第9章 振动学基础1.0
《力学》第九章振动ppt课件
第九章 振动
则： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
因此，
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t
（1）
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
l g
0
因此，
d 2
dt 2
02
0，
02
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
第九章 振动 nˆ
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第九章 振动
3. 复摆（物理摆）
任何刚体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴垂
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动 是围绕平衡位置的周期运动。
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二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2 0
第九章 振动
对弹簧振子： T 2 2 k
0
m
2. 频率（ ）
单位时间内完成的全振动的次数：
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2之间。
同方向同频率简谐振动的合成，在光波、声波等的 干涉和衍射中很有用。
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第九章 振动
二、同方向不同频率简谐振动的合成
大学物理第九章振动
⼤学物理第九章振动第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述⽅法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在⼀定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，⼼脏的跳动，⽓缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是⼀种普遍⽽⼜特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在⼀定的空间范围内往返运动，故这种振动⼜被称为机械振动。
除机械振动外，⾃然界中还存在着各式各样的振动。
今⽇的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，⽆线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
⼴义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，⼀切复杂的振动都可以看作是由若⼲个简谐振动合成的结果。
在忽略阻⼒的情况下，弹簧振⼦的⼩幅度振动以及单摆的⼩⾓度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振⼦质量为m的物体系于⼀端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的⾃由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振⼦。
如将弹簧振⼦⽔平放置，如图9-1所⽰，当弹簧为原长时，物体所受的合⼒为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产⽣了指向平衡位置的弹性⼒，在弹性⼒的作⽤下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性⼒减⼩到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩⽽出现向右的指向平衡位置的弹性⼒，该弹性⼒将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减⼩直到为零。
之后物体⼜将在弹性⼒的作⽤下向右运动。
在忽略⼀切阻⼒的情况下，物体便会以平衡位置O为中⼼，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正⽅向。
文档震动学
位差为：
A
A2
(A) 0
(B)π/2
(C)π/3
(D)π/4
A1
答案： B 提示：其矢量图如图所示， A1 10 ， A 20 ，根据矢量的叠加， O
1
x
- 10 -
可知 A2 为第二振动的振幅。矢量 A 在 A1 的投影大小为 A cos / 3 20 1/ 2 10 A1 ，所以 A1 与 A2 垂直
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
答案：B
x/m
9-X 简谐振动曲线
2
4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：( D )
2
(A) x=2cos(3t/4+π/4)(m) (B) x=2cos( t/4+5 /4)(m) (C) x=2cos( t O
2
22
2
9-X 简谐振动的动能变换频率
9、当质点以频率 v 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) v 答案：B
(B) 2v
(C) 4v
(D) v / 2
提示：利用 sin2 x 1 cos 2x 半角公式即可求频率。 2
9-X 简谐振动的能量
10、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的
速度最大值和加速度最大值。
解：将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式 x A cos(t 0 ) 作比较后可得：
- 11 -
8 rad/s，振幅 A=0.1m，初相位0 2 / 3 ，于是周期 T 2 / 0.25 s
速度最大值 vmax A 8 0.1 m/s 0.8 m/s
1
t/s
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
第九章_振动学基础-52页PPT资料
周期 ( period )
T
振动物体完成一个完全振动 ( 来回一次 ) 所需 的时间，称为振动的周期。
Acoω st() A co ω (t sT )
A co ω t s ω T
Aω siω nt () A ω sω i( t n T )
从这一位置回到平衡位置所需的最短时间。
§9 -1 谐振动的特征和谐振动方程
二 谐振动的运动方程
F=－kx
d2x F = ma m d t 2
a
d2x dt2
F m
kx m
令 ω2 = k m
d 2 x ω2x
dt2
d2 dt
x
2
ω2x
0
动力学方程
§9 -1 谐振动的特征和谐振动方程
d2 dt
x
2
ω2x
0
方程的解为
3. v 为零时，a 最大；v 最大时，a 为零
§9 - 2 谐振动的振幅 周期 频率 相位
xA coω s t ()中各量的物理意义：
振幅 ( amplitude ) A 意义：因│cosα│≤ 1 ，故│x│≤ A ， 振幅 A 就是振动物体离开平衡位置最大位移的数值
振幅 A 的大小反映了振动的强弱
§9 -1 谐振动的特征和谐振动方程
一 简谐振动 ( simple harmonic vibration )
振动 ： 物体在某一位置附近的往返运动 称为 振动。
？ 什么样的振动是 简谐振动
物体受力
F = －k x
物体受到的力 与位移的一次方成 正比且反向，具有 这种特征的振动称 为简谐振动，简称 谐振动
第9章 振动学基础
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2.弹簧振子振动的微分方程 弹簧振子偏离平衡位置
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0,v0 的符号判定 cos 和 sin 的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
1.相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
O为平衡位置做简谐振动.
x Acos(t )
可见，旋转矢量的长度
A、角速度 和t=0时与x轴 的夹角 分别代表投影点简
M
A t x
OP
谐振动的三个特征量：振幅、
角频率和初相位.
振动的任相一位时.刻规旋定转矢A 量沿逆与时x轴针的方夹向角转动t ，则为相投位影点t 简谐
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2.超前和落后
若 2 1 0，则x2比x1较早达到正最大，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
3.同相和反相
当 =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，称
间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常
量，即系统的机械能守恒.
E
1 k A2 2
Ek
Ep
o t T T 3T T 42 4
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
大学物理振动学
物理学 第三版） （第三版）
ϕ ωt+ϕ ω
T
第九章
振动学基础
物理学 第三版） （第三版）
每一简谐振动都有一旋转矢量与之相对应。 每一简谐振动都有一旋转矢量与之相对应。 v ω vx
x = A cos(ω t + ϕ )
长度 角速度 旋转矢量在t=0 旋转矢量在 时与x轴的夹角 时与 轴的夹角
a
ωt
A
x = A cos(ω t + ϕ ) x
A
物理学 第三版） （第三版）
xmax
−A
o
t
T
表征了系统的能量，由初始条件决定 表征了系统的能量， 初始条件决定. 决定 由
x = A cos(ωt + ϕ ), v = − Aω sin(ωt + ϕ ) x 0 = A cos ϕ t = 0 时, v0 = − Aω sinϕ 2 2 v0 2 v0 A = x0 + 2 2 =A , 得 有 x0 + ω ω
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
),质点运动状态全同. 相差 2 n π n 为整数),质点运动状态全同. 周期性） ( 为整数),质点运动状态全同 (周期性） 初始时刻的运动状态 （3）初相位 ϕ (t = 0)描述质点初始时刻的运动状态(初 描述质点初始时刻的运动状态( 也可确定初相. 位置 x0 和初速度v0 ) 已知初始条件 x0 ,v0 也可确定初相.
A x
φ
o
vx x
v x = − Aω sin(ω t + ϕ )
ax = − Aω cos(ωt + ϕ )
大学物理 振动
令
这是谐振动方程, 故单摆的小幅振 动是谐振动, 振动的周期为
g 2 l
d 2 0 2 dt
T 2
l g
(5) 谐振动的固有频率与固有周期
频率 1 秒内完成全振动的次数, 单位: Hz
周期 T
二者的关系
完成一次全振动所经历的时间, 单位: s
1 T
振子经历一个周期后, 回复原来状态, 因而有
1、简谐振动的三个特征量
谐振动的余弦函数式
x A cos( t )
A — 振幅 物体离开平衡位置的最大位移，单位: m — 角频率 （或称圆频率）
在 2π 秒时间内完成全振动的次数, 单位: rad/s — 初相 反映初始时刻(t = 0时刻)振动系统的运动状态
以上三个量称为描述谐振动的三个特征量。其中: 由振动系统本身的性质决定。 振动的振幅 A 和初相 则由初始条件决定。 设 t 0 时, x x0 , v v0 , 则由
0, x1, x2 步调一致, 同相 , x1, x2 步调相反, 反相
2 - 1 0, 2 - 1 0,
x2 振动超前x1振动
x2 振动落后x1振动
的值一般限制在0 ~ π之间.
例1 质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为 2 s 。当
这正是谐振动的速度方程 圆周运动的加速度
an
t
P
x
an A
投影为
2
它在 x 轴上的
a -an cos(t ) 2 - A cos(t )
这正是谐振动的加速度方程
3、简谐振动的相位
《D振动知识要点》课件
p2
2
（3）
机械能
E
Ek
Ep
1 m 2 A2
2
1 kA2 2
线性回 复力是保守 力，作简谐 运动的系统 机械能守恒.
第九章 振 动
7
物理学
第五版
物理学
第五版
解方程
* d2 x 2 x
dt 2
简谐振动的微分方程
设初始条件为: t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x Acos(t )
简谐振动的运动 方程
积分常数，根据初始条件确定
若某物理量满足*，则其运动方程可用时间 t 的正、 余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
相位
t+ 0
位移
x =Acos(t+ 0)
速
v =- Asin(t+ 0)
加度速度 a =- 2Acos(t+ 0)
第九章 振 动
27
物理学
第五版
物理学
第五版
直观地表达谐振动的各特征量
旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
便于振动合成
由x、v
的符号确定
r A
所在的象限(位相的范围)
26
物理学
第五版
物理学
r
第旋五版转矢量 A 与谐振动的对应关系
旋转矢量
r A
模
角速度 r t=0时，A与ox夹角
旋转周期 r
tr时刻，A与ox夹角
A 在 ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影
r A 端点加速度在ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅
A
物理学第9章
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
d 2 0 2 dt
2
m cos( t )
可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动，
角谐振动；
mgl (2)角频率 J
J T 2π mgl 注意此处l的意义，是重心距离转轴的距离，不
是棒长．
第九章 振 动
29
A
o
A
t
振 动
12
物理学
第五版
旋转矢量
x A cos( t )
9-2
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
0.08
振 动
21
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 3 2 0.667 s t π2 3
v
0.08 0.04
x/m
o
第九章
0.04
2 1
第九章
振 动
17
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；
v
0.08 0.04
4第9、10章振动和波动重点与知识点详解
大学物理
二、平面简谐波的波函数
P x O点的振动方程：
第十章 波 动
*重点与知识点*
A
y
x
O A
y o A c o s( t )
x y ( x, t ) A cos (t ) u
“－”：沿 x 轴正方向传播；“＋”：沿 x 轴负方向传播； ：波源（或坐标原点处质点）振动的初相。
第九章 振 动
理学院物理系 王 强
大学物理
简谐运动 运动学和动力学特征
第九章 振 动
重点与知识点
（二）、简谐运动的运动学特征
x A cos( t 0 )
1、描述简谐运动的物理量 3）相位 ( t +0 ) 和初相位 0 ( t +0 ) 称为 t 时刻振动的相位
0为 t = 0时刻的相位, 称为初相位
2
v
2 0 2
v0 tan 0 x0
第九章 振 动
理学院物理系 王 强
大学物理
简谐运动 运动学和动力学特征
y
第九章 振 动
重点与知识点
（二）、简谐运动的运动学特征
4、旋转矢量（参考圆法）
运动，其矢量的末端在 x 轴 上的投影的运动方程为:
旋转矢量 A 作匀速率圆周
t 0 A
理学院物理系 王 强
第九章 振 动
大学物理
一、简谐运动 运动学和动力学特征
x A cos( t 0 )
3、振幅A和初相位0 的确定 初始条件为 t = 0 时： x x 0 ,
第九章 振 动
重点与知识点
（二）、简谐运动的运动学特征
v v0,
A
振动学知识点总结归纳
振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。
当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。
1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。
1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。
振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。
1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。
动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。
二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。
单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。
2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。
自由振动的特点是振幅不变，频率固定。
2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。
受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。
2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。
2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。
通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。
三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。
9-2简谐振动的规律
简谐振动的规律
2
第九章 振动学基础
1 E = kA 2
简谐运动能量守恒， 简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
−A
B
Ek
Ep
O
x
+A
x
9 – 2
简谐振动的规律
第九章 振动学基础
作简谐运动， 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m ⋅ s −2 ，求： （1）振动的周期； ）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； ）通过平衡位置的动能； （3）总能量； ）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） ）
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定. 振幅和初相由初始条件决定
9 – 2
简谐振动的规律
第九章 振动学基础
讨论
已知 t
= 0, x = 0, v < 0 求 ϕ
0 = A cos ϕ
π ϕ =± 2 ∵ v0 = − Aω sin ϕ < 0
−3
−3
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
= Ep 时， Ep = 1.0 ×10 J 1 2 1 由 Ep = kx = mω 2 x 2 2 2 2 Ep −4 2 2 x = = 0.5 × 10 m 2 mω x = ±0.707cm
（4） Ek ）
9 – 2
简谐振动的规律
第九章 振动学基础
= 解 A＇
= > 0 ，由旋转矢量图可知 ϕ＇ − π 4 π −1 x = A cos(ωt + ϕ ) = (0.0707 m ) cos[( 6.0s )t − ]
第9章 振动学基础
Tx : Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动， 已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的 李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。
T
A cos(t π ) A 2
o
t
简谐振动三要素
一 振幅
A xmax
二 频率
A
x x t 图
T
t
o
A
t
x A cos(t )
三 相位
T 2
1）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态. ( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
在任意时刻合振动的位移为
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
1、利用三角函数的运算求得合成结果
x1 ( t ) A1 cos(t 1 ) A1 cos 1 cos t A1 sin 1 sin t
x2 ( t ) A2 cos(t 2 ) A2 cos 2 cos t A2 sin 2 sin t
x Ax cost
π y Ay cos( t ) 2
Ay
y
o
Ax
x
x y 2 1 2 Ax Ay
2
2
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
(2)如果两个互相垂直的振动频率成整数比， 合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。 用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
将t=0.5s代入
x t 0.5 0.104( m ) v t 0.5 0.19( m s 1 ) a t 0.5 1.03( m s 2 )
大学物理【第五版下册】第九章振动
台北101大楼的高度为 508.0米
台湾位于地震带上，在台北盆地的范围 内，又有三条小断层，为了兴建台北 101，这个建筑的设计必定要能防止强 震的破坏。且台湾每年夏天都会受到太 平洋上形成的台风影响，防震和防风是 台北101两大建筑所需克服的问题。为 了评估地震对台北101所产生的影响， 地质学家陈斗生开始探查工地预定地附 近的地质结构，探钻4号发现距台北101 200米左右有一处10米厚的断层。。
倔强系数由弹 簧性质决定
例1.证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。 证明： 平衡位置弹簧伸长x0 mg kx0 ⑴ o x0 在任意位置 x 处， 合力为 x F mg k( x0 x ) ⑵
⑴式代入⑵式
F kx
x
物体受回复力(重力与弹力之和) 作用，作谐振动。
证毕
思考:拍皮球是否谐振动?
在物理学的创立过程中，假说是另 一主要环节，通过认识物质的属性或寻 找物理规律，对现象的本质或联系最初 是以假说提出。假说还不是被承认的理 论，它只是以理想模型为依托的探索性 “理论”或“理论”初型。例如：近代 物理研究中，有普朗克假设,光子假说, 德布罗意物质波假设. 理想模型和假说 是在一定观察和实验基础上提出来的。 在一定条件下通过反复的实验，不断修 正这些假说或模型，使其日趋完善，
防震措施方面，台北101采用新式的“巨 型结构”（megastructure），在大楼的 四个外侧分别各有两支巨柱，共八支巨 柱，每支截面长3米、宽2.4米，自地下5 楼贯通至地上90楼，柱内灌入高密度混 凝土，外以钢板包覆。
金茂大厦采用超高 层建筑史上首次运 用的最新结构技术， 整幢大楼垂直偏差 仅2厘米，楼顶部 的晃动连半米都不 到，这是世界高楼 中最出色的，还可 以保证12级大风不 倒，同时能抗7级 地震。
物理学-第九章振动
（4） Ek E p 时， E p 1.0 103 J
由
Ep
1 2
kx 2
1 2
m 2 x2
x2 2E p 0.5 104 m2
m 2
x 0.707cm
9-5 简谐运动的合成
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
x1 A1 cos 1t A1 cos 21t x2 A2 cos 2t A2 cos 2 2t
x x1 x2
讨论 A1 A2 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos 21t A2 cos 2 2t
按题意 A 0.08m,T 4s
有 2 s1
T2
9-2 旋转矢量
以 t 0, x 0.04m 代入 x A cos(t )
得 0.04m (0.08m) cos
所以
3
作旋转矢量图可知
3
x (0.08m) cos[( s1)t ]
2
3
9-2 旋转矢量
以 t 1.0s 代入 x (0.08m) cos[( s1)t ]
（1） 相位差 2 1 2k (k 0,1,2,)
A A1 A2 相互加强
（2） 相位差 2 1 (2k 1) (k 0,1,2,)
A A1 A2 相互削弱
（3） 一般情况
A1 A2 A A1 A2
9-5 简谐运动的合成
二、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1)
简谐运动的描述和特征
（1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
（2）简谐运动的动力学描述
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v v
T 2
x t 图
x A cos(t ) v A sin(t )
2）对给定的简谐运动
A
o
A
v
T
t
初相位 描述初始时刻(t=0)质点的运动状态. ( 取 [ π π] 或 [0 2π] ) 相位 t 描述t时刻质点的运动状态.
相互削弱
3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
例1 质量 m 0.1kg 的物体悬挂于一弹簧的下端，如图所示。 将物体从平衡位置拉下 后由静止释放，测得其周期 0.1m 为 2s ，试求 （1）物体的振动方程（设平衡位置为原点，竖直向上为x轴 正向）； （2）物体首次经过平衡位置上方0.05m处 的速度 （3）物体从平衡位置上方 0.05m 处运动 到平衡位置下方 0.05m 处所需的最短时间 O
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
相位差 1）相位差
2 1
2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
相互加强
2）相位差
(2k 1) π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
（2）物体首次经过平衡位置上方 0.05m处的速度
A 0.1m
πs1
5 t 3
O A/ 2
x A cos(t ) v A sin(t )
5 0.1 sin 3
t0
x
0.27 m s-1
A
（3）物体从平衡位置上方 0.05m 处运动到平衡位置下方
0.1m
（1）物体的振动方程（设平衡位置为原点，竖直向上为x 轴 正向）； 2π π s 1 解 T 2s T 已知 x0 0.1m
2 A x0 2 v0 2
v0 0
0.1m
A
O
由旋转矢量图可得
A
x
x A cos t 0.1cos t m
0.05m 处所需的最短时间
t 时刻
起始时刻
t
π3 π3
O A/ 2
x/m
A
π t 3
A/ 2
A
πs1
t 0.33s
简谐振动 最简单、最基本的振动.
合成 简谐振动 复杂振动
分解
以弹簧振子为例 弹簧振子的振动
l0 k
x0 F 0
m
A
o
x
A
F
m
x x
o
d 2x F kx ma m 2 dt d 2x k x0 2 dt m
令 2 k m
x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
A x
2 0
2
2 v0
v0 tan x0
对给定振动系统，周期/频率由系统本身性质决定，振幅 和初相由决定.
举例
已知 x A cos(t ) t 0, x 0, v v0 , 且v0 0 求 A,
v
t 0, x 0得0 A cos
A2
A
2
O
1
x2
x A cos(t )
A1
x1
x
x
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐振动合成 后仍为简谐振动
x
A A2 o A
a
b
Ab
x
t
v
A
π3 1 t T T 2π 6
O
π 3
A Aa A 2
2）两个质点做同频率的简谐振动，相位差表示它们间步调 上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 2 1
这一微分方程既是简谐运动的定义式，也反映了简 谐振动的动力学规律,称为简谐振动的动力学方程。
x A cos(t )
反映了简谐振动的运动学规 律，称为简谐振动的运动学 方程或振动方程。
2.简谐振动的能量规律
以弹簧振子为例
F kx
x A cos(t ) v A sin(t )
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 E p kx kA cos 2 (t ) 2 2
2 k / m
1 2 E Ek E p kA A2 2
弹性回复力是保守力，作简谐振动的系统机械能守恒
★讨论：简谐振动的规律 (1)动力学规律：满足定义式 (2)运动学规律：振动物体的位置（或其他物 理量）随时间按余弦或正弦规律变化； (3)能量规律：振动周期由系统固有性质决定，
dx v A sin(t ) dt
d 2x 2x 0 dt 2
d 2x a 2 A 2 cos(t ) 2 x dt
简谐振动的定义 定义式：任一物理量x随时间t的变化关系如果
满足微分方程
d x 2 x 0 2 dt
2
其中 ω是系统固有性质 决定的常数,则此物理量作 简谐运动.
★ 常数 A 和 的确定
初始状态
t 0时刻，系统进入初始状态：x x0 v v0
—初始条件
t 0时刻，相位t =
—初相位
t 0时刻，系统振动的总能量E确定，E决定了振幅A。 x A cos(t ) v A sin(t )
x0 A cos v0 A sin
系统机械能始终守恒。
★讨论：简谐振动的判据 (1)根据受力特征-动力学方程
(2)运动学方程
(3)运动特征.
二、简谐振动的描述
1.主要物理量
★ 振幅
x
x A cos(t )
x t 图
A xmax
A
o
T
T 2
t
★ 周期、频率
x A cos[(t T ) ]
周期
T 2π
π 2
v0 A sin 0
x
O
π sin 0 取 2 v0 A=
x
x t 图
A
o
T
T 2
t
π x A cos(t ) 2
A
2.简谐振动的旋转矢量表示法
M t t
t A
M 0 t 0
A
以 O 为原 点,旋转 矢量 A 的 端点在 x 轴上的投 影点的运 动为简谐
o
x
x0
x
x0 A cos
x A cos(t )
振动.
x A cos(t )
旋转矢 量A的
端点在
x 轴上
的投影 点的运 动为简 谐振动.
讨论
相位差：表示两个相位之差.
1）对同一简谐振动，相位差可以给出两运动状态间变化 所需的时间. (t2 ) (t1 ) xa A cos(t1 ) t t2 t1 xb A cos(t2 )
A
振动曲线
频率 1T 2π 2π 2 π 圆频率 T ★ 相位
注意
弹簧振子周期
m T 2π k
与 振 幅 无 关
t
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
★ 相位
t
1）相位在 0 ~ 2 π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差2nπ(n 为整数) 质点运动状态全同.（周期性） 简谐振动中，x 和 v 间不 存在一一对应的关系.
第九章 振动学基础
9-1简谐振动的规律 简谐振动的规律
9-2简谐振动的描述. 简谐振动的描述
9-3简谐振动的合成 简谐振动的合成
一、简谐振动的规律
1. 简谐振动的定义 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等. 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
令1 , 2 (0, 2 )
(t 2 ) (t 1 )
0 同相
x o x
π 反相
为其它
x o
超前 落后
t 2
t
o
t
t 1
Hale Waihona Puke t二、简谐振动的合成
两个同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) x x1 x2