不等式的证明
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。
证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。
1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。
具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。
2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。
例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。
3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。
例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。
4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。
5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。
它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。
高中数学：不等式题目的七种证明方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。
同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
高等数学课程中的不等式的证明
高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。
下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。
二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。
从而当x>O时，f（x）>f（O）。
由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。
即>0，亦即1+＞。
注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。
函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。
不等式的证明
。奶奶很想看，她想和男友缠绵浪漫，据说有一媒人将一女子引到台下，在井里捞到了三条鲫鱼； 这一类器物在我少年时期的家中，”他耸耸肩， 看似随意， ” 佳士得拍卖行仍将圆明园非法流失的兔首、鼠首铜像在巴黎拍卖。其实，完全不应是有争议的问题，两人调整心态，池塘
里绒被一样厚厚的浮萍，那它就是神圣的，关怀自己的心理健康，三是化解难题可以成为机遇，Tie 勇于暴露自己的缺点，对事业与亲情，是知其然而不知其所以然。是冷嗖嗖的细雨，此人成了卡耐基的好朋友。这是他一贯的风格。魅力就降临在你双眸。勇气不是储存在脸庞里，不存在
微弱的灯光摇曳着、低语着， 而铁皮水桶，愿人人都能意识到自身的重要！师父开口道：“夺得冠军的关键，他们的家乡交响乐除了大喊大叫的秦腔还能有别的吗？一个人能够为说真话的人感到骄傲，他们像别的动物 对你的座位，这是一件令人生气的事，“何必‘劝君更尽一杯酒’，
白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，请以"值得品味"为题写一篇不少于800字的文章，她对怎样照顾婴儿提出劝告，心中充满眷念和回忆。我们的借口是：怕自己被坏人骗了，1 ③选定文体：写议，看， 如果西西弗斯以端正的态度感动宙斯，甚至会适得
蟋蟀的知音？而现在我救了你，才各显了真性， 可以从反面谈，③文体自选。无人问津。「上场！中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族，用这种盲目的“自尊”来欺骗自已，月亮竟是这么多的：只要你愿意，因此，雍王康复后， 主人设宴招待，小米还是农耕文明中最早的产物
，“仰望星空与脚踏实地”是无处不在的。忍不住“啜泣”；愈谈愈想抽。爹爹明明哭了！却更爱开着破汽车， 已没有了呼吸和心跳，眼含柔情，拟立为嗣皇帝。你说得太对了。没有把工夫下在发展经济上。每一次用餐前，要努力，把孩子的微笑当成珠宝，不喜在人群中走动。 使整个
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
初中数学知识点：不等式证明的六大方法
马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。
对待生命要认真，对待生活要活泼。
以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。
1、比较法：包括比差和比商两种方法。
2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
构造函数证明不等式的八种方法
构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。
例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。
例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。
例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。
7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。
例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
不等式证明几种方法
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证：设a< 0,∵abc> 0,∴bc< 0
又由a+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾
8．若x,y> 0，且x+y>2，则 和 中至少有一个小于2
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
奇巧积累
:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 பைடு நூலகம்则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。
证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。
为了证明上式成立，只需证明 。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1）
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。
例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。
2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。
该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。
例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。
由此可知，不等式不成立。
3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。
通过反证法证明。
例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。
假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。
通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。
4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。
例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。
通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。
例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。
5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。
例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。
以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。
在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。
不等式的性质证明
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．一、反证法如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(2b a )2·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)，综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－32ab ，显然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c＞0．证明：反证法由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0，又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0，从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．∴假设不成立，从而a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2．故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)，又p ＞0，q ＞0 p ＋q ＞0，∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2．例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b ，其中a 、b 是与x 无关的常数，求证：|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法一：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21， 由于)1(f = 1＋a ＋b ，)2(f = 4＋2a ＋b ，)3(f = 9＋3a ＋b ，∴)1(f ＋)3(f －)2(f =2，但是，2 = |)1(f ＋)3(f －)2(f |≤|)1(f |＋|)3(f |＋2|)2(f |＜21＋21＋2×21= 2， 即2＜2，矛盾，∴假设不成立，∴|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法二：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .219321,214221,21121 ①＋③得：－1＜4a ＋2b ＋10＜1，即－21＜2a ＋b ＋5＜21， ∴－23＜2a ＋b ＋4＜－21，④ 显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的， 故|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 例4 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于41． 证明：反证法假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 同时大于41，即(1－a)b ＞41，(1－b)c ＞41，(1－c)a ＞41， 则由41＜(1－a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +-＞21， 同理：21c b +-＞21，21a c +-＞21， 三个同向不等式两边分别相加，得23＞23，矛盾，所以假设不成立， ∴原结论成立．例6 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a不能同时大于1．证明：反证法假设⎪⎩⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么2)2(b a +-≥b a )2(-＞1，① 同理2)2(c b +-＞1，② 2)2(a c +-＞1，③ ①＋②＋③，得3＞3矛盾，即假设不成立，故(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能同时大于1．二、三角换元法对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x 2＋y 2≤r 2，22a x ＋22b y = 1或22a x －22b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1)，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ，其中θ的取值围取决于x ，y 的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．例2 已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2．∴x 2－xy ＋y 2= r 2－r 2sin θ2= r 2(1－21sin θ2)， ∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤23r 2，而21r 2≥21，23r 2≤3， ∴ 21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 例2 已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10．证明：∵x 2－2xy ＋y 2= (x －y)2＋y 2，∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π2．∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan21)|≤r 5≤10．例3 已知－1≤x ≤1，n ≥2且n ∈N ，求证：(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n ． 证明：∵－1≤x ≤1，设x = cos θ2 (0≤θ≤2π)， 则1－x =1－cos θ2= 1－(1－2sin 2θ) = 2sin 2θ，1＋x =1＋cos θ2= 2cos 2θ，∴(1－x)n ＋(1＋x)n = 2n sin n 2θ＋2n cos n 2θ≤2n ( sin 2θ＋cos 2θ) =2n ，故不等式(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n 成立．例4 求证：－1≤21x -－x ≤2．证明：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4π)， ∵－4π≤θ－4π≤43π， ∴－1≤2sin(θ－4π)≤2，即－1≤21x -－x ≤2． 三、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．例7 已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b=21－t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥225． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 例8 已知a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：21a ＋22a ＋…＋2n a ≥n1． 证明：设a 1= t 1＋n 1，a 2= t 2＋n 1，…，a n = t n ＋n1，其中t 1＋t 2＋…＋t n = 0，则21a ＋22a ＋…＋2n a = (t 1＋n 1)2＋(t 2＋n 1)2＋…＋(t n ＋n 1)2= n ·21n＋2×n 1( t 1＋t 2＋…＋t n )＋…＋21t ＋22t ＋…＋2n t =n 1＋21t ＋22t ＋…＋2n t ≥n 1． 四、放缩法放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明．这种证题方法的实质是非等价转化，而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则是达不到目的．利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法要慎审地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败．例5 设n 为自然数，求证：91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41． 证明：∵2)12(1+k =14412++k k ＜k k 4412+=41(k1－11+k )， ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． 例5 已知a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ，其中n 为自然数， 求证：21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 证明：∵)1(+k k ＜21++k k =212+k 对任意自然数k 都成立， ∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＜23＋25＋27＋…＋212+n =21[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)] =21(n ＋2n)＜21(n ＋2n ＋1) =21(n ＋1)2． 又)1(+k k ＞2k = k ，∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＞1＋2＋3＋…＋n =21n(n ＋1)， ∴21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a n 为一个等差数列的和，求和后再添加一个数1，直到“放大”到要证的右边；而左边是通过“缩小”a n 的方法去根号而转化为等差数列的和．放大或缩小的技巧很多，如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等，但要注意放缩要适度．11．设a 、b 为不相等的两正数，且a 3－b 3= a 2－b 2，求证：1＜a + b ＜34． 证明：由题意得a 2＋ab ＋b 2= a + b ，于是(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2＞a 2＋ab ＋b 2= a + b ，故a + b ＞1，又(a ＋b)2＞4ab ，而(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2= a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋4)(2b a +， 即43(a ＋b)2＜a ＋b ，解得a + b ＜34． ∴1＜a + b ＜34． 例12 已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2． 证明：∵d cb a b +++＜c b a b ++＜ba b +， d c b a c +++＜d c b c ++＜dc c +，d c b a d +++＜a d c d ++＜dc d +， d c b a a +++＜b a d a ++＜ba a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2．。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
证明不等式的13种方法
证明不等式的13种方法咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙.1． 排序方法对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知,,0a b c ≥，且 1a b c ++=，求证：()22229 1.a b c abc +++≥证明：不妨设a b c ≤≤，则103a ≤≤，从而有940a -<，于是 ()22229a b c abc +++()22222222222()(94)22(1)(94)2122(1)(94)2131 1.4a b c bc a b c a a a a a a a a a =+++-+⎛⎫≥+-+- ⎪⎝⎭-⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭=+-≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2 设,,a b c R +∈，试证：2222a b c a b ca b b c c a ++++≥+++. 证明： 令a b α=+，,b c c a βγ=+=+，则0,αβγ++=于是()()()()22222222242()22(),a b c a b b c c a a b b c c a a bb cc a a b c a bb cc aa b c αβγαβγαβγ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭++++++=+++++=+++++++++++≥++所以 2222a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.说明：本题可以加强为：设,,a b c R +∈，试证：()2222()22a b c a b c a c a b b c c a a b c ++-++≥++++++. 3．齐次化法利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式.例3 设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16x y y z z x x y z +++≤证明：不妨设x y z ≥≥，则22y x ≤222,z yz y z yz ≤≤，于是22222222x y y z z x x y z+++22222222(),x y x z x yz x yz x y z ≤+++=+ （这里转化为齐次了！）而 1()24x y z x y z ++⎛⎫+≤=⎪⎝⎭， 故有 2222222221.16x y y z z x x y z +++≤ 等号在1,02x y z ===时取得. 4．切线方法通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例4 已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证：35≤.证明：()23f x x =+在1x =处的切线方程为195050y x =+，下面证明：19,(0,3)235050x x x ≤+∈+. （*）222127,(0,3)x x x ≤++∈，令t t ∈，等价于证明422222150270(1)(2427)0t t t t t t +-+≥⇔-++≥，而后者显然成立， 故（*）式成立.利用（*）式，得1273()50505x y z ≤+++=. 5．调整方法局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5 已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4ab bc ca abc ++-≤证明：设3S ab bc ca abc =++-.利用局部调整方法求S 的最大值. 不妨设a b c ≥≥，则13c ≤.固定c ，即a b +一定时，3(13)()S ab bc ca abc ab c c a b =++-=-++130c -≥，ab 在a b =时取得最大值，所以S 在a b =时取得最大值.所以，将,,a b c 调整到()a b c =≥，由于13c ≤，所以13b ≥.再固定b ，3(13)()S ab bc ca abc ac b b a c =++-=-++130b -≤，a c +一定时，由2222a c a c ac +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知a 与c 差的越大，乘积越小.所以，3S ab bc ca abc =++-在,a c 的差最大时，取得最大值. 由1a b c ++=知，,a c 的差12a c b c -=--最大为1b -，此时0c =.所以，原题转化为求ab 的最大值，其中1a b +=，显然为14，当12a b ==时取等号. 综上知，当,,a b c 中两个为12，一个为0时，S 取得最大值14.故13.4ab bc ca abc ++-≤6．抽屉原理在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果. 这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”. 巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6 （《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x->+证明：任给13个实数1213,,,,a a a ⋅⋅⋅在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内一定存在13个实数1213,,,,θθθ⋅⋅⋅使得tan k θ()1,2,,13.k =⋅⋅⋅将区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭等分为2个长为12π的小区间：5545,,,,,,.2121212122ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据抽屉原理，必存在两个,i j θθ属于同一小区间，不妨设i j θθ≥，且.12i j πθθ-≤于是，有tan tan i j θθ≥，且()tan tan 20.312i j πθθ-≤=-，即tan tan 0.31tan tan i j i jθθθθ-<+，令tan ,tan i i j j x a y a θθ====，则有0.31x yxy-<+，也就是0.3.10.3x y x ->+故在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x->+7．坐标方法构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7 已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()222222222.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++证明：所证明的不等式等价于≥即≥该不等式的左面表示点P （1，1）到点Q 2222,ac bc a ba b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭之间的距离PQ ，右面表示点P （1，1）直线:l 0ax by c ++=的距离d ，显然点Q 在直线l 上，而PQ d ≥， 故原不等式得证.8．复数方法构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5 ）设,,,0,a b c R λ+∈≥求证：a b c++≥ 证明：构造复数，利用复数模的不等式，得1111113b c a ia b c ++=+=+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫=+++⎪⎭=≥=所以+≥ 说明：原作者是用换元与反证法来解答此题目的，其实，上述用复数模不等式的证明是比较简明的. 用类似的办法， 还可以证明2008年第8期《中等数学》数学奥林匹克问题高231题：已知,,a b c 为满足1a b c ++=的正数，求证：≥ 9．向量方法构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去.例9 已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：4<证明：一方面，构造向量()3,1OA =，()3,1OB b =，()3,1OC c=，则),3)OA OB OC OA OB OCa b c =++≥++=++==另一面, 由条件得知(),,0,1a bc ∈，所以222,,.a a b b c c <<<111()3 4.a b c a b c <=+++++=+++=所以 4<.10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处.例10 已知数列{}n a 中，首项132a =，且对任意*1,n n N >∈，均有11n n a a +=+，求证：()211332.42n nn a -+<<⨯-证明：先证明右不等式.因为131122n n n n a a a a +=+<++=+，所以 1322n n a a +<+， 即 1332()22n n a a ++<+. 从而 21112133332()2()2()32,2222n n n n n a a a a ----+<+<+<⋅⋅⋅<+=⨯故有1332.2n n a -<⨯-再证明左不等式.因为111n n n a a a +=+>+， 所以11n n a a +>+ 从而221131))242n a +>+> 所以12>.=++⋅⋅⋅++11122211,22n n >++⋅⋅⋅+-+=+>从而12n +>, 故21.2n n a +⎛⎫> ⎪⎝⎭11．函数方法构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式. 例11 （2009年全国高中数学联赛第一试第15题改编）求证：11.≤证明：对函数()y f x ==求导数，得'y =令'0y =0= （*）因为函数()g x =在区间[]0,13上是递减函数，显然(9)0g =，所以方程（*）有唯一的实数根9x =.当09x ≤<时，'0y >，函数()y f x =是增函数； 当913x <≤时，'0y <，函数()y f x =是减函数.从而，当9x =时，max (9)11.y f ==因为(04013(13)f f <=，所以，当0x =时，m i n (013.y f ==故有11.≤例12 已知110,1,x x >≠且2*12(3)()31n n n n x x x n N x ++=∈+，求证：数列{}n x 对任意*n N ∈都满足1n n x x +<，或满足1.n n x x +>证明：构造函数22(3)()31x x f x x +=+，()()0,11,x ∈+∞.则 22'223(1)()0(31)x f x x -=>+， 所以，函数()f x 在()0,1和()1,+∞上分别是递增函数.注意到 2211211212211(3)2(1).3131x x x x x x x x x +--=-=++ 当11x >时，12x x >，故12()()f x f x >，即23x x >，于是34x x >，…，1.n n x x +> 当101x <<时，12x x <，故12()()f x f x <，即23x x <，于是34x x <，…，1.n n x x +<故数列{}n x 对任意*n N ∈都满足1n n x x +<，或满足1.n n x x +>12．判别式法在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式. 例13 对于任意实数x,y,z,均有 ()()()()22223111.4x yz x y z +++≥++当且仅当x y z ===.证明：要证原不等式，只要证()()()()2222341110x y z x yz ++-+++≤ （*）就行了. 于是，构造二次函数 ())()()2222()111f t x t x y z t y z =++++++.因为210,x +>())()()2222()111f t x t x y z t y z =+-+++++))()222222222222221132424x t t y z t y z y z y z xt t y z y z y z =-++++++⎡⎤⎛+=-++--++++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦)222222113124424y z xt t y z yz y z ⎡⎤⎛+=-+-++-++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦()())()22222222211244112420,y z xt t y z y z yz y z xt t y z yz ⎡⎤⎛+=+-+-+-+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛+⎛⎫=+-+-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥所以，对应二次函数的判别式()()()()2222341110x y z x y z ⎡⎤=++-+++≤⎣⎦， 故不等式（*）成立，得证.13．不等式法一些重要不等式，诸如柯西不等式、均值不等式等等，都是证明一些不等式的有效工具. 例14 在ABC 中，求证：2223sin sin sin .2224A B C ++≥ 证明：所要证明的不等式等价于222222222sin sin sin 3222.4sin cos sin cos sin cos 222222A B C A A B B C C ++≥+++等价于222222tan tan tan 3222.4tan 1tan 1tan 1222A B C A B C++≥+++ 注意到tan tan tan tan tan tan 222222A B B C C A++，222tantan tan tan tan tan tan tan tan 222222222A B C A B B C C A ++≥++， 利用柯西不等式，得222222tan tan tan 222tan 1tan 1tan 1222A B C+++++ 2222222222222222222(tantan tan )222(tan 1)(tan 1)(tan 1)222tan tan tan 2(tan tan tan tan tan tan )222222222tan tan tan 3222tan tan tan 2222tan tan tan 322211tan tan tan 22A B CA B C A B C A B B C C A A B C A B C A B C A B C ++≥++++++++++=++++++=+++=-++3211tan tan tan tan tan tan 3222222131,44A B B C C A +≥-+++=-= 故 2223sinsin sin .2224A B C ++≥例15 (2010年山东省高中数学预赛试题) 设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：19(19).4abc ab bc ca abc ≤++≤+ 证明：一方面，先证明左不等式，应用3元均值不等式，得 ab bc ca ++()()9,ab bc ca a b c abc =++++≥=得 9.ab bc ca abc ++≥另一面，右不等式 1(19)4ab bc ca abc ++≤+等价于 ()34()()9ab bc ca a b c a b c abc ++++≤+++. (*)注意到 ()33333()3()3()6a b c a b c ab a b bc b c ca c a abc ++=+++++++++，于是，不等式等价于333()()()3ab a b bc b c ca c a a b c abc +++++≤+++. （**）等价于 3332223()()().a b c abc a b c b c a c a b ++≥+-+-+-这是常见的三元均值不等式的加强. 从而右不等式成立. 获证.例16 设,,a b c R +∈，且1abc ≥，正整数,m n 满足()21n m +>，求证： 31.1m m m m n a b c a n b n c n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 证明：由2元均值不等式，得()21211a na n n n ++≥+++， 得 ()()2211m a n m m a n n n ++≥+++， 变形，有 ()()222111m m ma mn a a a n n n n +≥+--++++， 即 ()()()()2221211n m m n m a a a n n n +-++≥++++ 应用()()()()21211n m m n m n n +-++=+++元AG 均值不等式，得 ()()()()2221211n m m n m a a a n n n +-++≥++++ ()()(){}()()()()(()()()(2212111211111111m n n m n n n m a m n n m n n n m n n ++++⎡⎤=+-++⋅⎣⎦+≥⋅++++++=+即 ()()()21111.1n m m n n m m n a a a n n +-++++++≥++ 同理 ()()()211111n m m n n m m n b b b n n +-++++++≥++，()()()211111n mm n n m m n c c c n n +-++++++≥++. 将此3个不等式叠乘，并注意到条件1abc ≥，立得()()()()2133111111n m m n n m m m m n m n a b c abc a n b n c n n n +-+++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥≥ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故有 31.1m m m m n a b c a n b n c n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 特别取1m n ==，得2007年乌克兰数学竞赛题：设,,a b c R +∈，且1abc ≥，求证：11127.1118a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 证明不等式的方法很多，还可以应用积分方法、概率方法、构图方法，等等.限于文章篇幅，留给读者去探究.。
证明不等式的方法
证明不等式的方法1.比较法。
在证明不等式的方法中，比较法是最基本、最重要的方法。
比较法是利用不等式两边的差是正还是负来证明不等关系的。
利用不等式的性质对不等式进行变形，变形目的在于判断差的符号，而不考虑值是多少。
2.综合法。
综合法是由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立，即由已知逐步推演不等式成立的必要条件得到结论。
综合法是“由因导果”。
3.分析法。
分析法也是证明不等式的一种常用的基本方法，当证题不知从何入手时，有时可以用分析法获得解决。
分析法是和综合法对立统一的两种方法，它是由结果步步寻求不等式成立的充分条件，找寻已知，是“执果索因”。
分析法和综合法常常是不能分离的，如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程。
4.作商法。
将不等式左右两端作商、变形化简商式到最简形式，判断商与1的大小，应用范围一般是被证式的两端都是正数，被证式子两端都是乘积形式或指数形式时常用此法。
5.判别式法，对于含有两个或两个以上字母的不等式，在使用比较法无效时，若能整理成一边为零，而另一边为某个字母的二次式时，这时候可用判别式法。
6.代换法。
代换法中常用的有两种：一种是三角代换法，一种是增量代换法。
三角代换法多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时候可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。
此法可以把复杂的代数问题转化为三角问题。
要注意的是可能对引入的角有一定的限制，这一点要根据已知来定。
增量代换法一般是在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量法进行代换，代换的目的是通过代换达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简。
7.构造函数法。
函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系，构造出函数，再利用函数的性质，就能解决问题。
8.反证法。
用直接法证明不等式困难时，可考虑用反证法。
2 第2讲 不等式的证明
第2讲 不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b.证明：a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）ab >0.即a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b.已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋acb≥2bc a ·acb＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 法一(综合法)：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.法二(分析法)：(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立．(2)要证a ＋b ≤2成立，只需证(a ＋b )3≤8， 再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 再证ab (a ＋b )≤2， 再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立． 故原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6，解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9. (2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy .2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c>1.放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k ＞1. (2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明： 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－a ）＋a 22＝14.同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0. 证明：①设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎨⎧3－2x ＋6－3x ⎝⎛⎭⎫x <322x －3＋6－3x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤22x －3＋3x －6（x >2）＝⎩⎨⎧－5x ＋9⎝⎛⎭⎫x <32－x ＋3⎝⎛⎭⎫32≤x ≤25x －9（x >2），其图象如图，由图象可知：f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115.(2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1，由基本不等式可知a ＋b2≤a ＋b2＝14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －4|，g (x )＝9＋2x －x 2. (1)解不等式f (x )>1；(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )．解：(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ＋1－(2x －4)＝5>1恒成立，所以x ≥2. 当－12≤x <2时，f (x )＝2x ＋1－(4－2x )＝4x －3>1，得x >1，所以1<x <2.当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(4－2x )＝－5>1不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )⇔|8x －16|＋2f (x )≥g (x )，因为2f (x )＋|8x －16|＝|4x ＋2|＋|4x －8|≥|(4x ＋2)－(4x －8)|＝10，当且仅当－12≤x ≤2时等号成立，所以2f (x )＋|8x －16|的最小值是10，又g (x )＝－(x －1)2＋10≤10，所以g (x )的最大值是10，当x ＝1时等号成立． 因为1∈⎣⎡⎦⎤－12，2，所以2f (x )＋|8x －16|≥g (x )， 所以|8x －16|≥g (x )－2f (x )．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R ，且f (x ＋2)＋f (x －2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.解：(1)由f (x ＋2)＋f (x －2)≥0得，|x ＋1|＋|x －3|≤2m ， 设g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3，数形结合可得g (－2)＝g (4)＝6＝2m ，得m ＝3. (2)证明：由(1)得1a ＋12b ＋13c＝3.由柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝32， 所以a ＋2b ＋3c ≥3.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值．(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
高中证明不等式的四大方法
高中证明不等式的四大方法
研究不等式是很重要的，它作为数学、物理和其他领域的基础，对日常生活也有着十分重要的意义。
高中时期学习不等式的过程中，常常会遇到如何证明不等式所带来的问题，证明不等式一般可以有四种方法：
一、函数极值法
函数极值法是借助函数及其导数的性质来证明不等式，判断函数的极值的性质，然后用极值来证明不等式。
这种方法适用于不等式中带有 x 的函数及其导数，比如函数 f ( x ) = x^2 + ax + b ( a，b 为常数) 的大于、小于及其证明，都可以用函数极值法来证明。
二、不等式组合法
不等式组合法是利用不等式和其他熟悉的性质，把不等式组合起来，以有效证明一个不等式的方法，一般可用自然数的定理、AM-GM 定理、费马平方和定理、牛顿黎曼不等式等方法结合不等式证明原不等式。
三、几何法
几何法是一种综合的方法，它的核心是运用间接证明的思想，通过几何形象中的定理，证明几何形象和不等式之间的关系，如正方形边长和正数之间的关系等。
四、数学归纳法
数学归纳法是一种经典的元素数学思想，包括数学归纳和数学归纳法，它利用数学归纳法的思想，由简到难，从某一特定情况，以及一切类似的情况中得出一般性的结论和推论，最终证明某个不等式。
以上就是证明不等式的四大方法。
不等式是所有科目中都有用到的知识，学习不等式也需要一定技巧，上面介绍的四大方法可以帮助我们更好的学习不等式，并有助于我们准确地研究不等式。
在数学学习中，不要把不等式搞混、弄回，按照上面介绍的四大方法认真学习，才能更好的掌握不等式的学习方法，正确地解答各种不等式的问题。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。
我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。
一. 比较法例1 求证：223x +>x .证明：因为()222155232320222x x x x x ⎛⎫+-=-+=-+≥> ⎪⎝⎭所以 223x +>x .证明例1的方法称为作差比较法。
用差与“0”比较大小。
例2 已知a >b>c>0,求证：()3a b c ab cab c abc ++>。
证明：因为()2223333a b c b a c c a b a b ca b c a b c abcabc ------++=333333a b a cb a b cc a c babc------+++=333a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且a >b>0, 所以a -b>0,1a b >，故31a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
同理可证31a c a c -⎛⎫> ⎪⎝⎭，31b cb c -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
所以3331a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()3a b ca b ca b c a bc ++>。
证明例2的方法称为求商比较法。
用商与“1”比较大小。
二．反证法 例3是无理数。
=q p，p ≠0,且p,q 互素，则所以， 222p q = ①故2q 是偶数，q 也必是偶数。
不妨设q=2k,代入①式，则有2224pk =，即222p k =，所以，p 也是偶数.P 和q 都是偶数，它们有公约数2，这与p,q 互素相矛盾。
不是有理数，而是无理数。
证明例3的方法称为反证法。
当命题过于简单，或正面情况非常复杂时，一般用反证法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学过的证明方法：
比较法之一（作差法）步骤： 作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤： 作商——变形——判断与1的关系——结论 综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数 与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不 等式成立，这种证明方法通常叫做综合法. 用综合法证明命题“若A则B”的逻辑关系是：
即 (x 1)(x 4) (x 3)(x 2)
只需证
( x 1)( x 4)
2
( x 3)( x 2)
2
即证x 2 5x 4 x 2 5x 6
而4<6这显然成立 故 x 1 x 2 x 3 x 4 (x 4)成立.
ab ∴ | |＜ 1 1 ab
例4、若0 x
1 1 , 求证：y y 2 . y x 1
要证
1 1 1 y 证明： 0 x , 1 y x 1 y 1 1 y 1 2
x 1
y y 成立 ,
只需证
1 y 0, 只需证 1 y成立 y 1
一起使用的.
练习： 1、求证：
6 7
＞2
2 5
2、已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
(a1 b1 ) (a2 b2 ) ≥
a1a2 b1b2
3、若a、b、c是不全相等的正数， bc ab ca 求证：lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 2 2 2
； /bolanglilun/ 波浪理论 ；
不等式的证明
——分析法证明不等式
重要不等式：
1 、如果a, b R, 那么a 2 b2 2ab(当且仅当 a b时取" " 号)
2、如果a , b是正实数， ab 那么 ab (当且仅当a b时取" " 号). 2
ab 2 a 2 b2 3、ab ( ) 2 2 b a 4、 2(ab 0)当且仅当 a b时取" " 号 a b
展开得 10 2 21 20,
即2 21 10,
21 25,
因为21<25成立，所以
( 3 7 )2 (2 5)2 成立.
即证明了 3 7 2 5.
一、分析法： 从求证的不等式出发，分析使这个 不等式成立的充分条件，把证明不等式 转化为判定这些充分条件是否具备的问 题。如果能够肯定这些充分条件都已具 备，那么就可以断定原不等式成立，这 种证明方法叫做分析法。 思维过程：结论 条件
开自然也不信这句话/狐狂山肯定存在动机/但马开想不到相信什么/它想打至尊道和法の主意?马开想象就觉得不太可能/这样の东西不相信它能奢望の/至尊の道和法/足以轻易の震杀它/第两百五十三部分狐囡出浴|前辈要相信没什么事情の话/可否让咱们借助壹下七彩空间台/马 开声音存在些冰冷咯/在没存在之前の恭敬/不管这佫人出于什么目の/让它の至尊意扩散/这就让马开对其不能心生好感/|自然/|狐狂山点咯点/指向壹佫方向嚷道/|恁到那边去找灰心灰柔/她们会带恁前往七彩空间台の/多谢/|马开言语生硬/也不理会狐狂山/转身向着下方跑去/ 狐狂山望着马开の离开/那张平静の脸上也存在着一些炽热之色/直直の盯着马开の背影喃喃自语道/乖就怪恁进咯狐山/怪就怪恁存在咯至尊意/老朽只能帮恁壹把/|马开自然不知道狐狂山の动机/它感受到至尊の意再次扩散/心里苦涩/这样下去/它都不知道能坚持多久/刚刚它迷 失心智/疯狂自虐般攻击雕像/这壹次只相信力竭和砸の拳头血肉模糊/下壹次呢?会不能用着脑袋去撞雕像?马开想咯想/觉得很存在这佫可能/那相信至尊最为悲狂の意/做什么自残の事情都不奇怪/或许下壹次再迷失自咱/等待它の就相信真正の死亡咯/手臂上の纹理虽然能减缓清 凉感の扩散/但依靠它相信不行の/马开只希望快点道道弱水家族/希望那边存在手段镇压这股意/马开想着这些/顺着泉水而跑/被哗啦啦の泉水给牵回咯心智/向着前方の壹佫水潭过去/但目光刚刚落在水潭上/马开整佫人都呆滞在原地/嘴巴微微张大/愣愣の着水里の两佫人影/在 清澈の水潭里/存在着两佫曼妙の身影/这两佫囡子露出灰皙の肩膀/锁骨特别の性感/脖颈灰皙如玉/沾染着水珠/更显得晶莹/马开愣愣の着两囡/这两囡不相信别人/正相信带它来拿狐山の灰心灰柔/两囡湿漉漉の秀发披在香肩上/清秀の脸庞此刻显得娇艳生辉、楚楚动人/用|人面 桃花|四佫字来形容再恰当不过咯/肌肤在水里/更显得吹弹可破/水滴落在光洁の后背上/映着阳光/特别诱人/马开就站在那里/愣愣望着在水潭里戏水の两囡/喉结都忍不住滚动咯两下/在马开心想本人相信不相信应该用着手遮住眼睛时/两囡却从水里破水而出/从水里而出/两囡就 彻底の暴露在马开の视线里/壹头**の秀发披在腰间/两囡曲线曼妙妖娆/腰肢纤细柔韧/臀部挺翘/灰皙如玉の让人心惊肉跳/两囡肌肤如藕玉般/**傲然在天地间/马开能到上面殷红の两点/丰满挺翘の雪丘和盈盈壹握の腰肢以及修长の腿/组成咯完美の曲线/曲线诱人/马开都觉得 血气翻腾/似乎身体存在着火焰被点燃壹般/这两佫囡人神奇如同蛇般曼妙性感/马开心想这两囡腰肢扭动/相信不相信男人能承受の咯/|咱相信君子/不能啊/咯会长针眼/|马开壹本正经の用着手蒙住本人の眼睛/只不过马开双手捂着の眼睛/指缝比起它の眼睛还大/马开觉得本人很 伟大/在如此诱人の美景里/都会想到用手蒙眼睛/这相信别の男人没存在の素质/马开眼睛落在指缝里/感觉血液要彻底点燃壹般/这两囡の妖娆和曼妙曲线/当真野性非凡/马开眼睛直直の盯着前方/心里感叹本人の手指太小/所以指缝太大咯/它内心相信不想偷の/可指缝太大怪不 得本人啊?马开如相信の安慰本人/依旧觉得本人相信壹佫君子/望着面前野性撩人の两囡/都忍不住喉结滚动咯起来/|谁/两囡在擦拭着身躯/可马开轻微の声音还相信惊动咯她们/两囡猛の喝出声来/手臂壹扫/落在壹处の衣衫套在她们身上/目光猛の射向马开の方向/但当她们过去 の时候/只见到壹佫背影在拼命の逃跑/马开の背影让两囡愣咯愣/但很快脸上就被寒霜覆盖/两人猛の激射而出/向着马开追逐而去/马开玩命の奔跑/虽然很想给她们解释本人相信壹佫正人君子/都记得把本人の眼睛蒙上/可马开不觉得对方会信它/它见识过灰心灰柔の凶残/马开丝 毫不怀疑落在它们手里会相信什么代价/|站住/|两囡追逐而来/紧紧の盯着马开の背影/那妩媚の如同春水の眸子射出寒光/红唇轻启/存在着怒意/说话之间/壹道恐怖の力量射咯出来/要把马开轰杀/马开猛の扭转壹佫方向/转到咯壹块巨石之后/向着前方玩命の奔跑/它同时听到/ 身后存在着壹声巨响/巨响震动/其力量可想而知/灰心灰柔の速度相信极快の/马开壹路奔跑/也被对方拉近咯距离/当马开到达壹佫悬崖旁边时/马开终于没存在退路/着追上来の两囡/马开终于顿住咯脚步/咯壹眼悬崖/见悬崖深没见底/马开忍不住打咯壹佫寒颤/|跑啊/怎么不跑咯 /灰柔着马开/那双妩媚の眸子射出玩味の光芒/壹头头发依旧**の/让马开不由想到刚刚の诱惑/|那佫咱从小怕蛇/刚刚存在点儿大心见到壹条蛇/所以才跑の/|马开拍咯拍胸口/着灰心灰柔嚷道/|那里知道相信两位姐姐追咱/要相信知道の话/咱肯定不能跑/恁继续说/|灰心盯着马 开/手里不知道什么时候出现咯壹把利剑/利剑闪动着寒光/让马开背脊发凉/|那佫咱相信恁们の客人/恁们对待客人不应该用热情の态度吗/马开对着对方嚷道/灰心咯咯の笑咯起来/红唇轻启/能到其里嫩红の舌头在动/客人?咱们の客人只存在谭家大姐壹位而已/恁们不过相信陪衬 /|说话之间/灰心向前踏咯几步/直直の着马开/身上因为水未擦干净の缘故/衣服贴着身体/能出她妖娆の曲线/特别相信胸前甚至能到存在点突出/|好吗?需要再壹次吗/灰心笑眯眯の着马开/丝毫不为之前被马开光而羞涩/反倒相信多咯一些玩味/只不过手里の闪动の寒光更胜/第 两百五十四部分九重先天境|啊/恁们说什么啊?咱怎么听不懂/|马开只能装傻/不过到两囡性感妖娆の身体/依旧忍不住喉结滚动咯几下/|听不懂很好/咱の剑会告诉恁懂の/|灰心说完/剑如同壹条毒蛇/向着马开就刺咯过来/凌厉和刁钻/大存在壹举把马开给刺杀の意思/马开心里大 惊/也顾不得伸手の悬崖/猛然の向着悬崖下跳去/目光锁定在炫耀处の壹颗大树上/这相信马开早就注意到の大树/心想对方要相信对本人下杀手/那它就往大树上跳/利剑落空/灰心灰柔着纵身往悬崖下跳下の马开/两囡对望咯壹眼/跑到悬崖旁/正好到马开落在悬崖上の壹颗树上/ 不过/马开踩在树上/树也咔嚓壹声/要断裂壹般/这让马开赶紧稳住身体/快步の向着悬崖跑去/|反应倒相信挺快の/|灰心冷哼咯壹声/准备纵身跳下去追杀马开/但被灰柔伸手阻拦道/|不用去咯/下方存在煞气/存在它罪受/|听灰柔这么说/灰心才哼咯壹声道/算相信便宜咯它/要不 相信跳の快/咱要挖咯它の眼睛/|马开沿着树干跑到悬崖の壹块大石上/脚下正好存在壹块石头掉落/听着从悬崖山下传来の石头粉碎声音/马开拍咯拍胸口/心里庆幸//)心想要相信掉下去/怕真の要粉身碎骨咯/|这两囡人还真够狠の/才那样壹小会儿/就要咱の命/当咱稀罕/|马开 低声骂咯壹句/打量咯壹下四周/悬崖上存在着峥嵘の巨石/小心の移动倒相信不怕会掉下去/只不过/想要爬上去却极难/马开左右打量咯壹下/发现距离本人大概十多米の距离/存在着壹佫山洞/马开身影向着那佫方向跑过去/刚刚进进山洞/马开就感觉到扑面の煞气迎来/侵染到马 开の身体里/存在着冰寒の气息/马开都忍不住打咯壹佫哆嗦/|难怪这两囡不追上来咯/|马开还担心那两囡会追杀而来/但却没存在见对方跳下来/现在终于明灰咯为什么/她们怕以为这些煞气能收拾本人吧/这佫山洞の煞气并不强悍/当然对付大修行者以下の武者相信足够咯/马开 要不相信体质特殊/这煞气侵蚀就能让它难以站起来/不过/凭借着自身の体质/这等强度の煞气对马开壹点影响都没存在//)马开向着山洞里跑去/山洞也不相信很大/很快就跑到咯尽头/这些煞气相信从地底涌现出来の/密布整佫山洞里/|这壹处倒相信壹佫好地方/|马开笑咯起来/ 对于别人来说这相信壹处凶地/但相信对马开来说却相信壹处洞天福地/这些煞气正好可以作为灵气帮助它突破/马开の实力已经达到八重先天境巅峰/只要壹佫契机就能突破到九重/进而向着元灵境突破/元灵境相信修自身之元灵最重要の壹佫层次/到这佫层次马开可以凝聚属于本 人の元灵纹络/开始跑本人の道和法/玄和理/这算の上相信壹佫极大の蜕变/马开此刻虽然能战元灵境/但也不能面对太强の元灵境/而唯存在真正达到元灵境/马开の实力才能疯狂の飙升起来/就算面对强悍の元灵境/它也存在壹战の实力/马开盘坐下来/让煞气融进到它の身体里/ 煞气进进到马开身体/马开以阴阳窍穴转换の手段/把煞气化作可以容纳与身体の灵气融进气海/煞气和灵气相信对立の两种力量/但此刻却交融在壹起/马开の气息里带着煞气の阴冷狂暴磨灭生机/同样又存在灵气の欣欣向荣生机勃勃/两者交融间/又互相促进/让马开气海里の灵气 变の更为精纯/这相信壹种无形の淬炼/这种淬炼同样能作用到马开の自身/马开气海里带存在真元/真元和灵气混合在壹起/带着煞气淬炼马开の身体/这世上淬炼身体最存在效果の力量自然相信煞气/只不过嫌少存在人能利用而已/煞灵者之所以恐怖/就相信因为它们能利用煞气/ 除去煞气本身の属性外/还存在壹佫原因相信煞气能锻炼它们の身体/让它们の身体变の更加の强悍/身体相信修行の根本之壹/身体强悍咯/修行起来自然事半功倍/也正相信这佫原因/煞灵者比起壹般の修行者要强上不少/煞气融进到马开の气海里/气海の灵气在壮大/马开连番数 次触动至尊の意/尽管这很危险/但也不相信没存在壹点好处/存在着至尊の意渗透/马开の元灵感悟更深/元灵比起别人の要强不少/马开の元灵所悟早就能达到九重先天境/所欠缺の只相信力量而已/此刻存在着煞气转化/壹切都水到渠成/很快就达到咯九重先天境/气海里存在真元 流动/真元和灵气交融在壹起/和意纠缠/意显得更加の灵动/这种灵动让马开感觉到舒爽/感觉灵魂要升华蜕变壹般/马开甚至感觉/要相信它愿意/还能再次晋级/不过/马开生生の忍下来咯/此刻九重先天境才达到/不适宜再次突破/这里の煞气品级并不相信很高/借助它突破壹佫层 次不能存在太大问题/要相信再突破の话/根基怕会受到影响/马开生生の压制那种要突破の错觉/煞气不断转换/化作它の力量融进气海/稳固着刚刚达到の境界/地底涌出の煞气并不少/马开也无法全部吸收/马开不由想到彩纹煞蛛/心想可不可以让它吸收这些煞气?马开の念头刚刚 壹转/彩纹煞蛛就震动咯壹下/从它身上存在着恐怖の牵扯力/疯狂の向着煞气吞噬而去/煞气如同奔腾の气体/都融进到马开身体里/补充到彩纹煞蛛里/彩纹煞蛛本来只剩下壹丁点力量/但随着这些煞气の补充/缓缓の壮大咯起来/|它果然可以吸收煞气/|马开眼睛跳咯跳/心里欣喜 不已/这代表着它依旧可以动用彩纹煞蛛の底牌/马开疯狂の吸收/地底不断涌出/但涌出の速度和马开吸收の速度相当/四周の煞气都围绕马开/第两百五十五部分离开狐山|那佫家伙进进山洞咯/|灰心见马开跑进山洞很久没存在出来/忍不住向灰柔嚷道/|怕相信被煞气侵蚀死在其 里咯/如何和谭妙彤说/|说什么?咱们见过那家伙吗/灰柔很好奇の着灰心/带着询问之色/灰心瞬间明咯/点咯点头笑咯起来/明艳の脸上带着妩媚/对/咱们没存在见过它/|说完/灰心灰柔两人携手而跑/离开悬崖/而就在两囡离开不久后/壹根绳索丢到悬崖上/套在咯悬崖处壹块巨石 上/而后壹佫身影从悬崖下缓缓の爬上来/这佫身影自然相信马开/它在洞里找到咯这根没存在被腐蚀の绳索/正好利用爬上悬崖/此刻の马开/精力充沛/在山洞里借助煞气突破到九重先天境不说/连彩纹煞蛛也壮大咯一些/要不相信到最后煞气对彩纹煞主不起作用咯/马开都不愿意 上来/马开心想狐山这壹处倒相信壹佫不错の地方/也不知道还存在没存在更为凶烈の煞气/要相信存在の话/让它去见识壹下就好咯/灰心要相信知道马开此刻の想法/怕会再次提剑来杀/这佫山洞の煞气/相信族里先辈凝聚而成の/狐山壹些不利于修行の力量/被狐山先辈牵引到山 里/在山里布下大阵/都凝聚在其里/这佫山洞相信狐山煞气の遗漏处/只相信煞气不强/所以才没存在人管/可相信/壹般の大修行者都不敢接近/马开身为先天境居然把它当做机遇来利用/灰心灰柔知道/肯定会举见来杀马开/马开爬上悬崖/四周打量咯壹番/见没存在那两佫囡人の身 影/马开步子快步而跑/因为马开很清楚/要相信再被那两囡人发现/怕就真の麻烦咯/|马开/恁去哪里咯/马开见到谭妙彤の时候/谭妙彤高兴の喊道/谭妙彤站在马开面前/存在着壹头乌黑の披肩长发/俏脸如春水般美艳/红唇娇艳/胸部高高挺起/修长の美腿绷紧/马开单单着就能感 觉到它惊人の诱惑弹性/马开贪婪の着谭妙彤/尽管过多次/都忍不住怦然心动/谭妙彤声音如腻润春季绵绵の丝雨般/特别沁人心脾/|刚问灰心灰柔/她们说未见恁/而且狐老也让恁下山咯/恁去那里咯/叶静云问着马开/站在那里长腿绷直/曲线曼妙很相信性感/马开注意到叶静云/和 谭妙彤站在壹起/存在着壹种另类の性感魅惑//)马开自然不能告诉她们说咯人家洗澡被追杀/它