书2.5.2 第2课时 切线的性质
人教版九下数学第二十四章 第2节 第2课时 切线的判定与性质
人教版九下数学第二十四章第2节第2课时切线的判定与性质课标要求：了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念、性质和判定，探索切线与过切点的半径的关系教材分析：切线的性质和判定它是学了直线和圆三种位置关系之后提出的，切线的性质和判定定理是研究三角形的内切圆，切线长定理的基础。
学好它今后数学和物理学科的学习会有很大的帮助。
学情分析：学生在七、八年级基础上有了一定的分析、归纳和简单的逻辑推理能力，以及通过添加辅助线解决几何问题的能力，本节课通过学生动脑动手进一步提升学生的识图能力和总结经验方法的能力。
学之难，教之困，思维误区与障碍：学生普遍的问题是看到题没思路，不会用已学知识，方法解决问题，没有捕捉典型图的能力，识图能力弱，分析能力弱，缺少给什么想什么，缺什么找什么的意识，导致没思路，而且思路不清，逻辑关系混乱，推理过程繁琐。
教学目标：1.通过练习回顾知识，形成相应的知识结构，从而整体复习圆的切线的判定定理与性质定理。
2.通过题组练习，让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力。
3.通过运用圆的切线的判定定理和性质定理解决数学问题的过程中，拓宽了解题思路，提高了解题技巧，从而使学生能够灵活应用所学知识解决问题。
教学重点：让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并归纳总结运用切线的性质和判定解决问题的方法。
教学难点：掌握切线性质和判定解决问题的方法，并能灵活运用。
教学环节一、知识回顾在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__．设计意图通过具体图形形象直观的感受切线的特征。
通过几个图形的识别复习了切线的三种判定方法。
以及判定和性质的符号语言。
二、新课导入问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图，你有什么样的方法判断直线与圆相切呢？生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：d=r板书：今天我们重点研究切线，如何判断一条直线是否是某个圆的切线呢？定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.数量关系法（d=r）：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D为圆心，DB 长为半径作⊙D ．求证：AC 是⊙O 的切线．证明：如图，过 D 作 DE ⊥AC 于 E.∵∠ABC = 90°∴ DB ⊥AB.∵ AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，∴ DE = DB = r实例引入法切线的性质与判定的内容看似与生活关系不大，实际上，生活中有不少的圆的切线的例子.本节课的教学中可以从生活中的实例引入，提出问题，激发学生的求知欲.如图所示，下雨天，快速转动雨伞时雨滴飞出的方向和用砂轮打磨工件火星飞出的方向都是沿圆的切线方向飞出的.那么，怎么判定是不是圆的切线呢？图1通过实例引出问题，让学生带着问题去听课，加强学习的针对性，增强学生的听课效果，并让学生明确本节课的知识目标.二：提出问题，问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图1，你能过圆上的点A 画出⊙O 的什么线？ 师生活动：学生思考，并动手画一画，然后教师借助几何画板演示，过点A 的无数条直线中，有圆的割线、切线，割线可以画出无数条，而圆的切线只有一条. O A l设计意图：通过问题，引导学生回顾上节课学过的直线与圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫.由旧知得出新知，探索切线的判定定理问题2：在生活中，有许多直线和圆相切的实例，你能举出几个吗？设计意图：通过展示实际生活中的图片，让学生感受切线与现实有着密切的联系. 问题3：在图1中，除了上面提到的当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线.我们还可以根据什么判断一条直线是圆的切线？你能过点A画出⊙O的切线吗？师生活动：让学生回顾上节课所学内容，什么是圆的切线？学生思考得出，要想准确画出圆的切线，就得出现d=r，因此得需要做出半径r和d.连接OA，过点A 作直线l⊥OA，则此时直线l是⊙O的切线（如图2）.问题4：你能从图形的角度概括上面得出的结论吗？师生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“垂直于半径”、“经过半径的外端”.为了便于应用，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，同时引导学生得出切线判定定理的符号语言.设计意图：通过问题，引导学生借助旧知得到新知，也就是利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理；学生通过自己思考，动手画图可以更深刻的感受切线的判定定理.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA⊥l于A∴ l 是⊙O 的切线.4.运用定理，解决问题.例2. 如图，△ABC 中，AB = AC ，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P ，PE ⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.证明：连接 OP ，如图.∵ AB = AC ，∴∠B =∠C.∵ OB = OP ，∴∠B =∠OPB.∴∠OPB =∠C.∴ OP ∥AC.∵ PE ⊥AC ，∴ PE ⊥OP.∴ PE 为 ⊙O 的切线.三.探索切线的性质定理.问题1：把得到的切线的判定定理中题设结论反过来，结论还成立吗？如图3，l 为⊙O 的切线，切点为A ，那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直？ 师生活动：学生通过观察思考，发现半径OA 垂直于直线l.师生讨论后发现直接证明垂直并不容易.此时引导学生可以考虑反证法：假设OA 与直线l 不垂直，过点O 作OM ⊥l ，根据垂线段最短的性质，有OM ＜OA ，这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ，于是直线l 就与圆相交，而这与直线l 是⊙O 的切线矛盾.因此OA 与直线l 垂直.从而得到切线的性质定理，同时引导学生得出切线性质定理的符号语言. 切线的性质 O A B E P O A 图3 l圆的切线垂直于经过切点的半径．∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴直线 l⊥OA例1：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证：直线AB是⊙O的切线师生活动：教师引导学生分析证明思路：1中由于直线AB经过⊙O上的点C,所以连接OC,只需证OC⊥AB即可。
《切线的性质和判定》PPT赏析(第2课时)
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( C )
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．两人都正确
D．两人都错误
知2－练
2 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一 圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相 切的是( C ) A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)
探究三、切线长定理的运用
命题角度： 1．利用切线长定理计算； 2．利用切线长定理证明．
例3．[2012•绵阳] 如图30－3，PA、PB分 别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交 于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
考点聚焦
归类探究
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
┃归类探究
解析
在△ABD 和△CBD 中，
∠ADB＝∠CDB， BD＝BD， ∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)．
∴AB＝CB.
∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B，
∴∠ABC＝90°，
知识点 1 切线的判定定理
知1－导
如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？
O
l A
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
知1－讲
例1 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上， BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线．
知1－讲
切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
切线的判定和性质2数学教案
切线的判定和性质2数学教案
标题：切线的判定和性质2数学教案
I. 引言（约300字）
- 定义切线的概念
- 解释为什么学习切线的判定和性质是重要的
II. 切线的判定（约450字）
- 介绍并解释切线的定义
- 描述如何通过两点确定一条直线的方法来判定切线
- 给出几个实例，并让同学们自己尝试解决
- 讨论并总结得出结论
III. 切线的性质（约450字）
- 介绍切线的一些基本性质，例如与圆的唯一交点、垂直于半径等
- 使用几何图形和例子来解释这些性质
- 让学生自己推导和证明这些性质
- 讨论并总结得出结论
IV. 切线的应用（约300字）
- 展示在实际生活中切线的应用，例如建筑设计、物理运动轨迹分析等
- 让学生思考并讨论其他可能的应用场景
V. 课堂练习与评估（约150字）
- 设计一些习题让学生进行练习，以检验他们对切线的判定和性质的理解程度 - 对学生的答案进行评估，并提供反馈
VI. 结语（约50字）
- 总结本节课的内容
- 鼓励学生在日常生活中寻找并应用切线的相关知识。
第2课时切线的判定和性质教学设计
第2课时切线的判定和性质本课时是在学习直线和圆的位置关系的基础上进一步深入研究直线和圆相切的情况，为后面研究切线长定理、三角形内切圆和正多边形与圆的关系打下基础．切线的判定定理和性质定理揭示了切线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直．两个命题互为逆命题．在学习的过程中要注意判定定理和性质定理的区分，并熟练掌握切线的两种证明方法以及勾股定理的应用．【情景导入】(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？(2)如图1，下雨天，快速转动雨伞时，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？(3)观察图2，过⊙O上一点A作直线l，则直线l与⊙O有哪几种位置关系？(4)观察图3，当所作直线l与OA垂直时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？图1 图2 图3 【说明与建议】说明：通过常见实际问题引入直线和圆相切，并通过作图来观察、探究切线．建议：在探究切线的判定方法时，注意引导学生理解“经过半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，可以采用提出“过半径的外端的直线是圆的切线”“与半径垂直的直线是圆的切线”这两个假命题让学生讨论、判断的方法来帮助学生理解．【复习导入】1．填写直线和圆的位置关系表：2.思考1：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？3．思考2：在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？【说明与建议】说明：通过对直线和圆的位置关系的回顾，加强新旧知识之间的联系，通过探究两个思考问题，得出切线的判定定理和性质定理．建议：思考1和思考2可以让学生通过画图体会定理的正确性．要证明切线性质定理需要用反证法．命题角度1 证明圆的切线1．(邵阳中考节选)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.求证：AC是⊙O的切线．证明：连接OA，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.∴∠OAB＝∠C.∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，即OA⊥AC.又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．2．如图，OA ＝OB ＝13 cm ，AB ＝24 cm ，⊙O 的直径为10 cm.求证：AB 是⊙O 的切线．证明：过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ， ∵OA ＝OB ＝13 cm ，AB ＝24 cm ， ∴AC ＝12AB ＝12 cm.在Rt △OAC 中，根据勾股定理，得 OC ＝OA 2－AC 2＝5 cm ， ∵⊙O 的直径为10 cm ， ∴⊙O 的半径为5 cm. ∴OC 是⊙O 的半径． ∴AB 是⊙O 的切线．命题角度2 利用切线的性质进行计算或证明3．(沈阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 为BC 边上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆与边AB 相交于点D ，连接DC ，当DC 为⊙O 的切线时．(1)求证：DC ＝AC.(2)若DC ＝DB ，⊙O 的半径为1，请直接写出DC证明：连接OD ， ∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OD.∴∠ODC ＝90°.∴∠BDO ＋∠ADC ＝90°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°. ∵OB ＝OD ， ∴∠B ＝∠BDO. ∴∠A ＝∠ADC.∴CD ＝AC.如何测量圆的半径如图，木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r ，用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相切于点C ，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边AB ＝8 cm.若读得BC 的长为a cm ，你能用含a 的代数式表示r 吗？探究新知1．探究切线的判定活动一：教师结合所画图形(如图)，引导学生分析．因为直线l⊥OA，所以圆心O到直线l的距离等于OA，而OA正好是⊙O的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l是⊙O的切线．教师引导学生对切线的判定定理进行概括，并发表意见．师生共同总结，教师板书：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．教师引导学生分组讨论定理的条件和结论，做好定理的分析，运用判定定理判定一条直线是圆的切线要把握两点：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．活动二：提问：生活中你看到过哪些直线和圆相切的现象？师生活动：学生思考并回答，教师做好补充．如下雨天，快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星等，都是沿着圆的切线方向飞出的．活动三：判断下列说法是否正确：(1)过半径外端的直线是圆的切线．(×)(2)与半径垂直的直线是圆的切线．(×)(3)过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线．(×)(4)经过直径的端点且与该直径垂直的直线是圆的切线．(√)师生活动：学生判断、操作后，教师用多媒体演示下列反例．教师提出问题：判断一条直线是圆的切线共有几种方法？师生活动：学生讨论、交流后，请学生代表总结方法，教师最后进行总结．方法一：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；方法三：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．探究切线的性质活动：课件展示教材第97页“思考”．将切线的判定定理反过来，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA 与直线l是不是一定垂直呢？师生活动：教师引导学生小组内进行分析，直接证明较为困难，可以运用反证法进行说明．师生共同总结：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.【典型例题】例1如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线．师生活动：学生独立思考，然后小组内交流，教师及时引导、点拨作出辅助线，并规范解题过程．分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC 所作的垂线段OE是⊙O的半径即可．教师总结：①当明确指出直线与圆的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”，简称为“连半径，证垂直”；②当未明确指出直线与圆的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段的长等于半径”，简称为“作垂直，证半径”．例2如图，BC与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，鼓励学生勇于探索实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．例3(哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA.若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为(B)A．25° B．20° C．30° D．35°师生活动：学生先独立解决问题，教师适当给出提示：借助圆周角定理以及切线的性质进行角度推导．【变式训练】1．(桂林中考)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB.若∠O＝130°，则∠BAC的度数是(B)A．60° B．65° C．70° D．75°2．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，那么经过4或8秒后，⊙P与直线CD相切．3．(锦州中考节选)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C 作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.求证：CE为⊙O的切线．证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠OBC＝180°.又∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠OBC＝∠OCB.∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE＋∠ECD＝90°.∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°.∴∠OCF＝90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【课堂检测】1.如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6 cm，AB＝4 cm，则⊙O的半径为(B)A．4 5 cm B．2 5 cm C．213 cm D.13 cm2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝ 40°．3．如图，AB为⊙O直径，AB＝AC，BC与⊙O交于D，且DE⊥AC.求证：DE是⊙O切线．证明：连接AD，DO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.第2课时切线的判定和性质1．切线的判定定理及性质定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．∵OC是半径，OC⊥AB，∴直线AB与⊙O相切．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．如图，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.2．证明切线常用的两种方法：①“作垂直，证半径”；②“连接圆心与交点，证垂直”.。
(11)切线长定理
几何语言：
过圆外一点可以 P 引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。
已知： ∵ P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙ O的切 线，A、B为切点，连接PO ∴ PA PB, APO BPO 求证：
作用：证线段相等、角相等
探究二： 思考：连接AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？
例1：如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的 切线PA、PB，点F是劣弧AB上一点，过F作⊙O 切线分别交PA、PB于D、E，连接PO， 若PO＝10cm，求△PED的周长。 A D
C△PED＝２PA
F O B E
P
思考：当切点F在弧AB上运动时，
问△PED的周长、∠DOE的度数是 否发生变化，请说明理由。
P71 “例5”
练习：
P72 “练习” T1
①求AD、BC的长。 ②连接OA，OB，求证：OA⊥OB ③延长DE交CB的延长线于G点，求EG的长
G
F
课堂检测
1、如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O 的切线，A，C为切点，∠BAC=30° 则∠P=_____. 若AB=2，则PA的长为_____.
2.5.3 切线长定理
旧知回顾：
切线的性质：
（1）切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
见切线 (知切点）， 连半径，得垂直。
O
A l （2）切线和圆只有一个公共点； （3）切线和圆心的距离等于圆的半径；d=r
探究： 如图，纸上有一⊙O ，过圆外一点P作⊙O 的一条切线PA ，沿着直线PO对折，设圆 上与点A重合的点为B。 A 问题： O 1.OB是⊙O的一条半径吗？
4、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于点L、M、N、P.若四边形ABCD的 周长为20,则AB+CD等于( C ) A.5 B.8 C.10 D.12
《切线的性质和判定》PPT课件
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线，∴PA=PB，CQ=CA，DQ=DB.∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA.
例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的共边都相切．已知：如图29-4-6，△ABC.求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切．分析：要求作的圆与△ABC的三边都相切，则这个圆的圆心到△ABC三边的距离都相等，所以圆心是三角形两个内角平分线的交点，圆的半径是交点到三角形一边的垂线段的长．作法：如图29-4-7.
试用文字语言叙述你所发现的结论
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
切线的性质ppt课件
成立。
切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个交点。 2、切线与圆心的距离等于半径。
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3
如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与
直线L是不是垂直呢？
分析：假设OA与L不垂直，过
点作OM⊥L，垂足为M。
O
根据垂线段最短的性质，有
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 L的距离小于半径OA，于是直
若不给出 图形,结果 是否一样?
No 40I°m1a40g° e
精选ppt课件
9
PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若 ∠APB=40°，求∠ACB的度数.
A
P 40° C
O C
B
∠ACB=70°，或 ∠ACB=110°
精选ppt课件
10
C
D E
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， A
∠DBC =∠A. 请问BC是⊙O的切线吗？为什么？
C D
E
B
O
A
变式、已知：AB是圆O的直径，C是AB
延长线上的一点，CD切圆O于点D，
DE⊥AB于点E。求证：精∠选pptC课件DB = ∠EDB
18
5、已知：AB是圆O的直径，AC切 圆O于点A，DE切圆O于点E，交AC 于点D。求证：AD=CD
圆的切线的性质
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1
知识回顾 证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
∴∠BCD=30°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,
即OC⊥CD.
又∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线.
图24-2-15
探 得 锦囊 究 证切线时辅助线的添加方法
与
应 ①有交点,连半径,证垂直; 用 ②无交点,作垂直,证半径.
探
活动2 理解并掌握切线的性质定理
究 [猜想证明]
是 相切 ,理由: 当圆心到直线的距离等于该圆的半径时,直线
就是圆的一条切线 .
图24-2-14
探 究
2.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线,能
与 画几条?
应
用 解:首先连接圆上这点和圆心得半径,再过圆上这点作半径的垂
线,这条垂线就是圆的切线.能画一条.
探 究
[概括新知]
与 切线的判定定理:经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半
数学 九年级上册 人教版
第 二
圆
十
四
第2课时 切线的判定和性质
章
-
第2课时 切线的判定和性质
探究与应用
课堂小结与检测
探
活动1 理解并掌握切线的判定定理
究 与
[问题情境]
应 1.如图24-2-14,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,
用
则圆心O到直线l的距离是 OA的长 ;直线l和☉O的位置关系
检 (C)
测
A.25°
B.35°
C.40°
D.50°
图24-2-19
课 2.如图24-2-20,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的
堂
小 圆与AB相切,则☉C的半径为 ( B )
切线的性质和判定
24.4 直线与圆的位置关系第2课时 切线的性质和判定［学习目标］1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；切线的性质定理及推论，能 正确区分判定和性质的题设和结论；2．会用圆的判定定理进行简单的证明. 3.掌握圆的判定和性质的综合应用. ［学法指导］本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理、性质及其应用；学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.［学习流程］一、导学自习（教材P34-37）⒈切线的定义：直线与圆有 公共点时，这条直线叫做圆的切线. 2.切线的判定方法：（1）和圆有 公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义） (2)到圆心的距离 半径的直线是圆的切线. 二、研习展评 活动1：（1）做一做：如图1，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作直线l OA ⊥,则圆心O 到直线l 的距离是多少？直线l 和⊙O 有什么位置关系？为什么？ (2)从作图中得到切线的判定定理：经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的 直线是不是圆的切线.定理的几何语言：如图2，________________,_________Q ∴直线l 是⊙O 的切线（3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！ 活动2: 如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.（分析：已知AB 经过圆上的点C ，要用上面的判定定理，应该连接 ， 证明 ） 证明：小结：当直线与圆有公共点，常连接 和公共点得半径，证明直线垂直于 .活动3: 已知：如图4，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ．求证：⊙P 与OB 相切．（分析：OB 与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？）OA（图1）lOA（图2）BAO（图3）小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的 ，证明圆心到直线的距离等于 . 活动4：（1）想一想：如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，那么直线l 与半径OA 是否一定垂直呢？ （可以用反证法证明，选学） (2)切线的判定定理：圆的切线_________经过切点的 .定理的几何语言：如图1，Q 直线l 是⊙O 的切线 ______________.∴ 由性质定理，容易得到下面的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的 条，就必然满足 条.活动5: 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC .若30P ∠=︒，求B ∠的度数.活动6: 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =,O 是底边BC的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切.小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点. ［课堂小结］1.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？2.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法： （1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”； (2) 当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.3.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）［当堂达标］1.下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.已知:如图5,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C ,点B 在圆上,且AB BC =,30A ∠=︒.求证:直线AB 是⊙O 的切线.［课后作业］已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE =∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．（图6）l O ACB OD O已知：如图7，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．［学后反思］（图7）。