新教材人教B版高中数学选择性必修第三册课时练习-导数与函数的单调性
人教B版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第六章 基本初等函数的导数 求导法则及其应用
解析 由
1
s(t)= 4 得
s'(t)=
1
4
'=(t-4)'=-4t-5,得 s'(3)=-4×3-5,故选 D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4.[探究点一](多选题)[2023湖南郴州期末]下列选项正确的是( ABD )
8.[探究点二、三]求下列函数的导数:
cos -
(1)y= 2 ;
(2)y=ex(1+cos x)-2x;
(3)y=log3(5x-1).
解(1)因为
cos -
y= 2 (x≠0),所以
(-sin -1) 2 -2(cos -)
y'=
4
=
(1-sin )-2cos
.
解析 对于A,f(x)=x,则f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)有“巧值点”;
对于B,f(x)=ex,则f'(x)=ex,因为f(x)=f'(x)恒成立,故任意的x∈R,都是f(x)的“巧
值点”;
对于 C,f(x)=tan x,则
1
f'(x)= 2 ,令
cos
tan
1
A.y=x-1
B.y=x
C.y=x+1
D.y=x+2
cos ·e -sin ·e
解析 由题得 y'=
(e )2
=
cos -sin
,设切点为(x0,y0)(x0≥0),
e
则当 x=x0 时,y'=1,
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.2.1 导数与函数的单调性
解:f'(x)=3ax2-2x+1.
∵f(x)在R内单调递增,∴f'(x)≥0在R内恒成立,即3ax2-2x+1≥0在R内恒成立.
> 0,
> 0,
1
则有
即
∴a≥ .
3
≤ 0,
4-12 ≤ 0,
1
故 a 的取值范围为 , + ∞ .
3
【易错辨析】
求函数单调区间时忽略定义域而致误
3
延伸探究
1.若例1的条件不变,试求不等式f'(x)>0的解集.
3 1
解:由题图可知函数 y=f(x)在区间 - ,- 和(1,2)内单调递增,故 f'(x)>0 的解集
2 3
3 1
为 - ,- ∪(1,2).
2 3
2.若例1的条件不变,试求不等式xf'(x)>0的解集.
1
解:当 x<0 时,f'(x)<0,由题图可知- <x<0.
故选D.
答案:D
3.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=
解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1,3是f'(x)=0的两个根,
2
∴-1+3=- ,-1×3= ,
3
3
∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.
答案:-12
.
4.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围
【典例】 已知函数
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 习题课——导数的综合应用
取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
1
1-22
f'(x)=-2ax= .当 a≤0 时,f'(x)>0,故函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
当 a>0 时,由 f'(x)>0,得 0<x< 2,
1
1
由 f'(x)<0,得 x> 2,故函数 f(x)在区间 0, 2 内单调递增,在区间
和(1,+∞)内单调递增,在区间(2a,1)内单调递减.
2
1
(-1)
③当 a=2时,f'(x)= ≥0,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
④当 a>2时,2a>1,所以当 0<x<1 或 x>2a 时,f'(x)>0,当 1<x<2a 时,f'(x)<0,所以
f(x)在区间(0,1)和(2a,+∞)内单调递增,在区间(1,2a)内单调递减.
①当2a≤0,即a≤0时,x-2a>0,
所以当0<x<1时,f'(x)<0,
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
1
②当 0<2a<1,即 0<a< 时,0<2a<1,
2
所以当 0<x<2a 或 x>1 时,f'(x)>0,当 2a<x<1 时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间(0,2a)
新教材人教B版高中数学选择性必修第三册课时练习-函数的导数与极值
课时练习(十六)函数的导数与极值(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列结论中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值B[根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．]2．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[f′(x)＝1x－2x2，令f′(x)＝0，即1x－2x2＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]3．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) D [当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．]4．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为( ) A ．(3，－3)B ．(－4,11)C ．(3，－3)或(－4,11)D ．不存在B [f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， ∵当x ＝1时，f (x )有极值10， ∴⎩⎨⎧ f ′(1)＝3－2a －b ＝0，f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10， 解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝11，或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－3，验证知当a ＝3，b ＝－3时，在x ＝1处无极值， ∴a ＝－4，b ＝11.]5．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D [令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a 3.由题意知，当a >0时，有2a3∈(0,1)，即0<2a 3<1，解得0<a <32.当a ＝0和a <0时，f (x )在(0,1)内无极小值，不符题意，故选D.]二、填空题6．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． y ＝－1e [令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e ，∴函数y ＝x e x 在极值点处的切线方程为y ＝－1e .]7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋2，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数的极小值是________．2 [由图像可知，当x <0时，f ′(x )<0，当0<x <2时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，函数f (x )取极小值f (0)＝2.]8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a ，令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )，又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.] 三、解答题9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． [解] (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1.依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x >0)， 故f ′(x )＝－23x －13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．10．已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．[解] 因为f (x )＝1＋ln xx ，x >0， 则f ′(x )＝－ln xx 2， 当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.11.(多选题)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图像如图所示，则下面结论正确的是( )A ．在(1,2)上函数f (x )为增函数B ．在(3,4)上函数f (x )为减函数C ．在(1,3)上函数f (x )有极大值D ．x ＝3是函数f (x )在区间[1,5]上的极小值点 ABC [由图可知，当1＜x ＜2时，f ′(x )＞0， 当2＜x ＜4时，f ′(x )＜0， 当4＜x ＜5时，f ′(x )＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]12．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x21＋x22等于()A.23 B.43 C.83 D.123C[函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c ＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3－3x2＋2x的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－43＝83.]13．(一题两空)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．4270[f′(x)＝3x2－2px－q，依题意知，⎩⎨⎧f(1)＝0，f′(1)＝0，∴⎩⎨⎧1－p－q＝0，3－2p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝13.∴当x∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f′(x)>0，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫13，1时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝13时，函数有极大值f⎝⎛⎭⎪⎫13＝⎝⎛⎭⎪⎫133－2×⎝⎛⎭⎪⎫132＋13＝427，当x＝1时，函数有极小值f(1)＝1－2＋1＝0.]14．已知函数f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)上有两个极值点，则实数m 的取值范围为________．(3，＋∞) [f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)上与x 轴有两个不同的交点， 如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．]15．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－13)－13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0， x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0，∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
2021年新教材高中数学6.2.1导数与函数的单调性课时分层作业含解析人教B版选择性必修三
课时分层作业(十五) 导数与函数的单调性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)B[因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由导函数f′(x)的图像知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤1 3A[f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.]4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)A [因为在定义域(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x＋1x ＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．故选A.]5．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)B [构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2. ∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.] 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为_________.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.]7．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) [y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.]8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________． (0，＋∞) [若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]三、解答题9．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．[解]因为f′(x)＝3x2－2mx，令f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由根与系数的关系，得－－2m3＝－9，即m＝－272.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．综上所述，m的值为－272，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．10．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[解]由题意可知a<0，b<0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′>0得3ax2＋2bx>0，∴－2b3a<x<0，由y′<0得3ax2＋2bx<0，∴x<－2b3a或x>0，∴函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ，0，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2b 3a 和(0，＋∞)．11．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )D [由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即y ＝(x )，y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相等，知选D.]12．(多选题)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (a )g (b )>f (b )g (a )CD [因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )，f (a )·g (b )>g (a )f (b )．因此选CD.]13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ [f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数， 所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立．法一：由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意． 所以实数m 的取值范围是m ≥13.法二：3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.]14．(一题两空)函数f (x )＝1＋ln xx 的增区间是________，曲线f (x )在点(1,1)处的切线方程是________．(0,1) y ＝1 [f ′(x )＝－ln xx 2(x >0)，令f ′(x )>0得0<x <1， 故函数f (x )的增区间是(0,1)．又f ′(1)＝0，故f (x )在(1,1)处的切线方程为y ＝1.]15．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． [解] (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， ∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e ， 由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。
新教材人教B版高中数学选择性必修第三册教案设计-导数与函数的单调性
6.2利用导数研究函数的性质6．2.1导数与函数的单调性学习目标核心素养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？(1)(2)导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．(1)(2)思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常函数．思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？[提示]充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．() [答案](1)×(2)×(3)√2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定B[由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]3．已知函数f(x)＝12x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．(1，＋∞)[∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．]4．(一题两空)若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减．(1，＋∞)(－∞，1)[由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．]函数与导函数图像间的关系①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()(1)A(2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[跟进训练]1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()A B C D(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()A B C D(1)D(2)A[(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]利用导数求函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x ； (3)f (x )＝x ＋1x .[解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)， 用x 1分割定义域，得下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘↗∴函数f (x )的单调递减区间为 ⎛⎪⎫0，3，单调递增区间为 ⎛⎪⎫3，＋∞.(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域，得下表： x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘↗↘(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域，得下表：x (－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－－0＋f(x)↗↘↘↗＋∞)．角度二含参数的函数的单调区间【例3】讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．[思路点拨]求函数的定义域→求f′(x)――→分a>0，a＝0解不等式f′(x)>0或f′(x)<0→表述f(x)的单调性[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－(a＋1)x.(1)当a＝0时，f′(x)＝x－1 x，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．(2)当a＞0时，f′(x)＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋a＋1a(x－1)x，∵a＞0，∴－a＋1a＜0.由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数.(4)结合定义域写出单调区间.[跟进训练]2．设f(x)＝e x－ax－2，求f(x)的单调区间.[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.已知函数的单调性求参数的范围1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．[思路点拨]f(x)单调递增→f′(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立， 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，所以，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数．综上，a ≤0.1．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调减区间为(－1,1)，求a 的值． [解] f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．不符题意． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3.2．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上单调递减，求a 的取值范围． [解] 由题意可知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴⎩⎨⎧ f ′(－1)≤0f ′(1)≤0，即⎩⎨⎧3－a ≤03－a ≤0，∴a ≥3. 即a 的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． [解] ∵f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.故a的取值范围为(0,3)．1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，可转化为f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．判断函数单调性的方法如下：(1)定义法．在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号来确定函数的单调性．(2)图像法．利用函数图像的变化趋势进行直观判断：图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．(3)导数法．利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③确定单调性．函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合．反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值．同样也可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题．1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是()D [∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.]2．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)B [函数的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －1， 由f ′(x )＝1x －1>0，得0<x <1，所以函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，故选B.] 3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．(1,2) [f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2.]4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．[1，＋∞) [因为f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由题意可知 f ′(x )≤0在(0,1)内恒成立． ∴⎩⎨⎧f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，即a ≥1.] 5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． [解] 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x .当k ≤0时，kx －1＜0，∴f ′(x )＜0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当k ＞0时，由f ′(x )＜0，即kx －1x ＜0，解得0＜x ＜1k ；由f ′(x )＞0，即kx －1x ＞0，解得x ＞1k .∴当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞. 综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.。
新教材 人教B版高中数学选择性必修第三册 第六章 导数 学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析)
第六章 导数6.1 导数6.1.1 函数的平均变化率学 习目 标核 心 素 养1.理解函数平均变化率的概念．(重点) 2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点) 3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)1.通过函数平均变化率的学习，培养数学抽象素养．2．借助函数平均变化率的计算，提升数学运算素养.某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：问题1：从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？ 问题2：AB 段与BC 段哪一段的速度较快？1．函数的平均变化率一般地，若函数y ＝f (x )的定义域为D ，且x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，则 (1)自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(2)因变量的改变量Δy ＝y 2－y 1(或Δf ＝f (x 2)－f (x 1))；思考：在平均变化率中，Δx ，Δy ，ΔyΔx 是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？[提示] 在平均变化率中，Δx 可正可负但Δx 不可以为0；Δy 可以为0；ΔyΔx 可以为0.当ΔyΔx＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f (x )＝x 2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常函数．拓展：函数平均变化率的几何意义如图所示，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率，就是直线AB 的斜率，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，事实上k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx .2．平均速度与平均变化率如果物体运动的位移x m 与时间t s 的关系为x ＝h (t )，则物体在[t 1，t 2](t 1<t 2时)或[t 2，t 1](t 2<t 1时)这段时间内的平均速度为h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x ＝h (t )在该段时间内的平均变化率．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)Δx 表示x 2－x 1，是相对于x 1的一个增量，Δx 的值可正可负，但不可为零． (2)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负，也可以为零． ( ) (3)ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率． ( ) (4)物体在某段时间内的平均速度为0，则物体始终处于静止状态． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝－1.]3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.]4．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．v 3>v 2>v 1 [∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图像可知：k MA <k AB <k BC ， ∴v 3>v 2>v 1.]求函数的平均变化率【例1】 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[解] ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－(2x 20＋1)＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2， ∴函数f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率为4×1＋2×12＝5.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：[跟进训练]1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2C [根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.]2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－4]－(－2)＝2(Δx )2＋4Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝4＋2Δx .]求物体运动的平均变化率关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在⎣⎡⎦⎤0，6549这段时间内的平均速度； (2)运动员在⎣⎡⎦⎤0，6549这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ [解] (1)v －＝h ⎝⎛⎭⎫6549－h (0)6549－0＝－4.9×⎝⎛⎭⎫65492＋6.5×6549＋10－106549－0＝0 (m/s)，即运动员在⎣⎡⎦⎤0，6549这段时间内的平均速度是0 m/s. (2)运动员在这段时间里显然不是静止的．(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．2．运动物体在t 0到t 1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s (t )在区间[t 0，t 1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率．[跟进训练]3．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6B [由已知，得s (3)－s (2)3－2＝26，所以(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.]平均变化率的应用12与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关单位的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大(2)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB 段、BC 段曲线的陡峭程度吗？(1)B [(1)由题可知，A 机关单位所对应的图像比较陡峭，B 机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B.](2)[解] 山路从A 到B 高度的平均变化率为k AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为k BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴k BC >k AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．函数的平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势.(1)当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较.(2)当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图像在点x 0附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快.[跟进训练]4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图像上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是( )A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－ 3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33B [函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，选B.]5．已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？[解] 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx .当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73，当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133，当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，∵－73>－133>－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大.1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．2．函数平均变化率的几何意义和物理意义．(1)几何意义：平均变化率表示函数y ＝f (x )图像上割线P 1P 2的斜率，若P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，则kP 1P 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ；(2)物理意义：把位移s 看成时间t 的函数，平均变化率表示s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v －＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.1．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( ) A.v －＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB.v －＝s (Δt )ΔtC.v －＝s (t )tD.v －＝s (t ＋Δt )－s (Δt )ΔtA [由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v －＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt.]2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0A [Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.]3.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．[x 3，x 4] [由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图像可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．]4．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 5 [因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，从而t 2－3t －10＝0，解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．]5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ [解] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃. (2)平均变化率为T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6.它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.6.1.2 导数及其几何意义学习 目 标核 心 素 养1.理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、难点) 2．理解导数的几何意义．(重点、难点)3．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．(易混点)1.借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．2．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．你能计算出第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？1．瞬时变化率与导数 (1)瞬时变化率：一般地，设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量在x ＝x 0处的改变量为Δx ，当Δx 无限接近于0时，若平均变化率Δf Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限接近于一个常数k ，那么称常数k 为函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率．简记为：当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →k 或lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k .(2)导数①f (x )在x 0处的导数记作f ′(x 0)； ②f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.拓展：导数定义的理解(1)函数应在x 0处的附近有定义，否则导数不存在．(2)在极限式中，Δx 趋近于0且Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，所以Δx 可正、可负，但不能为0.当Δx >0(或Δx <0)时，Δx →0表示x 0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于x 0.(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．2．导数的几何意义 (1)割线的斜率已知y ＝f (x )图像上两点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，过A ，B 两点割线的斜率是ΔfΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．(2)导数的几何意义曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(3)曲线的切线方程曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝f(x)在某点处的导数是一个变量．()(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的物理量．()(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．()(4)若函数y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线D[结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选D.] 3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________.2[由导数的几何意义可知f′(1)＝2.]4．质点M的运动规律为S＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．8[ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)，∴ΔSΔt＝4(Δt)＋8.∴limΔx→0ΔSΔt＝8.]求函数在某点处的导数(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[思路点拨]求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．[解](1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f ′(－1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3－Δx )＝3. (2)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k 这一现象．2．用定义求函数在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 简记为：一差、二比、三趋近． [跟进训练]1．求函数f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2.导数几何意义的应用A BA ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定(2)若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图像可知f ′(x A )＜f ′(x B )．(2)由题意，知k ＝f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上， ∴b ＝1，故选A.]1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]2．设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1A [由题意可知，f ′(1)＝2.又lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a .故由2a ＝2得a ＝1.]3.(一题两空)如图所示，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝________.3 －1 [由图像知f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)等于在该点P 处切线的斜率，故f ′(5)＝－1.]求曲线的切线方程1．如何求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？[提示] y －y 0＝k (x －x 0)．即根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过点(x 0，y 0)的切线有什么不同？[提示] 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】 (教材P 70例4改编)已知曲线C ：f (x )＝x 3. (1)求曲线C 在横坐标为x ＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C 过点(1,1)的切线方程．[思路点拨] (1)求f ′(1)→求切点→点斜式方程求切线[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)． f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝f ′(1)＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. (2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知f ′(x 0)＝3x 20，由题意可知k PQ ＝f ′(x 0)，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又f (x 0)＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 2．(变条件)求曲线f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程． [解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，求在点(x 0，y 0)处的切线方程，先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(2)若点(x 0，y 0)不在曲线上，求过点(x 0，y 0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.1．函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率即为f ′(x 0)，且f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.2．求曲线在点(x 0，y 0)处的切线方程可直接套用公式：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)求解；求曲线过点(x 0，y 0)的切线方程时应注意分该点是切点和不是切点两类分别求解．3．根据导数的几何意义可知，f ′(x 0)能反映曲线f (x )在x ＝x 0处的升降及变化快慢情况，若f ′(x 0)>0，则曲线在该点处上升，若f ′(x 0)<0，则曲线在该点处下降．1．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 D [由题意知f ′(2)＝3.]2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/sC [∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt ＝5＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(5＋Δt )＝5(m/s)．] 3．已知函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，则函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为__________．45° [设切线的倾斜角为α，则 tan α＝f ′(x 0)＝1， 又α∈[0°，180°)， ∴α＝45°.]4．曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →0 f (－2＋Δx )－f (－2)Δx ＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12， ∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]5．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx ＝3x 20－4x 0. 由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， a 的值为12127或－5.6.1.3 基本初等函数的导数学习 目 标核 心 素 养1.理解导函数的概念．(难点)2．能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)1.通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养.在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x 及y ＝4x 的图像，并根据导数定义，求它们的导数．问题1：从图像上看，它们的导数分别表示什么？ 问题2：函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？1．导数的概念一般地，如果函数y ＝f (x )在其定义域内的每一点x 都可导，则称f (x )可导．此时，对定义域内的每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在f (x )的定义域内，f ′(x )是一个函数，称其为函数y ＝f (x )的导函数．记作f ′(x )(或y ′，y ′x )，即f ′(x )＝y ′＝y ′x ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.思考1：f ′(x 0)与f ′(x )相同吗？[提示] 不同．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，而f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0处的导数值． 2．导数公式表 ①C ′＝0. ②(x α)′＝αx α－1. ③(a x )′＝a x ln_a . ④(log a x )′＝1x ln a .⑤(sin x )′＝cos_x . ⑥(cos x )′＝－sin_x .思考2：函数y ＝e x 及y ＝ln x 的导数分别是多少？ [提示] (e x )′＝e x ，(ln x )′＝1x.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数． ( ) (2)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ． ( ) (4)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [对于①，y ′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.] 3．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10 C [∵f ′(x )＝10x ln 10， ∴f ′(1)＝10ln 10.]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线方程为________． y ＝e 2(x －1) [∵y ′＝e x ， ∴y ′|x ＝2＝e 2，∴在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2(x －1)．]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .[思路点拨] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[跟进训练]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________. 3x 2－1x ln 3 [∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1x ln 3.]利用公式求函数在某点处的导数(1)求质点在t ＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路点拨] (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝⎛⎭⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． [解] (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.(2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[跟进训练] 2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π4，22处的导数．[解] (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22.利用导数公式求切线方程1．如何求y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程？[提示] 先计算f ′(x )，再求f ′(x 0)，最后利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)求解便可． 2．若已知函数y ＝f (x )的切线方程y ＝kx ＋b ，如何求切点坐标(x 0，y 0)? [提示] 利用⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝k ，y 0＝f (x 0)，y 0＝kx 0＋b ，求解．【例3】 已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x ，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形的面积．[思路点拨] 先求交点→再分别求切线方程→计算三角形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.即两曲线的交点坐标为(1,1)．又f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝－1x 2.∴f ′(1)＝12，g ′(1)＝－1.∴两切线方程分别为y －1＝12(x －1)，即y ＝12x ＋12；y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.其与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)， 故两切线与x 轴所围成的三角形面积为 12×1×|2－(－1)|＝32.求曲线方程或切线方程时，应注意的事项(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． [跟进训练]3．(一题两空)过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________，切线方程为________． (1，e) y ＝e x [设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x 0， 则e x 0＝y 0－0x 0－0，又y 0＝e x 0，得x 0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e ， 切线方程为y －e ＝e(x －1)，即y ＝e x .]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式，解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数，因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化．1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14 D [∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(1)＝α＝14.]2．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 B [对于①，y ′＝(x －3)′＝－3x 4，正确； 对于②，y ′＝13x 13－1＝13x －23，不正确；对于③，f ′(x )＝3， 故f ′(1)＝3，正确．]3．曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫12，2处的切线的斜率为( ) A ．2 B ．－4 C ．3 D.14B [因为y ＝1x ，所以y ′＝－1x 2，∴y ′|x ＝12＝－4，故选B.]4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________. 1 [因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ， 所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x 且x >0，f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1.]5．求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程． [解] 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为f′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3， 即y ＝233x －239π＋12.6.1.4 求导法则及其应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养． 2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数： (1)y ＝x x ； (2)y ＝2x 2＋sin x .问题：由此你能类比联想一下[f (x )＋g (x )]′的求导法则吗？1．导数的运算法则 (1)和差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ②[C f (x )]′＝C f ′(x )． (3)商的导数⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )，g (x )≠0. 拓展：①[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±…±f ′n (x )． ②[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)． 2．复合函数的概念及求导法则 (1)复合函数的概念一般地，已知函数y ＝f (u )与u ＝g (x )，给定x 的任意一个值，就能确定u 的值．如果此时还能确定y 的值，则y 可以看成x 的函数，此时称f (g (x ))有意义，且称y ＝h (x )＝f (g (x ))为函数f (u )与g (x )的复合函数，其中u 称为中间变量．(2)一般地，如果函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数为y ＝h (x )＝f (g (x ))，则可以证明，复合函数的导数h ′(x )与f ′(u )，g ′(x )之间的关系为h ′(x )＝[f (g (x ))]′＝f ′(u )g ′(x )＝f ′(g (x ))g ′(x )．这一结论也可以表示为y ′x ＝y ′u u ′x .思考：函数y ＝log 2(x ＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数y ＝log 2(x ＋1)是由y ＝log 2u 及u ＝x ＋1两个函数复合而成．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x )＝1(1＋x )2是复合函数．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos(－x )． ( ) (3)y ＝e 2x 的导数y ′＝2e 2x .( ) (4)[f (x )g (x )h (x )]′＝f ′(x )g ′(x )h ′(x )． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．函数f (x )＝x e x 的导数f ′(x )＝( ) A ．e x (x ＋1) B ．1＋e x C ．x (1＋e x )D ．e x (x －1)A [f ′(x )＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，选A.] 3．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a ＝________. 1 [∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，故f ′(1)＝2a ＝2，∴a ＝1.] 4．若y ＝ln x2，则y ′＝________.12x [∵y ＝12ln x ， ∴y ′＝12·1x ＝12x.]导数四则运算法则的应用【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1；(4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2. (3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[跟进训练]1．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)＝________. 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，∴f ′(0)＝3.]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.－1e [因为f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(e)＋1x .∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，即f ′(e)＝－1e.]复合函数的导数(1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝1(2x －1)3；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.[思路点拨]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝1(2x－1)3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6(2x－1)4.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5(x－1)ln 2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y ＝sin v和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.1．解答此类问题常犯的两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]3．求下列函数的导数．(1)y＝x1－1－x；(2)y＝log2(2x2－1)．[解](1)y＝x1－1－x＝x (1＋1－x )(1－1－x )(1＋1－x )＝x (1＋1－x )1－(1－x )＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u ·(－1)＝－121－x . (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 2·4x ＝4x (2x 2－1)ln 2.导数运算法则的综合应用若点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，如何求点P 到直线l ：y ＝x 的最小距离？ [提示] 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线l 的距离最小．设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝e x 0， 由e x 0＝1可知x 0＝0，此时y 0＝e 0＝1.即P (0,1)，利用点到直线的距离公式得最小距离d ＝22. 【例3】 (1)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋b ＝0垂直，则a ＝________. (2)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为________． [思路点拨] (1)求y ′|x ＝0→由y ′|x ＝0＝2求a(2)设切点P (x 0，y 0)→由y ′|x ＝x 0＝2求P (x 0，y 0)→利用点到直线的距离求解 (1)2 (2)5 [(1)因为y ＝e ax ，所以y ′＝a e ax ， 由题意可知y ′|x ＝0＝a ＝2可知a ＝2.(2)设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行， 又因为y ′＝22x －1，所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1.∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)，∴点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.]正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.[跟进训练]4．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．[解] 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.1．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．2．求简单复合函数f (ax ＋b )的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是求解的关键．1．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 020－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 020－8x )2D ．24(2 020－8x )2C [y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′ ＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2.] 2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x B [y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .]3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 32 [f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32.] 4．曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．y ＝3x [y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .]5．求下列函数的导数． (1)y ＝cos(x ＋3)； (2)y ＝(2x －1)3； (3)y ＝e－2x ＋1.[解] (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看作函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′ ＝－sin u ·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3)．(2)函数y ＝(2x －1)3可以看作函数y ＝u 3和u ＝2x －1的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(2x －1)′ ＝3u 2·2＝6u 2＝6(2x －1)2. (3)y ′＝e－2x ＋1·(－2x ＋1)′＝－2e－2x ＋1.6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1 导数与函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？(1)(2)导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．(1)(2)思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常函数．思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？[提示]充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()[答案](1)×(2)×(3)√2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则()。
新教材人教b版选择性必修第三册621导数与函数的单调性第1课时函数的单调性课件
A
A.
B.
C.
D.
CD
①③
[解析] 命题分析 函数的单调性刻画的是函数值随着自变量的变化而变化 的性质，利用导数解决函数的单调性问题是高考考查的重点，函数与其他知 识的综合是高考考查的热点. 答题要领 首先利用平面向量的数量积运算求函数的解析式，再根据导数与 函数单调性的关系求解.
D
A.
B.
C.
D.
素养探究：本题考查由导函数的图像确定原函数的图像，根据导数的几 何意义可知，导数的绝对值越大，原函数增减变化得“越快”，原函数的图 像越“陡峭”；导数的绝对值越小，原函数增减变化得“越慢”，原函数的 图像越“平缓”.
D
A.
B.
C.
D.
C D.
A
B
C
C
AC
D
Hale Waihona Puke 奇 增3.数学建模———能构造函数
并利用其单调性比较大小.
导数的符号： 图1
图2
关于函数的单调性与导数的正负之间关系的三点说明
探究点一 利用导数判断简单函数的单调性
C
C
A.
B.
C.
D.
探究点二 利用导数研究三次函数的单调性
例
D
A.
B.
C.
D.
探究点三 利用导数求指数、对数函数的单调性
解题感悟 求运算函数的单调性的注意事项
1.确定函数的定义域，利用导数的四则运算法则计算导数. 2.解关于导数的不等式，根据不等式的解集确定相应的单调区间. 3.函数的单调区间通常表示为开区间，如果函数有多个单调增（或减）区间， 那么中间用“，”隔开.
C
C
C
D
直观想象——利用导数分析函数增长的快慢问题
人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 第六章 导数及其应用 第2课时 简单复合函数的求导法则
6.1.4 求导法则及其应用第2课时简单复合函数的求导法则课后训练巩固提升1.已知函数f(x)=ln(2x+1),则f'(0)=( )A.0B.1C.2D.12解析:∵f'(x)=12x+1·(2x+1)'=22x+1,∴f'(0)=2.答案:C2.函数y=cos(1+x2)的导数是( )A.y'=2xsin(1+x2)B.y'=-sin(1+x2)C.y'=-2xsin(1+x2)D.y'=xsin(1+x2) 解析:y'=-sin(1+x2)·(1+x2)'=-2xsin(1+x2). 答案:C3.函数f(x)=(1-2x)10在x=0处的导数是( )A.0B.1C.20D.-20 解析:∵f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)9, ∴f'(0)=-20.答案:D4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0B.1C.2D.3解析:令f(x)=ax-ln(x+1),则f'(x)=a-1x+1.故f'(0)=a-1=2,故a=3. 答案:D5.曲线y=e x 2在点(4,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积S 为( ) A.4e 2B.2e 2C.e 2D.12e 2解析:因为y=e x 2,所以y'=12e x2. 所以切线斜率k=12e 2.所以切线方程为y-e 2=12e 2(x-4).令x=0,得y=-e 2;令y=0,得x=2.所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=12×2e 2=e 2.答案:C6.曲线y=sin 2x 在点M(π,0)处的切线方程是 . 解析:因为y'=cos2x·(2x)'=2cos2x,所以切线斜率k=2.所以切线方程为y=2(x-π),即2x-y-2π=0.答案:2x-y-2π=07.函数f(x)=ln(3x)e x的导数为.解析:f'(x)=13x·3·e x-ln(3x)·e xe2x =1x-ln(3x)e x=1-xln(3x)xe x.答案:1-xln(3x)xe x8.已知函数f(x)=cos(√3x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.解析:∵f'(x)=-√3sin(√3x+φ),∴f(x)+f'(x)=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin(√3x+φ+5π6). 又f(x)+f'(x)为奇函数,∴f(0)+f'(0)=0,即2sin(φ+5π6)=0,∴φ+5π6=kπ(k∈Z).又φ∈(0,π),∴φ=π6.答案:π69.已知曲线y=e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为√5,求直线l的方程.解:∵y'=2e2x·cos3x-3e2x·sin3x,∴当x=0时,y'=2,∴切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.设直线l的方程为y=2x+b,根据题意,得|b -1|√5=√5,解得b=6或b=-4.故直线l 的方程为y=2x+6或y=2x-4.10.已知f(x)=ln(x+1)+√x +1+ax+b(a,b ∈R),曲线y=f(x)与直线y=32x 在点(0,0)处相切.求a,b 的值.解:由已知得曲线y=f(x)过点(0,0),即ln1+1+b=0,解得b=-1. 由f(x)=ln(x+1)+√x +1+ax+b,得f'(x)=1x+1+2√x+1+a,则由题意可知f'(0)=1+12+a=32+a=32,故a=0.所以a=0,b=-1.1.函数y=cos 2x+sin √x 的导数为( ) A.y'=-2sin 2x+√x 2√xB.y'=2sin 2x+√x 2√xC.y'=-2sin 2x+√x 2√xD.y'=2sin 2x-√x 2√x解析:y'=-sin2x·(2x)'+cos √x ·(√x )'=-2sin2x+√x 2√x.故选A.答案:A2.曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积S 为( ) A.13B.12C.23D.1解析:因为y'=e -2x (-2x)'=-2e -2x ,所以切线斜率k=-2e 0=-2.所以切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2.因为直线y=-2x+2与y=x 的交点为(23,23),与y=0的交点为(1,0),所以所求三角形的面积S=12×1×23=13.故选A.答案:A3.若点P 是函数f(x)=e x -e -x -3x -12<x<12的图象上任意一点,且曲线y=f(x)在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的最小值是( ) A.5π6B.3π4C.π4D.π6解析:因为f'(x)=e x +e -x -3,所以切线斜率k=e x +e -x -3≥2√e x ·e -x -3=-1,当且仅当e x =e -x ,即x=0时,等号成立.所以tanα≥-1.又-12<x<12,所以f'(x)<0,即tanα<0.所以-1≤tanα<0.又α∈0,π2∪π2,π,所以α的最小值是3π4.故选B.答案:B4.已知f(x)为偶函数,当x ≤0时,f(x)=e -x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .解析:当x>0时,-x<0.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=e x-1+x.所以f'(x)=e x-1+1,f'(1)=e 1-1+1=2.所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 答案:2x-y=05.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a 的值为 .解析:设切点为(x 0,y 0),则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a),x 0+1=ln(x 0+a). ∵y'=1x+a,∴1x 0+a=1.∴x 0+1=ln1=0,∴x 0=-1.∴a=2. 答案:26.若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .解析:曲线y=lnx+2在点(x 1,lnx 1+2)处的切线方程为y=1x 1·x+lnx 1+1.曲线y=ln(x+1)在点(x 2,ln(x 2+1))处的切线方程为y=1x 2+1x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1.由已知得{1x 1=1x 2+1,lnx 1+1=ln (x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12.故b=lnx 1+1=1-ln2. 答案:1-ln 27.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线l:2x-y+3=0的最短距离. 解:因为y=ln(2x-1), 所以y'=12x -1(2x-1)'=22x -1.设曲线y=ln(2x-1)上到直线l的距离最短的点的坐标为(x0,y0),由题意可=2,解得x0=1.知22x0-1所以y0=ln(2×1-1)=0.所以曲线y=ln(2x-1)上的点到直线l:2x-y+3=0的最短距离为=√5.d=|2×1-0+3|√22+12。
人教B版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 导数与函数的单调性
log2x-log2y<(2) -(2) ,则(
1
A.
<
1
C.ln(y-x+1)>0
BC )
B.x3<y3
x-y
D.2
1
<
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
解析 根据题意,设
1 x
f(x)=log2x-( ) ,x∈(0,+∞),
.
6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]
上单调递减,则实数m的取值范围为 (-∞,-2] .
解析 f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.
由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.
2-
f'(x)= -1= ,令
f'(x)>0,则 x<2,又 x>0,
所以0<x<2,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2).
故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取
所以 x·f'(x)<0
3 1
的解集是(- ,- )∪(0,1).
2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
高三数学选择性必修第三册2020(B版)-导数与函数的单调性(B卷提升篇)【解析版】
6.2导数与函数的单调性（B 卷提升篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·开鲁县第一中学月考（理））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D 【解析】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立， 即212a x >-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 因此，只需212412a >-=-⎛⎫⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（ ） A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭.当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.3．（2019·宁夏高三其他（文））若函数()(cos )xf x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(2,)-+∞ B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞D ．2,)+∞【答案】D 【解析】因为()(cos )xf x e x a =-，所以()()sin cos xf x ex x a '=-+-，又函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()0f x '≤在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即sin cos 0x x a -+-≤在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以sin cos a x x ≥-+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，因为sin cos 24x x x π⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 224x π⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以)2,⎡∈+∞⎣a . 故选：D.4．（2020·福建漳州·其他（文））已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)xf x f x e +=-，当1x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()523e f f ->B ．()()523f e f ->C ．()()523e f f <-D ．()()523f e f >-【答案】A 【解析】 构造函数()()xf xg x e =，因为2(1)(1)xf x f x e +=-，所以11(1)(1)x x f x f x e e +-+-=， 则(1)(1)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()()0xf x f xg x e''-=>， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->， 即3223(3)(2)(2)(3),f f f f e e e e---->>， 即5(3)(2)e f f ->，5(2)(3)e f f ->， 故选：A.5．（2020·河南其他（文））设01x <<，则222,(),x x xe e e a b c x x x===的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B 【解析】分析:构造函数()xe f x x =，得2(1)()x e x f x x-'=，判断函数()f x 在(0,1)的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出a ，b ，c 的大小关系．详解:设()xe f x x =，则2(1)()x e x f x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,1)为减函数，22x x <，∴22x xe e <，则22222()x x xe e e x x x<=，故b c >；又201x x <<<，2()()f x f x ∴>，即22x x e e x x>，故c a >，a cb ∴<<．故选：B ．6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学月考）设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（ ）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]【答案】A 【解析】 构造()()xxf x g x e =， 则[]()2()()()()x xxxf x f x e xf x e g x e '+-'=[]()()()xxf x f x xf x e '+-=[]()()()xx f x f x f x e'-+=0>，所以()g x 为单调递增函数， 又(1)(1)2020f g e ==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于()2020x xf x e≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞，故选：A ．7．（2020·江西南昌二中月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+，则()2a f =-，()2log 9b f =，(5c f =的大小关系为（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b c a >>【答案】D 【解析】当0x ≥时，()xf x e x =+，则()10xf x e '=+>，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增， 由22log 9log 8352>=>， 所以()(()2log 952f ff >>，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22a f f =-=，所以b c a >>， 故选：D8．（2020·重庆期末）若函数()2sin cos cos =++f x x x x a x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]1,3- C ．[]3,3- D ．[]3,1--【答案】A 【解析】由函数()2sin cos cos =++f x x x x a x 得()'232sin sin f x x a x =--，由题意可得()'0f x ≥恒成立，即为232sin sin 0x a x --≥，设()sin 11t x t =-≤≤，即22+30t at -≤， 当0t =时，不等式显然成立； 当01t <≤时，32a t t ≤-，由32y t t =-在(]0,1上单调递减，可得1t =时，32y t t =-取得最小值1，可得1a ≤， 当10t -≤<时，32a t t ≥-，由32y t t =-在[)10-，上单调递减，可得1t =-时，32y t t=-取得最小值1-，可得1a ≥-，综上可得实数a 的取值范围是[]11-，，故选：A .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：6.2.1导数与函数的单调性含解析
6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1 导数与函数的单调性新版课程标准学业水平要求1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间1.借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系.(数学抽象)2.能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间.(数学运算)3.能利用导数研究与函数单调性相关的问题.(数学运算、逻辑推理)必备知识·素养奠基1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系在区间(a,b)内导数正负曲线状态单调性f′(x)>0 曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态增函数f′(x)<0 曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态减函数(1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上是增函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是增函数,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是增函数,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上是减函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是减函数,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是减函数,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0.(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗?提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=C.2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数f 在某一范围内导数的绝对值为,则函数值的变化函数的图象越大在这一范围内变化得较快比较“陡峭”(向上或向下)越小在这一范围内变化得较慢比较“平缓”为什么|f′(x)|越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?提示:|f′(x)|越大,说明函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象越陡峭.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)因为′=-<0恒成立,所以函数y=在(-∞,+∞)上单调递减.( )(2)因为′=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,+∞)上单调递增.( )(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f′(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函数. ( )提示:(1)×.因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由′=-<0恒成立,所以函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数.(2)×.因为函数y=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由′=1+>0恒成立,所以函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数.(3)×.因为f′(x)=2x+2,所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,即函数f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上是减函数,在x∈(-1,+∞)上是增函数.2.函数y=x-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1]B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,1]【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),令y′=1-=≤0,解得x∈(0,1],所以函数的单调递减区间为(0,1].关键能力·素养形成类型一导数与函数图象的关系【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )3.函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为________.【思维·引】导函数图象在x轴下方,函数递减,导函数图象在x轴上方,函数递增.【解析】1.选B.在区间(-1,1)上,f′(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f′(x)是增函数,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f′(x)是减函数,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.3.函数y=f(x)在区间和区间(2,3)上是减函数,所以在区间和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,所以f′(x)<0的解集为∪(2,3).答案:∪(2,3)【内化·悟】结合图象来研究导数与函数的关系,需注意哪些问题?提示:(1)函数的定义域.(2)导数的符号与函数单调性的关系.【类题·通】函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时,首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象,其次再注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上是增函数;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上是减函数;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.(2)导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f′(x)<0且越来越小,绝对值越来越大f′(x)<0且越来越大, 绝对值越来越小【习练·破】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选B.由函数y=f(x)的图象及其导数的意义可知,当x<0时,f′(x)>0,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)<0.【加练·固】设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知,当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0,所以函数y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数,在(0,2)上为减函数.类型二利用导数求函数的单调区间【典例】1.(2020·南平高二检测)函数f(x)=xe x+1的单调递减区间是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)2.(2020·金安高二检测)函数f(x)=x-2sinx+1在(0,π)上的单调递增区间是( )A. B. C. D.【思维·引】1.求导,解使f′(x)<0的区间.2.求导,解使f′(x)>0的区间.【解析】1.选C.f′(x)=(x+1)e x,当x<-1时,f′(x)<0,函数单调递减.2.选D.f(x)=x-2sin x+1,令f′(x)=1-2cos x>0,可得π<x<π,故f(x)在(0,π)上的单调递增区间为.【内化·悟】求函数的单调区间需要特别关注什么?提示:求函数的单调区间需要特别关注函数的定义域.【类题·通】求函数y=f(x)单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y′=f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,函数在解集所表示定义域内为增函数.(4)解不等式f′(x)<0,函数在解集所表示定义域内为减函数.如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.【习练·破】1.(2020·渝中高二检测)函数f(x)=(1-x)e x的单调递减区间是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)【解析】选D.f′(x)=-xe x.当x>0时,f′(x)=-xe x<0,函数单调递减.即函数的单调递减区间是(0,+∞).2.函数f(x)=2x2-lnx,x∈(0,+∞)的单调递减区间为________.【解析】由题意得f′(x)=4x-,令f′(x)=4x-<0且x∈(0,+∞),则x∈.答案:【加练·固】判断函数f(x)=ax3-1的单调性.【解析】因为f′(x)=(ax3-1)′=3ax2.①当a>0时,f′(x)≥0,函数在R上单调递增;②当a<0时,f′(x)≤0,函数在R上单调递减;③当a=0时,f′(x)=0,函数在R上不具备单调性.类型三利用导数求参数的取值范围角度1 已知函数单调性求参数的取值范围【典例】1.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上是增函数,则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是减函数,则实数m的范围是________.【思维·引】1.f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上是增函数,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)上是减函数,g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.【解析】1.选D.f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,所以k≥,而y=在区间(1,+∞)上是减函数,所以k≥1,故实数k的取值范围是[1,+∞).2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0对x∈R恒成立.即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-.答案:【素养·探】已知函数单调性求参数的取值范围时,经常利用核心素养中的逻辑推理,将函数单调性问题转化为恒成立问题.将本例1条件改为:函数f(x)=kx-lnx在区间(0,e)上是减函数,求实数k的取值范围.【解析】函数f(x)=kx-ln x在区间(0,e)上是减函数,即f′(x)=k-≤0在区间(0,e)上恒成立,所以k≤.角度2 求参数范围的综合问题【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.【思维·引】函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.【解析】方法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x) =-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.设函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=且开口向上的抛物线,故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).方法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.因为f′(x)的图象是开口向下的抛物线,所以当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).【类题·通】1.利用导数法解决参数范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.【习练·破】1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是( )A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1【解析】选A.由已知得f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)上是减函数,所以不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立,即f′(0)≤0且f′(1)≤0,解得a≥1.2.若函数f(x)=(mx-1)e x在(0,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.【解析】f′(x)=(mx-1)′e x+(mx-1)·(e x)′=me x+(mx-1)e x=e x(mx+m-1).由于f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f′(x)≥0,即mx+m-1≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即m≥对x∈(0,+∞)恒成立,又当x∈(0,+∞)时,<1,故m≥1.答案:[1,+∞)课堂检测·素养达标1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=sin2xB.y=xe xC.y=x3-xD.y=-x+ln(1+x)【解析】选B.y=xe x,则y′=e x+xe x=e x(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.2.若函数f(x)=-cosx+ax为增函数,则实数a的取值范围为()A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【解析】选B.由题意可得,f′(x)=sin x+a≥0恒成立,故a≥-sin x恒成立,因为-1≤-sin x≤1,所以a≥1.3.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上是增函数,且在区间(0,2)上是减函数,则常数a的值为________.【解析】f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,当a>0时,解得-<x<0,不合题意;当a<0时,解得0<x<-,由题意知-=2,a=-6.答案:-6【新情境·新思维】已知定义在区间(-2,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示,若函数f′(x)是f(x)的导函数,则不等式>0的解集为( )A.(-2,1)B.(-2,-1)∪(-1,1)C.(1,2)D.(-,-1)∪(0,).【解析】选B.结合导数与单调性关系可知,-2<x<-1,1<x<2时,函数单调递减,此时f′(x)<0,当-1<x<1时,函数单调递增,此时f′(x)>0,由不等式>0可得,(x+1)f′(x)>0, 解得,-1<x<1或-2<x<-1,故不等式的解集为(-2,-1)∪(-1,1).。
高中数学人教B版选择性必修第三册《6.2.1 导数与函数的单调性》练习题(1)
人教B版选择性必修第三册《6.2.1 导数与函数的单调性》练习题(1)一、单选题（本大题共18小题，共90.0分）1.下列函数中，在(−∞,+∞)上单调递增的是()A. y=|x|B. y=x3C. y=log2xD. y=0x2.已知函数y=f(x)的图象如图所示，如图四个图象中y=f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)的图象大致是()A.B.C.D.3.若函数f(x)在定义域内满足：(1)对于任意不相等的x1，x2，有x1f(x2)+x2f(x1)>x1f(x1)+x2f(x2)；(2)存在正数M，使得|f(x)|≤M，则称函数f(x)为“单通道函数”，给出以下4个函数：①f(x)=sin(x+π4)+cos(x+π4)，x∈(0,π)；②g(x)=lnx+e x，x∈[1,2]；③ℎ(x)=x3−3x2，x∈[1,2]；④φ(x)={−2−x,−1≤x≤0log12(x−1)−1,0<x≤1，其中，“单通道函数”有()A. ①③④B. ①②④C. ①③D. ②③4.知函数f(x)的定义域为R，f(−2)=2021，对任意x∈(−∞,+∞)，都有f′(x)>2x成立，则不等式f(x)>x2+2017的解集为()A. (−2,+∞)B. (−2,2)C. (−∞,−2)D. (−∞,+∞)5.已知为坐标原点，直线与圆分别交于两点．若，则实数的值为()A. 1B.C.D.6.若函数f(x)=x2+aln(x+1)在(−1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (12,+∞) D. [12,+∞)7.已知变量x1，x2∈(0,m)(m>0)，且x1<x2，若x1x2<x2x1恒成立，则m的最大值为()A. eB. √eC. 1eD. 18.函数的定义域为，值域为，则点表示的图形可以是()A. AB. BC. CD. D9.定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)图象如图所示，给出下列四个命题①方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；②方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；③方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；④方程g[g(x)]=0有且仅有一个解．那么，其中正确命题是()A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④10. 已知函数f(x)=ax 3−32x 2+1存在唯一的零点x 0，且x 0<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−√22) B. (−∞,−2) C. (12,+∞)D. (√22,+∞) 11. 10． =+sin(+x)，为的导函数，则的图像是A.B.C.D.12. 定义在R 上的函数f(x)满足(x −1)f′(x)≤0，且f(−x)=f(2+x)，当|x 1−1|<|x 2−1|时，有( )A. f(2−x 1)≥f(2−x 2)B. f(2−x 1)=f(2−x 2)C. f(2−x 1)>f(2−x 2)D. f(2−x 1)≤f(2−x 2)13. 函数f(x)=|x|cosx 的部分图象为( )A.B.C. D.14.下列函数中，即是奇函数又是减函数的是()B. f(x)=x−3A. f(x)=e x−e−x2C. f(x)=x45D. f(x)=−x1315.对函数f(x)=1−(x∈R)的如下研究结果，正确的是()A. 既不是奇函数又不是偶函数．B. 既是奇函数又是偶函数．C. 是偶函数但不是奇函数．D. 是奇函数但不是偶函数．16.曲线y=lnx在点(1,0)处的切线的斜率等于()A. −1B. 0C. 1D. ex2+cosx的导函数f′(x)的图象大致是()17.函数f(x)=12A. B.C. D.18.已知f(x)为R上的奇函数，x>0时，f(x)=lnx+1，则方程ef(x)=x根的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 7二、单空题（本大题共1小题，共5.0分）19.使“函数f(x)=e xx在区间(0,m]上单调递减”成立的一个m值是______．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.设f(x)=e x−a(x+1)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)+ae x，且A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的a≤−1，直线AB的斜率大于常数m，求实数m的取值范围．21.设函数f(x)=x3+ax2−9x−1(a<0)，若曲线y=f(x)在各点处的切线斜率的最小值是−12，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．22.已知f(x)=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=−2时，都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若x∈[−3,2]都有f(x)>4c −12恒成立，求c的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：函数y =|x|={−x,x ≤0x,x >0在(−∞,0]上单调递减，不满足条件；函数y =x 3的导函数y′=3x 2≥0恒成立，故在(−∞,+∞)上单调递增，满足条件； 函数y =log 2x 在(−∞,0]上无意义，不满足条件； 函数y =0x 在(−∞,0]上无意义，不满足条件； 故选：B ．分析给定四个函数的定义域，及在(−∞,+∞)上的单调性，可得结论．本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，分段函数的应用，利用导数法研究函数的单调性，难度基础．2.答案：D解析：解：根据题意，由函数y =f(x)的图象，当x <0时，f(x)先为减函数，再为增函数，最后为减函数，在区间(0,+∞)上为增函数， 则其导数f′(x)在(−∞,0)上，应该先负，后正，最后为负，在区间(0,+∞)上正， 分析选项：D 符合； 故选：D ．根据题意，由函数f(x)的图象，分析其单调性，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得导数f′(x)在(−∞,0)上，应该先负，后正，最后为负，在区间(0,+∞)上正，分析选项即可得答案． 本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意由函数的单调性分析函数导数的符号，属于基础题．3.答案：C解析：(1)对于任意不相等的x 1，x 2，有x 1f(x 2)+x 2f(x 1)>x 1f(x 1)+x 2f(x 2)； 即不等式(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0恒成立， 所以函数f(x)是定义在I 上的单调减函数；(2)存在正数M ，使得|f(x)|≤M ，即−M ≤f(x)≤M ；对于①，f(x)=sin(x +π4)+cos(x +π4)=√2sin(x +π2)=√2cosx ，在x ∈(0,π)时，f(x)是单调减函数，且|f(x)|<√2≤√2，是“单通道函数”；对于②，g(x)=lnx +e x ，在x ∈[1,2]上是单调增函数，不满足(1)，不是“单通道函数”； 对于③，ℎ(x)=x 3−3x 2，∴ℎ′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，∴x ∈[1,2]时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)是单调减函数，且ℎ(1)=−2，ℎ(2)=−4，∴−4≤ℎ(x)≤−2，∴|ℎ(x)|≤4， ∴ℎ(x)是[1,2]上的“单通道函数”；对于④，φ(x)={−2−x ,−1≤x ≤0log 12(x −1)−1,0<x ≤1，x ∈[−1,0]时，φ(x)=−2−x =−(12)x 是单调增函数，不满足(1)，∴不是“单通道函数”． 综上，是“单通道函数”的为①③． 故选：C ．分析条件(1)，得出函数f(x)是单调减函数，条件(2)f(x)是有界函数； 再分析命题①②③④，得出满足条件(1)(2)的函数即可．本题主要考查函数单调性和有界性的应用问题，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．4.答案：A解析：本题主要考查了导数的应用，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键． 构造函数g(x)=f(x)−x 2−2017，利用对任意x ∈R ，都有f′(x)>2x 成立，即可得出函数g(x)在R 上单调性，进而即可解出不等式．解：令g(x)=f(x)−x 2−2017，函数f(x)的定义域为R ， 对任意x ∈(−∞,+∞)，都有f′(x)>2x 成立， 所以g′(x)=f′(x)−2x >0， ∴函数g(x)在R 上单调递增， 而f(−2)=2021，∴g(−2)=f(−2)−(−2)2−2017=0，∴不等式f(x)>x 2+2017，可化为g(x)=f(x)−x 2−2017>0， 即：g(x)>g(−2)， ∵函数g(x)在R 上单调递增， ∴x >−2，即不等式f(x)>x 2+2017的解集为：(−2,+∞)， 故选A ．5.答案：D解析：试题分析：设直线与圆交于把代入，得由韦达定理得，故选D ．考点：1.平面向量的数量积运算；2.应用韦达定理解决直线和圆相交问题有关的计算．6.答案：D解析：解：f′(x)=2x +a x+1=2x 2+2x+ax+1，若函数f(x)=x 2+aln(x +1)在(−1,+∞)上是增函数， 则2x 2+2x +a ≥0在(−1,+∞)恒成立， 即a ≥−2x 2−2x 在(−1,+∞)恒成立， 令g(x)=−2x 2−2x ，(x >−1)， g(x)在(−1,−12)递增，在(−12,+∞)递减， 故g(x)的最大值是g(−12)=12， 故a ≥12， 故选：D ．求出函数的导数，问题转化为a ≥−2x 2−2x 在(−1,+∞)恒成立，令g(x)=−2x 2−2x ，(x >−1)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．7.答案：A解析：在不等式两边同时取对数，然后构造函数f(x)=lnx x，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题． 解：对不等式两边同时取对数得lnx 1x2<lnx 2x1， 即x 2lnx 1<x 1lnx 2，即lnx1x1<lnx2x2恒成立，设f(x)=lnxx，x∈(0,m)，∵x1<x2，f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(0,m)上为增函数，函数的导数f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，由f′(x)>0得1−lnx>0得lnx<1，得0<x<e，即函数f(x)的最大增区间为(0,e)，则m的最大值为e，故选：A．8.答案：B解析：试题分析：易知当，所以，所以点表示的图形可以是B。
人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 第六章 导数及其应用 6.1.1 函数的平均变化率
6.1.1 函数的平均变化率课后训练巩固提升1.函数y=1在以2和2+Δx为端点的闭区间上的平均变化率是( )A.0B.1C.2D.Δx解析:ΔyΔx =1-1Δx=0.答案:A2.如图,函数y=f(x)在区间[1,3]上的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析:ΔfΔx =f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.故选B.答案:B3.若函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=( )A.-3B.2C.3D.-2=a=3.解析:根据平均变化率的定义,可知(2a+b)-(a+b)2-1答案:C4.已知甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是( )A.v甲>v乙B.v甲<v乙C.v甲=v乙D.大小关系不确定解析:设直线AC,BC的斜率分别为k AC,k BC,由平均变化率的几何意义知,v甲=k AC,v乙=k BC.因为k AC<k BC,所以v甲<v乙.答案:B5.函数y=2x在区间[0,1]上的平均变化率为.=1.解析:由题意知平均变化率为2-11-0答案:16.已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,其三者的大小关系是.解析:∵v1=s(t1)-s(t0)=k MA,t1-t0v2=s(t2)-s(t1)=k AB,t2-t1v3=s(t3)-s(t2)=k BC,t3-t2由图象可知,k MA<k AB<k BC,∴v3>v2>v1.答案:v3>v2>v17.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为;函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为.解析:函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.由函数f(x)的图象知,f(x)={x+32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,故函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2-0=3-322=34.答案:12348.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算函数f(x)及g(x)在区间[-3,-1],[0,5]上的平均变化率.解:函数f(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为f (-1)-f (-3)-1-(-3)=2.函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)-f (0)5-0=2.函数g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为g (-1)-g (-3)-1-(-3)=-2.函数g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)-g (0)5-0=-2.9.已知某物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且其图象经过(1,2),(3,6)两点.(1)求该物体在时间段[1,3]上的平均速度;(2)估计出当t=2时物体的位移.=2(m/s).解:(1)所求平均速度为6-23-1(2)将函数在区间[1,3]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为2,故直线方程为s-2=2(t-1),即s=2t.当t=2时,s=4.故当t=2时物体的位移可估计为4m.。
新教材人教B版选择性必修第三册 6.1.3 基本初等函数的导数 学案
6．1.3 基本初等函数的导数最新课程标准1.会用导数的定义求函数的导数．2．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[教材要点]知识点一 函数的导数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x ________的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为____________．知识点二 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝________f (x )＝x f ′(x )＝________ f (x )＝x 2 f ′(x )＝________f (x )＝1xf ′(x )＝________ f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点三 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 y ＝c y ′＝________A.13 B.12C.18 D.14题型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.状元随笔首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．方法归纳1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与l n x”，“a x与log a x”，“si n x与cos x”的导数区别．跟踪训练1若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________.题型二利用公式求函数在某点处的导数例2质点的运动方程是s＝si n t，求质点在t＝π3时的速度．2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．跟踪训练3试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．题型四导数公式的应用状元随笔点P是曲线y＝e x上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[提示]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y ＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x) ′＝e x，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为2 2.例4(1)已知函数y＝kx是曲线y＝l n x的一条切线，则k＝11。
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课时练习(十五)导数与函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
B[因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，
即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.]
2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像，则下面判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C[由导函数f′(x)的图像知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则()
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤1 3
A[f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.]
4．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()
A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
A [因为在定义域(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x
＋1
x ＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上
是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．故选A.]
5．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
B [构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2. ∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.] 二、填空题
6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为_________.
⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，π [令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所
以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，π.]
7．函数y ＝1
3x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) [y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.]
8．若函数y ＝－4
3x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________． (0，＋∞) [若函数y ＝－43x 3
＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.]
三、解答题
9．若函数f (x )＝x 3－mx 2＋2m 2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m 的值及函数的其他单调区间．
[解] 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ， 令f ′(x )<0，即3x 2－2mx <0.
由题意，知3x 2－2mx <0的解集为(－9,0)， 即方程3x 2－2mx ＝0的两根为x 1＝－9，x 2＝0. 由根与系数的关系， 得－－2m 3＝－9，即m ＝－272. 所以f ′(x )＝3x 2＋27x .
令3x 2＋27x >0，解得x >0或x <－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间．
综上所述，m 的值为－27
2，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)． 10．已知函数y ＝ax 与y ＝－b
x 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．
[解] 由题意可知a <0，b <0. 由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′>0得3ax 2＋2bx >0， ∴－2b
3a <x <0，
由y ′<0得3ax 2＋2bx <0， ∴x <－2b
3a 或x >0，
∴函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2b 3a ，0，单调递减区间为
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－2b 3a 和(0，＋∞)．
11．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )
D [由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即y ＝(x )，y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相等，知选D.]
12．(多选题)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )
A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )
B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )
C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
D ．f (a )g (b )>f (b )g (a )
CD [因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f (x )
g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所
以
f (x )
g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )
g (b )
，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )，f (a )·g (b )>g (a )f (b )．因此选CD.]
13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13，＋∞ [f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数， 所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立．
法一：由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.
经检验，当m＝1
3时，只有个别点使
f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥
1
3.
法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－3
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
1
3
2
＋
1
3，易知函数g(x)在R上的最大值为
1
3，所以m≥
1
3.
经检验，当m＝
1
3时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥
1
3.]
14．(一题两空)函数f(x)＝
1＋ln x
x的增区间是________，曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是________．
(0,1)y＝1[f′(x)＝－
ln x
x2(x>0)，
令f′(x)>0得0<x<1，
故函数f(x)的增区间是(0,1)．
又f′(1)＝0，故f(x)在(1,1)处的切线方程为y＝1.]
15．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
[解](1)∵f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝
a2
x－2x＋a
＝－
(x－a)(2x＋a)
x，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要⎩⎨⎧
f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，
解得a ＝e.。