2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词学案 苏教版选修1-1

1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容．(重点)2.能判定全称命题与存在性命题的真假．(难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：∃x∈M，p(x)．3．全称命题的否定4.1．判断正误：(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( )(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．( )【解析】(1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词．(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确．(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词．(4)√.命题p与其否定﹁p真假性相反．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________.【导学号：95902036】【解析】原命题为全称命题其否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”．【答案】∃x0∈R，|x0|＋x20<0[合作探究·攻重难](1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.[思路探究] 判断全称命题还是存在性命题→用符号“∀”或“∃”表示【自主解答】(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是存在性命题，用符号表示为“∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题．[规律方法]1．有些命题不是典型的全称命题或存在性命题，却表达了相应的意义，这时可适当引入量词，用量词表示命题，准确体会命题的含义．2．用符号“∀”“∃”表示含有量词的命题时，将存在量词改为“∃”，全称量词改为“∀”，注意必要时需引入字母来表达命题的含义．[跟踪训练]1．用符号“∀”与“∃”表示下列命题：(1)实数的绝对值大于等于0；(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；(3)任意的实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.【导学号：95902037】【解】(1)∀x∈R，|x|≥0.(2)∃(x，y)∈R，x2＋y2＜1.(3)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.判断下列命题的真假：(1)若a ＞0且a ≠1，则∃x 0∈R ，ax 0＞0； (2)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12；(3)∃x 0，y 0∈N ，使2x 0＋y 0＝3.[思路探究] 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断． 【自主解答】 (1)∵a >0，∴当x ＝1时，a x＝a >0，成立，∴(1)为真命题． (2)∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34>12，∴x 2－x ＋1>12恒成立，∴(2)是真命题．(3)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3满足题意，∴(3)是真命题． [规律方法] 全称命题与存在性命题真假判断的方法：对于全称命题“∀x ∈M ，p x：①要证明它是真命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明 p x 成立； ②要判断它是假命题，只要在集合M 中找到一个元素x 0，使 p x 0不成立即可通常举反例存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.[跟踪训练]2．判断下列命题中的真假： (1) ∀x ∈R,2x －1>0 ；(2)∀x ∈N *，(x －1)2>0；(3)∃x 0∈R ，lg x 0<1 ；(4)∃x 0∈R ，tan x 0＝2. 【解】 (1)命题“∀x ∈R,2x －1>0”是全称命题，易知2x －1>0恒成立，故是真命题；(2)命题“∀x ∈N *，(x －1)2>0”是全称命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题； (3)命题“∃x 0∈R ，lg x 0<1”是存在性命题，当x ＝1时，lg x ＝0，故是真命题； (4)命题“∃x 0∈R ，tan x 0＝2”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.【导学号：95902038】[思路探究] 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定． 【自主解答】 (1)﹁p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋ 14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，∴﹁p 是假命题．(2)﹁q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)﹁r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立， ∴﹁r 是真命题．(4)﹁s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． ∵x ＝－1时，x 3＋1＝0，∴﹁s 是假命题． [规律方法]1．写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．[跟踪训练]3．写出下列命题的否定： (1)p ：一切分数都是有理数； (2)q ：有些三角形是锐角三角形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝x 0＋2; (4)s ：∀x ∈R,2x ＋4≥0.【解】 (1)﹁p ：有些分数不是有理数； (2)﹁q ：所有的三角形都不是锐角三角形； (3)﹁r ：∀x ∈R ，x 2＋x ≠x ＋2； (4)﹁s ：∃x 0∈R,2x 0＋4＜0.[探究问题]1．(1)“∃x ∈R ，a ＝x 2”的含义是什么？ (2)“∃x ∈[1,2] ，a ＝x 2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a 的取值范围．【提示】 (1)“∃x ∈R ，a ＝x 2”的含义是方程x 2－a ＝0有实数根，所以其判别式Δ＝4a ≥0，解得a ≥0； (2)“∃x ∈[1,2]，a ＝x 2”的含义是方程x 2－a ＝0在[1,2]内有实数根，也就是函数y ＝x 2，x ∈[1,2]和函数y ＝a 的图象有交点，因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，所以a 的取值范围是1≤a ≤4.2．(1)“∀x ∈[1,2]，a ＜x 2”的含义是什么？(2)“∃x ∈[1,2]，a ＜x 2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a 的取值范围． 【提示】 (1)“∀x ∈[1,2]，a ＜x 2”的含义是对于所有的，一切在[1,2]内的x ，不等式a ＜x 2都恒成立，所以a 要小于x 2的最小值．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，所以a ＜1；(2)“∃x ∈[1,2]，a ＜x 2”的含义是在[1,2]内至少有一个x ，使不等式a ＜x 2成立，此时只要a 不大于x 2的最大值即可．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，所以a ≤4.(1)若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1，若命题：“∃x 0∈(0,1)使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是__________.【导学号：95902039】[思路探究] (1)由于此全称命题是真命题，所以可以推出a 的值，求出在x ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ≥a ，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．(2)由于f (x )是单调函数，在(0,1)上存在零点，再由4|a |＞0应有⎩⎪⎨⎪⎧f ＜1f＞0解不等式组求出a 范围．【自主解答】 (1)方法一：由对任意x ∈[－1，＋∞)，令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2可转化为对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 成立，即对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2， a ≥－1＋a 2＋2－a 2， a ＜－1由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]方法二：由x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a 所以全称命题转化为对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－－a ＞0，a ＜－1，f －，即－2≤a ≤1或－3≤a ＜－2，所以a ∈[－3,1]． (2)由：“∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题， 且由4|a |＞0得⎩⎪⎨⎪⎧f ＜0f＞0即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＜04|a |－2a ＋1＞0解得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 (1)[－3,1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[规律方法] 应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[跟踪训练]4．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是________.【导学号：95902040】【解析】当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0；当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.【答案】a<1[构建·体系][当堂达标·固双基]1．下列命题是全称命题的是________．(1)有一个向量a，a的方向不能确定；(2)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.【导学号：95902041】【解析】(1)中含有量词“有一个”，是存在性命题，(2)中含有量词“任何”，是全称命题．【答案】(2)2．下列全称命题：①实数都有倒数；②自然数都是正整数；③小数都是有理数；④无理数都是无限不循环小数．其中真命题的是________．【解析】由于0没有倒数，故①错误；由于0不是正整数，故②错误；由于无限不循环小数是无理数，故③错误，④正确．【答案】④3．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则﹁p是________．【解析】p为全称命题，﹁p应为存在性命题．【答案】∃x0∈R，cos x0＞14．若命题“∀x≥1，x2≥a”的否定为真命题，则实数a的取值范围为__________.【导学号：95902042】【解析】命题“∀x≥1，x2≥a”的否定为“∃x≥1，x2＜a”为真命题，所以a∈(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)5．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1>0；(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线．【解】(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<1)．(3)∃x0∈R,2x0＋1>0.(4)若l⊥α，则∀a⊂α，l⊥a.。