新教材高一数学专题练习-均值不等式及其应用
高一数学均值定理的应用试题答案及解析
高一数学均值定理的应用试题答案及解析1.已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即，亦即,且，从而，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.【考点】指数、对数的运算和基本不等式求最值.2.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C.【解析】∵，∴，∴，当且仅当，时等号成立，∴的最小值是.【考点】基本不等式求最值.3.若则函数的最大值为【答案】【解析】由得；【考点】基本不等式；4.设，则下列不等式中正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即，又由基本不等式可得，而，∴．【考点】作差法证明不等式，基本不等式．5.若△ABC中，，则△ABC面积S的取值范围是 .【答案】【解析】因为，又所以【考点】基本不等式求范围6.如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4，故选C．【考点】基本不等式在实际中的应用．7.若正实数满足，则的最小值是______【答案】5【解析】根据题意，由于正实数满足，，则两边同时除以xy得到，，那么= (3x+4y) ( )=(13+) ,故可知答案为5.【考点】均值不等式点评：主要是考查了运用基本不等式来求解最值的运用，属于基础题。
8.若实数a、b满足，则3a+3b的最小值是 .【答案】6【解析】因为，则当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：69.已知且满足,则的最小值为 .【答案】18【解析】解：因为时取得等号，因此填写18. 10.（1）解不等式；（2）已知, 且, 求的最小值；【答案】（1）（2）9【解析】本试题主要是考查了不等式的解集以及均值不等式的运用，求解最值。
（1）因为或，从而得到。
（2），结合均值不等式得到结论。
解：（1）或，解集为……5分（2），取等号当且仅当……10分。
均值不等式及其应用-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第一册练习
1第二章等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知0<x<1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( )A.13 B.12 C.14D.230<x<1,∴1-x>0.∴x (1-x)≤(x+1-x 2)2=14,当且仅当x=1-x ,即x=12时,等号成立. 2.(多选题)设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a+b=2,则必有( ) A.ab>1B.ab<1C.a 2+b 22<1 D.a 2+b 22>1解析因为ab ≤a+b 22,a ≠b ,所以ab<1.又1=(a+b )24=a 2+b 2+2ab4<a 2+b 22,所以a 2+b 22>1,所以ab<1<a 2+b22.23.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( )A.x>yB.x<yC.x>√2yD.y<√2x2=a+b+2√ab2<2(a+b)2=a+b ,y 2=a+b ,所以x 2<y 2,∵x>0,y>0,∴x<y. 4.(多选题)下列不等式一定成立的是( )A.x 2+14>x (x>0) B.x+1x ≥2(x>0)C.x 2+1≥2|x|(x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R )中,当x=12时,x 2+14=x ,所以A 不一定成立;B 中,当x>0时,不等式x+1x ≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B 一定成立;C 中,不等式x 2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x 2+1≥2|x|恒成立,所以C 一定成立;D 中,因为x 2+1≥1,所以0<1x 2+1≤1,所以D 不成立.5.已知当x=3时,代数式4x+ax (x>0,a>0)取得最小值,则a= .x+ax ≥2√4x ·ax=4√a (x>0,a>0),当且仅当4x=ax ,即x=√a2时等号成立,所以√a2=3,即a=36.6.已知x>0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy 的最大值为 ,取得最大值时y 的值为 .x>0,y>0且1=x3+y4≥2√xy12,所以xy ≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号. 27.求函数y=(x+4)(x+9)x的最值.3x>0时,y=13+x+36x ≥13+2√x ·36x =25,当且仅当x=36x ,即x=6时取等号.所以当x=6时,y min =25.当x<0时,-x>0,-36x >0,(-x )+(-36x )≥2√(-x )(-36x )=12.所以y=13-[(-x )+(-36x )]≤13-12=1.当且仅当-x=-36x,即x=-6时取等号,所以当x=-6时,y max =13-12=1.能力提升练1.若a ,b ∈Z ,且a+b=0,则2a +2b 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.5a ,b ∈Z ,所以2a >0,2b >0,所以2a +2b ≥2a b 2a+b =2,当且仅当a=b=0时,等号成立.所以2a +2b 的最小值是2. 2.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b ,则a+b=()A.-3B.2C.3D.84+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2√(x +1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3. 3.已知a>b>c ,则√(a -b )(b -c )与a -c2的大小关系是 .a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥√(a-b)(b-c).当且仅当b=a+c2时取等号.√(a-b)(b-c)≤a-c4.若正数a,b,c满足1a +4b+9c≤36a+b+c,则2b+3ca+b+c=.由1a +4b+9c≤36a+b+c,得(1a+4b+9c)(a+b+c)≤36,即1+ba+ca+4+4ab+4cb+9+9ac+9bc≤36,即b+c+4a+4c+9a+9b≤22.又因为ba +ca+4ab+4cb+9ac+9bc=(ba+4ab)+(4cb+9bc)+(ca+9ac)≥22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.所以ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=22,得b=2a,c=3a.所以2b+3ca+b+c=4a+9aa+2a+3a=136.5.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.(x+y)(1x+ay)=1+a+yx+axy,又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2√yx·axy=2√a,∴1+a+yx+axy≥1+a+2√a,∴要使(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2√a≥9恒成立即可.45∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,∴正实数a 的最小值为4.素养培优练若a>0,b>0,且(a+b )√ab =1.(1)求ab 的最大值;(2)是否存在a ,b ,使得12a +13b 的值为√63?并说明理由.∵(a+b )√ab =1,∴(a+b )=√ab. ∵a>0,b>0,∴(a+b )≥2√ab ,当且仅当a=b 时取等号,∴√ab≥2√ab ,∴ab ≤12.当且仅当a=b 时取等号,∴ab 的最大值为12.(2)不存在.理由如下,∵a>0,b>0,∴12a +13b ≥2√12a ·13b =√6ab≥2√33,当且仅当a=b 时,等号成立.∵√63<2√33,∴不存在a ,b 使得12a +13b 的值为√63.。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
高考数学热点问题专题练习——均值不等式知识归纳及典型例题分析
利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q ++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x=+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉x ，则要将3x 拆为两个2x ，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-均值不等式及其应用答案含解析
2.2.4均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。
A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b>2√abD.b a +a b≥2答案：D解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b或b a都是正数,根据不等式求最值,a b +b a≥2√a b×b a=2,故D 正确。
2.若a ,b ∈R,则下列不等式恒成立的是( )。
A.|a+b |2≥√|ab | B.b a +a b≥2C.a 2+b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1b)≥4 答案：C解析：对于A ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C ,a 2+b 22≥(a+b 2)2,故C 中不等式恒成立;对于D ,(a +b )1a +1b=2+a b +b a,当a ,b 同号时a b +b a≥2,原不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。
故选C 。
3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b=√2ab ,则ab 的最小值为( )。
A.√2 B.2 C.2√2 D.4答案：B解析：对于正实数a ,b ,由均值不等式可知1a +2b ≥√2√ab ,当且仅当1a =2b 时取等号,则√2ab ≥√2√ab⇒ab ≥2,故选B 。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
高中均值不等式讲解及习题
5、已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,求函数W＝ ＋ 的最值、
解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单
＋ ≤ ＝ ＝2
解法二:条件与结论均为与的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“与为定值”条件靠拢。
W＞0,W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20
(1) (2) (3)
2.已知 ,求函数 的最大值、;3. ,求函数 的最大值、
条件求最值
1、若实数满足 ,则 的最小值就是、
分析:“与”到“积”就是一个缩小的过程,而且 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,
解: 都就是正数, ≥
当 时等号成立,由 及 得 即当 时, 的最小值就是6.
变式:若 ,求 的最小值、并求x,y的值
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 的单调性。例:求函数 的值域。
解:令 ,则
因 ,但 解得 不在区间 ,故等号不成立,考虑单调性。
因为 在区间 单调递增,所以在其子区间 为单调递增函数,故 。
所以,所求函数的值域为 。
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值、
当 ,即 时, (当且仅当x＝1时取“＝”号)。
技巧四:换元
解析二:本题瞧似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x＋1,化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, (当t=2即x＝1时取“＝”号)。
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
均值不等式的应用(习题+标准答案)
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习(含答案解析)
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习（含答案解析）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =−≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +−=−≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y +且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错； 对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错； 对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t −−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当s t =取等号，成立． 故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A ．2a b +B 2a b +C2a b + D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++−＝2()4a b −＞0，∴2a b +故选：B题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号.故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ） A．1 B ．2 C ．4 D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】 【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2≥ D ．111a b+≤【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+−=−≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可 【详解】因为0a>，0b>，且1a b+=，所以1a b=+≥12，当且仅当12a b==时取等号，所以B错误，12，得14ab≤，所以14ab≥，当且仅当12a b==时取等号，所以C正确，所以22211()212122a b a b ab ab+=+−=−≥−=，当且仅当12a b==时取等号，所以A错误，由0a>，0b>，且1a b+=，得()1111224b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⎝=⎪⎭，当且仅当12a b==时取等号，所以D错误，故选：C变式3-3．已知A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b≥≥,且2a b+=，∴222224()22()a b a b ab a b=+=++≤+，∴222a b+≥．变式3-4．已知0a>，0b>，4a+=，则下列各式中正确的是（）A．11a b+≤14B．11a b+>1 C 2 D．1ab≥1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2a b==时，111a b+=，所以AB选项错误，同时1114ab=<，所以D选项错误.对于C4222a b+==，当且仅当2a b==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x ，则4x y+的最小值是（ ） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +−=，则2x y +的最小值为（ ）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +… B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b+…【答案】C 【解析】 【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；CD 选项：取特值1a =，1b =−计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，2，1时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =−时，0ab ≠，2b a a b+=−，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x −+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =−，则44x x+=−<，故A 错. 对于B ，取1x e −=，则1ln 22ln x x+=−<，故B 错..对于C ，取1a b ==−112a b+=>−=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x −+≥=，当且仅当0x =时等号成立， 故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4−D ．()f x 有最大值4− 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出． 【详解】解：0x <Q ，0x ∴−>，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=−−+⎢⎥−⎣⎦4≤−−， 当且仅当()4x x −=−，即2x =−时取等号，()f x ∴有最大值4−.故选：D ．变式5-3．若12x −<<，则12x x +−的（ ） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】 【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解 【详解】因为12x −<<，所以20x −<，则11222022x x x x ⎛⎫+=−−+≤−= ⎪−−⎝⎭， 当且仅当122x x−=−，即1x =时取等号，此时取得最大值0， 故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x −+=−有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】 【详解】依题意()122f x x x =−+−，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x −=−，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =−+−是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +−的最大值是（ ）A ．2B ．2−C ．4D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +−+−+==−++−−−，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x −>()()2212143412111x x x x x x x −+−++==−++−−− 412221x x ⎛⎫=−−++≤−=− ⎪−⎝⎭， 当且仅当411x x−=−，即1x =−时，等号成立， 故选：B.变式6-2．若11x −<< ，则22222x x y x −+=−有（ ）A ．最大值1−B ．最小值1−C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x −<<，则012x <−<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x −+=−⋅=−−+≤−⋅=−−−，当且仅当111x x−=−，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x −+=−有最大值1−.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】计算得出143xy x y z y x=+−，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则2243z x xy y =−+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=−++−，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz−的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy −=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz−的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴−=+≥，()225854254141xy xy z z ∴−=−⨯≥−−=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z −+≥=+≥=， 当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，58xyz−的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +−=>过圆()()22122022x y −+−=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A．3+B ．3−C ．6 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +−=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =−，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得()22234a b c =−，结合余弦定理可得cos A ,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +−==答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =−， 故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +−−+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +−+−== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列， 所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥=a a a ， 又数列{}n b 是等差数列， 所以6912,,b b b 成等差数列， 所以61292+=b b b ， 又因为98b a =， 所以313612a a b b +≥+， 故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值． 【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+−≥=， 当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是（ ）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ−=+−，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+， 因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=−，∵130,0,40λμμλ>>=−>，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫−=−−=+−≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ−的最小值是4；故选：C．。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
新教材高中数学第二章等式与不等式2 2 4均值不等式及其应用课后篇巩固提升含解析新人教B版必修第一册
2.2.4 均值不等式及其应用课后篇巩固提升合格考达标练1.已知0<x<1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( ) A.13 B.12C.14D.230<x<1,∴1-x>0.∴x (1-x )≤(x+1-x 2)2=14,当且仅当x=1-x ,即x=12时,等号成立.2.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)已知a>1,b>1,且ab-(a+b )=1,那么下列结论正确的有( )A.a+b 有最大值2√2+2B.a+b 有最小值2√2+2C.ab 有最大值√2+1 2√2+3a+b=s ,ab=t ,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s ≥2√t ,则t-1≥2√t ,由t>1可得t 2-2t+1≥4t ,则t ≥3+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立;s ≥2√s +1,由s>2可得s 2-4s-4≥0,则s ≥2+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立.故选BD . 3.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( )A.x>yB.x<y√2y D.y<√2x2=a+b+2√ab2<2(a+b )2=a+b ,y 2=a+b ,所以x 2<y 2,∵x>0,y>0,∴x<y.4.(多选题)下列不等式一定成立的是( ) A.x 2+14>x (x>0)B.x+1x ≥2(x>0)C.x 2+1≥2|x|(x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R )中,当x=12时,x 2+14=x ,所以A 不一定成立;B 中,当x>0时,不等式x+1x ≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B 一定成立;C 中,不等式x 2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x 2+1≥2|x|恒成立,所以C 一定成立;D 中,因为x 2+1≥1,所以0<1x 2+1≤1,所以D 不成立.5.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则函数f (x )=4x -3+x 的最大值是 .1解析因为x<3,所以f (x )=3-(3-x )+43-x ≤3-2√(3-x )×43-x =3-4=-1.当且仅当3-x=43-x ,即x=1时等号成立.故函数f (x )的最大值是-1.6.已知x>0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy 的最大值为 ,取得最大值时y 的值x>0,y>0且1=x3+y4≥2√xy12,所以xy ≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号. 7.求函数y=(x+4)(x+9)x(x<0)的最大值.y=(x+4)(x+9)x=x+36x +13,当x<0时,-x>0,-36x >0,(-x )+(-36x )≥2√(-x )(-36x)=12.所以y=13-[(-x )+(-36x )]≤13-12=1.当且仅当-x=-36x ,即x=-6,等号成立,所以当x=-6时,y max =13-12=1.等级考提升练8.(多选题)下列说法正确的是( )A.x+1x 的最小值为2 B.x 2+1的最小值为1 C.3x (2-x )的最大值为2 D.x 2+7x 2+2的最小值为2√7-2x<0时,x+1x <0,故选项A 错误;∵x 2≥0恒成立,∴x 2+1≥1,故选项B 正确;∵3x (2-x )=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时取等号,∴3x (2-x )的最大值为3,故选项C 错误;∵x 2+7x 2+2=(x 2+2)+7x 2+2-2≥2√(x 2+2)×7x 2+2-2=2√7-2,当且仅当x 2+2=7x 2+2时,等号成立,故选项D 正确.故选BD .9.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b ,则a+b=( )B.2C.3D.84+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x +1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2√(x +1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.10.已知a>b>c,则√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.√(a-b)(b-c)≤a-c2a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-x)2≥√(a-b)(b-c).当且仅当b=a+c2时取等号.11.若正数a,b,c满足1a +4b+9c≤36a+b+c,则2b+3ca+b+c=.由1a +4b+9c≤36a+b+c,得(1a+4b+9c)(a+b+c)≤36,即1+ba+ca+4+4ab+4cb+9+9ac+9xc≤36,即ba +ca+4ab+4cb+9ac+9bc≤22.又因为ba +ca+4ab+4cb+9ac+9bc=(ba+4ab)+(4cb+9bc)+(ca+9ac)≥22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.所以ba +ca+4ab+4cb+9ac+9bc=22,得b=2a,c=3a.所以2b+3ca+b+c=4a+9aa+2a+3a=136.12.已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.(x+y)(1x +ay)=1+a+yx+axy,又x>0,y>0,a>0,∴yx +axy≥2√yx·axy=2√a,∴1+a+yx +axy≥1+a+2√a,∴要使(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2√a≥9恒成立即可.∴(√a+1)2≥9,即√a+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.新情境创新练13.若a>0,b>0,且(a+b)√ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a +13b的值为√63?并说明理由.∵(a+b)√ab=1,∴(a+b)=√ab.∵a>0,b>0,∴a+b≥2√ab,当且仅当a=b时取等号,∴√ab ≥2√ab,∴ab≤12.当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为12.(2)不存在.理由如下,∵a>0,b>0,∴12a +13b≥2√12a·13b=√6ab≥2√33,当且仅当a=b时,等号成立.∵√63<2√33,∴不存在a,b使得12a+13b的值为√63.。
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第一册课后提升训练：2.2.4 均值不等式及其应用
第二章等式与不等式2。
2不等式2。
2.4均值不等式及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知0〈x<1,则当x（1—x)取最大值时，x的值为（）A.13B。
12C.14D。
23解析∵0〈x<1,∴1-x〉0.∴x（1-x)≤(x+1-x2)2=14，当且仅当x=1-x，即x=12时,等号成立。
答案B2.（多选题)设a，b∈R,且a≠b，a+b=2，则必有(）A。
ab〉1 B。
ab<1C。
a2+b22<1 D.a2+b22>1解析因为ab≤a+b22,a≠b,所以ab<1.又1=(a+b)24=a2+b2+2ab4<a2+b22，所以a2+b22〉1，所以ab<1<a2+b22.答案BD3.已知a，b是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a+b，则x,y的关系是（）A。
x〉y B。
x〈yC。
x〉√2y D.y<√2x解析x2=a+b+2√ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b，所以x2<y2，∵x〉0，y〉0,∴x<y。
答案B4.(多选题)下列不等式一定成立的是( ） A 。
x 2+14>x （x>0) B.x+1x ≥2(x>0)C 。
x 2+1≥2|x|(x ∈R )D.1x 2+1〉1(x ∈R ）中，当x=12时,x 2+14=x ,所以A 不一定成立；B 中,当x 〉0时，不等式x+1≥2,当且仅当x=1时，等号成立，所以B 一定成立；C 中,不等式x 2+1—2|x|=（｜x|-1)2≥0,即x 2+1≥2｜x ｜恒成立,所以C 一定成立；D 中，因为x 2+1≥1，所以0<1x 2+1≤1，所以D 不成立。
5。
已知当x=3时，代数式4x+a x （x>0，a 〉0）取得最小值，则a= 。
x+a x ≥2√4x ·a x =4√a （x>0，a>0）,当且仅当4x=a x ,即x=√a 2时等号成立，所以√a =3，即a=36。
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C． 2 3 1
4．已知 a ， b 都为正实数， 2a + b = 1，则 ab 的最大值是 ( )
2 A．
9
B． 1 8
C． 1 4
5．已知正实数 a、b 满足 a+b=ab，则 ab 的最小值为（
）
A． 1
B．
C． 2
6．若 x 0, y 0, x 3 y 1，则 1
1
的最小值为（
）
x 3y
D． 2 3 2
______________.
16．若
，且
三、解答题
，则
的最小值为 _______．
17．已知正实数 a，b 满足
，求
的最小值 .
18．设 x, y 都是正数，且 1 2 3 ，求 2x y 的最小值． xy
19．已知
，求证：
.
20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为
30 m2 ，房屋正面每平方米造价为 1500 元，房屋侧面每
均值不等式及其应用
一、选择题
9 1．已知 x＞ 0，函数 y x 的最小值是（
x
A． 2
B． 4
） C． 6
2．已知 x
Байду номын сангаасA． 1 4
(0,
1 )
,则
x(1
4x) 取最大值时
x 的值是 (
)
4
B． 1 6
C． 1 8
3． y
3x
x2 x
0 的最小值是 ( )
1x
D． 8
D． 1 10
A． 2 3
B． 2 3 1
D． 1 2
D． 4
A． 2
B． x1 x2
C． 4
7．若正数 m, n 满足 2m n 1，则 1
1
的最小值为
mn
A． 3 2 2
B． 3 2
D． 2 3
C． 2 2 2
D． 3
2
8．若两个正实数 x， y 满足
1
1，则 2x+y 的最小值为（
xy
A． 9 9．若正实数
B． 7
满足
，则（ ）
C． 5
） D． 3
A．
有最大值
B． 有最小值
C．
有最小值
D．
有最大值
10．已知关于 、 的方程组：
（其中 、
）无解，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
11．若正数 a ， b 满足 1 1 ab
A． 6
B． 9
1 1 ，则
a1
9 的最小值为（ b1
C． 12
） D． 15
12．设 ， ， 均为正实数，则三个数 A．都大于 2
平方米造价为 900 元，屋顶造价为 5800 元，墙高为 3 米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能
使总造价最低？最低总造价是多少？
21．已知
，
．
（ 1）求
的最小值；
（ 2）是否存在
，满足
？并说明理由．
22．设 a>0， b>0，且
证明：
（ 1） a＋ b≥2；
（ 2） a2＋ a<2 与 b2＋ b<2 不可能同时成立．
， ， () B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
二、填空题
13．若 a 0 ， b 0 ， a 2b 5 ，则 ab 的最大值为 __________ ．
14．若 a b ，则 2 a b
15．若矩形的长和宽分别为
8 的最小值为 ______． ab
，其对角线的长为 5，则该矩形的周长的最大值为