差异。
模糊集理论是一种用来处理模糊和不确定性问题的数学工具，它通过给每个元素赋予一个隶属度来描述元素的模糊性。
而粗糙集理论是一种用来处理不完全和不确知信息的数学工具，它通过将数据划分成不同的等价类来描述数据的粗糙性。
5. 粗糙集的应用领域粗糙集理论在许多领域中都有广泛的应用。
在数据挖掘领域，粗糙集理论可以用来处理不完全和不确定的数据。
在人工智能领域，粗糙集理论可以用来处理模糊和不确定性问题。
在决策支持系统领域，粗糙集理论可以用来辅助决策过程。
在模式识别领域，粗糙集理论可以用来提取和分类模式。
总结：粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它通过将数据划分成不同的等价类来描述和处理不完全和不确知的信息。
粗糙集理论简介及基本概念解析
粗糙集理论简介及基本概念解析粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它由波兰学者Pawlak于1982年提出。
粗糙集理论的核心思想是通过对数据进行粗糙化处理，将不完全、不确定的信息转化为可处理的粗糙集，进而进行数据分析和决策。
粗糙集理论的基本概念包括：粗糙集、等价关系、下近似集和上近似集。
首先，粗糙集是指在不完全信息条件下，通过将数据进行粗糙化处理得到的集合。
粗糙集可以看作是原始数据的一个近似描述，它包含了原始数据的一部分信息。
粗糙集的构建是通过等价关系来实现的。
其次，等价关系是粗糙集理论中的一个重要概念。
等价关系是指在给定的数据集中，将数据划分为若干等价类的关系。
等价关系的划分可以通过相似性度量来实现，相似性度量可以是欧氏距离、余弦相似度等。
等价关系的划分可以将原始数据进行分类，从而构建粗糙集。
下面，我们来介绍下近似集和上近似集。
下近似集是指在给定的粗糙集中，对于某个特定的属性或条件，能够确定的元素的集合。
换句话说，下近似集是能够满足某个条件的元素的集合，它是粗糙集的一个子集。
而上近似集是指在给定的粗糙集中，对于某个特定的属性或条件，可能满足的元素的集合。
上近似集是包含下近似集的最小集合，它是粗糙集的一个超集。
粗糙集理论的应用非常广泛，特别是在数据挖掘和模式识别领域。
通过粗糙集理论，可以对大量的数据进行处理和分析，从中发现隐藏的规律和模式。
粗糙集理论可以用于特征选择、属性约简、数据分类等任务，为决策提供有力支持。
总结起来，粗糙集理论是一种处理不确定性和模糊性问题的数学工具。
它通过粗糙化处理将不完全、不确定的信息转化为可处理的粗糙集，进而进行数据分析和决策。
粗糙集理论的基本概念包括粗糙集、等价关系、下近似集和上近似集。
粗糙集理论在数据挖掘和模式识别领域有着广泛的应用，可以用于特征选择、属性约简、数据分类等任务。
通过粗糙集理论，我们可以更好地理解和处理不确定性和模糊性问题，为决策提供有力支持。
粗糙集代数
粗糙集代数（Rough Set Algebra）是一种数学框架，建立在粗糙集理论的基础上，用于粗糙集不确定性和近似推理的形式化描述和处理。
其基本概念包括属性约简、近似集
和粗糙等价类等，可以应用于数据挖掘、模式识别、智能推理等领域。
在粗糙集代数中，属性约简是一个重要的概念。
假设有一个包含m个属性的数据集，
每个属性具有不同的取值，可以将数据集表示为一个m维属性空间。
属性约简就是从
这个属性空间中找出其中最重要的属性子集，使得这个子集可以保留原始数据集的所
有决策信息。
具体来说，属性约简可以看作是通过去掉不必要的属性，减少决策规则
的数量，提高规则表达的精度和通用性。
近似集和粗糙等价类等概念则是用于描述粗糙集中的不确定性和近似性质的重要概念。
在粗糙集中，数据对象的属性值通常是不完备的或不精确的，因此需要使用近似集来
描述数据对象的属性分布情况。
而粗糙等价类则是将原始数据集中存在相似或不同的
数据对象划分为等价类，从而建立起数据对象之间粗略的等价关系。
总的来说，粗糙集代数是一种基于粗糙集理论的形式化描述和处理框架，可以用于处
理不完备、不精确的数据，提高数据挖掘、模式识别、智能推理等任务的效果和精度。
逻辑函数的粗糙集表达及最小化方法
逻辑函数的粗糙集表达及最小化方法粗糙集理论是Z. Pawlak于1982年提出的，它是一种用来处理不确定性、模糊性和不完备性的一种数学模型。
粗糙集理论的基本思想是，利用一组属性来描述对象，通过这些属性来划分对象之间的相似度和差异度。
在粗糙集理论中，逻辑函数是一种重要的表达形式。
逻辑函数是通过布尔代数的方式来表达逻辑关系的函数形式，例如AND、OR和NOT等。
在粗糙集理论中，逻辑函数通常可以用来表示集合的包含关系或者近似关系。
逻辑函数的表达可以使用联结词来连接属性，例如AND和OR代表交集和并集。
使用逻辑函数可以方便地表示对象之间的相似性和差异性。
例如，对于一些对象a，可以使用逻辑函数来表示与其相似的对象集合，即具有相同属性的对象。
而与其不相似的对象，则可以使用逻辑函数的补运算来表示。
代数化简是一种常见的逻辑函数最小化方法，它通过运用布尔代数的基本定律和规则，对逻辑函数进行逻辑等价变换和化简，以达到最简形式。
代数化简的过程通常包括合并项、消除项和引入项等步骤。
卡诺图是一种图形化的逻辑函数最小化方法，它通过绘制真值表的方式来构造一个二维的格状图，格状图中的每个格子对应一个逻辑函数的项，通过寻找相邻格子之间的距离来合并相似项，从而实现逻辑函数的最小化。
奎因-麦克劳林展开是一种逻辑函数最小化的代数方法，它利用逻辑代数的展开定理，将逻辑函数展开成最简的形式。
展开的过程通常可以通过二项定理和相似项的合并来进行，以达到逻辑函数的最小化。
在实际应用中，根据需求选择合适的逻辑函数表达形式和最小化方法是非常重要的。
不同的逻辑函数表达形式和最小化方法适用于不同的问题和计算环境。
因此，在应用粗糙集理论中，需要根据具体情况选择合适的方法和技术来处理逻辑函数的表达和最小化问题。
综上所述，逻辑函数的粗糙集表达及最小化方法是粗糙集理论中的重要部分，它可以帮助我们处理不确定性、模糊性和不完备性的问题。
逻辑函数的表达使用布尔代数的方式来描述逻辑关系，可以方便地表示对象之间的相似性和差异性。
函数S-粗集与规律挖掘应用
Ｑ，
的 下
（ Ｆ） ） Ｒ， 。（ 一Ｕ［ ］ “一
｛ ｌ ∈ ，“ Ｑ ｝ ＵＵ ［ ］ ｏ
Ｂ （ ） Ｑ ｃ 的 Ｒ 一 界 ， 且 Ｑ。是 ｏ 边 而
Ｂ （ ） （ ， 。 Ｑ。 一 （ ， 。 （ ） Ｑ。 一 Ｒ Ｆ）（ ） Ｒ Ｆ） Ｑ。
Ｆ≠ ．
Ｓ一 集 。 出 规 律 挖 掘 的 研 究 ， 出 规律 挖 掘 方 法 与应 用 ， 粗 给 给 函数 Ｓ一 集 是 寻 找 系 统 中未 知 规 律 的 一 个 新 理 论 ． 给 粗 所
出的研究・ 风险投资分析 、 在 系统 状 态 识 别 等 多 个 应 用 领 域 中 得 到 应 用 ． 数 Ｓ一 集 是 粗 集 理 论 中 的 一 个 新 的 研 函 粗
ＡｓＱ ） ｛ ∈ ， Ｑ， （ 一 Ｕ Ｑ｝ （ ｏ 一 ｌ 厂 ） ∈ （） ７
是 （ 上 的函数迁 移 族 ； “ ） 一 ｛ ） Ｕ （ ， ） ［ （ ］ Ｕ （ ， ） … ， ） 是 Ｒ一 Ｕ（ ） 函数等 价类 ； 是 等价 关 系 ； ） Ｒ （ ， Ｑ（ ，“ ） ， （ ， ） 另 记 作 ， ［ ］ Ｕ ） ［ （ ］ “ ） （ 分 ０ Ｑ， “ ， ，．
刘 月 兰 刘 江 臣 ，
（ ． 东 青年 管理 干部 学 院 国 际 贸 易 系 ， 南 ２ ０ １ ； ． 东理 工 大 学 工 程 实训 中心 ，山 东 淄博 ２ ５ １ ） １山 济 ５０ ４ ２ 山 ５ ０ ２
摘
要 ： 数 ｓ一 集 是 用 尺 一 数 等 价 类 ［ ］ 义 的 。 函 粗 函 “定 函数 ｓ 粗 集 具 有 规 律 特 征 ， 数 是 一 个 规 律 ， 用 函 数 一 函 利
Ｑ， Ｑ 的 厂一 张 ， 是 扩 而且 Ｑ 一｛ ｌ∈ ， Ｑ， （ 一“ 厂 ） ∈Ｑ｝
粗糙集理论简介及基本原理
粗糙集理论简介及基本原理粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它由波兰数学家Pawlak于1982年提出。
粗糙集理论的核心思想是通过对数据进行粗糙化，将数据集划分为不同的等价类，以便更好地理解和描述数据的特征和规律。
粗糙集理论的基本原理是基于信息的不完备性和不确定性。
在现实世界中，我们往往无法获取到完整和精确的信息，数据中可能存在噪声、缺失或冲突等问题。
粗糙集理论通过对数据进行粗糙化，将不确定的数据转化为一组等价类，从而更好地处理这些问题。
粗糙集理论的核心概念是粗糙集和约简。
粗糙集是指在数据集中，存在一些元素无法被确定地分类到某个等价类中，即存在不确定性。
而约简则是指通过消除冗余和保留核心信息，将原始数据集简化为一个更小的等价类集合。
通过约简，我们可以减少数据集的复杂性，提取出数据中的关键特征和规律。
在粗糙集理论中，最常用的方法是基于属性约简。
属性约简是指通过选择一部分重要的属性，来代表整个数据集的特征和规律。
在实际应用中，数据集往往包含大量的属性，其中某些属性可能是冗余的或无关的。
通过属性约简，我们可以提取出最具代表性的属性，从而减少数据集的维度和复杂性。
粗糙集理论在各个领域都有广泛的应用。
在数据挖掘领域，粗糙集理论可以用于特征选择、分类和聚类等任务。
通过约简，我们可以选择出最具代表性的特征，从而提高分类和聚类的准确性和效率。
在决策支持系统中，粗糙集理论可以用于帮助决策者进行决策分析和风险评估。
通过对数据进行粗糙化和约简，我们可以更好地理解和描述决策问题，从而提供决策支持。
总之，粗糙集理论是一种处理不确定性和模糊性问题的有效工具。
它通过对数据进行粗糙化和约简，提取出数据的核心特征和规律，从而帮助我们更好地理解和处理现实世界中的复杂问题。
粗糙集理论在各个领域都有广泛的应用，为我们提供了一种全新的思维方式和分析工具。
S—粗集理论的研究与应用
UCDC 1C 2C 3……C m d U 1a 11a 12a 13……a 1m d 1U 2a 21a 22a 23……a 2m d 2U 3a 31a 32a 33……a 3m d 3∷∷∷∷……∷∷U na n1a n2a n3……a nmd n一、引言波兰数学家Z.Pawlak 在1982提出的粗糙集(Ro ugh Set)理论是一种数据分析理论,它对于处理复杂系统问题是一种较为行之有效的方法,已经受到国内外许多学者的关注。
目前,该理论在数据的决策与分析、模式识别、信息科学、管理科学、金融、医学、化学等其他学科领域已得到了较为成功的应用。
在Z.Paw lak 粗集理论中通过信息系统的知识发现存在着局限性:知识发现是在封闭的信息系统中进行的,它所处理对象的属性集是已知的(静态的),且从信息系统中得到的结论仅适用于这些对象。
而在现实诸多领域的应用中,所遇到的大多都是动态的属性集,即开放系统,针对具有动态特征的信息系统,史开泉教授提出了S-粗集[2](Sing ular Roug h Sets )。
经典粗集理论在化学药品合成方面的应用可以参考文献[7],该文献验证了Roug h 集理论在化学药品合成中的有效性。
属性约简问题是粗糙集理论的一个核心问题[1,5]。
本文利用S-粗集理论的方法进行化学药品的合成,如果由该化学药品组成的信息系统中存在不一致性[1],则就利用属性迁入的方法,把新的属性迁入到该系统来;如果该系统中有多余的属性,则就利用属性迁出的方法,把这些属性迁出出去。
在经典粗集理论中,一般用U 代表论域;R 代表属性集;信息系统S=(U,R=(C ∪D)),论域U={U 1,U 2,…,U n },条件属性集C ={C 1,C 2,…,C m },决策属性集D={d 1,d 2,…,d n }。
而在S-粗集理论中,约定V 是U 上的属性集;β={β1,β2,…,βn }#V ;K=F ∪F $是定义在属性集V 上的双向属性迁移族,其中F 与F $表示单向属性迁移族;若f ∈F 是V 上的属性迁移,β'是V 上的一个属性,β'&R,f(β')∈R,称R f是R 的属性补充集(或单向属性迁入集),且R f={β1,β2,…,βn ,θ}=R ∪{θ},其中θ=f (β');若f ’∈F $是V 上的属性迁移,βj ∈R,f ’(βj )&R,称R f’是R 的属性删除集(或单向属性迁出集),且R f’=β1,β2,…,βj-1,βj+1,βn ()=R\{f ’(βj )};同理,若β'&R,f(β')∈R,且βj ∈R,f ’(βj )&R,称R *是R 的双向属性迁移集,且R*={R\{f ’(βj )}}∪{θ}。
粗糙集理论的基本概念
定义1.1（知识和概念（范畴或信息粒）） 设U是给定研究对象的非空有限集合，称为 一个论域。论域U的任何一个子集X U， 称为论域U的一个概念或范畴。论域U的一 个划分{X1, X2,…, Xn}（概念簇）称为关于 U的抽象知识，简称知识。为了规范化，我 们认为空集也是一个概念，称为空概念。 在粗糙集理论中，主要讨论的是那些 能够在论域U上形成划分或覆盖的知识。
定义2.3（不可分辨关系（不分明关系）） 给定一个论域U和U上的一簇等价关系S， 若PS,且P≠，则P(P中所有等价关系的 交集）仍然是论域U上的一个等价关系， 称为∩P上的不可分辨关系，记为IND(P)， 也常简记为P。而且，
x U ,[ x]IND ( P ) [ x]P
RP
例2.1给定一玩具积木的论域, U x1 , x2 ,..., x8 并假设这些积木有不同的颜色(红、黄、蓝）， 形状（方形、圆形、三角形），体积（小、大）， 见表2.1.因此，这些积木都可以用颜色、形状、 体积这些知识来描述，例如一块积木可以是红色、 小而圆的，或黄色、大而方的等。如果我们根据 某一属性描述这些积木的情形，就可以按颜色、 形状或体积分来。
关于颜色R1，形状R2，体积R3的初等范畴： U / R1 {{x1 , x3 , x7 },{x2 , x4 },{x5 , x6 , x8 }}. U / R2 {{x1 , x5 },{x2 , x6 },{x3 , x4 , x7 , x8 }}. U / R3 {{x2 , x7 , x8 },{x1 , x3 , x4 , x5 , x6 }}. 关于{颜色R1 , 形状R2 }{ ， 颜色R1 , 体积R3}， {形状R2 , 体积R3}的基本范畴： U /{R1 , R2 } {{x1},{x2 },{x3 , x7 },{x4 },{x5 },{x6 },{x8 }}. U /{R1 , R3} {{x1 , x3},{x2 },{x4 }{x5 , x6 },{x7 },{ x8}}. U /{R2 , R3} {{x1 , x5 },{x2 },{x3 , x4 }{x6 },{x7 , x8}}.
粗糙集理论简介
仅使用第一个属性进行划分的情形. 正区域为空. 蓝色区域为负区域.
使用两个属性进行划分的情况
加入第二个属性
负区域
正区域(下近似)
边界区域
上近似
综合表示
Rough Set 的应用
(一)知识发现
RD {(x, y); gk (x) gk (y)(k q)} 是按照决策集D产生的
X1
正常
是
否
x2
高
是
是
x3
高
是
是
x4
正常
否
否
x5
高
否
否
x6
高
否
是
x7
高
否
是
x8
正常
否
否
取B为各种属性组合, 则得到不同等价类取B=A,则等价 类为：{{x1},{x2,x3},{x4,x8},{x5,x6,x7}}
基本概念(三) 上下近似
X U 它在关系 RB下的上下近似集 RB(X ) {x;[x]B X} 为 X 的下近似集
粗糙集理论的基本概念
不可区分关系/等价类. 上近似和下近似.
基本概念(一) 信息系统
称为(U, A,F,D,G) 一个信息系统, 其中 为对象集, U {x1,x2,...xn} 为属性集, A {a1,a2,...ap} 为决策集, D {d1,d2,...dq} F 为U 和 A的关系集, F { f j : j p} G 为U 和 D的关系集, G {g j : j q}
求约简是属性选择问题. 约简有各种各样的标 准(保持属性集合分类能力不变,保证分布函数 不变, 保证决策上下近似不变.etc) 协调集与约简
RB(X ) {x;[x]B X }为 X 的上近似集 如果上下近似是相等的, 则这是一个精确集合, 否则它是一个粗糙集, 其中下近似称为该概念 的正区域, 上下近似的差称为边界.上近似以外 的区域称为负区域.
粗糙集理论的入门指南
粗糙集理论的入门指南粗糙集理论是数学领域中的一种理论，它源于20世纪80年代的波兰学者Zdzisław Pawlak的研究工作。
粗糙集理论被广泛应用于数据挖掘、模式识别、决策分析等领域，它提供了一种处理不完备、模糊和不确定信息的方法。
一、粗糙集理论的基本概念在了解粗糙集理论之前，我们需要了解一些基本概念。
粗糙集理论主要涉及到以下几个概念：1. 上近似和下近似：粗糙集理论中的一个核心概念是近似。
给定一个数据集，上近似是指用最少的信息来描述数据集中的对象，下近似是指用最多的信息来描述数据集中的对象。
2. 等价关系：在粗糙集理论中，等价关系是指将数据集中的对象划分为不同的等价类。
等价关系可以用来描述数据集中的相似性。
3. 决策属性：决策属性是指在数据集中用来区分不同类别的属性。
在粗糙集理论中，决策属性是决策规则的基础。
二、粗糙集理论的应用粗糙集理论在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是一些常见的应用领域：1. 数据挖掘：粗糙集理论可以用于数据挖掘中的特征选择和分类问题。
通过分析数据集中的属性之间的关系，可以找到最具有代表性的属性，从而提高数据挖掘的效果。
2. 模式识别：粗糙集理论可以用于模式识别中的特征提取和模式分类。
通过对数据集中的特征进行分析，可以提取出最具有代表性的特征，从而实现模式的识别。
3. 决策分析：粗糙集理论可以用于决策分析中的决策规则的生成和评估。
通过对数据集中的属性进行分析，可以生成一组决策规则，从而帮助决策者做出正确的决策。
三、粗糙集理论的优点和局限性粗糙集理论作为一种处理不完备、模糊和不确定信息的方法，具有以下优点：1. 简单易懂：粗糙集理论的基本概念和方法相对简单，易于理解和应用。
2. 适用范围广：粗糙集理论可以应用于各种领域，包括数据挖掘、模式识别、决策分析等。
然而，粗糙集理论也存在一些局限性：1. 计算复杂度高：在处理大规模数据集时，粗糙集理论的计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
粗糙集算法
DUFE管理科学与工程研究方法概论学号：2013100654专业：电子商务姓名：徐麟粗糙集理论一、粗糙集的来源与发展智能信息处理是当前信息科学理论和应用研究中的一个热点领域。
由于计算机科学与技术的发展，特别是计算机网络的发展，每日每时为人们提供了大量的信息。
信息量的不断增长，对信息分析工具的要求也越来越高，人们希望自动地从数据中获取其潜在的知识。
特别是近20年间，知识发现(规则提取、数据挖掘、机器学习)受到人工智能学界的广泛重视，知识发现的各种不同方法应运而生。
粗糙集(RoughSet，也称Rough集、粗集)理论是Pawlak教授于1982年提出的一种能够定量分析处理不精确、不一致、不完整信息与知识的数学工具。
粗糙集理论最初的原型来源于比较简单的信息模型，它的基本思想是通过关系数据库分类归纳形成概念和规则，通过等价关系的分类以及分类对于目标的近似实现知识发现。
由于粗糙集理论思想新颖、方法独特，粗糙集理论已成为一种重要的智能信息处理技术，该理论已经在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面得到广泛应用。
粗糙集理论与应用的核心基础是从近似空间导出的一对近似算子，即上近似算子和下近似算子(又称上、下近似集)。
经典Pawlak模型中的不分明关系是一种等价关系，要求很高，限制了粗糙集模型的应用。
二、粗糙集的理论基础1、概念、可定义集从经典的角度来看，每个概念都包含其内涵和外延。
为了给出概念内涵和外延的具体描述，我们考虑一个简单的知识表达系统，即信息表。
信息表就是一组可定义集的形式化定义如下：在信息表M中，如果称子集XAU是可被属性子集AAAt定义的，当且仅当在语言L(A)中存在一个公式<使得X=m(<)。
否则，X 称为不可定义的。
2、近似空间语言L(A)的所有可定义集正好构造成一个R代数R(U/E(A))，即Def(U，L(A))=R(U/E(A))。
序对apr=(U，E(A))称为一个Pawlak近似空间，简称近似空间。
函数S-粗集,函数粗集与信息系统规律拆分-合成
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄＳ ｓｅ Ｓ ｉｎ ｅ ， ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒｉ ，ｉ ａ ５ １ ０ Ｃｈｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍａ ｈ ｍａ ｉ ｎ ｙ ｔｍ ｃｅｃ ｓ Ｓ ａ ｄ ｎ ｉｅｓ ｙ Ｊ ｎ ２ ０ ０ ， ｉａ ｃ ｔ ｎ
ｓｔ） ｅｓ 。它们都是把函数概念ｉ 入到 Ｓ粗集 中， ｌ － 改进 粗 集得 到的。函数粗 集是把 函数概 念引入 到 Ｚ Ｐ ｗｌ ．ａ ａ ｋ粗 集 中，
改进 Ｚ Ｐ ｗｌ ． ａ ａ 集 得 到 的 。 函数 单 向 粗 集 、 ｋ粗 函数 单 向 粗 集 对 偶 、 函数 双 向 粗 集是 函数 粗 集 的三 类 形 式 。给 出 函数 粗 集 与 粗 集 的 关 系 ； 出 函数 粗 集 与 Ｚ Ｐ ｗｌｋ粗 集 的 关 系 ； 出 函数 粗 集 与 函数 粗 集 的 关 系。利 用 这 给 ．ａ ａ 给
ｄｒｃｉｎｓ ｇ ｌ ｏ ｇ ｅｓ 、 ｉ ｔ ｉ ｕａ ｒｕ ｈｓｔ） 函数 双 向 粗 集 （ｕ ｃｉｎｔ ｉ ｃｉｎｓ ｇ ｌ ｕ ｈｓｔ） 函数 粗 集 （ｕ ｃｉ ｏ ｇ ｅ ｏ ｎ ｒ ｆｎ ｔ ｄｒ ｔ ｉ ｕａ ｒ ｇ ｅｓ与 ｏ ｗｏ ｅ ｏ ｎ ｒ ｏ ｆｎｔ ｎｒｕ ｈ ｏ
第３ ７卷 第 １ 期 ０ ２１ ０ ０年 １ Ｏ月
计
算
机
科
学
Ｃｏ ｕ ｅ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｍｐ ｔ ｒ ｃｅ ｃ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ １ １３ ． ０ ０ｃ ０ ０ ｔ２ １
函 数 Ｓ粗 集 ， 数 粗 集 与 信 息 系 统 规 律 拆 分 一 成 一 函 合
史 开泉
些结果 ， 出函数的 区间离散与有 限元素集 的生成 、 给 函数 离散一 元素 集合生成原理 ； 出函数 粗 集生成 的信息规律 、 给 函数等价类动态特 性一 属性 补充与删 除原理 ； 出数据拆分一 给 合成 原理 、 息规律动 态拆 分一 信 合成的属性 特征 ； 出信 息 给
2经典粗糙集理论
d
N N N P P P P
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粗糙集的基础理论和方法
2.8
求约简算例
a1
1 1 2 1 2 1 2
U/D={YN,YP} U n1 以属性集{a1,a2}对论域进行划分， 我们求分类质量： n2 YN={n1, n2,n3}，YP={n4, n5,n6, n7} n 3 X1={n1, n2,n4,n6}，X2={n3, n5,n7}， n 4 n5 因此分类质量为： n6 分类质量=0/7=0 显然属性集{a1,a2}不是约简。 n 7
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粗糙集的基础理论和方法
2.8
求约简算例
由属性a1 , a2对论域进行划分，可得如下等价类 U/C={X1, X2, X3, X4, X5, X6} 其中：X1={n1}，X2={n2}，X3={n3, n8}， X4={n4,n5,n6,n9}，X5={n7} YL={n2,n3,n4,n5,n6, n8}，YH={n1, n7, n9} 分类质量=5/9=0.56，与整个属性集的分类质量相同 因此，属性子集{a1,a2}是约简。
上一页 下一页 返回本章首页 X1={n1}，X2={n2}，X3={n3}，X4={n4,n5,n6,n9}， X5={n7}，X6={n8}
粗糙集的基础理论和方法
2. 5 属性约简与核
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粗糙集的基础理论和方法
2.6 决策规则
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粗糙集的基础理论和方法
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粗糙集的基础理论和方法
2.8
求约简算例
由属性a1 , a3对论域进行划分，可得如下等价类 U/C={X1, X2, X3, X4, X5, X6} 其中：X1={n1}，X2={n2}，X3={n3}， X4={n4,n5,n6,n9}，X5={n7}，X6={n8} YL={n2,n3,n4,n5,n6, n8}，YH={n1, n7, n9} 分类质量=5/9=0.56，与整个属性集的分类质量相同 因此，属性子集{a1,a3}也是约简，同理可求得属性子集 {a2,a3} 也为约简。
多元函数单向S-粗集
作 ， 二元 函数集
Ｑ（ ）一 ｛ ｘ， １ ｕ ｘ， ２ … ， ｚ， ｕ（ ） ， （ ） ，
ｕ（ ） ｘ， ）ｃ ｘ， Ｄ（ ），
记作
Ｑ 一 ｛ ，２ … ， ） Ｄ， ｌ ， Ｃ
二元 函数 等价类 ［ （ ） ｚ， ］记作 ［ ］Ｄ 中二元 函 ．
Ｆ 一 ｛ １厂 ， ， ） 厂 ，２… ． （） １
检测 到的数 据 就是 依 赖 于 检测 点 的 函数 ， 检测 而
点 的方 位通 常是 由两 个 变 量所 确 定 的 ， 而所 检 从 测到 的数 据就是 一个 二元 函数 ｕ ｘ ） 若 一 系 列 （， ．
二元 函数 “ （ ， ， 一１ ２ … ， 具 有共 同的属 ｚ ）ｋ ，，
源， 导致 环境 中的有 害物质 增加． 出一个二 元 函 给
（ 称作 Ｑ 的 扩 张 ， 且 （ ｛ Ｉ ∈Ｄ， ｙ 而 ｙ一
定义 １ ３ 称 （ Ｆ） （ ０ 是 Ｑ ． Ｒ， 。 Ｑ ） ０的 下 近 似 ，
如果
数 集 ， 何 用 具 ： 态 特 性 的 粗 集 来 定 义 它 ， 如 有动
中 图 分 类 号 ： ５ Ｏ１ ９ 文献 标 识 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
本 文 的研究 是 建 立在 山东 大 学 教授 、 士生 博 导师 、 粗集 的提 出者 史 开 泉 教授 提 出 Ｓ 粗 集 与 一 函数 Ｓ 粗集 理论 的基 础上 ， 一 将一 元 函数 粗 集 推 广到 多元 的情形 ． 一个 系统 的 输 出 特征 可 以 用输 出状态 函数 集来 表 示 ， 出状 态 函数 集 可 以 是一 输 元 的 函数 集 ， 可 以是 多 元 的 函数 集 ． 失 一 般 也 不
双论域上的S-粗集及应用
为一种处理 不确定 、 精确和不完全数据 ∈Ｘ
定义 ２给定 为有 限论域 ， 称 ｃＵ是 Ｕ上的一个单 向 ｓ 集合（ ｎ ｉ ｃ ｏ ｉｇｌｒＳ ｔ）如果 一 Ｏ ｅｄｒ ｔ ｎ Ｓ ｕ ａ ｅ ， ｅｉ ｎ ｓ
Ｃ ｍ ｕ ｒＥ ｇｎｅｉｇａ ｄ Ａ ｐｉａｏｓ计算 机工程 与应用 ｏ ｐ ｔ ｎ ｉ ｒ ｎ ｐ ｌ ｔ ｎ ｅ ｅ ｎ ｃｉ
２ １ ，６ ５ ００４ （）
３ ３
双论 域 上 的 Ｓ 粗 集 及 应用 一
鲁小云 ， 杨 勇
ＬＵ Ｘｉｏ ｙ ｎ， ａ － ｕ ＹＡＮＧ Ｙｏ ｎｇ
西北师 范大学 数学与信息科学学院 ， 兰州 ７０ ７ ３００
Ｃ ｌ ｇ ｆ Ｍａｈ ｍａ ｉｓ ａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ Ｓ ｉ ｎ ｅ Ｎｏｔ ｗｅ ｔ Ｎｏｍａ ｉ ｅ ｓ ｙ Ｌ ｎ ｈ ｕ ７ ０ ７ Ｃ ｉａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｎ ｏ ｍａｉ ｃ ｅ ｃ ， ｒｈ ｓ ｅ ｃ ｏ ｒ ｌ Ｕｎ ｖ ｒｉ ， ａ ｚ ｏ ３ ０ ０， ｈ ｎ ｔ
摘
要： 原始从单论域 出发讨论动态 系统 的知识发现和规 则挖掘 ， 其应用范围受到极 大限制。通过构造性 方法对原始的 ｓ 粗集粗 一
糙 集模 型进 行 推 广 ， 出双 论 域 上 的 ｓ 粗 集 模 型 。 分析 了 Ｓ 粗 集 与 ＺＰｗａ 粗 集 、 提 一 一 ．ａ ｌ ｋ 以及 单论 域 Ｓ 粗 集 与 双 论 域 Ｓ 粗 集 的 关 系。 一 一 并 讨论 了双 论 域 ｓ 粗 集 一 些 相 关 性 质及 在 疾病 诊 断上 的 应 用 。 一 关键 词 ： 糙 集 ；－ 集 ； 论 域 ； 粗 Ｓ粗 双 集值 映 射
粗糙集基本概念
一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识面对日益增长的数据库，人们将如何从这些浩瀚的数据中找出有用的知识？我们如何将所学到的知识去粗取精？什么是对事物的粗线条描述什么是细线条描述？粗糙集合论回答了上面的这些问题。
要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做知识？假设有8个积木构成了一个集合A，我们记：A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1={红，黄，兰}三个大类，那么所有红颜色的积木构成集合X1={x1,x2,x6}，黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4}，兰颜色的积木构成集合X3={x5,x7,x8}。
按照颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分(所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然属于且仅属于一个分类），那么我们就说颜色属性就是一种知识。
在这个例子中我们不难看到，一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2={三角,方块,圆形}，大小R3={大,中,小}，这样加上R1属性对A构成的划分分别为：A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}}（颜色分类）A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形状分类）A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分类）上面这些所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。
那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的{x1,x2,x6}、大的{x1,x2,x5}、三角形的{x1,x2}这样的概念以外还可以表达例如大的且是三角形的{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，大三角{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，兰色的小的圆形({x5,x7,x8}∩{x3,x4,x7}∩{x3,x4,x6,x7}={x7}，兰色的或者中的积木{x5,x7,x8}∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}。
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【 上的元素迁移族 ，） Ｒ， 。 ｘ ＝Ｕ［ ］ ：｛ ｘＥＵ，ｚ Ｒ ｘ ｚ Ｒ ｚｌ ［ ］ ｝
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈ ｕ ｈ ｒ ｒｅ ｌ ｎ ｌ ｚ ｈ ｒ ｓ ｎ ｉｕ ｔ ｎ ｏ ｗｌｋ Ｒｏ ｇ ｅｓ ｎ ｍｐ ａ ｉａｌ ｔｏ ｕ ｅ ｔ ｅｄ ｆ ｓｒｃ ｅ ａ ｔ ｏ ｓ ｂ ｉ ｆ ａ ａ ｙ ｅ ｔ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔｓｔ ａ ｉ ｆ ｙ ｏ Ｐａ ａ ｕ ｈ ｓ ｔ ，ａ ｄ ｅ ｈ ｔ ｌ ｉ ｒ ｄ ｃ ｈ ｅ － ｃ ｙｎ ｔ ｎ ｔ ｎ ｆ － ｏ ｇ ｅ ｓ ａ ｄ Ｆｕ ｃ ｉ ｎ Ｓ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ．ｔ ｔ ｅ ｔ ａ ｔｕ ｔ ｒ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ａ ｏ ｎ ｓ ‘ ｌ ｏ ｓｏ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ｎ ｎ ｔ － ｏ ｇ ｅ ｓ ＷＯ ｍａ ｈ ｍａ ｉ ｌｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｉ Ｓ ｏ ｃ ｎ ｈ ｕ ｌｆ ｒ ２ 、Ｔｈ ｕ ｈ ｒ ｅ ｅａ ｔｏ ｓ ｄ — ｔ ｉ ｄ ｙ ｓ ｍｍａ ｉｅ ｔ ｅ ｒ ｌｔ ｎ ｂ ｔ ｅ － ｏ ｇ ｅ ｓ ａ ｄ Ｐ ｗｌｋ Ｒｏ ｇ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ ｌｔ ｎ ｂ ｔ ｅ ｕ ｃ ｉｎ Ｓ ｒ ｕ ｈ ａ ｌ ｌ ｕ ｅ ｒ ｈ ｅａ ｉ ｅ ｗｅ ｎ Ｓ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ｎ ａ ａ ｕ ｈ ｓ ｔ ， ｈ ｅａ ｉ ｅ ｗｅ ｎ ｆ ｎ ｔ －ｏ ｇ ｚ ｏ ｏ ｏ ｓ ｔ ｎ － ｏ ｇ ｅ ｓ Ｐ ｗｌｋ Ｒｏ ｇ ｅ ｓ ｎ ｈ ｅａ ｉｎ ｂ ｔ ｅ ｕ ｃ ｉ ｎ Ｓ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ｎ ａ ａ ｕ ｈ ｓ ｔ ． Ａｔ ｅ ｓ ａ ｄ Ｓ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ａ ａ ｕ ｈ ｓ ｔ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｌｔｏ ｅ ｗｅ ｎ ｆ ｎ ｔ －ｏ ｇ ｅ ｓ ａ ｄ Ｐ ｗｌ ｋ Ｒｏ ｇ ｅ ｓ ｏ
Ｓ－ ｕ ｈ Ｓ ｔ Ｒｏ ｇ ｅｓ，Ｆｕ ｃ ｉ ｎ － ｕ ｈ Ｓ ｔ ｎ ｈ ｉ ｌ ｔｏ ｎ ｔｏ Ｓ Ｒｏ ｇ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｒＲｅ ａ ｉ ｎ Ｔｈｅ ｒ ｍ ｅ ｏｅ Ｗ ＡＮＧ ｉｇ Ｊｎ Ｓ ＩＫａ— ａ Ｌ ｎ －ｉ Ｊｎ －ｉｇ Ｈ ｉＱｕ ｎ ＥＩＹｉｇＪｅ
的出现 。２ ０ ， ０ ２年 山东大 学 的史 开泉 教授 提 出了 粗 集 理 论， 他将粗集理 论从 静态 推广 到动 态 ， 出了规 律挖 掘 的思 提 想 ， 粗集是以 Ｐ ｗ ａ 粗集 理论为基 础 ， Ｐ ｗｌ ａ ｌｋ 对 ａ ａ ｋ粗集理 论 的拓广 和延 伸。
定义 ３３ 令 Ｘ ＝Ｘ－｛ ｚ １ ２ － ｚｌ∈Ｘ，（ ） ｘ｝其中， ７ｚ 一 ， ７ Ｅ— 万 ， …， ｝且满足： ｘ ￣ （） ｘ。 是 Ｆ ＝（ 万， ， ｊ ＥＸ ｚ 一“
１８ ９ ２年荷 兰的 Ｚ Ｐ ｗｌ ． ａ ａ 授提 出 了粗 集 的概念 ， 集 ｋ教 粗
这里称（ Ｆ 。 ） Ｒ， ） （ 为
的下近似 ，Ｒ， 。 ） （ Ｆ） （ 为
理论得 到迅 速发展 ， 并且在模式识别 、 器学 习、 机 决策支持 、 过 程控制 、 预测建模等领域得 到成 功的应用 。但 是应用 粗集理
论解决上述 问题 ， 最成熟 的方法实质 都可 归结为 ： 规则 提取 。
的上近似。称集合对 （Ｒ， ） （ ） （ Ｆ） （ ） 是 ｃ【 （ Ｆ 。 ，Ｒ， 。 ） ， 的单向奇异粗 集 ， 简称单 向 粗集 。
这使得粗集理论在应用上陷于瓶颈 ， 切需要新理 论、 迫 新方法
ｌｓ ｈ ｕ ｈ ｒ ｉｅｔ ｅａ ａｌｂｅａ ｐｉａｉｎ ｆ －ｏ ｇ ｅｓｔ ｏ ｒ 、 ａｔｔ ｅａ ｔｏ ｓｇｖ ｈ ｖ ｉ ｌ ｐ ｌ ｔ ｓｏ ｒｕ ｈｓ ｔ ｈｅ ｙ ａ ｃ ｏ Ｓ
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｒｏ ｇ ｅｓ ｙ ｒｓ ｕ ｈ ｓ ｔ ，Ｓ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ，Ｆｕ ｃ ｉ ｎ Ｓ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔ ，Ｒｅａ ｉｎ ｔ ｅ ｒ ｍ －ｏ ｇ ｅ ｓ ｎ ｔ －ｏ ｇ ｅｓ ｏ ｌ ｔ ｈ ｏ ｅ ｏ
（ ｉｓｌ ｎ ｔ ｕ ｅ Ｍ ｓ ｉ Ｉ ｓｉ ｔ ，Ａｉ ｒｅＥｎ ｉ ｅｉ ｇＵ ｎｖ ｒ ｉ ｅ ｔ ｒＦｏ ｃ ｇｎｅ ｒｎ ｉｅｓｔ ｙ，Ｓ ｎ ｕ ｎ ７ ３ ０ ａ ｙ ａ １ ８ ０）
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄ Ｓ ｓｅ Ｓ ｉ ｃ ，Ｓ ａ ｄ ｎ ｉｅ ｓ ｙ， ｉａ ５ １ ０ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍａ ｈ ｍａｉ ｎ ｙ ｔｍ ｅ ｅ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ Ｊｎ ｎ ２ ０ ０ ） ｃ ｃ ｎ ｔ
维普资讯
计算机科学 ２０ Ｖｏ． ４ Ｑ ６ ０ ７ １３ Ｎ．
粗 集 、一 集 、 Ｓ粗 函数 Ｓ粗 集及 其 关 系定 理 ） 一
王晶 晶 史 开 泉。 雷英杰
５ １０。 （ 空军工程 大学导 弹学 院 三原 ７３０ ） （ １８０ 山东大学数学与系统科学学院 济南 ２００ ）