九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径课件 人教新课标版
合集下载
人教版九年级上册_24.1.2垂直于弦的直径ppt
巩固提高
1、 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
O
A E C D B
.
M 2、 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 C A D B
.O
求证：AC＝BD
N 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒
⌒
当堂检测 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径
解：如图，用AB表示主 ⌒ 桥拱，设AB所在的圆的圆心 为O，半径为R，经过圆心O 做弦AB的垂线OC，D为垂足， ⌒ OC与AB交于点C，D是 ⌒ AB的中点，C是AB的中点，CD是拱高 AB=37.4，CD=7.2 AD=1/2AB=1/2×3.74=18.7 OD=OC-CD=R-7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即R2=18.72+（R-7.2）2 解得R≈27.9（m） 因此，赵州桥的主桥拱半径为27.9m
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，A点和B点重合，AE ⌒ ⌒ 和BE重合，AC、AD分别和BC、 ⌒ ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
新人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径优质课件
总结
知1－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质
是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
第十四页，共二十页。
知识点 3 垂径定理的推论
知3－讲
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
图1
C
O E
D
B
O
图2
AE
知2－讲
B
第十页，共二十页。
知2－讲
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
O
C
D
第十一页，共二十页。
例2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有
1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它
的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为
37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
知2－练
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
第十二页，共二十页。
解： 如图，用AB⌒表示主桥拱，设AB所在⌒圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C⌒， 连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点⌒，CD
知1－讲
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到 了什么结论？你能证明你的结论吗？
第五页，共二十页。
归纳
知1－讲
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径 所在的直线都是圆的对称轴.
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
24.1.2 垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD
变式：若隐去原图中的大圆，连接OA，OB， 设OA=OB，
求证：AC＝BD。
O
AC
E
DB
说出你这节课的收获和体会，让大家 与你一起分享！！！
分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
石河子第十中学 郭丹
实践探究
把手中的圆对折，重复做几次，你发现 了什么?
可以发现：圆是轴对称图形，
任何一条直径所在直线都是它
●O
的对称轴．
实践探究(小组合作讨论）
利用手中的圆，动手折出与已知直径垂直的一条弦，并说 明你折纸的理由。在折好的圆上标出如图所示的字母，讨 论图中有哪些相等的量。
在△OAB中， ∵OA=OB ∴ △OAB是等腰三角形 又∵ AB⊥CD ∴AE=BE
O
E
BA
O EB D
是 不是 是
不是
O
C
AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
O
AE
BLeabharlann ⑤A⌒D=B⌒D.结 论
∵ CD是⊙O的直径且 CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O 到弦AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
练习 在下列图形中，哪些图形可用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧？
填空：
如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，
（2） 线⌒段：⌒AE⌒=BE⌒
弧:AC=BC,AD=BD 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 A
个重半合圆，⌒重AC合, ，A⌒D点分A别与与点BB⌒C重、合B⌒，DA重E合与．BE
C
·O
E B
D
C
垂径定理 垂直于弦的直径
O
平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
E B 问题：此定理的条件和结论分别是什么？
辑思维能力，我确定以下目标。
（1）知识目标：理解圆的轴对称性；掌握垂径定理和 推论；能初步运用以上知识解决简单的数学问题。
（2）能力目标 ：渗透类比、转化、数形结合的数学 思想和方法，培养学生观察、猜想、抽象、概括、推
理等逻辑思维能力和视图能力。
（3）情感态度：渗透数学来源于实践和事物之间相互 统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几
D
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
(1)过圆心 (2)垂直于弦
讨论
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
思考：
C
1.若知道“过圆心”和“平分弦”，
A
你是否能得到另外三个结论？
O
O
B
D
2推.若论知过道圆“垂心直平于分弦非”直和径“的平分弦弦的”直，线 你垂能得直到于另弦外，三并个且结平论吗分？弦所对的两条弧O.
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件 (共22张PPT)
A
E
B
O
·
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m37.4mCAE
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， 半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
，
C
AC BC
AB 及 ACB
E
A
即直径CD平分弦AB，并且平分
我们就得到下面的定理：
·
B
D
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
即：如果CD过圆心(直径) ，且垂直于 （垂直于弦），则AE=BE （平分弦） AB ，
AC= BC, AD= BD （平分劣弧和优弧）
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
课 堂 小 结
C
1.圆的对称性
2.垂径定理
A
O
E D
B
3.技巧：重要辅助线是过圆心作弦 的垂线。
4.思路：（由）垂径定理——构造Rt△ ——（结合）勾股定理——解题
1、如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，
AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上
方，求AB和CD的距离．
2、如图，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm．求弦AB的长．
AB
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
24.1.2垂直于弦的直径
动手操作 给你一个任意的三角形（不要
用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），能否 只剪一刀，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？
1、分别取AB 、AC的中点D 、E,连结DE;
2、沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕 点E按顺时针旋转180度,得平行四边形BCFD实际操作得结论来自ADE
B
C
通过刚才的操作我们可以看到线段 DE实质上就是三角形两边中点的连线， 我们把这样特殊的线段叫做三角形的中 位线。
学一学
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 A
D B
F
E 根据中位线的概念同学们猜一猜、 画一画条三角形的中位线？
C
答：
三角形有三条中位线
猜一猜
△ ABC的中位线DE与
1 BC
2
2
记一记
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
用符号语言表示 A
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC， DE 1 BC D
E
2
B
C
谢谢聆听！
谢谢
A
BC的关系怎样？（从位置 D
E
和数量关系猜想）
B
根据我们提前预习可得到
C
DE∥BC, DE 1 BC 2
同学们你能验证这道定理吗？
例题、已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
（独立思考-组内交流 -代表展示-师生点评）
A
求证：DE∥BC，且DE=
1 2
BC
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，
连 结CF.
∵点E是AC的中点
∴AE=EC
D B
动手操作 给你一个任意的三角形（不要
用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），能否 只剪一刀，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？
1、分别取AB 、AC的中点D 、E,连结DE;
2、沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕 点E按顺时针旋转180度,得平行四边形BCFD实际操作得结论来自ADE
B
C
通过刚才的操作我们可以看到线段 DE实质上就是三角形两边中点的连线， 我们把这样特殊的线段叫做三角形的中 位线。
学一学
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 A
D B
F
E 根据中位线的概念同学们猜一猜、 画一画条三角形的中位线？
C
答：
三角形有三条中位线
猜一猜
△ ABC的中位线DE与
1 BC
2
2
记一记
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
用符号语言表示 A
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC， DE 1 BC D
E
2
B
C
谢谢聆听！
谢谢
A
BC的关系怎样？（从位置 D
E
和数量关系猜想）
B
根据我们提前预习可得到
C
DE∥BC, DE 1 BC 2
同学们你能验证这道定理吗？
例题、已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
（独立思考-组内交流 -代表展示-师生点评）
A
求证：DE∥BC，且DE=
1 2
BC
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，
连 结CF.
∵点E是AC的中点
∴AE=EC
D B
人教版版九年级上册数学 24-1-2垂径定理 教学课件
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，Ａ⌒Ｃ和Ｂ⌒Ｃ重合，Ａ⌒Ｄ和Ｂ⌒Ｄ重合．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴 （2）线段：AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
C
·O
E
A
B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 ＡＣ⌒Ｂ
C
为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘
宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过
拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
M
N
H
E A
DF
B O
按遵上尊不律听起要离窗时守课衣敬做秩立爱涂注开、上课时、老与序提期必护写意教关课堂衣超师。有问间须公、保室闭学，礼着短堂问。按共刻持要电离生不仪要裙服教题座财划整源开课得，整、从学位物。室理教堂无与洁拖任应表，环好室行故老，鞋课关先就不境桌须为缺师不等老的举坐得卫椅经规课问得进师事手。在生，老范、候穿入管，课。并师的迟。无教理保经桌协允内到袖室。持教、助许容、背。课师门老后是早心堂同窗师方：退、良意关可。吊好后墙离带纪，壁门开 。
B
可推得
C B
O
A D
CD⊥AB,
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD.
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学课件(新版)新人教版
∵CD过圆心(CD为直径)，CD ⊥ AB，
C
∴AE=BE， AC= BC, AD= BD
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
进一步，我们还可以得到结论：
A
E
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。 •即：如果CD过圆心，且AE=BE则 CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
O OE就是 弦心距
A C E D B
.
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心 距是______ 3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么 ⊙O的半径等于____，OM的长为_____
4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AE=9， BE=1， 求CD的长。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
C
A
R 18.7
D
R-7.2
B
用 弧AB表示主桥拱，设弧AB所 在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O 作OC⊥AB 于D， OC交AB 于点D，连接AO AB=37.4，CD=7.2，
解： OE
AB
在Rt △ AOE 中
2 2
1 1 AE AB 8 4 2 2
2
A A
E
B
AO OE AE
·
O
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
C
∴AE=BE， AC= BC, AD= BD
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
进一步，我们还可以得到结论：
A
E
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。 •即：如果CD过圆心，且AE=BE则 CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
O OE就是 弦心距
A C E D B
.
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心 距是______ 3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么 ⊙O的半径等于____，OM的长为_____
4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AE=9， BE=1， 求CD的长。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
C
A
R 18.7
D
R-7.2
B
用 弧AB表示主桥拱，设弧AB所 在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O 作OC⊥AB 于D， OC交AB 于点D，连接AO AB=37.4，CD=7.2，
解： OE
AB
在Rt △ AOE 中
2 2
1 1 AE AB 8 4 2 2
2
A A
E
B
AO OE AE
·
O
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》课件(共19张PPT)
（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
【人教版】九年级上：24.1.2垂直于弦的直径ppt课件
M
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
D
A
B
证明：作直径MN⊥AB.
.O
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是 不是，因为CD 没有过圆心
归纳总结
Ø垂径定理的几个基本图形：
C
A
O
O
A
EBA
DB
D
E
B D O
C
O A CB
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
rd
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
视频：垂径定理微课讲解
当堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm . 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 AC= 10 3 cm .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
⌒ ⌒ AD=BD.
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
推论：
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对
称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O， ⌒ 如图，用 ＡＢ
AB
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
C
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，Ａ＝ＢＤ
和
⌒
⌒
·
O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
E
A D B
⌒ 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ ⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
⌒
ＢＣ
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ
⌒
及
ＡＣＢ
⌒
C
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
E B D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
2 2
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C M H A E D F B O N
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如 图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的 长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫 弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4m
C
7.2m
A R
D
B
O
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现：
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
C D R O
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三种语言
• 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要 相互转化,形成整体,才能运用自如.
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
别忘记还有我哟！！
作业：
教材88页习题24.1
7、8 ；
结束寄语
不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.